Clase 03.doc 1

1. Análisis de Sistemas Discretos 1. Análisis de Sistemas Discretos ___________________ 1

1.1. Introducción ____________________________________________________________________ 2

1.2. Estabilidad _____________________________________________________________________ 2 1.2.1. Estabilidad de Sistemas Lineales ___________________________________________________________3 1.2.2. Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO) ___________________________________4 1.2.3. Cómputo de la Estabilidad ________________________________________________________________6

1.3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad ___________________________________ 15 1.3.1. Controlabilidad y Alcanzabilidad _________________________________________________________15

1.4. Observabilidad_________________________________________________________________ 20

1.5. Descomposición de Kalman ______________________________________________________ 23

1.6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al muestreo _______________________ 24

1.7. Un Controlador Simple __________________________________________________________ 25 1.7.1. Estado Estacionario ____________________________________________________________________25

1.8. Simulación ____________________________________________________________________ 27

1.1. Control de un Doble Integrador ___________________________________________________ 27

Clase 03.doc 2

1.1. Introducción Los sistemas a estudiar son

1k k k

k k

x x uy Cx

+ = Φ + Γ =

[1.1]

( ) ( )k kA q y B q u= [1.2]

( )( )

11

10 1

a a

a

b b

b

n nn

n nn

A q q a q a

B q b q b q b

−

−

= + + +

= + + + [1.3]

1.2. Estabilidad Dada unas secuencia

( )1 ,k kx f x k+ = [1.4]

sean dos secuencias kx y 0kx soluciones de [1.4]

Se dice que la secuencia 0kx es estable si dado

00

0kkx x δ− < [1.5]

se cumple

0

0kkx x k kε− < ∀ ≥ [1.6]

Se dice que la secuencia 0kx es asintóticamente estable si se

cumple

0 0kkx x k− → →∞ [1.7]

Clase 03.doc 3

1.2.1. Estabilidad de Sistemas Lineales Sea el sistema

0 0

1k kx x+ = Φ [1.8]

con

0 0

0x a= [1.9]

se cambia el valor inicial 0x a= [1.10]

resultando 1k kx x+ = Φ [1.11]

La diferencia entre ambas soluciones es

0

11 1 kk k kx x x x++ += − = Φ [1.12]

con

0

0x a a= − [1.13]

si 0x es estable, toda otra solución será también estable. la estabilidad es una característica del sistema y no de una

solución determinada. La solución de

0k

kx x= Φ [1.14]

Si la matriz Φ se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal de los autovalores.

Clase 03.doc 4

Si la matriz Φ no se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal del producto de polinomios por los autovalores.

Pero en ambos casos, para que la solución tienda a cero los autovalores deberán ser menor que 1. Teorema 1. Un sistemas discreto, lineal, invariante en el tiempo es asintóticamente estable si todos los autovalores de Φ están dentro del círculo unidad.

1.2.2. Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO)

Un sistema cuya entrada es acotada, es estable si su salida también lo es.

La estabilidad asintótica es más restrictiva.

Clase 03.doc 5

Oscilador Armónico

( ) ( )( ) ( )

( )( )

[ ]

1

cos sen 1 cossen cos sen

1 0

k k k

k k

T T Tx x u

T T T

y x

ω ω ωω ω ω+

− = + − =

[1.15]

Los autovalores son 1. Si la entrada es nula, el sistema es estable porque

0kx x=

Pero si la entrada es una onda cuadrada de frecuencia ω la salida es

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

El sistema es estable pero no es estable en el sentido de

entrada y salida acotada

Clase 03.doc 6

1.2.3. Cómputo de la Estabilidad - Cómputo directo de los autovalores - lugar de las raíces - criterio de Nyquist - método de Lyapunov

- Cálculo directo: cálculo de las raíces de

( ) 11

a a

a

n nnA q q a q a−= + + + [1.16]

no es adecuado para calcularlo manualmente en sistemas de alto orden

- Criterio de Jury (Routh-Hurwitz) Se forma la siguiente tabla

0a 1a 1na − na

na 1na − 1a 0a 0

nn

aa

α =

10

na − 11

na − 11

nna −−

11

nna −− 1

2n

na −− 1

0na − 1

1 10

nn

n n

aa

α−

− −=

0

0a

Clase 03.doc 7

con 1

0

k k ki i k k i

kk

k k

a a a

aa

α

α

−−= −

= [1.17]

Teorema 2. Si 0 0a > , el sistema es estable si todos los 0ka son

positivos. Si ningún 0ka , la cantidad de 0

ka negativos es igual al número de raíces fuera del círculo unidad. Sistema

( ) 21 2 0A q q a q a= + + = [1.18]

1 1a 2a

2a 1a 1 22 1

aα =

( )

1 2 20 0 2 2

22 2 21 1

a a a

a a a

α= −

= − = − ( )

1 2 21 1 2 1

1 2 1 1 21a a a

a a a a aα= −

= − = −

( )1 21a a− ( )221 a− ( )

( )

11 21

1 210 2

1

2

11

1

a aaa a

aa

α−

= =−

=+

( )

( )( )

0 1 1 10 0 1 0 0 1

2 12

2

1

1 11

a a a a

aaa

α α= − = −

= − − +

Todas las raíces están dentro del círculo unidad si:

( )210 21 0a a= − > [1.19]

Clase 03.doc 8

( )( )20 10 2

2

1 1 01

aa aa

= − − > +

[1.20]

esto implica

2 1a < [1.21]

1 2 1

2 2

1 2

1 2

11 01 11

1

a a aa a

a aa a

+ −− = > + + < +> − −

[1.22]

a2

a1

1 2

1

-1

Clase 03.doc 9

- Criterio de Nyquist Es el equivalente al de los sistemas continuos Sea el sistema

+

yk

G(z)

-1

rk uk+

( ) ( )( )

( )( )1

Y z G zH z

U z G z= =

+ [1.23]

La ecuación característica es

( )1 0G z+ = [1.24]

Plano Z Im

Re

Γ

1

inf

Clase 03.doc 10

Sistema de Segundo Orden

( ) ( )( )0,251 0,5

kG zz z

=− −

[1.25]

( ) ( ) ( )( )( )

20,25 1,5 1 cos 2 2cos 1,52 2cos 1,25 cos

jk sen jsen

G e ωω ω ω ω

ω ω

− − − − =− +

[1.26]

Plano ZIm

Re

Γ

-1

inf

el camino cruza el eje real negativo en 0,5ω = −

el sistema es estable en lazo cerrado para 2k <

Clase 03.doc 11

- Robustez Tolerancia a variaciones

Teorema 3. Sea ( )0G z el valor real y ( )G z el valor nominal

( ) ( )( )

00

01G z

H zG z

=+

[1.27]

( ) ( )( )1

G zH z

G z=

+ [1.28]

- si ( )H z es estable

- si ( )0G z y ( )G z tienen la misma cantidad de polos fuera del círculo unidad y

- si se cumple que para 1z = ( ) ( ) ( )0 1G z G z G z− < +

entonces ( )0H z es estable

Cuando la ganancia del sistema es alta, es fácil de cumplir la condición.

Se necesita mayor precisión en los lugares donde ( ) 1G z

Otra forma de verlo: la función en lazo cerrado es

( )

( )

0

0

111

H z

G z

=+

[1.29]

los polos en lazo cerrado están en

Clase 03.doc 12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 1 1 11 1f zG z G z G z G z

= + = + + −

[1.30]

en esta forma vale el nuevo teorema: Teorema

Sea ( )0G z el valor real y ( )G z el valor nominal

- si ( )H z es estable

- si ( )0G z y ( )G z tienen la misma cantidad de ceros fuera del círculo unidad y

- si se cumple que para 1z = ( ) ( ) ( )0

1 1 11G z G z G z

− < +

entonces ( )0H z es estable

Reglas a tener en cuenta: - es importante saber la cantidad de polos y ceros inestables - no es necesario tener gran precisión en el modelo para

frecuencias en la que el sistema tiene alta ganancia - para aquellas frecuencias en las que no se conoce el modelo

con exactitud hay que reducir la ganancia - hay que tener un modelo preciso para frecuencias en donde

( ) 1G z

Clase 03.doc 13

- Segundo Método de Lyapunov Función de Lyapunov: Sea el sistema

( ) ( )1 0 0k kx f x f+ = = [1.31]

( )V x es una función de Lyapunov si

- ( )V x es continua en x y ( )0 0V =

- ( )V x es definida positiva y

- ( ) ( )( ) ( )V x V f x V x∆ = − es definida negativa

X2

X1

Xk

Xk+1

V(xk)

Las curvas de nivel de ( )V x son cerradas alrededor del

origen La tercera condición dice que la dinámica del sistema es tal

que partiendo de un estado, el siguiente llevará a un valor de ( )V x menor o más cerca del origen.

Clase 03.doc 14

Teorema 4. Estabilidad La solución 0kx = es asintóticamente estable si existe una

función de Lyapunov para el sistema Si además existe

( ) ( )0 x V xϕ< < [1.32]

y se cumple

( )xϕ →∞ cuando x →∞ [1.33]

entonces, la solución es asintóticamente estable para cualquier condición inicial. - El principal problema es encontrar la función de Lyapunov - Para sistemas lineales, una función candidata es

( ) TV x x Px= [1.34]

donde

( ) ( ) ( ) T T T

T T T

V x V x V x x P x x Px

x P P x x Qx

∆ = Φ − = Φ Φ −

= Φ Φ − = − [1.35]

Para que ( )V x se una función de Lyapunov, debe existir una matriz P, que cumpla

T P P QΦ Φ − = − [1.36]

con Q definida positiva Esta es la ecuación de Lyapunov

Clase 03.doc 15

1.3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad

1.3.1. Controlabilidad y Alcanzabilidad Sea el sistema

10 0 1

0

n nn n

nc

x x u u

x W U

−−= Φ +Φ Γ + + Γ

= Φ + [1.37]

con 1n

cW − = Γ ΦΓ Φ Γ [1.38]

1 0TT T

nU u u− = [1.39]

si cW tiene rango n se pueden encontrar n valores de u para llevar al sistema a un valor deseado nx .

Si hay más de una entrada la solución no es única.

- Definición de Controlabilidad: Un sistema es controlable si se puede llevar desde

cualquier punto al origen en tiempo finito.

- Definición de Alcanzabilidad: Un sistema es alcanzable si se puede llevar desde cualquier

punto a otro cualquiera en tiempo finito Controlabilidad no implica alcanzabilidad. Por ejemplo si ya está en el origen, es controlable pero no

necesariamente alcanzable.

Clase 03.doc 16

Teorema Un sistema es alcanzable si y solo si cW es de rango n.

cW se llama matriz de controlabilidad.

Ejemplo

1

1 0 10 1 1k k kx x u+

= +

[1.40]

no es alcanzable porque 1 11 1cW

=

[1.41]

si tuviera dos entrada con una matriz Γ no singular, el sistema sería alcanzable.

Ejemplo dado

1

0

1 1 10,25 0 0,5

22

k k kx x u

x

+

= + − −

=

[1.42]

¿es posible encontrar una ley de control tal que

2

0,51

x−

=

?

La ecuación dice

Clase 03.doc 17

22 0 0 1x x u u= Φ +ΦΓ + Γ [1.43]

o sea

[ ]0 1

0,5 3,5 10,5

1 1 0,5u u

− = + + − −

[1.44]

0 10,5 4u u+ = − [1.45]

tiene solución.

Si se parte del origen y se quiere llegar a 2

32

x−

=

[ ]0 1

3 10,5

2 0,5u u

− = + −

[1.46]

no tiene solución El sistema no es alcanzable ya que

1 0,50,5 0,25cW

= − [1.47]

Partiendo del origen solo se pueden alcanzar los puntos que

pertenecen al subespacio 10,5

−

La característica de alcanzabilidad es independiente de transformaciones.

Clase 03.doc 18

1

1 1 1

nc

n

c

W

T T T T T T T

TW

−

− − −

= Γ ΦΓ Φ Γ = Γ Φ Γ Φ Γ

=

[1.48]

De ahí el porque del nombre de la forma canónica controlable

Ejemplo Sistema en forma canónica controlable

1 2 3

1

11 0 0 00 1 0 0

k k k

a a ax x u+

− − − = +

[1.49]

21 1 2

21

10 10 0 1

c

a a aW a

− − = Γ ΦΓ Φ Γ = −

[1.50]

la inversa es

1 21

1

10 10 0 1

c

a aW a=

= −

[1.51]

generalizando

Clase 03.doc 19

1 2 2 1

1 3 21

1

10 1

0 0 0 10 0 0 0 1

n n

n n

c

a a a aa a a

Wa

− −

− −=

=

[1.52]

- Seguimiento de Trayectorias Si la matriz Γ es de rango n, es posible llegar a un estado

en, a lo sumo, n pasos. Es necesario pero no suficiente tener n entradas. Si el sistema es SISO es fácil hacer seguir una trayectoria

kr .

Se hace

( )( )k k k

B qy u r

A q= = [1.53]

la acción de control es

( )( )k k

A qu r

B q= [1.54]

Si hay d muestras de retardo, la generación de la actuación es causal

Recordar cociente de polinomios en q: Solo tiene solución si u parte de estado inicial cero.

Tiene que tener inversa estable.

Clase 03.doc 20

1.4. Observabilidad

Definición: El estado 0 0x ≠ es no observable si existe un número finito 1 1k n≥ − en donde 10 0ky k k= ∀ ≤ ≤ resultando

00x x= y 10 0ku k k= ∀ ≤ ≤ .

El sistema es observable si, conociendo k entradas y k salidas es suficiente para conocer el estado inicial.

En un sistema tal como el [1.1] es calculable el efecto de la entrada y no se pierde generalidad si se hace 0ku = .

Se suponen conocidas las salidas 0 1 1, , , ny y y −

Con esto se puede plantear

0 0

1 1 0

11 1 0

nn n

y Cxy Cx C x

y Cx C x−− −

== = Φ

= = Φ

[1.55]

vectorialmente

0

10

11

nn

yCyC

x

yC −−

Φ = Φ

[1.56]

el estado inicial se puede reconstruir si la matriz de observabilidad

Clase 03.doc 21

1

o

n

CC

W

C −

Φ = Φ

[1.57]

tiene rango n. Teorema El sistema 5.1 es observable sii la matriz de observabilidad

tiene rango n. Ejemplo Sea el sistema

[ ]

1

1,1 0,31 0

1 0,5

k k

k k

x x

y x

+

− =

=

[1.58]

la matriz de observabilidad es 1 0,5

0,6 0,3o

CW

C−

= = Φ − [1.59]

tiene rango 1. En la figura siguiente se muestra la respuesta del sistema

para diferentes estados iniciales. Se observa que para todos los estados que están en una recta paralela a [ ]0,5 1 dan la misma salida. (b y d)

Clase 03.doc 22

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6x 10-17

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Clase 03.doc 23

1.5. Descomposición de Kalman Puede haber una parte observable y otra alcanzable. Son subespacios independientes de las coordenadas. Existe una transformación tal que el sistema resulta:

[ ]

11 12 1

221

31 32 33 34 3

43 44

1 2

0 00 0 0 0

0 0 0

0 0

k k k

k k

x x u

y C C x

+

Φ Φ Γ Φ = +Φ Φ Φ Φ Γ Φ Φ

=

[1.60]

en donde hay cuatro partes - oaS observable y alcanzable, oaS observable pero no

alcanzable, oaS no observable pero alcanzable, oaS ni observable ni alcanzable. La función de transferencia es única y se expresa como

( ) ( ) 11 11 1G q C qI −= −Φ Γ [1.61]

C-noO

u

C-O

noC-O

noC-noO

y

Clase 03.doc 24

1.6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al

muestreo Las matrices del sistema muestreado dependen del período

de muestreo. Para que el sistema muestreado sea alcanzable, el continuo

lo debe ser. Pero esta se puede perder al muestrear. La no observabilidad de los sistemas muestreados se

presenta en las llamadas oscilaciones oculta en donde un sistema continuo es observable y el discreto deja de serlo.

Ejemplo: Oscilador armónico.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

[ ]

1

cos 1 coscos

1 0

k k k

k k

T sen T Tx x u

sen T T sen T

y x

ω ω ωω ω ω+

− = +

=

[1.62]

el determinante de las matrices de controlabilidad y observabilidad es

( ) ( )( )( )

det 1 cos

detc

o

W sen T T

W sen T

ω ω

ω

= − −

= [1.63]

Ambas se pierden para T nω π= a pesar de que el sistema continuo es observable y controlable.

Clase 03.doc 25

1.7. Un Controlador Simple Ventajas de la realimentación (tanto continua como

discreta): - Mejoras en el transitorio - Disminuye la sensibilidad a cambios de parámetros del

sistema - Corrige errores en régimen permanente

1.7.1. Estado Estacionario Sea un lazo simple de realimentación. El error será

( ) ( )1

1k ke rR q G q

=+

[1.64]

Si la entrada es un escalón, aplicando el teorema del valor final, se puede calcular el error en régimen estacionario haciendo 1q = en [1.64].

El número de integradores en lazo abierto determina el tipo de referencia para la cual el sistema no tiene error estacionario.

Si en lazo abierto hay p integradores, el sistema no tendrá error estacionario para referencias polinómicas en k de orden menor a p.

Ejemplo Sea el sistema

Clase 03.doc 26

( ) ( )( )0,5

0,8 1k k kqy G q u u

q q−

= =− −

[1.65]

realimentando resulta

( )( )( )( )

0,8 10,8 1 0,5k k

q qe r

q q q− −

=− − + −

[1.66]

Si la referencia es un escalón el error final es cero (haciendo 1q = )

Otra forma de verlo es observando el integrador que posee el sistema en lazo abierto.

Si la referencia es una rampa se debe calcular

( )( )( )( )

( )( )

1

21

10,8 1lim lim 0,4

0,8 1 0,5 1kk z

z zz ze

z z z z

−

→∞ →

−− −= =

− − + − − [1.67]

En la literatura es frecuente representar la referencia o perturbación como generada por un impulso aplicado a cierto sistema:

( )k r kr H q δ= [1.68]

+

ykG(q)

-1

rk ek=uk

+Hr(q)

Si se quiere representar un escalón

Clase 03.doc 27

( )1r

qH qq

=−

[1.69]

o una rampa

( )( )21

rqH q

q=

− [1.70]

es más fácil aplicar el teorema del valor final. 1.8. Simulación

Es importante pero No olvidar que debe ir acompañada del análisis. Nunca se pueden simular los infinitos casos

1.1. Control de un Doble Integrador

( ) ( )( )2

0,5 11

qG q

q+

=−

[1.71]

Objetivo: seguir una trayectoria Tipo de control: digital, proporcional

[ ]k p k k p ku K r y K e= − = [1.72]

la ecuación característica es

( ) ( )21 0,5 1 0pq K q− + + = [1.73]

el sistema es inestable independiente de la ganancia

Clase 03.doc 28

Plano Z

1

Otro Control:

[ ]k p k d ku K e T y= − [1.74]

se muestrea también la velocidad

CADu*

1/s1/sCDAComputadorH(z)

ydy/dtur

Para calcular la relación entrada salida se observa que en el

sistema continuo

( ) dyu tdt

= [1.75]

como u es constante durante el muestreo,

1k k ky y u+ − = [1.76]

o 1

1k ky uq

=−

[1.77]

reemplazando resulta

Clase 03.doc 29

( )( )( ) ( )

0,5 11 1 0,5 1

pk k

d p p

K qy r

q q T K K q+

=− − + + +

[1.78]

Es un sistema de segundo orden con dos parámetros (las ganancias) para ajustar.

El sistema es estable para 0; 0,5; 2p d p dK T K T> > <

Root locus para 1,5dT =

Plano Z

1

- Respuesta al escalón Para 1pK = el sistema llega al valor final en dos muestras,

es el llamado control de tiempo finito. Para ganancias superiores hay un polo real negativo que da

el carácter oscilante de la respuesta

El límite es 43pK =

Clase 03.doc 30

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Cuidado!!! Si el sistema se representa como

1 2 1 22 0,5 0,5k k k k ky y y u u− − − −= − + + [1.79]

Se intenta seguir un referencia. Una opción es hacer

1 2 1 22 0,5 0,5k k k k kr y y u u− − − −= − + + [1.80]

y despejar u

Clase 03.doc 31

( ) ( )

( )( )( )

1 12 0,5 0,511 2 12

2 2 121 1

k k k k k

k k k

k k k

r y y u u

u q qr q y

qqu r yq q

+ −= − + +

+ = − −

−= −

+ +

[1.81]

la salida en lazo cerrado es

1k ky r −= [1.82]

Parece igual que el anterior pero la respuesta del último es la de la figura

0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Hay una oscilación oculta Algo se puede ver analizando el sistema discreto que en

lazo cerrado tiene una transferencia

Clase 03.doc 32

( )( ) ( )( )( )

2

12

11 2 1 2 1

11

k k

k k

q qy r

q q q q

q qr r

q q −

+=

+ − + − − + +

= =+

[1.83]

El sistema es de tercer orden. Hay una cancelación de polos y ceros Lo que pasa es que se pierde la observabilidad debido a la

elección del controlador.

- Oscilaciones Ocultas Son oscilaciones del sistema continuo no observadas por el

sistema discreto (también llamadas intersample ripple). Se pueden ver con simulación o con z-modificada Se deben, básicamente, a que el sistema está en lazo abierto

entre muestras Se distinguen dos tipos

- Oscilaciones debidas al sistema continuo - Oscilaciones debidas al controlador

El primer caso se puede deber a pérdida de observabilidad debida al muestreo.

En la función de transferencia se cancelan polos y ceros.

Clase 03.doc 33

Estas oscilaciones ocurren para ciertos valores de muestreo Se puede cambiar el período de muestreo y analizar

observabilidad El segundo tipo ocurre con ceros poco amortiguados que

son cancelados por el controlador. Son independiente del período de muestreo (caso doble

integrador) Resumen: No existen oscilaciones ocultas si el sistema continuo

no tiene modos no observables oscilantes y si los ceros inestables o cercanos a la inestabilidad no son cancelados.

Ejemplo:

( )( )2 2

11 0,02

G ss s

ππ

= ++ + +

[1.84]

con 2T = su FT discreta es

( ) 1 aG zz a−

=−

[1.85]

con 2a e−= el sistema discreto es de primer orden y el continuo es de

tercero. Esto indica que existirán oscilaciones ocultas.

Clase 03.doc 34

La figura muestra la respuesta al escalón del sistema continuo y sus muestras

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6