análisis de sensibilidad

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

Ing. Fernando Yépez V., MBA.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La búsqueda de la solución de un modelo de decisiones es sólo el primer paso del análisis. También

es importante que el gerente comprenda cuán sensible es la solución a los cambios en las

suposiciones y a los factores exógenos. Esto también se aplica a los modelos de programación lineal,

y una de las características más interesantes de los modelos de programación lineal es que gran

parte de este análisis de sensibilidad proviene directamente de la solución del problema.

Las soluciones óptimas a los problemas de Programación Lineal se han encontrado en lo que se

llaman suposiciones deterministas, que significa que suponemos toda la certeza en los datos y las

relaciones de un problema; es decir, los precios son fijos, se conocen los recursos y se ha establecido

el tiempo necesario para producir exactamente una unidad. No obstante, en el mundo real las

condiciones son dinámicas y cambiantes. En este escenario es importante plantearse la siguiente

pregunta: ¿Cómo se manejaría esta aparente discrepancia?

Cuando se encuentra la solución óptima, se reconoce la importancia de ver qué tan sensible es la

solución ante los datos y las suposiciones del modelo. Por ejemplo, si una organización se da cuenta

de que la utilidad por unidad no es de $5 como se había estimado, sino que está más cerca de $5.50,

¿cómo sería la combinación de la solución final y cómo cambiaría la utilidad total? Si se tuvieran

recursos adicionales, como 10 horas laborales o 3 horas de tiempo de máquina, ¿cambiaría la

respuesta del problema?

Estos análisis se utilizan para examinar los efectos de los cambios en tres áreas:

1. tasas de contribución de cada variable,

2. coeficientes tecnológicos (los números en las ecuaciones de cada restricción) y

3. recursos disponibles (las cantidades en el lado derecho de cada restricción).

Esta tarea se llama alternativamente análisis de sensibilidad, análisis de posoptimalidad,

programación paramétrica o análisis de optimalidad.

EJERCICIO.-

Una empresa fabrica dos productos A y B, uno requiere tiempo en dos máquinas. La primera

máquina tiene 24 horas disponibles y la segunda tiene 16. Cada unidad del producto A requiere 2

horas en ambas máquinas y cada unidad del producto B necesita 3 horas en la primera máquina y

na hora en la segunda. Los beneficios son de 6 dólares por unidad de A y de 7 dólares por unidad de

B, y la empresa puede vender todas las unidades que fabrique de ambos productos. El objetivo es

maximizar el beneficio.

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

A) PROBLEMA ORIGINAL.-

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + X2 ≤ 16

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(6) + 7(4)

Z(max) = 64

X1 = 6 unidades del producto A

X2 = 4 unidades del producto B

X1 X2

VARIABLES 6 4

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 64

RESTRICCIONES UTILIZADO SIGNO DISPONIBLE NO

UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 24 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 16 0

B) AUMENTAR UNA RESTRICCIÓN: Suponer que el límite del mercado es la venta de 6 unidades

del producto B.-

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + X2 ≤ 16

X2 ≤ 6

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(6) + 7(4)

Z(max) = 64



Con esta nueva restricción la solución no cambia sigue siendo 64 dólares; esta restricción se llama

“No Activa o No Efectiva” porque no forma parte de la solución óptima, y por tanto, no altera la

solución si se efectúa un cambio en ésta, como lo veremos más adelante.

X1 X2

VARIABLES 6 4

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 64


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 24 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 16 0

DEMANDA B 1 4 <= 6 2

PRECIO DUAL O PRECIO SOMBRA:

Precio Dual, Valor Nominal o Precio Sombra es el cambio incremental en los beneficios por cambio

unitario en el término independiente de una restricción.

C) CAMBIAR EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA PRIMERA RESTRICCIÓN: Suponer que se puede

agregar una hora a la disponibilidad de la máquina1; es decir de 24 horas a 25 horas.-

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 25

2X1 + X2 ≤ 16

X2 ≤ 6

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(5,75) + 7(4,5)

Z(max) = 66

X1 = 5,75 unidades del producto A

X2 = 4,5 unidades del producto B

INCREMENTO NETO = 6(-0,25) + 7(0,5) = 2 PRECIO SOMBRA

X1 X2

VARIABLES 5,75 4,5

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 66


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 25 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 16 0

DEMANDA B 1 4,5 <= 6 1,5

D) CAMBIAR EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA PRIMERA RESTRICCIÓN: Suponer que se puede

disminuir una hora a la disponibilidad de la máquina1; es decir de 24 horas a 23 horas.-

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 23

2X1 + X2 ≤ 16

X2 ≤ 6

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(6,25) + 7(3,5)

Z(max) = 62



REDUCCIÓN NETA = 6(0,25) +7 (-0,5) = -2 PRECIO SOMBRA

El Precio sombra se mantiene; pero con una disminución de dos dólares.

B’

X1 X2

VARIABLES 6,25 3,5

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 62


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 23 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 16 0

DEMANDA B 1 3,5 <= 6 2,5

El precio dual, precio sombra, o valor marginal representa un aumento incremental en el beneficio

cuando una restricción, se amplía en una unidad y una reducción en el beneficio cuando la

restricción se estrecha.

E) CAMBIAR EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA SEGUNDA RESTRICCIÓN: Suponer que se puede

aumentar una hora a la disponibilidad de la máquina 2; es decir de 16 horas a 17 horas.

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + X2 ≤ 17

X2 ≤ 6

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(6,75) + 7(3,5)

Z(max) = 65

B’’

X1 X2

VARIABLES 6,75 3,5

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 65


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 24 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 17 0

DEMANDA B 1 3,5 <= 6 2,5



INCREMENTO NETO = 6(0,75) +7 (-0,5) = 1 PRECIO SOMBRA

F) CAMBIAR EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA SEGUNDA RESTRICCIÓN: Suponer que se puede

disminuir una hora a la disponibilidad de la máquina 2; es decir de 16 horas a 15 horas.-

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + X2 ≤ 15

X2 ≤ 6

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(5,25) + 7(4,5)

Z(max) = 63



REDUCCIÓN NETA = 6(-0,75) +7 (0,5) = -1 PRECIO SOMBRA

G) CAMBIAR EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA TERCERA RESTRICCIÓN:

Si se aumenta una unidad a la demanda máxima del producto B; es decir de 6 horas a 7 horas, o

se disminuye una unidad a la demanda máxima del producto B; es decir, de 6 a 5, ninguno de los

cambios afecta la solución. En este caso el precio sombra será cero. Por tanto, esta restricción que

no afecta a la solución se denomina restricción “no efectiva”.

“El precio sombra de cualquier restricción no efectiva será siempre cero”.

X1 X2

VARIABLES 5,25 4,5

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 63


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 24 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 15 0

DEMANDA B 1 4,5 <= 6 1,5

Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + X2 ≤ 16

X2 ≤ 7

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(6) + 7(4)

Z(max) = 64



INCREMENTO NETO = 6(0) +7 (0) = 0 PRECIO SOMBRA

X1 X2

VARIABLES 6 4

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 64


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 24 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 16 0


Función Objetivo:

Z(max) = 6X1 + 7X2

Restricciones:

Sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + X2 ≤ 16

X2 ≤ 5

X1, X2 ≤ 0

Solución Óptima

Z(max) = 6(6) + 7(4)

Z(max) = 64



REDUCCIÓN NETA = 60) +7 (0) = 0 PRECIO SOMBRA

G) INTERVALOS DE VARIACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO:

Para determinar el intervalo de variación de los coeficientes de la función objetivo, debemos

considerar en primer lugar los coeficientes o márgenes de contribución de la función objetivo. La

pendiente de la recta que representa la función objetivo se estructura con estos coeficientes.

Luego para evaluar los límites superior e inferior del intervalo, se definen las restricciones que

forman parte de la solución óptima.

Para el caso del problema, la pendiente de la función objetivo estará dada por:

m = C1 = - 6 = - C1 = - 6

C2 7 7 C2

Las dos restricciones identificadas con la solución óptima y su respectiva pendiente son:

2X1 + 3X2 ≤ 24

m = - 2

3

2X1 + X2 ≤ 16

m = - 2

1

Cálculo del intervalo del coeficiente C1:

Ordenar las pendientes de menor a mayor.

X1 X2

VARIABLES 6 4

UTILIDAD

F.OBJETIVO 6 7 64


UTILIZADO

MÀQUINA 1 2 3 24 <= 24 0

MÀQUINA2 2 1 16 <= 16 0


- 2 <= -C1 <= - 2

7 3

- 2 <= -C1 <= - 2 X(-1)

7 3

2 >= C1 >= 2

7 3

2 <= C1 <= 2 X(7)

3 7

14 <= C1 <= 14

3

4,67 <= C1 <= 14

Cálculo del intervalo del coeficiente C2:

- 2 <= - 6 <= - 2

C2 3

- 2 <= - 6 <= - 2 X(-1)

C2 3

2 >= 6 >= 2

C2 3

2 <= 6 <= 2 (X-1)

3 C2

3 >= C2 >= 1

2 6 2

1 <= C2 <= 3 X(6)

2 6 2

3 <= C2 <= 9

H) INTERVALOS DE VARIACIÓN DE LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES DE LAS RESTRICCIONES:

Los límites superior e inferior del intervalo están dados por los puntos de coordenadas que coinciden

con el punto de intersección de la recta que recorre hacia arriba o hacia abajo desde la solución

óptima hacia el próximo punto de cruce de una restricción que sea “efectiva” con un eje coordenado

o con otra restricción (no necesariamente efectiva).

RESTRICCION 1:

2X1 + 3X2 ≤ 24

LÍMITE SUPERIOR:

Si la recta correspondiente a esta restricción la recorremos hacia arriba, al primer punto de cruce

de una restricción “efectiva”, ésta corresponde a la intersección de la restricción 2 (efectiva) con la

restricción 3, tal como lo demuestra la siguiente gráfica.

Reemplazando estas coordenadas (X1 = 5 y X2 = 6) en la restricción:

2(5) + 3(6) = 28

2X + 3Y = 28

El aumento permitido es de: 28 – 24 = 4

LÍMITE INFERIOR:

Si la recta correspondiente a esta restricción la recorremos hacia abajo, el primer punto de cruce de

una restricción “efectiva”, ésta corresponde a la intersección de la restricción 2 (efectiva) con la eje

coordenado de la ordenada X, tal como lo demuestra la siguiente gráfica.


2(8) + 3(0) = 16

2X + 3Y = 16

La reducción permitida es de: 24 – 16 = 8

El intervalo del término independiente de la restricción 1 es:

16 <= b1 <= 28

RESTRICCION 2:

2X1 + X2 ≤ 16

LÍMITE SUPERIOR:

Si la recta correspondiente a esta restricción la recorremos hacia arriba, al primer punto de cruce

de una restricción “efectiva”, ésta corresponde a la intersección de la restricción 1 (efectiva) con el

eje de coordenadas X, tal como lo demuestra la siguiente gráfica.


2(12) + (0) = 24

2X + Y = 24

El aumento permitido es de: 24 – 16 = 8

LÍMITE INFERIOR:

Si la recta correspondiente a esta restricción la recorremos hacia abajo, el primer punto de cruce de

una restricción “efectiva”, ésta corresponde a la intersección de la restricción 1 (efectiva) con la

restricción 3 (no efectiva), tal como lo demuestra la siguiente gráfica.


2(3) + (6) = 12

2X + Y = 12


12 <= b2 <= 24

RESTRICCION 3:

X2 ≤ 6

LÍMITE INFERIOR:

Este recurso corresponde a una restricción no efectiva, y como tiene el signo <= (menor o igual);

hacia abajo estará limitado por la solución óptima (X1 = 6, X2 = 4).

X2 ≤ 6 X2 = 4


LÍMITE SUPERIOR:

Por tratarse de una restricción no efectiva, un cambio hacia arriba en cualquier valor no afectará la

solución; por tanto, el límite superior será infinito.

El aumento permitido es: infinito

4 <= b3 <= Infinito

CUADRO RESUMEN

AUMENTO PERMITIDO REDUCCIÓN PERMITIDA

C1 14 – 6 = 8 6 - 4,67 = 1,33

C2 9 – 7 = 2 7 - 3 = 4

RESTRICCIÓN 1 28 – 24 = 4 24– 16 = 8

RESTRICCIÓN 2 24 – 16 = 8 16 – 12 = 4

RESTRICCIÓN 3 Infinito 6 – 4 = 2

I) RECURSOS ABUNDANTES Y AGOTADOS:

La determinación de los recursos agotados y abundantes está en función de la solución óptima:

Solución Óptima: X1 = 6 ; X2 = 4

Restricciones:

R1: 2X1 + 3X2 = 24

2(6) + 3(4) = 24

HOLURA: 24 -24 = 0 RECURSO AGOTADO

R2: 2X1 + X2 = 16

2(6) + (4) = 16

HOLURA: 16 - 16 = 0 RECURSO AGOTADO

R3: X2 = 6

(4) = 4

HOLURA: 6 - 4 = 2 RECURSO ABUNDANTE

Como se puede observar las máquinas 1 y 2 han consumido todas las horas disponibles (su holgura

es cero), este tipo de recursos se denominan “agotados”; mientras que en la restricción 3, existe un

consumo de sólo cuatro unidades con respecto a su limitación de 6 unidades, sobran por tanto dos,

este recurso se denomina “abundante”.

análisis de sensibilidad

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