análisis de redes - investigación de operaciones. talleres paso a paso

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Talleres de teoría de redes resueltos

PRESENTADO A:Ing Esp OSCAR PALACIO LEÓN, M.Sc, M.Sc

DOCTORANDO EN INGENIERIADOCTORANDO EN PROYECTOS

PRESENTADO POR:

Jessica Liliana Leguizamo Velosa 2902202Oscar Leonardo Ortiz Castellanos 2901510

TALLER GRUPO C:


PRIMER PUNTO.



ENUNCIADO:1.La compañía ABC posee tres Depósitos (Di, con i = 1, 2, 3), donde almacena cemento a granel y desde los que abastece a cuatro Puntos de Ventas (PVj, con j = 1, 2, 3, 4). La tabla adjunta provee la información sobre la capacidad máxima de bodegaje de cada deposito, la demanda máxima de cada punto de venta y las capacidades máximas de transporte en las posibles rutas entre depósitos y puntos de ventas (todo ello en t/Semana). Resuélvase como un problema de flujo máximo.Interpretar la solución si el precio de adquisición es de 50,000 USD/t

PV1 PV2 PV3 PV4 CAPACIDAD DE BODEGAJE

D1 80 - 70 - 150

D2 - 60 90 85 300

D3 40 60 - 50 250

DEMANDA 130 200 150 250



Se procede a diseñar una red que satisfaga la tabla anteriormente propuesta, con el fin de realizar el método de flujo máximo.

b

D1

D2

D3

150

300

250

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

80

70

60 90

85

40

60

50

d

130

200

150

250

DestinodemandaOrigen

bodegaje

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0


Se asume que el nodo B es el origen y el D el destino, las trayectorias que se ven en la figura son de flujo positivo de izquierda a derecha exclusivamente. Iniciamos con la ruta B-D1 D1-PV1 PV1-D con flujo positivo máximo de 80. se puede iniciar con cualquier ruta, se suma el valor MAXIMO a transportar por esta ruta, esto es el mayor numero de rama en la trayectoria, para este caso es 80 y se restan de cada nodo conforme van saliendo las unidades.

b

D1

D2

D3

70

300

250

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

0

70

60

90

85

40

60

50

d

50

200

150

250


bodegaje

80

80

(-80) (+80)

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0


Ruta B-D1 D1-PV3 PV3-D con capacidad máxima positiva de 70, en negro se muestran las rutas que pierden capacidad de transportar en flujo positivo.

b

D1

D2

D3

0

300

250

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

0 70

60

90

85

40

60

50

d

50

200

80

250


bodegaje

150

80

(-150)(+150)

0

0

0

0

0 0

0

70

0

0

0

0

0

0

0



b

D1

D2

D3

0

240

250

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

0 70

0

90

85

40

60

50

d

50

140

80

250


bodegaje

150

80

(-210)(+210)

0

60

0

0

0 0

0

70

60

0

0

60

0

0

0



b

D1

D2

D3

0

160

250

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

0 150

0

10

85

40

60

50

d

50

140

0

250


bodegaje

150

80

(-290)(+290)

0

140

0

0

0 0

0

150

60

0

0

60

0

0

0



b

D1

D2

D3

0

75

250

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

85 150

0

10

0

40

60

50

d

50

140

0

165


bodegaje

150

80

(-375)(+375)

0

225

0

0

0 85

0

150

60

0

0

60

0

0

0


Ruta B-D3 D2-PV2 PV2-D con capacidad máxima positiva de 60, en negro se muestran las rutas que pierden capacidad de transportar en flujo positivo y en verde las rutas que aun no se han tocado.

b

D1

D2

D3

0

75

190

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

85 150

0

10

0

40

0

50

d

50

80

0

165


bodegaje

150

80

(-435)(+435)

0

225

60

0

0 85

0

150

120

0

0

60

0

60

0


Ruta B-D3 D2-PV1 PV1-D con capacidad máxima positiva de 40, en negro se muestran las rutas que pierden capacidad de transportar en flujo positivo y en verde las rutas que aun no se han tocado.

b

D1

D2

D3

0

75

150

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

85 150

0

10

0

0

0

50

d

10

80

0

165


bodegaje

150

120

(-475)(+475)

0

225

100

0

0 85

0

150

120

0

0

60

40

60

0


Por ultimo evaluamos el recorrido de la Ruta B-D3 D2-PV1 PV1-D con capacidad de 50. sabemos que es la ultima opción puesto que las demás rutas se encuentran cerradas pues no pueden transportar unidades hasta el nodo final.

b

D1

D2

D3

0

75

100

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

135 150

0

10

0

0

0

0

d

10

80

0

115


bodegaje

150

120

(-525)(+525)

0

225

150

50

0 85

0

150

120

0

0

60

40

60

0


Una vez culminadas todas las posibles rutas para llevar desde el bodegaje hasta los puntos de venta y de demanda. Es posible inferir que la solución al problema de flujo máximo es de 525 unidades, esto quiere decir que la empresa ABC puede transportar como máximo 525 toneladas de cemento a la semana a un costo de 26’250.000 USD.

b

D1

D2

D3

0

75

100

Pv1

Pv2

Pv3

Pv4

135 150

0

10

0

0

0

0

d

10

80

0

115

Destinodemanda

Origenbodegaje

150

120

(-525)(+525)

0

225

150

50

0 85

0

150

120

0

0

60

40

60

0

SEGUNDO PUNTO.


ENUNCIADO:

2.Guillermo Acosta vive en el vecindario A y trabaja en el vecindario F, que son barrios de la Ciudad Tierra Grata (Locolombia), está buscando una Ruta Automovilística que le permita minimizar el tiempo matutino de viaje entre los dos barrios. El señor Acosta ha registrado los tiempos de viaje (en minutos) en las principales vías que conectan a los dos barrios, estos datos se muestran en la tabla adjunta. Determínese la mejor ruta para Don Guillermo.


A B C D E F

A 16 18 30 21

B 16 23 26 14

C 18 23 18 15 20

D 30 18 17 16

E 21 26 15 17

F 14 20 16


Paso 1:Nodos: A B C D E F

AB-16 BF-14 CE-15 DF-16 EC-15

AC-18 BC-23 CD-18 DE-17 ED-17AE-21 BE-26 CF-20 DC-18 EB-26AD-30 CB-23

Se organizan los datos de menor a mayor teniendo en cuenta los que están conectados y también que el nodo de origen (A) no puede ser destino y que en el nodo destino (D) no puede haber ninguna rama.


Datos de nodos y ramas organizados de menor a mayor de acuerdo a la distancia recorrida

Nodos A(0)* B C D E F

AB-16 BF-14 CE-15 DF-16 EC-15

AC-18 BC-23 CD-18 DE-17 ED-17AE-21 BE-26 CF-20 DC-18 EB-26AD-30 CB-23

Paso 2:

Se asigna a la columna A, el valor (0) señala el menor valor de la columna marcada con el * y seleccionamos el menor de los valores de está columna y se asigna a B, en este caso es AB 16 por lo tanto marcamos con * y procedemos a eliminar las ramas cuyo destino sea B.


Paso 3:Nodos A(0)* B*(16) C D E F

AB-16 BF-14 CE-15 DF-16 EC-15

AC-18 BC-23 CD-18 DE-17 ED-17AE-21 BE-26 CF-20 DC-18

AD-30

Una vez establecida la nueva matriz, se procede a sumar el valor asignado a la columna A con el siguiente valor que aparece en la columna, y se realiza en mismo procedimiento con la columna B, su valor asignado más el siguiente valor en la columna así:

• 0 + 18 = 18 Este es el menor valor, se selecciona y se asigna a la columna C

• 16 + 14 = 30 UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

Paso 4:Nodos

A*(0) B*(16) C* (18) D E F

AB-16 BF-14 CE-15 DF-16 ED-17

AC-18 BE-26 CD-18 DE-17

AE-21 CF-20AD-30

Ahora en esta tabla eliminamos todas las ramas que tengan como destino el nodo C.


Paso 5:Nodos A*(0) B*(16) C* (18) D E F

AB-16 BF-14 CE-15 DF-16 ED-17AC-18 BE-26 CD-18 DE-17

AE-21 CF-20AD-30

Con la matriz que obtenemos eliminando las ramas cuyo destino es C, realizamos el mismo proceso del paso tres y sumamos el valor asignado a cada una de las columnas (A,B,C) con los valores que siguen el las columnas de esta manera:

• 0+21=21 Nuevamente seleccionamos el de menor valor para asignarlo a la columna que sigue que es la D.

• 16+14=30• 18+15=33


Paso 6:

Ahora procedemos a eliminar nuevamente aquellas ramas cuyo destino sea E.

Nodos A(0) B*(16) C*(18) D * (21) E F

AB-16 BF-14 CD-18 DF-16 ED-17

AC-18 CF-20AE-21

AD-30


Paso 7:

Ahora con nuestra nueva matriz procedemos a sumar cada valor asignado por columna con el valor subsiguiente en la misma así (como en la columna A, ya no hay valores por sumar se omite):

• 16+14=30 Seleccionamos el menor valor y lo asignamos a la columna E.• 18+18=36• 21+16=37

Nodos A(0) B*(16) C*(18) D * (21) E*(30) F

AB-16 BF-14 CD-18 DF-16 ED-17

AC-18 CF-20AE-21

AD-30


Paso 8:

Y eliminamos todas las ramas cuyo valor de destino sea D.

Nodos A(0) B*(16) C*(18) D * (21) E*(30) F

AB-16 BF-14 CF-20 DF-16

AC-18

AE-21

AD-30


Paso 9:

Procedemos a sumar los valores asignados a cada columna (B,C,D) con los valores correspondientes así:

• 16+14=30 Este es el menor valor por lo tanto lo asignamos a nuestra columna de destino F.

• 18+20=38• 21+16=37

Nodos A(0) B*(16) C*(18) D * (21) E*(30) F*(30)

AB-16 BF-14 CF-20 DF-16

AC-18

AE-21

AD-30


Paso 10:

Eliminamos las ramas que contengan el destino pero que no estén seleccionadas.

Nodos A(0) B*(16) C*(18) D * (21) E*(30) F*(30)

AB-16 BF-14

AC-18

AE-21

AD-30


Paso 11:

Vamos a determinar la ruta más corta definiendo como parte final aquella rama que seleccionamos que contenga nuestro nodo destino está es BF, por lo tanto ahora procedemos a seleccionar una rama que tenga como destino el nodo B, esto es AB, por lo tanto como A es nuestro nodo destino determinamos la ruta más corta.

RUTA MÁS CORTA: [AB(16);BF(14)]16+14= 30 Minutos.

Nodos A(0) B*(16) C*(18) D * (21) E*(30) F*(30)

AB-16 BF-14

AC-18

AE-21

AD-30


Paso 12:

C

FA

E

D

B

16

30

21

23

18

17

14

20

16

26

15

Solución: Como podemos observar, el Sr Guillermo Acosta puede salir de su casa (A) y llegar a su trabajo (B) en un término de 30 minutos recorriendo la red señalada.


TERCER PUNTO.



ENUNCIADO:3.Resuélvase el problema de RECORRIDO MÍNIMO para la Red que se adjunta a continuación. Los números sobre las Ramas representan los metros de cable coaxial requeridos para conectar las terminales de computador a la CPU de la sala de Sistemas No 3 de la Universidad Militar Nueva Granada.

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

18

21

11

24

16

1413


1. Los problemas de recorrido mínimo, o arboles de mínima expansión, forman redes no dirigidas, por lo tanto es posible iniciar en cualquier punto, se escoge el nodo D, y se conecta con B por ser el más corto de los recorridos.

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

1821

11

24

16

1413

B

D10 R = 10


R = 10 + 16 = 26

A

D

16

Como A y B se conectan entre si, y esta rama es mas larga, se descarta.

2. Se analiza el nodo D y se seleccionan las ramas que conectan este con los demás nodos.


3. Con el nodo E.

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

18

21

11

24

16

1413

E

11

D

Se analiza de la misma manera la situación de los nodos C, E y G, solo C y E están conectados entre si, y tienen distancias mas cortas directamente por D.


4. Ahora con el nodo C, como se observa, no es relevante el orden en el que se seleccionen las rutas, siempre y cuando los nodos recién conectados no tengan otra posibilidad de ingresar a la red con recorrido mínimo.

C

D

13

R = 10 + 16 + 13 + 11 = 50


B

A

D

E

G

F

17

10

21

16

1821

11

24

16

1413

5. Se observa que el nodo D solo tiene una conexión pendiente, pero como a la red ya ingreso el nodo E se analiza cual de estos es mas adecuado por ser el menor para conectar los nodos que faltan (amarillo), en este caso el nodo G. (se descarta la rama de BF puesto que sigue siendo mas larga).

C


G

14

e

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

1821

11

24

16

1413

R = 10 + 16 + 13 + 11 + 14 = 64


6. Al analizar la red resultante se observa que las únicas salidas posibles de la red al nodo que falta es por B o por G, (amarillo) para llegar a F. como es un problema de ruta mas corta se escoge la conexión GF.

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

1821

11

24

16

1413


G

F

16

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

1821

11

24

16

1413

R = 10 + 16 + 13 + 11 + 14 + 16 = 80


Ahora se comprueba que todos los nodos estén conectados y obtenemos así la disposición de manera que todos los computadores se conecten utilizando la menor cantidad de cable coaxial posible, esto es 80 metros, de la siguiente manera:

B

A

C

D

E

G

F

17

10

21

16

18

21

11

24

16

1413

A

C

D

E

G

F

10

16

11

16

1413

b

R = 10 + 16 + 13 + 11 + 14 + 16 = 80

TALLER GRUPO A:


PRIMER PUNTO.


ENUNCIADO:

1. Estados Unidos de América, China y Alemania proveen de PCs a Colombia y Perú a través de Panamá que actúa como intermediario. Panamá tiene limitado el número de pedidos por día que puede servir a un número de siete pedidos. Además, Estados Unidos de América pude servir a Colombia un máximo de tres pedidos directos (Es decir, sin pasar por Panamá), y China un máximo de dos pedidos a Perú, también sin intermediarios.

Se desea establecer el máximo número de pedidos que llegan a Colombia y Perú si la oferta de Estados Unidos de América es de cuatro pedidos, la de China de ocho pedidos y la de Alemania de tres, siendo las demandas de cinco pedidos para Colombia y siete para Perú. Resuélvase como un problema de Flujo Máximo


PASO 1:

Como primera medida analizamos la información que el problema nos suministra, para así poder hallar el nodo origen (fuente) y el nodo destino (destino).

El problema nos indica que la mercancía es despachada desde Estados Unidos, China y Alemania estos son los países que ofertan por lo tanto se creara un nodo definido como OFERTA y este será el nodo de origen, ya que para hallar un flujo máximo se debe definir SOLO UNA FUENTE, de esta manera cumplimos con el requisito que es solicitado para poder resolver este modelo.

De igual manera se define un nodo DEMANDA que será nuestro destino, ya que, los países que reciben la mercancía (la demandan) son Colombia y Perú, y así como no podemos tener mas de un nodo de origen tampoco se puede desarrollar el problema con múltiples destinos.


Paso 2: Procedemos a realizar la red.

D

C

P

I

CH

E

A

O

4

0

30

5

0

0

30 3

0

0

0

0

1

0

60

8

2

Fuente Destino

7

5

2


CH

A

E

O

D

P

C

I

ESTADOS UNIDOS

OFERTA

ALEMANIA PERÚ

COLOMBIA

DEMANDA

PANAMÁ

CHINAUNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

Ahora de acuerdo al planteamiento definimos que cantidad puede ser transportada por cada nodo con flujo positivo:

1. OE puede transportar 4 pedidos.

2. EC puede transportar 3 pedidos.

3. CD puede transportar 5 pedidos.

4. OC puede transportar 8 pedidos.

5. CP puede transportar 2 pedidos.

6. PD puede transportar 7 pedidos.

7. OA puede transportar 3 pedidos.

8. AI puede transportar 3 pedidos.

9. EI puede transportar 1 pedidos.

10. CI puede transportar 6 pedidos.

11. IP puede transportar 5 pedidos.

12. IC puede transportar 2 pedidos.


Paso 4: Empezamos a analizar los diferentes caminos para llegar de la fuente al destino así:

D

C

P

I

C

E

A

O

4

0

30

5

0

0

30 3

0

0

0

0

1

0

60

8

2

Fuente Destino

7

5

2


Como el máximo flujo que se puede transportar en esta ruta es de 3 pedidos, procedemos a restar estos valores de los nodos y los sumamos a los nodos a los que ingresan así:

D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

2

3

0

30 3

0

0

0

0

1

0

60

8

2

Fuente Destino

(-3) (+3)

7

5

2


Continuamos analizando una nueva ruta con flujo positivo, la nueva ruta es:

D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

2

3

0

30 3

0

0

0

0

1

0

60

8

2

Fuente Destino

(-3) (+3)

7

5

2



D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

2 3

2

30 3

0

0

0

2

1

0

62

6

0

Fuente Destino

(-5) (+5)

5

5

2


Continuamos con la nueva ruta encontrada con flujo positivo a analizar, esta es:

D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

2

3

2

30 3

0

0

0

2

1

0

62

6

0

Fuente Destino

(-5) (+5)

5

5

2



D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

0

5

2

12 1

2 0

0

2

1

0

62

6

0

Fuente Destino

(-7) (+7)

5

2

5


Otra ruta que también permite flujo positivo desde el origen al destino es:

D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

0

5

2

12 1

2 0

0

2

1

0

62

6

0

Fuente Destino

(-7) (+7)

5

2

5



D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

0

5

7

12 1

20

5

2

1

5

17

1

0

Fuente Destino

(-12) (+12)

0

2

0


Verificamos nuevamente si existe alguna otra ruta que nos permita flujo positivo desde la oferta hasta la demanda:

D

C

P

I

CH

E

A

O

1

3

03

0

5

7

12 1

2 0

5

2

1

5

17

1

0

Fuente Destino

(-12) (+12)

0

2

0


SOLUCIÓN:

Después de realizar este cuarto recorrido se evidencia que no hay posibilidad de realizar flujo positivo con ninguna otra ruta por lo cual se define que el flujo máximo que se puede transportar desde la fuente (OFERTA) hasta el destino (DEMANDA) es de 12 pedidos por día.


SEGUNDO PUNTO.


Enunciado:

2. Resuélvase el problema de Recorrido Mínimo para la Red que se adjunta a continuación. Los números sobre las Ramas representan los metros de cable coaxial requeridos para conectar las terminales de computador a la CPU de la sala de Sistemas No 3 de la UMNG

A

G

D

C

B

F

E

10

4

1

2 1

4

78

10

73

5

3


Solución:

Seleccionamos arbitrariamente un nodo inicial, vamos a tomar el nodo A ahora procedemos a analizar cada una de las ramas conectadas a este nodo y seleccionar la que tiene el menor valor para conectarla a la nueva red de recorrido:

A D1

RAMA A METROS

AE 10

AB 2

AD 1

AC 4


Ahora procedemos a analizar aquellas ramas que estén conectadas tanto al nodo A como al nodo D para de esta manera conectarlos ahora a la red, el análisis se realiza de la misma manera, seleccionando el de menor valor:

AD

B

1

1

RAMA A METROS RAMA D METROS

AE 10 DB 1

AB 2 DC 4

AC 4 DF 10

DE 7

DG 7


Continuamos analizando los diferentes nodos, ahora los que están conectados a A, D y B y de la misma manera que en los pasos anteriores tomamos el de menor valor y lo unimos a nuestra red de recorrido.

AD

C

B

1

1

4

Nota: Debemos tener en cuenta que como existen dos datos iguales inferiores se selecciona uno de manera arbitraria, en este caso tomamos DC 4

RAMA A METROS RAMA D METROS

AE 10 DC 4

AC 4 DF 10

DE 7

DG 7

Continuamos con el análisis de los valores correspondientes a los nodos que aun no están conectados a la red, seleccionando el de menor valor de esta manera obtenemos:

AD

C

B

1

1

4

RAMA A METROS RAMA D METROS RAMA C METROS

AE 10 DF 10 CG 3

DE 7

DG 7

G3


Repetimos el mismo procesos pero evaluando los nodos que aun no están conectados a la red de recorrido y que tienen conexión con los nodos presentes en esta que son: A,B,C,D y G de está manera obtenemos:

AD

C

B

1

1

4G3

RAMA A METROS RAMA D METROS RAMA G METROS

AE 10 DE 7 GF 3

DF 10 GE 5

F

3


Volvemos a analizar los nodos y observamos que ya están conectados en su mayoría la totalidad de los nodos, por consiguiente procedemos a analizar aquellos que tienen conexión con el nodo E, el cual es el único que falta por conectar a nuestra red de recorrido, obteniendo:

AD

C

B

1

1

4G3

F

3

RAMA A METROS RAMA D METROS RAMA G METROS

AE 10 DE 7 GE 5

E

5


De esta manera obtenemos la red de recorrido mínimo.

Cuya solución es:

Z*: 1+1+4+3+3+5= 18 metros

AD

C

B

1

1

4G3

F

3

E

5

Podemos concluir que se requieren 17 metros de cable para conectar las terminales de computador a la CPU de la sala de Sistemas No 3 de la UMNG.


TERCER PUNTO.



Enunciado:

3. Guillermo Acosta vive en Ridgewood y trabaja en Whippany, que son distritos del estado de Nueva Jersey, está buscando una Ruta Automovilística que le permita minimizar el tiempo matutino de viaje entre los dos distritos. El señor Acosta ha registrado los tiempos de viaje (en minutos) en las principales vías que conectan a los dos distritos, estos datos se muestran en la tabla adjunta. Determínese la mejor ruta para Don Guillermo.

Ridgewood Clifton Orange Troy Hills Parsippany Whippany

Ridgewood … 18 … 32 … …

Clifton 18 … 12 28 … …

Orange … 12 … 17 … 32

Troy Hills 32 28 17 … 4 17

Parsippany … … … 4 … 11

Whippany … … 32 17 11 …


El primer paso en este tipo de ejercicios consiste en dibujar la red para poder iniciar con el procedimiento de la ruta mas corta , con esta grafica de la red, se puede diseñar la tabla que nos exige el método.

T

R

C

O

P

W

28

18

12

32

17

4

32

17

11

Origen

Destino


1. Se construye una tabla maestra, esta contiene las ciudades por columna y debajo de cada ciudad las distancias que hay con cada una de los nodos conectados, estos valores se organizan de forma ascendente, la distancia mas corta ira primero, es importante en esta tabla descartar las ramas que tengan al nodo de origen (Ridgewood) como su segundo nodo y aquellas que salgan del nodo destino (Whippany).

Ridgewood Clinton Orange Troy hills Parsippany Whippany

RC 18 CO 12 OC 12 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28 OT 17 TW 17 PW 11

OW 32 TO 17

TC 28


2. Se marca con un asterisco la fuente (Ridgewood) y se le asigna el valor de cero (0) en paréntesis, es decir, la distancia.

3. Ahora, como las distancias están organizadas de menor a mayor se toma la primera, es decir, RC 18, y se encierra en un circulo.

R *(0) C O T P W

RC 18 CO 12 OC 12 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28 OT 17 TW 17 PW 11

OW 32 TO 17

TC 28


R *(0)

C *(18)

O T P W

RC 18 CO 12 OC 12 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28 OT 17 TW 17 PW 11

OW 32

TO 17

TC 28

4. se pasa a la columna que tiene como destino el nodo encerrado en el circulo es decir la columna C y a esta se le asigna entre paréntesis y con asterisco la distancia (18).

R *(0)

C *(18)

O T P W

RC 18 CO 12 OT 17 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28OW 32

TW 17 PW 11

TO 17

5. Eliminamos las casillas que tienen como final a C, que fue la columna que acabamos de marcar. Quedando así.


6. Con la tabla anterior se verifica en las columnas marcadas con asterisco, R y C. el valor menor resultante de la sumatoria entre el valor siguiente a los que no están marcados con el circulo y el valor entre paréntesis de esta columna.

R *(0)

C *(18)

O T P W

RC 18 CO 12 OT 17 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28OW 32

TW 17 PW 11

TO 17

𝐶=18+12=30𝐑=𝟎+𝟑𝟐=𝟑𝟐 Como la columna C es la menor, esta será la columna que seleccionaremos.


7. se hace la prueba de convergencia, O sea se verifica si el nodo resaltado es el destino, como el nodo marcado con asterisco no es el destino se continua al paso 8.

8. se marca con asterisco O (porque es el destino del dato inmediatamente anterior encerrado en un circulo) y se le asigna el valor de 30, pues como se mostro en el anterior paso, es el valor mas pequeño, y se eliminan las ramas que tengan O como segundo nodo.

R *(0) C *(18) O *(30) T P W

RC 18 CO 12 OT 17 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28 OW 32 TW 17 PW 11

TO 17


9. Los nodos marcados con asteriscos son R, C y O. y se realizan las sumas como se describió en el paso 6, la menor suma es RT=32, se marca con asterisco el nodo T y se asigna el valor de 32 y se elimina de la tabla todas las ramas que tengan como destino el nodo T

R *(0) C *(18) O *(30) T*(32) P W

RC 18 CO 12 OC 12 TP 4 PT 4

RT 32 CT 28 OT 17 TW 17 PW 11

OW 32

𝑅=0+32=32 𝐶=18+28=46 𝑂=30+17=47


O y T son los únicos nodos marcados con asterisco que tienen ramas sin marcar, se hacen las sumas, se encierra la menor TP se marca con asterisco y se le asigna a P 36 y se eliminan todas las ramas que tengan como segundo nodo a P.

R *(0) C *(18) O *(30) T *(32) P W

RC 18 CO 12 Ow 32 TP 4 Pw 11

RT 32 TW 17

𝑂=30+32=62 𝑇=32+4=36


O, T y P son los únicos nodos marcados con asterisco con ramas por debajo sin encerrar, se hacen las sumas y se escoge la menor PW, se encierra en un circulo y se marca con asterisco a W y se le asigna el valor de 36

R *(0) C *(18) O *(30) T *(32) P*(36) W

RC 18 CO 12 Ow 32 tp 4 Pw 11

RT 32 TW 17

𝑂=30+32=62 𝑇=32+17=49𝑃=36+11=47


De este modo llegamos al final del método, pudiendo concluir que la mejor ruta para el recorrido de Don Guillermo es la ruta de PW, como la primera salida de este nodo es P, se busca el nodo que tiene como segundo destino a P, es decir TP, luego a TP le buscamos la casilla que inicie con T, es decir RT, y como R es el origen esta es la ruta mas corta. Así podemos concluir que la ruta optima es RT, TP, TW y el tiempo mínimo de manejo en esta ruta es de 36 + 11 = 47 minutos.

R *(0) C *(18) O *(30) T *(32) P*(36) W

RC 18 CO 12 Tp 4 Pw 11

RT 32


Esquema de la ruta que don Guillermo debe tomar para tardar lo mínimo posible de Ridgewood a Whippany.

Primero debe viajar de Ridgewood a Troy Hills, luego a Parsippany y terminar en Whipanny.

R

C

O

P

W

28

18

12

32

17

4

32

17

11

Origen

DestinoT

TALLER GRUPO D:


PRIMER PUNTO.



Resuélvase el problema de flujo máximo para la Red que se adjunta a continuación, si el Nodo A es la fuente y el Nodo J es el destino. Los valores sobre los arcos representan toneladas de mineral de hierro a transportar por semana, en donde el precio de adquisición es de 5,000 USD/t

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J008

0

050

3030

70

203015

15

15

15

10

10

1010

10

10

2020 20

30

30

30

0

0

0 0

0

0

0

0

40

destinoorigen


Este es un tipo de problema de flujo máximo, se selecciona una ruta de flujo positivo, es decir, una ruta que vaya desde el origen hasta el destino, y estas se van eliminando de las demás posibles rutas, así se garantiza que ya se ha contabilizado el flujo máximo por ese canal, se selecciona aleatoriamente una ruta y se verifica cuanto es lo máximo que puede pasar por ahí, para ilustrar el método, se inicia con la ruta AG GH HI IJ.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J008

0

050

3030

70

203015

15

15

15

10

10

1010

10

10

2020 20

30

30

30

0

0

0 0

0

0

0

0

40

destinoorigen


La ruta AG GH HI IJ, fue seleccionada por contener todas las variables como la primera de las posibles rutas para llegar del origen al destino, AG puede transportar máximo 10 unidades, GH puede transportar 15, pero como AG solo puede transportar 10, esto limita el flujo de esta ruta a 10 unidades, se sigue verificando a través de la ruta y como no se encuentran valores mayores a 10, este será el valor de flujo de esta ruta. cada vez que se transportan unidades de un nodo a otro se restan de donde salieron y se adicionan al nodo a donde entraron, dejando la información necesaria para utilizar o desechar estos nodos en el futuro. Y se adiciona la información de cuanto se logro transportar del origen al destino en este trayecto ( + o - ), Como se evidencia en la siguiente grafica.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J008

0

404020

70

203025

15

15

5

10

10

1010

10

10

2020 20

30

30

300

0

0 0

0

0

10

0

40

destinoorigen(+10)(-10)

10


El método se repite sucesivamente hasta cubrir todas las rutas posibles desde el origen hasta el destino, se procura empezar por las rutas mas sencillas como la de arriba, AF y FJ. Y continuar en orden descendente, esto encaminado a tener un orden, mas no es imprescindible para el desarrollo del método.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J008

0

040

4020

70

203025

15

15

5

10

10

1010

10

10

2020

30

30

300

0

0

0

0

10

0

40

(+20)(-20)

10

10 destinoorigen


Se hace lo mismo con la ruta AE EF FJ, se hacen modificaciones a la grafica inmediatamente anterior, así se tienen los datos que permiten utilizar los nodos.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J008

0

040

4020

70

203025

15

15

5

10

10

1010

10

10

2010

30

20

300

0

0

0

0

10

0

40

(+30)(-30)

0

20 destinoorigen


Ruta AE EC CH HI IJ, se hacen modificaciones a la grafica inmediatamente anterior, así se tienen los datos que permiten utilizar los nodos.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J1508

0

025

555

70

204525

0

15

5

10

10

1010

10

10

2010

30

5

150

0

15

0

025

0

40

(+45)(-45)

0

20 destinoorigen


Ruta AE ED DB BC CH HJ, Las rutas en negro muestran las trayectorias que ya agotaron su capacidad de transportar desde el origen hasta el destino, es decir en flujo positivo.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J155

0

025

555

65

205025

0

15

5

10

10

515

15

5

2010

30

0

100

0

20

0

525

0

40

(+50)(-50)

0

203 destinoorigen


Ruta AD DB CH HJ, máxima capacidad de transporte = 3.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J158

0

025

555

62

205325

0

12

5

10

10

515

18

2

2010

30

0

70

3

20

0

825

0

40

(+53)(-53)

0

200 destinoorigen


Al verificar las salidas de flujo positivo de cada una de los nodos encontramos que ya hay varios nodos que perdieron su capacidad de transportar, limitando así las rutas, acercándonos a la solución del problema. Encontrando la ruta AH HJ la cual tiene una capacidad máxima de 40.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J158

0

4025

555

42

205325

0

12

5

10

10

515

18

2

2010

30

0

70

3

20

0

48

25

0

0

(+93)(-93)

0

200

destinoorigen


Ruta AI IJ flujo máximo 25.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J158

0

400

555

42

205325

0

12

5

10

10

515

18

2

2010

5

0

70

3

20

0

48

50

25

0

(+118)(-118)

0

200

destinoorigen


Ruta AI IH HJ flujo máximo 5.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J158

0

400

5010

37

205325

0

12

5

10

10

515

18

2

2010

0

0

70

3

20

0

53

50

30

0

(+123)(-123)

0

200

destinoorigen


Obsérvese que la única rama capaz de transportar unidades desde el destino es AD, esta a su vez esta conectada a E y B, pero tanto E como B no pueden trasportar mas hacia el destino, pues las capacidades de salida son cero, y en el caso de EF, F no puede movilizar mas unidades hacia ninguna parte, como las demás ramas están en negro quiere decir que llegamos al fin del problema; esto quiere decir que esta configuración permite el trasporte de máximo 123 toneladas de mineral de hierro desde A hasta J a un costo de 615.000 USD por semana.

A

D

B

G

C

E

H

F

I

J158

0

400

5010

37

205325

0

12

5

10

10

515

18

2

2010

0

0

70

3

20

0

53

50

30

0

(+123)(-123)

0

200

destinoorigen

SEGUNDO PUNTO.



ENUNCIADO:La compañía ABC se ha ganado un contrato para producir cubiertas. El contrato tiene una duración de cuatro años y no se espera que sea renovado. El proceso de manufactura requiere de un centro integrado de manufactura (CIM), de la cual carece ABC. Esta puede comprar el CIM, mantenerlo durante la vigencia del contrato y luego venderlo en su valor de salvamento; o puede remplazar al CIM por un nuevo modelo, al final de cualquier año dado. Los nuevos modelos requieren de menos mantenimiento que modelos mas antiguos . El costo de operación y posesión ( COP) para un CIM comprado al inicio del año i y vendido al inicio del año j se indica en la tabla que se adjunta enseguida, con todas las cantidades expresadas en unidades de millar de USD. Determínese una política de remplazo que minimice el COP Total para el CIM, durante la vigencia del contrato.


Se plantea la siguiente tabla, la cual representa los orígenes (renglones) y los destinos (columnas), estos representaran los nodos, se procede a dibujar la red base en esta información.

1 2 3 4 5

1--------

-12 19 33 49

2--------

---------

-14 23 38

3--------

---------

---------

-16 26

4--------

---------

---------

---------

-13

origen

destino

DISEÑO DE LA RED

YI Y2 Y3 Y4 Y5

33

19

12 14 16 13

2326

38


Y1 Y2 Y3 Y4 Y5

Y1Y2 - 12 Y2Y3 - 14 Y3Y4 - 16 Y4Y5 - 13

Y1Y3 - 19 Y2Y4 - 23 Y3Y5 - 26

Y1Y4 – 33 Y2Y5 - 38

Y1Y5 - 49

1. Se diseña la tabla que nos exige el método. esta contiene los nodos por columna y debajo de cada uno las distancias que hay entre los nodos conectados, estos valores se organizan de forma ascendente, el dato mas corta ira primero, es importante en esta tabla descartar las ramas que tengan al nodo de origen (Y1) como su segundo nodo y aquellas que salgan del nodo destino (Y5).


2. Se marca con un asterisco * la fuente (Y1) y se le asigna el valor de cero (0) en paréntesis, es decir, la distancia.

3. Ahora, como las distancias están organizadas de menor a mayor se toma la primera, es decir, Y1Y2 12, y se encierra en un circulo.


*Y1 (0) *Y2 (12) Y3 Y4 Y5

Y1Y2 - 12 Y2Y3 - 14 Y3Y4 - 16 Y4Y5 - 13

Y1Y3 - 19 Y2Y4 - 23 Y3Y5 - 26

Y1Y4 – 33 Y2Y5 - 38

Y1Y5 - 49

4. se pasa a la columna que tiene como destino el nodo encerrado en el circulo es decir la columna Y2 y a esta se le asigna entre paréntesis y con asterisco la distancia (12). Y Se eliminan todos aquellos que terminen con Y2, como no hay se procede a realizar los cálculos, estos cálculos son el numero siguiente al que esta en encerrado en un circulo mas el que esta entre el paréntesis de la misma columna. Asi;


*Y1 (0) *Y2 (12) Y3 Y4 Y5

Y1Y2 - 12 Y2Y3 - 14 Y3Y4 - 16 Y4Y5 - 13

Y1Y3 - 19 Y2Y4 - 23 Y3Y5 - 26

Y1Y4 – 33 Y2Y5 - 38

Y1Y5 - 49

𝑌 1=0+19=19 Y2 Como la suma de Y1 es menor se selecciona esta casilla y se encierra en un circulo, y verificamos el destino de la misma es decir Y3

5. se pasa a la columna que tiene como destino el nodo encerrado en el circulo es decir la columna Y3 y a esta se le asigna entre paréntesis y con asterisco la distancia (19). Y Se eliminan todos aquellos que terminen con Y3, y se prosigue como en el paso anterior.


*Y1 (0) *Y2 (12) Y3*(19) Y4 Y5

Y1Y2 - 12 Y2Y3 - 14 Y3Y4 - 16 Y4Y5 - 13

Y1Y3 - 19 Y2Y4 - 23 Y3Y5 - 26

Y1Y4 – 33 Y2Y5 - 38

Y1Y5 - 49

𝑌 1=33+0=33 Y2 Se realizan los cálculos correspondientes a las casillas bajo los asteriscos que no estén marcados con círculos, buscando el menor, ósea Y.

Y3

El nodo donde termina la columna menor es Y4, por tanto vamos a Y4 y le asignamos un asterisco y el valor de 33, eliminamos las casillas que tengan a Y4 como su segundo nodo.


*Y1 (0) *Y2 (12) Y3*(19) Y4*(33) Y5

Y1Y2 - 12 Y2Y4 - 23 Y3Y4 - 16 Y4Y5 - 13

Y1Y3 - 19 Y2Y5 - 38 Y3Y5 - 26

Y1Y4 – 33

Y1Y5 - 49

Y1Y3

Y4 NO es el nodo final, por tanto volvemos a realizar las sumas en cada una de las columnas con asteriscos y hallamos el menor. Ósea Y3.

Y2

Y

Al intentar realizar el método para calcular el menor, es de notar que todos terminan en el destino, por tanto no es necesario hacer mas cálculos y llegamos a la solución del problema, debemos determinar cual de las opciones que hay es la mas corta y este será el recorrido minimo.


*Y1 (0) *Y2 (12) Y3*(19) Y4*(33) Y5

Y1Y2 - 12 Y2Y5 - 38 Y3Y5 - 26 Y4Y5 - 13

Y1Y3 - 19

Y1Y4 – 33

Y1Y5 - 49

De esta forma para hallar la ruta mas adecuada miramos el ultimo nodo Y3Y5 con valor de (26 + 19) = 45. que es el final del recorrido, y observamos que este nodo llega de Y1Y3, como Y1 es el origen esta es la ruta mas corta, lo que quiere decir que la política que minimiza el costo administrativo del CIM es comprar una maquina al comienzo del primer año, venderla y comprar otra al comienzo del tercero.

TERCER PUNTO.


ENUNCIADO:

3.EL GERENTE DE OPERACIONES DEL SERVICIO DE PARQUES NACIONALES DE COLOMBIA (SPNC) PLANEA DESARROLLAR UNA ZONA CAMPESTRE PARA EL TURISMO. LOS LUGARES Y LAS DISTANCIAS (EN KILÓMETROS) ENTRE ELLOS, SE MUESTRAN EN LA TABLA ADJUNTA. PARA DAÑAR LO MENOS POSIBLE AL ECOSISTEMA, EL SPNC DESEA MINIMIZAR EL NUMERO DE KILÓMETROS DE CAMINOS NECESARIOS PARA PROPORCIONAR EL ACCESO DESEADO A LA ZONA CAMPESTRE. DETERMÍNESE COMO DEBERÁN CONSTRUIRSE LOS CAMINOS PARA LOGRAR EL OBJETIVO.

Entrada al parque

Cascada Formación Rocosa

Mirador Pradera

Entrada al parque ------------- 7,1 19,5 19,1 25,7

Cascada 7,1 ----------- 8,3 16,2 13,2

Formación Rocosa

19,5 8,3 ------------- 18,1 5,2

Mirador 19,1 16,2 18,1 ------------ 17,2

Pradera 25,7 13,2 5,2 17,2 ------------


C

E

P F

M

7,1 16,225

,7 18,1

5,2

19,1

13,2

8,3

17,219,5

De acuerdo a los datos que nos facilita la tabla realizamos la red con las medidas y cada uno de los sitios a evaluar:


FP

C

ME Entrada al parque

Formación Rocosa

Mirador

Cascada

Pradera.


Luego de haber realizado la red, seleccionados el nodo E (entrada del parque) para iniciar, lo que debemos hacer es analizar los nodos que están conectados con E, de ahí seleccionar el de menor valor y de esta manera obtenemos:

E

C

7,1

RAMA DISTANCIA

EC 7,1

EM 19,1

EF 19,5

EP 25,7UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

Así mismo tomamos ahora los nodos conectados a E y C que ya están incluidos en la red de recorrido, los analizamos, obtenemos el menor valor y de esta manera incluimos un nuevo nodo:

E

C

7,1

RAMA DISTANCIA

EM 19,1

EF 19,5

EP 25,7

CP 13,2

CF 8,3

CM 16.2

E

8,3


Continuamos analizando los nodos que aun no están conectados a la red y que tienen conexión con los nodos que ya están unidos a la nueva red de recorrido, tomamos el que tiene el menor valor y así obtenemos:

E

C

7,1

RAMA DISTANCIA

EM 19,1

EF 19,5

EP 25,7

CP 13,2

CM 16.2

FM 18.1

FP 5,2

F

8,3

P5,2


Por último debemos analizar en donde se conecta el nodo M para finalizar con el recorrido mínimo por ello evaluamos los valores, teniendo en cuenta

E

C

7,1

RAMA DISTANCIA

EM 19,1

EF 19,5

EP 25,7

CP 13,2

CM 16.2

FM 18.1

F

8,3

P5,2

M

16,2


Finalmente obtenemos la red de recorrido con todos los nodos para poder solucionar el requerimiento.

E

C

7,1

F

8,3

P5,2

M

16,2

Z* = 7,1 + 5,2 + 8,3 + 16,2 = 36.8

RECORRIDO MÍNIMO= 36, 8 Kilómetros.


C

E

P F

M7,1

16,2

5,2

8,3

C

E

P F

M

7,116,2

25,7 18,1

5,2

19,1

13,2

8,3

17,219,5

RED INICIAL RECORRIDO MÍNIMO


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