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5.1 INTRODUCCIÓN

Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geométrico detodos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro.

A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo menos un término cuadráticoo “un cuadrado”. Para todas ellas existe, como un primer paso, el mismo procedimiento para transformarsu ecuación de la forma general a la forma particular, el cual consiste en dividir toda la ecuación generalentre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables “al cuadrado”.

En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general es

2 2A B D E F 0x y x y

pero como se mencionó en las páginas 24 y 25 al hablar del análisis de la ecuación general, para que sea

circunferencia se requiere que “los cuadrados” sean iguales, es decir, que . Por lo tanto, cuandoA Bse trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse como

2 2 DA E FA 0x y x y

Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, esta ecuaciónqueda dividida entre A , de la siguiente forma:

2 2A A D E F0

A A A A Ax y x y

que simplificada resulta

2 2 D E F0

A A Ax y x y

La ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0 (5.1)

La ecuación particular de la circunferencia es

(x - h) 2 + (y - k)

2 = r 2 (5.2)

En donde:

(h , k ) indican las coordenadas del centro;r indica el valor del radio.

Al final de cuentas, los coeficientes , , y son números también, por lo que, para simplifi-D

A

E

A

F

Acar la escritura simplemente se considera la ecuación de la circunferencia en su forma general como:

Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una información bastante limitada acercade las características de la figura; en cambio, con la ecuación particular se obtienen los datos necesariospara identificar plenamente a la cónica respectiva. En el caso de la circunferencia, sus características prin-cipales son la ubicación del centro y la medida del radio. La ecuación en forma particular proporciona esainformación.

En esta ecuación, h indica el valor de la abscisadel centro, es decir, el valor en x del desplazamientodel centro, mientras que k indica el valor de la orde-nada del centro, es decir, el valor en ye del despla-zamiento del centro. Ver figura 5.1.

Debe tenerse mucho cuidado en que los valoresde las coordenadas del desplazamiento del centro, yaque cambian de signo al momento de reemplazarseen la ecuación particular debido al signo negativoque tiene su ecuación particular.

figura 5.1

Por ejemplo, si una circunferencia tiene radio y su centro en , le corresponden en4r C 2 3,

este caso los valores de y de ; sin embargo, en la ecuación particular, por el signo menos2h 3k que ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando

2 22 3 16x y

Ejemplo: Si la ecuación de una circunferencia es , deducir el valor de su radio y las 2 21 3 49x y

coordenadas de su centro.

Solución: El 49 es , por lo tanto el radio es . Las coordenadas del centro son .2r 7r C 1 3,

5.2 TRANSFORMACIONES

Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la misma ecuación,solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones de una forma ala otra.

Para transformar la ecuación de una circunferencia de su forma general a la particular es conveniente

practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinomio cuadrático ,2 D Gx x

en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma , en donde también m y 2x m k

k son números cualesquiera. A éste último se le llamará binomio al cuadrado más un residuo, en el quem es el segundo término del binomio y k es el residuo.

En simbología matemática lo dicho en el párrafo anterior es que

22 D Gx x x m k

Para comprender el proceso conviene analizar primero el procedimiento inverso, es decir, pasar de unbinomio al cuadrado más un residuo a un polinomio cuadrático. Por ejemplo, si se tiene el polinomio

para convertirlo en un polinomio cuadrático es suficiente elevar al cuadrado el binomio y 27 3x

luego sumar términos semejantes. Recordar que un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primertérmino, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

De manera que

2 2

cuadrado doble cuadradodel primero producto del segundo

del primeropor el segundo

3 49 37 14x x x

y sumando se llega a que49 3

2 27 3 14 52x x x

El proceso inverso consiste en que dado el trinomio cuadrático anterior , transformarlo2 14 52x x

en un binomio al cuadrado más su residuo . Analizando el procedimiento hecho renglones 27 3x

arriba, se deduce que:

a) es el cuadrado del primer término del binomio buscado. Por lo tanto, dicho primer término2xes su raíz cuadrada, es decir x.

b) 14x es el doble producto del primer término por el segundo, del binomio buscado. Por lo tanto,

si se divide entre 2 se le quita “lo doble” y así se obtiene el segundo término del binomio.14En este ejemplo, es 7 dicho segundo término del binomio buscado.

Hasta este momento se podría escribir que

lado izquierdo lado derech

22

o

?14 52 7x x x

en donde el símbolo significa: ¿son iguales? lo cual no es cierto porque lo escrito del lado izquierdo no?

es igual a lo escrito del lado derecho, debido a que el proceso no está completo todavía. Hace falta verificarque lo que está escrito del lado izquierdo realmente sea igual a lo que está escrito del lado derecho:

En el lado derecho existe un término de más y otro de menos respecto de lo que está escrito en el ladoizquierdo para que ambos lados realmente sean iguales.

Si se desarrolla mentalmente el binomio al cuadrado que está indicado en el lado derecho, lo que setiene allí es:

a) : que es el cuadrado del primer término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2xb) 14x : que es el doble producto del primer término por el segundo del binomio. Obsérvese que

también está en el lado izquierdo.c) + 49 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este + 49 no aparece en el

lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el 52 que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto, para queambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 52 que le falta y quitarse el49 que le sobra, de la siguiente manera:

22 14 52 7 49 52x x x

Finalmente, sumando se llega a que49 52

22 14 52 7 3x x x

Ejemplo 1: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo.2 8 9x x

Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado del primer término del bino-2 8 9x x 2x

mio buscado y además es el doble producto del primer término por el segundo del mismo8xbinomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras que el segundo térmi-

no es (se obtiene de dividir ). Provisionalmente se comienza escribiendo que4 8 2

(¿son iguales) 22?

8 9 4x x x

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del lado dere-cho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí hay lo si-guiente:

a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2x

b) : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese que8xtambién está en el lado izquierdo.

c) + 16 : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este + 16 no aparece en el ladoizquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto, para9

que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese que le falta9y quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente manera:

22 8 9 4 16 9x x x

22 8 9 4 25x x x

Ejemplo 2: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo.2 5 1x x

Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado del primer término del binomio2 5 1x x 2xbuscado y 5x es el doble producto del primer término por el segundo del mismo binomio. Por lo

tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras que el segundo término es (se5

2

obtiene de dividir ). Provisionalmente se comienza escribiendo que5 2

(¿son iguales?)2

2? 5

5 12

x x x

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del lado dere-cho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí hay lo si-guiente:

a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2x

b) : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese que también5xestá en el lado izquierdo.

c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no aparece en el lado25

4

25

4

izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto, para que1

ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese que le falta y quitarse1

el que le sobra, de la siguiente manera:25

4

22 5 25

5 1 12 4

x x x

22 5 25 4

5 12 4

x x x

22 5 29

5 12 4

x x x

EJERCICIO ADICIONAL

Convertir a un binomio al cuadrado más un residuo los siguientes trinomios cuadráticos:

1) 2)2 12 3x x 2 10 7x x

3) 4)2 2 21x x 2 14 11x x

5) 6)2 22 8x x 2 16 32x x

7) 8)2 11x x 2 3 13x x

9) 10)2 9x x 2 7x x

1) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma generala la forma particular:

* Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x 2 para que quedede la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

* Con los términos x2 + Dx se obtiene un binomio al cuadrado más su

residuo.

* Con los términos y2 + Ey se obtiene un binomio al cuadrado más suresiduo.

* Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se suman.

Nota: No olvidar que inicialmente la ecuación original estaba igualadaa cero.

2) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma particulara la forma general:

* Se desarrollan los dos binomios: (x - h)2 y (y - k)2 .

* Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que quedeigualado a cero.

* Se suman los términos semejantes, si resultan algunos y se ordenanen la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

5.3 REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES

Ejemplo 1: Transformar a la forma particular la ecuación 2 2 6 4 12 0x y x y

Solución: Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los que con-tienen a la variable equis y por otro a los que contienen a la variable ye. Esto pueden hacerse men-talmente o en caso necesario escribirlo de la forma

2 26 4 12 0x x y y

Con los términos en x , es decir, con se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo;2 6x x

luego, con los términos en ye , es decir, con se obtiene también un binomio al cuadrado2 4y ymás su residuo:

2 22 26 4 12 3 9 2 4 12x x y y x y

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, significa quetodo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

2 23 9 2 4 12 0x y

Sumando las constantes se reduce a9 4 12

2 23 2 25 0x y

Y finalmente escribiendo esa constante en el lado dere-cho, la ecuación particular buscada es

2 23 2 25x y

Se trata de una circunferencia con centro y cuyo C 3 2,

radio es . Su gráfica está mostrada en la figura 5.2.5r

Ejemplo 2: Transformar a la forma particular la ecuación .2 2 2 35 0x y x

Solución: Obsérvese, conforme se estudió en el análisis de la ecuación general de las cónicas, que se trata deuna circunferencia por tener los coeficientes de los dos términos cuadráticos iguales.

Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los que con-tienen a la variable x y por otro a los que contienen a la ye. Esto pueden hacerse mentalmente o encaso necesario escribirlo de la forma

figura 5.2

2 22 35 0x x y

Con los términos en x , es decir, con se obtiene un binomio al cuadrado más su residuo;2 2x x

luego, con los términos en ye , en este caso solamente con se obtiene también un binomio al2y

cuadrado más su residuo:

2 22 22 35 1 1 0 35x x y x y


2 21 1 0 35 0x y

Al sumar las constantes se reduce a1 35 36

2 21 0 36 0x y

Y finalmente escribiendo esa constante en el ladoderecho, la ecuación particular buscada es

2 21 0 36x y

que también puede escribirse, si se desea, como

2 21 36x y

Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene por

coordenadas y radio . Su gráfica C 1 0, 6r

corresponde a la figura 5.3.

figura 5.3

Ejemplo 5: Transformar a la forma general la ecuación . 2 21 2 16x y

Solución: Se trata de la circunferencia con centro y C 1 2,

radio , mostrada en la figura 5.4.4r

Elevando al cuadrado ambos binomios, se obtiene:

2 22 1 4 4 16x x y y

igualando a cero:

2 22 1 4 4 16 0x x y y

sumando los términos semejantes y ordenando:

2 2 2 4 11 0x y x y

Ejemplo 6: La ecuación de una circunferencia es . Encontrar las coordenadas del2 22 2 20 192 0x y x centro y el valor del radio.

Solución: Lo primero que debe hacerse en toda cónica que tenga términos al cuadrado, es “quitarles el numerito

a los cuadrados”, o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de y de . En este caso,2x 2y

dividir entre a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene:2

2 2 10 96 0x y x

Después debe pasarse la ecuación a la forma particular:

2 22 210 96 5 25 0 96x x y x y

figura 5.4


2 25 25 0 96 0x y

Al sumar las constantes se25 96 121 reduce a

2 25 0 121 0x y

Y finalmente escribiendo esa constante en el ladoderecho, la ecuación particular buscada es

2 25 0 121x y

que también puede escribirse, si se desea, como

2 25 121x y

de donde se deduce que h = 5 y k = 0 ,por lo que

las coordenadas del centro son y el radio es r = 11 (figura 5.5). C 5 0,

figura 5.5

EJERCICIO 5.1

Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones y deducir las coordenadas del centro y el radio de cadacircunferencia:

1) 2 2 2 4 1 0x y x y

2) 2 2 2 10 17 0x y x y

3) 2 2 4 4 1 0x y x y

4) 2 2 2 2 1 0x y x y

5) 2 2 10 6 2 0x y x y

6) 2 2 6 4 36 0x y x y

7) 2 24 4 56 8 196 0x y x y

8) 2 23 3 60 30 300 0x y x y

9) 2 2 16 48 0x y y

10) 2 2 18 65 0x y x

Transformar a la forma general las siguientes ecuaciones de circunferencias:

11) (x + 1)2 + (y + 9)2 = 912) (x + 7)2 + (y - 2)2 = 4913) (x - 3)2 + (y + 12)2 = 16914) (x + 10)2 + (y + 9)2 = 8115) (x + 11)2 + (y - 1)2 = 2516) (x + 13)2 + (y - 8)2 = 417) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 118) (x - 2)2 + (y - 9)2 = 3619) x2 + (y - 5)2 = 1620) (x + 6)2 + y2 = 400

Hallar la ecuación de cada circunferencia que se describe a continuación:

21) las coordenadas del centro son C(2, 0) y su radio es r = 3 .22) las coordenadas del centro son C(5, - 1) y su radio es r = 2 .23) las coordenadas del centro son C(- 6, 10) y su radio es r = 7 .24) las coordenadas del centro son C(0, - 7) y su radio es r = 12 .25) las coordenadas del centro son C(3, - 4) y su radio es r = 4 .26) las coordenadas del centro son C(- 8, - 3) y su radio es r = 9 .27) las coordenadas del centro son C(- 9, 1) y su radio es r = 14 .28) las coordenadas del centro son C(0, 0) y su radio es r = 8 .29) las coordenadas del centro son C(11, 4) y su radio es r = 13 .30) las coordenadas del centro son C(7, 7) y su radio es r = 7 .

5.4 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS

Para que una circunferencia quede bien definida deben conocersemínimo tres puntos por los que pasa. Con dos puntos nada más no quedabien definida, pues por allí pueden pasar un sinnúmero de circunferen-cias. La figura 5.6 muestra tres circunferencias que pasan por los puntosP y Q, pero pueden pasar muchas más.

Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por los que pasauna circunferencia, para hallar su ecuación existen tres opciones:

Primera opción: se sustituyen los valores de x y de ye de cadapunto en la ecuación general de la circunferencia, con lo que seobtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas D, E y F, sistemaque se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos o con lacalculadora. Una vez encontrados los valores de esas constantesD , E y F , se reemplazan en la ecuación general.

Segunda opción: se sustituyen los valores de x y de ye de cada punto en la ecuación particularde la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas h, k y r , sistemaque se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos o con la calculadora. Una vez encontradoslos valores de esas constantes h , k y r, se reemplazan en la ecuación particular.

Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos conocidos; luego se calculan las ecua-ciones de sus mediatrices y se obtienen las coordenadas del punto de intersección de dichas media-trices. Como éstas pasan por el centro (ver propiedad 2 de la circunferencia, página 9), ese puntoes el centro de la circunferencia. Finalmente se calcula distancia entre el centro y cualquiera de lospuntos conocidos, obteniéndose así el radio.

En general, cualquier razonamiento, mientras no sea falso, es válido. Simplemente hay que tener pre-sente la regla del Álgebra que dice que se deben tener igual número de ecuaciones como de incógnitas,para poder resolver el sistema . O sea que si se tienen dos incógnitas, deben tenerse dos ecuaciones; si setienen tres incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra forma no se puede solucionar el sistema.

Ejemplo 1: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5, 1) y R(- 2, 0) . Hallar su ecuación empleandola primera opción.

NOTA: La C no se emplea para nombrar a algún punto de una circunferencia ya que esta letrase reserva mejor para denominar así al centro.

Solución: La ecuación general de la circunferencia es

figura 5.6

(A)2 2 D E F 0x y x y

Para el punto P se tiene que x = 4 e y = 8 . Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtienela primera ecuación con tres incógnitas:

2 24 8 4 8 0D E F

Haciendo las operaciones indicadas y ordenando se obtiene que

16 64 4 8 0D E F

(1)4 8 80D E F

Para el punto Q se tiene que x = 5 e y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtienela segunda ecuación con tres incógnitas:

2 25 1 5 1 0D E F

Efectuando las operaciones indicadas y ordenando se llega a

25 1 5 0D E F

(2)5 26D E F

Para el punto R se tiene que x = - 2 e y = 0. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtie-ne la tercera ecuación con tres incógnitas:

2 22 0 2 0 0D E F

Realizando las operaciones indicadas y ordenando se obtiene

4 0 2 0 0D E F

(3)2 4D F

Juntando y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó:

4 8 80

5 26

1

2

32 4

D E F

D E F

D F

Este sistema se puede resolver directamente con la calculadora, o bien cambiándole de signo a toda laprimera ecuación y luego sumándola con la ecuación (2) y con la (3), para eliminar la variable F , seobtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

4 8 80

5 2647 54

D E F

D E F

D E

4 8 80

2 456 8 76

D E F

D F

D E

Debe ahora resolverse este nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5), ya sea porel método de suma y resta, por igualación, por sustitución o por determinantes, aunque se aconsejaque se haga mejor con la calculadora:

7 54 4

6 8 76 5

D E

D E

Con la calculadora se obtiene que

2

8

8

D

E

F

Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F , se reemplazan en la ecuación general de la cir-cunferencia (A) , para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:

2 2 2 8 8 0x y x y

Ejemplo 2: Una circunferencia pasa por los puntos P(2, 4) ; Q(1, - 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuación empleandola segunda opción.

Solución: La ecuación particular de la circunferencia es

(B) 2 2 2x h y k r

Para el punto P se tiene que x = 2 e y = 4. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtienela primera ecuación con tres incógnitas:

(6) 2 2 22 4h k r

Para el punto Q se tiene que x = 1 e y = - 3. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtienela segunda ecuación con tres incógnitas:

(7) 2 2 21 3h k r

Para el punto R se tiene que x = - 7 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtienela tercera ecuación con tres incógnitas:

(8) 2 2 27 1h k r

Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas queresultó:

(6) 2 2 22 4h k r

(7) 2 2 21 3h k r

(8) 2 2 27 1h k r

Como todas están igualadas a r 2 , significa que todos los lados izquierdos son iguales entre sí. De

manera que igualando la ecuación (6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce el sistema a dosecuaciones con dos incógnitas.

Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) :

(2 - h)2 + (4 - k)2 = (1 - h)2 + (- 3 - k)2

desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdo y elimi-nando términos semejantes, se obtiene que:

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 1 - 2h + h2 + 9 + 6k + k2

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 1 + 2h - h2 - 9 - 6k - k2 = 0

- 2h - 14k + 10 = 0 (9)

Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) :

(2 - h)2 + (4 - k)2 = (- 7 - h)2 + (1 - k)2

desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdo y elimi-nando términos semejantes:

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 49 + 14h + h2 + 1 - 2k + k2

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 49 - 14h - h2 - 1 + 2k - k2 = 0

- 18h - 6k - 30 = 0 (10)

Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente nuevo sistema de dos ecuaciones condos incógnitas:

- 2h - 14k + 10 = 0 (9)- 18h - 6k - 30 = 0 (10)

Resolviendo el sistema con la calculadora se llega a que

2h

1k

sustituyendo estos valores en la ecuación (6) :

2 2 22 2 4 1 r

2 2 22 2 3 r

16 + 9 = r 2

5r

Teniendo ya los valores de las tres variables h , k y r , se reemplazan en la ecuación particular (3.2)de la circunferencia (página 68), para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:

2 22 1 25x y

Ejemplo 3: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6, - 7) y R(- 10, 5) . Hallar su ecuación emplean-do la tercera opción.

Solución: Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos conocidos (paso 1, figura 5.7). Sobre estas cuer-das se trazan las mediatrices (paso 2, figura 5.7) y su intersección es el centro de la circunferenciabuscada. finalmente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados es el radio de la circun-ferencia (paso 3, figura 5.7).

El procedimiento analítico es:

a) Calcular la pendiente de la cuerda RP:

1 2

1 2

y ym

x x

7 5

4 10RPm

2 1

14 7RPm

b) Obtener la pendiente de la mediatriz a RP. Por el resultado anterior, significa que la pendientede la mediatriz a RP, por la condición de perpendicularidad, es - 7 .

c) Calcular las coordenadas del punto medio s de la cuerda RP :

1 2

2m

x xx

1 2

2m

y yy

4 10

2mx

7 5

2my

63

2mx

12

62my

figura 5.7

Las coordenadas de ese punto medio son: s(- 3, 6).

d) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a RP y su pendiente, su ecuación (dela mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página 49:

1 1y y m x x

que en este caso se tienen los valores:

1 3x

1 6y

7m

sustituyendo valores:

6 7 3y x

6 7 3y x

6 7 21y x

7 21 6y x

7 15y x

(11)7 15 0x y

e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ. La pendiente de la cuerda PQ es:

1 2

1 2

y ym

x x

7 7

4 6PQm

147

2PQm

f) Obtener la pendiente de la mediatriz a PQ. Por el resultado anterior, significa que la pendiente

de la mediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es .1

7

g) Calcular las coordenadas del punto medio n de la cuerda PQ :

;1 2

2m

x xx

1 2

2m

y yy

;4 6

2mx

7 7

2my

;10

52mx

00

2my

Las coordenadas de ese punto medio son: n(5, 0).

h) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a PQ y su pendiente, su ecuación (dela mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página 49:

1 1y y m x x

que en este caso se tienen los valores:

1

1

5coordenadas del punto medio .

0n

x

y

1

7m

sustituyendo valores:

10 5

7y x

7 5y x

(12)7 5 0x y

i) Obtener el punto de intersección de las dos mediatrices. Recordar que dicho punto se obtieneresolviendo por simultáneas las ecuaciones que se intersecan. En este caso el sistema de ecuacio-nes que debe resolverse es la (11) y (12), o sea

7 15 0

7 5 0

x y

x y

Con la calculadora se llega a que

2x

1y

de manera que las coordenadas del centro de la circunferencia que son las coordenadas del punto

donde se cortan estas dos mediatrices son . C 2 1,

j) Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos conoci-dos, por ejemplo P, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos de la página 31:

2 2

1 2 1 2d x x y y

2 24 2 7 1r

2 24 2 7 1r

2 26 8r

36 64r

100 10r

k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se sustituyen en la ecuación particularde la circunferencia, para llegar a:

2 2 2x h y k r

2 22 1 100x y

Ejemplo 4: Las coordenadas de un rombo son P(- 5, 2) ; Q(3, 8) , R(11, 2) y S(3, - 4). Hallar la ecuación de lacircunferencia inscrita a dicho rombo.

Solución: La figura 5.8 muestra gráficamente lo que pide elenunciado de este problema. Para que la circunferen-cia sea inscrita al rombo debe tocar en un solo puntoa cada uno de sus lados, es decir, cada lado del rom-bo es tangente a la circunferencia.

Por lo tanto, la clave para solucionar este problemaserá recordar la propiedad 1 de la circunferencia vistaen la página 9: Toda tangente a una circunferenciaes perpendicular al radio trazado desde el punto detangencia.

En la figura 5.8, el punto C representa el centro de lacircunferencia (que lo es también del rombo) y elpunto F representa el punto de tangencia entre la cir-cunferencia y el lado RS, por lo que el radio CF y ellado RS son perpendiculares.

figura 5.8

En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a simple vista, lo cual es válido ya quese tiene la seguridad de que los puntos P y R están a la misma altura horizontal mientras que los

puntos Q y S están alineados verticalmente. Por lo tanto, las coordenadas del centro son . C 3 2,

De tal manera que para encontrar la ecuación de la circunferencia ya solamente hace falta saber lamedida del radio. Dicha medida se puede obtener de dos formas: una, conociendo las coordenadasdel punto de tangencia F de lo que el radio sería la distancia entre dos puntos, el centro y F. La se-gunda forma, teniendo la ecuación del lado RS se puede calcular la distancia de RS al punto C.

En cualquiera de las dos formas es necesaria la ecuación del lado RS.

La ecuación de RS se puede calcular porque se tienen dos puntos por los que pasa.

; o sea que R 11 2, 1 111 2x ; y

; o sea que S 3 4, 2 23 4x ; y

1 21 1

1 2

y yy y x x

x x

2 42 11

11 3y x

62 11

8y x

Nótese que la pendiente de RS es 32 11

4y x

3

4RSm

4 2 3 11y x

4 8 3 33y x

ecuación de RS.3 4 25x y

A partir de la pendiente de RS que resultó , por la regla de perpendicularidad entre dos3

4RSm

rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es . Conociendo ya las coordenadas de4

3CFm

un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula su ecuación. Estos datos son:

; o sea que C 3 2, 1 13 ; 2x y

4

3CFm

1 1y y m x x

42 3

3y x

3 2 4 3y x

3 6 4 12y x

ecuación de CF.4 3 18x y

resolviendo por simultáneas las ecuaciones de RS y de CF se obtienen las coordenadas del punto detangencia F. Dicho sistema es:

3 4 25

4 3 18

x y

x y

que haciéndolo con la calculadora se llega a que

5 88x .1 84y .

La longitud del radio CF se obtiene con la fórmula de distancia entre dos puntos, cuyos datos de esosdos puntos son:

, o sea que C 3 2, 1 13 ; 2x y

o sea que F 5 88 ; 1 84. . 2 25 88 ; 1 84x . y .

2 2

1 2 1 2d x x y y

22CF 3 5 88 2 1 84. .

2 2CF 2 88 3 84. .

CF 8 2944 14 7456. .

CF 23 04.

CF 4 8.

Finalmente, teniendo las coordenadas del centro de la circunferencia y la magnitud del C 3 2,

radio , con la ecuación particular de la circunferencia se llega a que4 8r .

2 2 2x h y k r

2 2 23 2 4 8x y .

2 23 2 23 04x y .

Este problema también se pudo haber resuelto calculando la longitud del radio por medio de la fór-mula de distancia entre un punto y una recta.

5.5 CASOS ESPECIALES

1) Si , la gráfica es un punto.0r

Por ejemplo, . 2 2 4 6 13 0x y x y

Pasándola a la forma particular se obtiene . 2 22 3 0x y

2) Si , no existe gráfica.0r

Por ejemplo, .2 2 2 6 14 0x y x y

Pasándola a la forma particular se obtiene . 2 21 3 4x y

EJERCICIO 5.2

Algunos problemas incluyen sugerencias para el estudiante para ayudarle al razonamiento respectivo que le llevará ala solución. Otros tendrán sugerencias en la página de las soluciones.

1) Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4) y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados, encontrar su ecuación.

2) Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10) y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados, encontrar su ecuación.

3) Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 12) ; Q(- 14, 0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados, encontrar su ecuación.

4) Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(- 2, - 1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

5) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ; P 7 8,

y . Hallar las coordenadas del centro Q 5, - 6 R - 11, 2

de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo (ver figura5.9).

Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6. En lafigura 5.9 el punto medio de PR es mPR y el punto medio de QRes mQR. De estos puntos se han trazado las mediatrices (perpen-diculares a sus lados respectivos) y donde se cruzan C es elcentro de la circunferencia circunscrita. La distancia de C acualquiera de los vértices del triángulo es el radio.

6) En el problema anterior, hallas la ecuación de la circunferen-cia circunscrita al triángulo.

7) Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

en el punto P(5, 2) . Ver figura 5.10. 2 2x - 2 + y - 6 = 25

Sugerencia: Con las coordenadas del centro C de la circunferenciay las del punto P se puede calcular la pendiente del radio CP. Dichoradio es perpendicular a la recta tangente. Entonces se pueden tenercomo datos la pendiente y un punto por el que pasa dicha recta tan-gente.

8) Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferen-

cia en el punto P(- 2, 9).2 2 4 12 15 0x y x y

9) Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia sonlos puntos P(-12, 14) y Q(6, -10). Hallar la ecuación de dichacircunferencia (ver figura 5.11).

figura 5.9

figura 5.10

Sugerencia: El punto medio de los extremos del diámetro dado es el cen-tro de la circunferencia. La distancia de dicho centro a cualquiera de lospuntos P o Q es el radio.

10) Los extremos de uno de sus diámetros de una circunferencia son lospuntos P(- 8, - 11) y Q(- 2, - 3). Hallar la ecuación de dicha circunfe-rencia.

11) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ; P 2, 5

y . Hallar la ecuación de la circunferencia Q - 12, 7 R - 3, - 5

que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR (ver figu-ra 5.12).

Sugerencia: El radio de la circunferencia es la distancia que hay dellado QR al centro P, que con la fórmula de distancia de una recta a unpunto se puede obtener.

12) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ; P 4, 0

y . Hallar la ecuación de la circunferencia Q -3, 17 R -13, - 7

que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR.

13) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el ejeye y pasa por los puntos P(9, - 9) y Q(12, 12). Ver figura 5.13.

Sugerencia: Si el centro está sobre el eje ye significa que h = 0 y la

ecuación de la circunferencia es de la forma . 22 2x y k r En los puntos P y Q los valores de x y de ye están dados. Si se susti-tuyen en la ecuación de la circunferencia mencionada se obtienen dos

ecuaciones que son iguales a , por lo tanto se pueden igualar para2robtener el valor de k.

14) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el ejex y pasa por los puntos P(0, 3) y Q(7, - 4).

15) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

y que es tangente a la recta 5x + 12y + 184 = 0 en el pun- Q 9, - 5

to P(- 8, - 12) (ver figura 5.14).

Sugerencia: Por las propiedades de la circunferencia, la mediatriz de lacuerda PQ pasa por el centro de la circunferencia y el radio que pasa porP es perpendicular a la recta tangente. Esas dos ecuaciones se puedencalcular y el punto de intersección entre ellas es el centro de la circunfe-rencia.

figura 5.11

figura 5.12

figura 5.13

16) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto

y que es tangente a la recta 4x - 3y + 38 = 0 en el punto Q 2, 7

P(- 5, 6).

17) Comprobar que la circunferencia cuya ecuación en forma general

es es tangente exterior con la cir-2 2 18 6 65 0x y x y

cunferencia de ecuación . Ver figura 5.15.2 2 30 125 0x y - y

18) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son P(- 2, - 2),

y R(4, 6). Hallar la ecuación de la circunferencia que Q 5 2,

tiene por diámetro al lado PR como se ve en la figura 5.16.

19) En el triángulo del problema anterior, hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro a lamediana al lado PR (figura 5.17).

figura 5.14

figura 5.15 figura 5.17figura 5.16

análisis de la ecuación general ab d ef0 - fic.umich.mxlcastro/circunferencia.pdf · solución:...

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