análisis de funciones

Matemáticas – 1º y 2º BACHILLERATO [Estudio y representación de funciones]

Clases particulares de apoyo. | Imparte: Juan Pardal | Teléfono: 922 55 52 05 – 696 48 93 91 | e-Mail: [email protected] - 1 -

Pasos a seguir para estudiar una función:

1. Dominio de la función. 2. Puntos de corte. 3. Simetrías. 4. Asíntotas. 5. Crecimiento y decrecimiento. 6. Máximos y mínimos. 7. Concavidad y Convexidad. 8. Puntos de inflexión. 9. Representación gráfica.

Vamos a estudiar la siguiente función:

1. Dominio de la función.

El dominio de la función será todo - {los valores que hagan CERO el denominador de la

función}

Para ello, x2-1 = 0

x2 = 1

x = ±√1

x = +1

x = -1

Dom. F(x) = - { -1, 1}

2. Puntos de corte.

a) Con el eje OY: x = 0

= y

x = 0 y = 0

(0,0)

b) Con el eje OX: y = 0



---

x = 1,41 y = 0

x = -1’41 y = 0

(1’41,0)

(-1’41,0)

3. Simetrías.

a) Con respecto al origen u OX (también llamada simetría impar):

Como dan distinto, no tiene simetría.

b) Con respecto a OY (también llamada simetría par):



Si hubiéramos obtenido dos valores distintos de ∞, entonces podríamos tener algo como lo

siguiente: Ejemplo: m=2 y n=3; entonces y=2x+3. Se representaría obteniéndose la

tabla de valores.

5. Crecimiento y decrecimiento.

(No tiene solución al obtenerse una raíz negativa)

Por tanto, el único valor válido obtenido sería x=0.

A continuación hacemos “regiones” con el valor obtenido, es decir, x=0.



Vamos a interpretar el gráfico anterior: Hemos hecho regiones con x=0. Una región ha sido desde

-∞ hasta 0, y la otra, desde 0 hasta +∞ (aunque aparecen también desde -1 a 0, y desde 0 a 1,

éstas no hacen falta).

Hemos calculado lo siguiente:

Cogemos un valor entre el intervalo (-∞,0); por ejemplo, el -1.

Ahora hacemos:

Nos sale que no existe porque hemos cogido un valor que no existía en el Dominio de la función.

Hay que coger otro que esté en el mismo rango pero que no esté dentro de los que no existe en el

dominio.

< 0 Creciente

Cogemos un valor entre el intervalo (0,+∞); por ejemplo, el +2 (no cogemos el +1 porque está

dentro de los que no existe el dominio.

> 0 Decreciente

6. Máximos y mínimos.

Con los puntos obtenidos en el apartado de CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, es decir, en este

ejemplo, x=0, hacemos:

Hay un mínimo



Para averiguar dónde está el mínimo hacemos:

El mínimo está en: (0,0)

7. Concavidad y convexidad.

; mediante Ruffini tenemos x=1’7877 y x=-1’7877.

A continuación hacemos “regiones” con los valores obtenidos, es decir, x=1’8 y x=-1’8.

(-∞,-1’8) (-1’8,+1’8) (+1’8,+∞)

U U U

cóncava cóncava cóncava

Vamos a interpretar el gráfico anterior: Hemos hecho regiones con x=-1’8 y x=+1’8. Una región

ha sido desde -∞ hasta -1’8, otra ha sido desde -1’8 hasta +1’8, y la última ha sido desde +1’8

hasta +∞.

Hemos calculado lo siguiente:

Cogemos un valor entre el intervalo (-∞,-1’8); por ejemplo, el -2.

Ahora hacemos:



Cogemos un valor entre el intervalo (-1’8,+1’8); por ejemplo, el 0.

Ahora hacemos:

Cogemos un valor entre el intervalo (+1’8,+∞); por ejemplo, el 2.

Ahora hacemos:

Hay que tener en cuenta, que si en vez de >0 hubiera dado <0, debería haber sido CONVEXA en

vez de CÓNCAVA.

8. Puntos de inflexión.

Con los valores que obtuvimos en el apartado de CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD, es decir, en este

ejemplo, x=-1’8 y x=+1’8, hacemos:

Como el resultado obtenido es DISTINTO DE CERO, entonces existe un punto de inflexión. Y para

calcular éste hacemos:



Entonces, el punto de inflexión está en (-1’8,1’8).

Como el resultado obtenido es DISTINTO DE CERO, entonces existe un punto de inflexión. Y para

calcular éste hacemos:

Entonces, el punto de inflexión está en (1’8,1’8).

9. Representación gráfica. f(x)=((x^4)-2(x^2))/((x^2)-1)

x=1

x=-1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

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