ANALISIS DE ESTABILIDAD

EN SISTEMAS DISCRETOS

1. INTRODUCCION.-

Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cuál fuese su estado inicial.

La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador.

Tal como se ha visto en los temas anteriores la respuesta de bucle cerrado para un sistema de control generalizado es:

Normalmente, la estabilidad o inestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo, independientemente de la entrada. Es un problema del sistema.

Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y(s) en fracciones simples. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuación característica (1 + Gc Gp Gf Gm = 0). La ecuación característica es el denominador de las funciones de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol, es decir, es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación (GOL).

Las raíces de la ecuación característica son α i, i = 1, , n. Por tanto, una vez realiza la des-composición en fracciones simples:

Tras realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real:

donde:

αi ∈ C, ∀i

Es decir, todas las raíces de la ecuación característica son números complejos. Por tanto, para todo i:

El valor de γ no influye en la salida del sistema desde el punto de vista de la estabilidad, ya que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas. Sólo cambia la frecuencia de la res-puesta.

En cambio, si β es positivo, aparece un problema de estabilidad ya que la respuesta aumentaría constantemente con el tiempo. Por tanto, para que la salida del sistema sea estable todas las partes reales de las raíces de la ecuación característica deben ser negativas, deben estar situadas en el semiplano real negativo. En el caso de que alguna no lo fuese:

Con esta información es posible diseñar técnicas que permitan seleccionar las constantes del controlador garantizando la estabilidad del sistema.

2. ESTABILIDAD DE SISTEMAS MUESTREADOS.-

Las técnicas para el estudio de la estabilidad de sistemas muestreados de control son analizadas en este capítulo. En general, los métodos de estudio de la estabilidad de sistemas continuos son también aplicables al análisis de sistemas muestreados, si ciertas modificaciones son realizadas. Estos métodos incluyen el criterio de Routh– Hurwitz, el método del lugar de las raíces y los métodos de análisis frecuencial. También es analizado el criterio simplificado de Jury que es una técnica especialmente desarrollada para analizar la estabilidad de sistemas de tiempo discreto.

Con el fin de enfatizar las similitudes y diferencias entre los sistemas de tiempo continuo y discreto, se compara la estabilidad de un sistema de control continuo con el de su equivalente discreto.

En sistemas continuos, la estabilidad se analiza a partir del denominador (ecuación característica) de la función de transferencia de lazo cerrado:

T s Y s Gs .

Rs Gs H s1

r(t) + e(t) y(t)G(s)

-

H(s)

Sistema de Control de tiempo continuo.

La posición de las raíces de la ecuación característica (1 + GH(s)), determina la estabilidad del sistema. El límite de la región de estabilidad en el plano s es el eje jw, debido a que polos con parte real negativa implican una respuesta que se amortigua en el tiempo.

Si se muestrea la señal de error y se utiliza un reconstructor de orden cero, se obtiene el sistema de control de tiempo discreto de la figura siguiente.

La estabilidad del sistema se analiza de acuerdo a varios “criterios”:

Estabilidad BIBO Criterio Routh-Hurwitz Teorema Lyapunov Criterio Nyquist Criterio Jury

Algunos de estos criterios responden a conceptos geométricos, y, a conceptos analíticos.

3. ESTABILIDAD DE BIDO.-

La estabilidad BIBO (bounded-input bounded-output) se fundamenta en una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema: considerar que el sistema será estable si las distintas magnitudes que lo definen, no alcanzan valores infinitos

Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si, ante cualquier señal de entrada acotada (es decir que no alcanza valores infinitos), responde con una señal de salida acotada.

4. CRITERIO ROUTH-HURWITZ.-

El criterio Routh-Hurwitz se clasifica en el grupo de métodos analíticos. Su reflexión parte de que para un SCA de lazo cerrado, se puede obtener la función de transferencia en la forma:

Entonces, el denominador de la función de transferencia del sistema se denomina ecuación característica del sistema

El criterio Routh-Hurwitz propone que la naturaleza del proceso transitorio y la estabilidad del sistema dependerá de las raíces de esta ecuación.

Las raíces de una ecuación a(s), en transformadas de Laplace, están distribuidas en el plano de coordenadas, definido por el eje de los números reales (abcisas) y el eje de los números imaginarios (ordenadas).

Un polinomio a(s), se dice polinomio de Hurwitz, si todas sus raíces tienen la parte real negativa.

Según el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, para que un sistema sea estable basta con que la ecuación característica del sistema, de lazo cerrado, sea un polinomio Hurwitz.

En la práctica, el principio de estabilidad de Routh-Hurwitz se basa en el análisis de los coeficientes de la ecuación característica

El sistema, cuya ecuación característica posee dos raíces conjugadas, representadas de color amarillo, es un sistema estable.

El sistema, cuya ecuación característica posee dos raíces conjugadas, representadas de color rojo, no es un sistema estable.

La validez del criterio de Routh-Hurwitz se fundamenta en que, dada una ecuación característica a(s) es posible encontrar su solución común en la forma:

En la que Si son las raíces de la ecuación característica.

De otra parte, los significados de las funciones originales y de las funciones imágenes están ligadas por la expresión:

De tal forma que para todo Si<0, todos los elementos de para t →∞ se aproximarán a cero, y, el sistema será estable.

Para todo si>0, los elementos se alejarán de cero, y, el sistema no será estable.

5. TEOREMA LYAPUNOV.-

El teorema de Lyapunov permite juzgar sobre la estabilidad de un sistema “en grande”, conocido su comportamiento en “pequeño”.

Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un sistema, de lazo cerrado, es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema es estable en “grande”.

Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un sistema de lazo cerrado no es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema no es estable en “grande”.

6. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST.-

El criterio de estabilidad de Nyquist, para un sistema de lazo cerrado, se basa en el análisis de la representación gráfica de la función de transferencia.

En el plano de coordenadas s se define la curva cerrada C (o contorno de Nyquist), el mismo que rodea el semiplano de la parte real positiva del plano complejo. Si las raíces de la ecuación característica están fueran del contorno, entonces el sistema será estable.

Contorno de Nyquist para estudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado

Diagrama polar y contorno de Nyquist para un sistema de primer grado

7. CRITERIOS DE JURY.-

De acuerdo al criterio de Jury, las raíces de la ecuación característica de un sistema de lazo cerrado estable, se encuentran dentro de la circunferencia unitaria centrada en el origen del plano de coordenadas complejas