análisis de dualidad y sensibilidad word

7/22/2019 Anlisis de Dualidad y Sensibilidad word

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Anlisis de Dualidad y Sensibilidad Universidad Alas Peruanas

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PRESENTACION

El siguiente trabajo est redactado de forma clara y precisa para que as sea de su totalcomprensin y entendimiento, adems de estar echo con dedicacin indagacin yesfuerzo, esperamos sea de mucho apoyo y ayuda para todos nosotros


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INTRODUCCION

El principal objetivo de ste trabajo, consiste en formular y resolver diversos problemas

orientados a la toma de decisiones. La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinstica, Probabilsticos. Hoy en da, la toma de decisiones abarca una grancantidad de problemas reales cada vez ms complejos y especializados, quenecesariamente requieren del uso de mtodos y herramientas de resolucin, como losque provee la Investigacin de Operaciones.


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Anlisis de Dualidad y Sensibilidad

ANLISIS DE DUALIDAD

Teor a de l a d ual id ad. El dualismo es una teora que surge como consecuencia de unaprofundizacin en el estudio de la Programacin lineal.

Problema dual

Cada problema de programacin lineal (Primal) est estrechamente relacionado con otroproblema simtrico a l, denominado problema dual.

El dual es un problema de PL que se obtiene matemticamente de un modelo primal dePL dado. Los problemas dual y primal estn relacionados a tal grado, que la solucinsmplex ptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automtica a lasolucin ptima del otro.

El mtodo smplex adems de resolver un problema de PL llegando a una solucinptima nos ofrece ms y mejores elementos para la toma de decisiones. La dualidad y elanlisis de sensibilidad son potencialidades de ste mtodo.

En la mayora de los procedimiento de PL, el dual se define para varias formas del primal,dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las variables y del sentido dela optimizacin. La experiencia nos indica que en ocasiones, los principiantes seconfunden con los detalles de esas definiciones. Ms importante an es que el uso deesas definiciones mltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datosen la tabla smplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables.


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El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociacin y unarelacin muy importante con otro problema de programacin lineal, llamado precisamentedual.

La relacin entre el problema dual y su asociado, es decir el problema originalllamado primal, presenta varias utilidades:

Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresin de la PL.

El anlisis de dualidad es una herramienta til en la solucin de problemas dePL, por ejemplo: ms restricciones que variables.

El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestranque los anlisis marginales estn siempre involucrados implcitamente al buscar lasolucin ptima a un problema de PL.

La forma estndar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar.

sujeto a;

Cmo convertir un problema primal a dual?

Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma:

1. Si el primal es un problema de maximizacin su dual ser un problema deminimizacin y viceversa.


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2. Los coeficientes de la funcin objetivo del problema primal se convierten en loscoeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten enlos coeficientes de la funcin objetivo (vector de costo o precio) en el problemadual.

4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, ser la matriz de loscoeficientes tecnolgicos en el dual.

5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal.6. Cada restriccin en un problema corresponde a una variable en el otro problema.

Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendr n restricciones y mvariables. As, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym enel dual.

ROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA:

AX Z= CX

ujeto a:

X b

0

PROBLEMA DUAL EN FORMA CANONICA:

MIN Z= BY

Sujeto a:

AY C

Y 0

Ejemplo.

Si el problema primal es:

MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 200

9X1 + 8X2 + 10X3 5000

10X1+ 7X2 + 21 X3 4000

Xj 0

El problema dual ser:


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MIN Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3

Sujeto a:

Y1 + 9Y2 + 10Y3 45

Y1 + 8Y2 + 7Y3 17

Y1 + 10Y2 + 21Y3 55

Yj 0

Forma de presentar el problema dual

MIN = 2X1 - 3X2

Sujeto a:

1X1 + 2X2 12

4X1 - 2X2 3

6X1 - 1X2 = 10

X1,2 0

1. Llevar el problema a su equivalente de maximizacin, multiplicando la funcinobjetivo por 1:

MAX -2X1 + 3X2

2. Convertir las restricciones en una restriccin equivalente multiplicando por 1ambos lados:


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-4x1 + 2x2 -3

3. Para las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de desigualdad, una deforma y la otra de forma ; despus regresar al punto anterior y cambiar larestriccin a la forma :

6X1 1X2 10

6X1 1X2 10

6X1 1X2 10

-6X1 + 1X2 -10

As el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente:

MAX Z= -2X1 + 3X2

Sujeto a:

1X1 + 2X2 12

-4X1 + 2X2 - 3

6X1 1X2 10

-6X1 + 1X2 -10

X1,2 0

4. Teniendo el problema primal convertido a la forma cannica de un problema demaximizacin, es fcil llevarlo al problema dual:

MIN 12Y1 3Y2 + 10Y3

Sujeto a:Y1 4Y2 + 6Y36Y3 2 Y3 y Y3 ambas se refieren a la tercera restriccin

2Y1 + 2Y2 1Y3 + 1Y3 3 del problema primal.

Y1, 2, 3, 3 0


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ANLISIS DE SENSIBILIDAD

El anlisis de sensibilidad es un mtodo para investigar el efecto que tiene los cambios enlos diferentes parmetros sobre la solucin ptima de un problema de programacinlineal. Se pueden cambiar los coeficientes de la funcin objetivo, los valores del segundotrmino de las ecuaciones de restriccin. Es frecuente que los coeficientes de la funcinobjetivo o los valores del segundo trmino en las ecuaciones de restriccin seanestimadas, y por ello, la sensibilidad de la solucin ante cambios en estos parmetros esde especial valor. El impacto que tienen los cambios en los coeficientes del cuerpo de lasrestricciones es de menor importancia porque se obtienen de la tecnologa del problema,es ms probable que estos coeficientes sean valores reales y no estimaciones, por estasrazones, se consideran solo los cambios en los coeficientes de la funcin objetivo y en losvalores del segundo trmino.

Ejemplo:

Una compaa fabrica 4 modelos de escritorios, cada escritorio es primero construidoen el taller de carpintera y entonces es enviado al departamento de acabados, dondeeste es barnizado, encerado y pulido, se proporciona a continuacin la siguienteinformacin:

Los insumos (materia prima y accesorios) estn disponibles en cantidadessuficientes y todos los escritorios pueden ser vendidos.


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La compaa desea determinar la mezcla ptima de productos tal que semaximice la ganancia.Las limitaciones de capacidad por departamento para el prximo periodo deplaneacin son: 6000 hh en el taller de carpintera y 4000 hh en el deacabados.Las horas hombre requeridas por tipo de escritorio y sus ganancias se dan acontinuacin:

ESCRITORIO

1 2 3 4Taller de carpintera (H.H) 4 9 7 10Depto. de acabados (H.H) 1 1 3 40Ganancias (en miles) 12 20 18 40

TABLA INICIAL:

XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZj-Cj -12 -20 -18 -40 0 0 0

X5 4 9 7 10 1 0 6000X6 1 1 3 40 0 1 4000

TABLA FINAL:

XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZj-Cj 0 20/3 10/3 0 44/15 4/15 56000/3

X1 1 7/3 5/3 0 4/15 -1/15 4000/3X4 0 -1/30 1/30 1 -1/150 4/150 200

Preguntas a contestar:

Un nuevo escritorio con requerimientos de los departamentos de carpintera yacabados de 5y 8 hh respectivamente y una ganancia de 28 pesos escontemplada, es rentable producir este escritorio. De serlo cul es la mezclade productos?Cunto tiene que ser incrementado el precio de los escritorios tipo 2 y 3 parahacerlos rentables y ser producidos?

A qu valores de requerimientos de hora ambos departamentos harn elescritorio 2 ser rentable para producirse? (a 12 y/o 22)

Muestre que hasta 571.34 escritorios del tipo 2 pueden ser producidos si c2 esincrementado en 20/3. Cul es la mezcla resultante de productos y suganancia?


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Si la capacidad del departamento de acabados es incrementad en 20000 horaspor periodo de tiempo, cul es la mezcla resultante del producto y la nuevaganancia? Cul variable bsica sale de solucin?

Suponga que la capacidad del taller de carpintera ha reducido su capacidad a900 hh, cul es la mezcla resultante de productos y su ganancia ptima; yque variable sale de solucin?

Para qu rango de capacidad en el taller de carpintera la solucin (xi, x4)sigue siendo optima?

Si una unidad del escritorio 2 es producida qu cambios ocurriran en la tablasiguiente?.

Variable Cant. de cambio Costo-unidad Costo de cambioX2 +1 -20 -20X1 ? -12 ?

X4 ? -40 ?

Puede ser rentado un equipo en $5000 para incrementar la capacidad del taller de carpintera en 10%, adems se puede obtener un 20% ms de la capacidadcon tiempo extra a un costo de $1.5 por H.H. Qu sugiere?

Para que rango de ganancias del escritorio 4 la presente solucin es anptima? Determine que actividad entra en solucin si C4 es reducida en -20 yes reducida hasta 19/2. Qu actividad deja la solucin en ambos casos?


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BIOGRAFAS (Fuentes Electrnicas)

http://wwwunix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.htmlhttp://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.htmlhttp://lionhrtpub.com/software-surveys.shtml

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