1. 1. Jos Javier Martnez Echeverry Anlisis bsico de estructuras Texto Facultad de Ingeniera Nmero y Lnea. 2010
2. 2. Pontificia Universidad JAVERIANACali Rector: Jorge Ht1111berto Pelaez Piedrahta, S.J. Vicerrector Acad111ico: Antonio de Roux Rengifo Vicerrector de Medio Universitario: Gabriel Jaime Prez, S.J. Facultad de lngenieria Decano: Mauricio Jaramillo Ayerbe Decano del Medio Universitario: Luis Femando Granados Ospina S.J. Director del Depaitain ento de Ciencias de la Jngenieria y la Produccin: Alvaro Fgueroa Anlisis Bsico de Estructuras Autor: Jos Javier Martinez E. Coleccin: Texto Ntin1ero y Lnea ISBN 978 958 8347 46 2 Coordinador Editorial: Ignacio Murgt1etio Correspondencia, suscripciones y solicitudes de cai1je: Calle 18 No. 118-250, Va Pance Sai1tiago de Cali, Valle del Cauca Pontificia Universidad Javeriai1a Facultad de lngenieria Telfonos (57-2) 32 18200 Exts. 319/ 511 Fax 555 2823 josejm@javeriai1acali.edu.co Impresin: Multimedios PUJ Cali Diseo: William Femando Yela Enero de 2011
3. 3. Jos Javier Martnez Echeverry Anlisis bsico de estructuras
4. 4. Ma1t nez Echeveny, Jos Javier Anlisis bsico de esl.iu cturas : texto I Jos Javier Maitnez Echeveny. -- Santiago de Cali : Pontificia Universidad Javeriana, Sello Editorial Javeriano, 2010. 325 p. : iL ; 28 cm. - (Coleccin Texto-nmero y lnea) Incluye referencias bibliogrficas e ndice. ISBN 978 958 8347 46 2 1. Teora de las esl.iu cturas 2. Caigas 3. Fuerza y energa L Pontificia Universidad Javeriana (Cali) Facultad de Ingeniera. Depa1tamento de Ciencias de la Ingeniera y la Produccin. SCDD 624.17 1 ed 21 BPUJC ann/11
5. 5. Contenido 1. Esttica de esl111cturas simples 1.1. Preliminares 1.1.1. Definicin de una estructura 1.1.2. Alcm?Ces 1.1.3. Propiedades Estructurales 1.1.4. Suposiciones Bsicas 1.2. Clasificacin de las esttucturas 1.2.1. Cmgas Sinl]Jles 1.2.2. Sistenws de Cargas 1.3. Superposicin de cargas 2. Oiigen y efectos de las cargas 2.1. Inttoduccin 2.2. Cargas mue1tas 2.3. Cargas vivas 2.4. Cargas de sismo 2.5. Cargas de viento 2.6. Cargas debidas a temperatura 3. Sistemas de fuerzas 3.1. Definiciones 3.2 Caractersticas de una fuerza 3.3 Equilibrio esttico de un sistema de fuerzas 3.4 Fuerzas inte1nas en los elementos del sisten1a 4. Estabilidad y dete11niI1acin esttica de esllucturas Pg. 9 9 9 10 10 10 10 10 12 13 15 15 15 18 22 28 34 39 39 40 42 43 47
6. 6. 4.1 Estabilidad esttica de cerchas 4.1.1. Mtodo de las Dos Bmras 4.1.2. Mtodo de las Tres Barras 4.1.3. Mtodo de laArticulaciny la Barra 4.1.4. Mtodo de las Tres Articulaciones 4.1.5. Forntacin de Cerchas 4.2. Estabilidad exte1na de cuerpos estlucturales 4.3. Determinacin esttica exte1na 4.4. Equilibrio inte1no de cerchas 4.5. Equilibrio inte1no de vigas y p1ticos 5. Clculo de reacciones en estructuras estticamente detenninadas 5.1. Reacciones en vigas isostticas siinples 5.2. Reacciones en vigas isostticas compuestas y p1ticos 6. DetenniI1acin de ft1erzas axiales en cerchas 6.1. Tipos de cerchas isostticas 6.2. Anlisis de una cercha isosttica 7. Fuerzas internas en vigas y prticos 7.1. Equilibrio inte1no 7.2. Ecuaciones diferenciales 7.3. Diagramas de fuerzas inten1as 8. Clculo de defo1maciones 8.1. Defo1macin axial 8.2 Defonnaciones por flexin 8.3 Deformaciones con funciones de singularidad 9. Arcos isostticos 47 47 48 48 49 50 50 52 54 56 65 67 77 91 91 92 107 108 109 112 151 151 152 155 175
7. 7. Anl.isis bsico de est111cturas 10. Mtodos energticos para el clculo de defo1maciones 10.1. Trabajo exte1no 10.2. Trabajo inteino 10.3. Trabajo real 10.4. Trabajo virtual 10.4.1. Trabajo virtual en cerchas 10.4.2. Trabajo virtual en11igas 10.5. Mtodo de integracin visual 11. Anlisis de estructuras hiperestticas por giro-deflexin 11.1. Relacin de fuerzas y defo1maciones en los nudos 11.2. Derivacin utilizando fuerzas y momentos de 1igidez 11.3. Fuerzas de empotra1niento en los nudos 11.4. Grados de libe1tad y relaciones de rigidez 12. Est111cturas estticamente indete1minadas 12.1. Fundamentos del mtodo de las fuerzas 12.2. Fo1malizacin del mtodo de las fuerzas Bibliografia 197 197 198 200 202 203 204 222 235 235 238 240 268 277 277 280 321
8. 8. Anl.isis bsico de est111cturas 1. Esttica de estructuras simples 1.1 . Preliminares El propsito del presente texto es fundamentar al lector en la fo1macin y anlisis de estructmas deten1rinadas e indete1minadas y en la n1anera de co1nbinar, conectar y sopo1tar los diferentes eleme11tos que definen las caracteristicas y tipos de estn1cturas. Se mostrarn los conocimientos necesarios que le pe1mitan al lector analizar las est111cturas utilizando tcnicas basadas en trabajo, energa y mtodos mat1iciales. El anlisis in1plicar el llSO de modelos inate1nticos para el clculo de las fuerzas inte1nas y los desplazamientos. Los objetivos especficos de este texto so11 los siguientes: Definir al lector las caracte1sticas geo1nt1icas de la estructma, as co1no las cargas, reacciones y fuerzas que nos perntan idealizar la est111ctura real en un modelo 1nate1ntico representado por los ejes lineales de s11s elementos y sopo1tada por rest1icciones idealizadas. Capacitar en el diagnostico del tipo de est1uctura a analizar teniendo en cuenta c1ite1ios de geomet1a y estabilidad, tipos de apoyo, grados de libe1tad y clasificacin esttica de la estn1ctma. Hallar las defo1maciones y fuerzas internas mediante el llSO de mtodos isostticos y los conceptos de trabajo y energa. Conocer la relacin entre las cargas aplicadas, las fuerzas internas que desaiTollan los elementos resistentes y los materiales utilizados cuando son sometidos a esfuerzos. Analizai estructmas apo1ticadas de tal inai1era que s11 est11dio presente bases finnes paia alte1nativas de diseo en temas q11e involucran este tipo de est1ucturas. Establecer tma co1Telacin entre las fuerzas inte1nas y el co1npo1tamie11to de cada uno de los ele111entos est1uctlirales del siste1na, lo Inismo que el reforzanento y din1ellSio11es de los estos ele1ne11tos. 1.1.1. Definicin de una estructura U11a estructura es un inecanismo designado para sopo1tai cargas y resistir ft1e1zas. El objetivo de la teora de las estructuras es adelantai un anlisis metodolgco aplicable a un e11sainblaje de inie1nbros individ11ales llainados banas o placas. El ensamblaje total, es decir, las co11exiones, co1nbinaciones y soportes de estos elementos es conocido como la anncz=n o rn.odelo terico de la estn1ctma. El ellSan1blaje de estructuras pretende identificai grfican1ente fo1mas conocidas como edificios, puentes, tanq11es, tones y bodegas. La ai111azn p11ede concebirse co1no el esq11eleto de la estructl1ra y es ll11 sistema de iniembros conectados entre s q11e sopo1tan cargas imp11estas por el peso propio, peso de materiales fijos, peso de cargas impuestas por la gente, peso de objetos 1nviles o por las fuerzas de la nat1ualeza. Una vez el tipo y la fo1ma son seleccionados, todo el siste111a y cada paite del irus1no son analizados numricamente. El anlisis es completado cuando los esfuer=os internos y los desplcz=aniientos hai1 sido deten1rinados. 9
9. 9. Jos Javier Mwtnez Echeverry 1.1.2. Alcances El contenido de este texto est orientado al anlisis numrico de vigas, p1ticos, cerchas y arcos, esencialme11te en dos direcciones, por c11anto sus cargas internas y exten1as, lo 1nismo q11e las reacciones, son res11eltas en un sistema coplanar. La est1uct1rra analizada es idealizada con lll1 inodelo inate1ntico representado por elementos simples lineales que se extie11de11 a lo largo de su eje centroidal, cargada con fuerzas simblicas actuando desde el exterior en los ele1nentos de la est111ctura, y sopo1tada por restricciones idealizadas representadas por conexiones que transn1iten las cargas a s11perficies de rigidez in.finita. 1.1.3. Propiedades estructurales Para un anlisis estn1ctural, cuatro tipos de propiedades deben tenerse en cuenta: (1) Propiedades geo11,1tricas: coordenadas, ngulos, seg1nentos, y secciones traiisversales de los ele1nentos. (2) Propiedades estticas: cargas, reacciones y esfuerzos. (3) Deforniaciones: desplazainie11tos lineales y ang1tlares del eje centroidal y los sopo1tes. (4) Constantes de los 1nateriales: nldulos de elasticidad y de iigidez de los materiales, constantes de densidad y coeficientes de cainbio de volumen. 1.1.4. Propiedades estructurales CiI1co suposiciones bsicas se hacen para el presente c1uso de anlisis estn1ctural: (1) Los materiales estiuctmales sern ho1nogneos, isotpicos, continuos y siguen la ley de Hooke. (2) Todas las deformaciones son pequeas y no alteran significativainente la geometria i1ricial de la est1uctura. (3) Todas las cargas son aplicadas gradualmente y el p1incipio de superposicin es vlido. (4) Las constantes de los materiales son conocidas a paitir de expe1in1entacin y son indepe11die11tes del tie1npo (5) Los siste1nas se enc11entran en un estado de equilibrio esttico. 1.2. Clasificacin de las cargas 1.2.1. Cargas si1nples Las cargas simples q11e pueden ser consideradas son las siguientes: (1) Carga concentrada P: es una fuerza siinple aplicada en cierto p1mto de la est1uct1ua. La representacin grfica de esta carga es lma flecha indicando la linea de accin de la carga y su sentido. E11 general, todas las cargas concentradas so11 en realidad cargas distribuidas actuando en un peq11eo seginento de la est1uctura. 10
10. 10. Anl.isis bsico de est111cturas (2) Mo1nento aplicado M representa la accin de un par de fuerzas separados por una distancia cualquiera y el c11al es aplicado en un p1mto de la est111ctura. La representacin grfica de un n1ome11to es llll arco circular con lma flecl1a indicando su sentido. 1 - - b1 - a . 'p .. rr--. ~. ~. ____,,,_~-. ~. ~~-.-----,. @ .flt7. ~7 uRA L URs I I CARGA PUNTUAL MOMENTO APLICADO Figura 1.1. Vigas snples con carga concentrada y con nlomento aplicado. (3) Carga unifonne1nente distribuida: es un peso o presi11 uniforn1e111ente distrib1da sobre una longitud deten11inada del 11e1nbro estructural. Su representacin grfica es llll rectngulo cuya altura es la i11te11sidad de la carga111 aplicada e11 lmalongitl1d L. (4) Carga con variacin unifor1ne: es una presin cuya variaci11 es definida por una ftmcin lineal. La representacin de esta carga es llll rea e11ce1Tada de fo1ma triang1llar o trapezoidal. 1 .- 1 r b a 1 .. 1 1 w . 1 +:llllll+ CARGA UNIFORME 1 b 1 a 1 . 1 ~ ... . ~w1 W1 G.l..1J...l.lj 2 CARGA CON VARIACIN UNIFORME Figura 1.2. Vigas simples con carga distiibuida y con carga con variacin unifo1n1e. (5) Carga con variacin regular: es un peso o presin c11ya vaiiacin est de:fi1rida por una ftu1cin analtica. La representacin de esta carga es llll rea ence1Tada por la grfica de la funci11 de la carga y el eje del miembro. (6) Carga con variacin irregular: es lma caiga o presin c11ya variaci11 no es definida por una ftmcin analtica. Paia el anlisis la caiga se divide en pequeas franjas de ai1cho Llx los c11ales so11 tratados co1110 caigas concentradas P; = 111; *Llx, e11 la cual 111; es la inte11sidad pro1nedio de la caiga en el donrimo de la distancia Llx. 11
11. 11. Jos Javier Mwtnez Echeverry 1 b , , I 1 a 1 w9 = f(x) 1 : nrrrrrn(8)E- - - - - - - - - -:t~ . . u~ URs I L I CARGA CON VARIACIN REGULAR b (~Xi , W) . 1 a 1 -+I ~ ' . _.....;...,,, -r-r-,---l. ,.,.. . 1 r/ :::(8) ~ -- - - ~ - - - - - ~ ll ~'.7: uRA P (equivalente} = L(w;*Llx;} nRe I CARGA~NIFORME ,.1 Figura 1.3. Vigas simples con carga variando regular e it1egula1mente. 1.2.2. Siste1na.s de Cargas Se pueden clasificar de la siguiente 111ai1era: (1) Siste1na sinitrico: es lll1 sistema de fuerzas y 1110111entos en donde para cada carga existe otra carga igual en 111agnitud, pero colocada si1ntrican1ente con respecto al eje ce11tral del elemento. (2) Siste1nas antisilntricos: es llll sistema de fuerzas y mon1e11tos ei1do11de para cada carga existe otra carga de ig11al magnitud, separada simtrican1e11te con respecto al pm1to medio del elemento y colocada en sentido opuesto a la direccin de la p1imera carga. 1 b 1 -+---'"---_,. l-""'b_.,..1 1 1 1 1 1 a . 1 ,., w 1 i Jlol 1 Q Q L SISTEMA SIMTRICO ~. b 1 ,. 1,.. 1 1 1 . a a ,. ~ p w prr : ~ Ji w ftttt . ~ !- . l* l .*J.- .- .-3)-io o , , URe I L SISTEMAANTISIMTRICO Figura 1.4. Sistemas simtrico y antisit11trico de cargas. (3) Sistenia si1ntrico cclico: es un sistema de fuerzas y 1110111entos en donde para cada conjunto de cargas existe otro conjunto igual e11 naturaleza pero colocado en sentido siintrico. 12
12. 12. Anl.isis bsico de est111cturas (4) Siste1na antisilntrico cclico: es llll siste1na de fue1zas y 1non1entos en donde para cada conjlmto de ca1gas, existe otro sisten1a similar en naturaleza pero colocado en sentido antisimt1ico. b b . 1 b 1 b 1 a 1 1 a .,1a a .. .., 1 .. 1 .. 11 1 1 1 11 pi 1 p! pi p! - - - - - - ; Q Q .. , Q Q 1RA L URs L URs I I I SISTEMA cicuco SIMTRICO SISTEMA CCLICOANTISIMTRICO Figura 1.5. Vigas simples mostrando los sisternas cclicos de carga simtrico y antisirntrico. 1.3. Superposicin de cargas E11 la teo1ia elemental de estI11cturas se aswne la validez del concepto de supeiposicin de cargas, segn el cual son vlidos los siguientes dos p1incipios: Siana. El efecto de llll sistema de cargas es igl1al a la Sllilla de los efectos de cada carga aplicada sepa1adame11te (ver Figu1a 1.6). Colocacin. El efecto de 1m sistema de cargas es indepe11diente del orden de aplicacin de las cargas. 1 a, 1 b, 1 1 .., . 1 p 1 . @ ~ . - . - . - . - . - . - . - . - . - . @ 1 b, 1 ~ -;::: . u ~ URs 1 a, . 1 1 . . I L .. 1 ' p 1 1a2 1 H ) 1 . 1 1 1 w 1 ~ .1 . ' titllltt .1' ~ E . - .- . - . - . - . - .- .- .-~a2 1 1 . 1 w 1 ~ .. . 1 URA IlRs . t I I I I t I t' L ~~ . . . . . ~ I I r ~ L IlRs I I J Figura 1.6. Aplicacin del principio de superposicin: los efectos separados de las cargas tienen el mismo resultado cuando se torna el efecto total de las cargas. 13
13. 13. 2. Origen y efectos de las cargas 2.1 . Introduccin Las cargas son fi1erzas ql1e actan sobre el siste1na estructural y provienen del peso de todos los ele1nentos permanentes en la constI11ccin, los ocupantes y sus posesiones, efectos ambientales, ase11tainientos diferenciales y rest1iccio11es en los cambios dimerisionales. Las cargas ms impo1tantes ql1e debe sopo1tar una estiuctura se clasifican ei1 rnuertas, vivas y accidentales (cargas sis1nica y de viento). Las cargas rnuertas y vivas ejercen, por lo general, una fuerza descendente de manera coristante y acumulativa desde la paite ms alta del edificio hasta su base. Las cargas de sis1no y viento se consideran en el plano ho1izontal de la edificacin y son aplicadas, respectivamente, en los nl1dos de cada nivel o a lo laigo de la altura de la edificacin. Es conveniente te11er en clienta las siguientes consideraciones durante la detem1inacin y efecto de las cargas de la estructura a considerar: (1) Se deben incllr todas las cargas probables que una estiuctura tendiia que soportai', incluyendo acciones potenciales que puedan suceder en tien1po futl1ro. (2) Las caigas perrnanentes son aquellas que varian1nuy poco en el tiernpo y con pequeos intervalos de vaiiacin en magnitud. (3) Las est1ucturas deben din1ensionaise co11 objeto de que no falle11 ni se defo1men excesivamente bajo la accin de cargas. (4) Un siste1na de cargas actuando en lma estn1ctura tiene tres tipos diferentes de efectos: reacciones, esfi1erzos y defo1maciones. Todas estas cantidades son fiu1cin de las cargas y de la f01ma de la estiuctlrra. Las diversas fuentes de caiga para los tipos de estructmas mencionadas son p1incipalinente las causadas por las cargas rnuertas, las cargas vivas, cargas de sis1no, cargas de viento y cargas producidas por la variacin de la teniperatura. 2.2. Cargas 1nuertas Las cargas 1nuertas son aquellas estn basadas en el clculo del peso vollunt1ico y las dimensiones del mate1ial utilizado paia la constluccin del sisten1a est111ctural. Es el peso pe1n1ai1ente de la esm1ctura y cubre las cargas de los elementos tales como: muros, pisos, Cllbiertas, cielonasos, escaleras y equipos fijos. En general, se pueden considerai como cargas 1nuertas todas aql1ellas cargas que 110 son causadas por la ocl1paci11 y uso de la edificacin. 15
14. 14. Jos Javier Mwtnez Echeverry Las siguientes cargas son tenidas generaltnente en cuenta para el avalo de cargas: La carga 1nuerta producida por muros diviso1ios y paiticiones de n1ate1iales tradicionales, Cllando stos no hacen parte del sistema est111ctural, debe evaluarse para cada piso y se puede utilizaicomo caigadist1ibuida en las placas. Cuai1do se trate de ml1ros de ladiillo tipo bloql1e hl1eco de aicilla o concreto, la carga es como nnin10 3.OkN/n,i2 ( 300 kgf/1n2 ) de rea de placa. Cuando se trata de muros de ladrillo tolete n1acizo de aicilla, concreto o slice, la carga es co11101nniino 3.5 kN/rr? (350 kgf/n,i2 ) de rea de placa. Cuando se consideran divisiones livianas, la caiga a e111plear no debe ser inferior a 0.5 kN/rn2 (50 kgf/ 1n 2 ) de rea de placa. Co1no un ejemplo preliminai de la aplicacin de caigas a lm sistema, en la siguiente losa cuadiada se asume inicialn1ente que todas las vigas de borde sopo1tan lma carga con distribl1cin tiiangulai-. @ X + @ L !~! 1 ~ u uw"L2 8 L w*L2 8 Figura 2.1. Idealizacin t.Iiangular de la carga aferente en una viga periinetral. La anterior es la manera conecta de dist1ibuir caigas cuando la relacin largo a ancho de las dllnensiones de la losa no sobrepasa lm ndice igual a 2. Sin embargo, es mllY co1n1m ql1e de acuerdo al tipo de losa o al refuerzo de la misma, se disee la losa en franjas transversales de un n1etro de ai1cho con apoyos en los ejes transversales A y B. El refuerzo longitl1dinal de la losa es distribldo por cada 1netro de ancho y la continuidad transversal es asegurada con refuerzo continuo paralelo a estos ejes. Esta segunda mai1era de evaluar cargas es comn cuando la lllZ entre ejes A y B es pequea co1nparada con la dimensin longitl1dinal, o cuando se colocan laininas colaborantes galvaizadas lltilizadas como formaletas pe11nanentes para servir en la fundicin de losas de concreto. Al fraguar el concreto las lminas actan co1110 refuerzo p1incipal de la placa. La fundicin con este tipo de limnas se lltiliza todo tipo de obras desde paiql1eaderos hasta vivienda popular. 16
15. 15. Anl.isis bsico de est111cturas @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ---- 1 w(por metro de ancho) 1 ' 1 1 Franja Unitaria 1 r r r r r r I 1 ele carga ~ 1 ,8=1.0~ 111 l~lilllilllilll!lillilll111 111 111 ~ 1111111 11 Le 1J 1JV1 V1 w*Lsw*Ls 1 1 2 2 - -- Ls 11 1 1 Ls 1 1 1 . 1 .1 - 1 Figura 2.2. Idealizacin de una carga unifo1me en una fianja de un metro de ancho. Para m1a losa rectangular la carga se pl1ede idealizar de la siguiente 1nanera: si la relacin de largo a ancho es 1nenor que 2, la carga en la luz n1s larga se puede considerar con vaiiacin lineal a 45 desde el inicio del elemento 11asta una distancia equivalente a la mitad de la lllZ coita, al igual que para el final del tramo. En el resto del tramo la carga aferente se ton1a unifonnemente distribuida con llll ancho aferente igual a la nlitad de la luz corta. Si la relacin de largo a ancho de la losa es mayor ql1e 2, se pl1ede lltilizar el mtodo de caiga de las franjas eqlrivalentes de un metro de ancho extendidas en la direccin coita. En el caso de las franjas equivalentes de un metro de ancho mostradas en la Figura 2.2, paia la Figura 2.3 tienen lma luz L y se apoyan e11 las vigas de los ejes A y B. 1.6L ~ W=ro"L ~'.~46 .r ~ --- 46 ""/ '' ,/ ' "-, ,/ ' /' --------------- ~ " l.12 l.12 45,,.,/ .. ....:.- ---------- :::.. -- Figura 2.3. Idealizacin de la carga en una losa rectangular. Eje1nplo 1:Aplicacin de cargas 1nuertas. Una azotea se tennina con tres capas de filtros de arena, grava y asfalto pl1estas sobre una capa aislante rgida de O. 05 1n de espesor, soportados por vigas en fonna de T de concreto reforzado, con un peralte de 0.40 1n y alas de 1.0 rn de ancho. Si el aislainiento pesa 0.15 kN/1n2 y los filtros 0.25 kN/rn2 en conjunto, deteimine la caiga1nl1erta total que cada viga debe soportar por 1netro de longitud. 17
16. 16. Jos Javier Mwtnez Echeverry Filtro de arena, grava y asfalto Aislamiento Rgido 0.1 m 0.4m Vigas T en serie 0.4m 0.2m 0.8m 0.2 n 0.4m, , ,, 2.0m Figura 2.4. Seccin tpica de las vigas T a evaluar. El peso afere11te de cada viga Tes: P ' 01 *JO *240kN - 24kNatzn. . 111 1n . - . - 1n3 1/l ~ Por 1netro tranversal de viga Abna: * * kN_ kN0.2m 0.41n 24.0 3 -1.92- rn 1n ~ Por 1netro transversal de viga Aislarniento: kN kN l.01n*0.15 = 0.15- 1n2 1n ~ Por 1netro transversal de viga Filtros: kN kN l.Orn*0.25 = 0.25- m2 rn ~ Por rnetro transversal de viga kN Total: {2.4+1.92+0.15 +0.24) = 4. 72- rn La carga m11erta total a considerar a lo largo de la viga es 4. 72 kN/rn y est calculada para lllla seccin transversal de llil metro de ancho aferente de las alas. 2.3. Cargas vivas Cargas vivas son aquellas cargas no pe1manentes que tienen posibilidad de ser re1novidas eventual!nente o co1Tesponden a cargas que siempre estn en n1oviinie11to. Son cargas con magnitud y localizacin vaiiables. De11tro de este giupo se encuentran los siguientes tipos de carga 18
17. 17. Anl.isis bsico de est111cturas (1) Cargas Vivas Verticales: tales como cargas dete1minadas por la ocupacin de una edificacin o cargas vehiculares dinmicas. (2) Cargas Vivas Laterales: tales como las producidas por la acumulacin de tiena o materiales. En general, dentro de las cargas vivas en llll edificio se iI1cl11ye: el peso de la ge11te, los muebles y maquiI1aria, as como otros equipos. Este tipo de cargas vaiian a lo largo del tiempo y, especialn1e11te, si la u1cin paia acopio de cargas del edificio can1bia. Las cargas vivas no deben ser incluidas en las cargas ambientales tales como el viento, sis1110, o en la misma caiga muerta. Otras fuentes de caiga viva estn definidas por la presencia de: (1) Mate1iales, equipos y trabajadores utilizados en el n1anteninliento de la c11bie1ta. (2) Objetos mviles y personas q11e tengan acceso a la est1uctura durante la vida til la . Illlsma. Las caigas vivas especificadas en el cdigo para los difere11tes edificios representai1 una estiinacin conse1vadora de la carga mxiina que se puede generar por el fmlcionaillie11to del edificio. Curu1do el rea de influencia del ele1nento est1uctural sea n1ayor o igual a 35rn2 y la carga viva sea s11pe1ior a 1.8 kN/1n2 (180 kgf/1n2 ) e inferior a 3.OkN/1n2 (300 kgf/m2 ) , la carga viva puede red11cirse utilizando la ecuacin (aiticulo B.4.5.1 de la NSR-10): L =L0 * 0.25+J 4 6 A K *A >35 2 --7 i = LL . T - rn Al donde: A ; = rea ttib11taiia del elemento en m2 L = Carga viva reducida, en kN/1112 Lo = Caiga viva sin red11ciI-, en k.N/m2 A r = rea t1ib11taiia del ele1nento en m2 KLL = Factor del ele1nento paia carga viva, ig11al a 4 para col11ffinas y 2 para vigas La caiga viva reducida110 puede ser menor del 50% del valor Lo en elementos que soporten llll piso, ni del 40% de Lo en otros elementos. Eje111plo 2: Descripcin de cargas vivas en planta. Paia un edificio de cinco niveles cuya planta es mostrada en la Figura 2.5, calc11lar las caigas vivas paia la viga longitudi11al del eje 2 y para la viga del eje B entre ejes 4 y 7. S11ponga lma carga viva de diseo Lo de 2.5 kN/11i2 en todos los niveles, incl1rida la azotea. Ig11aln1ente, calc11lar la carga viva de la columna central C-4B, o sea la colunu1a donde se interceptanlos ejes 4 y C. 19
18. 18. Jos JavierMwtnezEcheverry @ @ @ @ @ @ @ @ @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 @ l I 1 @ I I,, .I/ 1' / V,;,.1 1/ V ,..,;J.1 ( ,,/ ' )1/ /1 ( ( v' A 6.0m ~/ 1 / v":~ 1rr ?Trrr '?771 ,',,/ , ' ;'/' / ,..",' , / ( , A ( ,, 1///1/ 1 111 / ' / I / / ) f" 111111 I / I / / ,,.., -,,, , < I 1/ I // 11 I / I .( / / / / 'l / / / / r , v /I ' / 111/// I I /1 I 1 / / / / l " " / / v' , I A 11 / 11, / ) I / / / / / / / < I 111// I < / ' "' j i "' ( / 1/ ( ( ~ 11 t I / / / I / / I 1 / ( / / / ' '"' I ( / / f I I l / t / I / / ./ / / / / / / " / / ,4 e.Ji ' 11 I 1 A '1 / , l '/ / / / ,,, I I @ , ' / I 1 1 I , 1 1 @ l / / ~~}'./ / ~( ', vs-~ 11 1 -,-i / I ,', ,, ( ,-,.-, t/ / / r I I I / / ( / , , ,..11,./ / / / / I ' ,",J. 1/ I I / ). ( / / / 1 1 1 I / / / ,,'' , , / I( I I' I I I / / / 1 I 1 / I / / / / / ( , 1 I / ' 11/ I / 1 / / 1 I / I / / ," / / / / ' I / v ' I 1 11 I I I I / 1 I ) ( / ,,,, / .. , , / ( I ' 1 11 I / '.1" "' ' "( / I / I I I / I t 1 I I 1 I / / ( / 1 1 ' / 1 I / I I A / / / / ~I / ) ' I ' I / l / 'J' / / ( / , ,' ,,"'r ll" ... ,/ I I / 6.0 m 1 / I,, 1 1/ I t!!i!i. I 1 1 ) / / ' ' ' '-'// / / / / _,../ / / ,1 ... ..! ... .!~- ' /1 ( / ) ( I ( /1 V/ I ( '1 ( / ( 1 ( ( v' " ', I ,, ) 1 l I / ( ,"), l 1 l 2.0m 2.0m 2.0m 2.0m 2.0 m 2.0m 3.0m 3.0m 3.0m 3.0m ( ( 6.0m 6.0m 6.0m 6.0m Figura 2.5. Planta tpica del edificio a evaluar para cargas vivas Viga LongitudinalA-B-C, eje 2: rea tributaria 7 Ar= 211i*61n = 12 rn2 (por tra1no) KLL = 2, para viga.s. rea de influencia 7 A; = KLL*Ar = 2*12 1n2 = 24.0 1n2 Puesto que = 24 rn2 Ton1ar WL =l.6 2 nt Carga viva para la colunuiaC- 4B: 1.6k~*6*611t2 =57.6kN 111 21
19. 20. Jos Jcn1ierMwtnezEcheverry Los valores de las cargas vivas especificados por los reglamentos de constiuccin se consideran co1no cargas estticas fijas. Pero si las cargas se aplican rpidan1ente, crean fuerzas de ilnpacto adicionales, co1no en el caso de un c11erpo en movilniento que ejerce lma carga sobre una est1uctura: la estructura se defo1ma y absorbe energa cintica del objeto ei11noviiniento. Co1no una alte1nativa para un anlisis dinmico, las cargas mviles usuales se consideran fuerzas estticas incrementadas einpicamente por llll factor de ilnpacto especificadas en el cdigo NSR-10 en laseccin B.4.4. Debido a q11e los rebotes ve1ticales del trfico en 1novimiento, paiticulaimente cuando las s11perficies de rodaje no son paiejas, generan fuerzas de irnpacto, I, las caigas deben ii1crementaise por el factor de ilnpacto dado por: 50 I= ---- Lu +125 I= - 1_5_.2_ Lu +38.1 -7 Unidades del Siste1na Ingls -7 Unidades del Siste1na Internacional El factor de i111pacto debe ser menor o igual a 0.3 (30% de la carga viva). La variable Lu co1Tesponde a la longitud de la lu:. que se caiga para producir el esfuerzo mxi1110 en el miembro. 2.4. Cargas de sismo Las cargas de sismo son debidas al movimiento acelerado del suelo en las direcciones tanto ho1izontal corno vertical, y son expresadas en funcin de la gravedad g. Cuando la base de lma est1uctura est sujeta a una aceleracin sbita del s11elo, las fuerzas de inercia que sig11en lasegunda ley de Ne111ton (F = rn*a) se desaiTollan y llll anlisis dinmico basado en las ec11aciones de movillrier1to de Newton paia estruct1uas localizadas ei1 regiones de cie1to riesgo ss11rico, debe ser seg1rido. Los movimientos del teneno generados por las fuerzas de te1ren1otos provocan oscilaciones er1 los edificios. Suponiendo que el edificio esta fijo en la base, el desplazamiento de los niveles varan desde cero en la base l1asta un nlximo en la azotea. Las fuerzas l101izontales de sismo sor1 cargas dininicas que se aproxilnar1 a cargas estticas eqlrivalentes. Parael clculo de edificios se p11ede lrtilizai 1m procedi11riento cuasi-esttico o tambin se utiliza un anlisis modal o dinmico. En el anlisis cuasi-esttico se concentra una carga p1mtual de sis1no por cada.piso de la est1uctura y esta carga se subdivide paia cada n11do de la losa dor1de se interceptan las columnas con las vigas principales. La s11bdivisin de la caiga de sismo de cada piso se puede realizai de acuerdo a la rigidez eqlrivalente de cada nudo en el piso considerado. 22
20. 21. Aniisis bsico de estructuras Fs ----+ ;.::::.::.:::::: :o:o:.... ... .... . . ..... :. .... . . .. ' : . .. . . . F . . . . .4 ---+ :.: ;.; : : : : :.: : : :.;.; : ::o ,o :,.... :. .... . . ..... ... .... . . ..... :.: :.:----+ ............................. :o:o:.... ... .... . . ..... :. ...:.: : :: . ; :. . . . F2 --+ ::: : : : : : :: : : : : : : .... .:.: :.. : .: ..: " . +---- V='F; Figura 2.8. Cargas equivalentes de sisrno puntuales aplicadas en cada nivel de Ja edificacin. Para el anlisis cuasi-esttico, la co1tante total en la base del edificio debe ser: Ecuacin A. 4. 3- 1, NSR - 1O 1.2 *A *F *I S V V a = Ta S = 2. 5 *A * F *I ~ para Ta < Tea a a T = O. 48 *Av *Fv e A *f,a a Donde, Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseo para un pe1iodo de vibracin dado. Est e11 funcin de la aceleracin pico efectiva de diseo, y de la velocidad pico efectiva, y es expresada como una fraccin de la aceleracin de la gravedad, para un siste1na de llll grado de libe1tad con un pe1iodo de vibracin T. A a= coeficiente que representa la aceleracin ho1izontal pico efectiva, para diseo, dado en la seccin A.2.2 del reglamento colo1nbiai10 NSR-1O. A v = coeficiente que representa la velocidad ho1izontal pico efectiva, para diseo, dado en la seccin A.2.2 del reglrunento colombiano NSR-1O. Fa= coeficiente de amplificaci1i, debido a los efectos del sitio, que afecta la aceleracin e11 la zona de pe1iodos cortos. Es adime1isional. Fv= coeficiente de an1plificacin, debido a los efectos del sitio, ql1e afecta la aceleracin en la zona de pe1iodos inte1medios. Es adi111e11Sional. I = coeficiente de in1portancia definido en A.2.5.2 del reglamento colo1nbiano NSR-10. Ta= periodo fundamental de vibracin del siste1na elstico, en segundos. 23
21. 22. Jos Javier Mwtnez Echeverry Los movimientos ssmicos de diseo en Colombia se defu1en en funcin de la aceleracin pico efectiva, representada porAa, y de la velocidad pico efectiva, representada porAv, para lma probabilidad del diez por cie11to de ser excedidos e11 lm lapso de cinc11enta aos. Los valores de Aa y Av se presentan en la sig1riente tabla: Tabla 2.1. Valores de A y A., segn las regiones de los 1napas de las figwas 2.9.a y 2.9.b. Regin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor de 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 Aa A,, Para efectos del reglan1ento colon1biano NSR-1 O, los valores de Aa y Av deben detem1inarse de acuerdo con el nrnero de la regin en donde est localizada la edificacin y el valor asociado, usando paraAa el mapa de la Figura 2.9.ay paraAv en el mapa de la Fig1ua 2.9.b. (3"" - 1~;, ij @&.ln....,,MV - ... - ' ... ' - .. ' ...' 0.10 0.1$ .., .,. ... .... ... ....' ... ' o.~ ... .., ... ...." .... OS> ......._ r.. . ...!..' wnc (a) Mapa de valores de Aa(Fuente: NSR-1O) (b) Mapa de valores de Av(Fuente: NSR-1O) Figura 2.9.a y b. Mapas de valores de A y Av en el tenitorio colombiano. El periodo fundame11tal T de la edifi.caci11 se calcula lilizando la siguiente aproxiinada (ec11acin A.4.2-3 del reglan1ento colon1biano NSR-1 O): 24 .'ec11ac1on
22. 23. Anbsis bsico de estructuras Para p1ticos resistente a mo1nento de concreto reforzado, ql1e resisten la totalidad de las fuerzas ssnucas y no estn adheridos a co1nponentes ms iigidos que lin1iten los desplazamientos ho1izontales al verse sometidos a las fuerzas ssn1icas, el valor de C1 es O.047 y el coeficiente a es O.9. Para prticos de acero estI11ctural con la n1isma condicin la vaiiable C1 es O. 727 y el valor de a es O.8. Adicionalmente, el peso total del edificio es otra vaiiable que debe ser definida paia e11contrar la co1tante de la base debida al sismo. Se calculacon lasiglriente expresin: W = L 111 ~ 111 es el peso total. de cada piso La co1tante de base se dist1ibl1ye e11 todos los pisos del edificio mediante: Fx = Cvx *V ~ EcuacinA.4.3- 2, NSR-10 Donde Cvx es un radio basado en la altlua relativa y peso de cada piso. El valor del coeficiente Cvx est definido por: e = wx *h: vx wx *~ ~ W,, =ntx *g ~ EcuacinA.4.3-3, NSR-10 n Sie11do, ntx = masa del piso considerado, g aceleracin de la gravedad k = exponente relacionado co11 el pe1iodo fundan1ental, T, de la edificacin (ver seccin A.4.3.l del reglan1ento colombiano NSR-10), El coeficiente k se encl1entra de lasiglriente mru1era: a) Paia Tmenor oigual a 0.5 segundos -7 k = 1.0. b) Para T entre O.5 y 2. 5 segundos -7 k = O. 75 + O.5 T. c) Paia T1nayor que 2.5 segundos -7 k = 2.0. Eje1nplo 3: Aplicacin de Cargas de Sis1no. E11 la Figura 2.10 se muestra la planta de llll edificio de 4 pisos, con las conespondientes dimensiones de vigas y collmu1as. La carga viva es de 200 kg/1n2 y la carga ml1erta, incluyendo el peso propio de la estructura, las paiticiones no est111ctluales y los acabados, es de 1000 kg/1n2. El edificio esta localizado en una Zona de Riesgo Ss1nico Alto co11 los siglrientes valores de las variables ssn1icas: el Coeficiente de Disipacin de Energa, R, es 7., la aceleracin pico efectiva, A a, est defu1ida como 0.20-, la velocidad pico efectiva, Av, tiene llll valor de 0.2, la estI11ctura conesponde a un edificio de ocupacin no1mal con Gn1po de Uso ! , por 25
23. 24. Jos Javier Mwtnez Echeverry lo tat1to el Coeficiente de 11nportancia, l , tiene un valor de 1.0; por ltimo, las vatiables Fa y Fv son iguales a 1.2 y 1.6 respectivan1ente que co1responde a un suelo tipo C, y Cl1yos valores estn defuridos en la seccin A.2.4.5.5 del reglan1e11to colombiano NSR-1O. CD @ @ 1 1 1 1 1 1 1 1 40x40 45 x 45 45x45 40x40 40x40 40x40 40x40 - - - 30x40 Ox40 30x Ox40q 40.., 40 40 45x 5 40x 40 - - -50xAO 50x40 50x40 o q .., 30x40 30x40 30x 40 Ox40 40x 40 45x 5 40x 40 40 x40 40x40 40x40 - - - I 6.00 I 6.00 I 6.00 I PLANTA TPICA DE LA EDIFICACIN Cwga Viva= 1.8 kN!nt2 CwgaMuerta =JO.O kN!nt2 (corresponde a carga 111uerta total incluyendo pesos de vigas y colu1nnas). Vigas El= 0.35 *Ec*lg Colunmas El= O.7 *Ec*lg f = 28MPa ~ Colunmas f = 21 MPa ~ Vigas Figura 2.1O. Planta tpica de la edificacin. Dimensiones de la losa: 1O111 de ancho y 18 ni de largo. Portico Tpico en eie Y Zona de alto riesgo: o :: Aa = 0.25 S2 = 1.2 o l = 1.0C! M R = 7.0 o :: Peso del edjficio por pso: o C! Wl = 180 1n 2 *l.OTn/rn2 = 180 Tnlpso.... /// '/// '/// @ @ Figura 2.11. P1tico tpico en el eje Y La carga ss1nica se calcula, de acl1erdo con los pat'.metros ante1iores, de la manera que se presenta a continuacin. El peso total del edificio es: 1v = L1v = 4 *180 kN1v/ fl'L 2 *1O1n 2 = 7200 kN1v= 720 Tn 26
24. 25. Anbsis bsico de estructuras El periodo fundainental de vibracin: Ta =O.047 *hn9 = O. 047 *(13f9 = O. 473 seg 0.48* Av * Fv _ 0.28*0.2* 1.6 = 0. 64 se . T < Te = Aa *f a O.2 *l .2 g .. Usar Ta =O.473 seg El valor de la Aceleracin paiael periodo flmdainental Ta= 0.473 seg, es: Sa = 2. 5 *Aa *Fa *1 = 2. 5 *O.2 *l.2 *l. O= O. 60 ~ Usar Sa =O. 60 Si para este ejmplo se asm11e el valor del factor de reduccin como R = 7, se ded11ce que el valor del Cortante Basal parael chequeo de defo1maciones en la est111ctura es: Vs = Sa *111 = 0.60*720.0 =6l .7Th R 7 El valor de k, definido confo1me alaseccinA.4.3 de lanormaNSR-98, es: 1.0 < k =O.75 +0.5 *T < 2.0 => k = 0.75 +0.5 *0.473 =0.987 ~Usar k =l.0 De acuerdo a la nris1na seccin A.4.3 del reglainento NSR-10, la distrib11cin de ft1erzas 11orizontales por piso ese prese11ta en la siguiente tabla. Tabla 2.2. Distribucin de la cortante basal total del edificio para cada uno de los pisos de la edificacin. h w; k F;Piso No. 111 *h (ni) (Tn) (Tn-ni) (Tn) 4 13 180 2340.0 23.6 3 10 180 1800.0 18.1 2 7 180 1260.0 12.7 1 4 180 720.0 7.3 I= 720 6120.0 61.7 Como accin final se debe distiibuir cada fuerza F;de piso en los prticos principales de la direccin de sis1110 estudiada. En el caso de analizarse el sis1no en la direcci11 longitudinal, la fuerza de sismo de cada piso se distribuye e11 los ejesA, B y C, de acuerdo al aporte de la Sllillade la1igidez de los i1udos e11 cada llllO estos ejes. 27
25. 26. Jos Javier Mwtnez Echeverry 2.5. Cargas de viento Se asume este tipo de cargas debido a la fuerza q11e provoca el viento cuando sopla en c11alq1er direccin. Los vientos fuertes inducen fuerzas intensas, las cuales son capaces de re1nover ramas de rboles, llevarse tejados y ro1nper ventanas. E11 general las cargas de viento siguen la ec11acin del tipo q = CP *v;, donde Cp es el coeficiente de presin modificado segn factores de llbicacin geogrfica, disposicin de la estruct1ua, inlportancia y altma, entre otros. La variable V0 define el valor de la velocidad del vie11to y el resultado q es la presin 01iginada e11 lasuperficie de la estn1ctura. La presin o succin exacta aplicada por el viento a las estructl1ras es dificil de dete11ninar, debido a q11e la velocidad y direccin del viento cambia co11ti11uamente. Sin embargo, es posible ente11der aspectos de su compo1tamiento y llegar a cargas de diseo razonables. La magnitud de las presiones de viento sobre la estn1ctllra depende de la velocidad del viento, la fo1n1a y rigidez de la estructllra, la111gosidad y el perfil del te1reno que la rodea, y la influencia de est111cturas adyacentes. Cuando el viento cl1oca contra un objeto en su camino, la energa cintica de las paitc11las de aire en nlovilniento se transfo1ma en una presin Ps, dada por: 1u*V 2 Ps = o 2 donde: 1n = densidad de la inasa de aire V0 = velocidad del viento As, la presin de viento vaiia con la densidad del aire y con el cuadrado de la velocidad del viento. La friccin e11tre la s11perficie del teneno y el viento ejerce una ft1e1te influencia sobre la velocidad del viento, la c11al, por lo general est involucrada de alg1ma nlanera en el factor Cp propuesto para encontrar la presin q. Si la densidad de la masa de aire exp11esta a l5C pron1edio, se s11stituye en la anterior expresin de Ps, la ec11acin bsica para la presin esttica de viento qsres1tlta ser: qs = 0.00256 * V 2 -7 Unidades del Siste1na Ingls qs = 0.613 *V 2 -7 Unidades del Siste1na Internacional. En el 11un1eral B.6.4 del reglamento NSR-10 se especifica el alcance del procedniento silnplificado paia el clcmo de caigas de viento. El edificio debe crunplir con las siguientes condicio11es (secci11 B.6.4.1.1 de la NSR-10): 28
26. 27. Anlisis bsico de estructuras El edificio sea de diafragma simple, es decir, un edificio c11yas cargas de viento a barlovento y sotave11to se tras1niten a travs de los diafragn1as de piso y c11bierta hacia u11 mismo sisterna principal de resistencia de fuer=as de viento (SPRFV), o sea que no tiene separaciones est111cturales. El edificio sea bajo, con m1a altura media de la cubierta1nenor o igual a 18 111 (60ft), sin q11e esta alt11ra exceda la menor dime11sin ho1izontal del edificio. El edificio sea de fo1ma regular, es decir, 1111 edificio u otra estructura que no tenga geo1netiia iiregular en su fo1ma espacial. El edificio debe ser ce1rado, es decir debe c1unplir las siguientes condiciones: (1) el rea total de abe1turas en una pared que recibe presin exte1na positiva no excede el 10% de la suma de las reas de aberturas en el rea restante del revestiiniento del edificio (paredes y cubierta); (2) el rea total de aberturas en lllla pared que soporta cargas positivas, no excede de 0.37 1112 o 1% del rea de esa pared (la que sea inenor), y el porcentaje de abe1turas en el rea restante del revestiiniento del edificio no excede 20%. Estas condiciones se expresan mediante las siguie11tes condiciones: Ao < 1.1*Aoi Ao M z) =-M'z) Jos Javier MwtnezEcheverry ACCIN Y REACCIN Figura 3.5. Representacin de fuerzas inte1nas en un ele1nento. y ...'' ~ N!z(k) u ~ ~ -,;;rz fy(k)~ - - - .N>C(k) .,,.. Para la anterior figura se pueden establecer las condiciones de equilib1io considerando las reacciones en el apoyo y tomando las fuerzas de Cl1e1po libre en el tra1no comprendido entre el apoyo empotrado y elpunto J, resultando las siglrientes ecuaciones: l. EFx =0 --7 Rx -P2x +Nx(j) =0 2. EFy =0 --7 Ry - P1 - P2y +Vy(j) =O 3. llvfj =o --7 MR +(P1) *a1 +(P2y) *a2 +M+M:(j) =0 Las fuerzas (Rx; Ry) y el momento MR son las reacciones en el apoyo empotrado del ele1ne11to analizado, mientras ql1e a1 y a2 conesponden a las distai1cias desde do11de estn aplicadas las fuerzas P1 y P2 hasta el punto J. La carga inclinada P2 se ha SllStitlrido por las componentes vectoriales (P2x; P2y) en las direcciones de anlisis. vy(I ~1J ~ My(k) y ~vz(.k) z ~M~kl X ~~ Nx Figura 3.6. Representacin de las fuerzas inte1nas en la seccin de una estructura tridimensional. 44
27. 43. Anlisis bsico de esfl11cturas Para el mismo caso de la Figura 3.5, asmnie11do que la carga l i1 es unifor11ie1nente distribuida (carga constante), se pueden establecer las condiciones de equilib1io en el tramo co1nprendido entre las secciones nlarcadas por los puntos J y K , obtenindose las siguie11tes . ecuaciones: 1. fli'." =0 ---7 -N~(J)+ Nx(k) =O 2. I:Fy =0 ---7 -Vy(J} -P3 -P4 -111*( b3 -b4)+Vy(J} =0 3. IM =O ---7 -M;(J} +VJ~(J} *Lk+(P3) *b3 + (P4 ) *b4 + 111 * (b3 -b4) *(L 1 k - (b3 ~b4))+M::(k) =0 E11 estas ec11aciones las fuerzas no1males al inicio y final del tran10 son N x) y N x(k) . De la misma manera las parejas de co1tante y momento son respectivainente (vy); Vy(k} ) y (M=J; M ::(le) ) . La variables b3 y b4 correspo11den a las distancias desde los puntos de aplicacin de P3 y P4 11asta la seccin K. La variable L1k define la distancia del trai110 comprendido entre los puntos J y K , mientras que (b3 - b4) es la longitud del tramo donde est aplicada la carga unifor1ne1nente distribuida,,,. Por silnplicidad se ha considerado q11e las cargas puntuales y la carga distrib1rida son ve1ticales; por tanto, no hay componentes ho1izo11tales de carga axial aplicada y la resultante de la 1nis111a en la seccin K es igual y de sentido contrario a la resultante del avalo de cargas obtemda para el primer tramo, entre el apoyo empotrado y laseccin J. 45
28. 44. 4. Estabilidad y determinacin esttica de estructuras Dentro del anlisis cinemtico de una est111ctura se debe establecer la posibilidad de 1novimiento del sistema a travs del estudio de la estabilidad georntrica, la cual estl1dia la vinclllacin e11tre s de los elen1entos de la estructlna y la vinclliacin externa de los apoyos con la tie1ra. Para establecer si existe o no la posibilidad de movimie11to de una estructma, se deben tener e11 cuenta los siguie11tes dos c1ite1ios de estabilidadgeo1ntrica: Estructura geo111tricarnente estable. Una est1ucrnra es geo1nt1ican1ente estable si para cualquier movinriento incipiente de la est111ctura una oposicin o resistencia al moviiniento es desarrollada. Esto req1tiere al menos la presencia de tres fuerzas de soporte no conc1rrrentes y no paralelas Estructura geo1ntricarnente inestable. La estiuctma tiene un n1'.lmero suficiente de reacciones, no conc1urentes entre s, pero que estn inco1rectamente colocadas para aseg1uar estabilidad, como es el caso de bielas paralelas de soporte. De lo ante1ior debe ser concluido q11e en algunos casos aquellas estructuras que parecen estar ainairada a la tie1ra a travs de un nn1ero Sllficiente de vncllios, pueden an ser consideradas inestables por presentai convergencia de reacciones en un punto determinado o por tener de:ficie11cia de resistencia en lma de las dos direcciones del plano, co1no es el caso de tres bielas c11yas fuerzas de reaccin estn 01ientadas e11el1nismo sentido de un eje global. 4.1. Estabilidad geo1ntrica de cerchas Los mtodos ms comru1es para dete11ninar la estabilidad geo1nt1ica son los sig1tientes: Mtodo de las dos barras Mtodo de las tres barras Mtodo de la articulacin y la barra Mtodo de las tres articulaciones 4.1.1. Mtodo de las dos barras Un sistema geomtiico estable se puede formai agregando a un sistema invaiiable lma nueva aiticlliacin unida con dos bairas que no se encuentren en linea recta. Al siste1na 1 de la Figma 4.1 se le agrega la articulacin 4 a travs de las bairas G y H, 111ego la articulacin 3 a travs de las barras F y E , y as sucesivamente. La articitlacin 6 del segundo sistema y la articulacin 4 del tercero, e11 la inisn1a Fig1rra 4.1, no puede pe1111itirse debido a q11e los siste1nas se convie1ten en inestables. 47
29. 45. Jos Javier Mwtnez Echeverry o (a) ESTABLE (b) INESTABLE (e) INESTABLE Figura 4.1. Fon11acin de sisten1as estables e inestables por n1todo de las dos barras. 4.1.2. Mtodo de las tres barras Dos sistemas estructurales geomtiican1ente estables fo1man un nl1evo sistema estable si se vinculan a tiavs de tres barras que no se coiten en un mis1no punto o no sean paralelas. rn rn (a) ESTABLE (b) INESTABLE Figura 4.2. Mtodo de las tres banas aplicado a la fotmacin de sistemas estables e inestables. 4.1.3. Mtodo de la articulacin y la barra Dos subsiste1nas estructurales fo11nan llll sistema geo1ntlicamente estable si se vinculan a travs de una aiticulacin y de una barra ql1e no pase por dicha articulacin. 48
30. 46. Anlisis bsico de esfl11cturas C!J C!J (a) ESTABLE '~ (b) INESTABLE Figura 4.3. Mtodo de la a1ticulacin y la ba1ra en la fo1macin de sistemas estables e inestables. 4.1.4. Mtodo de las tres articulaciones Tres subsisten1as est1uctlrrales forn1ai1 m1 nuevo siste1na geo1nt1icaine11te estable s1 se vinculan a travs de tres aiticulaciones que no se encuentren en lnea. (a) ESTABLE (b) INESTABLE Figura 4.4. Mtodo de las tres articulaciones en la fo1macin de sistemas estables e inestables. 49
31. 47. Jos Javier Mwtnez Echeverry 4.1.5. For1nacin de cerchas En laforniacin de cerchas dos p1incipios bsicos aplican: (1) La base o siste1na de aiTanql1e es un p1tico con tres articulaciones amanado por dos articulaciones exte1nas alma cimentacin rigida. (2) La base es un tiingulo con tres aiticulaciones, Cl1ya rigidez es independiente de la cimentacin. Q------~ CERCHA INDEPENDIENTE (Tres roacoionos extornas) Estructura Original CERCHA DEPENDIENTE (Tres reacciones externas) , Figura 4.5. Formacin de una cercha a partir de una esti11ctura original. Adicionando a cada sisten1a bsico dos baiTas por cada nl1evo nudo, la cercha es forn1ada siendo dependiente o independie11te de acuerdo a la co1lfguracin de la base. 4.2. Estabilidad externa de cuerpos estructurales Paia estiucturas simples la estabilidad exte1na se 1ige por los siguientes c1iterios: Si hay menos de tres reacciones independie11tes desconocidas (i11cgnitas), la estiuctura plana no est en equilibrio y es esttican1ente inestable, puesto que no 11ay suficientes i11cgnitas para satisfacer las ecuacio11es de equilib1io silnultneamente. Si las reacciones son igliales al nmero de ecuacio11es externas Slnninistradas por el siste1na, la solucin de las 1nisn1as se puede obtener mediante un anlisis esttico de igual nJnero de incgnitas y ecl1aciones simultaneas. Si ties o ms bielas so11 concmTe11tes o paialelas, ellas no son suficientes paia1nante11er el siste1na plai1ai de caigas en equilibrio exte1no. En otras palabras, la est111ctura puede ser dete1minada pero Sll configluacin geomt1ica impide la estabilidad general del sistema. 50
32. 48. Anlisis bsico de esfl11cturas . _,. ,/" _,. F? F ) ~> ~ ,. " ,, @ i' , i Rey ~ V / , ESTABLE: tres recciones ,, , ./' ,, ,,. ,/ / ]"RAy Reyi RAy ~ INESTABLE: tres Rey no concurrentes recciones paralelas ~~:> . ,, 1 ,F~ I' . ,J' ~ ./'// 'f, "" '. INESTABLE: dependiendo del RAy Reyf Rey' valor de F la estructura rota y RAy se cae INESTABLE: tres recciones paralelas Figura 4.6. Vigas simples estables e inestables. ,.._'1 ' , 1 ' , 1 ' , '1 F ' 'RAx 1 ' , a:::::llll:C>-- - - - - - - - - - _... ESTABLE: tres recciones n o concurren en un mismo punto ESTABLE: tres recciones no concurrentes ~ Ra R, H R~ Re INESTABLE: tres recciones concurrentes ,.->;>.,--- .=F__,../. R2 . .. "...,....~ .. , .. ... ESTABLE: reacciones no concurrentes F R2 r-"".-----'"----,L. ,........................... L, Lz La ! '11( .Jo. . . . L, Figura 4.9 Vigas simples y co1npuestas estticamente detenninadas. 53
33. 51. Jos Javier Mwtnez Echeverry Otros ejen1plos tpicos de estructmas sencillas, como p1ticos y arcos triarticltlados, en los Cl1ales se puede aplicar el c1iterio de estabilidad esttica exte1na para resolver el eqllilib1io de la estructma, se presentan e11 lasiglente figlua. J l l l l J l l l l l l l l l l Apoyo .,-4-,:'.-Artlcu1ado Articulacin Interna ARCO SIMPLE TRIARTICULAOO ARCO COMPUESTO ISOSTTICO Apoyo Articulado Apoyo Articulado PRTICO SIMPLE TRIARTICULAOO PRTICO COMPUESTO ISOSTTICO Figura 4.1O. Prticos y arcos tria1ticulados estticamente dete1minadas. 4.4. Equilibrio interno de cerchas .. / Una cercha es estticamente dete11ninada si puede ser calcltlada por ecuaciones de equilibrio esttico. E11 cambio, la est1uctma es indetenni.J1ada si no pl1ede ser calcltlada por las ecuaciones de equilib1io esttico y se deben usar defo1maciones para obtener las redundantes. E11nmero de redundaJ1tes es definido por la sigmente expresin: GI = (b + r ) - (2n) donde, GI = grado de indete1minacin (nmero de redundantes). r = nmero de reacciones. b fuerzas inte1nas de la estn1cttua; b = numero de bairas. 2n = ecuaciones de eqllib1io exte1no; n = nlimero de nudos. Deterniinacin esttica. Una cercha plana es estticamente detenninada si: GI =b+ r-2n=0 54
34. 52. Anlisis bsico de esfl11cturas Deter1ninacin esttica y estabilidad geo1ntrica. Una cercha plana es estticamente dete1minada y geomtricamente estable si: GI =O y det(A) *O~ A=nUJiriz de rigidz ensistenia de solucin de incgnitas Esttica1nente y geo1ntrica1nente inestable. U11a cercha plana es estticaine11te y geomt1icainente inestables si: GI =b +r- 2n O Eje111plo 1: Equilibrio Interno de una cercha. Para cada una de las cerchas mostradas establecer el nJnero de redundantes y la dete11ninaci11 esttica de acuerdo al 111unero de grados de libertad encontrados. b 23r 3 11=14 ' ' GI = b + r -211 = 26-28 = -2 .. Estnticm11e11te I1iestable b 25r 311=14 ' ' GI= b + r-211=28-28 = O . Estntic1U1ie11te Establ.e b 2 7. r 3 11 =14 ' ' ~ J.:-~--4'.~~-o.~~~~--l'.)--~--CJ.~~.,.i.._ GI = b + r -211 = 30-28 = +2 '[J R,y . Estnticm11e11te l11deten11i1uula b 25r 31i=l4 ' ' GI = b + r-211 =28-28 = O Estnictura Geo11itric1U1ie11te I1iestable: Reacciones so11paralelas Figura 4.11. Anlisis de grados de libe1tad de una cercha y dete11ninacin de la estabilidad. 55
35. 53. Jos Javier MwtnezEcheverry 4.5. Equilibrio interno de vigas y prticos Para establecer el equilib1io inte1no de una estructura plana se define inicialme11te el grado de indete1minaci1i, nJnero de redundantes del sistema, de acl1erdo al resultado de la siguiente expresi11 GI = (3b + r ) - (3n+s) donde, GI = grado de indeterminacin (nllinero de redm1dantes). r = nllinero de reacciones. 3b = fuerzas internas de la estructma; b = 11l1111ero de ba1ras, 3n = ecuaciones de equilib1io externo; n = nlm1ero de nudos, s = nllinero de ecl1aciones especiales. U11 sistema con un GJ > O tiene redundantes o incgnitas en un 111lillero igual al valor ql1e ton1a el grado de iruleterrninacin, GI. U11a est1uctura con un grado de indeterminacin positivo tambi11 recibe el nombre de sistenza hiperesttico y las redundantes co1respondientes debe11 ser encontradas inicialn1ente antes de resolver la estructura con ecl1acio11es de equilibrio esttico. Eje111plo 2: Estabilidad Interna de una viga continua. Para la viga n1ostrada e11 la siguiente figl1ra establecer el grado de indete1minacin y el estado de eqlrilib1io. Los nl1dos de la estructma coinciden con los puntos donde se hay apoyos. 1 TRAM0 1 1 1 TRAM02 1 1 TRAM03 1 Figura 4.12. Viga continua mostrando nudos, tramos y a1ticulaciones. n=4 n = Nun1ero de nudos3b+ r> 3n+s s=3 s = Nmnero de aiticulaciones 3x3+8 > 3x4+3 b = Nun1ero de barrasb=3 17 >15 r = Nmnero de reacciones r=B El grado de indeterrninacin de la esl111ctl1ra es GI = 2, por lo ql1e la eslluctura se considera estticaniente indetenninada de orden dos. Esto quiere decir que la estructura tie11e dos 56
36. 54. Anlisis bsico de esfl11cturas redm1dantes o incgnitas ql1e deben ser encontradas con ecuaciones de compatibilidad de deforn1aciones o esfuerzos internos, antes de poder resolver la estluctura con ecl1aciones de equilibrio esttico. U11a manera de encontrar las redundantes es estableciendo ecuaciones adicionales de co1npatibilidad ql1e se pueden alcanzar con distintas co1nbinaciones de deforrnaciones y tensiones internas, asociadas a las defo1n1acio11es de las condiciones de borde o apoyos y resl1eltas n1ediante los 1ntodos de la 1necnica de slidos, ql1e da cuenta de la defor1nabilidad de los slidos y SllS efectos internos. Alternativa de solucin: el grado de indetenninacin, GI, de la misma estructl1ra pl1ede se encontrado reorganizai1do los nudos y trainos de acuerdo a los puntos do11de pueden ser planteadas las ecuaciones de equilibrio y defo1macin. En los nudos 2, 4 y 6 los momentos son cero, por lo que se pueden plantear en estos puntos ecuaciones de momento iguales a cero, a la vez que entre estos puntos se considera la fonnacin de subestructuras o trainos estticainente eqllilibrados. Q) 0 %. 0 @] ... . .'.% ~ ~ITsl ~ ::--;: Figura 4.13. Alte111ativa de numeracin de nudos y tramos para la viga continua del eje1nplo. n=7 s=3 3b +r > 3n +s n = Numero de nudos s = Numero de a1ticulaciones 3x6 +8>3x7+3b=6 b = Numero de barras r=8 26>24 r = Numero de reacciones La viga continua propuesta continl'.1a sie11do esttica111ente indete111rit1ada, con el mismo grado de indeter1ninacin, GI = 2. Eje1nplo 2: estabilidad inierna de un prtico. Para el prtico de la Figura 4.14 establecer el grado de indete1minacin y la hiperestaticidad de la1nisma. En este caso se han tomado los nudos en cada p1mto donde se presenta la posibilidad de plantear ec11aciones de equilib1io, sean los nudos do11de 11ay apoyos y aiticulaciones, o en los nudos donde se presentacontinuidad debido a la uni11 de varios elementos. 57
37. 55. Jos Javier Mwtnez Echeverry / Figura 4.14. P1tico con a1ticulaciones para anlisis de indeteiminacin del ejemplo 2. n=8 3b +r > 3n+s n = Nun1ero de nudos s=2 s = Numero de a1ticulaciones b= 7 3x7+8>3x8 +2 b = Nun1ero de barras ,. =8 29> 26 r = Numero de reacciones El grado de indetenninacin de la est1ucttua es GI = 3, por lo q11e la estructura es hiperesttica y se requieren tres ecuaciones de compatibilidad para encontrar inicialn1ente las redundantes, antes de resolver el resto de la est1uctura con las ecuaciones de eq1lib1io. Ejen1plo 3: estabilidad interna de un prtico. Dete1111inar el grado de hiperestaticidad del p1tico mostrado en la siguiente figura. (.' [] ~~---~2 ~ ~ ~ ~ @] 0:%'-+ y, _. ~ ~ Figura 4.15. P1tico para detenninacin de grado de indete1minacin del ejen1plo 3. n=7 n = Nun1ero de nudos3b +r > 3n +s s=O s = Numero de a1ticulaciones b=6 3x6+9>3x7+0 b = Nun1ero de bruras r=9 27> 21 r = Numero de reacciones 58
38. 56. Anlisis bsico de estructuras El grado de indeterrninacin de la estructura es GI = 6, por lo que se requiere conocer inicialn1ente seis reacciones o igual nmero de fuerzas inte1nas, por decir, las fuerzas i11temas de dos elementos, para poder dete1minar estticainente la estluctura. Ejen1plo 4: estabilidad interna de un sisten'ta co1nbinado. Para la estructlrra mostrada e11 la siguiente figura dete1mi11ar el grado de indete1minacin, asUiniendo ql1e los cables del cordn superior solo tra11Siniten fuerza axial, por lo que las co1tantes y los n101nentos son cero y las ecuaciones especiales en los nl1dos de este nivel son dos. s=2 rf* r=2 " " ./ r=2 / r=2 s=2 s=1 s=2 s=1 s=2 s=2 s=2 r=2 s=1 / s=1 s=1 r=2 r=1 Figura 4.16. Siste1na combinado de viga, cables, puntales y bielas. n=l8 3b+r > 3n+s n = Numero de nudos s=l9 s = Ntunero de a1ticulaciones 3x21+11> 3xl8+19 b = Nu1nero de barrasb=21 74> 73 r = Ntunero de reacciones r =JI La estluctl1ra presenta un grado de indeter1ninacin GI = 1. Esto qlriere decir ql1e con conocer lma sola redu11dante establecida bien sea por la fuerza axial de las bielas o por lma de las reacciones en las articulaciones de los plmtales, la estluctl1ra puede ser reSl1elta por mtodos isostticos. E11 el caso de aspirar a deten1rinar el n1nero de redundantes de una estructura definida en tres di1nensiones, el grado de lriperestaticidad se Inide con la expresin: GI =(6b+ r ) - (3n+s) donde, GI = grado de indetenninacin (nl'.1111ero de redundantes), r = nmero de reacciones. 6b = ft1erzas inte1nas de la est1uctura; b =numero de banas. 59
39. 57. Jos Javier Mwtnez Echeverry 6n = ecuaciones de equilib1io externo; n = 111unero de n11dos. s = nJnero de ec11aciones especiales. Se co11Sidera q11e cada ele1nento de una est111ctura en tres dimensiones tiene seis fuerzas i11temas (ver Figura 3.6), las cuales se identifican por las vaiiables desconocidas N,r, Vy, V=, Mx, My, fe1=. La nom1al se ton1a en el sentido longitudinal del elemento considerado. Eje1nplo 5: estabilidad interna de un prtico en tres diniensiones. Paia el p1tico mostrado e11 la Figura 4.17 encontrar el grado de indetemrinaci11 aplicando la ec1iaci11 refe1ida para estn1cturas en tres dimensiones. Figura 4.17. Pttico en tres diinensiones para dete1minar grado de indete1millacin del eje1nplo 5. n=8 6b+r>6n+s n = Nun1ero de nudos s =O s = Nu1nero de aitic1Ilaciones 6x8+24>6x8+0 b = Nun1ero de baiTasb=8 72>48 r = Numero de reacciones r=24 El grado de indeterrninacin de la est1uct1ua espacial indetemrinada 1nostrada en la fig1ua ante1ior es GI = 24. 60
40. 58. Anlisis bsico de estructuras Ejercicios propuestos Para cada una de las siguientes est1ucturas detenninar el grado de detenniI1acin. Para aql1ellas est111ctlrras ql1e sean geo1nt1icrunente inestables, tomar las respectivas inedidas pru-a. cru11biarlas a est1ucturas estables. Proble1na4.l. Dos cerchas con apoyo con1n. Problema4.2 Viga-cercha Proble1na4.3. Cercha con11'.111 Proble1na4.5. Cercha-prtico Problema4.4. Dos cuerpos unidos por tres bruras. No articulacin Problema4.6. Cercha tipo puente. 61
41. 59. Jos Javier Mwtnez Echeverry Proble1na 4.7. Cercha tipo viga. No articulacin No articulacin Proble1na4.8. Cercha con1n. Problema4.9. Cercl1a con tirantes. Proble1na 4.1O. Cercl1a tipo p1tico Proble1na 4.11. Cercha tipo p1tico sin con diagonales. diagonales. ) ) ~ ~ 62
42. 60. Anlisis bsico de estructuras Proble1na4.12. Dos vigas con empotramiento y apoyo simple en extre1nos. Problema 4.14. Viga doblemente empotrada con dos artic1Ilaciones. Proble1na4.16. P1tico con articltlaciones ir1te1nas. Problema 4.18. Cercha espacial. 63 Problema 4.13. Viga simple sobre viga e11 voladizo. l Proble1na4.15. Viga con mltiples articltlaciones. :W,-111_11_ ___,o,_---------A~-------