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2.2 APLICACIÓN: ASIGNACIÓN DE CONSUMO Y AHORRO

La asignación de cons!o " a#o$$o de n agen%e &ede se$ 'o$!(ada dena !ane$a senci((a) en n &$o*(e!a de o&%i!i+ación in%e$%e!&o$a(.Conside$e!os n indi,ido -e ,i,e) / a0os) a (o (a$go de (os ca(es&e$ci*e na $e!ne$ación iga( a 1) gana na %asa de in%e$s $ so*$ess a#o$$os) " &aga ss dedas a (a !is!a %asa. Dado na senda de( ni,e(de cons!o 3C4 a (o (a$go de( %ie!&o) ss a#o$$os 3S4 e,o(cionan deace$do con (a sigien%e ecación:

S5 6 17 $ S 8 CEs%a ecación de !o,i!ien%o de%e$!ina (a e,o(ción de (os a#o$$os a (o(a$go de( %ie!&o. En %$!inos senci((os) s%a es%a*(ece -e (a di'e$enciaen%$e (os ing$esos 31 7 $S4 " e( cons!o 3C4 de%e$!ina (a ,a$iación de(a#o$$o. Po$ o%$a &a$%e) es%e agen%e no #a $eci*ido #e$encia a(gna " &iensacons!i$8%oda s $i-e+a a (o (a$go de s ,ida:

S3946S3/469

Po$ (%i!o) e( indi,ido &$esen%a (a sigien%e 'nción de %i(idadin%e$%e!&o$a(:

∫ −=

T

pt dt eC LnU

0

)(

E( &$o*(e!a -e de*e $eso(,e$ e( agen%e) &a$a de%e$!ina$ (as %$a"ec%o$iasó&%i!as de( cons!o 3,a$ia*(e de con%$o(4 " e( a#o$$o 3,a$ia*(e de es%ado4)es e( sigien%e

0)(

0)0(´

)(0

=

=−+=

= ∫ −

T S

S C rS wS aSujeto

dt eC LnU Máximizar

T

pt

La 'nción Ha!i(%oniana de( &$o*(e!a es (a sigien%e:)()(),,,( C rS weC Lnu yt H pt −++= − λ λ

Co!o (a 'nción es no (inea( con $es&ec%o a( cons!o) a&(ica!os (as condiciones deo&%i!i+ación %$adiciona(es

01),,,(

0

1),,,(

22

2

≤−=∂

∂

=−=∂

∂

−

−

pt

pt

eC C

u yt H

eC C

u yt H

λ

λ

λ

Si!&(i;cando es%a condición &ode!os o*%ene$ e( cons!o en 'nción de (a ,a$ia*(e

de coes%adoλ

pt e

C −

=

. Po$ o%$o (ado) (a ,a$ia*(e de coes%ado &ede o*%ene$se a&a$%i$ de s ecación de !o,i!ien%o

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λ λ r S

H −=

∂

∂=´

C"a so(ción esrt

e H t −

= 1)(*λ

La %$a"ec%o$ia ó&%i!a de (a ,a$ia*(e de coes%ado &ede $ee!&(a+a$se en (acondición de o&%i!i+ación de( Ha!i(%oniano) " as< o*%ene!os (a senda de( cons!o

t pr e H

t C )(

1

1)(* −=

Po$ (%i!o) &a$a #a((a$ (a senda de( a#o$$o) $ee!&(a+a!os e( cons!oó&%i!o en (a ecación de !o,i!ien%o:

t pr e

H C rS w

H S

)(

1

1*´ −−−+=

∂

∂=

λ

Reso(,iendo (a ecación di'e$encia( o*%ene!os (a sigien%e 'nción de a#o$$o:

r

we

p H e H t S

t pr rt −+= − )(

1

2

1)(*

E,a(ando (a senda ó&%i!a de( a#o$$o en (a condición inicia( " ;na( S394 6 S3/4 6 O)o*%ene!os e( sigien%e sis%e!a de ecaciones -e de%e$!ina (as cons%an%es H= " H2

:

01

)(*

01

)0(*

)(

1

2

1

2

=−+=

=−+=

−

r

we

p H

e H T S

r

w

p H H S

t pr rT

La so(ción a es%e sis%e!a de ecaciones es%> dada &o$

)1(

)1(

)1(

)1(

)(

2

1

−

−=

−

−=

−

−

−

pT rT

T pr

rT

pT rT

ere

ew H

e pw

ere H

La e,o(ción de( cons!o a (o (a$go de( %ie!&o de&ende$> de( ,a(o$ $e(a%i,o de (a

%asa de in%e$s con $es&ec%o a (a %asa de descen%o. Po$ e?e!&(o) si (a %asa dedescen%o de (a %i(idad es s&e$io$ a (a %asa de in%e$s) (a %asa de c$eci!ien%o de(cons!o se$<a nega%i,a:

0´

<−= pr C

C

En ese caso) e( cons!o se$<a s&e$io$ a( ing$eso (a*o$a( 1 #as%a e( &e$<odo %)!ien%$as -e se$<a. In'e$io$ a 1 a &a$%i$ de dic#o ins%an%e. Es%o i!&(ica -e en n&e$<odo de %ie!&o) e( indi,ido ac!(a dedas " &os%e$io$!en%e dis!in"e scons!o) de %a( 'o$!a -e ;nancia %oda (a deda con%$a<da &$e,ia!en%e. Es%eco!&o$%a!ien%o se i(s%$a en e( G$>;co No. @.. Beda co!o e?e$cicio &a$a e( (ec%o$de%e$!ina$ e( &e$<odo c$<%ico ( en 'nción de (os &a$>!e%$os de( &$o*(e!a.

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3. CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN

De !ane$a si!i(a$ a( c>(c(o de ,a$iaciones) &a$a -e e( 'nciona( o*?e%i,osea !ai!i+ado de*e sa%is'ace$se na condición de s;ciencia. Si se

c!&(e (a condición de segndo o$den) en%onces e( &$inci&io de( !>i!o ess;cien%e &a$a (a !ai!i+ación de( 'nciona(. A con%inación se desa$$o((a$>na condición de s;ciencia) conocida co!o e( teorema de sufcienciade Mangasarian

3.1 CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN (EOREM! DE SU"ICIENCI! DEM!NG!S!RI!N#$

Si (a 'nción Ha!i(%oniana 324 es cónca,a 3con,ea4 $es&ec%o a 3") 4 " e(#o$i+on%e de %ie!&o 3/4 se encen%$a ;?o) en%onces e( &$inci&io de( !>i!oes na condición s;cien%e &a$a (a !ai!i+ación 3!ini!i+ación4 de('nciona( o*?e%i,o.

3.% CONDICIONES DE CONC!&ID!D ' CON&EID!DE( Ha!i(%oniano es na 'nción cónca,a con $es&ec%o a 3") 4 si:

a4 '3%) ") 4 es cónca,a) g3%) ") 4 es cónca,a " 3%4 F O.*4 '3%) ") 4 es cónca,a) g3%) ") 4 es con,ea " 3%4 O.E( Ha!i(%oniano es na 'nción con,ea con $es&ec%o a 3") 4 si:a4 '3%) ") 4 es con,ea) g3%) ") 4 es con,ea " 3%4 O.*4 '3%) ") 4 es con,ea) g3%) ") 4 es cónca,a " 3%4 O

De!os%$aciónLa de!os%$ación se $ea(i+a$> so*$e (a *ase de( &$o*(e!a !>s si!&(e decon%$o( ó&%i!o 3=4. Conside$ando (a 'nción Ha!i(%oniana 324 " -e (a'nciones '3%) ") 4 " g3%) " )4 son cónca,as " di'e$encia*(es) e( &$inci&io de(

!>i!o es%a*(ece (as sigien%es condiciones

)47(0)(

)46(´

)45(0

=

∂

∂−

∂

∂−=

=∂

∂+

∂

∂

T

g

y

f

u

g

u

f

λ

λ λ λ

λ

Ade!>s) &a$a aseg$a$ (a conca,idad de (a 'nción Ha!i(%oniana)

s&ond$e!os -e

]),0[(0)( T t T ∈∀≥λ

. Po$ o%$a &a$%e) conside$ando -e(as 'nciones '3%) ") 4 " g3%) ") 4 son cónca,as) " (a eis%encia de sendas

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ó&%i!as 3 ) " ) 4) " sendas 'ac%i*(es 3) ") 4) en%onces se c!&(en (asdesiga(dades:

)48(*)*)(*,,(*)*)(*,,(*)*,,(),,( uuu yt f y yu yt f u yt f u yt f u y −+−≤−

*)*)(*,,(*)*)(*,,(*)*,,(),,( uuu yt g y yu yt g u yt g u yt g u y −+−≤−

Si in%eg$a!os a!*os (ados de (a &$i!e$a desiga(dad en 34) o*%ene!os (osigien%e:

)49(*))*)(*,,(*)*)(*,,((*0

∫ −+−≤−T

u y dt uuu yt f y yu yt f V V

Ree!&(a+ando (as condiciones de( &$inci&io de( !>i!o 3J4 " 3K4 en (adesiga(dad 34) se o*%iene:

)50(*))])(,,(**)´)(),,(*[(*0

∫ −−−−−≤−T

u y dt uuu yt g y yu yt g V V λ λ λ

Si!&(i;cando 3J94 se ((ega a (a sigien%e e&$esión

)51(*)]*)(*,,(**)*)(*,,(**)´([(*0

∫ −−−−−−≤−T

u y dt uuu yt g y yu yt g y yV V λ λ λ

E( &$i!e$ co!&onen%e de (a in%eg$a( de 3J=4 &ede se$ !odi;cado !edian%e nain%eg$ación &o$ &a$%es de( sigien%e !odo:

)52(´*)]´(*[*)(**)]´([(0 0

0∫ ∫ −−−−−=−−T T

T

dt y y y ydt y y λ λ λ

∫ −+−+−−=T

T T dt y y y y y yT 0

00 ´*]´(*[*))(0(**))((* λ λ λ

E( &$i!e$o de (os %$!inos es iga( a ce$o &o$ (a condición de %$ans,e$sa(idad 34) "e( segndo %$!ino %a!*in desa&a$ece) "a -e e( ,a(o$ inicia( de (a senda ó&%i!a "(a senda 'ac%i*(e son iga(es 3"o 6 "o4. ina(!en%e) si conside$a!os -e (a ,a$iaciónde (a ,a$ia*(e de es%ado ,iene de%e$!inada &o$ (a ecación de !o,i!ien%o) (ae&$esión 3J24 se $es!i$<a de( sigien%e !odo:

)53(*))]*,,(),,((*[*)]´([(0 0

∫ ∫ −=−−T T

dt u yt g u yt g dt y y λ λ

Ree!&(a+ando 3J@4 en 3J=4 se o*%iene (a desiga(dad

)54(*)*)(*,,(**)*)(*,,(**))*,,(),,((**0

dt uuu yt g y yu yt g u yt g u yt g V V u y

T

−−−−−≤− ∫ λ λ λ

dt uuu yt g y yu yt g u yt g u yt g V V u y

T

*)*)(*,,(*)*)(*,,(*))*,,(),,((**0

−−−−−≤− ∫ λ

/o!ando en cen%a (a segnda desiga(dad en 34 " -e (a ,a$ia*(e de coes%ado

es no nega%i,a) e( (ado i+-ie$do de (a desiga(dad %o!a$<a n ,a(o$ no &osi%i,o ")&o$ (o %an%o) se c!&(i$<a: 3JJ4

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De es%e !odo) si (as 'nciones '3%) ") 4 " g3%) ") 4 son cónca,as) " (a ,a$ia*(e decoes%ado es no nega%i,a en %odo e( #o$i+on%e de %ie!&o) en%onces) (as sendas 3 )") 4 o*%enidas a &a$%i$ de (as condiciones de( &$inci&io de( !>i!o aseg$an -ee( 'nciona( o*?e%i,o sea !ai!i+ado. E&$esado de o%$a 'o$!a) si (a 'nciónHa!i(%oniana es cónca,a con $es&ec%o a (a ,a$ia*(e de con%$o( " es%ado 3") 4) e(&$inci&io de( !>i!o es na condición s;cien%e &a$a (a !ai!i+ación de( 'nciona(

o*?e%i,o) es deci$) &a$a -e se c!&(a (a desiga(dad 3JJ4. Si (as 'nciones '3%) ") 4" g3%) ") 4 'e$an es%$ic%a!en%e cónca,as) (a desiga(dad 3JJ4 se$<a es%$ic%a " e('nciona( o*?e%i,o a(can+a$<a n nico !>i!o g(o*a(. Cando se conside$a e( ,a(o$%e$!ina( de (a ,a$ia*(e de es%ado ;?o) (os $es(%ados an%e$io$es no se ,en a(%e$ados.E!&(eando (a condición 3J24) e( (ec%o$ &ede de!os%$a$ -e en dic#o caso (adesiga(dad 3JJ4 se !an%iene.

E?e!&(o =.8 E,a(e (a condición de segndo o$den &a$a e( &$o*(e!a desa$$o((ado en(a sección =.2 de es%e ca&<%(o

En es%e caso se ,e$i;ca$> (a condición de s;ciencia de !ane$a se&a$ada &a$a (aecación de !o,i!ien%o " (a 'nción in%e$!edia. La ecación de !o,i!ien%o de(&$o*(e!a es (a sigien%e:

)()(),( 2

t P t C P C g γ −=

" s !a%$i+ Hessiana es:

=∆

00

02

Los !eno$es &$inci&a(es de (a !a%$i+ son Q= 6 2 " Q2 6 O) &o$ (o -e (a!a%$i+ es se!ide;nida &osi%i,a " (a ecación de !o,i!ien%o es con,ea. Po$o%$a &a$%e) (a 'nción in%e$!edia es (a sigien%e:

P C LnC P C f θ α

β −−=

2

2),(

La ca( &$esen%a (a sigien%e !a%$i+ Hessiana

−−

=∆00

021

22 α

β

C

" (os !eno$es &$inci&a(es

22221

2121

α

β

α

β −−=−−=∆

C C

0

00

021

222 =

−−=∆ α

β

C

La !a%$i+ es se!ide;nida nega%i,a ") &o$ (o %an%o) (a 'nción in%e$!ediaes cónca,a. Conside$ando -e (a ,a$ia*(e de coes%ado es no &osi%i,a en es%ee?e!&(o) nos encon%$a$<a!os en e( caso 3*4 de( &n%o @.2) de %a( 'o$!a -e(a 'nción Ha!i(%oniana se$<a cónca,a " se c!&(i$<a (a condición des;ciencia de Mangasa$ian

E?e!&(o 2.8 E,a(e (a condición de segndo o$den &a$a e( &$o*(e!a desa$$o8((ado en (a sección 2.2 de es%e ca&<%(o

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En e( &$o*(e!a de asignación de cons!o " a#o$$o) (a 'nción Ha!i(%oniana es%>de;nida &o$

)()(),,,( C rS weC Lnu yt H pt −++= − λ λ

La !a%$i+ Hessiana de( Ha!i(%onian es (a sigien%e

−=∆

−

00

01

2 pt eC

Los !eno$es &$inci&a(es son iga(es a:

011221 <−=−=∆ −− pt pt e

C e

C

0

00

01

22 =

−=∆

− pt eC

La !a%$i+ es se!ide;nida nega%i,a &o$ (o %an%o) (a 'nción Ha!i(%oniana escónca,a. De es%a !ane$a) (a condición de s;ciencia se sa%is'ace) " se co!&$e*a-e (as sendas ó&%i!as #a((adas !ai!i+an e( 'nciona( o*?e%i,o.

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