an alisis num erico interpolaci on y aproximaci on...
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Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Analisis NumericoInterpolacion y aproximacion polinomial
CNM-425
Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft c© 2008. Reproduccion permitida bajo los
terminos de la licencia de documentacion libre GNU.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Contenido
1 Introduccion
2 Interpolacion de Vandermonde
3 Interpolacion de Newton
4 Interpolacion de Lagrange
5 Error en la interpolacion
6 Polinomios de Chebyshev
7 Interpolacion de Hermite
8 Splines
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion
Dado un conjunto de datos conocidos
(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )
buscamos una funcion f : R→ R que satisfaga
f(xi) = yi , i = 0, . . . , N
f es la funcion interpolante o interpolador.
El interpolador f puede ser
polinomio
“spline”
fraccion continuada
Restricciones adicionales
Las derivada del interpolador f en los puntos dados es fija.
Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador f
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion
Dado un conjunto de datos conocidos
(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )
buscamos una funcion f : R→ R que satisfaga
f(xi) = yi , i = 0, . . . , N
f es la funcion interpolante o interpolador.
El interpolador f puede ser
polinomio
“spline”
fraccion continuada
Restricciones adicionales
Las derivada del interpolador f en los puntos dados es fija.
Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador f
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion
Dado un conjunto de datos conocidos
(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )
buscamos una funcion f : R→ R que satisfaga
f(xi) = yi , i = 0, . . . , N
f es la funcion interpolante o interpolador.
El interpolador f puede ser
polinomio
“spline”
fraccion continuada
Restricciones adicionales
Las derivada del interpolador f en los puntos dados es fija.
Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador f
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion
Dado un conjunto de datos conocidos
(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )
buscamos una funcion f : R→ R que satisfaga
f(xi) = yi , i = 0, . . . , N
f es la funcion interpolante o interpolador.
El interpolador f puede ser
polinomio
“spline”
fraccion continuada
Restricciones adicionales
Las derivada del interpolador f en los puntos dados es fija.
Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador f
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Aplicaciones
Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos.
Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera facil una funcion matematica.
Reemplazar una funcion complicada por una simple.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Aplicaciones
Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos.
Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera facil una funcion matematica.
Reemplazar una funcion complicada por una simple.
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Aplicaciones
Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos.
Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera facil una funcion matematica.
Reemplazar una funcion complicada por una simple.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Aplicaciones
Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos.
Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera facil una funcion matematica.
Reemplazar una funcion complicada por una simple.
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Aplicaciones
Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos.
Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera facil una funcion matematica.
Reemplazar una funcion complicada por una simple.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion y aproximacion
Funciones utilizadas como interpoladores
Polinomios
Funciones trigonometricas
Funciones exponenciales
Funciones racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)
Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.
Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion y aproximacion
Funciones utilizadas como interpoladores
Polinomios
Funciones trigonometricas
Funciones exponenciales
Funciones racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)
Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.
Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion y aproximacion
Funciones utilizadas como interpoladores
Polinomios
Funciones trigonometricas
Funciones exponenciales
Funciones racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)
Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.
Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.
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Interpolacion y aproximacion
Funciones utilizadas como interpoladores
Polinomios
Funciones trigonometricas
Funciones exponenciales
Funciones racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)
Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.
Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.
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Interpolacion y aproximacion
Funciones utilizadas como interpoladores
Polinomios
Funciones trigonometricas
Funciones exponenciales
Funciones racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)
Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.
Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Interpolacion y aproximacion
Funciones utilizadas como interpoladores
Polinomios
Funciones trigonometricas
Funciones exponenciales
Funciones racionales
Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)
Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.
Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.
Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.
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Teorıa
Teorema 1.1 (aproximacion de Weierstrass)
Sea f : [a, b]→ C continua. Para todo ε > 0, existe un polinomio p sobre Ctal que para todo x ∈ [a, b],
|f(x)− p(x)| < ε
Observaciones
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Teorıa
Teorema 1.1 (aproximacion de Weierstrass)
Sea f : [a, b]→ C continua. Para todo ε > 0, existe un polinomio p sobre Ctal que para todo x ∈ [a, b],
|f(x)− p(x)| < ε
Observaciones
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Teorıa
Teorema 1.2 (Existencia y unicidad del polinomio interpolante)
Si x0, x1, . . . , xN son numeros reales distintos, entonces para N + 1 valoresarbitrarios y0, y1, . . . , yN existe un unico polinomio PN de grado a lo sumoN tal que
pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N
Observaciones
El teorema (1.2) generaliza:
“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo unalınea recta (polinomio de grado 1)”
Dada una tabla de datos
x0 x1 · · · xN
y0 y1 · · · yN
existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi.
Aunque el polinomio es unico, existen diversas formas de expresarlo ydiferentes algoritmos para determinarlo.
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Teorıa
Teorema 1.2 (Existencia y unicidad del polinomio interpolante)
Si x0, x1, . . . , xN son numeros reales distintos, entonces para N + 1 valoresarbitrarios y0, y1, . . . , yN existe un unico polinomio PN de grado a lo sumoN tal que
pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N
Observaciones
El teorema (1.2) generaliza:
“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo unalınea recta (polinomio de grado 1)”
Dada una tabla de datos
x0 x1 · · · xN
y0 y1 · · · yN
existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi.
Aunque el polinomio es unico, existen diversas formas de expresarlo ydiferentes algoritmos para determinarlo.
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Teorıa
Teorema 1.2 (Existencia y unicidad del polinomio interpolante)
Si x0, x1, . . . , xN son numeros reales distintos, entonces para N + 1 valoresarbitrarios y0, y1, . . . , yN existe un unico polinomio PN de grado a lo sumoN tal que
pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N
Observaciones
El teorema (1.2) generaliza:
“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo unalınea recta (polinomio de grado 1)”
Dada una tabla de datos
x0 x1 · · · xN
y0 y1 · · · yN
existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi.
Aunque el polinomio es unico, existen diversas formas de expresarlo ydiferentes algoritmos para determinarlo.
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Teorıa
Teorema 1.2 (Existencia y unicidad del polinomio interpolante)
Si x0, x1, . . . , xN son numeros reales distintos, entonces para N + 1 valoresarbitrarios y0, y1, . . . , yN existe un unico polinomio PN de grado a lo sumoN tal que
pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N
Observaciones
El teorema (1.2) generaliza:
“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo unalınea recta (polinomio de grado 1)”
Dada una tabla de datos
x0 x1 · · · xN
y0 y1 · · · yN
existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi.
Aunque el polinomio es unico, existen diversas formas de expresarlo ydiferentes algoritmos para determinarlo.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomio interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akφk(x) (1)
pN (x) es el polinomio interpolante.
φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.
ak son coeficientes por determinar.
(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.
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Polinomio interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akφk(x) (1)
pN (x) es el polinomio interpolante.
φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.
ak son coeficientes por determinar.
(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.
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Polinomio interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akφk(x) (1)
pN (x) es el polinomio interpolante.
φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.
ak son coeficientes por determinar.
(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.
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Polinomio interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akφk(x) (1)
pN (x) es el polinomio interpolante.
φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.
ak son coeficientes por determinar.
(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomio interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akφk(x) (1)
pN (x) es el polinomio interpolante.
φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.
ak son coeficientes por determinar.
(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.
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Polinomio interpolador
Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}
Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akφk(x) (1)
pN (x) es el polinomio interpolante.
φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.
ak son coeficientes por determinar.
(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.
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Interpolacion de Vandermonde
Consideramos como bases los monomios
φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)
Para la base (6) obtenemos la representacion
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx
N (3)
donde a0, a1, . . . , aN son constantes a determinar.
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi en (3) se puedenexpresar matricialmente como26664
1 x0 x20 · · · xN0
1 x1 x21 · · · xN1
......
......
1 xN x2N · · · xNN
3777526664
a0
a1
...aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
...f(xN )
37775 ⇐⇒ Va = f
V es la matriz de Vandermonde y det(V) =Y
0≤i≤j≤N
(xj − xi) 6= 0.
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Interpolacion de Vandermonde
Consideramos como bases los monomios
φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)
Para la base (6) obtenemos la representacion
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx
N (3)
donde a0, a1, . . . , aN son constantes a determinar.
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi en (3) se puedenexpresar matricialmente como26664
1 x0 x20 · · · xN0
1 x1 x21 · · · xN1
......
......
1 xN x2N · · · xNN
3777526664
a0
a1
...aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
...f(xN )
37775 ⇐⇒ Va = f
V es la matriz de Vandermonde y det(V) =Y
0≤i≤j≤N
(xj − xi) 6= 0.
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Interpolacion de Vandermonde
Consideramos como bases los monomios
φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)
Para la base (6) obtenemos la representacion
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx
N (3)
donde a0, a1, . . . , aN son constantes a determinar.
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi en (3) se puedenexpresar matricialmente como26664
1 x0 x20 · · · xN0
1 x1 x21 · · · xN1
......
......
1 xN x2N · · · xNN
3777526664
a0
a1
...aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
...f(xN )
37775 ⇐⇒ Va = f
V es la matriz de Vandermonde y det(V) =Y
0≤i≤j≤N
(xj − xi) 6= 0.
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Interpolacion de Vandermonde
Consideramos como bases los monomios
φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)
Para la base (6) obtenemos la representacion
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx
N (3)
donde a0, a1, . . . , aN son constantes a determinar.
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi en (3) se puedenexpresar matricialmente como26664
1 x0 x20 · · · xN0
1 x1 x21 · · · xN1
......
......
1 xN x2N · · · xNN
3777526664
a0
a1
...aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
...f(xN )
37775 ⇐⇒ Va = f
V es la matriz de Vandermonde y det(V) =Y
0≤i≤j≤N
(xj − xi) 6= 0.
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Ejemplo
Ejemplo 2.1
Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos
(−2,−27), (0,−1), (1, 0)
Solucion
El polinomio esta dado por
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)
Para este caso el sistema esta dado por24 1 −2 41 0 01 1 1
3524 a0
a1
a2
35 =
24 −27−1
0
35
La solucion esta dada por [−1 5 − 4]T y
f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)
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Ejemplo
Ejemplo 2.1
Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos
(−2,−27), (0,−1), (1, 0)
Solucion
El polinomio esta dado por
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)
Para este caso el sistema esta dado por24 1 −2 41 0 01 1 1
3524 a0
a1
a2
35 =
24 −27−1
0
35
La solucion esta dada por [−1 5 − 4]T y
f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)
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Ejemplo
Ejemplo 2.1
Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos
(−2,−27), (0,−1), (1, 0)
Solucion
El polinomio esta dado por
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)
Para este caso el sistema esta dado por24 1 −2 41 0 01 1 1
3524 a0
a1
a2
35 =
24 −27−1
0
35
La solucion esta dada por [−1 5 − 4]T y
f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)
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Ejemplo
Ejemplo 2.1
Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos
(−2,−27), (0,−1), (1, 0)
Solucion
El polinomio esta dado por
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)
Para este caso el sistema esta dado por24 1 −2 41 0 01 1 1
3524 a0
a1
a2
35 =
24 −27−1
0
35
La solucion esta dada por [−1 5 − 4]T y
f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)
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Interpolacion de Newton
Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos elsiguiente cambio de base
φk(x) =
k−1Yi=0
(x− xi) (6)
Ahora f(x) es aproximada por
f(x) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+· · ·+aN (x−x0)(x−x1) · · · (x−xN−1)
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi se pueden expresarmatricialmente como26664
1 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0
.
.
....
1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)
3777526664
a0a1
.
.
.aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
.
.
.f(xN )
37775
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Interpolacion de Newton
Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos elsiguiente cambio de base
φk(x) =
k−1Yi=0
(x− xi) (6)
Ahora f(x) es aproximada por
f(x) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+· · ·+aN (x−x0)(x−x1) · · · (x−xN−1)
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi se pueden expresarmatricialmente como
266641 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0
.
.
....
1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)
3777526664
a0a1
.
.
.aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
.
.
.f(xN )
37775
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Interpolacion de Newton
Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos elsiguiente cambio de base
φk(x) =
k−1Yi=0
(x− xi) (6)
Ahora f(x) es aproximada por
f(x) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+· · ·+aN (x−x0)(x−x1) · · · (x−xN−1)
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi se pueden expresarmatricialmente como26664
1 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0
.
.
....
1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)
3777526664
a0a1
.
.
.aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
.
.
.f(xN )
37775
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Interpolacion de Newton
Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos elsiguiente cambio de base
φk(x) =
k−1Yi=0
(x− xi) (6)
Ahora f(x) es aproximada por
f(x) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+· · ·+aN (x−x0)(x−x1) · · · (x−xN−1)
Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi se pueden expresarmatricialmente como26664
1 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0
.
.
....
1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)
3777526664
a0a1
.
.
.aN
37775 =
26664f(x0)f(x1)
.
.
.f(xN )
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Formula de diferencias dividas
La matriz del sistema anterior es triangular inferior
O`N2´
operaciones necesarias para resolver el sistema
Las soluciones vienen dadas por
a0 = f(x0)
a1 =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
a2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0−f(x1)− f(x0)
x1 − x0
x2 − x1
...
ak = F(x0, x1, . . . , xk)
La funcion F puede determinarse de manera recursiva
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Formula de diferencias dividas
La matriz del sistema anterior es triangular inferior
O`N2´
operaciones necesarias para resolver el sistema
Las soluciones vienen dadas por
a0 = f(x0)
a1 =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
a2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0−f(x1)− f(x0)
x1 − x0
x2 − x1
...
ak = F(x0, x1, . . . , xk)
La funcion F puede determinarse de manera recursiva
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Formula de diferencias dividas
La matriz del sistema anterior es triangular inferior
O`N2´
operaciones necesarias para resolver el sistema
Las soluciones vienen dadas por
a0 = f(x0)
a1 =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
a2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0−f(x1)− f(x0)
x1 − x0
x2 − x1
...
ak = F(x0, x1, . . . , xk)
La funcion F puede determinarse de manera recursiva
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Formula de diferencias dividas
La matriz del sistema anterior es triangular inferior
O`N2´
operaciones necesarias para resolver el sistema
Las soluciones vienen dadas por
a0 = f(x0)
a1 =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
a2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0−f(x1)− f(x0)
x1 − x0
x2 − x1
...
ak = F(x0, x1, . . . , xk)
La funcion F puede determinarse de manera recursiva
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Formula de diferencias dividas
La matriz del sistema anterior es triangular inferior
O`N2´
operaciones necesarias para resolver el sistema
Las soluciones vienen dadas por
a0 = f(x0)
a1 =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
a2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0−f(x1)− f(x0)
x1 − x0
x2 − x1
...
ak = F(x0, x1, . . . , xk)
La funcion F puede determinarse de manera recursiva
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Formula de diferencias dividas
Consideremos el conjunto de puntos
Gk0 = {x0, . . . , xk}
Adicionalmente
pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}
pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1
0 = {x0, . . . , xk−1}
pk1(x): polinomio de interpolacion en Gk1 = {x1, . . . , xk}
Observemos que
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)
Ambos polinomios tienen grado k
Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))
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Formula de diferencias dividas
Consideremos el conjunto de puntos
Gk0 = {x0, . . . , xk}
Adicionalmente
pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}
pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1
0 = {x0, . . . , xk−1}
pk1(x): polinomio de interpolacion en Gk1 = {x1, . . . , xk}
Observemos que
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)
Ambos polinomios tienen grado k
Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))
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Formula de diferencias dividas
Consideremos el conjunto de puntos
Gk0 = {x0, . . . , xk}
Adicionalmente
pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}
pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1
0 = {x0, . . . , xk−1}
pk1(x): polinomio de interpolacion en Gk1 = {x1, . . . , xk}
Observemos que
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)
Ambos polinomios tienen grado k
Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))
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Formula de diferencias dividas
Consideremos el conjunto de puntos
Gk0 = {x0, . . . , xk}
Adicionalmente
pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}
pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1
0 = {x0, . . . , xk−1}
pk1(x): polinomio de interpolacion en Gk1 = {x1, . . . , xk}
Observemos que
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)
Ambos polinomios tienen grado k
Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))
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Formula de diferencias dividas
Consideremos el conjunto de puntos
Gk0 = {x0, . . . , xk}
Adicionalmente
pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}
pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1
0 = {x0, . . . , xk−1}
pk1(x): polinomio de interpolacion en Gk1 = {x1, . . . , xk}
Observemos que
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)
Ambos polinomios tienen grado k
Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))
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Formula de diferencias dividas
Consideremos el conjunto de puntos
Gk0 = {x0, . . . , xk}
Adicionalmente
pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}
pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1
0 = {x0, . . . , xk−1}
pk1(x): polinomio de interpolacion en Gk1 = {x1, . . . , xk}
Observemos que
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)
Ambos polinomios tienen grado k
Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))
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Formula de diferencias dividas
Los polinomios de interpolacion estan dados por
pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)
pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)
pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)
Al sustituirlos en (7)
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x)
obtenemos
(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·
Comparando los coeficientes de mayor potencia xk:
(x0 − xk) ak = ak−1 − bk(x0 − xk)F(x0, x1, . . . , xk) = F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
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Formula de diferencias dividas
Los polinomios de interpolacion estan dados por
pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)
pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)
pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)
Al sustituirlos en (7)
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x)
obtenemos
(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·
Comparando los coeficientes de mayor potencia xk:
(x0 − xk) ak = ak−1 − bk(x0 − xk)F(x0, x1, . . . , xk) = F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
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Formula de diferencias dividas
Los polinomios de interpolacion estan dados por
pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)
pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)
pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)
Al sustituirlos en (7)
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x)
obtenemos
(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·
Comparando los coeficientes de mayor potencia xk:
(x0 − xk) ak = ak−1 − bk(x0 − xk)F(x0, x1, . . . , xk) = F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
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Formula de diferencias dividas
Los polinomios de interpolacion estan dados por
pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)
pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)
pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)
Al sustituirlos en (7)
(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x)
obtenemos
(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·
Comparando los coeficientes de mayor potencia xk:
(x0 − xk) ak = ak−1 − bk(x0 − xk)F(x0, x1, . . . , xk) = F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
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Formula de diferencias dividas
Obtenemos la formula de diferencias dividas
F(x0, x1, . . . , xk) =F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
(x0 − xk)(8)
El polinomio de interpolacion esta dado por
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)
La formula de recursividad (8) aplicada a los puntos G20 = {x0, x1, x2}
k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)
F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)
x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =
F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2
F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)
x1−x2x2 F(x2) = f(x2)
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
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Formula de diferencias dividas
Obtenemos la formula de diferencias dividas
F(x0, x1, . . . , xk) =F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
(x0 − xk)(8)
El polinomio de interpolacion esta dado por
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)
La formula de recursividad (8) aplicada a los puntos G20 = {x0, x1, x2}
k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)
F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)
x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =
F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2
F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)
x1−x2x2 F(x2) = f(x2)
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
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Formula de diferencias dividas
Obtenemos la formula de diferencias dividas
F(x0, x1, . . . , xk) =F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
(x0 − xk)(8)
El polinomio de interpolacion esta dado por
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)
La formula de recursividad (8) aplicada a los puntos G20 = {x0, x1, x2}
k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)
F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)
x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =
F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2
F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)
x1−x2x2 F(x2) = f(x2)
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
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Formula de diferencias dividas
Obtenemos la formula de diferencias dividas
F(x0, x1, . . . , xk) =F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)
(x0 − xk)(8)
El polinomio de interpolacion esta dado por
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)
La formula de recursividad (8) aplicada a los puntos G20 = {x0, x1, x2}
k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)
F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)
x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =
F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2
F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)
x1−x2x2 F(x2) = f(x2)
f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
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Interpolacion de Lagrange
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por
Lk(x) =
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
=(x− x0)
(xk − x0)· · · (x− xk−1)
(xk − xk−1)· (x− xk+1)
(xk − xk+1)· · · (x− xN )
(xk − xN )
(10)
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
Lk(xj) =
1 si k = j0 si k 6= j
= δkj
El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por
pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)
El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))
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Interpolacion de Lagrange
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por
Lk(x) =
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
=(x− x0)
(xk − x0)· · · (x− xk−1)
(xk − xk−1)· (x− xk+1)
(xk − xk+1)· · · (x− xN )
(xk − xN )
(10)
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
Lk(xj) =
1 si k = j0 si k 6= j
= δkj
El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por
pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)
El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))
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Interpolacion de Lagrange
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por
Lk(x) =
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
=(x− x0)
(xk − x0)· · · (x− xk−1)
(xk − xk−1)· (x− xk+1)
(xk − xk+1)· · · (x− xN )
(xk − xN )
(10)
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
Lk(xj) =
1 si k = j0 si k 6= j
= δkj
El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por
pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)
El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))
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Interpolacion de Lagrange
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por
Lk(x) =
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
=(x− x0)
(xk − x0)· · · (x− xk−1)
(xk − xk−1)· (x− xk+1)
(xk − xk+1)· · · (x− xN )
(xk − xN )
(10)
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
Lk(xj) =
1 si k = j0 si k 6= j
= δkj
El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por
pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)
El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))
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Interpolacion de Lagrange
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por
Lk(x) =
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
=(x− x0)
(xk − x0)· · · (x− xk−1)
(xk − xk−1)· (x− xk+1)
(xk − xk+1)· · · (x− xN )
(xk − xN )
(10)
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
Lk(xj) =
1 si k = j0 si k 6= j
= δkj
El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por
pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)
El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))
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Interpolacion de Lagrange
Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por
Lk(x) =
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
=(x− x0)
(xk − x0)· · · (x− xk−1)
(xk − xk−1)· (x− xk+1)
(xk − xk+1)· · · (x− xN )
(xk − xN )
(10)
Propiedades
Lk es un polinomio de grado N
Lk(xj) =
1 si k = j0 si k 6= j
= δkj
El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por
pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)
El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomios de Lagrange para N = 4 y x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3x4 = 4
L0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)=
1
24
`x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24
´L1(x) =
(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
(1− 0)(1− 2)(1− 3)(1− 4)= −
1
6
`x4 − 9x3 + 26x2 − 24x
´L2(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 3)(x− 4)
(2− 0)(2− 1)(2− 3)(2− 4)=
1
12
`x4 − 8x3 + 19x2 − 12x
´L3(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 4)
(3− 0)(3− 1)(3− 2)(3− 4)= −
1
6
`x4 − 7x3 + 14x2 − 8x
´L4(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 3)
(4− 0)(4− 1)(4− 2)(4− 3)=
1
24
`x4 − 6x3 + 11x2 − 6x
´
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomios de Lagrange para N = 4 y x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3x4 = 4
L0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)=
1
24
`x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24
´L1(x) =
(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
(1− 0)(1− 2)(1− 3)(1− 4)= −
1
6
`x4 − 9x3 + 26x2 − 24x
´L2(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 3)(x− 4)
(2− 0)(2− 1)(2− 3)(2− 4)=
1
12
`x4 − 8x3 + 19x2 − 12x
´L3(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 4)
(3− 0)(3− 1)(3− 2)(3− 4)= −
1
6
`x4 − 7x3 + 14x2 − 8x
´L4(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 3)
(4− 0)(4− 1)(4− 2)(4− 3)=
1
24
`x4 − 6x3 + 11x2 − 6x
´
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomios de Lagrange para N = 4 y x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3x4 = 4
L0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)=
1
24
`x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24
´L1(x) =
(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
(1− 0)(1− 2)(1− 3)(1− 4)= −
1
6
`x4 − 9x3 + 26x2 − 24x
´L2(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 3)(x− 4)
(2− 0)(2− 1)(2− 3)(2− 4)=
1
12
`x4 − 8x3 + 19x2 − 12x
´L3(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 4)
(3− 0)(3− 1)(3− 2)(3− 4)= −
1
6
`x4 − 7x3 + 14x2 − 8x
´L4(x) =
(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 3)
(4− 0)(4− 1)(4− 2)(4− 3)=
1
24
`x4 − 6x3 + 11x2 − 6x
´
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 4.1
Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) =1
xen los
puntos x0 = 2 , x1 = 2.5 , x2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3).
Solucion
L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)
(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10
L1(x) =(x− 2)(x− 4)
(2,5− 2)(2,5− 4)=
(−4x+ 24)x− 32
3
L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)
(4− 2)(4− 2,5)=
(x− 4,5)x+ 5
3
y
p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)
= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32
3+ 0,25
(x− 4,5)x+ 5
3
= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 4.1
Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) =1
xen los
puntos x0 = 2 , x1 = 2.5 , x2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3).
Solucion
L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)
(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10
L1(x) =(x− 2)(x− 4)
(2,5− 2)(2,5− 4)=
(−4x+ 24)x− 32
3
L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)
(4− 2)(4− 2,5)=
(x− 4,5)x+ 5
3
y
p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)
= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32
3+ 0,25
(x− 4,5)x+ 5
3
= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 4.1
Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) =1
xen los
puntos x0 = 2 , x1 = 2.5 , x2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3).
Solucion
L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)
(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10
L1(x) =(x− 2)(x− 4)
(2,5− 2)(2,5− 4)=
(−4x+ 24)x− 32
3
L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)
(4− 2)(4− 2,5)=
(x− 4,5)x+ 5
3
y
p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)
= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32
3+ 0,25
(x− 4,5)x+ 5
3
= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 4.1
Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) =1
xen los
puntos x0 = 2 , x1 = 2.5 , x2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3).
Solucion
L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)
(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10
L1(x) =(x− 2)(x− 4)
(2,5− 2)(2,5− 4)=
(−4x+ 24)x− 32
3
L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)
(4− 2)(4− 2,5)=
(x− 4,5)x+ 5
3
y
p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)
= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32
3+ 0,25
(x− 4,5)x+ 5
3
= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
double LagrangePoli(double x, int pt, int npts, double * xpts){int i;
double h=1.0;
for(i=0;i<pt,i++)
h = h * xpts[i])/(xpts[pt]-xpts[i]);
for(i=pt+1;i<npts,i++)
h = h * xpts[i])/(xpts[pt]-xpts[i]);
return h;
}
NYi=0i6=k
(x− xi)(xk − xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
Teorema 5.1
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Para todo x ∈ [a, b] existe unξ = ξ(x) ∈ (a, b) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (12)
Demostracion
La ecuacion (18) es valida en los puntos de interpolacion xi y se reduce a0 = 0.
Para x 6= xi definimos
g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))
nYi=0
t− xix− xi
, t ∈ [a, b] (13)
Por otra parte
f ∈ Cn+1[a, b] y p ∈ C∞[a, b] =⇒ g ∈ Cn+1[a, b]
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
Teorema 5.1
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Para todo x ∈ [a, b] existe unξ = ξ(x) ∈ (a, b) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (12)
Demostracion
La ecuacion (18) es valida en los puntos de interpolacion xi y se reduce a0 = 0.
Para x 6= xi definimos
g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))nYi=0
t− xix− xi
, t ∈ [a, b] (13)
Por otra parte
f ∈ Cn+1[a, b] y p ∈ C∞[a, b] =⇒ g ∈ Cn+1[a, b]
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
Teorema 5.1
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Para todo x ∈ [a, b] existe unξ = ξ(x) ∈ (a, b) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (12)
Demostracion
La ecuacion (18) es valida en los puntos de interpolacion xi y se reduce a0 = 0.
Para x 6= xi definimos
g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))nYi=0
t− xix− xi
, t ∈ [a, b] (13)
Por otra parte
f ∈ Cn+1[a, b] y p ∈ C∞[a, b] =⇒ g ∈ Cn+1[a, b]
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
Teorema 5.1
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Para todo x ∈ [a, b] existe unξ = ξ(x) ∈ (a, b) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (12)
Demostracion
La ecuacion (18) es valida en los puntos de interpolacion xi y se reduce a0 = 0.
Para x 6= xi definimos
g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))nYi=0
t− xix− xi
, t ∈ [a, b] (13)
Por otra parte
f ∈ Cn+1[a, b] y p ∈ C∞[a, b] =⇒ g ∈ Cn+1[a, b]
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)Observemos que
g(xk) =���
����:0
f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��
����*0
nYi=0
xk − xix− xi
= 0 , k = 0, . . . , N
y
g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��
����*1
nYi=0
xk − xix− xi
= 0
Luego
g ∈ Cn+1[a, b] y g = 0 en N+2 puntosRolle=⇒ g(n+1)(ξ) = 0 (14)
De (13), con ∗(n+1) = dn+1
dtn+1 ∗ se tiene que
g(n+1)(t) = f (n+1)(t)− p(n+1)(t)− (f(x)− p(x))dn+1
dtn+1
nYi=0
t− xix− xi
!
= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
(15)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)Observemos que
g(xk) =���
����:0
f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��
����*0
nYi=0
xk − xix− xi
= 0 , k = 0, . . . , N
y
g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��
����*1
nYi=0
xk − xix− xi
= 0
Luego
g ∈ Cn+1[a, b] y g = 0 en N+2 puntosRolle=⇒ g(n+1)(ξ) = 0 (14)
De (13), con ∗(n+1) = dn+1
dtn+1 ∗ se tiene que
g(n+1)(t) = f (n+1)(t)− p(n+1)(t)− (f(x)− p(x))dn+1
dtn+1
nYi=0
t− xix− xi
!
= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
(15)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)Observemos que
g(xk) =���
����:0
f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��
����*0
nYi=0
xk − xix− xi
= 0 , k = 0, . . . , N
y
g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��
����*1
nYi=0
xk − xix− xi
= 0
Luego
g ∈ Cn+1[a, b] y g = 0 en N+2 puntosRolle=⇒ g(n+1)(ξ) = 0 (14)
De (13), con ∗(n+1) = dn+1
dtn+1 ∗ se tiene que
g(n+1)(t) = f (n+1)(t)− p(n+1)(t)− (f(x)− p(x))dn+1
dtn+1
nYi=0
t− xix− xi
!
= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
(15)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)Observemos que
g(xk) =���
����:0
f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��
����*0
nYi=0
xk − xix− xi
= 0 , k = 0, . . . , N
y
g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��
����*1
nYi=0
xk − xix− xi
= 0
Luego
g ∈ Cn+1[a, b] y g = 0 en N+2 puntosRolle=⇒ g(n+1)(ξ) = 0 (14)
De (13), con ∗(n+1) = dn+1
dtn+1 ∗ se tiene que
g(n+1)(t) = f (n+1)(t)− p(n+1)(t)− (f(x)− p(x))dn+1
dtn+1
nYi=0
t− xix− xi
!
= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
(15)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
(14) , (15) y t = ξ =⇒ 0 = f (n+1)(ξ)−(f(x)−p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
y por tanto
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (16)
Observaciones
La cota de error para el polinomio de Taylor de grado n alrededor dex0 concentra toda la informacion entorno a x0:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0)n+1
La cota de error (16) utiliza los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
(14) , (15) y t = ξ =⇒ 0 = f (n+1)(ξ)−(f(x)−p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
y por tanto
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (16)
Observaciones
La cota de error para el polinomio de Taylor de grado n alrededor dex0 concentra toda la informacion entorno a x0:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0)n+1
La cota de error (16) utiliza los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
(14) , (15) y t = ξ =⇒ 0 = f (n+1)(ξ)−(f(x)−p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
y por tanto
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (16)
Observaciones
La cota de error para el polinomio de Taylor de grado n alrededor dex0 concentra toda la informacion entorno a x0:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0)n+1
La cota de error (16) utiliza los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (6.1)
(14) , (15) y t = ξ =⇒ 0 = f (n+1)(ξ)−(f(x)−p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)
y por tanto
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (16)
Observaciones
La cota de error para el polinomio de Taylor de grado n alrededor dex0 concentra toda la informacion entorno a x0:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0)n+1
La cota de error (16) utiliza los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn:
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo 5.1
Estime el error cometido al aproximar la funcion f(x) = senx por mediodel polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo[0, 1].
Solucion
La cota de error esta dada por (16)
f(x)− p(x) =1
10!f (10)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (17)
Por otra parte
f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)
˛≤ 1
y
x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0
|x− xi| ≤ 1
Luego
|f(x)− p(x)| ≤ 1
10!≤ 2,8× 10−7
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo 5.1
Estime el error cometido al aproximar la funcion f(x) = senx por mediodel polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo[0, 1].
Solucion
La cota de error esta dada por (16)
f(x)− p(x) =1
10!f (10)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (17)
Por otra parte
f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)
˛≤ 1
y
x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0
|x− xi| ≤ 1
Luego
|f(x)− p(x)| ≤ 1
10!≤ 2,8× 10−7
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo 5.1
Estime el error cometido al aproximar la funcion f(x) = senx por mediodel polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo[0, 1].
Solucion
La cota de error esta dada por (16)
f(x)− p(x) =1
10!f (10)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (17)
Por otra parte
f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)
˛≤ 1
y
x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0
|x− xi| ≤ 1
Luego
|f(x)− p(x)| ≤ 1
10!≤ 2,8× 10−7
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo 5.1
Estime el error cometido al aproximar la funcion f(x) = senx por mediodel polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo[0, 1].
Solucion
La cota de error esta dada por (16)
f(x)− p(x) =1
10!f (10)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (17)
Por otra parte
f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)
˛≤ 1
y
x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0
|x− xi| ≤ 1
Luego
|f(x)− p(x)| ≤ 1
10!≤ 2,8× 10−7
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo 5.1
Estime el error cometido al aproximar la funcion f(x) = senx por mediodel polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo[0, 1].
Solucion
La cota de error esta dada por (16)
f(x)− p(x) =1
10!f (10)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (17)
Por otra parte
f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)
˛≤ 1
y
x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0
|x− xi| ≤ 1
Luego
|f(x)− p(x)| ≤ 1
10!≤ 2,8× 10−7
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Cota de error para el polinomio de Newton
Teorema 5.2
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Entonces
f(x)− p(x) = F(x0, x1, . . . , xn, x)nYi=0
(x− xi) (18)
Demostracion
Por el teorema (6.1), existe ξ = ξ(x) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (19)
Por otra parte, el polinomio de interpolacion de Newton esta dado por
p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Cota de error para el polinomio de Newton
Teorema 5.2
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Entonces
f(x)− p(x) = F(x0, x1, . . . , xn, x)nYi=0
(x− xi) (18)
Demostracion
Por el teorema (6.1), existe ξ = ξ(x) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (19)
Por otra parte, el polinomio de interpolacion de Newton esta dado por
p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Cota de error para el polinomio de Newton
Teorema 5.2
Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Entonces
f(x)− p(x) = F(x0, x1, . . . , xn, x)nYi=0
(x− xi) (18)
Demostracion
Por el teorema (6.1), existe ξ = ξ(x) tal que
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (19)
Por otra parte, el polinomio de interpolacion de Newton esta dado por
p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Cota de error para el polinomio de Newton
El polinomio de Newton que interpola a f en x0, x1, . . . , xn, x:
p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, . . . , xn, x)(x− x0) · · · (x− xn)
y por tanto
f(x)− p(x) = F(x0, . . . , xn, x)nYi=0
(x− xi) (20)
Comparando (19) con (20),
F(x0, . . . , xn, x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ(x))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Cota de error para el polinomio de Newton
El polinomio de Newton que interpola a f en x0, x1, . . . , xn, x:
p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, . . . , xn, x)(x− x0) · · · (x− xn)
y por tanto
f(x)− p(x) = F(x0, . . . , xn, x)nYi=0
(x− xi) (20)
Comparando (19) con (20),
F(x0, . . . , xn, x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ(x))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Cota de error para el polinomio de Newton
El polinomio de Newton que interpola a f en x0, x1, . . . , xn, x:
p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)
+ · · · + F(x0, . . . , xn, x)(x− x0) · · · (x− xn)
y por tanto
f(x)− p(x) = F(x0, . . . , xn, x)nYi=0
(x− xi) (20)
Comparando (19) con (20),
F(x0, . . . , xn, x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ(x))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Observaciones
Si pn interpola a f en los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn,
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (21)
con ξ ∈ [x0, xn].
ξ es desconocido y (21) solo es util si la derivada esta acotada
Si˛f (n+1)(x)
˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},
maxx∈[x0,xn]
|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1
(n+ 1)!(22)
El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si˛f (n+1)(x)
˛esta acotada
Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximacion(pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolacion)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Observaciones
Si pn interpola a f en los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn,
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (21)
con ξ ∈ [x0, xn].
ξ es desconocido y (21) solo es util si la derivada esta acotada
Si˛f (n+1)(x)
˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},
maxx∈[x0,xn]
|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1
(n+ 1)!(22)
El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si˛f (n+1)(x)
˛esta acotada
Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximacion(pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolacion)
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Observaciones
Si pn interpola a f en los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn,
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (21)
con ξ ∈ [x0, xn].
ξ es desconocido y (21) solo es util si la derivada esta acotada
Si˛f (n+1)(x)
˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},
maxx∈[x0,xn]
|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1
(n+ 1)!(22)
El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si˛f (n+1)(x)
˛esta acotada
Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximacion(pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolacion)
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Observaciones
Si pn interpola a f en los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn,
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (21)
con ξ ∈ [x0, xn].
ξ es desconocido y (21) solo es util si la derivada esta acotada
Si˛f (n+1)(x)
˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},
maxx∈[x0,xn]
|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1
(n+ 1)!(22)
El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si˛f (n+1)(x)
˛esta acotada
Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximacion(pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolacion)
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Observaciones
Si pn interpola a f en los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn,
f(x)− p(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)
nYi=0
(x− xi) (21)
con ξ ∈ [x0, xn].
ξ es desconocido y (21) solo es util si la derivada esta acotada
Si˛f (n+1)(x)
˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},
maxx∈[x0,xn]
|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1
(n+ 1)!(22)
El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si˛f (n+1)(x)
˛esta acotada
Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximacion(pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolacion)
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Observaciones
Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolacion,
nYi=0
(x− xi)
puede crecer “rapido” (extrapolacion)
En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolacion noimplica mejorar la aproximacion
Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones
Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolacion nodependen de la distribucion de los puntos x0, . . . , xn de interpolacion
Puntos de interpolacion igualmente espaciados a menudo conducen aresultados erroneos en los extremos
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Observaciones
Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolacion,
nYi=0
(x− xi)
puede crecer “rapido” (extrapolacion)
En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolacion noimplica mejorar la aproximacion
Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones
Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolacion nodependen de la distribucion de los puntos x0, . . . , xn de interpolacion
Puntos de interpolacion igualmente espaciados a menudo conducen aresultados erroneos en los extremos
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Observaciones
Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolacion,
nYi=0
(x− xi)
puede crecer “rapido” (extrapolacion)
En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolacion noimplica mejorar la aproximacion
Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones
Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolacion nodependen de la distribucion de los puntos x0, . . . , xn de interpolacion
Puntos de interpolacion igualmente espaciados a menudo conducen aresultados erroneos en los extremos
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Observaciones
Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolacion,
nYi=0
(x− xi)
puede crecer “rapido” (extrapolacion)
En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolacion noimplica mejorar la aproximacion
Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones
Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolacion nodependen de la distribucion de los puntos x0, . . . , xn de interpolacion
Puntos de interpolacion igualmente espaciados a menudo conducen aresultados erroneos en los extremos
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Observaciones
Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolacion,
nYi=0
(x− xi)
puede crecer “rapido” (extrapolacion)
En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolacion noimplica mejorar la aproximacion
Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones
Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolacion nodependen de la distribucion de los puntos x0, . . . , xn de interpolacion
Puntos de interpolacion igualmente espaciados a menudo conducen aresultados erroneos en los extremos
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Fenomeno Runge
Polinomios interpolantes para la funcion de Runge
f(x) =1
1 + 25x2, x ∈ [−1, 1]
sobre puntos igualmente espaciados no converge.
Figura: − utiliza 10 puntos equidistantes (◦); − · − utiliza 20 puntosequidistantes (�).
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Fenomeno Runge
Los puntos de interpolacion se pueden distribuir no uniformemente conel fin de minimizar el fenomeno de Runge
xi = cos
„2i+ 1
2nπ
«, i = 0, . . . , n (23)
Figura: − utiliza 10 puntos equidistantes (◦); − · − utiliza 20 puntos dadospor (23) (�).
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Polinomios de Chebyshev
Minimizan el problema del fenomeno de Runge
Proporcionan aproximaciones optimas a funciones continuas bajo lanorma del sup.
Surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias(problema de Sturm-Liouville)
El polinomio de aproximacion pN lo escribimos como la serie truncada
f(x) ≈ pN (x) =
NXi=0
akTk(x)
con Tk definido recursivamente por
T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)−Tn−1(x) , n ≥ 1. (24)
A los Tk se les denomina polinomios de Chebyshev
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Polinomios de Chebyshev
Minimizan el problema del fenomeno de Runge
Proporcionan aproximaciones optimas a funciones continuas bajo lanorma del sup.
Surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias(problema de Sturm-Liouville)
El polinomio de aproximacion pN lo escribimos como la serie truncada
f(x) ≈ pN (x) =
NXi=0
akTk(x)
con Tk definido recursivamente por
T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)−Tn−1(x) , n ≥ 1. (24)
A los Tk se les denomina polinomios de Chebyshev
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Polinomios de Chebyshev
Minimizan el problema del fenomeno de Runge
Proporcionan aproximaciones optimas a funciones continuas bajo lanorma del sup.
Surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias(problema de Sturm-Liouville)
El polinomio de aproximacion pN lo escribimos como la serie truncada
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akTk(x)
con Tk definido recursivamente por
T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)−Tn−1(x) , n ≥ 1. (24)
A los Tk se les denomina polinomios de Chebyshev
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Polinomios de Chebyshev
Minimizan el problema del fenomeno de Runge
Proporcionan aproximaciones optimas a funciones continuas bajo lanorma del sup.
Surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias(problema de Sturm-Liouville)
El polinomio de aproximacion pN lo escribimos como la serie truncada
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akTk(x)
con Tk definido recursivamente por
T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)−Tn−1(x) , n ≥ 1. (24)
A los Tk se les denomina polinomios de Chebyshev
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Polinomios de Chebyshev
Minimizan el problema del fenomeno de Runge
Proporcionan aproximaciones optimas a funciones continuas bajo lanorma del sup.
Surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias(problema de Sturm-Liouville)
El polinomio de aproximacion pN lo escribimos como la serie truncada
f(x) ≈ pN (x) =NXi=0
akTk(x)
con Tk definido recursivamente por
T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)−Tn−1(x) , n ≥ 1. (24)
A los Tk se les denomina polinomios de Chebyshev
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Polinomios de Chebyshev
Los primeros 5 polinomios de Chebyshev:
T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1
T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x
T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1
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Polinomios de Chebyshev
Los primeros 5 polinomios de Chebyshev:
T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1
T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x
T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1
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Polinomios de Chebyshev
Los primeros 5 polinomios de Chebyshev:
T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1
T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x
T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1
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Polinomios de Chebyshev
Los primeros 5 polinomios de Chebyshev:
T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1
T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x
T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1
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Codigo
double ChebyshevPoli(int grado, double x){double valor;
switch(grado){case 0 :
valor = 1.0;
break;
case 2 :
valor = x;
break;
default:
valor = 2.0*x*ChebyshevPoli(grado-1,x) - ChebyshevPoli(grado-2,x);
break;
}
return valor;}
T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) , n ≥ 1.
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Definicion trigonometrica
Los polinomios de Chebyshev se pueden definir en [−1, 1] por
Tn(x) = cos(n arc cosx) = cos(n arc cosx) , n = 0, 1, . . . (25)
La definicion (25) satisface la relacion de recurrencia (24):
T0(x) = cos 0 = 1 y T1(x) = cos(arc cosx) = x
Tn(x) = cos(n arc cosx| {z }θ
) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)
de lo cual
Tn+1(x) = cos ((n+ 1)θ) = cos(nθ) cos θ − sen(nθ) sen θ
Tn−1(x) = cos((n− 1)θ) = cos(nθ) cos θ + sen(nθ) sen θ
y al sumar las dos ultimas con x = cos θ,
Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos(nθ) cos θ
Tn+1(x) = 2 cos θ cos(nθ)− Tn−1(x)
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)
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Definicion trigonometrica
Los polinomios de Chebyshev se pueden definir en [−1, 1] por
Tn(x) = cos(n arc cosx) = cos(n arc cosx) , n = 0, 1, . . . (25)
La definicion (25) satisface la relacion de recurrencia (24):
T0(x) = cos 0 = 1 y T1(x) = cos(arc cosx) = x
Tn(x) = cos(n arc cosx| {z }θ
) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)
de lo cual
Tn+1(x) = cos ((n+ 1)θ) = cos(nθ) cos θ − sen(nθ) sen θ
Tn−1(x) = cos((n− 1)θ) = cos(nθ) cos θ + sen(nθ) sen θ
y al sumar las dos ultimas con x = cos θ,
Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos(nθ) cos θ
Tn+1(x) = 2 cos θ cos(nθ)− Tn−1(x)
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)
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Definicion trigonometrica
Los polinomios de Chebyshev se pueden definir en [−1, 1] por
Tn(x) = cos(n arc cosx) = cos(n arc cosx) , n = 0, 1, . . . (25)
La definicion (25) satisface la relacion de recurrencia (24):
T0(x) = cos 0 = 1 y T1(x) = cos(arc cosx) = x
Tn(x) = cos(n arc cosx| {z }θ
) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)
de lo cual
Tn+1(x) = cos ((n+ 1)θ) = cos(nθ) cos θ − sen(nθ) sen θ
Tn−1(x) = cos((n− 1)θ) = cos(nθ) cos θ + sen(nθ) sen θ
y al sumar las dos ultimas con x = cos θ,
Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos(nθ) cos θ
Tn+1(x) = 2 cos θ cos(nθ)− Tn−1(x)
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)
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Definicion trigonometrica
Los polinomios de Chebyshev se pueden definir en [−1, 1] por
Tn(x) = cos(n arc cosx) = cos(n arc cosx) , n = 0, 1, . . . (25)
La definicion (25) satisface la relacion de recurrencia (24):
T0(x) = cos 0 = 1 y T1(x) = cos(arc cosx) = x
Tn(x) = cos(n arc cosx| {z }θ
) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)
de lo cual
Tn+1(x) = cos ((n+ 1)θ) = cos(nθ) cos θ − sen(nθ) sen θ
Tn−1(x) = cos((n− 1)θ) = cos(nθ) cos θ + sen(nθ) sen θ
y al sumar las dos ultimas con x = cos θ,
Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos(nθ) cos θ
Tn+1(x) = 2 cos θ cos(nθ)− Tn−1(x)
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)
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Propiedades
Proposicion 6.1 (Propiedades)
Los polinomios de Chebyshev Tn(x) satisfacen:
1 |Tn(x)| ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1)
2 Tn
„cos
„jπ
n
««= (−1)j (0 ≤ j ≤ n)
3 Tn
„cos
„2j − 1
2nπ
««= 0 (1 ≤ j ≤ n)
Observaciones
Tn es un polinomio de grado n cuyo coeficiente principal esta dado por2n−1
Tn(x) = 2n−1xn + · · ·
Los ceros de Tn (puntos de Chebyshev) estan dados por
tj = cos
„2j − 1
2nπ
«, j = 1, . . . , n
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Propiedades
Proposicion 6.1 (Propiedades)
Los polinomios de Chebyshev Tn(x) satisfacen:
1 |Tn(x)| ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1)
2 Tn
„cos
„jπ
n
««= (−1)j (0 ≤ j ≤ n)
3 Tn
„cos
„2j − 1
2nπ
««= 0 (1 ≤ j ≤ n)
Observaciones
Tn es un polinomio de grado n cuyo coeficiente principal esta dado por2n−1
Tn(x) = 2n−1xn + · · ·
Los ceros de Tn (puntos de Chebyshev) estan dados por
tj = cos
„2j − 1
2nπ
«, j = 1, . . . , n
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Propiedades
Proposicion 6.1 (Propiedades)
Los polinomios de Chebyshev Tn(x) satisfacen:
1 |Tn(x)| ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1)
2 Tn
„cos
„jπ
n
««= (−1)j (0 ≤ j ≤ n)
3 Tn
„cos
„2j − 1
2nπ
««= 0 (1 ≤ j ≤ n)
Observaciones
Tn es un polinomio de grado n cuyo coeficiente principal esta dado por2n−1
Tn(x) = 2n−1xn + · · ·
Los ceros de Tn (puntos de Chebyshev) estan dados por
tj = cos
„2j − 1
2nπ
«, j = 1, . . . , n
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Propiedades
Los puntos de Chebyshev son las abcisas de puntos en el plano,igualmente espaciados sobre la circunferencia unitaria
Los puntos de Chebyshev poseen propiedades de interpolacion utiles:
Entre todos los polinomios de grado n con coficiente principal 1,
f(x) =1
2n−1Tn(x)
es el unico cuya norma del sup en [−1, 1] es mınima`‖f‖∞ = 1
2n
´Si x0, . . . , xn son las raices de Tn+1,
|f(x)− p(x)| ≤1
2n(n+ 1)!max−1≤x≤1
˛f (n+1)(x)
˛
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Propiedades
Los puntos de Chebyshev son las abcisas de puntos en el plano,igualmente espaciados sobre la circunferencia unitaria
Los puntos de Chebyshev poseen propiedades de interpolacion utiles:
Entre todos los polinomios de grado n con coficiente principal 1,
f(x) =1
2n−1Tn(x)
es el unico cuya norma del sup en [−1, 1] es mınima`‖f‖∞ = 1
2n
´
Si x0, . . . , xn son las raices de Tn+1,
|f(x)− p(x)| ≤1
2n(n+ 1)!max−1≤x≤1
˛f (n+1)(x)
˛
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Propiedades
Los puntos de Chebyshev son las abcisas de puntos en el plano,igualmente espaciados sobre la circunferencia unitaria
Los puntos de Chebyshev poseen propiedades de interpolacion utiles:
Entre todos los polinomios de grado n con coficiente principal 1,
f(x) =1
2n−1Tn(x)
es el unico cuya norma del sup en [−1, 1] es mınima`‖f‖∞ = 1
2n
´Si x0, . . . , xn son las raices de Tn+1,
|f(x)− p(x)| ≤1
2n(n+ 1)!max−1≤x≤1
˛f (n+1)(x)
˛
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Propiedades
Los puntos de Chebyshev son las abcisas de puntos en el plano,igualmente espaciados sobre la circunferencia unitaria
Los puntos de Chebyshev poseen propiedades de interpolacion utiles:
Entre todos los polinomios de grado n con coficiente principal 1,
f(x) =1
2n−1Tn(x)
es el unico cuya norma del sup en [−1, 1] es mınima`‖f‖∞ = 1
2n
´Si x0, . . . , xn son las raices de Tn+1,
|f(x)− p(x)| ≤1
2n(n+ 1)!max−1≤x≤1
˛f (n+1)(x)
˛
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Convergencia
Teorema 6.1
Si f ∈ C[a, b], entonces existe un sistema de nodos
a ≤ x(n)0 ≤ x(n)
1 ≤ · · · ≤ x(n)n ≤ b
tales que los polinomios de interpolacion pn a f en dichos nodos satisfacen
lımn→∞
‖f − pn‖ = 0
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Convergencia
Teorema 6.1
Si f ∈ C[a, b], entonces existe un sistema de nodos
a ≤ x(n)0 ≤ x(n)
1 ≤ · · · ≤ x(n)n ≤ b
tales que los polinomios de interpolacion pn a f en dichos nodos satisfacen
lımn→∞
‖f − pn‖ = 0
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Ortogonalidad
En el conjunto de los polinomios en [−1, 1] se puede definir el productointerno
〈p, q〉 =
Z b
a
p(x)q(x)w(x) dx
donde w(x) es una funcion de peso no negativa.
Dos polinomios p y q son ortogonales si 〈p, q〉 = 0.
Un conjunto de polinomios {pi} es ortonormal si
〈pi, pj〉 =
1 si i = j0 si i 6= j
= δkj
Dado un conjunto de polinomios {pi} y un producto interno, elprocedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidt genera diversosconjuntos de polinomios (Legendre, Laguerre, Hermite, etc.)
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Ortogonalidad
En el conjunto de los polinomios en [−1, 1] se puede definir el productointerno
〈p, q〉 =
Z b
a
p(x)q(x)w(x) dx
donde w(x) es una funcion de peso no negativa.
Dos polinomios p y q son ortogonales si 〈p, q〉 = 0.
Un conjunto de polinomios {pi} es ortonormal si
〈pi, pj〉 =
1 si i = j0 si i 6= j
= δkj
Dado un conjunto de polinomios {pi} y un producto interno, elprocedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidt genera diversosconjuntos de polinomios (Legendre, Laguerre, Hermite, etc.)
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Ortogonalidad
En el conjunto de los polinomios en [−1, 1] se puede definir el productointerno
〈p, q〉 =
Z b
a
p(x)q(x)w(x) dx
donde w(x) es una funcion de peso no negativa.
Dos polinomios p y q son ortogonales si 〈p, q〉 = 0.
Un conjunto de polinomios {pi} es ortonormal si
〈pi, pj〉 =
1 si i = j0 si i 6= j
= δkj
Dado un conjunto de polinomios {pi} y un producto interno, elprocedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidt genera diversosconjuntos de polinomios (Legendre, Laguerre, Hermite, etc.)
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Ortogonalidad
En el conjunto de los polinomios en [−1, 1] se puede definir el productointerno
〈p, q〉 =
Z b
a
p(x)q(x)w(x) dx
donde w(x) es una funcion de peso no negativa.
Dos polinomios p y q son ortogonales si 〈p, q〉 = 0.
Un conjunto de polinomios {pi} es ortonormal si
〈pi, pj〉 =
1 si i = j0 si i 6= j
= δkj
Dado un conjunto de polinomios {pi} y un producto interno, elprocedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidt genera diversosconjuntos de polinomios (Legendre, Laguerre, Hermite, etc.)
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Ortogonalidad
Los polinomios de Chebyshev son ortonales respecto a la funcion depeso
w(x) =1√
1− x2
en el intervalo [−1, 1]:
〈Tn(x), Tm(x)〉 =
Z 1
−1
Tn(x)Tm(x)dx√
1− x2=
8<:0 si n 6= mπ si n = m = 0π/2 si n = m 6= 0
Los extremos sucesivos de Tk son iguales en magnitud y alternan designo, lo cual distribuye el error uniformemente
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Ortogonalidad
Los polinomios de Chebyshev son ortonales respecto a la funcion depeso
w(x) =1√
1− x2
en el intervalo [−1, 1]:
〈Tn(x), Tm(x)〉 =
Z 1
−1
Tn(x)Tm(x)dx√
1− x2=
8<:0 si n 6= mπ si n = m = 0π/2 si n = m 6= 0
Los extremos sucesivos de Tk son iguales en magnitud y alternan designo, lo cual distribuye el error uniformemente
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ortogonalidad
Los polinomios de Chebyshev son ortonales respecto a la funcion depeso
w(x) =1√
1− x2
en el intervalo [−1, 1]:
〈Tn(x), Tm(x)〉 =
Z 1
−1
Tn(x)Tm(x)dx√
1− x2=
8<:0 si n 6= mπ si n = m = 0π/2 si n = m 6= 0
Los extremos sucesivos de Tk son iguales en magnitud y alternan designo, lo cual distribuye el error uniformemente
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Interpolacion de Hermite
Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones
Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto
La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo
x0 x1 · · · xN
f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )
Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante
Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion
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Interpolacion de Hermite
Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones
Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto
La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo
x0 x1 · · · xN
f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )
Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante
Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion
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Interpolacion de Hermite
Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones
Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto
La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo
x0 x1 · · · xN
f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )
Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante
Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion
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Interpolacion de Hermite
Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones
Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto
La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo
x0 x1 · · · xN
f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )
Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante
Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion
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Interpolacion de Hermite
Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones
Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto
La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo
x0 x1 · · · xN
f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )
Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante
Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion
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Interpolacion de Hermite
Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones
Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto
La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo
x0 x1 · · · xN
f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )
Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante
Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion
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Polinomio osculante
Proposicion 7.1 (Existencia del polinomio osculante)
Considere n+ 1 puntos distintos en [a, b]
x0, x1, . . . , xn (27)
y mi un entero no negativo asociado a xi para i = 0, 1, . . . , n. Paraf ∈ Cm[a, b] con m = max0≤i≤nmi existe un unico polinomio p de gradomınimo tal que
dkp(xi)
dxk=dkf(xi)
dxkpara i = 0, 1, . . . , n y k = 0, 1, . . . ,mi (28)
Observaciones
El polinomio p que satisface la condicion de interpolacion de Hermite(28) es llamado polinomio osculante que aproxima a f
El numero de condiciones a satisfacer en (28) esPni=0 mi + (n+ 1) y
por tanto el grado del polinomio osculante p es a lo sumo
M =
nXi=0
mi + n
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Polinomio osculante
Proposicion 7.1 (Existencia del polinomio osculante)
Considere n+ 1 puntos distintos en [a, b]
x0, x1, . . . , xn (27)
y mi un entero no negativo asociado a xi para i = 0, 1, . . . , n. Paraf ∈ Cm[a, b] con m = max0≤i≤nmi existe un unico polinomio p de gradomınimo tal que
dkp(xi)
dxk=dkf(xi)
dxkpara i = 0, 1, . . . , n y k = 0, 1, . . . ,mi (28)
Observaciones
El polinomio p que satisface la condicion de interpolacion de Hermite(28) es llamado polinomio osculante que aproxima a f
El numero de condiciones a satisfacer en (28) esPni=0 mi + (n+ 1) y
por tanto el grado del polinomio osculante p es a lo sumo
M =nXi=0
mi + n
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Polinomio osculante
Proposicion 7.1 (Existencia del polinomio osculante)
Considere n+ 1 puntos distintos en [a, b]
x0, x1, . . . , xn (27)
y mi un entero no negativo asociado a xi para i = 0, 1, . . . , n. Paraf ∈ Cm[a, b] con m = max0≤i≤nmi existe un unico polinomio p de gradomınimo tal que
dkp(xi)
dxk=dkf(xi)
dxkpara i = 0, 1, . . . , n y k = 0, 1, . . . ,mi (28)
Observaciones
El polinomio p que satisface la condicion de interpolacion de Hermite(28) es llamado polinomio osculante que aproxima a f
El numero de condiciones a satisfacer en (28) esPni=0 mi + (n+ 1) y
por tanto el grado del polinomio osculante p es a lo sumo
M =nXi=0
mi + n
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Polinomio osculante
Cuando n = 0 tenemos en (27) solo un punto de interpolacion x0 y lacondicion de Hermite
dkp(x0)
dxk=dkf(x0)
dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0
conduce al m0-esimo polinomio de Taylor en torno a x0
p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)
2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)
m0!(x−x0)m0
Cuando mi = 0 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante es el polinomio de interpolacion de Lagrange
Cuando mi = 1 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) y p′(xi) = f ′(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite
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Polinomio osculante
Cuando n = 0 tenemos en (27) solo un punto de interpolacion x0 y lacondicion de Hermite
dkp(x0)
dxk=dkf(x0)
dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0
conduce al m0-esimo polinomio de Taylor en torno a x0
p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)
2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)
m0!(x−x0)m0
Cuando mi = 0 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante es el polinomio de interpolacion de Lagrange
Cuando mi = 1 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) y p′(xi) = f ′(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite
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Polinomio osculante
Cuando n = 0 tenemos en (27) solo un punto de interpolacion x0 y lacondicion de Hermite
dkp(x0)
dxk=dkf(x0)
dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0
conduce al m0-esimo polinomio de Taylor en torno a x0
p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)
2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)
m0!(x−x0)m0
Cuando mi = 0 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante es el polinomio de interpolacion de Lagrange
Cuando mi = 1 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) y p′(xi) = f ′(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite
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Polinomio osculante
Cuando n = 0 tenemos en (27) solo un punto de interpolacion x0 y lacondicion de Hermite
dkp(x0)
dxk=dkf(x0)
dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0
conduce al m0-esimo polinomio de Taylor en torno a x0
p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)
2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)
m0!(x−x0)m0
Cuando mi = 0 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante es el polinomio de interpolacion de Lagrange
Cuando mi = 1 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) y p′(xi) = f ′(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite
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Polinomio osculante
Cuando n = 0 tenemos en (27) solo un punto de interpolacion x0 y lacondicion de Hermite
dkp(x0)
dxk=dkf(x0)
dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0
conduce al m0-esimo polinomio de Taylor en torno a x0
p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)
2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)
m0!(x−x0)m0
Cuando mi = 0 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante es el polinomio de interpolacion de Lagrange
Cuando mi = 1 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda
p(xi) = f(xi) y p′(xi) = f ′(xi) para i = 0, 1 . . . , n
y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite
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Teorema (7.1)
Teorema 7.1
Si f ∈ C1[a, b] y x0, x1, . . . , xn son puntos distintos en [a, b], el polinomioosculante que interpola a f y f ′ en x0, x1, . . . , xn es el polinomio deHermite de grado ≤ 2n+ 1 y esta dado por
H2n+1(x) =
nXj=0
f(xj)Hn,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)Hn,j(x) (29)
donde
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) , (30)
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) (31)
y Ln,j es el j-esimo polinomio de Lagrange de grado n
Ln,j =nY
i=0i6=j
(x− xi)xj − xi
(32)
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Teorema (7.1)
Teorema 7.1
Si f ∈ C1[a, b] y x0, x1, . . . , xn son puntos distintos en [a, b], el polinomioosculante que interpola a f y f ′ en x0, x1, . . . , xn es el polinomio deHermite de grado ≤ 2n+ 1 y esta dado por
H2n+1(x) =
nXj=0
f(xj)Hn,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)Hn,j(x) (29)
donde
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) , (30)
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) (31)
y Ln,j es el j-esimo polinomio de Lagrange de grado n
Ln,j =nY
i=0i6=j
(x− xi)xj − xi
(32)
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Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
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Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
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Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
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Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
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Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
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Teorema (7.1)
Demostracion
H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0
Para i = j:
Hn,i(xi) =
»1− 2��
���:0(xi − xi)L′n,i(xi)
–���
�:1L2n,i(xi) = 1
y
H ′n,i(xi) = (xi − xi)����:1
L2n,j(x) = 0
Luego
H2n+1(xi) =
nXj=0j 6=i
f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
+
nXj=0
f ′(xj) · 0 = f(xi)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x)
=ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x)
= − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) =
− 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi)
= − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) =
− 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
=
− 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn
De la definicion (30),
Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +
ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)
˜2Ln,j(x)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·����: 1
L2n,i(x) +
h1− 2��
���: 0(xi − xi)L′n,i(xj)
i2���
�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)
= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0
y por tanto
H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)
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Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x)
= (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
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Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) =
(x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
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Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x)
= L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) =
L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi)
=
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=
nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=
nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Teorema (7.1)
De la definicion (31),
Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,
H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)
Para i 6= j:
Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0
Para i = j:
H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1
Luego
H ′2n+1(xi) =
nXj=0
f(xj)H′n,j(x) +
nXj=0
f ′(xj)H′n,j(x)
=
nXj=0
f(xj) · 0 +
nXj=0j 6=i
f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i
= f ′(xi)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x)
=(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
=50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x)
=(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
= −100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)=
−100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x)
=(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
=50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Ejemplo 7.1
Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).
k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571
Solucion
Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas
L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)=
50
9x2 +
175
9x+
152
9
L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)= −
100
9x2 +
320
9x+
247
9
L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)=
50
9x2 −
145
9x+
104
9
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) =
[1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
=
(10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x)
= 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) =
1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x)
= 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) =
10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para las derivadas tenemos
L′2,0(x) =100
9x−
175
9
L′2,1(x) = −200
9x+
320
9
L′2,1(x) =100
9x−
145
9
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
= (10x− 12)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = 1 ·„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = 10(2− x)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) =
(x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x)
= (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) =
(x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x)
= (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) =
(x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x)
=2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
=
0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
−
0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo (7.1)
Para los polinomios H2,j(x) tenemos
H2,0(x) = (x− 1,3)
„50
9x2 −
175
9x+
152
9
«2
H2,1(x) = (x− 1,6)
„ − 100
9x2 +
320
9x−
247
9
«2
H2,2(x) = (x− 1,9)
„50
9x2 −
145
9x+
104
9
«2
Por el teorema (7.1)
H5(x) =
2Xj=0
f(xj)Hn,j(x) +
2Xj=0
f ′(xj)Hn,j(x)
= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)
− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)
y evaluando
H5(1,5) = 0,5118277
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomio de Hermite con diferencias divididas
Los calculos requeridos para evaluar el polinomio de Hermite deacuerdo al teorema (7.1) son tediosos. Otro metodo consiste en utilizarla formula de diferencias divididas
pn(x) = f(x0) +
nXk=1
F(x0, . . . , xk)(x− x0) · · · (x− xk−1)
y el teorema del valor medio
F(xi, xi+1) =f(xi+1)− f(xi)
xi+1 − xi= f ′(ξ) , para algun ξ ∈ (xi, xi+1)
Consideramos los puntos de interpolacion
x0, x1, . . . , xn
y formamos la sucesion
z0, z1, . . . , zn
definida por
z0 = z1 = x0, z2 = z3 = x1, . . . , z2i = z2i+1 = xi, . . .
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomio de Hermite con diferencias divididas
Los calculos requeridos para evaluar el polinomio de Hermite deacuerdo al teorema (7.1) son tediosos. Otro metodo consiste en utilizarla formula de diferencias divididas
pn(x) = f(x0) +
nXk=1
F(x0, . . . , xk)(x− x0) · · · (x− xk−1)
y el teorema del valor medio
F(xi, xi+1) =f(xi+1)− f(xi)
xi+1 − xi= f ′(ξ) , para algun ξ ∈ (xi, xi+1)
Consideramos los puntos de interpolacion
x0, x1, . . . , xn
y formamos la sucesion
z0, z1, . . . , zn
definida por
z0 = z1 = x0, z2 = z3 = x1, . . . , z2i = z2i+1 = xi, . . .
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomio de Hermite con diferencias divididas
Los calculos requeridos para evaluar el polinomio de Hermite deacuerdo al teorema (7.1) son tediosos. Otro metodo consiste en utilizarla formula de diferencias divididas
pn(x) = f(x0) +
nXk=1
F(x0, . . . , xk)(x− x0) · · · (x− xk−1)
y el teorema del valor medio
F(xi, xi+1) =f(xi+1)− f(xi)
xi+1 − xi= f ′(ξ) , para algun ξ ∈ (xi, xi+1)
Consideramos los puntos de interpolacion
x0, x1, . . . , xn
y formamos la sucesion
z0, z1, . . . , zn
definida por
z0 = z1 = x0, z2 = z3 = x1, . . . , z2i = z2i+1 = xi, . . .
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Polinomio de Hermite con diferencias divididas
z f(z) Primeras diferencias Segundas diferencias
z0 = x0 F(z0) = f(x0)
F(z0, z1) = f ′(x0)
z1 = x0 F(z1) = f(x0) F(z0, z1, z2) =F(z1,z2)−F(z0,z1)
z2−z0
F(z1, z2) =F(z2)−F(z1)
z2−z1· · · · · · · · · · · ·
z2 = x1 F(z2) = f(x1) F(z1, z2, z3) =F(z2,z3)−F(z1,z2)
z3−z1F(z2, z3) = f ′(x1)
z3 = x1 F(z3) = f(x1) F(z2, z3, z4) =F(z3,z4)−F(z2,z3)
z4−z2F(z3, z4) =
F(z4)−F(z3)z4−z3
· · · · · · · · · · · ·z4 = x2 F(z4) = f(x2) F(z2, z3, z4) =
F(z3,z4)−F(z2,z3)z4−z2
F(z4, z5) = f ′(x2)
z5 = x2 F(z4) = f(x2) F(z0, z1, z2) =F(z1,z2)−F(z0,z1)
z2−z0...
.
.
....
.
.
.
H2n+1(x) = F(z0) +nXk=1
F(z0, . . . , zk)(x− z0) · · · (x− zk−1)
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Aproximacion polinomica fragmentaria
Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones
Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo
La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas
{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}
Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]
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Aproximacion polinomica fragmentaria
Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones
Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo
La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas
{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}
Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]
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Aproximacion polinomica fragmentaria
Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones
Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo
La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas
{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}
Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]
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Aproximacion polinomica fragmentaria
Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones
Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo
La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas
{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}
Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]
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Aproximacion polinomica fragmentaria
Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones
Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo
La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas
{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}
Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]
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Aproximacion polinomica fragmentaria
Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones
Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo
La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas
{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}
Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
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Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Spline (trazador) cubico
Definicion 8.1 (Spline cubico)
Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:
1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]
2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n
3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2
6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen
1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)
2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x)
= bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) =
bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x)
= 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) =
2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
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Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
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Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1
= aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
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Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 =
aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
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Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1
= aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 =
aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
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Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
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Construccion del spline cubico
En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
(34)
con j = 0, . . . , n− 1.
Por la condicion de interpolacion (2),
S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)
De la condicion (3),
Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)
aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j
(35)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1
= bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 =
bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1
= bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 =
bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1
= 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 =
2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1
= cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 =
cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj
=cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =
cj+1 − cj3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj
=1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,
S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)
bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2
bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j
(36)
De la condicion (5) para la segunda derivada,
S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)
2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)
cj+1 = cj + 3djhj
dj =cj+1 − cj
3hj
(37)
Al reemplazar dj en (35)
aj+1 = aj + bjhj +h2j
3(2cj + cj+1)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
(38)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj
=1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1
=1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
De la ultima ecuacion
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) (39)
De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),
bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)
Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)
bj =1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
bj−1 =1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj)
(41)
La ecuacion (40) se puede expresar como
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj
= bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj =
bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1)
=1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1)
=hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1)
= hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) =
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Finalmente reemplazamos (41) en (42)
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1(aj − aj−1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
1
hj(aj+1 − aj)−
1
hj−1(aj − aj−1) =
hj
3(2cj + cj+1)−
hj−1
3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)
3
hj(aj+1 − aj)−
3
hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
El lado derecho se puede escribir como
hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)
= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj
= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj
= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1
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Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
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Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
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Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 =
t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
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Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
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Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 =
t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 =
tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones
hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3
hj(aj+1 − aj) −
3
hj−1(aj − aj−1)| {z }
tj
con j = 1, 2, . . . , n− 1
El sistema es (n− 1)× (n+ 1):
h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1
0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2
...
0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1
Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒
S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
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.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒
c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
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.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
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.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
.
.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (61)
S′′(x0) = S′′(xn) = 0
De (34),
S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0
=⇒ c0 = 0
Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):
266666664
1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1
377777775
266666664
c0c1
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.
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.cn
377777775=
266666664
0t1...
.
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.0
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Existencia del spline cubico
Teorema 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Sea f : [a, b]→ R. Entonces existe un unico spline cubico S que interpola af en
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
y que satisface la condicion de frontera
S′′(a) = 0 y S′′(b) = 0
Observaciones
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
donde
1 aj = f(xj), j = 0, . . . , n
2 c0, c1, . . . , cn se obtienen de resolver el sistema lineal
3 bj = (aj+1 − aj)/hj − hj(cj+1 + 2cj)/3 (ecuacion (41))
4 dj = (cj+1 − cj)/(3hj) (ecuacion (37))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Existencia del spline cubico
Teorema 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Sea f : [a, b]→ R. Entonces existe un unico spline cubico S que interpola af en
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
y que satisface la condicion de frontera
S′′(a) = 0 y S′′(b) = 0
Observaciones
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
donde
1 aj = f(xj), j = 0, . . . , n
2 c0, c1, . . . , cn se obtienen de resolver el sistema lineal
3 bj = (aj+1 − aj)/hj − hj(cj+1 + 2cj)/3 (ecuacion (41))
4 dj = (cj+1 − cj)/(3hj) (ecuacion (37))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Existencia del spline cubico
Teorema 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Sea f : [a, b]→ R. Entonces existe un unico spline cubico S que interpola af en
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
y que satisface la condicion de frontera
S′′(a) = 0 y S′′(b) = 0
Observaciones
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
donde
1 aj = f(xj), j = 0, . . . , n
2 c0, c1, . . . , cn se obtienen de resolver el sistema lineal
3 bj = (aj+1 − aj)/hj − hj(cj+1 + 2cj)/3 (ecuacion (41))
4 dj = (cj+1 − cj)/(3hj) (ecuacion (37))
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (62)
S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)
el sistema de ecuaciones queda
266666664
2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775= b
con
b =
266666664
3h0
(a1 − a0)− 3 f ′(a)3
h1(a2 − a1)− 3
h0(a1 − a0)
.
.
.3
hn−1(an − an−1)− 3
hn−2(an−1 − an−2)
3 f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1)
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (62)
S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)
el sistema de ecuaciones queda
266666664
2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775= b
con
b =
266666664
3h0
(a1 − a0)− 3 f ′(a)3
h1(a2 − a1)− 3
h0(a1 − a0)
.
.
.3
hn−1(an − an−1)− 3
hn−2(an−1 − an−2)
3 f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1)
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (62)
S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)
el sistema de ecuaciones queda
266666664
2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1
377777775
266666664
c0c1
.
.
.
.
.
.cn
377777775= b
con
b =
266666664
3h0
(a1 − a0)− 3 f ′(a)3
h1(a2 − a1)− 3
h0(a1 − a0)
.
.
.3
hn−1(an − an−1)− 3
hn−2(an−1 − an−2)
3 f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1)
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Construccion del spline cubico
Para la condicion de frontera (62)
S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)
el sistema de ecuaciones queda
266666664
2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0
.
.
.. . .
. . .. . . 0
0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1
377777775
266666664
c0c1
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.cn
377777775= b
con
b =
266666664
3h0
(a1 − a0)− 3 f ′(a)3
h1(a2 − a1)− 3
h0(a1 − a0)
.
.
.3
hn−1(an − an−1)− 3
hn−2(an−1 − an−2)
3 f ′(b)− 3hn−1
(an − an−1)
377777775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola
x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0
y determine el valor de y en x = 1,5.
Solucion
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1
h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0
A =
266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1
37775 =
266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola
x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0
y determine el valor de y en x = 1,5.
Solucion
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1
h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0
A =
266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1
37775 =
266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola
x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0
y determine el valor de y en x = 1,5.
Solucion
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1
h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0
A =
266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1
37775 =
266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola
x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0
y determine el valor de y en x = 1,5.
Solucion
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1
h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0
A =
266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1
37775 =
266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola
x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0
y determine el valor de y en x = 1,5.
Solucion
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1
h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0
A =
266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1
37775 =
266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)
Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola
x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0
y determine el valor de y en x = 1,5.
Solucion
El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por
S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1
h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0
A =
266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1
37775 =
266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1
37775
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para b tenemos
A =
266640t1t2t30
37775 =
26666666664
03
h1(a2 − a1) −
3
h0(a1 − a0)
3
h2(a3 − a2) −
3
h1(a2 − a1)
3
h4(a4 − a3) −
3
h2(a3 − a2)
0
37777777775=
266640−6
6−6
0
37775
La solucion del sistema
Ax = b
viene dada por
x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T
Para el resto de coeficientes podemos usar las formulas vistas
bj =aj+1 − aj
hj− hj
cj+1 + 2cj3
dj =cj+1 − cj
3hj
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para b tenemos
A =
266640t1t2t30
37775 =
26666666664
03
h1(a2 − a1) −
3
h0(a1 − a0)
3
h2(a3 − a2) −
3
h1(a2 − a1)
3
h4(a4 − a3) −
3
h2(a3 − a2)
0
37777777775=
266640−6
6−6
0
37775
La solucion del sistema
Ax = b
viene dada por
x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T
Para el resto de coeficientes podemos usar las formulas vistas
bj =aj+1 − aj
hj− hj
cj+1 + 2cj3
dj =cj+1 − cj
3hj
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para b tenemos
A =
266640t1t2t30
37775 =
26666666664
03
h1(a2 − a1) −
3
h0(a1 − a0)
3
h2(a3 − a2) −
3
h1(a2 − a1)
3
h4(a4 − a3) −
3
h2(a3 − a2)
0
37777777775=
266640−6
6−6
0
37775
La solucion del sistema
Ax = b
viene dada por
x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T
Para el resto de coeficientes podemos usar las formulas vistas
bj =aj+1 − aj
hj− hj
cj+1 + 2cj3
dj =cj+1 − cj
3hj
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para b tenemos
A =
266640t1t2t30
37775 =
26666666664
03
h1(a2 − a1) −
3
h0(a1 − a0)
3
h2(a3 − a2) −
3
h1(a2 − a1)
3
h4(a4 − a3) −
3
h2(a3 − a2)
0
37777777775=
266640−6
6−6
0
37775
La solucion del sistema
Ax = b
viene dada por
x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T
Para el resto de coeficientes podemos usar las formulas vistas
bj =aj+1 − aj
hj− hj
cj+1 + 2cj3
dj =cj+1 − cj
3hj
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para b tenemos
A =
266640t1t2t30
37775 =
26666666664
03
h1(a2 − a1) −
3
h0(a1 − a0)
3
h2(a3 − a2) −
3
h1(a2 − a1)
3
h4(a4 − a3) −
3
h2(a3 − a2)
0
37777777775=
266640−6
6−6
0
37775
La solucion del sistema
Ax = b
viene dada por
x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T
Para el resto de coeficientes podemos usar las formulas vistas
bj =aj+1 − aj
hj− hj
cj+1 + 2cj3
dj =cj+1 − cj
3hj
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para el resto de coeficientes del spline
S(x) = Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
podemos usar tambien el programa SplineLibre.c
Resultados obtenidos
ai bi ci di
0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571
El valor solicitado es en x = 1,5 ∈ [x0, x1]
S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3
y
S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para el resto de coeficientes del spline
S(x) = Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
podemos usar tambien el programa SplineLibre.c
Resultados obtenidos
ai bi ci di
0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571
El valor solicitado es en x = 1,5 ∈ [x0, x1]
S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3
y
S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para el resto de coeficientes del spline
S(x) = Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
podemos usar tambien el programa SplineLibre.c
Resultados obtenidos
ai bi ci di
0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571
El valor solicitado es en x = 1,5 ∈ [x0, x1]
S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3
y
S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141
Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines
Ejemplo
Para el resto de coeficientes del spline
S(x) = Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3
podemos usar tambien el programa SplineLibre.c
Resultados obtenidos
ai bi ci di
0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571
El valor solicitado es en x = 1,5 ∈ [x0, x1]
S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3
y
S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141