HélicesUna hélice es una curva descrita por un punto que se desplaza constante sobre una recta (generatriz de una superficie de revolución), al mismo tiempo que esta gira alrededor de otra fija (llamada eje). Los giros y desplazamientos son proporcionales entre sí.

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret.

Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se

verifique κτ=tan (α ), siendo tan (α ) una constante. Aquí κ es la curvatura y la τ torsión.

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Es decir, que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada "paso de hélice".

Representación gráfica de una hélice cilíndrica en Matlab.

La trayectoria más corta entre dos puntos en un cilindro (uno no directamente sobre el otro) es una vuelta fraccionaria de una hélice, como puede ser visto cortando el cilindro a lo largo de uno de sus lados, aplanándola hacia fuera, y observando que una línea recta que conecta los puntos llega a ser helicoidal si esta envuelve a un cilindro

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones paramétricas:

donde r es el radio de la hélice y c es una constante que se relaciona con la separación vertical de los lazos de la hélice.

La curvatura de la hélice está dada por:

La torsión de una hélice está dada por:

Propiedades:

La proyección de la hélice sobre un plano paralelo al eje del cilindro es una curva sinusoidal.

La geodésica de un cilindro recto de base circular es un arco de hélice (es decir, el camino más corto entre dos puntos situados en la superficie de un cilindro, que no salga de dicha superficie, es un trozo de hélice).

Una hélice cónica está situada sobre un cono y siguiendo de forma paralela el eje longitudinal de éste, similar a la formada en un cilindro visto en perspectiva.

Representación gráfica de una hélice cónica en Matlab.

donde a es contante y t es la variable independiente.

Se cumple el Teorema de Lancret, Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique κ/τ = tan(α), siendo tan(α) una constante. Aquí κ es la curvatura y la τ torsión.

Las tangentes forman un ángulo constante siguiendo una dirección fija en el espacio

Una hélice esférica también llamada espiral esférica, es la curva que describiría un «barco ideal» viajando desde un polo hasta el otro polo de la Tierra, manteniendo una misma pendiente finita no nula. La hélice tendría un número infinito de revoluciones, con la distancia entre ellas cada vez menor a medida que se acercara a los polos.

La única forma de evitar dar vueltas indefinidamente en una hélice esférica es que ésta fuera arquimediana; es decir, que la pendiente del barco se ajustara a la necesaria para que la función de dicha hélice coincidiera con la de la espiral arquimediana sobre la esfera.

Representación grafica de una hélice esférica.

X=a sinφ· cos αY=a sinφ· cos αZ=acos φSiendo:α=tan β ¿¿

Para una hélice esférica el cociente entre la curvatura y la tosión es una cte, como en toda hélice en general, pare esta hélice en particular los valores de la torsión y la curvatura son:

Como caso particular de la hélice esférica cabe mencionar la curva loxodrómica.

Se denomina loxodrómica o loxodromia a la línea que une dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo. La loxodrómica, por tanto, es fácil de seguir manteniendo el mismo rumbo marcado por la brújula. Su representación en el mapa dependerá del tipo de proyección del mismo, por ejemplo en la de Mercator es una recta.

La loxodrómica es junto a la ortodrómica y la isoazimutal, una de las tres líneas que pueden trazarse entre dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre.

Descripción gráfica de la curva loxodrómica.