AMPLIACIÓN DE CÁLCULO SEGUNDA PARTE: CÁLCULO INTEGRAL, FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Luis Rodríguez Marín

10202

•

UNIDADES DIDÁCTICAS (10202UD51AOl) AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Segunda parte: Cálculo integral, funciones de variable compleja

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© UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA- Madrid, 1997

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© Luis Rodríguez Marín

ISBN: 84-362-3567-3 Depósito legal: M. 48.377-2005

Primera edición: septiembre de 1997 Tercera reimpresión: noviembre de 2005

Impreso en Espafía- Printed in Spain Fernández Ciudad, S. L. C/ Coto de Doñana, 1 O. 28320 Pinto (Madrid)

/

Indice

UNIDAD DIDÁCTICA 4

Cálculo integral

CAPÍTULO 12. LA INTEGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN .. .......... 13

l. Introducción. La integral doble ........................................... ....... .. 2. Integral múltiple ........ .................... .............................................. . 3. Medida cero y contenido cero .................. ..... .............................. . 4. Caracterización de las funciones integrables .......... ................... .. 5. Propiedades de la integral ................. ..... ...... ..... ......................... ..

17 21 25 29 35

CAPÍTULO 13. INTEGRACIÓN SOBRE CONJUNTOS ACOTADOS 41

l. Conjuntos medibles Jordan ....................................................... . .. 2. Integración sobre conjuntos acotados ........................................ .. 3. Recintos de integración. Regiones proyectables ...... ..... ..... ..... ... . 4. Integración reiterada. Teorema de Fubini ............... .. .................. .

CAPÍTULO 14. CAMBIO DE VARIABLE Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL ........... ................................................................ .. .. .

l. Cambio de variable en la integral múltiple ......... ....................... .. 2. Aplicaciones geométricas de la integral ................ .................... .. 3. Aplicaciones físicas de la integral ............................................. ..

45 51 55 63

71

75 81 87

o A JVlrLIACI VIV Uf!. CAL CULV

,¡:_ CAPÍTULO 15. INTEGRAL CURVILÍNEA ..... ..... .......... ..... .......... ..... 91

_;1 l. Integral curvilínea .. .. .. .... .. ... .. ... .. ... .. ... ..... .. ...... .... . . .. ........ .... .... .... . 95 ./' 2. Teoremas fundamentales de la integración de línea... .. .. ..... ... ..... 99 p 3. El teorema de Green .. . .. .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . . . .. . .. .. .. . . . . 107 .. 4. Aplicaciones de la integral de linea......... ...... ..... .......... ...... ...... ... 115

f.._ CAPÍTULO 16. INTEGRAL DE SUPERFICIE .. ....... ........ .. .. ..... ......... 121

.)' l. Integral de superficie.. .... .............. ... ............ ........ .... ............ ......... 123 ··, 2. Los campos rotacional y divergencia.......... ....... ...... ..... ...... .. .... ... 133

__ ., 3. El teorema de Stokes.. ......... ......................... ....................... ..... .. .. 137 / 4. El teorema de la divergencia......... ............... ........ ... ....... .... ....... ... 143

UNIDAD DIDÁCTICA 5

Funciones de variable compleja

CAPÍTULO 17. LOS NÚMEROS COMPLEJOS........................ ......... 149

/' l. Los números complejos .. .. .. .... ...... .... .. .. .. ........... .... ...... ............ .... 153 2. Topología del plano complejo...... .......... ....... .... ...... ...... ..... ...... .... 159

7 3. Sucesiones y series de números complejos...... ................. .... ... .. . 163 ?' 4. Funciones complejas............... ... .. ..... ..... .... .. ........... .... ............ .. .. . 167

5. Funciones elementales .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. .... . .. .. .. 171

CAPÍTULO 18. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS .......... ..... ........... .... .... .. ..... .... .... .. ..... ...... ......... ... .......... 179

/ l. Funciones holomorfas .. . .. .. . .. .. . .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . 183 .-- 2. Propiedades de la derivada..... .... .... .... .. ........... ........... ..... ...... ..... . 187

3. Integración en el plano complejo ......... .... .. ...... ..... ·...... ..... ............ 191 / 4. El teorema de Cauchy-Goursat.. ......... ............ .... .... .. ........... ... .... . 197

CAPÍTULO 19. FUNCIONES ANALÍTICAS........ ..... .. .... ...... ...... ... ... 205

('- l. Series de potencias .......................... ..... ..... ......... ....................... .. . 209 cf- 2. La fórmula integral de Cauchy .... .. ...... ......... .. .... .. ................... .. .. 217 ¡_ 3. Propiedades de las funciones analíticas.. .. .......... ............ .. ..... ...... 225

/NU I CI!.

CAPÍTULO 20. CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS .. .. .. .... . 229

1. Ceros de una función analítica................................. .. .. ... ........ .. ... 233 2. El principio del módulo máximo ........ ... ...... .. .......... .. .... ..... .... .. ... 239 3. Singularidades aisladas ........ ........ .... ....... .. ........ .. .... .. ..... .............. 243

CAPÍTULO 21. EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIO-NES .. ...... ... .. ..... ........ ..... ............ ..... .. ..... ....... ...... ........ .. .... ..... ... .... .. .. . 251

l. El teorema de Cauchy .. . ..., ........... .... ...... ....... ..... .......... ..... ........... 255 2. Series de Laurent. ....... ,_ ..... ........... ......... ........ ........... .................. 259 3. El teorema de los residuos ~... .. .. .. .. .... . . . . . . . .. .. ..... . ... ... ... . .. . .. .... . ..... 267 4. Aplicación al cálculo de integrales .. ...... ......................... .. .... ....... 273 5. Aplicación a la suma de series.. ...... ........ ......... ..... ........... .... ........ 283

CAPÍTULO 22. TRANSFORMACIÓN CONFORME.. .. ... .......... ...... .. 289

l . Transformación conforme. ...... ............ ............. ................ ..... ..... .. 293 2. La transformación bilineal fraccionaria ... ....................... ..... ... ... .. 297 3. Formas particulares de la transformación de Mobius...... ....... ..... 305

BIBLIOGRAFÍA....... .. ... .. ... ... ..... ............. .... ...... .. .... .. ... ..... .. ..... ..... ......... 311

ÍNDICE TERMINOLÓGICO........ .. ....... ...... .... ....... ...... ........... .............. 313

1 •1

11

:¡. ,.

UNIDAD DIDÁCTICA 4

CÁLCULO INTEGRAL

• La integral múltiple de Riemann

• Integración sobre conjuntos acotados

• Cambio de variable y aplicaciones de la integral

• Integral curvilínea

• Integral de superficie

,1'

CAPÍTULO 12

La integral múltiple de Riemann

1. Introducción. La integral doble. 2. Integral múltiple. 3. Medida y contenido cero. 4. Caracterización de las funciones integrables. 5. Propiedades de la integral.

PRERREQUISITOS

• Integral simple:

Partición de un intervalo.

Suma superior e inferior de Riemann.

Integral superior e integral inferior.

Definición de integral. Interpretación geométrica.

Cálculo de integrales.

• Propiedades de los números reales. Supremo e ínfimo de un conjunto.

• Conjuntos compactos. Propiedades.

• Función acotada.

• Continuidad de una función.

ESQUEMA/RESUMEN

• Partición de un rectángulo A de JR?: P = P 1 x P2•

• Suma superior de f respecto a una partición P:

S(j, P) = !: M(f, Q) IQI para Q E P

• Suma inferior de f respecto a una partición P:

s(j, P) = !: m(j, Q) IQI para Q E P

• Integral superior:

L f = inf{ S(j, P): PE f?'(A)}

• Integral inferior:

LJ = sup{s(f, P): PE f?'(A)}

fes integrable <:::::> JA j = L f.

• Rectángulo A n-dimensional: [a 1, b1] x [a2, b2] x .. . x [a11

, b"].

• Medida del rectángulo n-dimensional:

IAI = lh1 - a 1i· lb2 - a21 ····· lb" - a,,. • Partición del rectángulo n-dimensional: P = P 1 x P 2 x ... x P

11•

• Integral múltiple: integral sobre un rectángulo de dimensión n > l. La defi­nición es análoga a la correspondiente a n = 2.

• Condición de integrabilidad de Riemann: fes integrable <:::::>

<:::::> V E> O existe PE .9'(A) tal que S(f, P) - s(f, P) <E. • M e JR" es un subconjunto de medida n-dimensional cero <:::::> V E > O existe

una sucesión de rectángulos {Q111

} de JR" tal que recubre a M y

00

LIQmi<E m=l

• M e R" es un subconjunto de contenido n-dimensional cero <:::::> V E > O exis­te un número finito {Ql' Q2, . •. , QP} de rectángulos que recubren a M tales que

p

LIQmi<E m= l

• Si M tiene contenido cero, entonces tiene medida cero.

~---r.4~JJ'Il LVIU.A.~~· ... ....,---- ---- ---~·--·-·

• Si M es compacto y tiene medida cero, entonces tiene contenido cero.

• Oscilación de una función f en un punto a:

O(j,a) = lím [M(a,j,o)-m(a,f,o)] ¡¡~o

• caracterización de las func_iones ~nt~grabl~s: fes ~tegrable en A si y sólo si su conjunto de puntos de discontmmdad tiene med1da cero.

• Propiedades de las funciones integrables: f, g integrables; 'A, J..L E R

1. El producto por un número "Af, la sumaf + g, el productofg y el cociente f/g, g(x) -:f:. O,flg acotada, son funciones integrables y se cumple

L v +j..Lg= A.Lt +J..LLt-

2. lf\x)l es integrable y se cumple

IL f(x)dxl:::; f)f(x)l dx

3. Si Pes una partición de A, se cumple

•" •t i

¡11 ' 11 1< 1

¡ ': '

1

'1 1

¡.

J. Introducción. La integral doble

En el estudio de funciones reales de una variable real se estableció el con­cepto de integral de Riemann para funciones definidas y acotadas en un inter­valo [a, b]. Una primera generalización consistió en considerar funciones no acotadas e intervalos no finitos (integrales impropias). Se extiende ahora el concepto a funciones reales de varias variables, definidas y acotadas en inter­valos n-dimensionales [ap b1] x [a2, b2] x ... x [a11 , b11 ], a los que de forma gené­rica denominamos rectángulos. Posteriotmente, se extenderá la integración a conjuntos más generales denominados recintos o regiones de integración. Para mayor claridad comenzamos con el caso n = 2, integral doble, aunque el proceso es el mismo cualquiera que sea la dimensión n.

Un rectángulo A de ~2 es el producto cartesiano de dos intervalos cerra­dos y acotados [a, b] y [e, d] de~

A= [a, b] X (e, d] = {(x, y) E JR2 : X E (a, b], y E (e, d)}

Una partición P de A es una colección de puntos P 1 x P2 en donde

P1 ={a= x0, Xp x2, . •. , X11

_ P X11

= b} P2 ={e = y0, YP y1 , •. . , Ym - p Ym = d}

son pru1iciones de los intervalos [a, b] y [e, d]. La partición P determina una colección de subrectángulos {Q;)• i = 1, 2, ... , n;j = 1, 2, .. . ,m (Figura 12.1), tal que

Qij = [X¡ _ !> X¡) X [yj _ p yj]

Supongamos una función realfdefinida y acotada en A, y por lo tanto aco­tada en cada subrectángulo Qu de una partición P de A. Designemos por

Mij = sup{f(x, y) : (x, y) E Q;) m;j = inf{f(x, y) : (x, y) E Q;)

,.1

• 1

,1

:1 1:1

Yj

e - - ------ -}-, -----'---'---+--J--.L-.l___L---1

Figura 12.1. Partición de un rectángulo.

y por IQ;¡I el área del subrectángulo Qij' es decir

IQ;) = (X¡ - X¡_¡) (yj - yj ~ ¡)

A= [a. b] x [e, d]

se llama suma superior de Riemann S(f, P) de f respecto a la partición p a la suma

S(f,P)= LMu jQul i,j

y suma inferior de Riemann s(f, P) de f respecto a la partición p a la suma

s(f,P) = Lmu jQul i,j

, . Si IAI = (b-:- a) (e- d) es el área de A, M es el supremo de f en A y m es su mfrmo, cualqmera que sea la partición P, es claro que se cumple

m IAI ::::; s(f, P) ::::; S(f, P) ::::; M IAI por lo tanto, si .9(A) r_epresenta la familia de particiones de A, los conjuntos de todas las sumas supenores y de todas las sumas inferiores de Riemann

{S(f, P) :PE 9(A)} {s(f, P) :PE 9(A)}

están acotados por m IAI y M IAI.

Se llama integral inferior de Riemann de f en A, y se representa por J f al supremo de las sumas inferi_9res, y se llama integral superior de Riema~n de f en A, y se representa por L f al ínfimo de las sumas superiores.

, Las integrales inferior y superior existen siempre, pues todo conjunto de numeres reales acotado posee supremo e ínfimo.

LA l 'EUML JY1UúJ.JJ .l...J.l..j 1../L:, .H.J..L:...lt'.l..l'lJUY

12.1 . Definición de la integral doble de Riemann en un rectángulo

Sea A un rectángulo de lR.2 y f una función real definida y acotada en A. Se dice que f es integrable en A si

A este valor se le llama integral de f en A y se le representa por

L f o bien por Jf/(x, y)dxdy

Como en el caso de la integral simple, también la integral doble tiene una interpretación geométrica sencilla. Supongamos que fes una función continua y positiva d~finida e_n el rectángulo A. Cada s~~a superior de Riemann es una aproximacion supenor del volumen V que lmutan los planos x = a, x = b, y= e, y= d, y la superficie z = f(x, y). Análogamente cada suma inferior de Riemann es una aproximación inferior. En otras palabras, cualquiera que sea la partición P de A, se cumple

s(f, P) ::::; V::::; S(f, P) .

Como consecuencia el volumen V es la integral de f sobre A.

X

Co

-. . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

z =fl.x, y)

d

. ' ,'' : .· ' a --·/--+--+--+-___;.-+------}

y

Figura 12.2. Aproximación superior e inferior del volumen en un subrectángulo.

,1 ,,

1 ¡ ,

• •11 1

·•'

2. Integral múltiple

El proceso para establecer el concepto de integral de una función real defi­nida y acotada en un rectángulo de JR" es una repetición del proceso utilizado en la integral doble.

Seafuna función real definida y acotada en el rectángulo

A = [a p b1] X [a2, b2] X ... X [a11

, b11 ]

U na partición P de A es una colección de puntos

p = P ¡ X p2 X .. . X PI!

en donde P¡ es una partición del int~rvalo [a¡ , b¡]. Cada partición P determina una colección de subrectángulos { Q} en los que f está acotada. Si designarnos por M(f, Q) el supremo de f en Q y por IQI el área de Q, entonces la suma de IQI M(j, Q) para todos los subrectángulos de la partición se llama suma supe­rior de Riemann S(f, P) de f respecto de P. Es decir

S(f, P) = L IQI M(f, Q)

en donde :L significa la suma cuando Q recorre todos los subrectángulos de P. Análogamente, si m(f, Q) representa el ínfimo de f en Q, la suma de IQI m(f, Q) para todos los rectángulos de la partición se llama suma inferior de Riemann de f respecto de P. Es decir

s(f, P) = 1: IQI m(f, Q)

Si IAI es el área del rectángulo A, M es el supremo de f en A y m es su ínfi­mo, cualquiera que sea la partición P de A se cumple

IAI m ~ s(f, P) ~ S(f, P) ~ IAI M

• "!1 1'

·" ~ • r ,.1• 1

f, ¡1

1

1

¡· 1

AMPUACIÓN DE CÁLCULO

Es decir, el conjunto de todas las sumas superiores y el conjunto de todas las sumas inferiores de Riemann están acotados. Al supremo de las sumas inferio­res se le llama integral inferior de Riemann y al ínfimo de las sumas supe­riores se le llama integral superior de Riemann y se representan por

respectivamente. La integral inferior y la integral superior existen siempre, ya que todo conjunto de números reales acotado posee supremo e ínfimo.

12.2. Definición de integral de Riemann de una función en un rectángulo

Sea f una función real definida y acotada en un rectángulo A de JR;. ". Se dice que fes integrable en A si

A este valor se le llama integral de f en A y se representa por

f f o bien por JJ· ··J ~(x x ·· · x )dx dx ···dx A A 1> 2 > ' n 1 2 n

En el caso n = 2 se tiene la integral doble, en el caso n = 3 se tiene la inte­gral triple, etc ... La integral triple se suele representar por

JJL f(x, y, z)dxdydz

12.3. Ejemplos

l. Una función constantej(x1, x2, .. . , x,) = k es integrable en cualquier rec­tángulo A de lR.", ya que cualquiera que sea la partición P de A las sumas supe­rior e inferior de Riemann de/respecto de P valen k IAI.

2. f(x , y , z) = 1 si al menos una de las tres coordenadas es racional y f(x, y, z) = 2 si las tres coordenadas son irracionales, no es integrable en nin­gún rectángulo A de JR?, ya que cualquiera que sea la partición P de A

s(f,P)= L:/Q/ = /A/ S(f,P) = L2/Q/ = 2/A/

por lo tanto

'EGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN LA !NT ~

23

d. ·o'n necesaria y suficiente para que exista la integral de f en el Una con tct . . á gulo A es la stgmente: rect n

Condición de integrabilidad de Riemann 12.4. ' . . ' p d

· bl en A si y sólo si para cada e > O ex¡ste una partzczon e fes mtegra e A tal que S(f, P)- s(f, P) ~e. ,

· ' Si se cumple la condición, es evidente que el ínfimo de las Demostraczon. · · 'd p 1 t t

· y el supremo de las sumas infenores comc1 en. or o an o, mas supenores . . . ~~ 9"(A) representa el conjunto de las parttcwnes de A, se tiene

t ¡ = inf{S(f, P): PE 9 (A)} = sup{s(f, P): PE 9(A)} = JA f

y la función es integrable. . . .

R , camente Sea e > O tan pequeño como queramos. Por las defimcio­ecJpro . . . P' P" d A

d , fimo y supremo existen respectivamente dos part1c10nes y e nes e tn t '

tales que

Si pes la partición formada por la unión de P' y P", teniendo en cuenta que

S(f, P) ~ S(f, P') ; s(f, P") ~ s(f, P)

resulta

Como por hipótesis fes integrable, se tiene

y sumando las desigualdades

S(f, P)- s(f, P) ~e •

... t i

,¡ '

" ¡11

'' 1·· 1 1,.:11

"'

1

¡r· 1

~ ¡ ¡' 1

J. Medida cero y contenido cero

En el epígrafe siguiente se caracterizan las funciones integrables me­diante su continuidad. Para ello necesitamos establecer previamente los conceptos de medida y contenido cero de un conjunto.

12.5. Definición de medida cero

Un subconjunto H de R" tiene medida cero si para todo E > O posee un recubrimiento numerable de rectángulos {Qm} tales que

Como el volumen n-dimensional iQI de un rectángulo es igual que el volu­men IQI de su interior, los rectángulos del recubrimiento {Q

111} pueden ser

abiertos o cerrados.

12.6. Ejemplo

Una sucesión de puntos {x111

} de R" tiene medida cero. En efecto, fijado e> O, cada punto X 111 puede recubriese por un rectángulo Q

111 cuyo volumen sea

menor que e,/2"', de esta manera

= = E = 1 ~ ,º 1<~-- e,~- -e, .LJ 111 .LJ 2/11 - .LJ 2111 -m= l 111= l 111=l

~1 ejemplo anterior se puede generalizar a una sucesión de conjuntos de medtda cero.

·'"J '·:!J''

.••• ,l ,¡1 1 ,,

:11

12.7. Proposición

La unión de una sucesión {Hm} de subconjuntos de medida cero tiene medida cero.

Demostración. Sea e> O y H =u {H111 : m E N}. Para cada H," existe una colección de rectángulos

{QIII,p: pE N} que lo recubre, tal que

La colección {Qm. P : m E N, p E N} recubre a todo H y es numerable. Además

oo oooo ooC

L IQm,pl = LL/Qil,pi<I:¡m=E. m=l,p=l m= lp=l m=l

12.8. Defmición de contenido cero

Un subconjunto H de JR" tiene contenido cero si para cada E> O posee un recubrimiento finito de rectángulos {Qm} tales que

Igual que en la definición de medida cero los rectángulos pueden ser abiertos o cerrados. Además, en ambos casos, las definiciones se refieren a la dimen­sión n del espacio. En los ejercicios de autocomprobación probaremos que un segmento considerado como subconjunto de JR2 tiene contenido 2-dimensio­nal cero, sin embargo, considerado como subconjunto de lR, tiene contenido !-dimensional distinto cero.

12.9. Ejemplos

l. Una sucesión convergente de puntos de lR" tiene contenido cero.

2. El conjunto de los números racionales del intervalo [0, 1] tiene medida cero, ya que es unión numerable de conjuntos de medida cero, sin embargo no tiene contenido cero. Véanse los ejercicios de autocomprobación.

Es obvio que todo conjunto de contenido cero tiene medida cero. El ejem­plo anterior muestra que el recíproco no es cierto. Sin embargo, si el conjunto es compacto, ambos conceptos son equivalentes.

• .. .,~~~~~~~M~U~L~1J~r~L~~~U~L~ru~c~J~~1~~v¡~v--------------------------------­V. !NTEGJ?AL ;...----

0 Proposición 'd 1 2. 1 . d dida cero entonces H es de contem o Si H es un conjunto compacto e me '

cero. . , a E > 0 Encontremos una colección finita de rectángulos Demostracwn. Se 1 . ma de sus volúmenes sea menor que E. ubran H tales que a su

que rec d ' dida cero existe un recubrimiento numerable de H formado Por ser e me ectángulos abiertos { Q"'} tales que porr

~

LIQml<e m=l

t existe un subrecubrimiento finito {Qm,• Q"'2' ... , Qm)· En­Por ser compac o, ton ces

p ~

IIQm, j< LIQmi<E • i=l m=l

' j

1

~;;;ll "n1

1

·1 ' ~ 1

·j

4. Caracterización de las funciones integrables

La oscilación de una función en un punto es otro concepto necesario para poder establecer el teorem~ de Lebe~gue o teo~em~-de c_aracter~zació~ d~ las funciones integrables . En cterto sentido, la oscilacton m1de la dtsconttnmdad de la función en el punto. Consideremos un rectángulo cerrado A de IR" y una función acotada f de A en IR.

12. 11 . Definición de oscilación de una función en un punto

Sea a E A, M(a, f, o) y m(a, f, O) el supremo y el ínfimo de f en la bola B(a, 8). Se llama oscilación de f en a y se representa por O(f, a) al límite

O(f,a) = lím[M(a,f,o} -m(a,f,o)] li~O

Observemos que la diferencia M(a, f, o) - m(a, f, o) es mayor o igual que cero y decreciente, por lo tanto existe siempre su límite cuando o tiende a cero. Además, es sencillo comprobar que fes continua en a si y sólo si su oscilación es cero.

12.12. Ejemplos

l . La oscilación en el punto (a, b, e) de la función del ejemplo 2 de 12.3 es 1, ya que en cualquier bola B((a, b, e}, o) existen puntos en los quefvale 2 y puntos en los quefvale 1

O(f,(a,b,c)) = ~~~[M((a, b,c},f,8)- m((a,b,c),f,8)] = 2- l = 1

~ 1 ' j

.. ,

2. La oscilación de la función

f(x)= {

x3

x 2 +x+2

six$0

six>O

en x = O es 2, pues

M(O, f, o) = f(O + o) = 02 + o + 2 m(O, f, o) = f(O - o) = -o3

La oscilación de f en cualquier otro punto es cero por ser f continua.

12.13. Proposición

Sea E> O. El conjunto LE= {x E A : O(f, x) ~E} es cerrado.

Demostración. Probemos que R" - LE es abierto. Sea x E R" - Le

i) Si x ~ A, por ser A un rectángulo cerrado, existe una bola de centro x contenida en el complementario de A y por lo tanto en el complementario deLE.

ii) Si x E A, x ~ LE, la oscilación de f en x es menor que c. Por lo tanto, existe una bola B(x, o) en la que

M(x, f, o) - m(x, f, o) < e

Veamos que esta bola está contenida en el complementario de LE. En efecto, supongamos que no es cierto y que existe un punto z E B(x, o) tal que la osci­lación de f en él es mayor o igual que e; es decir, tal que z E LE. En este caso existe una bola B(z, o') de centro z y radio o' contenida en B(x, o) y se cumple

M(z, f, o') - m(z, f, o' ) ~ e

Ahora bien, como

M(x, f, o) ~ M(z, f, o') m(x, f, o) :::;; m(z, f, o' ) pues B(z, o' ) e B(x, o), entonces resulta

M(x, f, o) - m(x, f, o) ~ M(z, f, o') - m(z, f, o') ~ e

lo cual contradice la hipótesis. •

12.14. Proposición

Sea e > O. Si la oscilación de f en cada punto x E A es inferior a e, enton­ces existe una partición P de A tal que

..J J.

S(f, P)- s(f, P) <el Al

Demostración. Para cada X E A existe una bola B(x, o) tal que

M(x, f, o) - m(x, f, o) < e

Por ser A compacto existe un número finit? -~e bolas B_(x1, ox)• B(x2, ox)• .. . , B( 0 ) que lo recubren. Si P es una part1c10n cualqmera de A tal que cada u~·d;rlos subrectángulos Q que determina está contenido al menos en una bola B(x;, ox)• resulta

S(f, P) - s(f, P) = L [M(f, Q) - m(f, Q)]IQI <Le 1 Ql = e 1 Al

pues si Q e B(x, o), se cumple

M(x,f, o)~ M(f, Q) ; m(x,f, o)$ m(f, Q) .•

NoTA. Recuérdese que M(f, Q) es el supremo de f en el rectángulo Q, M(x, f, o) es el supremo de f en la bola B(x, o) y análogamente para los ínfi­mos m(f, Q) y m(x,f, o).

12.15. Teorema de Lebesgue (caracterización de las funciones integrables)

f es integrable en A si y sólo si su conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero.

Demostración. Sea L el conjunto de puntos de discontinuidad de f en A. Supongamos que L tiene medida cero y demostremos que f cumple en A la con­dición de integrabilidad de Riemann.

Fijado € >O, el conjunto Le= {x E L: O(f, x) ~ €} tiene medida cero por ser un subconjunto de L, es acotado por ser un subconjunto de A y es cerrado por la proposición 12.13, entonces es compacto. Como consecuencia, Le posee un recubrimiento finito de rectángulos cerrados { Qt> Q2, ... , QP} tales que

Consideremos una partición P de A de modo que cada uno de los rectángulos Q que determina o bien esté contenido en alguno de los Q; o bien esté conteni­do en el complementario de LE. Designemos por B la colección de los prim~ro~ y por C la colección de los segundos. Si k es una cota de f en A, es decu SI

lf(x)l $ k para todo x E A, se tiene

p

(1) LJM(f,Q)-m(f,Q)] I Ql$ 2kLIQ;I < 2h: para QE B i=l

•

• • , t

Por otro lado, como cada Q E e está en el complementario de Le, la osci­lación O(f, x) <e para todo x E Q. Por la proposición anterior existe una par­tición P Q de cada rectángulo Q tal que

L[M(f,Q')- m(f,Q')] 1 Q' 1< e 1 Q 1 Q' E PQ

Como esto sucede para cada Q de e, si hacemos la suma para todos ellos, es decir Q' E P Q• Q E e, obtenemos

(2) L{L[M(f,Q')-m(f,Q')] 1 Q' 1} < í:e 1 Ql <e 1 A 1

Si consideramos la partición P' de A constituida por los rectángulos de la colec­ción B y por todos los que determinan las particiones P Q cuando Q recorre la colección e, de (1) y (2) se deduce que

S(f, P')- s(f, P') < (2k+ 1 A l)e

por lo tanto f cumple la condición de integrabilidad de Riemann. (Obsérvese que k y IAI son constantes.)

Recíprocamente. Supongamos que fes integrable y probemos que el con­junto L de puntos de discontinuidad de f en A tiene medida cero. Como L es unión numerable de los conjuntos L 11q, q E N

L= L¡ uL¡, 2 uL¡,3 u ... uL¡,q u ...

basta probar que cada L 11q tiene medida cero.

Sea e > O, por ser f integrable existe una partición P de A tal que

S(f, P)- s(f,P) <el q

Sea H la subcolección de rectángulos de P que cortan a L 11q y por lo tanto un recubrimiento de L 11q. Se tiene

para QEH

Como H consta de un número finito de rectángulos Q, veamos que 1: IQI <e y habremos concluido. En efecto, de la definición de L 11q se tiene

M(f,Q) - m(f,Q)2:: O(f,x) > 11 q

en donde x es un punto de Q n L 11q . Entonces multiplicando por IQI

..!..¡Q15 [M(f,Q) - m(f,Q)liQI q

----:LA JNT/f,CiJ<ALMULl lt'LI!. U~!. KII!.MANN -sumando para Q E H

(3) ..!.. í:IQI5L[MCf,Q) - mCf,Q)liQI para QEH q

Por otro lado, como Hes una subcolección de P, para Q E H se tiene

e L [M(f, Q)- m(f, Q)liQI5 S(f, P)- s(f, P) < q (4)

Por lo tanto de las desigualdades (3) y (4) resulta 1: IQI <e para Q E H Y L llq

tiene medida cero. •

12.16. Ejemplo La función del ejemplo 2 de 12.3 no es integrable en .ningún rectángulo A

de JR3 ya que es discontinua en todos sus puntos y la med1da de A no es cero.

1 ¡. 1

¡

li 1

1

'/

5. Propiedades de la integral

El teorema de Lebesgue nos permite razonar de forma inmediata la inte­grabilidad de funciones que se construyan a partir de funciones integrables. Sea A un rectángulo cerrado de JR". Consideramos funciones de A en lR inte­grables en A.

12.17. Proposición (propiedades de las funciones integrables)

l. El producto de un número A por una función integrable fes una función integrable Af y se cumple:

L Af(x)dx =AL f(x)dx.

2. La suma de dos funciones integrables f y g es una función integrable f + g y se cumple:

L (f(x) + g(x))dx = L f(x)dx+ L g(x)dx

3. Si f y g son funciones integrables tales que f(x) ~ g(x) para todo x E A, se cumple:

L f(x )dx ~ L g(x)dx

4. Si fes integrable, entonces valor absoluto de fes integrable y se cumple:

IL f(x)dxl ~ Lif(x)ldx

f

• , , '11

.. ;~ .i.l

5. El producto de dos funciones integrables f y g es una función integra­ble fg.

6. Si f y g son funciones integrables y g(x) ::t:- O para todo x E A, entonces la función cociente flg es integrable si flg es acotada.

Demostración. Todas estas propiedades se pueden demostrar exactamente igual que para funciones de una variable. Para razonar la integrabilidad usare­mos aquí el teorema de Lebesgue.

l. La función Aj tiene el mismo conjunto de puntos de discontinuidad L que la función f y por hipótesis la medida de L es cero, luego Ajes integrable. Además:

i) Si A ::2:: O, dado un subrectángulo Q de una partición cualquiera P de A

sup{Af(x): x E Q}= Asup{f(x): x E Q}

inf{Aj(x): x E Q} = Ainf{f(x): x E Q} =>

S(Aj, P) = AS(f, P)

s(/..f, P) = A.s(f, P)

por lo tanto, razonando a partir de la igualdad de las sumas superiores

L Af(x)dx = L Af(x)dx = A t f(x)dx =AL f(x)dx

ii) Si A < O, dado un rectángulo Q de una partición cualquiera P de A

sup{Af(x) : x E Q}= Ainf{f(x): x E Q}

inf{A.j(x) : x E Q}= Asup{f(x): x E Q} =>

S(Af,P) = A.s(f,P)

s(Aj, P) = AS(f, P)

razonando, por ejemplo, a partir de la primera igualdad

2. El conjunto de puntos de discontinuidad de f + g está contenido en la unión de los conjuntos de discontinuidad defy g, como ambos tienen medida cero, su unión tiene medida cero y f + g es integrable. Además, si Q es un subrectángulo de una partición cualquiera P de A, para cada x E Q, se tiene

m(f,Q) + m(g,Q) ~ f(x)+ g(x) m(f,Q)+m(g,Q) ~ m(f + g,Q) =>

M(f, Q) + M(g, Q) ::2:: f(x) + g(x) M(f, Q) + M(g, Q) ::2:: M(f + g, Q)

y como consecuencia

LJ(x)dx+ Lg(x)dx= Jf(x)dx+jAg(x)dx~ J/f(x)+g(x))dx

LJ(x)dx+ Lg(x)dx= tJ(x)dx+tg(x)dx2'!: t(f(x) +g(x))dx

por lo tanto

L f(x)dx+ L g(x)dx = L (f(x)+g(x ))dx. •

JI

3. En efecto, si Q es un rectángulo de una partición cualquiera P de A, se

cumple

m(f,Q) ~ m(g,Q) s(f,Q) ~ s(g,Q) => =>

M(f,Q)~ M(g,Q) S(f,Q) ~ S(g,Q)

=> L f(x)dx ~ L g(x)dx. •

4. El conjunto de puntos de discontinuidad de lfl está contenido en el de ¡, por lo tanto tiene medida cero y lfl e~ integr~ble. Además, al ser f(x) ~ lf(x)l para todo x E A, por la propiedad antenor, se nene

entonces

5. El conjunto de los puntos de discontinuidad defg está contenido en. la unión de los conjuntos de puntos de discontinuidad de f y g, como ambos ue­nen medida cero, su unión tiene medida cero y fg es integrable. •

6. Por ser g(x) ::t:- O para todo x E A está definida la función cocientef/?, que es acotada en A. El conjunto de sus puntos de discontinuidad está contemdo en la unión de los defy g, como ambos tienen medida cero,f/g es integrable. •

En la integral simple, si consideramos un punto interior e del in~ervalo de integración [a, b], la integral dejen [a, b] es igual a la suma de las mtegrales dejen [a, e] y dejen [e, b]. La propiedad análoga en la integral múltiple es la siguiente.

1·

12.18. Proposición

Sea P una partición de A. La integral de f en A es igual a la suma de las integrales de f en cada uno de los rectángulos Q de la partición P.

L f(x)dx = L J/(x)dx para Q E P

Demostración. En primer lugar f es integrable en cada Q ya que el con­junto de puntos de discontinuidad de f en Q está contenido en el de f en A. Ade­más, si P' es una partición cualquiera de A, más fina que P, y en cada rectán­gulo Q de P consideramos la restricción P' 1 Q de la partición P' a Q (Figura 7.4 ), es evidente que las sumas superior S(f, P') e inferior s(f, P ') de Riemann de f relativas a los rectángulos de la partición P' son respectivamente iguales a

L s(j, P'IQ) para Q E P

sumas para todos los rectángulos Q de P de las sumas superiores S(f, P'l Q) e inferiores s(f, P'l Q) de f en cada Q para la partición P'l Q·

y

d

e

ectángulo Q ¡;· 1

I=R=I=

a b X

Partición P y partición P Q = P'IQ en un rectángulo Q

y

d

e

a b X

Partición P' formada por todas las particiones P Q

Figura 12.3. Particiones de A.

12.19. Teorema del valor medio para integrales

Sea f : A ----7 IR continua en A, existe un punto x0 E A tal que

t f(x)dx = f(x0 )IAI

Demostración. Por ser A compacto f alcanza en A su mínimo m y su máxi­mo M. Para cualquier partición P de A, las sumas de Riemann cumplen

miAi ~ L m(f, Q)IQI ~ L M(f, Q)iQI ~ MIAI

.J7

por lo tanto

miAi ~ Lf(x)dx ~ MiAi

o lo que es equivalente

m~ i~ILJ(x)dx ~M

Como f toma todos los valores entre m y M, existe x0 E A tal que

,, '11~

)

~ i• . ,,

CAPíTULO 13

Integración sobre conjuntos acotados

¡_' Conjuntos medibles Jordan. 2. Integración sobre conjuntos acotados . 3. Recintos de integración. Regiones proyectables. 4. Integración reiterada. Teorema de Fubini.

PRERREQUISITOS

• Integral simple.

Cambios de variable.

Métodos de integración.

• Integral múltiple.

Particiones. Sumas superior e inferior de Riemann.

Integral supetior e infetior.

Concepto de integral. Condición de Riemann.

Caracterización de las funciones integrables.

Propiedades de la integral.

l .

1,

'1 ~~

,) ~r 1

ESQUEMA/RESUMEN

• Función característica de un subconjunto M de JR":

{1 six E M

XM(x)= O . M SlX e

• Conjunto medible-Jordan: M acotado es medible-Jordan si existe

en donde A es un rectángulo tal que M e A. El valor de la integral se llama contenido o medida-Jordan de M.

• l M ~ IR integrable en M ~ f XM es integrable en A

• Recinto de integración: conjunto medible-Jordan.

• Teorema de Lebesgue: fes integrable sobre un recinto de integración M si y sólo si su conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero.

• Recintos de ordenadas: sea Q e lR" acotado medible-Jordan:f Q ~ lR posi­tiva e integrable en Q . El recinto de ordenadas de fes el conjunto

M={(x,y)E lR"xlR :O::;y::;j(x),xE Q}

• La gráfica de una función integrable sobre un recinto de integración Q de lR" tiene medida (n+ 1) - dimensional cero.

• Cualquier región de IR" cuya frontera esté formada por gráficas de funciones integrables es un recinto de integración.

• Recintos proyectables planos

M = {(x,y) E lR2: y 1(x)::; y::; y/x), x E [a,b]} Tipo 1

M = {(x,y) E JR? : x,(y)::; x::; x2(y), y E [c,d]} Tipo 2

• Recintos proyectables en el espacio

M = { (x,y,z) E IR3 : x E [a,b], y,(x)::; y::; y/x), z1(x,y)::; z::; zz(x,y)}

M= {(x,y,z) E JR3: y E [c,d], x,(y)::; x::; x2(y), z,(x,y)::; z::; zzCx,y)}

son regiones de tipo l. Análogamente se describen las regiones de tipo 2 y tipo 3 intercambiando los papeles de las variables.

• Integración reiterada: A = [a,b] x [c,d]

b d Jd fb f f(x,y)dxdy = J ci:xJ j(x,y)dy = dy f (x,y)d:x A a e e a

• Teorema de Fubini: A x B e JR." x JR."'

L x8f(x ,y)dxdy = t[tf(x, y)dy]dy = L[18 f(x,y)dy]dx

si la restricción de fa cualquier punto x de A es integrable en B, se tiene

L xBf(x, y)d:xdy = Ld:x JBJ(x,y)dy

Análogamente para el otro orden de las vmiables.

J. Conjuntos medibles lardan

Cada subconjunto M de R" tiene asociada una función XM de lR" en R, lla­mada función característica, definida por

{1 six e M

XM(x)= O six ~M

XM es constante, y por lo tanto continua, en el interior y en el exterior de M, y es discontinua en su frontera ya que en cualquier entorno de un punto de Fr(M) existen puntos en los que XM vale O y puntos en los que vale l .

Supongamos ahora que M es un conjunto acotado, es decir, existe un rec­tángulo A tal que M está contenido en A. De acuerdo con el teorema de Lebes­gue, la función XM es integrable en A si y sólo si su conjunto de puntos de dis­continuidad tiene medida cero, o en otras palabras, si y solo si su frontera tiene medida cero. Como Fr(M) es un conjunto cerrado y acotado, por lo tanto com­pacto, tener medida cero o contenido cero son propiedades equivalentes.

l3.l. Defmición de conjunto medible-Jordan

Sea M un subconjunto acotado de R" y A un rectángulo que lo contiene. Se dice que M es medible-Jordan si existe la integral

LxM y al valor de dicha integral se le llama contenido o medida-Jordan de M y se representa por IMI.

Naturalmente, obsérvese que la existencia de la integral y su valor son independientes del rectángulo A, pues fuera de M la función XM vale O. En todo lo que sigue consideraremos conjuntos acotados y la medida-Jordan.

1

~

_ En JR., es de,cir si '! = 1, el contenido o medida-Jordan se llama longitud, si n -. 2 se l!ama area, SI n =. 3 se _lla?I~ volumen, y en general se llama volumen n-dimensw~al. E~ _converu~~te msis~rr en que la medida-Jordan se refiere siem­pre ~ una dimenswn n prefiJada. Asi la medida 2-dimensional de una circunfe­renc~a es c~ro, la _medida 3-dimensional de una superficie esférica es cero la ~edida_ 3-dimenswnal de una esfera de radio res 4n?/3, pero su medida' 4-dimenswnal es cero.

Si un conjunto M es medible-Jordan y L XM = O, entonces el interior de

M es v~cío. En efec.to, si x perteneciese a Int (M) existiría un entomo rectan­gular A de x contemdo en M y se tendría

. En el capítulo anterior s~ ~e~~nió ~1 concepto de conjunto de contenido ceto. Razonemos que esta defirucwn comcide con la dada anteriormente.

13.2. Proposición

Sea~ un subconjunto acotado de JR." y A un rectángulo que contiene aH Son equzvalente ·

a) H es un conjunto medible-Jordan y IHI = t XH = O

b) Para cada e> O existe una colección finita de rectángulos {Q Q QP} que recubre aH tales que 1' 2• ... ,

Demostración.

(~) ~ (b): Sea e> O. <;omo X8 es integrable en A se cumple la condición de Riemann, por lo que existe una partición P de A tal que

scxH,P)-s(xH,P) <e

_sea L = { QP Q2, ... , QP} la colección de subrectángulos de p que contiene al~un punto de H y L' la colección de subrectángulos de p que no contiene nin­gun punto de H. Como la integral de X

8 en A es cero, se tiene

resulta

M(XH,Q) = 1

M(XH ,Q)=O

m(XH,Q) =O

m(XH,Q)=O

para todo Q E L

para todo Q E L'

p

S(XH, P) = S(x¡.¡.L)+ S(X¡.¡,L') = _LIQ¡I j;]

s(XH• P) = s(XH• L) + s(XH• L') = 0

por lo tanto p

_LIQ¡I= scxH ,P) - s(xli,P) <E i=l

(b) ~ (a). Por medio de la condición de integrabilidad de Riemann,

probemos que existe y vale O la integral L XH . Sea E > O, por hipótesis existe

una colección L : { Q1, Q,, ... , Q } de rectángulos que recubren H, de modo que - p

Consideramos cualquier partición P de A tal que los rectángulos Q¡ sean unión de subrectángulos de P Como H no tiene puntos interiores, está conte­nido en su frontera, y la función XH vale O en los rectángulos que no cortan a H y L y O en los rectángulos que lo cortan. Entonces

p

S(xli,P)- s(x¡.¡,P) = S(x¡.¡.L) - s(x¡.¡.L) = _LIQ¡I <e. i= l

Es claro que L XH = O . • También en el capítulo anterior se definió el concepto de medida cero. Este

concepto no hay que confundirlo con el de medida-Jordan cero, que como aca­bamos de ver en la proposición es equivalente al de contenido cero, y ya sabe­mos que ambos conceptos no coinciden. Por ejemplo, el conjunto M de los números racionales del intervalo [0, 1] tiene medida cero por ser unión nume­rable de conjuntos de medida cero, sin embargo M no es medible-Jordan ya que no existe la integral

es decir, no existe la medida-Jordan o contenido de M. (Véase el ejemplo 12.9.)

Los conjuntos medibles-Jordan se pueden caracterizar mediante una pro­piedad análoga a la condición de integrabilidad de Riemann. Su demostración es parecida a la anterior.

1 '1~

' f

13.3. Teorema de caracterización de los conjuntos medibles-Jordan

Sea H un subconjunto acotado de lR." y A un rectángulo que contiene a H. El subconjunto Hes 1nedible-Jordan si y solo si para cada e> O existe una par­tición P de A tal que

:LJQJ- :LJQJ<e Qe L Qe L'

en donde L es la colección de subrectángulos de P tales que Q n H "# <1> y L' es la colección de subrectángulos de P tales que Q e H.

Demostración. Supongamos que Hes medible-Jordan por lo que su fronte­ra tiene contenido cero. Entonces, para cada e > O existe una colección finita de rectángulos {Q1, Q2, ••• , QP} que recubren Fr(H) y cumplen

Consideremos cualquier partición P de A tal que cada Q; sea unión de subrectángulos de P. Sea L la colección de subrectángulos de P tales que Q n ii-:;; <!>, en la que consideramos la subcolección L" de los rectángulos cuya intersección con la frontera de Hes distinta del vacío, Q n Fr(H) "# <1> y la sub­colección L' formada por el resto (en este caso Q está contenido en el interior de H). Entonces, se tiene

QeL QeL' QeL" i = l

Recíprocamente. Sea e > O. Si P es la partición del enunciado y a la colec­ción L le suprimos la colección L' obtenemos una familia de subrectángulos {Q" Q2, . •• , Q

1J, que recubre la frontera de H y cumple

p

:LIº;I= :LJQJ- :LJQJ<e • i= l QeL QeL'

Véase la figura 13 .l.

e' """" Z: ~

' ·' ~

o!:~ "; ... ("· -o Q EL'

o Q E L" =L-L'

~ 1""

F . 13 1 Part. ición de A y subcolecciooes. ¡gura ..

' 1¿

2. Integración sobre conjuntos acotados

A partir del concepto de integral de una función sobre un rectángulo, a con­tinuación definimos la integración sobre conjuntos acotados más generales. La existencia de la integral no sólo depende de las propiedades de la función, sino también de la naturaleza del conjunto. Sin embargo, en caso de tratarse de un conjunto medible-Jordan, una consecuencia inmediata del teorema de Lebes­gue permite caracterizar la integrabilidad de la función. En lo que sigue, supon­dremos implícitamente que las funciones están definidas en todo lR." conside­rando que toman el valor cero en los puntos que no pertenecen a su dominio inicial.

13.4. Definición de integral sobre un conjunto acotado

Sea M un subconjunto acotado de JR", A un rectángulo que contiene a M y f: A~ lR acotada. Se dice que fes integrable sobre M si lo es la función pro­ducto fXM sobre A, en cuyo caso se llama integral de f sobre M, y se represen-

ta por t f, a la integral.

Obsérvese que, en caso de existir, la integral es independiente del rectán­gulo A considerado ya que XM vale cero en los puntos que no pertenecen a M.

De acuerdo con el teorema de Lebesgue, fxM es integrable en A si y solo si su conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero, lo cual se cumple siempre que tengan medida cero los conjuntos de puntos de discontinuidad de fy de XM• sin embargo, tal como nos muestra el ejemplo siguiente, esto no sería necesario para la existencia de la integral.

·rj 1

13.5. Ejemplo

Sea el conjunto M y la función f definidos por

M = { (x, y) E [0, 1] x [0, 1] : x e y son irracionales}

f(x,y) ={o 2 2 X + y

si x, y son irracionales

en los demás casos

Consideremos el rectángulo A = [0, 1] x [0, 1]. La función característica de M

si (x ,y) e: M

si (x,y) E M

es discontinua en todos los puntos de A = Fr(M) , cuya medida es l. La función !también es discontinua en todo A, salvo en (0, 0). Sin embargo, la función pro­ducto

f(x,y)XM(x,y) = O

es continua en A, y se tiene

Nótese que M no es un conjunto medible-Jordan, ya que Fr(M) tiene medi­da-Jordan uno.

Si suponemos que M es medible-Jordan, es decir su frontera tiene medida cero, es evidente la siguiente versión del teorema de Lebesgue.

13.6. Teorema de Lebesgue para conjuntos acotados

Sea M un subconjunto acotado medible-lardan de JR" y f: M -? lR acotada. f es integrable sobre M si y sólo si su conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero.

De manera natural, el resultado anterior nos lleva a considerar como recin­tos o regiones de integración a los conjuntos medibles-Jordan, sin que ello presuponga la no existencia de la integral en otros casos, tal como muestra el último ejemplo.

Las propiedades de la integral estudiadas en el capítulo anterior se cumplen de forma análoga en caso de sustituirse el rectángulo A por un conjunto medi­ble-Jordan M.

13.7. Nota . · t do y no medible-Jordan de

Supongamos M un subconJunto ab1erto, aco a . A El 0 · M ¡ f ción contmua en . co -R" Sea A un rectángulo que contiene a y ~~a un d fx tiene medida . . d untos de discontinuidad de la funcwn pro ucto M no J~~~o D~ ~cuerdo con la definición dada,fno es.integrable enalA: lo 9~e ~~lpca~~~ e . 1 d ituaciones motivan la gener tzacwn ce muy ~atural. Est~~:: se~!s La técnica utilizada suele ser el uso de parti-

~~~~,~~~~!~~:.n~~e~~:m~;~;;~: ~~;:n=~ ::~~~(7!~:;al~; impropias). No trataremos aquí este tipo de problemas.

3. Recintos de integración. Regiones proyectables

13.8. Definición de recinto de integración

Un subconjunto acotado M de IR" se dice que es un recinto de integración si es medible-Jordan.

Un primer ejemplo de un recinto de integración en el plano, diferente de un rectángulo, son los recintos de ordenadas. Seafuna función real, no negati­va, acotada e integrable Riemann en un intervalo [a, b] de R Probemos que el recinto de ordenadas de f

M = {(x, y) E IR2 : x E [a, b], Os; y s;j{x)}

es un subconjunto medible-Jordan de JR?. En efecto, su frontera formada por tres segmentos y la gráfica de f

Graf.J= {(x, y): x E [a, b], y = fix)}

tiene medida cero en JR?. Es claro que la medida de los segmentos es cero. Por otro lado, como fes integrable en [a, b] se cumple la condición de integrabili­dad de Riemann y dado E> O existe una partición P de [a, b] tal que

111

S(f,P) - s(f,P) = L,(x; -x¡_1)(M; - m;)< E i= l

luego existe una colección finita de rectángulos {Q¡}

Q; = [x;_px;]x [m; ,M;] i = l, 2, ... ,m

que recubren la gráfica, cuya suma de áreas es menor que E (Figura 13.2.a).

/ilVJrL.II!.LlUJV UJ:. CALCULO

,. = j{.r)

o ' '

.~ .-- --- _,

Y = g(x)

b a b X {/

.r .r

a) b)

e)

Figura 13.2. Recintos planos.

El hecho de que la gráfica de una función intecrrable tenga m d'd asegura que también son recintos de intecrración ias regiones r e.~da cero ~os gráficas de dos funciones integrables¡ y~ tales que g(x) < f( )rru as ~or as [a, b] (Fig~ra 13.2.b), y en general cualquier región cuya fro~e~a.:~t~of o x E

da po~ gráficas de funciones integrables. Esta situación se puede creneral·orma-l espacio llt'. e. rzar a

13.9. Proposición

Sea .Q un subconjunto acotado medible-lardan de JR" f Q 1R · ble en .Q. La gráfica de f Y · --7 zntegra-

Graf. f = {(x, y) E JRn+l : X E n, y= f(x)}

tiene medida-Jordan (n + !)-dimensional cero.

J?emostración. Como fes integrable en Q, entonces¡ · . r~ctangulo A q~e contiene a .Q. Por la condición de integr~bi~di:~ef ~le en un fiJado E> O, existe una partición p de A tal que emann,

S(f, P) - s(f, P) < E

~i {Q¡} , i = 1, 2, ... ,pes la subcolección de rectáncrulos de p · sección con .Q 110 es vacía (cortan a .Q) y e. cuya mter-

entonces M; = sup{f(x) : x E QJ m; = inf{f(x) : x E Q;}

p

SCfxn,P)= LIQ;jM; i= l

p

sUxn , P)= LIQ;jm; i= J

/NTt:vRACIUN SUJJJ<J:. CUNJUNJU;) Al.Ulf!.UU.)

Como consecuencia, la familia {T¡} = {Q; x [m;, M¡]}, i = 1, 2, ... , p, de subrectángulos (n + !)-dimensionales recubren la gráfica de f y se cumple

p p

2Jz:l= LiQ;j(M; -m;) =S(fx0 ,P)-s(fx0 .P)<E i=l i=l

luego Graf.jtiene contenido cero. •

Como deducción inmediata de la proposición, se obtiene el siguiente coro­lario.

13. 1 O. Corolario

Sea Q un subconjunto acotado medible-Jordan de R" y f: Q --7 JR una fun­ción no negativa, acotada e integrable en .Q. El recinto de ordenadas

H = {(x, y) E JR.n+I :X E .Q, 0 ~ y ~f(x)}

es medible-Jordan.

De esta manera, la situación estudiada para recintos planos se traslada al espacio n-dimensional (n ~ 2), y cualquier región cuya frontera esté formada por gráficas de funciones integrables es un recinto de integración. La clase de recintos de integración más frecuente en la práctica la constituyen los recintos proyectables. En adelante, supondremos que todos los recintos están limitados por gráficas de funciones continuas.

13.11. Recintos proyectables planos

Un recinto M decimos que es proyectable respecto al eje Ox (al eje Oy) si las rectas paralelas al eje Oy (al eje Ox) que cortan a M determinan un único segmento o un punto.

y

o ~~----~-------------x

Recin to proyectable sobre el eje Ox

Recinto proyectable sobre el eje Oy

Figura 13.3. Recintos planos proyectables y no proyectables.

y y

o Recinto no proyectable

sobre ningún eje

-,------------------x

Figura 13.3 bis. Recintos pi

Recinto proyectable sobre Jos dos ejes

anos proyectables y no proyectables.

. A los recintos proyectables sobre el e·e O tipo l . Los recintos limitados por d J x se les llama regiones planas de 1 · os curvas y = ( ) _ .

e mtervalo [a, b] son regiones de tipo 1 (F" y, x 'y - y2(x) defirudas en

y

Igura 13.4).

M= {(x, y) E R_2 : y,(x) S y Syix); x E [a, b]}

y y y = y,(x)

!e;] y= y (x)

a b X a b X

Figura 13.4. Regiones planas de ti 1 po .

y = Y ¡(X)

a b X

. A los recintos proyectables sobre el e ·e O tipo 2. Los recintos limitados por dos J Y se les llama regiones planas de un · 1 al curvas x = x (y) _ (y) . .

m erv o [e, d] son regiones de tipo 2 (Figura u'.s).' x- Xz deftmdas en

M= { (x, y) E R_2 :X¡ (y)$ X$ Xz(y) ; y E (e, d]}

~ los recintos proyectables sobre los d . de ttpo 3 (Figura 13.3). os ejes se les llama regiones planas

J/V ..l LJV.I....,~ -., ........ • ...,.....,.....,. .. ~ ..... ...... ........ .. - - -.-- - -- -

y

d ----~-x=xz(y) x = x1(y)

e

X X

Figura 13.5. Regiones planas de tipo 2.

y

d--<> e

X

En general los recintos no son proyectables, pero en la mayor parte de los casos se pueden descomponer como un número finito de recintos proyectables. La integral sobre el recinto total es la suma de las integrales sobre los recintos parciales (Figura 13.6).

y

o

M=M1 uM2 M1 proyectable sobre Ox M2 proyectable sobre Oy

X

y

o

M=M1 uM2

M1 y M2 proyectables sobre Ox

Figura 13.6. Recintos no proyectables.

X

El caso de los recintos del espacio es análogo a los del plano. Aquí la pro­yección se considera sobre uno cualquiera de los tres planos coordenados .

13.12. Recintos proyectables en el espacio

Un recinto M de JR3 decimos que es proyectable respecto a un plano coor­denado si las rectas perpendiculares al plano que cortan a M determinan un solo segmento o un punto.

X

X

y

Recinto proyectable sobre xz no proyectable sobre .:ty

z

Recinto no proyectable respecto a ningún plano coordinado

X

y

X

_¿ _____ 7 Recinto proyectable sobre .ry

no proyectable sobre xz

z

Recinto no proyectable respecto a ningún plano coordenado

Figura 13. 7. Recintos proyectables y no proyectables.

y

A los recintos proyectables sobre el lano pla~o yz, se les llama respectivamente re~ione x~ s~.bre el plano ~· y sobre el es Simultáneamente de tipo 1 2 y 3 d. 5 e Ipo 1, 2 Y 3. SI una región

. • se Ice que es de tipo 4. . Los recmtos M limitados por dos superfi · _

rudas en una región plana n de tipo 1 d t CI~s zd- z, (x, y), z = z,(x, y) defi-- ( ) e ermma a por d -

y- Y2 x 'x E [a, b] que se pueden describir por os curvas Y = Y/x),

M=. {(x, y, z) .E JR3 : x E [a, b], y,(x) $y$ Ylx) 'z, (x, y)$ z $ z,(x, y)} son regiones de tipo l. Análogamente la a· -e~tar determinada por dos curvas x = 'x ;)o~ó~ plana n puede ser de tipo 2 y VIene descrito por 1 ' - Xz(y), Y E [e, d] . Entonces M

M= {(x, y, z) E R.3 ; y E [e, d], x1(y) $ x $ x2(y), z1(x, y)$ z $ z2(x, y)}

' p z = z1(x,y)

e : d ?---~--------.~-~------~--------~---y

X ,'

Figura 13.8. Región M de tipo l.

Nótese que las rectas paralelas al eje Oz que pasan por un punto interior del recinto n cortan a la frontera de M como máximo en dos puntos.

De la misma manera, se pueden determinar regiones de tipo 2 y 3 inter­cambiando, respectivamente, los papeles de x y z e y y z. Obsérvese que una región de tipo 4 se puede describir de cualquiera de las f01mas y que las regio­nes no proyectables en la mayor parte de los casos, se puede descomponer como un número finito de regiones proyectables. La integral sobre una región es la suma de las integrales sobre las regiones en que se descomponen.

4. Integración reiterada. Teorema de Fubini

El problema de calcular integrales múltiples sobre un rectángulo A de R", n > 1, en condiciones muy generales, se reduce al cálculo de integrales simples sobre intervalos cerrados de R La idea intuitiva es la siguiente, seafuna fun­ción positiva, integrable en el rectángulo A = [a, b] x [e, d] , que define una por­ción de superficie z = f(x, y). La integral de f sobre A es el volumen del cilin­droide de base A limitado por la superficie. Por otra parte, podemos calcular dicho volumen descomponiendo el cilindroide en bandas paralelas al plano yz y sumando los volúmenes de todas ellas (Figura 13.9.).

e

d

X

y

Figura 13.9. Integración reiterada.

'1

~·

~1

El volumen aproximado de cada banda sería el área de la cara por su anchura.

en donde x es un punto fijo comprendido entre x;_1 y x;.

La suma de los volúmenes de todas las bandas nos sugiere que el volumen total venga dado por la integral reiterada

J: dx J:J(x,y)dy

o bien, en caso de considerar franjas paralelas al plano xz, por la integral reite­rada.

Al margen de las consideraciones intuitivas hechas, podemos preguntarnos en qué condiciones las integrales reiteradas existen, son iguales y coinciden con la integral doble. De esta manera, disponemos de un método para calcular integrales dobles por medio de integrales simples.

Establecemos un primer resultado para funciones de dos variables y poste­riormente un resultado general con hipótesis menos restrictivas, que se conoce con el nombre de teorema de Fubini.

13.13. Teorema (integración reiterada)

Sea f integrable en A = [a, b] X [e, d]. Si para cada x de [a, b] e y de [e, d] existen las integrales

entonces se cumple:

f f(x,y)dxdy = Jb ctxJdf(x,y)dy = Jd dyJbf(x,y)dx A a e e a

Demostración. Vamos a razonarlo para la primera integral reiterada, análoga­mente lo haríamos para la segunda. Sea P = P 1 x P2 una partición de A, en donde

P 1 ={a=x0,x1, ••• ,x,., ... ,x11 =b} ; P2 ={c=y0, y 1, • • • ,yq, .. . ,y111

= d}

y sean las funciones

g(x) = J:f(x,y)dy gq(x) = r· f(x,y)dy Yy-1

Supongamos que Mrq y m,." son el supremo y el ínfimo de f en el subrec­

tángulo Q,r¡ = [x,._p x,.] x [yq-P y"] . Se verifica:

mn1(ylf- Yq-1) ~ g,¡Cx) ~ Mrr¡(yq- Y,r¡)

para cada x E (x,._p x,.]. Sumando respecto a q, se tiene:

111 m m

""m (y -y 1

) s"" g (x) = g(x) s"" Mrc/Yq - Yq-t) ~ rq q q- ~ q ~ q=l q=l q=l

Fijemos para cada r un punto x,. del intervalo [x,_p x,.]. Si multi~licamos la desigualdad anterior por (x,.- x,_1) y sumamos respecto de r, resulta.

11 m

s 'L<x,. -x,_1)LM,.q(yq- Yq-l) r=l q=l

o lo que es quivalente:

11

s(f, P) ~ 'LCx,- x,_ 1 )g(x',.) S S(f, P) r=l

ya que

s(f,P) = Lm,q(x,- x,_1 )(yq- Yq-l) r,q

S(f, P) = L M ,q (x,.- x,_1 )(yq - Yq-1) r,q

Como fes integrable en A, de la desigualdad, se deduce que g es integrable en [a, b], pues el ínfimo de S(f, P) y el supremo de s(f, P), cuando PE 9 (A), son la integral de f en A. Por lo tanto

b fb Jd Lf(x,y)dxdy =Lg(x)dx = a dx JCx,y)dy . •

Si en vez de un rectángulo se considera un recinto de integración M de tipo 1.

M = { (x, y) E R 2 : h 1 (x) S y S hix) , x E [a, b]}

entonces

J Jb Jh,(x)

Mf(x,y)dxdy = a dx "1-(x) f(x,y)dy

Análogamente, si M es un recinto de tipo 2

M= {(x, y) E ~_2: g1(y) $X$ g2(y), y E (e, d]}

entonces

f f( fd fg, (y) M x,y)dxdy = dy · f(x,y)dx

e g¡ ( y)

13.14. Ejemplos

l. Sea f: M ~ lR una función integrable en M, en donde

M= { (x, y) E lR2 : x 3 $y $ x2 ; x E [O, 1]}

entonces

JMJ(x,y)dxdy = J~ dx D2

f(x,y)dy

2. La integral de .f(x, y) = .xy sobre

M = { (x, y) E lR 2 : sen y $ x $ cos y , y E [0, 1t/4 J}

viene dada por

f 111/4 J.cosy f(x,y)dydx = ydy xdx

M O -y

El proceso _anterior se co?oce como integración reiterada y las integrales del segundo rmembro como mtegrales reiteradas. En el teorema siguiente se su~~ne una función integrable f en un rectángulo A x B de dimensión nm sin ex1g1r que la ~estricción f(x0, y) sea integrable en B, tal como hacíamos ~n el teorema antenor.

13.15. Teorema de Fubini

Sea A un rectángulo cerrado de lR.", B un rectángulo cerrado de JR.m y f : A X B ~ lR. una función integrable en A x B. Para cada punto x E A se define la función gx: B ~ lR. por gx(Y) = f(x, y). Si

F(x) = J8

gx(y)dy = f/Cx,y)dy

G(x) = j8

gx(y)dy = .Lf(x,y)dy

entonces

L xsf(x,y)dxdy =L F(x)dx =L[Lf(x,y)dy]dx

L x/(x, y)dx dy = L G(x)dx = L [J/(x, y)dy ]dx

En caso de ser gx integrable en B para cada x E A, se tiene F(x) = G(x), y por ZÓ tanto

Demostración. Probemos la primera igualdad, la segunda se demuestra de la misma manera.

Sea P A una partición de A y P 8 una partición de B. Ambas definen una par­tición P de A x B, cuyos rectángulos Q son de la forma Q = QA x Q8 • Desig­nemos, respectivamente, por D(PA), D(P8 ) y D(P) las familias de rectángulos correspondientes a las particiones PA, P8 y P. Se tiene

S(f,P) = LM(f,Q)IQI= LM(f,QA XQa)IQAIIQal = Qe D(P) QeD(P)

Para cada x E A se cumple:

M(f, Q) = sup {f(x, y) : (x, y) E Q} 2:: sup {gx(y) :Y E Q8 } = M(gx, Q8 )

entonces

LM(f,QA XQa)IQal2=: LM(gx,Qa)IQal2=: Tagx = F(x) Q8 eD(P8 ) Q8 eD(P8 )

Sumando respecto a QA E D (P A), resulta

S(f,P) 2:: LM(F,QA)iQAi 2:: S(F,PA) QAeD(PA)

Análogamente se prueba que

s(f, P) $ s(G, PA)

Por otro lado, como siempre se cumple

s(G, PA) $ s(F, PA)

se tiene

'• ••

'1

Ahora bien, por ser !integrable en A x B:

sup {s(j, P): PE .9(A X B)} = inf {S(j, P): PE .9(A X B)}

por lo tanto

sup{s(F,PA) : PA E .9(A) }= inf{S(F,PA) : PE 9(A)} = J f(x,y)dxdy AxB

con lo que F es integrable en A, y su integral en A es igual a la integral de f en AxB

f F(x)dx=J f(x,y)dxdy A AxB

tal como queríamos demostrar. •

13.16. Nota

Obsérvese que si hubiésemos considerado la función gY: A --7 lR definida por gy(x) = f(x, y) , la conclusión del teorema sería análoga aunque las integra­les iteradas aparecería en el otro orden, es decir

Lx8

f(x, y)dx dy = fs[L f(x, y)dx] dy

En el caso de un rectángulo A= [a¡. b¡] x [a2, bz] x .. . x [a11

, b11

] si las suce­sivas funciones que aparecen en las integrales reiteradas son integrables (por ejemplo si f es continua), aplicando repetidamente el teorema de Fubini se obtiene

lo que reduce el cálculo de la integral múltiple al cálculo de n integrales simples.

Si en vez de un rectángulo consideramos una región M de R 3 de tipo 1, 2 ó 3, podemos expresar los límites de integración como en el caso de recintos planos.

Por ejemplo, si

M = {(x, y, z) E R3: x E [a, b], y 1(x)::; y::; yix), z1(x, y) ::; z::; z2(x, y)}

M'= {(x, y, z) E R3: y E [e, d], x1(y) ::; x::; x2(y), z1(x, y)::; z::; zz(x, y)}

M" = {(x, y, z) E R3: z E [a,~], X1(::) s;xs;x~(::). y1(.r, z) ::;y :s;yix, z)}

resulta

f fb [fy' (x) [ f z' (x, y) J ] f(x,y,z)dxdydz = - - f(x,y,z)dz dy dx M a y 1 (x) z1 (x,y)

f Jd [fX? (y) [fz, cx.y ) J J f(x,y,z)dxdydz = - - f(x , y,z)dz dx dy M' e x1 (y) z1 (x,y)

..

f . J.~ [J r(-) [Jy, (x, z) J ] ..f(x,y,z)dxdydz = ·' ·· - f(x,y,z)dy dx dz M o: .1):) y 1 (x ,z)

y del mismo modo con cualquier otro recinto descrito de forma análoga

13.17. Ejemplo

Seaf(x, y, z) = x l z3 y M la región de R3 limitada por la superficie z = xy y los planos y = O, y = x, x = 1, z = O, es decir

M= { (x, y, z) E R3 : O ::; x::; 1 , O ::; y::; x , O ::; z ::; xy}

se tiene

= - x 5ldy dx= -x12dx=-il[ix1 ] il 1 1 o o 4 o 28 364

CAPÍTULO 14

Cambio de variable y aplicaciones de la integral

1 . Cambio de variable en la integral múltiple. 2. Aplicaciones geométricas de la integral. 3. Aplicaciones físicas de la integral.

PRERREQUISITOS

• Integral simple. Cambios de variable. Métodos de integración.

• Integral múltiple. Concepto de integral. Propiedades.

• Conjuntos medibles-Jordan.

• Integración sobre conjuntos acotados.

• Recintos de integración. Recintos proyectables.

• Integración reiterada. Teorema de Fubini.

• Conceptos físicos: masa, centro de gravedad, momentos de inercia, densi­dad, temperatura, etc.

ESQUE~SU~N

• Cambio de variable: A e JR" abierto, g : A ---7 lR" cambio de variable, f: g(K) ---7 lR integrable en g(K), K compacto medible Jordan de A

f f(x)dx =J f(g(u))!J(u)ldu. g(K) K

• Área de un recinto plano M:

• Volumen de cuerpo M en ~_3:

• Volumen de un cuerpo de revolución engendrado por un recinto plano M' al girar alrededor de un eje r.

- Sir es el eje Ox e y~ O para todo (x, y) E M'

V= 2nJM_ydxdy

- Si M' es un recinto de ordenadas de h(x) ~O

V = 1t J:h(x)2 dx

- Si M'= {(x, y) E JR2 : O~ g(x) ~y~ h(x), x E [a, b]}

V= 1t J:[h(x)2

- g(x)2 ]dx

• Baricentro (b1, b2 , ••• , b,) de M.

b. = -1- J x,. dx1 dx~ ... dx,, 1 IMI M -

• Teorema de Guldin: Si (x0 , y0) es el baricentro de M', el volumen del cuerpo engendrado al girar M' alrededor del eje Ox es V= 2ny

0 IM'I.

• Masa total m de un cuerpo M de densidadf(x, y, z):

m= Lf(x,y,z)dxdydz

• Centro de gravedad: (a, b, e)

a= _!_J xf(x,y,z)dxdydz mM

b = .lJ yf(x, y ,z)dxdydz m M

e= .lJ zf(x, y,z)dxdydz m M

• Momentos de inercia respecto a los ejes

¡x = L<l +l)f(x,y,z)dxdydz

1" = f) z 2 +x2 )f(x, y,z)dxdydz

¡_ =J (x2 +/)f(x, y,z)dxdydz - M

• Momento de inercia respecto de una recta r:

¡ = J d(x,y, z )2 f(x,y,z)dxdydz r M

d distancia de (x,y, z) a r.

• Centroide: centro de gravedad de un sólido de densidad constante. Es el bari­centro de la figura geométrica.

• Valor medio Vm de f en M:

V _ fJLJ( x,y,z)dxdydz

"'- fJLdxdydz

• Potencial newtoniano respecto a un punto (a, j), Y)

J 1 f(x,y,z)dxdydz

M d(x,y, z )

d (x, y, z) distancia de (a, j), y) al punto (x, y, z).

l. Cambio de variable en la integral múltiple

En la integral de funciones de una variable, si g es un cambio de variable de clase uno en un abierto A de R, el intervalo [a, b] está contenido en A y fes una función real integrable en el intervalo [g(a), g(b)] sabemos que se cumple:

Jg(b) fb

f(x)dx = f(g(t))lg'(t)ldt. g(a) a

Consideraremos un abierto A de R2, un cambio de variable g de clase uno

en A definido por las ecuaciones x = x(u, v), y= y(u, v). Si K es un subcon­junto compacto medible-Jordan de A y f" g(K) ---7 R es integrable en g(K), entonces se cumple la siguiente fórmula de transformación de integrales dobles.

(1) JJ f(x,y)dxdy=JJ f(x(u,v),y(u,v))!J(u,v)!dudv g(K) K

Esta expresión es análoga a la de una variable. K y g(K) hacen el papel de los intervalos [a, b] y [g(a ), g(b)]. El valor absoluto deljacobiano J(u, v) de g se corresponde con la derivada g' (t) (podemos suponer g' (t) >O, pues si g'(t) <O, g es decreciente y la imagen de [a, b] es [g(b), g(a)]. Notemos que J(u, v)-:;:. O para todo (u, v) de A, por ser g un cambio de variable, y que T = g(K) es un recinto de integración en el plano .xy, pues g transforma conjuntos medibles-Jordan en conjuntos medibles-Jordan (véanse los ejercicios de autocomprobación).

Vamos a razonar intuitivamente la fórmula (1) en dos etapas. Primero mediante una sencilla interpretación geométrica de

76 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

obtenida de (1) en el caso particular f(x) = l. A partir de aquí veremos que (1) se cumple para cualquier funciónfintegrable en T = g(K).

Sea L un rectángulo que contenga a K y Puna partición deL (Figura 14.1). Cada subrectángulo Q;¡ de la partición,

Q;¡ = {(u¡, v¡),(u;w v¡),(u;, V¡+1),(u;w vj+t)}

se transforma por medio de g en un paralelogramo curvilíneo g(Q;¡) limitado por las cuatro curvas imagen de los cuatro lados de Q;¡.

V y

.......

/ """ ( ) \ K/

........... ....... T=g(K¡

u X

Figura 14.1. Transformación por g.

Por otra parte, Q;¡ se transforma por medio del homorfismo Dg(u;, v) en un paralelogramo H;¡. Entonces los vectores (u;+t - u;, O) y (0, vi+l- v¡) lados de Q;¡ se transforman en los vectores

V = Dg(u;, v¡) (0, vi+l - v)

tangentes a las curvas de g(Q;¡) en el punto (u;, v¡). (Figura 14.2.)

V y

X

Figura 14.2. Transformación de un rectángulo.

CAMBIO DE VARIABLE Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL 11

El área del paralelogramo H;¡ viene dada por

IH) = IIU 1\ VIl = ll(u, v)l (u;+t- u¡) (vi+l - v¡)

ya que

J k

U 1\ V= X11(u;, V¡) xv(u¡, v¡) O (u;+t -u¡)( vi+! -v¡)

Y11 (U¡, v¡) Yv(U¡, v) O

y es aproximadamente igual que el área del paralelogramo curvilíneo g(Q;)· Entonces la suma S de las áreas de todos los paralelogramos H;¡ tales que Q;¡ corta a K

S = IIJ(u¡, vi>\Cui+t - u;)(vj+I -v) i ,j

aproxima el área de T

Por otro lado, como

inf { IJ(u, v): (u, v) E Q;¡} ~ ll(u;, v¡)l ~ sup {IJ(u, v)l: (u, v) E Q;¡}

S está comprendida entre una suma inferior y una suma superior de Rie­mann de J(u, v) respecto a la partición en K, y S aproxima a la integral

En consecuencia, parece natural que ambas integrales sean iguales y se cumpla la igualdad (2).

El razonamiento anterior no constituye ninguna demostración de (2), pero puede considerarse la idea fundamental en la que se basa. Admitida la certeza de (2), es claro que una función constante f(x, y) =e también satisface

Esto nos permite demostrar que la fórmula de transformación (1) es válida para cualquier funciónf integrable en T.

En efecto, sea F: R" --7 lR definida por

_ {f(x,y) si (x,y) E T F(x,y)- O si(x,y)~T

------------~~-~~

Evidentemente, las inteo-rales de F f b . rectán?~lo H que contenga~ T, una p~ci~~ ;e T son tgu~les. Supongamos un coleccwn de subrectángulos de p Se F 1 fu d~ _H y des~gnemos por D(P) la

a Q a nc1on defiruda por

FQ(x,y) :=: {m(F, Q) = inf{ F(x,y): (x,y) E Q)} si (x,y) E Q

O si (x,y)eQ

t~niendo en cuenta que se cumple la fónn cwnes constantes F y que F (x y)< F( ul)a de transformación para las fun-

por lo tanto

Q Q ' - x, y para todo (x, y) E Q, resulta

s(F,P) ::; Lm(FQ,Q)jQjs L JJ FQ(x,y)dxdy::: QeD(P) QeD(P) Q

:=: Qe~P) JJg-'<Q) FQ(x(u, v),y(u, v))jJ(u, v)jdudv $

$ L JJg-' (Q) F(x(u, v),y(u, v))/J(u v)jdudv < ~~~ ' -

$ JJ8-•(H) F(x(u, v),y(u, v))/J(u, v)jdudv::;

$ JJKF(x(u, v),y(u, v))/J(u, v)jdudv

JJTF(x,y)dxdy $ JJKF(x(u, v),y(u, v))/J(u, v)jdudv

Análogamente, si consideramos la función

F; ={M(F,Q):::sup{F(x,y):(x,y)EQ} si (x,y)EQ

O si (x,y)eQ

obtenemos

JJK F(x(u, v),y(u, v))jl(u, v)jdudv $ JJTF(x,y)dxdy

Y las dos integrales son iguales.

Los_ razonamientos hechos para dos variabl . sea la dimensión n del espacio Enun . 1 es son válidos cualquiera que

. ctamos e teorema en este caso.

14.1. Teorema del cambio de variable en la integral múltiple

Sea A un abierto de R" y g: A ~ R " de clase uno en A, inyectiva y tal que det g'(u) ;;; O para todo u E A. Si K es un subconjunto compacto medible-Jor­dan de A y f: g(K) ~ R es integrable en g(K), entonces f o g: K ~ R es inte­grable en K y se verifica

I f(x)dx :::J f(g(u))Jdet g'(u)Jdu g(KJ K

Si T = g(K) y h = g- 1, podemos expresar la fórmula anterior de la siguien­

te manera

f f(x)dx = J f(g(u))Jdetg'(u)Jdu r· !t(TJ

De acuerdo con el teorema de Sard véase [16] si g: r\ ~ R" es diferen­ciable con continuidad (de clase uno) en A, el conjunto de puntos en los que se anula det g' tiene medida cero. Por lo tanto, podemos suprimir del enunciado del teorema la hipótesis det g'(u);;; O para todo u E A.

14.2. Ejemplo

Supongamos que g es el cambio de coordenadas polares

X = p COS e y = p sen e cuyo jacobiano es p. Si T es un subconjunto compacto medible-Jordan del plano xy, la fórmula de transformación viene dada por

If f(x,y)dxdy=JJ j(pcose,psene)pdpde r· Jo<T)

en donde h = g-1• Por otro lado, un rectángulo del plano pe se transforma en

un paralelogramo curvilíneo del plano xy, cuyos lados son dos arcos de circun­ferencias concéntricas y dos segmentos de radio.

e

--------o --·--- --

' ' ' ' ' ' '

y

p

.. 0 --' '

' ' ,• '.· ,_.

Figura 14.3. Transformación en coordenadas polares.

X

Sean fix, y) =Y!-- Y2

Y T = { (x, y) E 1R2 : l $Y!- + l $ 4} , entonces

h(T) = g-lcn = {(p, o) E JR2 : I $ P $2, o$ e$ 21t}

Y el valor de la integral de f sobre T resulta

ff7 Cx2 -/)dxdy = JL

7l 2

(cos2 e-sen2e)pdpde =

( 21[ 2 2 f2 1 5 2

=Jo (COS e-sen e)deJI p3dp=-f ~Os2ede = O 1 4 Jo

2. Aplicaciones geométricas de la integral

La medida de un subconjunto acotado medible-Jordan M es la integral sobre M de su función característica. La integración reiterada y las propiedades geométricas de algunos conjuntos nos permiten, en ciertos casos, expresar las áreas y volúmenes de manera sencilla.

14.3. Área de un recinto plano

El área de un recinto plano M viene dado por

S = Jtdxdy

siempre que dicha integral exista.

Si M es proyectable sobre el eje Ox y viene limitado por las curvas y = y1(x) , y = yz(x) definidas en el intervalo [a, b], tales que y2(x) ~ y1(x) para todo x de [a, b], se tiene

En el caso particular de que y1(x) =O, resulta

S = J>2(x)dx

que es el área del recinto de ordenadas de y = yz(x) en [a, b ].

Si M es proyectable sobre el eje Oy y viene limitado por las curvas x = x1(y), x = Xz(y) definidas en el intervalo [e, d], tales que x2(y) ~ x1(y) para todo y de [e, d], se tiene

S= r [x2(y)-x¡(y)]dy

En el caso particular de que x1(y) = o, resulta

14.4. Ejemplo

El área comprendida entre la recta y - x _ 1 - o , 2 viene dada por la integral - Y la parabola 2y + x = O,

fl /2[ ., 9 -1 -2y--(y-1)]dy=8

ya que X¡ (y) =y- 1, x2(y) = -2l [e d] - [ 1 1/2] L lo son las soluciones de la ecuaciÓn '_2l-=; ~ l. · os extremos del interva-

14.5. Volumen de un cuerpo

El volumen V de un recinto M del espacio tridimensional viene dado por

V= JJtdx dy dz

siempre que dicha integral exista.

- - Sea M un recinto proyect~~le sobre el plano xy, limitado por las su erfic. <-1- Z¡(x, y), z = Zz(x, y), defmtdas en el recinto M' proyección de Mp b Iesl

P ano xy y tales que so re e

zix, y)~ z1(x, y)

. Supongamos que M' está limitado por las curvas - ( mdas en el intervalo [a, b] y tales que Y- Y1 x), Y= Yix), defi-

y2(x) ~ Y1(X)

El volumen de M viene dado por

V= Jb dxJY1(x)[ a y,(x) z2(x,y) - z¡(x,y)]dy

En caso de ser Z¡(x, y) =O, es decir el plano xy, resulta

V= J: dx J~::~:> z2 (x, y)dy

Podemos obtener expresiones análoo-a . otros planos de coordenadas. Por ejemplo~ ~ara recmtos proyectables sobre los

M= {(x, y, z) E R.3 : x2(y, z) ~ x ~ xiy, z), z1(y) ~ z ~ z2(y), y E [a, b]}

se tiene

fb Jz, (y)[ ] V= dy - x2(y,z) - x1(y,z) dz a z1 (y)

14.6. Ejemplo

El volumen comprendido entre el paraboloide z = x1 + l y el plano z = 1 viene dado por la integral

JI J~l+xl 2 2 V= _

1dx _.J¡_x 2 (1-x -y )dy

ya que

M = {(x,y,z)E R.3 :~+/~z~1, - .J1+x2 ~y~.J1+ x2 , xE[-1,1]}

Para facilitar los cálculos, en el caso de un recinto plano con un eje de simetría es suficiente determinar el área de una de las partes simétricas. Aná­logamente, en el caso de un recinto tridimensional con un plano de simetría es suficiente determinar el volumen de una de las partes simétricas.

Supongamos en un plano M un subconjunto M' y una recta r tal que M' está · situado en uno de los semiplanos determinados por r. Si M' es un subconjunto medible-Jordan tratamos de averiguar el volumen de la región H engendrada al girar M' alrededor de r. El plano M lo podemos considerar en lR? y fijar un sis­tema de referencia de modo que M coincida con el plano xy y la recta r con uno de los ejes de coordenadas.

14.7. Volumen de un cuerpo de revolución

Si A' es un subconjunto medible-Jordan de JR.Z, tal que y ~ O para todo (x, y) E A', el subconjunto H engendrado por la rotación de A' alrededor del eje Ox es medible-lardan y su volumen viene dado por la integral

V = 27t L,ydxdy

En efecto, como A' es medible-Jordan, la integral anterior existe siempre. Razonemos que la medida de Hes la expresión dada. Sea P una partición cual­quiera de A' y Q un subrectángulo de P Designemos por

m(y, Q) = inf {y: y E Q} M(y, Q) = sup {y: y E Q}

el volumen V(Q) del cuerpo engendrado por Q al girar alrededor del eje Ox está comprendido entre 27tm(y, Q) IQI y 27tM(y, Q) IQI y el volumen total V entre las sumas de Riemann

84 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

2nLm(y, Q) IQI ::; v::; 2nLM(y, Q) IQI por lo tanto V es igual a 27t por la integral de j(x, y) =y sobre A'.

En caso de ser A' un recinto de ordenadas definido por

A'={(x,y)E lR2 :0$y$h(x),x E [a,b]

el volumen de 1t viene dado por

V=nJ:h(x)2 dx

pues, razonando igual que antes, para cualquier partición P de [a, b], el volu­men V está comprendido entre Jas sumas de Riemann

nLm(h2, Q) IQI ::; v::; rcLM(h2

, Q) IQI

Si el recinto A' viene definido por

A' = {(.x, y) E JR2: 0 $ g(x) $y$ h(x), X E (a, b]}

es claro que V viene dado por

De forma análoga, si hubiésemos supuesto que x ~ O para todo (x, y) de A' y considerásemos el giro alrededor del eje Oy, obtendríamos las fórmulas corres­pondientes para el volumen de H sin más que permutar las variables x e v.

14.8. Definición de baricentro

Sea M un subconjunto medible-Jordan de R" con medida IMI distinta de cero. Se llama baricentro de M al punto b = (b" b2, •.. , b

0) cuyas coordenadas

vienen dadas por

b¡ = l~l tx¡ dx¡ dx2 ••• dxn

Si M es simétrico respecto a un hiperplano H, el baricentro se encuentra en H. En el caso particular de que M posea centro de simetría, el baricentro coin­cide con él. (Véase [5] tomo 3, capítulo 9.) El resultado siguiente resulta muy útil en algunas ocasiones.

14.9. Teorema de Guldin

Sea A' un subconjunto medible-Jordan de lR2, con medida distinta de cero,

tal que y~ O para todo (x, y) de A'. El volumen V del cuerpo M engendrado al girar A' alrededor del eje Ox es igual al producto del área de A' por la lon­gitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

CAMBIO DE VARIABLE Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Demostración. Sea (x0, y0) el baricentro de A'. Como

V=2nt,ydxdy

y por defrnición

__ 1 f dxd Yo - \A'\ A'y y

resulta

V = 2rc Yo IA'I •

85

El teorema anterior se ha enunciado considerando que A' está contenido en el plano xy y que y ~ O para todos sus puntos, por lo tanto el eje de giro es Ox. Sin embargo, el resultado es válido cualquiera que sea el plan~ en el que se encuentre A', siempre que A' esté situado en uno de los dos sermplanos d~ter­minados por el eje de giro. Nótese que el volumen es independiente del siste­ma de referencia.

e

3. Aplicaciones físicas de la integral

Consideremos un conjunto den masas m1, m2, ••• ,m,. situadas cada una de ellas en los puntos P1, P 2, •.• , P" del espacio JR?. Si designamos por O el origen de coordenadas, el centro de gravedad del sistema se define como el punto G determinado por

11

ImkOPk OG ==k=='---

" Lmk k=l

Si las coordenadas de Pk son (xk, yk, zk) y las de G son (a, b, e), proyectan­do sobre los ejes la igualdad anterior, obtenemos

en donde /1

m=Imk k=l

designa la masa total del sistema.

Se llama momentos de inercia del sistema respecto a los ejes Ox, Oy, Oz a las expresiones:

/1 /1 11

Lmk(yf + zf) Imk(zi +xf ) Imk(xi +yf) k= l k=l k= l

88 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

y productos de inercia a las expresiones 11

L,mkykzk k=l

11

L,mkxkzk k=l

11

L,mkxkyk k= l

El potencial newtoniano del sistema respecto de un punto determinado P = (a, p, y) viene dado por

en donde

Supongamos ahora un sólido cuya masa m se distribuye en una región M del espacio JR?. Si su densidad viene definida mediante la funciónflx, y, z), por analogía con el caso discreto, definimos su masa por

m= JJJMJ(x,y,z)dxdydz

Entonces las coordenadas (a, b, e) del centro de gravedad vienen dadas por

a= _!_JJJ xf(x,y,z)dxdydz m M

b = _!_JJJ yf(x,y,z)dxdydz m M

e= 1~ fJJM if(x,y,z)dxdydz

los momentos de inercia respecto a los ejes Ox, Oy, Oz vienen dadas por

l, = JJL<i +z2)f(x,y,z)dxdydz

lY = fJLCz2 +x2 )f(x,y,z)dxdydz

l~ = fJLCy2 +x2 )f(x,y,z)dxdydz

y los productos de inercia por

fJLyzf(x,y, z)dxdydz JffM zx f(x,y, z )dxdydz

fJJMxy f(x,y,z)dxdydz

CAMBIO DE VARIABLE Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL 89

Si r es una recta cualquiera y d(x, y, z) es la distancia del punto (x, y, z) a r. el momento de inercia del sólido respecto a r viene dado por

1, = fJLd(x,y,z)2 f(x,y,z)dxdydz.

Se llama densidad media del sólido al cociente entre la masa m y el volu­men que ocupa. Por lo tanto

D- m - fJLdxdydz

Si la densidad del sólido es constante, el centro de gravedad se suele deno­minar centroide y se encuentra en sus elementos de simetría, siempre que éstos existan. Por ejemplo, el centroide de una esfera es su centro geométrico. El centroide es el baricentro de M.

En general, si j(x, y, z) es una función cualquiera definida en M, se llama valor medio ~" de f en M a

fJJ f(x,y,z)dxdydz V -=.::..!!M~;-:--------

111- JfJMdxdydz

Por ejemplo, sifindica la temperatura de M, entonces V,, es la temperatu­ra media.

Finalmente, el potencial newtoniano con relación a un punto P = (a, p, y) es la integral

Jff 1 f(x,y,z)dxdydz

M d(x,y,z)

en donde

d(x,y,z) =~ex - a)2 +(y- P)2 + Cz- y?

14.10. Ejemplos

l. Sea M el sólido comprendido entre el cono z = +~ x2 + l y el cilindro r + l = 4, cuya densidad k suponemos constante.

Calculamos su masa, su centroide o baricentro y los momentos de inercia respecto a los ejes, utilizando coordenadas cilíndricas para resolver las inte­grales.

a) Su masa viene dada por

m= Jftkdxdydz = kfo21tfo2f:pdedpdz = 163k7t

b) Como la densidad es constante, las coordenadas (a, b, e) de su centro de gravedad son las del baricentro. Por simetría se encuentra en el eje Oz, con lo que a= b =O.

e=_!_ JfJ zkdxdydz=.!:_ f21t f2fPpzdedpdz=l m M m Jo Jo Jo 4

e) Los momentos de inercia respecto a los ejes son

Ix = JfJM<i + z2)kdxdydz =k fo21t fo2f:p(p2 sen2e+ z2)dedpdz =

f 21t f2 4 2 1 k25 127t 1 32k7t =kJo J¡ p (sen e+-)dedp=- (sen2e+-)de=--

o 3 5 o 3 3

¡Y= Jft (xz + z2)k dxdydz =k J:1t fo2f:p(p2 cos2 e+ z2)dedpdz = 323kn

/z = Jft<x2 + i)kdxdydz = kfo21t fo2f:p3 dedpdz = 645k7t

. 2. Sea el cubo M= [0, 1] x [0, 1] x [0, 1] y sea T(x, y, z) = x +y + z la fun­~Ión temperatura de M. Determinemos los puntos del cubo cuya temperatura es Igual a la temperatura media de M.

Como el volumen de M es 1, la temperatura media viene dada por

T;, = JfJM(x+y+z)dxdydz= J~J~J:<x+y+z)dxdydz =~

Los puntos cuya temperatura es la temperatura media cumplen

3 x+y+z=-

2

y son la intersección del plano con el cubo.

CAPÍTULO 15

Integral curvilínea

l. Integral curvilínea. 2. Teoremas fundamentales de la integración de línea. 3. El teorema de Green. 4. Aplicaciones de la integral de línea.

PRERREQUISITOS

• Intecrral de Riemann de una variable. Propiedades. Teoremas fundamentales 1::>

del cálculo integral.

• Diferenciabilidad de campos escalares y vectoriales.

• Gradiente y función potencial.

• Teorema de igualdad de las derivadas cruzadas.

• Conjuntos conexos por arcos.

• Curvas alabeadas y curvas planas.

• Curvas regulares a trozos.

!1

92 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ESQUEN.UVRESU~N

• Integral curvilínea de un campo vectorial:

• Otra notación:

• Integral curvilínea de un campo escalar

• Primer teorema fundamental: si fes un campo vectorial cuya integral de línea es independiente del camino, entonces f es un gradiente.

• Segundo teorema fundamental: Si F es un campo escalar

fe VF·da.= F(Q) - F(P)

en donde P y Q son los extremos de un arco regular a trozos.

• Teorema de caracterización de un campo gradiente: Son equivalentes:

a) fes un gradiente.

b) La integral de línea de fes independiente del camino.

e) La integral de línea de fa lo largo de cualquier camino cenado es cero.

• Teorema de Green:

fc-t;(x, y )dx + f 2 (x,y)dy = L[ D¡j2(x,y)- D2ft (x,y)]dxdy

• El trabajo como integral de línea: el trabajo realizado por una fuerza f para mover una masa m a lo largo de una curva e es el valor de la integral

J/·da.

• Potencial de Newton: la fuerza de atracción entre dos masas es un gradiente, por lo que el trabajo que efectúa al mover una partícula de un punto a otro es independiente del camino.

• Masa de un alambre de densidad F(x, y, z).

m= fc F(x,y, z)ds

INTEGRAL CURVILÍNEA

• Centro de gravedad (a, b, e)

am = f c xF(x, y,z)ds bm = fcyF(x ,y, z )ds cm = fczF(x, y, z)ds

• Momento de orden n respecto a la recta r:

I, = fc d(x ,y , z)" F(x, y ,z)ds

• Momento de Inercia: Momento de orden dos.

• Densidad media:

• Área de una región plana encerrada por e

S=.!.J - y dx+xdy 2 e

93

• Caracterización de un gradiente f en un abierto simplemente conexo A: DJi x, y) = D2j 1(x, y) para todo (x, y) E A. • l

l. Integral curvilínea

Una de las generalizaciones de la integral de Riemann unidimensional se obtiene al sustituir el intervalo de integración por una curva y de R.". En todo lo que sigue, salvo mención expresa, supondremos que y es una curva regular a trozos de R.3 determinada por las ecuaciones paramétricas

X= <X1(t) tE [

correspondientes a una parametrización (1, c:x.), y que C es un arco de curva definido en el subintervalo [a, b] de l.

15.1. Definición de integral curvilínea de un campo vectorial

Sea f = (fp f2, f3) un campo vectorial definido en C. Se llama integral curvilínea o integral de línea de fa lo largo de e y se representa por fe f. dc:x. al valor

siempre que exista la integral del segundo miembro.

De acuerdo con el teorema de caracterización de funciones integrables, para que exista la integral de línea basta con que f sea continua salvo en un con­junto de puntos de medida nula.

Teniendo en cuenta las ecuaciones paramétricas de la curva, como

dx = a' 1(t)dt dy = a'it)dt dz = a'it)dt

una forma muy usual de representar la integral de línea es

fc.t;(x,y,z)dx+ / 2 (x,y,z)dy+ / 3(x,y,z)dz

96 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

15.2. Ejemplo

La integral de línea del campo (cos z, e, eY) a lo largo del arco de curva a..(t) = (1, t, e1

), O:::; t:::; 2 vale

Si consideramos otra parametrización de la curva (J, 6) que conserve la misma orientación que (1, a..), el valor de la integral de línea no varía. Si (J, 6) determina la orientación contraria, cambia de signo el valor de la integral.

15.3. Teorema

Sean (1, a..) y (J, 6) dos representaciones de C.

i) Si tienen la misma orientación

ii) Si tienen la orientación contraria

Demostración. i) Sea u = h(t) , en donde h: J ---71, un cambio de parámetro regular tal que 6 = a. o h, y por lo tanto 6'(t) = a..'(h(t)) h'(t). Si suponemos

J = [e, d] 1 = [a, b] a = h(c) b = h(d)

haciendo el cambio de variable en la integral, resulta

fcr·d6 = J:rc6Ct))·6'(t)dt = J:rca..Ch(t)))·a..'(h(t))h'(t)dt =

= J:r(a..(u))·a..'(u)du = f/·da..

ii) Si (J, 6) determina la orientación contraria, se tiene a = h(d), b = h(c), por lo tanto

f/ ·d6 = f:J(a..(u))·a..'(u)du = - J:r(a..(u))·a..'(u)du =- fc f·da.. •

Como una integral no cambia su valor si se modifica la función integrando en un número finito de puntos, hemos supuesto e una curva regular a trozos, es decir, hemos supuestos que a'(u) ::J:. O salvo en un número finito de puntos en los que a..' puede ser cero o no existir. Supongamos ahora F un campo escalar y s la longitud de arco de origen a, recordemos que

INTEGRAL CURVILfNEA 97

s(u) = J1

ila'(u)llciu "

ds = lla' (u )lid u

Definimos la integral curvilínea del campo escaillJ:.F a lo largo de e, defini­da por a(t), tE [o. hl. como

J[ds = J: F(a..(t))11a..'(t)11dt

a..'(t) Además, dado un campo vectorial f, si t(t) == -- es el vector tangente

unitario y designamos por lla..'(t)ll

F(a..(t)) == f(a..(t))·t(t)

la proyección de f sobre la tangente (componente tangencial de f), resulta

b fb a..'(t) 11 ' 11 Jcf·da.. == L f(a..(t))·a..'(t)dt == a f(a..(t))·lla..'(t)ll a. (t) dt ==

= J: [f(<X(t)) · t(t)]lla..'Ct)lldt= J:F(a..(t))lla..'(t)lldt = f fds

por consiguiente, la integral del campo vectoria~ f a lo largo de e es igual a la integral del campo escalar componente tangencial de f.

2. Teoremas fundamentales de la integración de línea

En determinadas condiciones, si un campo vectorial f es gradiente de un campo escalar F, entonces el valor de la integral a lo largo de una curva C sólo depende de los valores que toma el campo F en los extremos de C. Este resul­tado se conoce con el nombre de segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.

En todo lo que sigue, salvo mención expresa, supondremos A un abierto de JR3 conexo por arcos regulares a trozos (dos puntos cualesquiera de A se pue­den unir por un arco regular a trozos contenido en A), f = (j1,f2,f3) un campo vectorial continuo definido en A, F un campo escalar de clase uno en A y los caminos considerados en A regulares a trozos. En estas condiciones se cumplen los siguientes resultados.

15.4. Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea

Si P y Q son dos puntos cualesquiera de A y C una curva regular a trozos contenida en A, que une P y Q, definida por (1, a.), en donde I = [a, b], P = a.(a), Q = a.(b), se tiene

fe 'VF·da.= F(Q)-F(P)

Demostración. Sea <l>(t) = F( a.(t)). Por la regla de la cadena

<l>'(t) = V F( a.(t)) • a.'(t)

Teniendo en cuenta el segundo teorema fundamental del cálculo para la integral de Riemann de una variable (Regla de Barrow), resulta

100 AMPLIACIÓN DE CALCULO

fe 'VF·da. = J:VF(a.(t))·a.'(t)dt =S: <l>'(t)dt = <I>(b)-<l>(a)

=F(a.(b))-F(a.(a))=F(Q)-F(P) •

Nótese, una vez más, que el conjunto de puntos de (a, b) en el que a. no es derivable es un conjunto finito, por lo que no influye en el valor de las integrales.

El teorema siguiente aborda la propiedad recíproca: si la integral de línea de un campo vectorial f depende únicamente de los extremos de la curva, entonces fes un campo gradiente. El resultado se conoce con el nombre de pri­mer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.

15.5. Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea

Si f es un campo vectorial continuo en A cuya integral de línea es inde­pendiente del camino en A, entonces existe un campo escalar F tal que VF(x) = f(x) para todo x de A.

Demostración. Sean a = (a1, a2 , a3) un punto fijo y x = (x1, x2, x3) un punto arbitrario de A. Como la integral de línea es independiente del camino que los une, podemos definir el campo escalar

en donde e es una curva regular a trozos, contenida en A, que une los puntos a y x. Probemos que f es el gradiente de F, es decir

DkF(x) =/¡, (x) para todo k = 1, 2, 3

Como A es abierto, existe una bola abierta B(x, r) contenida en A. Si ek es uno cualquiera de los vectores de la base canónica { ei> e2, e3} de IR?, entonces el punto x + hek pertenece a la bola para todo O < lhl < r. Si consideramos el segmento L que une los puntos x y x + hek

L = { a.(t) = x + thek : O~ t ~ 1} a.'(t) = hek

la curva e u L une el punto a con el punto x + hek (Figura 15.1). Teniendo en cuenta que la integral a lo largo de e u L es la suma de las integrales a lo largo de e y L, resulta

... F(x +he k)- F(x) = fr f ·da. = J~ f(x + thek) · hekdt = h J~ fk (x + thek )dt

diviendo por h

F(x + hek)-F(x) i' .¡: ( h ) --''-----"-'----'---'- = J k x + t e k dt h o

INTEGRAL CURVILÍNEA 101

efectuando el cambio u = th en la última integral

F(x +hek)-F(x) _ 1 i" .¡: ( )d -'---~---'--'- - - J k x +u e k u

h h o

tomando límites cuando h tiende a cero, de acuerdo con el primer teorema fun­damental del cálculo para la integral de Riemann de una variable, se tiene

• Los teoremas anteriores constituyen una caracterización para que un

campo vectorial sea un gradiente en un conjunto abierto y conexo por arcos regulares a trozos. Cualquiera de estas condiciones es equivalente a que la inte­gral a lo largo de una curva cerrada sea nula.

15.6. Teorema de caracterización de un campo gradiente

Sea f = (f" f2, f3) un campo vectorial continuo en A. Son equivalentes

a) fes un gradiente.

b) La integral de línea de fes independiente del camino.

e) La integral de línea de fa lo largo de cualquier camino cerrado es cero.

Demostración. a(::::> b son los teoremas anteriores. a=> e es un caso parti-cular del primer teorema, ya que si e es una curva cerrada, los puntos inicial y final coinciden, con lo cual la integral es cero. Probemos que e => b.

Sean e, y e2

dos curvas regulares a trozos, contenidas en A, cuyo origen es un mismo punto P y cuyo final es un mismo punto Q (Figura 15.1), determi­nadas por las parametrizaciones:

p A

Teorema 15.4. Teorema 15.6.

Figura 15.1.

102 AMPUACIÓN DE CÁLCULO

6 1 : [a, b] ~ JR.3

Consideremos la curva cerrada e formada por la unión de e1

y e2

, defini­da por la parametrización (/, ex.) en donde

cx.(t) = {6 1 (t) si a$ t $ b

6 2 (b' + b- t) si b $ t $ b + b'- a'

(Obsérvese que 1 =[a, b+b'-a'], para t = a y t = b+b'-a se obtiene el punto P y para t = b se obtiene el punto Q). Como

y por hipótesis la integral del primer miembro es cero, resulta

En cálculo diferencial obtuvimos una condición necesaria para que el campo vectorial f = lft, fz, h,) fuese un gradiente. Recuérdese que si f de clase uno en un abierto A es el gradiente de un campo escalar F, es decir V' F = f, entonces F es de clase dos en A y cumple el teorema de igualdad de las deri­vadas cruzadas, por lo tanto

DijF(x) = Dj;F(x)

o lo que es equivalente

DJj (x) = Dj; (x)

para todo i, j E { 1 , 2, 3 }

para todo i, j E { 1, 2, 3 }

que expresa la condición necesaria de gradiente. Sin embargo, tal como se muestra en el ejemplo siguiente, esta condición no es suficiente.

15.7. Ejemplo

La función

( - y X )

f(x,y) = 2 2 • 2 2 X +y X +y

definida en el abierto A = JR.2 - { (0, O)} cumple la condición necesaria, ya que es de clase e~ en A y sus derivadas satisfacen

INTEGRAL CURVILÍNEA 103

sin embargo, f no es un gradiente, pues la integral de línea a lo largo de la cir­cunferencia cx.(t) = (cos t, sen t), tE [0, 27t], es distinta de cero. En efecto:

f/·dcx. = s:Jt (sen2t+cos2 t)dt = 21t

Obsérvese que los puntos de la circunferencia verifican:

f(x, y)= (-sen t, cos t) cx.'(t) = (-sen t, cos t).

La función del ejemplo anterior, a pesar de que cumple la condición de las derivadas, no es un gradiente debido a la naturaleza del abierto A. No obstante, esta condición es también suficiente para conjuntos abiertos estrellados (pose­en un punto tal que el segmento que lo une con cualquier otro punto del con­junto está contenido en él) o en particular para conjuntos abiertos convexos (el segmento que une dos puntos cualesquiera del conjunto está contenido en él).

15.8. Teorema de caracterización de un gradiente en un abierto estrellado

Sea f = (f1, f2, f3) de clase uno en un abierto estrellado A de lR.3. La condi­ción necesaria y suficiente para que f sea un gradiente en A es que

DJj(x)=DJ;x) paratodoi,jE {1,2,3},i;éj

Demostración. La condición es necesaria. Probemos que es suficiente. Por ser A un conjunto estrellado existe un punto o de A, que podemos suponer el origen sin que ello signifique ninguna restricción, tal que para cualquier otro punto x de A el segmento que los une 1 = [o, x] esté contenido en A. Si

CX.(t) = tx tE [0, 1)

es la ecuación de 1, definimos el campo escalar F por medio de la integral de línea siguiente:

F(x) = frdcx. = f~r(tx) · xdt

Comprobemos que f es el gradiente de F, es decir f = V' F. En efecto, como A es abierto y f de clase uno en A, podemos derivar bajo el signo integral res­pecto a cualquiera de las variables x1, x2, ~.con lo que resulta

DjF(x)= J~D)f(tx)·x]dt para j=1,2,3

ahora bien

D .[f(tx) · x] = f(tx)· D.x + D .[f(tx)]·x = f(tx)· e1. + tY'f

1.(tx)· x

} } }

ya que para todoj = 1, 2, 3.

104 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Djx = D/x1• x2, x) = ej f(tx) · ej =Jj(tx)

DJ(rx) = D/f1(tx),fz(tx),Jitx)) = t (D/1(tx), DJitx), D/3(tx)) =

= t (D 1fj (tx), D 2f} (tx), D3f} (tx)) = t Vfj (tx)

pues, en virtud de la hipótesis

D/1(tx) = D1fj(tx) D/2(tx) = D2fj(tx) D//tx) = D3fj(tx)

Por lo tanto

si hacemos g(t) = fj(tx), se tiene g'(t) = Vfj(tx) • x y resulta

DjF(x) = f~g(t)dt + f~ tg'(t)dt

integrando por partes

fl 1 fl DjF(x) =Jo g(t)dt + [tg(t) ]0 -Jo g(t)dt = g(l) = :0(x)

y queda probado que VF(x) = f(x). •

El teorema anterior nos proporciona un método para construir una función potencial Fa partir de su gradiente f en un conjunto estrellado. Si A es un con­junto convexo, dos puntos pueden unirse por una poligonal formada por seg­mentos paralelos a los ejes y podemos construir la función potencial utilizan­do integrales indefinidas. Para facilitar la notación, veamos el proceso en el caso de dimensión dos. Sea f(x, y)= if1(x, y),f2(x, y)) . Como

dF dx (x,y)=J;(x,y)

integrando obtenemos

F(x,y) = J.t;(x,y)dx+G(y)

en donde G es una función únicamente de y, que necesitamos conocer. Si deri­vamos respecto a y la igualdad anterior y tenemos en cuenta que

dF dy (x,y) = h(x,y)

. 1

INTEGRAL CURVILÍNEA

resulta

f2(x,y)= J().t; (x,y)dx+G'(y) dy

si despejamos G'(y) e integramos

G(y) = J f2 (x,y)dy-J[J ~ (x,y)dx ]dy+k

105

en donde k es una constante que puede tomar cualquier valor real, por lo tanto existen infinitas funciones potenciales de f. Véanse los ejercicios de autocom­probación.

3. El teorema de Green

Los dos sentidos de reconido de una curva simple cerrada y plana se deno­minan orientaciones de la curva y se conesponden con las dos orientaciones del plano afín. De una manera intuitiva, definimos el sentido positivo como el contrario al de las agujas del reloj y el sentido negativo el de las agujas del reloj. Una persona que caminase por la curva lo haría en sentido positivo si la región acotada permanece siempre a su izquierda y lo haría en sentido negati­vo si permanece siempre a su derecha. Veamos un procedimiento analítico para establecer la orientación asociada a una determinada parametrización de la curva. Consideremos una curva regular a trozos(/, ex). Un vector ves un vec­tor saliente de la curva en un punto P = Ot(t) si existe un número real A, > O y un entorno U del punto P +'Av, tal que U está contenido en el complementario de la región M limitada por la curva. Supongamos que v es un vector saliente en P con distinta dirección que el vector tangente Ot'(t). La parametrización (/, 01.) determina la orientación positiva si { v, c:x.'(t)} tiene la misma orientación que la base canónica {e,, e2} y determina la orientación negativa en caso con­trario (Figura 15.2.).

e, e,

Figura 15.2. Orientación de una curva.

108 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

15.9. Ejemplo

La parametrización (a., /) de la circunferencia unidad

X = COS t y= sen t tE [0, 21t)

determina la orientación positiva. En efecto, el determinante del vector salien­te v = (cos t, sen t) en el punto genérico a.(t) y el vector tangente a.'(t) = (-sen t, cos t) es positivo

1

cost sen ti - sen t cost ==

1

Recuérdese que e 1 = (1, 0), e2 = (0, 1) y ~~ ~~ == 1

Si consideramos la parametrización

x =sen t y = cos t tE [0, 21t)

la orientación es negativa.

El teorema de Green permite expresar la integral de línea de un campo vec­torial f a lo largo de una curva simple cerrada y plana, orientada positivamen­te, por medio de la integral doble de un campo escalar en la región M que limi­ta la curva.

En lo que sigue, suponemos el campo f = ift,A) definido y de clase uno en un abierto que contenga a la curva y a la región que limita. En primer lugar demos­traremos el teorema para el cuadrado D* = [0, 1] x [0, 1], cuya frontera designa­mos por D, y posteriormente extenderemos el resultado a un recinto M limitado por una curva simple cerrada regular a trozos C. Admitiremos sin demostración que existe un homeomorfismo g de clase dos en un abierto que contenga a D*, de jacobiano positivo para conservar la orientación, tal que g transforma a D* en M y a D en C. Recuérdese que toda curva simple cerrada es imagen de una circun­ferencia (o de un cuadrado) por medio de un bomeomorfismo.

y

D*

o X

Figura 15.3. M= g(D*); C = g(D).

INTEGRAL CURVILINEA 109

15.10. Teorema de Green en un cuadrado

Sea D* el cuadrado [0, 1] x [0, 1], A un abierto que contiene a D* y f = (fp f:J un campo vectorial de clase uno en A. Si D es la frontera de D* orien­tada positivamente, se cumple

Demostración. Calculemos el valor de las integrales.

1 1' 1' 1' J f·da..== f +1(x,O)dx+ f~ (l .y)dv- .t;(x,1)dx- (, f2 (0,y)dy o Jo.1 1 o·- · o

que corresponde a la integración sobre cada uno de los lados del cuadrado c?~ la orientación positiva. Por otra parte, teniendo en cuenta el teorema de Fubtru y el segundo teorema fundamental del cálculo integral en una variable, resulta

J0.[D1A(x,y) - D2J; (x,y)]dx dy == J~J~·DJ2 (x, y)dx dy - J~J~ D2/¡ (x,y)dx dy ==

== f1J,(l,y)dy- f

1J2 (0,y)dy-f

1/¡(x,1)dx+ f

1/¡(x,O)dx .• Jo - Jo Jo Jo

Para facilitar los cálculos en la demostración del teorema siguiente, recor­demos la notación vectorial. Supongamos F un campo escalar y f = (/p / 2) un campo vectorial

VF(x, y)= (D1F(x,y), D2F(x, y))

D 1 f(x, y)= (DJ1(x, y), DJz(x, y))

D2 f(x, y)= (Dd1(x, y), Ddz(x, y))

Si g = (g1, g2) es un cambio de variable u =g1(x, y), v =gz(x, y) teniendo en cuenta la regla de la cadena

(D1[j¡ og)(x,y) D2[j¡ og)(x,y)) (D1j¡(g(x,y)) D2j¡(g(x,y)))x D1[h og](x,y) D2[/2 og)(x,y) - D¡j2 (g(x,y)) Dd2 (g(x,y))

de donde

x(D1g1(x,y) D2g1(x,y)) D1g2 (x,y) D2g2 (x,y)

D1 [f1 o g] (x, y)= Vf1(g(x, y))· D1g(x, y)

D2 [{1 o g] (x, y) = Vf1(g(x, y)) · D2g(x, y)

D1 [f2 o g] (x, y) = Vjz(g(x, y)) • D1g(x, y)

D2 [f2 o g] (x, y)= Vjz(g(x, y))· D2g(x, y)

110 AMPLIACI6N DE CÁLCULO

15 .11. Teorema de Green

Sea M una región limitada por una curva simple cerrada regular a trozos C, A un abierto que contiene a M y f = (f,, f2) un campo vectorial de clase uno en A. SiC la consideramos orientada positivamente, se cumple:

Demostración. Sea D* = [0, 1] x [0, 1] y D la frontera de D*. Supongamos que g = (g., g2) es un homeomorfismo de clase dos y jacobiano positivo en un abierto A que contiene a D*, tal que g(D*) = M y g(D) = C, cuyas ecuaciones son u= g 1(x, y), v = gz(x, y). Consideremos el campo vectorial h =(h., h2) defi­nido en A por

h 1(x, y) = f(g(x, y)) · D 1 g(x, y)

hix, y) = f(g(x, y)) • D2 g(x, y)

Derivando se obtiene

D 1hix, y) = D 1 [f o g] (x, y) • D2 g(x, y) + f(g(x, y)) • D21 g(x, y)

D2h1(x, y) = D2 [f o g] (x, y) • D 1 g(x, y) + f(g(x, y)) • D 12 g(x, y)

teniendo en cuenta que D21 g(x, y) = D 12 g(x, y), restando miembro a miembro las igualdades resulta

D1hix, y)- D2h 1(x, y)= DJf o g] (x, y)· D2g(x, y)- D2[f o g] (x, y) · D1g(x, y) =

= D 1[{¡ o g] (x, y) D2g1(x, y)+ D 1[h o g] (x, y) D2g2(x, y)-

- D 2[{¡ o g] (x, y) D 1g1(x, y)- D2(h o g] (x, y) D 1gix. y) = = [V'j¡(g(x, y)) • D 1g(x, y)] D2g1(x, y) + [V'J;(g(x, y)) • D1g(x, y) ] D

2gix, y)­

- [V'f 1(g(x, y)) • D2g(x, y)] D 1g1(x, y)] - [V'J;(g(x, y)) • D2g(x, y)] D 1g2(x, y) = = V'ft(g(x, y)· [D1g(x, y) D2g1(x, y)- D2g(x, y) D 1g1(x, y)] +

Como

+ V'fig(x, y)) · [D,g(x, y) D2gix, y)- D2g(x, y) D 1g2(x, y) ]

D,~(x, y) D2g1(x, y)- D 2g(x, y) D1g1(x, y)= (0, - det g'(x, y))

D,g(x, y) D2g2(x, y)- D2g(x, y) D,gix, y) = (det g'(x, y). O)

D,hix, y)- D2h 1(x, y) = [D1J;(g(x, y))- Dzft(g(x, y))] det g'(x, y)

INTEGRAL CURVILiNEA 111

el campo h = (h1, h2) cumple el teorema de Oreen en el cuadrado,

En efecto, realizando el cambio de vatiable g en cada una de las integrales

i) fo h·d<X.= J0

h1(x,y)dx+h1(x ,y)dy=

= J0

.t;(g(x,y))detg'(x,y)dx + f2(g(x,y))detg'(x,y)dy = fc.t;(u , v)du+ f2(u,v)dv

ii) fo.[D/12 (x,y)- DA(x,y)]dxdy =

= J0.(DJ2(g(x,y)) - D2J; (g(x,y))]detg'(x,y)dxdy =

= L,,[DJ2(u, v)- D2J;(u, v)]dudv

por lo tanto

fc.t;(u,v)du+ f 2(u,v)dv= J)DJ2(u,v)-D2.t;(u,v)]dudv •

Un subconjunto A de JR.Z, abierto y conexo por arcos regulares a trozos, decimos que es simplemente conexo, si la región que limita cualquier curva simple cerrada contenida en A es un subconjunto de A. La idea intuitiva de conexión simple corresponde a la de una región sin agujeros. Si suponemos que la frontera de A es una curva simple cerrada, sabemos que ~ es horneo­morfa al interior de un círculo. Si suponemos que A posee un aguJero B, cuya frontera es una curva simple cerrada, entonces A es homeomorfo al interior de una corona circular y decimos que A es doblemente conexo (B puede ser un punto). En estas condiciones, decimos que A es m-conexo si posee m-1 aguje­ros y por lo tanto es homeomorfo al interior de un círculo en el que se han suprimido m-1 círculos. Figura 15.4.

a) Simplemente conexo b) Doblemente conexo e) Múltiplemente conexo

Figura 15.4.

112 AMPLIACIÓN DE CALCULO

15.12. El teorema de Green para regiones múltiplemente conexas

El teorema de Oreen puede extenderse fácilmente a regiones múltiplemen­te conexas. Consideremos una curva simple cerrada regular a trozos e, que li~ita u~ recinto en cuyo interior se encuentran m curvas e~' e2, ..• , em del nusmo hpo que e tales que cumplen:

i) La intersección de dos cualquiera de ellas es vacía.

ii) La curva ej no está contenida en el recinto limitado por la curva C., cualquiera que sean i :¡:. j . '

Si M es el recinto limitado por las curvas e, e" e2, ••• , em y f = (j1,fz) es de clase uno en M, entonces

111

fc t;(x,y)dx+ f 2 (x,y)dy- I,J _h(x,y)dx+ f 2 (x,y)dy= i=l e,

en donde las curvas se consideran orientadas positivamente. Razonémoslo para regiones doblemente conexas. Consideremos dos puntos P, Q de la curva e y dos puntos P', Q' de la curva e1 tales que los segmentos PP' y QQ' no se cor­ten (Figura 15.5). Obtenemos así dos regiones simplemente conexas M M limitadas por las curvas r¡. r2 constituidas por

1'

2'

{

arco de e deternúnado por p y Q segmento QQ'

r¡ arco de C1 determinado por Q' P' segmento P' P

p

{

arco de e determinado por Q y p segmento PP'

rz arco de C 1 determinado por P' y Q' segmento Q' Q

Figura 15.5. Descomposición en dos recintos simplemente conexos. M = M1

u M2

•

INTEGRAL CURVILÍNEA 113

Aplicando el teorema de Oreen a cada una de las regiones M" M2

f J;(x ,y)dx + f 2(x,y)dy = J [Dd2 (x,y)- D2J;(x , y)]dxdy ~ ~

J,2

J;(x,y)dx + f2 (x,y)dy = L2

[Dd2 (x,y)- D2 fi(x,y)]dxdy

Te1úendo en cuenta que la inteoral a lo largo de e (de ...stes igual a la suma e> -- -de las integrales a lo largo de los dos arcos PQ y QP (P' Q' Y Q' P') Y que la

suma de las integrales a lo largo de los segmentos se anulan porque los senti­

dos son opuestos, si sumamos las igualdades anteriores resulta

fct;(x ,y)dx + f 2(x ,y)dy - fe, ¡; (x,y)dx + j 2(x , y)dy =

= J)Dd2 (x,y)- D2 j;(x,y)]dxdy

4. Aplicaciones de la integral de línea

15.13. El trabajo como integral de línea

Supongamos que f es una fuerza definida en el abierto A y e un camino regular a trozos, contenido en A y definido por una parametrización (/, c:x.), 1 = [a, b]. El trabajo realizado por f para mover una partícula de masa m a lo largo de e se define por

l T= f cf·dc:x.= J).t;(c:x.(t))a~(t)+f2(a(t))a;(t) +j,(a(t))a;(t))]dt Si fes un gradiente y F una función potencial de f, como la integral de línea

no depende del camino, el trabajo viene dado por

T = F(c:x.(b))- F(c:x.(a))

Si tes el tiempo, ot(t) la posición de la partícula, c:x.'(t) su velocidad y c:x." (t) su aceleración, la fuerza viene dada por f(c:x.(t)) = mc:x."(t) y el trabajo realizado para mover la partícula desde c:x.(a) hasta c:x.(b) viene dado por

T = J)<c:x.(t))·c:x.'(t)dt = J: mc:x."(t)·c:x.'(t)dt =

[1 Jb 1 - 1

= -m[ot'(t)·c:x.'(t)) = -mv(b)2 --mv(a)2

2 {/ 2 2

es decir, el trabajo realizado por f para mover una partícula de masa m desde el punto c:x.(a) hasta el punto c:x.(b) a lo largo de la curva Ces igual a la varia­ción de la energía cinética en el intervalo [a, b).

Como consecuencia, en caso de ser f el gradiente de F, se tiene

ll6

T = F(a.(b))- F(a.(a))

T=.!mv(bi -.!mv(a)2

2 2

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

1 l => -F(a.(a)) +-mv(a)2 = -F(a.(b))+-mv(b)2 2 2

A -F(x, y, z) se le llama energía potencial de la partícula en el punto, y a los campos de fuerza que poseen función potencial se les denomina en Mecá­nica campos conservativos. Así pues, la igualdad anterior significa que: en un campo conservativo la suma de las energías cinética y potencial permanece constante, resultado que se conoce con el nombre de principio de conserva­ción de la energía.

15.14. El potencial de Newton

Sea r = (x, y, z) el vector posición de un punto en el espacio JR3 . El campo escalar

F(x,y,z) = [~x2 + i + Z2 r = llrll"

es función potencial del campo vectorial

f (x, y, z) =V F(x,y, z) = nllrll"-1 r

Sean M una masa situada en el origen y m una masa situada en el punto (x, y, z). Por la ley de Newton, la fuerza de atracción de ambas masas viene dada por

cuya función potencial es

mM f(x,y,z) =-k llrll2 r

mM F ( x, y, z) = k -¡¡;:¡¡

entonces, el trabajo efectuado por f para llevar la partícula m desde un punto P = (x,, y,, z, ) hasta un punto Q = (x2, h· z2) es independiente del camino, y viene dado por

T ~ F(x2,y2 ,z2 )- F(x,,y,, z,) ~ kmM(II:,II-II:.IIJ

INTEGRAL CURVILfNEA 117

15.15. Distribución de masas

Supongamos un sólido cuya masa se distribuye a _lo largo de u~a curva C (por ejemplo un hilo de cobre de diámetro muy pequ~no), cuya densidad en u_n punto (x, y, z) es F(x, y, z) (masa por unidad de longitud). La masa m del sóli­do es la integral de línea de F

m = fe F(x, y, z)ds

su centro de gravedad (a, b, e)

a=_!._ f xF(x, y, z)ds m le

b = _!._ f yF(x, y, z)ds mJc

e=_!._ f zF(x,y,z)ds m le

En general, fijada una recta r, si d(x, y, z) es la distancia ~el punto (x, y, z) del sólido a la recta, se llama momento de orden n del sólido respecto a la recta a la integral de línea

1 = f d(x,y,z)" F(x,y,z)ds r Jc

El momento de segundo orden se llama también momento de inercia res­pecto a r. Análogamente se definen los momentos r~spe~to a un punto Y res­pecto a un plano. Si IXY' r,z, Iyz son los momentos de m~rcia respecto a los pla­nos coordenados, el momento de inercia respecto al ongen es lo = 1, + z,. + /:.

La densidad media se define como el cociente entre la masa total Y la lon­gitud de la curva

D = f F(x,y,z)ds: f ds m Jc Jc

15.16. Área de una región plana

Sea M una región plana limitada por una curva simple regular a trozos C. El área S de M viene dada por

S= Ldxdy

Si consideramos un campo vectorial f = (j,,J2) tal que

Dtfix, y)- Dd,(x, y) = 1

por ejemploj,(x, y) = -y/2,/¡(x, y)= x/2, aplicando el teorema de Green se tiene

118 AMPUACIÓN DE CÁLCULO

S= Ldxdy= J)DJ2 (x,y) -D2J;(x,y)]dxdy=

= r J;(x , y)dx+ fz(x,y)dy=}_ r -ydx+xdy Je 2Je

en donde e se considera orientada positivamente.

15.17. Caracterización de un gradiente en un abierto simplemente conexo del plano

El teorema de Green permite demostrar que la condición de igualdad de las derivadas cruzadas no sólo es una condición necesaria sino también suficiente para que un campo vectorial definido en un abierto simplemente conexo del plano sea un gradiente.

Sea A un abierto simplemente conexo, un campo vectorial f = (fp f2) de clase uno en A es un gradiente si y solo si

D¡fix, y) = Dzf1(x, y) para todo (x, y) E A

Sabemos que para cualquier abierto A la condición es necesaria. Suponga­mos A simplemente conexo y razonemos que la condición es suficiente, o lo que es equivalente, probemos que la integral de línea a lo largo de un camino poligonal que une dos puntos cualesquiera P y Q de A depende únicamente de los extremos. Si esto es así, utilizando el mismo razonamiento que en el primer teorema fundamental, se llega al resultando.

Consideremos dos caminos poligonales e, y e2, formados por segmentos paralelos a los ejes, que unen los puntos P y Q. La integral de f desde P hasta Q a lo largo de e, más la integral de f desde Q hasta palo largo de e? es cero, ya que en los segmentos comunes la suma de las integrales se anulan por tener los segmentos sentidos opuestos, y aplicando el teorema de Green en las regiones

p

...---- ----- Q ' c:z_-:

1 ' ' •

R¡ '

,- --~ -----· ' t R2 1 1

Figura 15.6. Caminos poligonales.

INTEGRAL CURVILÍNEA 119

rectangulares R¡ que determinan e, y -ez, si r, es la frontera de R¡ orientada

positivamente, resulta

J J;(x,y)dx+ f2(x,y)dy= JR [D2J;(x,y)-D2J;(x,y)]dxdy=0

~ 1

pues por hipótesis D2f

1(x, y) = DJix, y). Sumando todas las integrales

11 L..J,. .t;(x, y)dx+ f2 (x,y)dy= i=l 1

por lo tanto

fe, J;(x,y)dx+ fz(x,y)dy= fe1 ft(x,y)dx+ fz(x,y)dy

en donde hemos supuesto que la curva cerrada formada por la unión de e, Y

-e2

está orientada positivamente.

15.18. Ejemplos a) La masa de un alambre cuya forma es la de la curva

x = cost t y = sen t z = e' O ::;; t ::;; 7t

y cuya densidad es proporcional en cada punto al cuadrado de su distancia al

plano z = O, viene dada por

lt r.-2, k ? 3/2 .fik m= fekz2ds =Jo ke2'-..¡1 +e2

' dt = 3(e_n + 1) --3-

Nótese que ds = s'(t)dt = lla.'(t)lldt = -J¡ + e2' dt y la densidad es kz2

•

b) El área de la región limitada por la hipocicloide

x = cos3 t y = sen3 t O ::;; t ::;; 27t

teniendo en cuenta que dx = -3 sen t cos2 t dt, dy = 3 cos t sen2 t dt, viene dada por

1 f 1 rzn 4 , 3 2 4 t]dt _ S =- -ydx+xdy=-J~ [3sen tcos-t+ sen tcos . -2 e• 2 o

3 2n 3J2n 2 3J2n) -cos4t _ =-J senztcosz tdt=- sen 2tdt=- 2 dt-

20 30 30

=2-[f2" dt- f

2lt cos4tdt]=~1t

16 Jo Jo 8

CAPÍTULO 16

Integral de superficie

l . Integral de superficie. 2. Los campos rotacional y divergencia. 3. El teorema de Stokes. 4. El teorema de la divergencia.

PRERREQUISITOS

• Diferenciabilidad de campos escalares y vectoriales.

• Gradiente y función potencial.

• Homeomorfismos. Cambios de variable.

• Curvas y superficies.

• Orientación del plano y del espacio.

• Orientación de curvas.

• Integración múltiple.

• Teorema de Green.

122 AMPliACIÓN DE CÁLCULO

ESQUEMA/RESUMEN

• Área de una superficie x = x(u, v), y= y(u, v), z = z(u, v), (u, v) E .Q

A= J)IN(u, v)ll dudv

• Integral de superficie de un campo escalar F

fsFdS= fnF(r(u,v)) jjN(u,v)jj dudv

• Sistema de orientaciones por vectores n01males: una aplicación definida en la superficie que a cada punto le hace conesponder un elemento del conjun­to { +, -} .

• Superficie orientable: posee un sistema de orientaciones continuo. (Tiene dos caras.)

• Orientación inducida en el borde por la orientación de S.

• Integral de superficie de un campo vectorial f

J/f · n)dS = Jn[f(r(u, v)) · n(u, v)] jjN(u, v)jj dudv

• Rotacional de f: rot f = V 1\ f

• Divergencia de f: div f = V· f

• Propiedades de rotacional y la divergencia.

• Construcción de un campo a partir de su rotacional.

• f es rotacional o solenoidal si cliv f =O.

• Teorema de Stokes: Ces el bortk Je S

fs(rotf· n)dS = J/· d6

• Teorema de la divergencia: sólido M limitado por la superficie S

Jf t div f dxdydz = fs (f · n)dS

l. Integral de superficie

En el capítulo anterior hemos definido la integral curvilínea de un campo vectorial fa lo largo de una curva e por medio de una integral de Riemann sim­ple. Si f era un campo de fuerzas, su interpretación física era el trabajo reali­zado por f para mover una partícula de masa m a lo largo de C. La integral de superficie puede considerarse, en cierto sentido, equivalente en dos dimensio­nes a la integral curvilínea. Se define mediante una integral de Riemann doble y su interpretación física es la cantidad de flujo del campo de fuerzas que atra­viesa la superficie.

En todo lo que sigue, salvo mención expresa, supondremos una superficie simple S definida por una parametrización global (.Q, r) regular, excepto, quizá, en un conjunto de medida nula, en donde .Q es un abierto, conexo por arcos regulares a trozos, medible-Jordan, de lR2

• Asimismo supondremos f = (f.,, fz, A) un campo vectotial y F un campo escalar, ambos de clase e 1 en S.

16.1. Área de una superficie

Sean x = x(u, v), y= y(u, v), z = z(u, v), (u, v) E .Q las ecuaciones paramé­tricas de S. Consideremos un rectángulo R contenido en .Q y una partición P de R. Sea (u;, v) un punto cualquiera de la partición, l(u¡) , l(v) las longitudes de los lados del subrectángulo

eij = {(u¡. v), (ui+l> v), (u¡. vj+ l ),(ui+L> vj+l)}

(Figura 15.1). La imagen de Cij por medio de la aplicación lineal Dr(u;, v) es un paralelogramo contenido en el plano tangente a S en el punto r(u;, u). El área de este paralelogramo aproxima al área de la porción de S imagen del subrectángulo cij por medio de r.

124 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

z

R

vi+l

c.. "

y

X

l (u) = u.i+l - u.; l (v) = v1+1 - vj

Figura 16.1. Área de una superficie.

Los vectores (u;+ 1 - u;, 0), (0, vj + 1 - v), lados del subrectángulo del plano uv se transforman por Dr(u;, v) en los vectores del plano tangente que deter­minan los lados del paralelogran1o.

= r (u. v)l(u.) u 1' J r

Dr(u¡, v)(O, vj+l - vj) = (x11 (U¡, vj ),y11 (U¡, vj ),Z11 (U¡, v))(vj+l - vj) =

= rv(u¡, v)l(v)

y sus longitudes son

Si e es el ángulo que forman los vectores, el área del paralelogramo viene dada por

en donde recordemos que N(u, v) = r,(u, v) 1\ r,,(u, v) es un veclür normal a la superficie en el punto, al cual se denomina producto vectorial fundamental.

La suma de las áreas de todos los subrectángulos de la partición

_L//N(u;, v)l/l(u;)l(v) i,j

INTEGRAL DE SUPERFICIE 125

es una suma de Riemann de la integral

JRIIN(u, v)lidudv

entonces, parece natural definir el área de la superficie mediante la integral doble

16.2. Ejemplo

El área de la semisuperficie esférica determinada por

x=x y = y z = ~1 -x2 -/ (x,y)EO = {(x,y)E ll~F : x2 +i< 1}

se define mediante la integral

Como

N(x,y)=(~ ~ 2'~ y2 2'1J 1-x -y 1-x - y

1 IIN(x,y)ll= ~ 2 2

1- x -y

resulta, cambiando a coordenadas polares

A= r 1 dxdy= r2

1t r'hpdpde= f'de=2n Jn~1 -xz - / Jo Jo l-p2 o

Establecemos el concepto de integral de superficie de un campo escalar F continuo en S, que representamos por

fs FdS

16.3. Def"mición de integral de superficie de un campo escalar

Se llama integral de superficie del campo escalar F sobre la superficie S detenninada por (Q, r) a la integral

-----------------~ --­,.....

fsFdS = Jn F(r(u, v))IIN(u, v)lidudv

126 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

La integral curvilínea de un campo vectorial dependía de la orientación de la curva, es decir, dependía del sentido del recorrido, que venía determinado por la parametrización. Además en el caso de una curva plana cerrada asociá­bamos su orientación con la del plano mediante vectores salientes. Análoga­mente, para definir la integral de superficie de un campo vectorial necesitamos el concepto de orientación de una superficie. En efecto, en cualquier punto de la superficie se pueden considerar dos vectores normales unitarios n

1, n

2, de

sentidos opuestos, y es necesario indicar el sentido en que atraviesa a la super­ficie el flujo determinado por el campo vectorial.

16.4. Orientación de una superficie

Consideremos un modelo en papel de una superficie y señalemos un punto P. En un entorno suficientemente pequeño de P distinguimos dos caras, cada una de las cuales podemos pintar de un color diferente. Esto siempre es posi­ble para cada punto y decimos que una superficie siempre es localmente orien­table. Sin embargo, al considerar la superficie en su totalidad puede suceder que posea una sola cara. Es el caso de la banda de Mobius (Figura 16.2) que se construye haciendo coincidir los vértices opuestos del rectángulo, A con C y B con D. Si comenzamos a pintar la superficie desde una zona, terminamos en el mismo sitio después de haberla pintado completamente sin abandonar la cara. Estas superficies de una sola cara decimos que son no orientables. Nóte­se que si hubiésemos utilizado un cilindro, el papel sólo aparecerá pintado por una de sus caras. Las superficies de dos caras son orientables.

A~--------------------------------------~D

8 e

Cilindro Cinta de Moébius

Figura 16.2. Superficie orientable y no orientable.

El plano tangente en un punto a una superficie regular divide al espacio IR.3

en dos serniespacios. A uno de ellos le asignamos el signo + y decimos que el vector normal unitario que se encuentra en ese serniespacio determina la cara positiva de la superficie. Al otro serniespacio le asignamo el signo -y decimos que el vector normal unitario que se encuentra en él determina la cara negati­va de la superficie.

INTEGRAL DE SUPERFICIE 127

Decimos que la superficie se ha orientado en un punto P por medio de los vectores normales si se han fijado los signos + y - de cada una de sus dos caras en P. Entonces, un sistema de orientaciones de la superficie S por vectores normales unitarios es una aplicación definida en S que a cada punto le hace corresponder un elemento del conjunto { +, -}, es decir, que a cada punto le hace corresponder una de las orientaciones. Un sistema de orientaciones es continuo en un punto P si existe un entorno V de P en la superficie, tal que todos los puntos de V tienen asociado el mismo signo que P, es decir, el signo es constante en V. Finalmente, decimos que la superficie es orientable por vec­tores normales si admite un sistema continuo de orientaciones por vectores nor­males, y decimos que está orientada si tenemos determinado un sistema de orientaciones continuo (Figura 16.3.).

Figura 16.3. Superficie orientable por vectores normales.

16.5. Ejemplos

a) Una superficie regular de clase q 2 1 definida por la parametrización (.Q, r) puede orientarse por el campo de vectores normales n(u, v) fijando como cara positiva en un punto P la correspondiente al semiespacio en el que se encuentra el punto P + n(u, v).

b) Una superficie regular definida implícitamente por la ecuación F(x, y, z) =O, en donde F es una función de clase q 2 1 es orientable por vectores normales, ya que V F(x, y, z) es continuo, asignando las caras como en el ejemplo anterior.

e) En la superficie esférica, y en general en cualquier superficie simple cerrada, es habitual considerar como cara positiva la correspondiente a los vec­tores normales salientes.

16.6. Orientación del borde de una superficie

Supongamos una superficie S de clase q 2 1 determinada por (.Q, r). Sea y una curva de Jordan cerrada, regular a trozos, contenida en .Q y S0 la porción

128 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

de S imagen por r de la región interior limitada por y. Se llama borde de S0 a la curva e imagen de y por r. Si y viene definida por la parametrización (/, a.), entonces (/, ro a.) es una parameuización de C.

La orientación de y determina en e, por medio de (/, r o a.), una orienta­ción. Si m(t) es un vector saliente de y en el punto cx.(t) que no tiene la direc­ción del vector tangente (por ejemplo el vector normal saliente) los vectores { m(t), a.' (t)} son una base del plano que define la orientación de y, y su imagen por Dr(a.(t))

{Dr(a(t)) (mi 1)) . Dr(a(t))(a'(t))}

es una base del espacio tangente a la superficie en el punto P = r(a.(t)). Por ou·o lado, si consideramos la superficie orientada asignando la cara positiva al campo vectorial

( ) ~~ (U, V) 1\ r11 (U, V)

n u v = ' ll~,(u, v)Ar11 (u,v)ll

el sistema {r11(u, v), r/u, v)} es una base en el espacio tangente a S en P = r(u, v)

y determina una orientación en e, que se denomina orientación inducida por So.

La orientación inducida por S0 en e decimos que es compatible con la orientación de y dada por (L a.) si coincide con la de(/, ro a.), es decir, si las dos bases determinan la misma orientación, o lo que es equivalente, si los vec­tores

Dr( a.(t))(m(t)) A Dr( a.(t))( a.'(t)) r"(u, v) 1\ r11 (u, v)

tienen el mismo sentido (Figura 16.4.).

r ,.(u, v) 1\ r ,.(u, v)

V

11

P = r(u, v) = r(a(t))

Figura 16.4. Orientación del borde.

INTEGRAL DE SUPERFICIE 129

Intuitivamente, la orientación de la superficie y el sentido del recorrido que induce en el borde se corresponden con las siguientes reglas:

l. Regla del sacacorchos. Si el avance del sacacorchos determina la cara positiva de la superficie, entonces el sentido del giro detenrúna el sentido del borde.

2. Regla del camino. Si un observador está situado en la cara positiva de la superficie, entonces el sentido inducido por la orientación es el de un móvil que al recorrer el borde pasa delante del observador desde su derecha hacia su izquierda.

16.7. Ejemplo

Si la superficie viene defmida por z = f(x, y) y asignamos la cara positiva al campo vectorial

N(x,y) =(-¡;ex, y),-t;cx, y), l)

el sentido de recorrido del borde e inducido por S es el compatible con el sen­tido positivo de la curva planaf(x, y) = O (curva proyección) (Figura 16.5.).

N(x, y)

Figura 16.5. Orientación del borde de z = f(x, y).

16.8. Definición de integral de superficie de un campo vectorial

Se llama integral de superficie del campo vectorial f = (/1, ¡;, /3) respecto a la cara de S determinada por n(u, v) a la integral

fs (f · n)dS = Jn[f(r(u, v)) · n(u, v)]jjN(u, v) j~udv

130 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Como n(u, v) = N(u, v) 1 IIN(u, v)ll, también podemos escribir

fs (f · n)dS = Jn f(r(u, v)) · N(u, v)dudv

o bien

J/f · n)dS = Jn f(r(u, v)) · (r11 (u, v)A f 11 (u, v))dudv

Si consideramos en S la cara determinada por -n(u, v) es obvio que el valor de la integral de superficie es el mismo cambiado de signo.

La integral de superficie, independientemente de la naturaleza física del campo f, proporciona la cantidad de flujo que la componente normal f · n del campo f atraviesa la superficie S. Es claro que dicha cantidad tendrá un signo o el contrario según la cara considerada.

16.9. Ejemplo

Sea F(x, y, z) la temperatura en un punto del espacio. El campo vectorial f(x, y, z) = -VF(x, y, z) representa la trasmisión de calor. La integral de super­ficie

fscr · n)dS

es el flujo de calor que atraviesa S en el sentido de la cara determinada por n. Si F(x, y, z) = 3r + 3l el flujo de calor en el sentido de la cara exterior del cilindro

0<y<2

viene dado por

K = fs<-VF·n)dS

Por simetría, el flujo pedido es el doble del que atraviesa la superficie

0<y<2 z>O

cuyas ecuaciones paramétricas son

(r,Q) x = x y=y z = -h-x2 (x,y)E(-.J2,.J2)x(0,2)

como - VF(x,y,z) = (-6x,-6y,O)

1 i'

!, 1

1

INTEGRAL DE SUPERFICIE 131

se tiene

f ( x } JzJ..fi -6x1

K = (-6x,-6y,O) · ~,0,1 dy= , ~dxdy = n -yl-xz o -v2 -vl-x2

J.,fi x2 Jo 2 Jo 1 + cos 2t = -12 , ~dx = - 12 - 2cos tdt = 24 dt = - v2-y2 - x2 7t 7t 2

[ sen2t] 1t = -12 t+-2- o= -127t

El flujo total pedido es -24n y el resultado negativo significa que el flujo de calor va desde el exterior al interior del cilindro. La integral se ha resuelto con el cambio x = fi cos t. Nótese que al fijar N, la integral de superficie con·esponde a la cara exterior del cilindro.

'

1

1 1

1 J.

1

2. Los campos rotacional y divergencia

A un campo vectorial f = (f1,f2,J;) definido y de clase q ~ 1 en un abierto A de JR.3 le podemos asociar otro campo vectorial, al que llamamos rotacional y designamos por rot f, y un campo escalar, al que llamamos divergencia de f y designamos por div f.

16.10. Definición de rotacional y divergencia

Se llama rotacional de f = (f1, f 2, f 3) al campo vectorial definido en A por

rot f = (Dd3 - DJi2, DJi1 - Dtf;, DJ2 - Dd1)

y se llama divergencia de f al campo escalar definido en A por

div f = Dtf; + Dd2 + D3j3

Consideremos en JR.3 la base canónica { i, j, k}. El operador nabla Y'= (Dp D2, D3), que utilizamos para denotar el gradiente de un campo escalar F

grad F = Y'F = (D1F,D2 F,D3F)

puede ser considerado, de una manera formal, como un vector, teniendo en cuenta que el producto de una de sus componentes D¡ por una componente Jj del campo vectorial f expresa la derivada D¡fi· Así se facilitan y simplifican los cálculos, aunque es necesario tener siempre presente el convenio anterior para evitar operaciones carentes de sentido.

Podemos expresar los campos rotacional y divergencia mediante Y' de la siguiente manera:

134

i

rot f = V' 1\ f = D1

¡;

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

div f = V' · f = ( D1, D2 , D3 ) • (J; ,f2 ,f3 )

A continuación se enuncian algunas propiedades elementales, cuyas demos­traciones son sencillos ejercicios de cálculo. Sean f, g campos vectoriales y F un campo escalar definidos en el abierto A, que suponemos de clase suficiente­mente alta para asegurar la existencia de las derivadas que intervienen. Se tiene:

l. rot (f + g) = rot f + rot g

2. div (f + g) = div f + div g

3. rot (Ff) = F rot f + 'VF 1\ f

4. div (Ff) = F div f + V' F · f

5. rot ('VF) = O

6. div (rot f) = O

Si A es un conjunto abierto y estrellado, en el capítulo antetior caractetiza­mos los campos gradientes f definidos en A por la condición

es decir, rot f = O, que es la expresión de la propiedad 5.

Consideremos el siguiente problema: dado un campo vectotial g en el abierto A, ¿existe un campo vectotial f tal que g = rot f?, en caso de existir, ¿cómo se determina f? . La propiedad 6 expresa que una condición necesatia para la existencia de fes div g = O, pues ha de cumplirse div (rot f) = O. Ade­más, si A es un intervalo abierto de JR3

, la condición div g = O es también sufi­ciente. La demostración de esta última parte se hace construyendo el campo f por integración. En efecto, por ser g = rot f se satisfacen las ecuaciones

g1 (x,y,z) = Dzf3(x,y,z)- DJi2 (x,y,z)

g2 (x, y, z) = D3J; (x, y, z) - D1h (x, y, z)

g3 (x, y, z) = Dd2 (x, y, z) - D2J; (x, y, z)

si suponemos la componente_t;(x, y, z) =O, el sistema se transforma en

g1 (x,y,z) = D2_h(x,y, z)- D3fz(x,y,z)

g2 (x,y,z) = - Dd;(x,y,z)

g3(x, y , z) = D¡j2(x,y,z)

INTEGRAL DE SUPERFICIE 135

integrando respecto a x las dos últimas ecuaciones, se obtiene

iJ(x, y,z) = -f g2 (t,y,z)dt+u(y,z) xu

en donde la integración se realiza sobre el segmento que une los puntos (x0 , y, z) y (x, y, z), el cual está contenido en A por ser A un intervalo, y las funciones u(y, z), v(y, z) son independientes de x . Si suponemos u(y, z) = O y sustituimos fz y h en la ptimera ecuación, resulta

teniendo en cuenta el teorema de derivación de una integral dependiente de un parámetro

ahora bien, por hipótesis

div g(x,y,z) = O ~

por lo tanto

integrando y simplificando, se tiene

de donde

entonces el campo f = (j1, f 2, _h) queda definido por

J;(x,y,z)=O

f2(X,y,z)= r g3(t, y , z)dt-r g1(x0 ,y,t)dt -~ o zo

136 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Es sencillo comprobar que g = rot f. Véanse los ejercicios de autocomproba­ción.

Un campo vectorial se dice que es solenoidal si su divergencia es cero. Por lo tanto, un campo es solenoidal en un intervalo abierto de JR.3 si y sólo si es el rotacional de otro campo.

16.11 . Ejemplos

a) Sea.f{x, y, z) = (r- i, l- z2, z2

- r ). Se tiene

j k

rotf(x,y, z )=VAf(x,y,z)= D1 D2 D3 = x2 - l l - z2 z2

- x2

=2zi+2xj+2yk

div f(x , y, z) = V· f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z

El campo f no es solenoidal ya que div f(x, y, z) :t:- O.

b) El campo g(x, y, z) = (y- z, z- x, x-y) es solenoidal ya que div g = O. Un campo f tal que g = rot f viene dado por

j¡(x,y,z) = O

? 2

ix iz x-+z

+?(x, y, z) = (t- y)dt- (y - t)dt = - y(x + z) J:. o o 2

x2 iJ(x,y,z) =- rx(z - t)dt = - - xz

Jo 2

El nombre rotacional procede del significado físico del campo. Considere­mos un sólido rígido que gira (rota) alrededor de un eje en sentido contrario al de las agujas del reloj, con velocidad angular constante, cuyo campo de velo­cidades es f. El rotacional de fes un campo vectorial en la dirección del eje de giro y sentido positivo, cuya norma o magnitud es el doble de la velocidad angular. Análogamente, si f representa el campo de velocidades de un gas, la divergencia de f es la tasa de expansión del gas por unidad de volumen. Si div f > O, el gas se expande, es decir, se mueve hacia afuera.

3. El teorema de Stokes

El teorema de Stokes permite expresar la integral de superficie de un campo vectorial por medio de una integral de línea a lo largo de su borde. La demostración se basa en el teorema de Green, por lo tanto, supondremos con­diciones análogas a las que establecimos allí. Sea S una superficie regular, de clase q ~ 2, definida por la parametrización (Q, r), en donde n es una región plana limitada por una curva simple cerrada regular a trozos y defrnida por (1, a.) y designemos por C el borde de S, cuya parametrización es (1, 6) en donde 6 = r o a..

16.12. Teorema de Stokes

Supongamos que S es una supeificie que cumple las condiciones anterio­res. Si f = (¡;,h,/3) es un campo vectorial de clase q ~ 1 en un abierto A que contiene a S, se tiene

en donde n determina la orientación de S, y en C se considera el sentido indu­cido por dicha orientación.

Demostración. Comprobemos que las integrales de los dos miembros tie­nen el mismo valor.

Supongamos que

u = u(t) v = v(t) t E l = [a,b]

son las ecuaciones de la parametrización (J, a.) de y,

138 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

x = r¡(u, v) y= r2 (u, v) (u, v)E Q

son las ecuaciones de la parametrización (Q, r) de S,

x = B1 (t) = r¡ (u(t), v(t)) y = B2 (t) = r2 (u(t), v(t))

son las ecuaciones de la parametrización (/, 8) del borde C.

Recordemos que

(1) Dr(u, v)(h,k) = r11(u, v)h+ rv(u, v)k

para todo vector (h, k) de JR?.

(2) 6'(t) = (ro a)'(t) = Dr(cx(t))(a'(t)) = r11 (<X(t))u'(t) + rv(a(t))v'(t)

en virtud de la regla de la cadena.

(3) N(u, v) = f 11 (U, v) A r"(u, v) =

es el producto vectorial fundamental.

Además

D1 (f o r)(u. v) = D1/¡ (r(u, v))D1r¡ (u, v) + Dd1 (r(u, v))D1ti (u, v) + D3/¡ (r(u, v))D113(u, v) +

+ D);(r(u,v))D11)u,v) + D

2J;(r(u ,v))D 1r/u,v) + DJ'

2(r(u,v))D

1riu,v) +

+ DJ/r(u,v))D1r 1(u,F) + D 2f,(r(u.F))D1r/u,v) + DJir(u,v))D1r/u,v) =

3

= L,D¡f(x,y,z)D1r¡(u,v) i=l

y análogamente

3

D2 (f o r)(u, v) = L,.D¡f(x,y,z)D2r¡(u, v) i= l

Entonces se tiene

f f· d8 = Jbf(8(t)) · 6'(t)dt = Jbf(8(t)) · /)r f (L(!l)(a'(t))dt) = e a (/

INTEGRAL DE SUPERFICIE

en donde

= s:f(8(t)). [rll(a(t))u'(t) + rv(a(t))v'(t)]dt =

= Jb[g1 (a(t))u'(t) + g2(a(t))v'(t)]dt = J g ·da a y

g1 (u, v) = f(r(u, v)) · r11(u, v)

gz(u,v)=f(r(u,v)). rv(u,v)

Aplicando el teorema de Green a la última integral de línea

J/· d8 = Jyg · da = J,)D1g2 (u, v)-D2g1(u, v)]dudv ,.,.

Por otro lado

fs (rot f · n)dS = Jn rot f(r(u, v)) · N(u, v)dudv

Comprobemos que

D1g2 (u, v)- D2g1 (u, v) = rot f(r(u, v)) · N(u, v)

y el teorema quedará demostrado. En efecto:

D1g2 (u, v) = D1(f o r)(u, v) · rv(u, v)+f(r(u, v)) · f1111

(u, v) =

= [~D,f(x,y,z)D,r¡(u, v)] · r"(u, v)+f(r(u, v)) · r",(u, v)

D2g1(u, v) = D2 (f or)(u, v) · r,/u, v)+f(r(u, v) • r,,11(u, v) =

= [~D,f(x, y, z)D2r¡(u, v)] · r,,(u, v)+f(r(u, v) · r,"(u, v)

restando miembro a miembro, teniendo en cuenta que

r,,11(U, v) = f

1111(U, v)

resulta

139

D1g2 (u, v)- D2g1 (u, v) = D1f(x, y, z) · [D1r¡ (u, v)r.,(u, v) - D2r¡ (u, v)r11(u, v)] +

+D2f(x,y,z) · [D1r2 (u,v)r"(u,v)-D2 r2 (u,v)r11 (u,v)]+

+ Dl(x,y, z) · [D1r3 (u, v)r11(U, v)- D2r3(u, v)r,,(u, v)]

140 AMPliACIÓN DE CÁLCULO

efectuando los productos escalares, simplificando y ordenando los términos, se obtiene

D1g2 (u, v)- D2g1 (u, v) = = [D2J;(x,y,z)- D3J;(x,y,z)][D1r2 (u, v)D2r3(u, v)- D1r3(u, v)D1r1(u, v)]+

+[D3ft(x,y,z)- D1J;(x,y,z)][D1r3(u, v)D2r¡(u, v) - D11j(U, v)D2r3(u, v)] +

+[Dd2(x,y,z)- D2ft(x,y,z)][D1r1(u, v)D2r2(u, v)- D1r2(u, v)D2r¡ (u, v)] = =rotf(x,y,z)·N(u,v) •

16.13. Ejemplo

Apliquemos el teorema de Stokes para calcular la integral curvilínea del campo f(x, y, z) = (0, 4r/3, xy) a lo largo del borde de la superficie

z = 1 +r+y2 z<2

recorrido en sentido positivo.

El borde es la circunferencia x2 + l = 1 situada en el plano z = 2. Su sen­tido positivo viene inducido por la orientación de la superficie que asigna la cara positiva a los vectores normales

X

j k

N(x,y) = 1 O 2x =-2xi-2yj+k

o 1 2y

z

.................... ... ........

,· n ·. ·. ...... _______ ....... ,' •'

y

Figura 16.6. z = 1 + X1 + / , z ~ 2.

INTEGRAL DE SUPERFICIE

Como

resulta

rot f(x, y, z) = D1

o

j k

D2 D3 = xi- yj+4x2k 4 3 - x xy 3

Jcr · d8 = fsrot f · ndS = fn (- 2x,-2y,l) · (x,-y,4x2)dydx =

=In c-2x2 + 2/ + 4x2

)dxdy = s:lt f~ 2p3dpde = 1t

141

4. El teorema de la divergencia

Consideremos una superficie cerrada S que limita a un cuerpo M de volu­men V. El teorema de la divergencia o de Gauss permite expresar la integral de superficie de un campo vectorial f por medio de la integral de la diver­gencia de F sobre M

Se trata de una extensión del teorema de Green en el sentido de que se puede encontrar la integral de un cierto campo escalar en una región acotada median­te la integral de un campo vectorial sobre su frontera. Análogamente a las cur­vas planas cerradas, podemos utilizar vectores salientes de S y considerar posi­tiva la cara que determinan (Figura 16.7.).

Figura 16.7. Vectores salientes.

144 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Supongamos un cuerpo M proyectable sobre los tres planos coordenados, tal que su frontera S sea una superficie regular, y un campo vectorial de clase q ~ 1, definido en un abierto que contenga a M. En estas condiciones demos­tremos el siguiente resultado.

16.14. Teorema de la divergencia

Sea M un sólido cuya frontera es una supeificie regular orientable S. Sin es el vector normal saliente y f = (f1, f2, f3) es un campo vectorial definido y de clase q ~ 1 en M, entonc;.:e=s ________ _

f IJJMdiv f dxdydz = J/ · ndS

Demostración. Como

basta con probar que

fJLD1J;dxdydz = J5

_t;n1dS

JJL Dd2dxdydz = J5f2n2dS

IJLD3_hdxdydz = J5f 3n3dS

Suponemos M proyectable y demostramos la última igualdad; las otras dos se pueden establecer procediendo de forma análoga.

Por ser proyectable respecto al plano xy, la región M viene determinada por

M= {(x,y,z) E R3: H(x,y):::; z:::; G(x,y);(x,y) E Q}

en donde z = H(x, y) es la ecuación de la parte inferior de la superficie S, que designamos por S1, z = G(x, y) es la ecuación de la parte inferior de S, que designamos por S,, y n es el recinto que proyecta S sobre el plano xy. Enton­ces, la superficie S es la unión de S1, S2 y eventualmente de una superficie cilín­drica S3 de generatrices paralelas al eje z y sección normal paralela a la fronte­ra den (Figura 16.8.).

INTEGRAL DE SUPERFICIE 145

y

Figura 16.8. Proyección de M sobre z = O.

En estas condiciones, resulta

IJJ D3_h(x,y,z)dxdydz =JI [t <x.y) D3.f,(x,y,z)dz] dxdy = M Q H Ct,y)

= Ifo.Lt;(x,y,G(x,y))- .f,(x,y,H(x,y)]dxdy

Por otro lado, teniendo en cuenta que la componente N3 de los vectores nor­males salientes a Sp S2 y S3 son respectivamente -1 , 1 y O, se tiene

= ffo. / 3 (x,y,H(x,y))(-1)dxdy+ Ifo.h(x,y,G(x,y))dxdy =

= ffo. [f3(x , y, G(x, y))- f 3 (x, y, H(x, y)) ]dxdy

Nótese que n3dS = N3dxdy y que N tiene que ser un vector saliente. •

Supongamos ahora que M es una esfera de centro un punto P y radio r, cuyo volumen representamos por V(r). Como fes continua, por el teorema del valor medio para integrales, existe un punto Q = (x0 , y0, z0) de la esfera tal que

146 AMPLIACI6N DE CÁLCULO

De acuerdo con el teorema de la divergencia

J/ · ndS = div f(Q)V(r)

ahora bien, si r tiende a O, entonces el punto Q tiende a P, y resulta

div f(P) = lim div f(Q) = lirn -1-J f · ndS

Q-tP HO V(r) s

El cociente J/ · nds 1 V(r)representa la cantidad de flujo por unidad de volumen que atraviesa S en la dirección y sentido de la normal saliente n. La divergencia del campo en un punto P puede interpretarse como el coeficiente de variación (tasa) de la cantidad de flujo por unidad de volumen de P hacia el exterior.

16.15 . Ejemplo

Apliquemos el teorema de la divergencia para calcular la integral de super­ficie del campo f(x, y, z) = (xz, -yz, r) sobre la superficie del casquete esféri­co M definido por

z2:4

Se tiene:

I = J/ · ndS = JJL div f(x, y, z)dxdydz

como divf=2z, si .Q={(x,y)ER2 :x2 +/~9} , resulta

l = fJJM2zdxdydz = Jfn t · 2zdz dxdy= [

(2S-x~ - v 2 ) 112 ]

UNIDAD DIDÁCTICA 5

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

• Los números complejos

• Derivación e integración de funciones complejas

• Funciones analíticas

• Ceros y singularidades aisladas

• El Teorema de Cauchy y sus aplicaciones

• Transformación conforme

'u--(_.'

CAPÍTULO 17

Los números complejos

l. Los números complejos. 2. Topología del plano complejo. 3. Sucesiones y series de números complejos. 4. Funciones complejas. 5. Funciones elementales.

PRERREQUISITOS

• Estructuras algebraicas: grupo abeliano, cuerpo, espacio vectorial.

• Trigonometría. Expresiones trigonométricas.

• El plano afín euclídeo. Cálculo vectorial. Coordenadas polares.

• Topología usual de JR?.

• Sucesiones y series de números reales. Critedos de convergencia. Cálculo de límites.

• Funciones reales de una vadable real. Límites y continuidad. Dedvadas. Funciones elementales.

• Aplicaciones de R" en R"' (n = 1, 2; m= 2). Límites y continuidad. Diferen­ciabilidad.

150

ESQUEMA/RESUMEN

• Cuerpo e de los números complejos: (R X R, + , ·).

• Número complejo: elemento de C.

Par de números reales (x, y)

Forma binómica x + iy

Representación geométrica, vector (x, y)

Forma polar o módulo-argumental {r, O} o r9

Forma trigonométrica r( cos O + i sen O)

Forma exponencial ré9

AMPLIACIÓN DE CALCULO

• Potencia n-ésirna. Fónnula de DeMoivre z" = r' (cos nO+ i sen nO) .

• Raíces n-ésimas de {r,O}: p= !\ir, a= 0 + 2kn , k = O, J, .. . ,n - 1

n

• Topología de e : e con la distancia d(zi> z2) = lz1 - z21 es un espacio métrico idéntico a (R?, d), en donde des la distancia euclídea.

• Plano complejo completado e : e u { oo}.

• Representación esférica de C. Proyección estereográfica.

• lím Z11 = lím(x11 + iy11 ) = x + iy <=> lím X11

= x, lím y11

= y ¡¡ ---!)oo 11 ---7 00 n-?oo Jl---!)OQ

• Sede L z,: sucesión de las sumas parciales {S11

} = {z1 + z2

+ ... + z11

}

~

• Suma de la serie I. Z11 = lím S" 11--700

11=1

• Serie convergente, absolutamente convergente, divergente.

• Cti terios de convergencia.

~

• Series con familia de índices los números enteros L Z11

• Función compleja de variable real:f(t) = x(t) + iy(t).

• Función compleja de variable compleja:f(z) = u(x, y)+ iv(x, y).

• Límite de f en un punto

lím f(z)=z0 <=> lím u(x,y)=x0 , lím v(x,y) = y0 z-+a+bi (x,y)4(a,b) (x,y)-?(a,b)

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 151

• Derivada de f en un punto

! '( ) l' f(z)- .füo) z0 = un .:--?.:{) z- z0

• Región fundamental Q : abierto conexo de e tal quej(Q) es todo e salvo un número finito de c01tes.

• Función potencial:f(z) = i'. Una región fundamental dejes un sector angu­lar abierto de medida 2n/n.

• Función raíz n-ésima: función inversa g(z) = '-\Íz de la función potencial f(z) = z" en una región fundamental.

• Función exponencial: f(z) = ez = r/ (cos y+ i sen y). Una región fundamen­tal de fes un abierto del plano limitado por dos rectas paralelas al eje Ox que distan entre sí 2n.

• Funciones trigonométricas

sen z = ---2i

• Funciones hiperbólicas

ez - e-z shz =---

2

eiz + e-iz cosz =

2

ez + e-< ch z =---

2

• Función logaritmo: función inversa de la función exponencial en una región fundamental. Si z = { p, O} una función logaritmo es cada una de las ramas de la función multiforme

Ln z = Ln p + i (O + 2k7t) k= O, ±1 , ±2, ...

• Superficies de Riemann. Puntos de ramificación.

l. Los números complejos

La ecuación :2 + 1 no tiene solución en R Ningún número real elevado al cuadrado vale -l. La imposibilidad de resolver esta clase de ecuaciones en el campo real crea la necesidad de ampliar IR construyendo un cuerpo conmutati­vo e, el de los números complejos, tal que -1 posea raíz cuadrada y la ecua­ción anterior tenga solución.

En el producto cartesiano lR. x IR definimos las operaciones suma y pro­ducto de la manera siguiente:

(a, b) + (e, d) = (a + e, b + d)

(a, b) • (e, d) = (ae - bd, ad + be)

Es sencillo comprobar que

l. (R x R, +) es un grupo abeliano de elemento neutro (0, 0), en el que (-a, -b) es simétrico de (a, b).

2. El producto ·es distributivo respecto a la suma+.

3. (IR x IR - { (0, O)}, ·) es un grupo abeliano de elemento neutro (1 , 0), en el que el elemento simétrico de (a, b) es

Por lo tanto, (R x JR, +, ·)es un cuerpo conmutativo al que denominamos cuerpo de los números complejos y designamos por C. Un número comple­jo es un elemento de e, o lo que es equivalente, un par ordenado de números reales.

154 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Cada número real x lo identificamos con el número complejo (x, 0), pues la aplicación j (x) = (x, O) de R en C es un homomorfismo inyectivo entre (R, +, ·) y (C , +, ·). En efecto

j(x, + x2 ) = (x1 + x2, O) = (x" O) + (x2, O) = j(x1) + }(~)

j(x1x2) = (x1x2, O) = (x" O) • (x2, O) = j(x,) • j(x2)

j(x1) = j(x2) ~ (x" 0) = (x2, 0) ~ x1 = x2

Como consecuencia, podemos considerar que R es un subconjunto de e y (R, +, ·)un subgrupo de (C, +, ·). En este sentido e es una ampliación de R

El número complejo (0, 1), que en lo sucesivo designamos por i, es tal que i1 = - 1, pues

¡2 = (0, 1) • (0, 1) = (-1, O)= - 1

y por tanto -1 posee raíz cuadrada en C. Además, si z es el complejo (x, y), lo podemos denotar por z = x + iy, ya que

z = (x, y) = (x, 0) + (0, 1) • (0, y) = x + iy

Esta manera de representar un número complejo se conoce con el nombre de forma binómica y es la forma utilizada con mayor frecuencia. A x se le llama parte real de z y se escribe x = Re z. A y se le llama parte imaginaria de z y se escribe y = 1m z. Si y = O, el complejo z = x se dice que es un núme­ro real. Si x = O, el complejo z = iy se dice que es un número imaginario puro. Las operaciones suma y producto de números complejos las podemos efectuar en forma binómica, operando como en el caso de números reales, sin más que tener en cuenta que i 2 = - 1.

(a+ bi) + (e+ di) = (a + e) + i(b + d)

(a + bi) ·(e + di) = ae + adi + bei + bdi2 = ae - bd + i(ad +be)

17 .l. Representación geométrica de los números complejos

Si fij amos en el plano unos ejes cartesianos, cada número complejo z = x + iy tiene asociado un punto (x, y) , de modo que existe una corres­pondencia biunívoca entre e y los puntos del plano. Esto nos permite hablar del plano complejo y de los ejes real e imaginario, y representar a z por medio de un vector de origen el de coordenadas y extremo final el punto (x, y), al que también se denomina afijo de z. Como cons.ecuencia, podemos interpretar geométricamente la suma de dos compleJOS como el vector diagonal del paralelogramo que determinan y su producto como el resultado de aplicar una homotecia y un giro, según razonaremos un poco más adelante.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 155

eje imaginario z = z, + .:z

, Z = X+ iy y

X eje real

Figura 17.1. Representación geométrica.

17.2. Módulo y argumento

Otra forma de representar el número complejo z = x + iy es a través de las coordenadas polares del punto (x, y). A cada z le podemos asociar el número real positivo r = lzl definido poL~---~

~ lzhihy'j denominado módulo de z, y el ángulo e que forma el vector z con la dirección positiva del eje Ox, llamado argumento de z. que representamos por Arg z. Es claro que

z = (x, y )

Figura 17.2. Módulo y argumento de z.

en donde e= arctaol. b , k = 0,±1,±2, ... X

156 AMPLIACIÓN DE CALCULO

Por lo tanto Arg z es un número real módulo 2n, con lo que posee un único representante en cualquier intervalo semiabierto de longitud 2n. La elección previa de uno de estos intervalos suele llamarse parte principal del argumento y al representante de Arg z valor principal del argumento arg z. Suele fijarse el intervalo [-n, n) o bien el intervalo [0, 2n) como parte principal y denotarse por arg z el valor correspondiente. Si e = arg z, el par { r, e} se denomina forma polar o módulo-argumental del complejo z. También se utiliza la notación r9•

17.3. Las formas trigonométrica y exponencial

Si z = X+ iy y e = arg Z, del cambio a coordenadas polares X = r cos e, y = r sen e, se tiene

r;;;;;;__e~ i sen e) \

que se llama forma trigonométrica de z. Si definimos

~ expresión que se conoce con el nombre de fórmula de Euler, podemos repre-sentar a z por

que se denomina forma exponencial de z.

17 .4. Potencia n-ésima

La forma trigonométrica nos permite calcular de manera muy sencilla el producto de dos números complejos. Sean

entonces

z1z2 = r1(COS e 1 + i sen e 1) ricos e2 + i sen e2) =

= rlr2[(cos e l cos e2- sen el sen e~+ i(cos el sen e2 +sen el cose~] =

= r1r2[cos (e 1 + e2) + i sen (e1 + e2)]

por lo tanto

Arg z1z2 = Arg Z1 + Arg z2

y como consecuencia

1 = lz z- 11 = lzllz-1

1 => lz-11 = lzl- 1

2kn = Arg (z z-1) = Arg z + Arg z-1 => Arg z-1 = -Arg z

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 157

En resumen, el resultado de multiplicar dos números complejos es un número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argu­mento es la suma de los argumentos. Si z = { 1; e}, multiplicarlo por w = { r', a} es aplicarle una bomotecia de centro el origen y razón r' , y después un giro de centro el origen y ángulo a (Figura 17.3).

wz

z

Figura 17.3. Producto de números complejos.

Si consideramos un producto t' de n factores iguales z = { r, e}, de la expre­sión del producto, se deduce de forma obvia que

z" = r''(cos ne + i sen ne)

denominada fórmula de DeMoivre o de la potencia n-ésima de un complejo.

17.5. Raíces n-ésimas

Un número complejo w = {p, a} se llama raíz n-ésima de un número com­plejo z = {r; e} si w~;_z .. Per-eon-siguient-e- --------

p"(cos na+ i sen na) = r(cos e+ i sen e}'·-.,

y se cumple --.. - -· --- -- ·--------·- ---- - ·- . "') -p = vr na = e (módulo 2n)

e+2kn a= k= 0,1,2, ... ,n - 1

------- n

con lo que existen n raíces-n-ésimas_del complejo z~ O, cuyos afijos son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de

radio vr

158 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

17.6. Ejemplos

l. Las distintas formas de representar el complejo de afijo (2, - 2), si [0, 27t) es la parte principal del argumento, son

a) 2 - 2i forma binómica.

b) { 2.J2, 77t/ 4} módulo argumental.

) 2 ¡;;2( 71t . 71t) . , . e -v .t. cos 4 + l sen 4 tngonometnca.

7rc.

d) 2.J2 e 4 ' exponencial.

2. ( -i)27 = {1, 37t 1 2}27 = cos 8 ~7t + i sen

8 ~7t =

= cos 7t + i sen 7t = {1, 1t 1 2} = i 2 2

3. Determinemos ~. Como J-il = 1 arg( -i) = 37t 12, se tiene

31t +2kn a = -'2=c..._ _ _ p= l k=0,1,2,3,4

5

las raíces son

{1 37t} '10 {

1 77t } 'to {1 .!E:}

' 10 {1 157t} ' 10 {

l 197t} ' 10

y constituyen los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia de centro el origen y radio uno.

Finalmente, obsérvese que para z = O no tiene sentido hablar de argumen­to, pues el vector se reduce a un punto (el origen de coordenadas) y no forma ningún ángulo con el eje real. Obsérvese también que dos raíces n-ésimas con­secutivas de un complejo forman un ángulo de 27tln.

2. Topología del plano complejo

Fijada una referencia en el plano afín, hemos visto que cada número com­plejo z representa un punto del plano y tiene asociado un vector de origen el origen de coordenadas y extremo final el punto. C es un espacio vectorial de dimensión dos sobre el cuerpo IR. Las ecuaciones y propiedades de las rectas y curvas del plano las podemos expresar en términos complejos. Para ello, si z = x + iy, consideramos su simétrico z = x- iy respecto al eje real, denomi­nado conjugado de z. Las fórmulas

z = x+iy z = x - iy z+z

x= - -2

nos permiten utilizar la notación más conveniente. En ocasiones, también se emplean x = Re z e y = Im z para describir subconjuntos del plano.

17.7. Ejemplos

l. La ecuación compleja de la circunferencia

:x! + / + 4x - 6y = O

se obtiene efectuando el cambio anterior. Como

x2 +y2 =lzl2 =zz 4x = 2(z+z) - 6y =-3i(z-z)

sustituyendo en la ecuación y simplificando, resulta

zz + (2 + 3i)z + (2- 3i)z = o 2. La ecuación compleja Im l = 6 corresponde a la hipérbola xy = 3, pues

160 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

6 = Im z2 = 1m (x + iy )2 = 1m (x2 - l + 2xyi) => xy = 3

17.8. El espacio métrico (e, el)

El módulo lzl = ~ x 2 + y2 es una aplicación de e en JR+ que cumple las

propiedades

a) lzl = O ~ z = O

b) IA-zl = IA-1 lzl para todo A- E e, z E e para todo Zp Z2 E e

de una nonna. Por lo tanto podemos definir la distancia

que coincide con la distancia euclídea de JR? .. De este modo la topología de e es idéntica a la de R2. Los conceptos y sus propiedades se trasladan automáti­camente del plano real al plano complejo.

17.9 . El plano complejo completado

Al plano complejo e le adjun~mos un punto, llamado punto del infinito, que designamos por oo. La unión C = e u { oo} se denomina plano comJ!!ejo completado_o ampliado porque es posible extender la topología de e a~ de modo que e sea un espacio compacto. En efecto, consideremos en e la siguiente topología: si z * 00 sus ento~s son los mismos que en e, si z = 00

sus entornos son los subconjuntos de e cuyo complementario es un subcon­junto acotado de C. Con~sta topología e es compacto, pues cualquier recubri­miento abierto {U) de e posee un elemento U0 que contiene a oo, cuyo com­plementario K es un subconjunto cerrado y acotado, por lo tanto compacto, de e para el que existe un número finito de elementos de { uj} que lo recu_Qren. Estos elementos junto con U0 constituyen un subrecubrimiento finito de C.

Naturalmente, nQ_es posible extender a e la suma y el producto definidos en e de manera que C tenga estructma de cuerpo. Por utilidad, convenimos en la siguiente extensión de las operaciones

z + oo = oo + z = z - oo = -oo + Z = oo para todo Z E C

z. 00 = oo, z/0 = oo, z/oo =o para todo z E e- {O}

Más adelante, en el estudio de la teoría de funciones, iremos descubriendo las ventajas que supone el plano complejo completado.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 161

17.1 O. Representación esférica

El punto del infinito no puede representarse por ningún punto del plano euclídeo, pues cada uno de ellos está asociado a un elemento de C. Sin embar­go, el plano complejo ampliado admite una representación geométrica por medio de una esfera.

Consideremos el plano complejo y una esfera S de diámetro uno, tangente al plano en el origen de coordenadas. Designemos por P el otro extremo del diámetro que contiene al origen. A cada punto z del plano complejo le hacemos corresponder el punto M intersección de la esfera con la recta que une P y z (Figura 17.4). Establecemos así una correspondencia biunívoca entre los pun­tos del plano y los puntos de la esfera salvo P. El punto z se dice que es la pro­yección estereográfica de M. Si a P le hacemos corresponder el p!!_nto del infi­nito, obtenemos una biyección entre el plano complejo ampliado e y la esfera S. A S se le denomina esfera de Riemann.

p

X

y z

Figura 17 .4. Proyección estereográfica.

Obsérvese que cuanto más se alejan del origen los puntos del plano, más se acercan a P sus imágenes en la esfera. Esto es conforme a nuestra intuición sobre el punto del infinito. En esencia, la proyección estereográfica permite la representación en el plano de los puntos de la esfera y constituye uno de los métodos utilizados en la realización de mapas. En los ejercicios de autocom- · probación estudiaremos esta correspondencia.

3. Sucesiones y series de números complejos

Los conceptos y propiedades de las sucesiones de un espacio métrico son trasladables al caso particular de las sucesiones (z,) de números complejos. De esta manera, una sucesión (z

0) converge a z si para todo E > O, existe n0 E N

tal que si n ~ n0 se tiene

d(z", z) = lzn - zl < E

o lo que es equivalente la sucesión lz, - zl converge a O. Además, si z, = x" + iy, y z = x + iy, como

la convergencia en Ces equivalente a la convergencia en JR?, es decir

límz, = lím(x11

+ iy,)=x+iy ~ lím(x11,y,)=(x,y)

n~oo u---too u4oo

en otras palabras (z.,) converge a z si y sólo si la sucesión de las partes reales (Re z.,) = (x

11) converge a x y la sucesión de las partes imaginarias (Im Z

11) = (y.,)

converge a y. De este hecho y de la convergencia en el campo real se deducen fácilmente las siguientes propiedades.

17 .11. Propiedades de las sucesiones

l. Si existe el límite de (z"), entonces es único.

2. Toda sucesión convergente está acotada.

3. Si (z") converge a z, todas sus subsucesiones convergen a z.

4. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

164 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

5. Si Iím Z11

= z, lím w n == w y A E C, entonces se cumple: n~oo n~oo

a) lím (Z0 + W n) = lím Z0 + lím W n = z + W Q--)00 n---?oo n4oo

b) lím AZ0

= A lím Z0 = A.z O---?oo fi-)OO

e) lím(znwn) = lím zn lím wn = zw n~oo n---?oo n~oo

Si además w" -:;:. O y w -:;:. O

lím zn d) lím ~ == n~oo = z

n~oo wn lím wn w n~oo

Evidentemente, una sucesión (z0

) es de Cauchy si para todo E > O, existe n0 E N tal que si n 2: n0 , m 2: n0 se tiene

d(z0

, zm) = lzn - Z01l < E

Por lo tanto (z11

) es de Cauchy si y sólo si (X11) e (y") son de Cauchy. Como con­secuencia, (z

0) es convergente si y sólo si es de Cauchy. Naturalmente el espa­

cio métrico (IC, d) es completo por serlo (R2, d).

La sucesión (Z11

) se dice que es divergente o que su límite es infinito si para todo k> O (tan grande como queramos) existe n0 E N tal que sin 2: n0 se tiene lznl >k.

Esto es equivalente a decir que el límite de la sucesión de los módulos lz 1 11

es +oo. En resumen, una sucesión de números complejos o bien es convergen-te, o bien es divergente, o bien no tiene límite.

A una sucesión (z,.) le podemos asociar la sucesión {S11 } de sus sumas par­ciales

11

Sil = L, Z~r = z1 + z2 + ... + Z11

k=J

que denominamos serie y representamos por L Z11

• Si la sucesión {SJ es con­vergente, a su límite le llamamos suma de la serie. Si {S

11} no tiene límite o es

diver~ente decimos que la serie es diverge~te. La serie L z,., con~erge si_x sólo si la sene de las partes reales L x" y la sene de las partes 1magmarias 2.; Y11 son convergentes. Además

00 00

L,z, es convergente {::::> L,z11

es convergente cualquiera que sea p. n=l n=p

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 165

Una condición necesaria para la convergencia deL Z11

es que lím Z11

= O, fl~OO

pues Z, = Sil - sll-l y se tiene

lím Z11

= lím S11

- lím S11

_ 1 = w - w = O IJ--)00 Jl--)oo n---?oo

Por otro lado, como {S11

} es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy, se tiene el siguiente criterio de Cauchy para series: L z" es conver­gente si y sólo si para todo E > O existe n0 E N tal que para todo p > n0, q > n0 ,

q > p se tiene

La serie L Z11 es absolutamente convergente si es convergente la serie L lz

111. Como

lzP + zp+I + ... + zql ::;; lzPI + lzp+II + ... + lzql

del criterio de Cauchy se deduce que toda serie absolutamente convergente es convergente.

Igual que en el caso real se pmeban los criterios de la raíz y del cociente.

17 .12. Criterio de la raíz

Sea a: = lím sup ~. se cumple: n~oo

a) Si a:< 1, la serie LZ0

es absolutamente convergente.

b) Si a:> 1, la serie LZ0

es divergente.

17.13. Criterio del cociente

Sea zn -:f. O a partir de un detenninado n0 E N, se cumple:

a) Si lím sup Jzn+Ij < 1 la serie LZ0

es absolutamente convergente. Hoo jznj '

b) Si lím sup jzn+ 11 > 1 la serie LZ0

es divergente. n~= Jzn J '

166 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

17.14. Ejemplo

~ i11 cosn La serie I, es convergente por ser absolutamente convergente, ya

11=1 211

que

fji 11

c~sn¡ ~ f ~ ll=l 2 11=12

y aplicando el criterio del cociente a la última serie

1/211+1 1 lím sup---= - <1

11--->~ 11211

2

Finalmente, en el estudio de funciones de vruiable compleja vamos a utili­zru· series cuya familia de índices son los números enteros, por ejemplo

... + Z_11

+ ... + z_2 + z_1 + z0 + z1 + z2 + ... + z" + ...

que representamos abreviadamente por

~

I,z"

Esta serie decimos que es convergente si lo son las series

00 00

I.z~~ I,z_" 11=0 n=l

en cuyo caso, definimos

~ 00 00

I, Z11 = I,z11 + I,z_" u=-oo 11=0 11=1

4. Funciones complejas

Una función compleja de variable real es una aplicación f de un sub­conjunto M de lR. en C. A partir de f se definen las funciones parte real u = Re f y parte imaginaria v = Im f de M en JR., de modo que

f(t) = u(t) + iv(t)

Recíprocamente, dadas dos funciones u y v de M en R, la expresión anterior determina una función f de M en C. Esta correspondencia biunívoca f H {u, v} permite trasladar a f las definiciones y propiedades topológicas de las funcio­nes de R en R2

• Por ejemplo, si z0 = x0 + iy0 y a es un punto de acumulación de M, se tiene

lím f(t) = z0 {::::> límu(t) = x0 t~a t~a

lím v(t) =Yo 1---> a

o bien fes continua en un punto a de M si y sólo si lo son u y v.

La delivada de f en a E M se representa por f'(a) y se define por

f'(a) = lím f(t) - f(a) 1--->a t-a

siempre que dicho límite exista. Naturalmente, fes derivable en a si y sólo si lo son u y v, en cuyo caso se cumple

f'(a) = u'(a) + iv'(a)

Si consideramos la recta real ampliada con los puntos + oo y -oo, y el plano complejo completado con oo, las definiciones de límite en los puntos del infini­to son análogas a las establecidas para funciones de R en R2 (en general en R")

!1¡

111

168 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Por ejemplo se tiene

límf(t)=z0

<=> \fE>O, 3k>0 1 \it>k => lf(t)-z0 l<E 1-->o<>

lím f(t) = z0

<=> \fE> O, 3k >O 1 \it <-k => lf(t)- z0 l <E 11-o<J

lím f(t) = oo <=> \fk >O, 38 >O 1 O< Jt- aJ < ó => lf(t)l >k r->a

Iímf(t) = oo <=> \fc>O, 3k>0 1 \it>k => IJ(t)l>c (-}o<>

lím f(t) = oo <=> \fe> O, 3k >O 1 \it <-k => IJ(t)l >e t--7-00

La clase de funciones complejas de variable real más importante son las curvas. Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, una curva x = x(t), y = y(t), t E 1 en el plano real se determina en el plano complejo por la ecua-

ción

z(t) = x(t) + iy(t) tE 1

y recíprocamente. Como la integral compleja es una integral curvilínea, esto nos permitirá expresarla en términos de integrales reales.

Una función compleja de variable compleja es una aplicación f de un subconjunto A de e en C. Si z = x + iy es un elemento de A, su imagen por f es un número complejo

j(z) = u(x, y)+ iv(x, y)

y f determina un par de funciones reales definidas en el subconjunto A de JR?, denominadas parte real u = Re f y pa11e imaginaria v = Im f de f Recíproca­mente dos funciones reales {u, v} definidas en A determinan una función com­pleja! Esta correspondencia biunívoca/ H {u, v} permite trasladar afias defi­niciones y propiedades topológicas de las aplicaciones de lR2 en JR2

• Por ejem­plo, si (a, b) es un punto de acumulación de A, se tiene

lím j(z) = z0 <=> lím u(x,y) = x0 , lím v(x,y) =Yo <->(a+bi ) (x,y)->(a,b) (x,y)->(a,b)

o bien/ es continua en a + bi E A si y sólo si u y v lo son en (a, b).

La estructura de cuerpo de e permite a su vez definir la derivada de f en un punto z0 mediante el límite

f'Czo)= lím /(z)-/(zo) Z-'>Zn z- Zo

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 169

y aunque formalmente es análoga al caso real, la existencia de f'(z0) conlleva un comportamiento peculiar de la función en el punto. En el próximo capítulo estudiaremos con detalle la derivada de f y su relación con la diferenciabilidad de {u, v}.

Desde un punto de vista geométrico,.ftransforma un punto P del plano xy en un punto P' del plano uv, de alú que una función compleja de variable com­pleja también se denomine transformación. A u = u(x, y), v = v(x, y) se les suele llamar ecuaciones de la transformación.

En algunos casos de funciones no inyectivas, cuya imagen es todo <C, resul­ta conveniente encontrar regiones Q en las que sean inyectivas y su imagen sea <C salvo un número de semirrectas de extremo el origen. De esta manera pode­mos utilizar la transformación inversa. A las semirrectas las denominamos cor­tes y a las regiones n regiones fundamentales.

17.15. Definición de región fundamental

Sea A un subconjunto de <C y f una función de A en <C tal que f(A) = <C. Un subconjunto Q e A es una regiónfundamental de f si cumple:

a) Q es un abierto conexo de <C en el que fes inyectiva.

b) f(Q) es todo e salvo un número finito de cortes.

A continuación estudiamos algunas funciones elementales y sus regiones fundamentales.

¡ji 1

5. Funciones elementales

17 .16. Función potencial de exponente n

La función potencial de exponente n es la aplicación! de <C en <C defmida por j(z) = z". Si (r, 8) son las coordenadas polares de z, entonces (r'', a), en donde a = ne (mod 2n), son las coordenadas polares de z". Como consecuen­cia, la imagen por f de cualquier sector angular del plano complejo de medida 21tln es todo C, ya que, por ejemplo

o ~ e < 2nln ~ o ~ ne < 21t ~ o ~ a < 21t

Si suprimimos las semirrectas fronteras del sector, obtenemos una región fun­damental Q, tal que j(Q) es todo <C salvo un corte.

17.17. Ejemplo

Si n = 6, el sector angular abierto

Q = { Z E <C : 0 < arg Z < rrJ3}

es una región fundamental de f(z) = z6 y su imagen por fes todo <C salvo el corte

{z = x + iy E <C: y = O, x 2 O} (Figura 17.5)

/~ - . ~ .. -- --- -- .-- .. ........ ...... -~ ~.. --- .. -- .. -.. .. -- --...... ~ ...... .. -

Figura 17.5. Región fundamental def(z) = z6•

''111

172 AMPLIACIÓN DE CALCULO

A partir de la función f(z) = z", se obtienen las funciones polinómicas P definidas en todo e por

( ) 2 111 P z = a0 + a ,z + a2z + ... + a,.z

y las funciones racionales, cociente de dos polinomios P(z) y Q(z) definidas por

h(z) = P(z) Q(z)

en todos los puntos de e en los que no se anule Q(z). Si

az+b h(z)=-­

ez+d a, b, e, d E e, ad - be "# O

h se llama transformación bilineal fraccionaria. La estudiaremos con dete­nimiento en el último capítulo.

17.18. Función raíz n-ésima

La correspondencia que a cada número complejo le asocia sus n raíces n­ésimas no es una aplicación, pues cada z posee n imágenes diferentes. Esta clase de correspondencias suelen denominarse funciones multiformes, y a

cada una de sus formas rama. Para que ifi sea una aplicación es necesario

añadir alguna condición que fije una única rama.

Sea la función potencial f(z) = i' definida en una de sus regiones fun?a­mentales Q. Se llama función raíz n-ésima correspondiente a Q a la función inversa def

Fijada la región fundamental Q de f(z) = i'

Q = { Z E e : 8o < arg Z < 8o + 2:}

fes una biyección entre Q y e - L, en donde

L = {w E e: w = 0 Ó arg w = n80}

cuya función inversa¡-' es la función g(w) = !!J; definida de la siguiente

manera: si el módulo y argumento de z E e - L es { p, a}, entonces el módulo

y argumento de g(w) E Q es {!{p",a!n} (Figura 17.6).

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 173

w = z"

L

Figura 17.6. Funciones potencial y raíz n-ésima.

En resumen, cualquiera que sea la región fundamental Q de f(z) = z", la rama correspondiente de la raíz n-ésima está definida en todo e salvo en un

corte L. Como consecuencia g( w) = !!J; queda determinada si se fija L y se

establece el valor de gen un punto de e - L, pues de esta manera se determi­na también Q.

17.19. Ejemplo

Sea L = {z E e : z =o o bien arg z = 7t/4} y Vi = {1, 1t 1 6} o Como i = { 1, 1t/2}, resulta

1t + 2k7t 1t= 2 ~ k = O 6 3

por lo tanto

g(z) = { \fzf, ar:z}

Nótese que L determina tres regiones fundamentales de f(z) = l. Cada una

de ellas corresponde a una rama de VZ. El valor de Vi define la rama (Figu­ra 17.7).

~ 1 n 1;

,, ,

:1¡

174 AMPUACIÓN DE CALCULO

.·

~«X <~+21t 4 4

91t

12

l 77t 12

~ < 0< 91t = ~+ 27t 12 12 12 3

Figura 17.7. Función Vi. determinada por L y el valor de Vi.

17 .20. Función exponencial

Se llama función exponencial a la aplicación f de C en C definida por

j(z) = ez = e<+iy = e' (cos y+ i sen y)

de donde

!f(z)l = le:l = e' Arcr é = \' o .

Es muy sencillo probar que se cumple

(mod 21t)

f(z1 + z

2) = ez,+:, = ez,ez, = f(Z¡)j(zz)

1t

12

Si z es un número real, f se reduce a la función exponencial real de varia­ble real. Si z es un número imaginario puro,f se reduce a la función

f(iy) = e;y = cos y + i sen y

Una región fundamental .O de fes un abierto del plano limitado por dos rec­tas paralelas al eje Ox que distan entre sí 21t. La imagen de Q por fes todo C salvo el corte e= a (Figura 17.8).

y =a+21t

y=a -z =In w

Figura 17.8. Región fundamental de e'.

·.

•• · ...:::::::::::::::·· L,

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 175

Obsérvese que f transforma la recta x = r en la circunferencia de centro el origen y radio r, y transforma la recta y = y0 en la semirrecta e = Yo·

17.21. Funciones trigonométricas e hiperbólicas

A partir de la función exponencial se definen las funciones trigonométri­cas complejas

senz = - ---2i

y las funciones hiperbólicas complejas

para todo z E C .

e z - e-z shz =---

2

e iz + e-iz cosz =----

2

e' + e-z chz=---

2

De las definiciones anteriores, se deducen sin dificultad propiedades aná-logas a] caso real. Por ejemplo

a) sen2 z + cos2 z = 1

b) sen (z1 + zz) = sen z, cos z2 + cos z, sen z2

e) cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sen z1 sen z2

o bien

a') ch2 z - sh2 z = 1

b') sen (z, + iz2) = sen z, eh z2 + i cos z1 sh z2

e') cos (z1 + iz2) = cos z, eh z2 + i se1r z, sh z2

Tanto sen z como cos z son funciones periódicas de período 27t. Además, para todo z E C:

sen z = sen (7t - z) cos z = cos (-z)

por lo tanto, una región fundamental de sen z es un abierto limitado por dos rec­tas paralelas al eje Oy que disten entre sí 1t. Una región fundamental de cos z es un abierto limitado por dos rectas paralelas al eje Oy que disten entre sí 1t.

En los puntos que no anulen el denominador, se definen las funciones

senz tgz = -­

cosz

cosz ctgz = --

sen z th z = sh z

chz cth z =eh z

sh z

1! 'ltlli:

illi

176 AMPL/ACJÓN DE CÁLCULO

17.22. Función logaritmo

Dado un número complejo w * O, se llama logaritmo de w a cualquier número complejo z = x + iy tal que e:= w. Entonces, si w = lwl é9

e<+iy = lwl e;a {:::> ¿ = lwl, é ' = e;a

Por lo tanto

X = In lwl y = e+ 2krt k = O, ±1, ±2, ...

y cada w posee una cantidad numerable de logaritmos. Se determina así una función multiforme

Ln w = x + i (e + 2krc) k = O, ±1, ±2, ...

La función logaritmo se define siguiendo un proceso análogo al utilizado para definir la función raíz n-ésima a partir de la función potencial. Sea f(z) = e' definida en su región fundamental

Q = {z = x + iy: a< y< a + 2rc}

y sea La el corte que determina en el plano complejo w

La = { w E e : w = o o bien arg w = a}

La función exponencial f de Q en C - La es biyectiva. Se denomina fun­ción logaritmo correspondiente a Q a la función inversa de f (Figura 17 .8). Como consecuencia, cada número real a determina una región fundamental Q

de e:, un corte La en el plano w y una función logaritmo.

Si consideramos un co11e Len el plano w, podemos determinar una región fundamental Q de e:, y por lo tanto una función logaritmo, estableciendo el valor del logaritmo en un punto de e -L.

17.23. Ejemplo

Si L = { w E e : w = o o bien arg w = rt/4} y ln 1 = 2rti la región funda­mental de e: es

n={z= x+iy 1t 1t } -<y<-+21t 4 4

y la función logaritmo en e - L viene definida por

In w = lnlwl + ie

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 177

1t

4 ·· · · ·········· ··· ·······---·· ··--·--·· · ~ + 21t

z 2n 4 1V ·: •• -···

.-·· _.··::::>···· ~=in w n --.- ..•••• ••• •• •••• ·-·· •••• - •••• -·-- • •• . 1t

4

Figura 17.9. Ejemplo 17.23.

Nótese que fijado en el plano w un cotte L mediante un número real a, cada entero k determina una región fundamental, pues se corresponde con uno de los logaritmos de l .

Ln 1 = i 2krt k = O, ± 1, ±2, ...

Cada una de las funciones logruitmo se denomina rama de la función multifor­me Ln w. La rama correspondiente a la región fundamental

Q = {z = x + iy: -rc < y < rc}

o lo que es equivalente, al corte L determinado por a = -rt y k = O, se llama rama principal del logaritmo (Figura 17.1 O).

.. ...... .... .. ... .. ........ '\

.... ............... . ....... ..: ~ = In w -

Figura 17.10. Rama principal del logaritmo.

17.24. Superficies elementales de Riemann

1t

- lt

Dada una función multifonne f, su restricción a una región fundamental determina una aplicación. Otra forma de definir a partir defuna aplicación es cons~derar que su recorrido es una región generalizada, que permite distinguir el nusmo punto del plano complejo tantas veces como puntos diferentes de C lo tengan por imagen. Estas regiones se conocen con el nombre de superficie de Riemann.

ll!i~

178 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

La construcción de la superficie de Riemann asociada a una función ele­mental suele ser muy sencilla. Se trata de hojas superpuestas que se unen en cortes del plano. Cada una de ellas es imagen de una región fundamental y el corte es imagen de la frontera común de dos regiones. Por ejemplo, cada uno de los n sectores angulares

es una región fundamental de la función potencial f(z) = t'. La imagen por f de cada Qk es todo e salvo el semieje real positivo. Como consecuencia, la super-

ficie de Riemann de g(z) =!!Ji. consta de n hojas, cada una de ellas corres­

pondiente a una región Qk, unidas de modo que el borde infedor del corte de una se hace coincidir con el borde superior del corte de la siguiente. Al final, el borde infedor de la última se hace coincidir con el borde superior de la pd­mera. Se construye así una superficie imposible en sentido físico (forzosamen­te tendrían que cruzarse las hojas para poder unir la última con la primera), pero válido como modelo matemático pues se logra la inyectividad y continui­dad de f en e y de g en la superficie, considerando en esta la topología natural determinada por la topología de cada hoja.

En el ejercicio anterior el origen es común a todas las hojas de la superfi­cie, y cualquier curva que lo rodee debe de dar n vueltas alrededor de él antes de cetTarse. Estos puntos se llaman puntos de . ramificación. En general, no tienen por qué ser puntos de enlace de todas las hojas. Si enlazan m hojas se dice que su orden es m - l .

CAPÍTULO 18

Derivación e integración de funciones complejas

l . Funciones holomorfas. 2. Propiedades de la derivada. 3. Integración en el plano complejo. 4. El teorema de Cauchy-Goursat.

PRERREQUISITOS

• Funciones reales de una variable real: derivación e integración. Propiedades.

• Diferenciación de funciones de varias variables. Propiedades.

• Teoremas de la función inversa y función implícita.

• Funciones analíticas.

• Integrales de línea. Teoremas fundamentales. Propiedades.

1111''11

t ¡1

1..• ,¡rltlll

:U:II

180 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ESQUEMA/RESUMEN

• Función holomorfa en un punto: derivable en un entorno del punto.

• Condiciones de Cauchy-Riemann de f = u + iv en (x0, y0)

au(x0 ,y0 ) _ av(x0 ,y0 )

ax ay

au(x0 ,y0 ) _ av(x0 ,y0 )

ay ax

• fes derivable en z0 ~ u, v son diferenciables y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann en (x0 , y0).

• Función armónica q> de un abierto A de lR2 en R satisface la ecuación de Laplace.

• Reglas de cálculo y derivadas de las funciones elementales.

• Regla de L'Hópital: lím f(z) = lím f'(z) z-Hu g(z) z-Ho g'(z)

• Teorema de la función inversa.

• Función primitiva F def: F'(z) =f(z)

• Integral indefinida: conjunto de todas las primitivas.

• Integral de f respecto a la curva y de ecuación z = z(t)

JJ<z)dz = s:f(z(t))z'(t)dt

• Propiedades de la integral: linealidad, unión de caminos, camino opuesto, cambio de parámetro, acotación.

• Regla de Barrow.

• Teorema de la independencia del camino: A abierto conexo por ar<?OS regu­lares a trozos, f : A -7 e continua. Son equivalentes:

a) Existe una primitiva F de f en A.

b) La integral de fes independiente del camino.

e) La integral de f respecto a un camino cerrado es nula.

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 181

• Propiedad triangular: la integral de fa lo largo de cualquier camino triangu­lar es cero.

• Teorema tle Cauchy-Goursan t para tr i úngulo~: Sea A un abierto,f: A -7 C con­tinua en A y holomorfa en A - { ~} si la región triangular limitada por un camino triangular T está contenida en A, entonces

• Teorema de Cauchy-Goursat para conjuntos estrellados: Sea A un abierto estrellado de e y f : A -7 e una función continua en A y holomorfa en todo A salvo en un punto ~ de A. Si y es un camino cerrado, regular a trozos, con­tenido en A, entonces

f,J(z)dz = O

IIIU!,I

1 .f''

:1111

l. Funciones holomorfas

Sea f una función compleja de variable compleja. De forma análoga al caso real, la estructura de cuerpo existente en C permite definir la derivada de f en un punto como límite del cociente de incrementos. Las propiedades ele­mentales de la derivada y sus demostraciones son también análogas. Sin embargo, las teorías de diferenciación a que dan lugar son diferentes. En efec­to, a diferencia de lo que sucede en el campo real, en donde la derivada de una función definida en un abierto ni siquiera tiene porqué ser continua, probare­mos que una función compleja derivable en un abierto A de <C no sólo es inde­finidamente derivable en él, sinó que además la serie de potencias (serie de Taylor) asociada af en un entorno de cada punto de A converge af En otras palabras, son equivalentes: fes derivable en A y fes analítica en A. En lo que sigue, supondremos A un abietto de <C, z0 un punto de A y funa función de A en C.

18.1. Definición de función holomorfa

Se dice que fes derivable en z0 E A si existe y es finito el límite

1, f(z)-f(z0 ) un

z- Hn z-z0

Al valor de este límite se le llama derivada de f en z0 y se representa por f'(z0).

Se dice que f es holom01ja en z0 si es derivable en cada punto de un entorno de Zo-

Supongamos f detivable en z0 . Cualquiera que sea el subconjunto de A por el que nos acerquemos a z0 , el límite que define la derivada vale f' (z0). Si

l. lh

184 AMPUACIÓN DE CÁLCULO

z0 = x0 +iy0 , z =x+iy, f(z)=u(x,y) + iv(x,y)

calculando el límite a través de la recta y = y0

, se tiene

f'(z) = lim f(z)- f(zo) = lím f(z)- f(z0 ) = <-4~" Z- Zo x-4xo X - Xo y=)'u

X ---? Xo X - x0

calculando el límite a través de la recta x = x0

, se tiene

f'(z) = lím f(z)- f( zo ) = lím f(_z)- .f(z0 ) = z-->zo z - z0 Y-->Yo z(y-yo) x=x0

= lím u(x0 ,y)+iv(x0 ,y) - u(x0 ,y0 )-iv(x0 ,y0 ) = .v-->Yu i(y - Yo)

=! au(x0 ,y0 ) + av(x0 ,y0 ) = av(x0 ,y0 )

ay ay ay

Como consecuencia, igualando los resultados, se obtiene

au(x0 ,y0 ) _ av(x0 ,y0 )

ax ay

au(x0 ,y0 ) = _ av(x0 ,y0 )

ay ax

expresiones que se conocen con el nombre de condiciones de Cauchy-Rie­mann, y constituyen una condición necesaria para la existencia de la derivada de f en Zo· Por lo tanto, la diferenciabilidad de u y v en un punto no basta para que.fsea derivable en él, además es necesario que cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann. Por ejemplo, la función

f(z) = x 2 + l + i(x+ y)

no es derivable en z = O, pues

DERIVACIÓN E INTEGRACJÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 185

au(O,O) =O:;t: av(O,O) = 1 ; au(O,O) = O:;t: - av(O,O) = -l ax ay ay ax

sin embargo, u(x, y)=~+ l, v(x, y) = x +y son diferenciables en (0, 0).

La relación entre la holomorfía en C y la diferenciabilidad en ~2 viene dada por el siguiente resultado.

18.2. Teorema

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) f es derivable en z0•

b) u y v son diferenciables y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann en (x0, Yo)·

Demostración. En cualquiera de las dos afirmaciones se cumplen las con­diciones de Cauchy-Riemann. Sea

au(x0 ,y0 ) = av(x0 ,Yo) = a ax ay

au(x0 ,y0 ) = _ av(xo,Yo) = - b ay ax

es decir, si a) es ciertaf' (Zo) = a + bi y si b) es cierta las matrices jacobianas son u'(x0, y0) =(a - b), v'(x0 , y0) = (b a).

El teorema es consecuencia de la equivalencia de las siguientes igualdades

lím .f(z)- .f(zo) = f'Czo) z-->zo z- z0

lím lf(z) - f(Zo)- f'Czo)(z - zo) I= O z-->zo z-zo

lím (x.y)-->(xo .Yol

Ju(x,y) + iv(x,y) - u(x0 , y0 )- iv(x0 , y0 ) - (a+ bi)[(x- Xo) + i(y - Yo)JJ = 0

~(x-x0i +(y - Yo)2

y esta última igualdad es equivalente a

lím (x,y)-4(xo ·Yo)

lím (x,y)-->(xo •>'o)

u(x,y) - u(x0 ,y0 ) - [a(x- x0 ) - b(y- Yo)] = 0

~(x - x0 )2 +(y- Yoi

v(x,y)- v(x0 ,y0 )- [b(x - x0 ) + a(y- Yo)] = 0

~(x-xo)2 +(y-yo)z

1 11~ 1

186 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

que son las condiciones de diferenciabilidad de las funciones u y v. •

El concepto de holomorfía de una función se puede extender al punto del infinito mediante la siguiente definición.

18.3. Definición de función derivable en z = oo

Sea A un abierto de e y z0 = oo un punto de A. Una función f de A en e es

derivable en z0 = oo si la función g(z) = 1(;) es derivable en z =O. A g'(O) se

le llama derivada de f en oo.

18.4. Ejemplo

1 La función f(z) = sen - es holomorfa en el punto del infinito porque

z g(z) = sen z es holomorfa en z = O. La derivada de f en z = oo es g'(O) = l.

Una función q:> de un abierto A de JR? en IR. decimos que es armónica en A si es de clase dos en A y satisface la ecuación de Laplace

o2q:>(x,y) + o2

q:>(x,y) =o ox2 ol

Comprobaremos más adelante que las funciones parte real y parte imaginaria de una función holomorfajson de clase infinito en A, por lo que derivando res­pecto a x en la primera ecuación de Cauchy-Riemann y respecto a y en la segunda, y sumando miembro a miembro se obtiene

o2u(x,y) + o2

u(x,y) =o ox2 ol

Análogamente, v también cumple la ecuación de Laplace. En otras palabras, u y v son atmónicas. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Si u y v. son armó­nicas para que f = u + iv sea holomorfa se necesita que u y v cumplan las con­diciones de Cauchy-Riemann.

2. Propiedades de la derivada

Las propiedades elementales de las fun~iones deriv~bles de vari~bl~ real _Y sus demostraciones se trasladan a las func10nes de vanable compleJa .sm mas que cambiar la notación. Por ejemplo, si f ~s derivable en Zo su derzvada es única, o bien, si fes derivable en z0 es contznua en Z0•

18.5. Reglas de cálculo

Sean f y g derivables en Za y A., ll dos números complejos cualesquiera, entonces se cumple:

a) Af + IJ.g es derivable en. z0 y se tiene

[Af + IJ.g]' (z0) = A.f '(z0) + IJ.g'(z0)

b) fg es derivable en. z0 y se tiene

[fg]' (Za) = f(z0) g'(z0) + f '(z0) g(Zo)

e) Si g(z) :tOen un entorno de z0, entonces flg está definida en ese entor­no, es derivable en Za y se tiene

18.6. Derivada de las funciones elementales

En lo que sigue suponemos que fes una función definida en un abierto A

de C .

188 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

a) Una función constante f(z) = k es derivable en cualquier punto de A y f'(z) =O.

b) La función identidad f(z) = z es derivable en A y f '(z) = 1, para todo ZE A.

e) La función potencial f(z) = z" es derivable en Ay f'(z) = nzn-1 para todo Z E A.

d) Una función polinómica

&( ) n n- 1 1' Z = '\¡Z + a1z + ... + a

0_ 1z + an

es derivable en cualquier z E A y su derivada es

f'(z) = n'\¡Zn- l + (n-l)a1z"-2 + ... + an-l

e) La función exponencial f(z) = ez es derivable en todo A y f'(z) = ez.

f) Una función logaritmo f(z) = In z es derivable en todo A y f'(z) = 1/z.

g) Una función raíz n-ésima f(z) = rifZ es derivable en todo A y

¡!.:E. f'(z) = -z n

n

18.7. Teorema (Regla de l'Hopital)

Sean f y g dos funciones ho~omoifas en el entorno U de un punto z0

, en el que g(z) "# O para todo z "# z0 • Sz f(z0) = g(z0) = O y g'(z

0) ::t: O, entonces

lím f(z) = f'(z0 )

z->zo g(z) g'(z0 )

Demostración. Por ser fy g delivables en z0

se cumple

f(z) = f( zo) + (z- z0 )f'(Zo) + (z- z0)E1 (z)

g(z) = g(zo) + (z- z0 )g'(z0 ) + (z- Zo)E2 (z)

en ~onde E1(z) ~ ~(z) tienden a cero c~ando z tiende a Zo· Dividiendo miembro a nuembro las Igualdades y tomando límites se tiene

lím f( z) = lím (z -z0 )[f'(z0 )+E1(z) ] = f'(z0 )

z->zo g(z) z->zo (z-z0 )[g'(z0 )+E2(z)] g'(z0

) • Si g'(z0) =O y f'(z0) "#O es claro que el límite anterior es oo. Además la con­

tinuidad de f' y g' en el entorno de z0 permite expresar la regla de l'Hópital por

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS

lím f(z) = lím f'(z) z->zo g(z) z->zo g'(z)

189

siempre que g(z) "# O en un entorno de Zo· Finalmente, si!' (Zo) = g'(Zo) = O, la existencia de las derivadas segundas/", g" permite extender la regla en condi­ciones análogas, y así sucesivamente.

18.8. Teorema de la función inversa

Sea f holomorfa y con derivada f' continua en el abierto A de C. Si Z0 E A y f'(z

0) "# O, existe un entorno abierto U de z0 y un entorno abierto V de f(z0)

tales que la restricción de fa U es una biyección entre U y V, f -1 es holomor­

fa en V y se verifica

Demostración. Por ser f(z) = u(x, y) + iv(x, y) derivable con continuidad en Zo· las aplicaciones u y v son diferenciables con continuidad en (x0, y0) y cum­plen las condiciones de Cauchy-Riemann. Además, como f'(Zo) "#O, resulta

en donde Fes la aplicación de A en JR2 de componentes u y v, cuya matliz jaco­biana es

Por lo tanto, F cumple las hipótesis del teorema de la función inversa para funciones reales y admite función inversa diferenciable F-1 = (s, t) en el entor­no U del punto (x0 , y0).

Si F(x0, y0) = (u0, v0) , se tiene

~~~11'

. ,,

190 AMPliACIÓN DE CÁLCULO

luego s y t cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann en w0 = u0 + iv0 y ]

1(w) = s(u, v) + it(u, v) es derivable en w0, siendo su derivada

Del análisis real, es conocido que una función diferenciable en un abierto conexo A de IR." es constante si y sólo si su diferencial en A es idénticamente nula. Esto permite deducir, de forma evidente, el resultado en el caso complejo .

18.9. Teorema (caracterización de una función constante)

Sea A un abierto conexo de C. Una función f de A en e es constante si y sólo si f'(z) = O para todo z E A.

La noción de función primitiva juega un papel importante en el estudio de las funciones de variable compleja. F es una función primitiva de f en A si F es derivable en A y F'(z) = f(z) para todo z E A. Al conjunto de todas las pri­mitivas de f en A se le llama integral indefinida de f en A.

3. Integración en el plano complejo

La integral definida en el campo complejo es una integral de línea. Por lo tanto, interviene un camino de integración o arco de curva y y una función compleja! definida en un subconjunto de e que contenga a y. Supondremos los caminos de integración

z(t) = x(t) + iy(t) tE [a, b]

regulares a trozos. Sif(z) = u(x, y) + iv(x, y), se define la integral de f respec­to de y por

JY f(z)dz = J: f(z(t))z'(t)dt

siempre que dicha integral exista, para lo cual es suficiente con que f(z(t) ) sea continua en [a, b] salvo a lo más en un conjunto de medida nula.

18.10. Ejemplo

La integral de f(z) = z + 1 respecto de z(t) = t + if entre los puntos z1 = O y z2 = 1 + i viene dada por

I = J./z + 1)dz = J~ (z(t) + l)z'(t)dt

como dz = z'(t)dt = (1 + 2ti)dt y z(t) = t- it2, resulta

l = f~ (t + 1- it2)(1 + 2ti)dt = f~[t + 1 + 2t3 + i(t2 + 2t)]dt =

l l 1' 4 = (t+1+2t3 )dt+i (t2 +2t)dt =2 +-i o o 3

192 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Las propiedades de las integrales curvilíneas en el campo real son trasla­dables a la integración en el campo complejo. Las demostraciones son una nueva repetición de las realizadas allí. A continuación enunciamos las más importantes utilizando la notación compleja. Suponemos funciones complejas definidas en un subconjunto A que contiene a los caminos de integración.

18.11. Propiedades de la integral compleja

a) Linealidad. Sean f y g funciones integrables respecto al camino y y sean 'A y ¡.t dos números complejos cualesquiera. La función 'Af + ¡.tg es inte­grable respecto a y y se cumple

f ('AJ(z) + ¡.tg(z))dz ='A f f(z)dz + ¡.tf g(z)dz y y 'Y

b) Unión de caminos. Si y = y1 + y2 y f es integrable respecto a y1 y res­pecto a y2, entonces fes integrable respecto a y y se cumple

f f(z)dz = f f(z)dz + f f(z)dz Y y, Y2

Nótese que y1 y y2 son arcos determinados en y por un punto distinto de los pun­tos extremos de y.

e) Camino opuesto. Si y1 es el camino opuesto de y2 (recorrido en sentido contrario) y fes integrable respecto a y" entonces fes integrable respecto a y2

y se cumple

f f(z)dz =-f f(z)dz y, "12

d) Cambio de parámetro. Si "{1 y "{2 son caminos equivalentes (existe un homomorfismo u = u(t) entre los intervalos en donde están definidas z1(t) y zz(u), tales que z1(t) = z2(u(t)) y fes integrable respecto a y1, entonces fes inte­grable respecto a "{2 y se cumple

e) Acotación. Si fes continua en y

en donde M= máx {lf(z)l : z E y} y L(y) es la longitud del arco y.

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 193

Análogo al caso de funciones reales, si se conoce una primitiva F de f en A, la integral respecto a y se puede calcular por la diferencia de los valores que toma F en los extremos de y.

18.12. Teorema (Regla de Barrow)

Sea A un abierto de e , y un camino regular a trozos contenido en A y f : A -t e continua en A. Si F es una primitiva de f en A, se cumple

en donde z1 es el extremo inicial de y y z2 es su extremo final.

En particular si z1 = z2, es decir, si y es cerrado, entonces el valor de la integral es cero.

Demostración. Supongamos que y viene determinado por la aplicación (X.: [a, b) -t e y sea Z1 = <X.( a), z2 = <X.(b), entonces

Jrf( z)dz = J:¡(a.(t))a.'(t)dt

Como Fes una primitiva de f

[F(a.(t))]' = j(a.(t))a.'(t)

por lo tanto, aplicando la regla de Barrow

JYJ(z )dz = J)F(a.(t))]' dt = F(a.(b))- F(a.(a)) = F(z2)- F(z1) • De acuerdo con el teorema anterior, la existencia de una primitiva F de f

implica que la integral de f respecto a cualquier camino y que una dos puntos de A es independiente de y. El resultado recíproco también es cierto: si para cualquier par de puntos de A la integral de fes independiente del camino que los une, entonces f posee una primitiva F en A.

18.13. Teorema de la independencia del camino

Sea A U/1 abierto conexo por arcos regulares a trozos de e y f: A -t e conti­nua. Son equivalentes:

a) Existe una primitiva F de f en A.

b) La integral de f respecto a cualquier camino y que una dos puntos de A es independiente de y.

llil'

::t

194 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

e) La integral de fa lo largo de cualquier camino cerrado es nula.

Demostración.

a) => b) es la regla de Barrow

b) => a) Sea z0 un punto fijo de A. La aplicación

z ----t F(z) = f f(w)dw zo

de A en e está bien definida, pues por hipótesis la integral es independiente del camino. Probemos que F es una primitiva de f, es decir

F'(~) = lim F(z)- F(~) = /(~) para todo~ E A H~ z-~

En efecto, sea e > O, por ser f continua en ~ existe una bola B(~, r) tal que

I!Cz)- /(~)1 <e para todo z E B(~,r)

Ahora bien, por hipótesis

F(z)- F(~) = J;J(w)dw

entonces, se tiene

IF(z) - F(~) - /(~)~ = 1-1-f[J(w)- /(~)]dwl ~ z-~ z-~ ~

~ lz ~~~ J;lf(w)- /(~)IJdwJ ~ lz~~~ J~'eJdwJ =e

para todo z E B (~, r), z :t:- ~·

b =>c. Es evidente, pues si z1 = z2, resulta

Jz, - J(z )dz = F(z1)-F(z2) =O

Z¡

e=> b. Si "{1

y "{2 son dos caminos que unen los puntos z1 y z2 , el camino 'Y= y

1 + (-"{2) es un camino cerrado cuyo extremo inicial y fmal es z1• Por hipó­

tesis

J f(z)dz = J f( z )dz + J f( z)dz =O Y 'Y1 - y2

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 195

por lo tanto

J f(z)dz =-J f( z)dz = J f( z)dz Y1 - Y2 'Y2 •

El teorema anterior es la versión compleja del teorema correspondiente al caso real. (Teorema 15.6).

18.14. Ejemplos

a) La integral de f(z) = Z: respecto al camino 'Y

z(t) = f + it tE [0, 1]

viene dada por

I = JY z3 dz = J~ (t3 + it)3

(3t2 + i)dt

pero, como F(z) = z4/4 es una primitiva de f en C y z(O) = O, z(l) = 1 + i, resulta

1 = F(l + i)- F(O) = (1 + i)4

4

b) La integral respecto a la circunferencia lzl = 1 de la función f(z) = llz definida en e - {o} viene dada por

f f(z)dz=f2

1t 1

(-sen t+icos t)dt = Jizi=I Jo cos t + i sen t

f21t =Jo idt = 21ti

Luegojno posee primitiva en e - {O} ya que su integral a lo largo de un cami­no cerrado es distinto de cero.

llliiJI

4. El teorema de Cauchy-Goursat

En el último ejemplo hemos visto cómo la función f(z) = 1/z, definida y holomorfa en A =e - {0}, no posee primitiva en A. Establecemos a conti­nuación una clase amplia de subconjuntos de C en los que una función bolo­morfa posee primitiva. Se trata de los conjuntos abiertos y estrellados y el resultado se conoce con el nombre de teorema de Cauchy-Goursat: la inte­gral a lo largo de un camino cerrado de una función holomoifa definida en un conjunto abierto y estrellado es nula. A partir de este resultado se demuestran la mayor parte de las propiedades de las funciones holomorfas.

Un camino triangular T viene determinado por tres puntos ordenados y no alineados del plano. Una función compleja f definida en un abierto A de e cumple la propiedad triangular o propiedad de Chasles en A si su integral respecto a cualquier camino triangular contenido en A es nula. Probaremos en primer lugar que en un abierto estrellado una función continua posee primitiva si y sólo si cumple la propiedad de Chasles.

18.15. Teorema

Sea A un abierto estrellado de e y f una función continua de A en C. Son equivalentes:

a) Existe una primitiva F de f en A.

b) f cumple la propiedad triangular en A.

Demostración. a)~ b) es un caso particular de a)~ e) en el teorema de la independencia del camino.

b) =>a) Por ser A estrellado existe un punto Zo de A tal que el segmento [Zo, z] está contenido en A para cualquier otro punto z de A. Como consecuencia, la función

11~1 illl~ 1

!' '"l!

"'1 1' 1 ll i~ " "

198 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

F(z) = l f(z)dz = r f(z)dz [zo ,z] zo

está bien definida. Probemos que Fes una primitiva de f Sea ~ un punto fijo de A, como A es abierto existe una bola B(~, r) contenida en A, por lo tanto el camino triangular [z0, z, ~] está contenido en A para todo z E B(~, r). Entonces se cumple

Figura 18.1. Camino triangular.

0 = l f(w)dw= l f(w)dw+ l f(w)dw+ l f(w)dw [z0 ,z.~] [zo ,z] [z,l;,] [S,zvl

de donde

r f (w)dw-r f(w)dw= fJ(w)dw ~ ~ ~

o lo que es equivalente

por lo tanto

y debemos probar que

F(z) -F(~)= J;f(w)dw

F(z)-F(~) = -1-ff(w)dw z - ~ z-~ s

F'(~) = lím F(z)- F(~) = f'(~) z~s z -~

lo cual está hecho en la implicación b) ==>a) del teorema 18.14. •

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 199

Como consecuencia del resultado anterior y del teorema de la independen­cia del camino es evidente el siguiente corolario.

18.16. Corolario

Sea A un abierto estrellado y f una función continua de A en C. Son equi­valentes:

a) Existe una primitiva F de f en A.

b) La integral de f respecto a cualquier camino"{ que une dos puntos de A es independiente de "(.

e) La integral de fa lo largo de cualquier camino cerrado es nula.

d) f cumple la propiedad triangular en A.

Sif es holomorfa en un conjunto abielto estrellado, las cuatro condiciones anteriores no sólo son equivalentes sino que se satisfacen siempre. Para pro­barlo basta con demostrar que f cumple la propiedad triangular.

18.17. Teorema de Cauchy-Goursat para triángulos

Sea T un camino triangular cualquiera contenido en un abierto A de e, así como el dominio triangular que determina. Sea f una aplicación de A en e continua en Ay holomorfa en A-{~}, en donde~ es un determinado punto de A. Entonces

J/(z)dz=O

Demostración. Sea T el camino triangular defmido por la terna de puntos no alineados { z P z2 , z3}. Se designa por T* el dominio triangular cerrado limi­tado por T.

a) Se supone en primer lugar que~~ T*. Se descompone Ten cuatro trián­gulos 111' 112, 113, 114 determinados respectivamente por

{Z¡, z'3, z'2} {z'3, z 2, z'1} {z'p z3, z'2 } y {z'2, z' P z'3 } (Figura 18.2)

entonces

4

J = J f(z)dz = L J f(z)dz T i=l A;

De los cuatro triángulos se considera aquel a lo largo del cual el valor abso­luto de la integral de f sea mayor o igual que el valor absoluto de las integrales a lo largo de los otros tres. Designemos dicho triángulo por T1• Entonces

1!1111' .

. ·~! .

200 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Z¡

Figura 18.2. Descomposición en triángulos. Caso a).

Si se repite el proceso anterior se obtiene una sucesión decreciente de trián­gulos

T* ::::> r;• ::::> r;_* ::::> ••. ::::> T,,* ::::> •••

Si L es el perímetro de T, los perímetros respectivos de los triángulos de la sucesión son

L L L L,2'12· ····~ · · · ·

Además para cualquier n E N se tiene

JIJ $ 4"/JT,, f(z)dz/

Por otro_ ~ado, existe un único punto z0 E P' común a todos los triángulos de la suceswn. Como z0 ,¡:.~y fes holomorfa en A- {~},fes derivable en

20. Si

hacemos

(1) IJ.(z) = f(z)- f( zo) _ f'(z ) z - zo o

dado E> O, existe o> O, con B(z0, E) e A-{~} tal que

(2) ill(z)i $E para todo lz-zol <o

DERNACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 201

y existen E N t~~ que s~ z E T;,, entonces lz- z01 <o. Además, como el perí­metro de T,, es 2- L se tlene

Integrando a lo largo de T,, los dos miembros de la igualdad

f(z) = f(z0 ) + (z - z0 ).f'(z0 ) + (z- Zo)IJ.(z)

deducida de ( 1 ), resulta

Las dos p1imeras integrales del segundo miembro son nulas pues la función integrando posee ptimitiva y el camino es cerrado. Entonces, teniendo en cuen-

ta (2), (3) y que J Jdzl es el perímetro 2-" L del tliángulo T11 , resulta T,

por lo tanto

y como consecuencia

b) Supongamos ahora que~ es un vértice de T, por ejemplo z1• Escogemos un punto a perteneciente al segmento [Zp z2] y un punto~ perteneciente al seg­mento [Zp z3] tan cerca como queramos de z1 = ~- Se determinan así tres trián­gulos (Figura 18.3), dos de los cuales no contienen a~- De acuerdo con la parte a), la integral de f respecto a los caminos triangulares que no contienen a ~ es nula. Razonemos que la integral de f respecto al camino triangular {S, ~, a} también es nula. En efecto, como P' es un subconjunto compacto de C,Ja fun­ción continua lfl alcanza en él su máximo M. Si les el perímetro del triángu­lo { ~. ~, a}, entonces

1•.

202 AMPliACIÓN DE CÁLCULO

~ = z,

Figura 18.3. Descomposición en triángulos. Caso b).

11 f( z )dzl ~ l IJ<z>lidzi ~ Ml [~ .~.a] [~.~.a)

Ahora bien, como el triángulo { ~. a., ~} es arbitrariamente pequeño, l es arbi­trariamente pequeño y la integral de f respecto de T forzosamente ha de ser nula.

e) Finalmente, si~ es un punto interior de T" , se consideran los triángulos {z1, z

2, ~}, {z2, z3, ~}y {z3, Zp ~}(Figura 18.4) y se aplica a cada triángulo la

parte b)

Figura 18.4. Descomposición en triángulos. Caso e). • Más adelante veremos que el punto ~ no tiene el carácter excepcional con

el que ahora se presenta. El hecho de serfholomorfa en A-{~} y continua en A implicará la derivabilidad de f en ~. y por lo tanto la holomorfía de f en todo A. El motivo de anunciar así el teorema es facilitar la demostración de la fór­mula integral de Cauchy que estableceremos en el capítulo siguiente.

Del teorema de Cauchy-Goursat para triángulos se deduce que una función continua en un abierto estrellado A y holomorfa en A - { ~} cumple la propie-

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS 203

dad triangular, ya que para cualquier camino triangular T contenido en A, el conjunto T* también está contenido en A. Entonces, de acuerdo con las equi­valencias del corolario 18.16, se tiene el siguiente teorema.

18.18. Teorema de Cauchy-Goursat para conjuntos estrellados

Sea A un abierto estrellado de e y f : A ---7 e una función continua en A y holomoifa en todo A salvo en un punto ~ de A. Si y es un camino cerrado regu­lar a trozos contenido en A, entonces

1 ~IP ~~

CAPÍTULO 19

Funciones analíticas

l. Seties de potencias. 2. La fórmula integral de Cauchy. 3. Propiedades de las funciones analíticas.

PRERREQUISITOS

• Sucesiones y series de números reales y de números complejos. Propiedades.

• Criterios de convergencia: Cauchy, Weierstrass, del cociente, de la raíz, ...

• Sucesiones y series de funciones reales . Convergencia simple y convergen­cia uniforme. Critetios de convergencia. Continuidad, derivación e integra­ción.

• Funciones analíticas de JR" en R Series de Taylor.

• Curvas regulares a trozos. Propiedades.

• Integración curvilínea. Propiedades.

lolll' 1'1

206 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ESQUEMA/RESUMEN

• Convergencia simple y convergencia uniforme de una sucesión de funciones {f,J. Criterio de Cauchy.

• Serie L !,, = { S,J' en donde s/1 = j¡ + !2 + ... + !,,. Convergencia puntual, uni­forme, absoluta y condicional.

• Criterios de convergencia: Cauchy, Weierstrass, del cociente y de la raíz.

• Serie de potencias: L a,(z- zo)"

l • Radio de convergencia: r = - -----..,=

Jím sup~ ..

• Círculo de convergencia: {z E e : lz- Zol < r}

• Teorema de convergencia uniforme: la serie converge uniformemente en cualquier compacto contenido en su círculo de convergencia.

• Derivación de una serie de potencias: la función! definida por una serie de po-

tencias es holomorfa en su círculo de convergencia y f'( z) = fna,(z- z0)"-1

11=1

Como consecuencia! es indefinidamente derivable en su círculo de conver­gencia.

~ !")( ) • Serie de Taylor: L ,zo (z- z0 )"

11=0 n.

• Índice de un punto z respecto a un camino cerrado 'Y

Ind (z) = _l_J dw r 2ni y w- z

• Propiedades del índice:

a) Indy(z) es un número entero.

b) Indr es constante en cada componente conexa de C-"(.

e) Indy(z) = O en la componente conexa no acotada.

• Fórmula integral de Cauchy en un conjunto estrellado:

f(z)Indy(z) = - 1-.J f(w) dw 2m 7 w-z

FUNCIONES ANALfTICAS 207

• Caracterización de las funciones analíticas en un abierto A: fes analítica en A <=>fes holomorfa en A.

• Expresión integral de las derivadas:

f "l( )=~J f(w) dw Zo 2 . ( )"+I 1tz 1 w- z0

~

• Desigualdades de Cauchy: Si f( z)= ¿a11 (z-z0 )'' en B(Zo, r) Y lf(z)l.::; M

para todo z E B(z0, r), entonces n=O

M \a"\.::;-" r

• Teorema de Morera: f continua y verifica la propiedad triangular en A, enton­ces fes analítica en A.

• Teorema de Liouville: Si fes una función holomorfa y acotada en todo C, entonces fes constante.

• Teorema fundamental del álgebra: Todo polinonúo P(z) de grado mayor o igual que uno posee al menos una raíz.

• Propiedad de la media: Sif es analítica en A y B*(z0 , r) e A se cumple

1 l?n ·e f(z0 ) =- - f(z0 +re' )dO 27t o

~ ·::1 1 ' .,

t-

1 1

~ ¡¡,,. ¡1

1 1~:¡1)::

l . Series de potencias

Los conceptos y propiedades de las sucesiones y series de funciones rea­les se trasladan al campo complejo sin ninguna dificultad.

Sea {f;,} una sucesión de funciones complejas definidas en un subcon­junto H de C y z0 un punto de H. La sucesión {/,,} converge en z0 si la sucesión de números complejos {/,,(z0)} es convergente. Al subconjunto M de H en el que {!,,} converge le llamamos campo de convergencia puntual o sencilla­mente campo de convergencia de {!,,} . Entonces, decimos que {/,,} converge simplemente o puntualmente a la función f de M en C definida por

f(z) = lím !,, (z) u----too

A f la denominamos límite simple o puntual de U;,}. De acuerdo con la definición de límite de una sucesión de números complejos, observemos que fijado E> O, para cada z E M, existe un número natural n0 tal que si n > n0 se tiene l.fJz) - .f(z)l < c. Es decir, en general, n0 depende de cada z de M. Si fija­do E > O, n0 fuese el mismo para todos los puntos de M, tenemos el concepto de convergencia uniforme.

La sucesión U;,} converge uniformemente en M hacia una función f de M en re, si para todo E > O, existe n0 E N tal que

1/,,(z) - .f(z)l < e para todo z E M

Como en el caso real, se demuestra que la función límite de una sucesión de funciones continuas uniformemente convergente en M es continua en M.

A una sucesión {/,,} le podemos asociar la sucesión de sus sumas parciales {S,,}

¡•¡, ~

210 AMPLIACiÓN DE CÁLCULO

S, = J~+,h+ ... +J,,

a la que denominamos serie y representamos por "Lt,,. La serie "L!,, converge puntualmente, o sencillamente converge, a una

función F en M si lo hace la sucesión {S,}. En este caso F se llama suma de la serie y suele indicarse por

00

F(z) = L,.!,,(z) 11=1

Una condición necesaria para que "L!,, converja en M es que para todo z E M se cumpla lím f,,(z) =O.

IJ-:, oo

La serie "L !,, converge absolutamente en M si la serie de números positi­vos "L IJ,,(z)l converge para cada z de M. Una se1ie convergente pero no abso­lutamente convergente se dice que es condicionalmente convergente. Una serie absolutamente convergente en un conjunto es convergente en él.

"L !,, converge uniformemente a F en M si lo hace la sucesión {S,}. De acuerdo con esta definición, el criterio de convergencia uniforme de Cauchy para las sucesiones se traslada a las series:

"L f" converge uniformemente en M, si para todo e > O existe n0 E N tal que

p, q > n0 y p > q ~ lf/z) + f~+ 1 (z) + ... + :ip(z)l <e para todo z E M

Una serie de números reales no negativos "La, es mayorante de la serie funcional "Lt,, en M si IJ,,(z)l ~a, para todo z E M y para todo n E N. Del cri­terio de Cauchy se deduce fácilmente el criterio de Weierstrass:

Una condición suficiente para que "L f" converja uniformemente en M es que posea en M una serie mayorante que sea convergente.

19.1. Ejemplo

Apliquemos el criterio del cociente para estudiar la región de convergencia de la serie

Como

(z -1)" J,,(z) =

2, 2

n

.. (z-1)" L.. 2" 2 11=l n

(z -1)"+1

J,r+l (z) = 2"+' (n + 1)2

FUNCIONES ANALiTICAS 211

resulta

líml!,,+, (z)l = líml n2 (z -1) 1 = lz -11 n-+oo f,,(z) n-+oo (n+1)2 2 2

entonces la serie converge absolutamente, y por lo tanto puntualmente en el conjunto

En la circunferencia lz - 11 = 2 no se puede aplicar el criterio del cociente. Sin embargo, si lz - 11 = 2 se tiene

l(z-1)"1 = -1 2"n2 n2

1 y por ser L,. 2 convergente, la serie "Lt, (z) converge uniformemente en la cir-n , conferencia.

Obsérvese que L,.-..;.. es una serie mayorante de "L!, (z) en n ,

M = { z E e : lz - 11 ~ 2}

y por lo tanto "L!,,(z) converge uniformemente en M.

Una serie de potencias tiene la forma

a0 + a 1(Z - z0) + a2(z- z0)2 + ... + a,(z- z0)'' + ... = "L a,(z- z

0)''

en donde Z0 es un punto fijo de e y a, son coeficientes constantes. Como las funciones !,,(z) = a,(z - z0)'' están definidas en todo e, apliquemos el criterio de la raíz para determinar el campo de convergencia de la serie. Designamos por

A. el límite superior de ~ y por r a 1/A.. Entonces, se tiene:

lím sup" la,llz-zol" =lz-zo!A.= lz- zol 11--+oo r

a) Si O< r < oo, la serie converge para lz - z01 < r, ya que

lz- zol r --<-=1

r r

212 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

y diverge para lz- z01 > r, ya que

lz-zol>_c = l r r

b) Si r =O, la serie diverge para todo z ::t z0, ya que

lím sup " la .. llz - z0 l" = oo 11~00

e) Si r= oo, la serie converge para todo z E IC, ya que

lím sup" la .. llz- zol" = O 1/~ 00

A r se le denomina radio de convergencia y a lz - z01 < r círculo de con­vergencia de la serie. El estudio anterior proporciona información sobre la convergencia de la serie en el interior y en el exterior del círculo, pero no sobre la circunferencia lz - z

01 = r. Ahora bien, si la serie converge absolutamente en

un punto w de la circunferencia, podemos afirmar que converge en todos sus puntos, pues para todo lz - z01 = r se cumple

Ila~~ l lz-zol" = Ila,llw-zol" = I la"l r"

Además la serie converge uniformemente en cualquier círculo cerrado de centro z

0 y radio p < r, y como consecuencia converge uniformemente en cual­

quier compacto.

19.2. Teorema de convergencia uniforme

Una serie de potencias converge unifonnemente en cualquier círculo cerrado contenido en su círculo de convergencia y como consecuencia en cual­quier subconjunto compacto contenido en él.

Demostración. Si el círculo cerrado lz - z01 ~ p está contenido en el círculo de convergencia de la serie lz - z01 < r, entonces la serie numérica L la) p" es convergente. Además es mayorante de la serie L a,lz - z0)" en el círculo de radio p. Por el criterio de Weierstrass la serie convergen uniformemente en dicho círculo.

Como cualquier subconjunto compacto K del círculo de convergencia es a su vez un subconjunto del círculo cerrado de centro Zo y radio p = max { d(Zo, z) : z E K}, la serie converge uniformemente en K. •

FUNCIONES ANALITICAS 213

19.3. Teorema de derivación de una serie de potencias

La función f suma de La11(Z - z0)" en su círculo de convergencia es holo­

mmfa en dicho círculo y su derivada viene dada por

~

f'(z) = L na11 (z- z0 )n-I

n=l

Demostración. Para facilitar la notación podemos suponer z0 = O sin que ello reste ningún tipo de generalidad al razonamiento.

En primer lugar, la serie L a,z" y la serie de las derivadas L na,,z''- 1 tienen el mismo círculo de convergencia ya que

lím supvnla,l = lírn sup'\faJ lírn Vn = lím sup'\faJ Jl~oo u----too u~oo n ----:, oo

pues lím Vn = l. Jl~OO

Sea w un punto fijo del círculo de convergencia B(O, r) y sea z otro punto cualquiera de B(O, r). Consideremos la identidad

f(z)- f(w) _ _ 1_~ ( , ") - ~ z" -w" - L. a" z - w - L. a ..

y probemos que

z- W z- W n=O ll =O z- W

~

= La, (z"-1 + z"- 2w + ... + zw"-2 + w"-' ) n=O

! '( ) 1' f(z) - f(w) ~ n-1 w = 1m = L.na"z

z~w z-w n=!

En efecto. Sea E > O, corno L na"z:•-l es convergente en B(O, r), para cualquier P > O fijo tal que lwl < p < r la serie L nla lp"- 1 es convercrente luego existe

11 o ' m E N tal que

Además para todo lzl < p se cumple

214 AMPUACJ6N DE CÁLCULO

por lo tanto, teniendo en cuenta las dos desigualdades, resulta

y en particular

(2) 1 ~ 11-11 e ¿;_.na11w <-n=m 4

Por otro lado, la función

m-1

g(z) = ¿a11 (Z11

-1 +z"-2w+ ... +zw"- 2 +w"- 1

)

11=0

es continua en w, y como consecuencia existe un entorno U de w (contenido en el círculo lzl < p) tal que

e (3) lg(z)-g(w)l< -

2

En resumen, fijado e> O existe un entorno U de w tal que para z E U, de (1), (2) y (3) se deduce que

l

f(z)- f(w) _ f,na11 w11-11~ z-w 11=l

1 1 1 ~ 11-1 11-? 11-1)1 1~ 11-11 ~g(z)-g(w) + ,(::,,a11 (Z +z -w+ ... +zw +,;::,,na11w <e. •

Aplicando el resultado anterior, f' es a su vez una función holomorfa en el mismo círculo de convergencia cuya derivada viene dada por

.. f"(z)= Ln(n-l)a11 ( z -z0 )'' -

2

11=2

Reiterando el proceso,f es indefinidamente derivable en su círculo de conver­gencia y su derivada de orden m viene dada por

FUNCIONES ANALfTICAS 215

~

f"'>(z) = Ln(n -l) ... (n.- m+ l)a, (z- z0 )''-m fl = lll

Otra consecuencia inmediata es la siguiente: si b es una constante cualquiera, entonces

F(z) = b + f ~(z- z0 )'~+ 1

ll=on+ 1

es una primitiva de f en su círculo de convergencia.

19.4. Definición de serie de Taylor

Sea A un abierto de C, f una función compleja de clase infinito en A y Zo un punto de A. Se llama serie de Taylor asociada a f en z0 a la serie de potencias

~ r >czo)( - )" ¿;,_. ' z Zo 11=0 n.

Si fes la función suma de una serie de potencias L a"(z - Zo)" terminamos de probar que es indefinidamente derivable en su círculo de convergencia. La serie de Taylor asociada a f en z0 coincide con la serie dada, pues derivando sucesivamente en

.. f(z)= La11 (z-z0 )''

11=0

para el punto z = Zo· se obtiene

19.5. Ejemplos

a) El radio de convergencia de la serie L( 1 - it"Z11 es .fi ya que

r= 1 = - 1- = .fi lím sup VII - i¡-11 1 1 -fi

/1~00

Y su círculo de convergencia lzl < .fi . Para z = 1 - i, la serie es divergente, por lo tanto no converge en la circunferencia lzl = -ti.

216 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

b) La derivada de la función

00 211

cosz = I(-1)11 _z_ II=O (2n)!

cuyo dominio es todo el plano complejo, pues

r = lím supV(2n)! = oo

es la función suma de la serie de las derivadas

oo 2u-l

IC-1)11+

1 2 =sen z.

11-1 (211 -1)!

19.6. Definición de función analítica

Una función f de un abierto A de e en e es analítica en un punto Zo E A si existen una bola abierta B(z0, Ó) y una serie de potencias centrada en z0 que converge a f en la bola. fes analítica en A si lo es en cada uno de sus puntos.

Con otras palabras, decimos que fes analítica en A si es representable en serie de potencias en un entorno de cada punto de A. De acuerdo con el teorema de detivación de una serie de potencias, una función analítica en A es de clase infi­nito (en particular holomorfa) en A, y como los coeficientes de la selie de poten­cias en el entorno de Zo son los coeficientes de su serie de Taylor, resulta

J(z) = f ~ r >czo )(z- zoY' 11=l n.

en su círculo de convergencia.

El recíproco también es cierto. Se trata del resultado esencial de la teoría de funciones complejas: una función holomorfa en un abierto es analitica en él. Para probarlo estableceremos previamente una forma de representación inte­gral para funciones holomorfas, conocidas con el nombre de fórmula integral de Cauchy. ·

2. La fórmula integral de Cauchy

Consideremos un abierto A de e y un camino regular a trozos y contenido en A. Como y es un conjunto compacto, se alcanza la distancia a y desde cual­quier punto z E A - y.

19.7. Teorema de representación en series de potencias

Sea g una función de A en e continua en y. La función f de A - y en e defi­nida por

f(z) = f g(w) dw yW-Z

es analítica en A - y.

Demostración. Probemos que fes representable en serie de potencias en un entorno de cada punto de A -y. Sea Zo E A - y y d la distancia de Zo a y. Para cual­quier r >O tal que r < d y la bola B(Zo. r) esté contenida en A, si z E B(Zo, r), se tiene

1

z - Zo 1 = lz- Zo 1 < ~ < 1 w-z0 lw - z0 l d

para todo w E y

y la serie

~ (z- zoY' ~( )11+1 11=0 w- zo

converge uniformemente en y ya que

~JI"~

218 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

_J_L z- zo s~ L !_ ~ ( ) " 00 11

w - Zo 11=0 w- Zo d n=O ( d)

y la serie mayorante es convergente por ser I (!_)" una serie geométrica de n=O d

razón menor que l. Además, se trata de una serie geométrica de primer térmi-no 1/(w- .zo) y razón (z - z0)/(w- z0), cuya suma viene dada por

~ (z-z0 )'' = ll(w-z0 ) =-1-.k. ( )ll+l z- z II=O w-z0 1- --o w-z

W- Z0

Sustituyendo 1/(w- z) en la expresión de f resulta

por lo tanto

00

f(z)= Ia11(z-z0 )'' para lz-z0 j<r n=O

en donde

a" =J g(w)n+ldw. r (w-z0 ) •

El complementario en e de un camino cerrado regular a trozos "(es una unión finita de subconjuntos abiertos, disjuntos dos a dos. Cada uno de ellos es una componente conexa de e - y. Recuérdese que fijado un punto z de un conjunto, la componente conexa relativa a z es la unión de todas las partes conexas del conjunto que contienen a z. Por lo tanto, cada compo­nente conexa es el mayor subconjunto conexo que contiene a un punto (Figura 19.1). Por ejemplo, si y es simple, e - y consta de dos componentes conexas, una acotada y la otra no.

A cada punto z de e -y le asociamos un número entero, denominado índi­ce de z respecto a "(. El índice es el mismo en todos los puntos de cada compo­nente conexa de e - y. Su significado geométrico es el número de vueltas que y da alrededor de z.

219 UNC~l'O~N~E~S~AN~A~L~ÍT~IC~AS~------------------------------------­~

Figura 19.1. Componentes conexas determinadas por y en C- y.

Definición de índice de un punto respecto de un camino cerrado 19.8.

Se llama índice de z E e - 'Y respecto a "(, y se representa por Indy(z) , al

valor de la integral

1 J dw Ind (z) = -. --"1 21tl y w- z

19.9. Propiedades del índice

a) Indy(z) es un número entero para todo z E e -"(. b) El valor de Indy es constante en cada componente conexa de IC - 'Y·

e) Ind (z) = O para todo z de la componente conexa no acotada de e - 'Y· y o, d

Demostración. a) Supongamos que w = a(t), t E [a, b] es la ecuaclOn e 'Y·

Entonces

__ 1_Jb a'(t) dt Indy(z) - 21ti a a(t)- z

Consideremos la función <p de [a, b] en e definida por

{J s a'(t) } <p(s) = exp dt

a a(t) - z

220 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Afirmar que lncly(z) es un número entero es equivalente a afirmar que ~ es un número entero, en donde 2ni

~ =Jb a'(t) dt a a(t)- z

lo cual es a su vez equivalente a que <p(b) = exp ~ = 1.

Probemos que se cumple la última igualdad. Como y es regular a trozo entonces <pes derivable en todo (a, b) salvo a lo más en un número finito ds, puntos. Derivando, se tiene e

a'(s) <p'(s) = <p(s) <::::} <p'(s)[ a(s) - z]- <p(s)a'(s) =O

a(s)-z

Como consecuencia, la función continua g de [a, b] en <C definida por

g(s) = <p(s) a(s) - z

e_s ?onstante porque es derivable en todo (a, b), salvo a lo más en un número flmto de puntos, y su derivada es cero:

g'(s)= <p'(s)[a(s) - z]-<p(s)a'(s)

[a(s)-zf o

luego, para cualquier valor s de [a, b], resulta

de donde

g(s) = g(a) <::::} <p(s) _ <p(a)

a(s)- z a( a)- z

<p(s) = <p(a) a(s)- z a(a) - z

_ {fa a'(t) } 0 Como <p(a) - exp a a(t) - z dt = e = 1 y por ser y cerrada a(a) = a(b), se

cumple

<p(b) = a(b)- z = 1 a(a)- z

tal como queríamos demostrar.

FUNCIONES ANALÍTICAS 221

b) En virtud del último teorema, lndY es una función analítica y por lo tanto continua en C - y. Entonces transforma conjunto conexos en conjuntos cone­xos y sobre cada componente conexa de CC - y toma valor constante.

e) Si z pertenece a la éomponente conexa no acotada de <C- y, para lzl tan grande como queramos

¡rndy(z)l = _1 1 Jb a.'(t) dtl < 1 21t a a(t)- z

Juego ha de ser Indy(z) = O para todos los puntos de la componente. •

19.10. Ejemplo

Si y es un camino circular de centro z0 y radio r > O orientado positivamente (sentido contrario al de las agujas del reloj)

{0 si lz - Zo 1 > r

lnd (z) = Y 1 si lz- zol < r

Razonemos ahora que In~(z) representa el número de vueltas que la curva da alrededor de z. No supone ninguna pérdida de generalidad considerar z = O. Sea

a(t)=x(t)+iy(t) tE[a,b]

la ecuación de y.

lnd (0)= - 1- fb a'(t) dt= - 1- fbx'(t)+iy'(t)dt= y 2ni a a(t)- o 2ni a x(t) + iy(t)

= _1_ fb[ x'(t) + iy'(t) ][x(t)- iy(t) ]dt = 2ni a x(t)2 + y(t)2

_ 1 fh[x(t)x'(t)+y(t)y'(t) ]d 1 fb.x(t)y'(t)-y(t)x'(t)d - - t + - l t

2ni a x(t/ + y(t)2 2ni a x(t)2 + y(t)2

La primera integral es cero, pues el integrando posee función primitiva F(t) = log[x(t)2 + y(t)2

] y x(a) = x(b), y(a) = y(b) por ser y cerrado. Luego el índice viene dado por la segunda integral, es decir, por la integral curvilínea

Ind (O)= _1 f xdy- ydx Y 2n Y x2 + l

222 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Cambiando a coordenadas polares X = p cos e, y = p sen e, se tiene

dx = cos e dp - p sen e de

de donde

dy = sen e dp + p cos e de

Indy(O) = -1 fde

27t y

La integral Jyde indica la variación del ángulo desde la posición inicial del

vector OP hasta la posición final. Al ser y cerrada dicha variación es un múlti­plo entero de 27t, con lo que Indy(O) es el número de vueltas que la curva da alrededor de z = O. Si el índice es negativo, el sentido de recorrido de la curva es el negativo. Si el índice es cero, el punto se encuentra en la componente no acotada

lnd.,(z,) = 2

lnd.,(z2) = 1

lndjz,) =O

Figura 19.2. Número de vueltas de y.

19.11. Fórmula integral de Cauchy en un conjunto estrellado

Sea A un subconjunto abierto estrellado de e y y un camino cerrado regu­lar a trozos contenido en A. Si z E A - y y f es una función analítica en A, entonces

f(z)Ind (z) = ~f f(w) dw Y 2m Y w-z

Demostración. Sea z E A - y un punto fijo. La función g de A en e defmi­da por

{

f(w)- f(z) g(w) = w - z

f'(z)

si w:;t:z

si w = z

es continua en A y holomorfa en A- {z}. Por el teorema de Cauchy-Goursat

FUNCIONES ANALITICAS

o lo que es equivalente

-. --dw-f(z) - - dw =0 1 u f(w) f dw J 2m w - z w-z

Por lo tanto

y y

f(z)lndy(z)= -1-.J f(w) dw

2m y w - z

223

•

1 !11,

3. Propiedades de las funciones analíticas

En todo lo que sigue A es un abierto de C, f de A en C una función bolo­morfa en A. Para cualquier punto arbitrario Zo de A y cualquier bola abierta B(Zo, r) contenida en A, por la fórmula integral de Cauchy se tiene

f(z) = _l_.J f(w) dw 2m '1 w-z

para todo z perteneciente al interior del círculo limitado por la circunferencia y de radio p < r, definida por

w(t) = Zo +pe;' tE [0, 21t]

El teorema 19.7 asegura que fes analítica en la bola B(Zo, r), y por lo tanto en todo A. Obtenemos así el resultado más importante de la teoría.

19.12. Caracterización de las funciones analíticas

Una función compleja es analítica en un abierto A si y sólo si es holomor­fa en A.

Si en B(z0, r), la función f viene definida por 00

.f(z)= L,a"(z-z0 )''

11 =0

en donde, de acuerdo con el teorema 19.7

226 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

como, por otro lado

a = _1_J f(w) dw 11

2ni Y (w- z0 )''+1

1 !11) all = 1 (zo)

n.

resulta la expresión integral de las derivadas

19.13. Desigualdades de Cauchy

Si la bola cerrada B*(z0, r) está contenida en A y lf(z)l ~ M para todo z E B*(Zo. r), entonces

ia~~i ~ ~ para cada n = 1,2,3, ... r

Demostración. Si y es la circunferencia de centro z0

y radio p < r de ecua­ción w(t) = Zo + pé', t E (0, 2n]

a =-1-J f(w) dw=-1-f 21t f(zo+pe;') . ;, -11 2ni Y (w-Zo)ll+l 2ni o (pe;')"+l ple dt-

de donde

como la desigualdad es válida para todo p < r, se tiene

la~~ I ~M rll •

FUNCIONES ANALÍTICAS 227

A continuación se estudian algunas propiedades de las funciones analíticas, que junto con los resultados ya obtenidos constituyen la teoría de Cauchy. El primer teorema es el recíproco del teorema de Cauchy-Goursat.

19.14. Teorema de Morera

Si fes una función continua y verifica la propiedad triangular en el abier­to A, entonces f es analítica en A.

Demostración. Para cada subconjunto abierto convexo de A, por cumplir f la propiedad triangular, existe en él una primitiva F de f. Como Fes holomor­fa, por lo tanto analítica, su derivada! es también analítica. •

19.15. Teorema de Liouville

Si fes una función holomoifa y acotada en todo C, entonces fes constante.

Demostración. Supongamos que lfi:z)l ~M para todo z E C. Para cualquier punto Zo de C, fes desarrollable en serie de potencias

-J(z)= z>~~<z-zoY'

11=0

siendo su campo de convergencia todo el plano complejo. Entonces, por las

M desigualdades de Cauchy, se cumple ja

11j ~ -

11 para todo r > O y para cada

r

n = 1, 2, 3, ... ,luego cada a11 ha de ser forzosamente cero. Por lo tantof(z) = a0 para todo z E C. •

Una función holomorfa en todo C se llama entera. De acuerdo con el teore­ma de Liouville una función entera o bien es constante o bien no está acotada.

19.16. Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio complejo P(z) de grado mayor o igual que uno posee al menos una raíz.

Demostración. Supongamos que P(z) no posee ninguna raíz, entonces 11 P(z) es una función analítica en todo C y está acotada pues

lím-1-=0

z-4- P(z)

ll ··u ·

'~ } ~~~1

~~~~· 1

228 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

y fijado k> O existe r >O tal que si lzl > r, entonces 11/P(z)l <k. Como la fun­ción alcanza un máximo k' en el compacto lzl $ r, si M = max {k, ¡¿} se tiene

-1

- < M para todo z E e jP(z)i-

Luego l!P(z) es holomorfa y acotada en todo C. Por el teorema de Liouville es constante. Como consecuencia también es constante P(z) en contra de la hipó­tesis de ser un polinomio de grado mayor o igual que uno. •

Si P(z) es un polinomio de grado n y Zo es una raíz, entonces P(z) = (z - Zo) Q(z), en donde Q(z) es un polinomio de grado n - 1, que a su vez posee una raíz. Aplicando n veces el proceso, llegamos a que todo polinomio complejo de grado n posee exactamente o raíces.

19.17. Propiedad de la media

Si fes analítica en A y la bola cerrada B*(z0, r) está contenida en A, se cumple

1 i21t ·a f(zo) =- f(z0 +re' )de 21t o

Demostración. Sea w(e) = z0 + re;9, e E [0, 2n] la ecuación de la circunfe­

rencia y de centro z0 y radio r > O. Teniendo en cuenta que w'(e) = ire;9, por la

fórmula integral de Cauchy resulta

!< ) - _1_ f f(w) d = _ 1_ J 2x f(zo + re;e) . ;ede = z0 - w ·e zre 2ni y w- z0 2ni o re'

1 i21t ;e =- f(z0 +re )de. 21t o •

CAPÍTULO 20

Ceros y singularidades aisladas

1. Ceros de una función analítica. 2. El principio del módulo máximo. 3. Singularidades aisladas.

PRERREQUISITOS

• Topología del plano completo. Frontera, interior, exterior de un conjunto. Puntos de acumulación. Conjuntos compactos, conexos, etc.

• Extremos de una función continua sobre un compacto.

• Funciones analíticas. Función logaritmo. Derivada.

• Integración compleja .

• Índice de un punto respecto a una curva cerrada.

230 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ESQUEMA/RESUMEN

• Ceros de una función: z0 es un cero defsif{z0) = O. Si existe un entorno V de Zo tal que z0 es el único cero de f, entonces se dice que z0 es un cero aislado.

00

• Cero de orden m : f(z) = I,a,(z- z0 )'', si a0 = a1 = ... = a111_ 1 =O y a111 *O, 11=0

se dice que z0 es un cero de orden m.

• Principio de los ceros: Sea M* <P el conjunto de ceros de una función analí­tica en una región A, o bien M es finito o numerable o bien M = A.

• Principio de identidad: Si dos funciones analíticas en una región son iguales en los puntos de una sucesión convergente, entonces son idénticas en toda la región.

• Teorema del número de ceros: Si y es una curva cerrada simple, orientada positivamente, el número de ceros N de la función analítica es

N=-1-J f'(z)dz 21ti · Y f(z)

• Principio del argumento: Si r = f{y), entonces

N=-~-.f dw = Indr(O) 2m r w

• Teorema de Rouché: Sean f y g analíticas en el abierto estrellado A, y e A una curva simple, cerrada, orientada positivamente, en la quefy g no poseen ceros. Si

!f(z)- g(z)l < jg(z)j para todo z E y

entoncesfy g poseen el mismo número de ceros en el recinto limitado por y.

• Principio del módulo máximo: el módulo de una función analítica y no cons­tante en una región, para cualquier subconjunto compacto K de A, alcanza su máximo en la frontera de K y no en su interior.

• Lema de Schwarz.

• Principio del módulo mínimo.

• Singularidad aislada: z0 es una singularidad aislada de f si fes analítica en un entorno de z0 salvo en el propio Zo·

CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS

Evitable: lím f(z) = w0 z-+z0

• Singularidades aisladas Polo: lím f(z) = oo z-+zo

Esencial: ~ lím f(z) z-+z0

• Caracterización de las singularidades evitables: son equivalentes

a) Zo es una singularidad evitable de f b) f está acotada en una bola B(z0, r) - { z0 }

e) lím (z- z0 )f(z) =O Z4Zo

d) fes analítica en Zo·

• Caracterización de los polos: son equivalentes

a) fposee un polo de orden m en z0

b) lím(z-z0 )'11 f(z)=w0 ::~;0 Z, Zo

111

e) f(z)= I,c,(z - z0f 11 +h(z) zeB(z0,r)-{Z0 }

11=1

• Parte singular de una función en un polo z0 de orden m:

111

I,c11 (z-z0 f 11

11=1

• Caracterización de las singularidades esenciales

a) Zo es una singularidad esencial de f b) f[B(z0 , r)- {z0}] es denso en C para todo r >O.

h analítica

231

• Singularidades aisladas en el punto del infinito: z = oo es una singularidad evitable, polo o esencial si y sólo si g(z) = f{llz) tiene en z = O la misma clase de singularidad.

• Función mero morfa: fes meromorfa en un abierto A si es analítica en A salvo en un número finito o numerable de polos que no poseen ningún punto de acumulación en A.

1 -~1~

~r~~~

~,,

d~ 11)• '

J. Ceros de una función analítica

Sea A un subconjunto de C y funa función de A en C. Un punto z0 de A se dice que es un cero de f si f(Zo) = O. En caso de existir un entorno V de Zo tal que Zo es el único cero de f en V nA, entonces se dice que Zo es un cero aisla­do de f Supongamos que A es abierto y fes analítica en A, existe una bola B(z0, r) en la que

~

j(z) = L,a,(z-z0 )''

11=0

si a0 = a 1 = ... = a 111_ 1 =O y a111

-::;:. O, la serie antetior puede ponerse en la forma

~

f(z) = (z- z0 )'" L,an+m(z - zo)'' 11=0

z0 es un cero aislado de f y se dice que es un cero de orden m. Si a, = O para todo n E N, la función fes idénticamente nula en la bola y Zo no es un cero ais­lado. En este caso se dice que Zo es un cero de orden infinito.

Como consecuencia de las definiciones, una función analítica en un abier­to sólo puede tener dos clases de ceros: ceros aislados o bien ceros que posean un entorno en donde la función sea idénticamente nula.

Una región de C es un subconjunto abierto y conexo. Si A es una región, fes analítica en A y el conjunto de ceros de f en A es :10 vacío, entonces o bien está formado por una cantidad finita o numerable de ceros aislados, o bien coincide con todo A . En lo que sigue, salvo mención expresa, supondremos que A es una región de C y que fes analítica en A.

1 lb~~ 1

234 AMPLIACI6N DE CÁLCULO

20.1. Principio de los ceros

Sea M -:1: <1> el conjunto de los ceros de la función analítica f en la región A. Se cumple:

a) Si f(z) = O en el entorno de un punto z0 de M, entonces f es idéntica­mente nula en A, es decir, M = A.

b) Si f no es idénticamente nula en el entorno de ningún punto de M, entonces M es un conjunto finito o numerable.

Demostración

a) Supongamos que existe z0 E M y una bola B(z0 , r), contenida en A, tal que f(z) = O para todo z de B(z0, r). Sea

H = {z E A :f">(z) =O, n =O, 1, 2, ... }

H -:~= <1> ya que z0 E H. Probemos que H es un subconjunto abierto y cerrado de A. Entonces, como A es conexo, se tiene H = A, y como He M resulta M =A.

Si z E H, por ser/analítica en z, existe un entorno V de z en el quejes idén­ticamente nula. Luego V está contenido en H y Hes abierto.

Si z E: H, alguna derivada de f en z es distinta de cero. Por la continui­dad de la derivada en z, existe un entorno U de z en el que dicha derivada es distinta de cero para todos los puntos de U. Luego U está contenido en el complementario de H en A. Por lo tanto el complementario de H es abierto y H es cerrado.

b) Sifno es idénticamente nula en el entorno de ningún punto de M, todos los puntos de M son ceros aislados de f El conjunto M no tiene ningún punto de acumulación en A, pues en caso contrario, por la continuidad de f sería un cero no aislado, lo cual no es posible. Entonces para cada a E M existe r

0 > O

ínfimo de las distancias de a al resto de los puntos de M. El conjunto de los círculos abiertos de centro a y radio r/2 es numerable, pues la intersección de dos cualesquiera de ellos es vacía. •

Una consecuencia inmediata del teorema anterior es el siguiente resulta­do, conocido con el nombre de principio de identidad de las funciones analí­ticas.

20.2. Principio de identidad

Sean f y g dos funciones analíticas en una región A. Si {zn} es una suce­sión convergente de puntos de A tales que f(z") = g(z") para todo n E N, enton­ces f y g son idénticas en A.

CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS 235

Demostración. Sea F(z) = f(z) - g(z). Si z0 = lím z,, como F(z,) = O y Fes u-+oo

continua en A, se tiene F(Zo) = O. Entonces Zo es un cero no aislado de F, luego Fes idénticamente nula en A y se cumple:

F(z) =O para todo z E A ~ f(z) = g(z) para todo z E A. •

El número de ceros de una función analítica f(z) se puede calcular a partir de la derivada de la función logaritmo ln f(z). Obsérvese que si Zo no es un cero de f en el abierto A, entonces existe una bola B(z0, r) contenida en A tal que f(z) -:1: O en todos sus puntos, y se puede definir la función F(z) = lnf(z). Cualquiera que sea la determinación elegida para F(z), su derivada en Zo viene dada por

Supongamos que A es un abierto estrellado y f(z) posee en A un número finito de ceros Z¡. z2, ... , z,, en donde cada cero se ha repetido tantas veces como indi­ca su orden de multiplicidad, por lo tanto

f(z) = (z- z1)(z- z2) ••• (z- z,)g(z)

siendo g(z) una función analítica que no se anula en ningún punto de A. Supon­gamos también que y es una curva cerrada regular a trozos, contenida en A, que no pasa por ningún cero de f En estas condiciones se cumplen los siguientes resultados.

20.3. Proposición

Si z1, ~ •.. . , zP son los ceros de f en el recinto limitado por y, en donde cada cero se ha repetido tantas veces como indica su orden de multiplicidad, enton­ces se verifica

~)nd (z.) = - 1-f f'(z) dz i=l Y 1 21ti y f(z)

Demostración

Si Z¡. z2, ••• , zP, zp+ l' ... z, son los ceros de f en A, entonces

f(z) = (z - Z1) (z - z2) •.• (z - zP) ... (z - z,) g(z)

Integrando a lo largo de y la derivada logarítmica

f'( z) 1 1 1 1 g'(z) - -=--+--+ ... +--+ ... +--+-­f( z) z-z, z-z2 z-zP z-z, g(z)

¡1

236 AMPUAC!ÓN DE CÁLCULO

después de multiplicar por 112ni, resulta

ya que

-1-J f'(z) dz = ÍJnd (z.)

2ni Y f(z) i=l Y 1

- 1-J g'(z:) dz =O 2ni Y g(z)

si

si p<j~n

por ser g'(z) analítica en A. g(z)

20.4. Teorema del número de ceros

•

Si y es una curva simple, orientada positivamente, entonces el número N de ceros de f en el recinto limitado por y viene dado por

N= _l_J f'(z) dz 2ni Y f(z)

Demostración. Como la curva es simple, el índice de cada cero z. del recinto 1

p

es 1, por lo tanto Llndy(z) es el número de ceros contando cada uno tantas j=l

veces como indica su orden. •

El resultado anterior se puede expresar mediante el índice de z = O respec­to a la curva r imagen de y mediante la función f Esta formulación recibe el nombre de Principio del argumento.

20.5. Principio del argumento

Si y es una curva simple orientada positivamente el número N de ceros de f en el recinto limitado por y es igual al índice del origen respecto de la cun1a r = f(y).

Demostración. Efectuando el cambio w = f(z) en

CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS

se obtiene

N=-1-J j'(z) dz 2ni Y f(z)

1 f dw N=-. - = Indr(O). 2m r w

237

• El teorema siguiente expresa una condición para que dos funciones analí­

ticas posean el mismo número de ceros en el recinto acotado por y El resulta­do se conoce con el nombre de teorema de Rouché.

20.6. Teorema de Ronché

Sean f y g dos funciones analíticas en el abierto estrellado A, y sea y una curva simple cerrada regular a trozos orientada positivamente contenida en A, en la que f y g no poseen ceros. Si se cumple

lf(z) - g(z)l < lg(z)l para todo z E y

entonces f y g tienen el mismo número de ceros en el recinto limitado por y

f Demostración. Sea r 1 = f(y), r 2 = g(y), r = -(y) g

Como el número de ceros de fes

1 J dw 1 J j'(z) N1 =lndr (0)=- -=- --dz ' 2ni r, w 2ni y f(z)

y el número de ceros de g es

1 f dw 1 f g'(z) N2 =lndr (0)=- -=- --dz 2 2ni r 2 w 2ni y g(z)

es suficiente comprobar que

Indr, (O) - Indr2 (0) = Indr(O) =O

En efecto,

238 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

lnd (O) =-1-J dw =-1-J [flg]'(z) dz=-1-J f'(z)g(z)- f(z)g'(z) dz= r 2ni r w 2ni y [f 1 g](z) 2ni y f(z)g(z)

=-1-J f'( z ) dz--1-f g(z) dz=Ind (0)-Ind (0)

2ni y f(z) 2ni y g'(z) r 1 r 2

Por otro lado, el origen w = O se encuentra fuera del recinto limitado por la

curva r, pues los valores que w = f(z) toma en "(están contenidos en la bola g(z)

abierta de centro w = 1 y radio 1, ya que por hipótesis

de donde

if(z)- g(z)i < lg(z)l ~ lf(z) -11 < 1 g(z)

lw-11= --1 <1 l

f(z) 1

g(z)

Como consecuencia lndr(O) = O. •

El teorema de Rouché tiene aplicaciones muy interesantes. En los ejerci­cios de autocomprobación estudiaremos la forma de proceder para averiguar el número de ceros de una función y demostraremos el teorema fundamental del álgebra.

2. El principio del módulo máximo

El módulo de una función analítica no constante en una región A alcanza su máximo sobre un subconjunto compacto K de A en la frontera de K y no en su interior. Este resultado es de gran utilidad en el estudio geométrico de las transformaciones. Su demostración se hace por reducción al absurdo y utiliza la propiedad de la media.

20.7. Principio del módulo máximo

Sea A una región, K un subconjunto compacto de A y f una función analí­tica y n.o constante en A. El máximo de lf(z)l se alcanza en la frontera de K y no en su interior.

Demostración. Por reducción al absurdo. Supongamos que l.ftz)l alcanza su máximo en un punto z = a perteneciente al interior de K. Entonces existe una bola B(a, r) contenida en lnt(K) tal que

l.ftz)l ::;; l.fta)l para todo z E B(a, r)

En particular, si O < p < r, se tiene

para todo e E (0, 2rt)

pero forzosamente se ha de cumplir la igualdad

para todo e E (0, 2rt)

pues en caso contrario existiría un valor e0 E [0, 2rt] tal que

l.f(a)l > l.f(a + pe;9")1

240 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

y en virtud de la continuidad de f en la circunferencia lzl = p se cumpliría para todos los puntos de un arco. Por otra parte, teniendo en cuenta la propiedad de la media,

de donde

lo que no es posible si 1./{a)l > lfia + pe;6)1 en un arco de lzl = p.

En consecuencia, 1./{z)l es constante sobre todas las circunferencias de radio O < p < r. Por lo tanto es constante en la bola B(a, r) y en todo A, lo que con­tradice la hipótesis. •

Obsérvese que una función analítica en la región A, si es constante en una bola contenida en A, entonces es constante en todo A. En efecto, si.f{z) = e para todo z E B(a, r), fiz) -e es idénticamente nula en B(a, r) y por el principio de los ceros es idénticamente nula en todo A.

En la demostración del teorema se ha utilizado únicamente la continuiad de la función en la frontera del compacto y no su analiticidad. Esto permite un enunciado más general del principio del módulo máximo: Sea A una región acotada y f una función analítica en A y continua en la frontera de A. Enton­ces lf(z)l alcanza su máximo en Fr(A).

Una de las ventajas de este último enunciado es la posibilidad de encontrar una acotación más fina de 1./{z)l en A en caso de conocer su valor máximo en Fr(A). El lema de Schwarz es un ejemplo de esta situación.

20.8. Lema de Schwarz

Sea f una función analítica en la bola unidad B(O, 1) y continua en su frontera. Si f(O) =O y lf(z)l ~ 1 para todo z de la bola, entonces lf(z)l ~ lzl y lf'(O)I ~ l.

Además, si existe z0 :F. O tal que lf(z0)1 = IZol o bien lf'(O)I = 1, entonces exis­te un número complejo e de módulo uno de modo que f(z) = cz.

Demostración. Consideremos la función g de la bola cerrada B*(O, 1) en C definida por

CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS

SI

{

f(z)

g(z) = z

j'(O) si

241

z= O

como g es derivable en todos los puntos z :F. O de la bola abierta y además en : =O, ya que

f(z) _ f'(O) g'(O)=lím z =lím f(z)-;f'(O) =lím J'(z) - j'(O) = /"(0)

.:~o z z~o z z--->0 2z 2

entonces g es analítica en B(O, 1 ).

Para cada O < r < 1, la función g cumple las hipótesis del ptincipio del módulo máximo en B*(O, r), por lo tanto el máximo de lg(z)l se alcanza en la frontera de B*(O, r). Entonces, para todo .::; E B*(O, r), se tiene

l/(z)l ~ 1

Si.: :tOes un elemento fijo de la bola abie1ta B(O, 1) y se hace tender r a 1, resulta

de donde se deduce que

<=> lf(z)l ~ 1.:1

lf'(O)I = lím I!Cz)l ~ 1 : ->o lzl

y queda probada la ptimera parte del teorema.

Además, si en algún punto z0 de B(O, 1) se cumple lfiZo)l = lz01 o bien se cumple lf'(O)I = 1, entonces lg(z)l = 1 en algún punto de B(O, 1). Como el máxi­mo de lg(z)l es 1, por el principio del módulo máximo la función g(z) tiene que ser constante en toda la bola B(O, 1). Si g(z) = e, se tiene j(z) = cz. •

Un razonamiento análogo al realizado para el máximo de lj{z)l se puede apli­car al núnimo. En este caso se añade la hipótesis evidente de no ser f nula en ningún punto de la región A. Obtenemos así el principio del módulo núnimo.

242 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

20.9. Principio del módulo mínimo

Sea A una región, K un subconjunto compacto de A y f una función analí­tica, no constante y distinta de cero en todos los puntos de A. El mínimo de lf(z)l se alcanza en la frontera de K y no en su interior.

3. Singularidades aisladas

Seafuna función compleja definida en un abierto A de C salvo en un punto z0 E A. El punto z0 se dice que es una singularidad aislada de f si fes analíti­ca en un entorno de z0 excepto en el propio z0•

Existen tres clases de singularidades aisladas según que el límite de la fun­ción en el punto sea finito, infinito o no exista. En todo lo que sigue Zo es una singularidad aislada de f

20.10. Singularidades evitables

f tiene una singularidad evitable en z0 si lím f(z) existe y es finito. Z--7Zo

En el caso de una singularidad evitable la función se puede extender a todo A definiendo f(z0 ) = lím j(z). El siguiente teorema prueba que fes analítica en z0 .

Z--7Zo

20.11. Caracterización de las singularidades evitables

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) f tiene una singularidad evitable en Zo·

b) f está acotada en una bola abierta B(z0, r)- {Zo}.

e) lím(z - z0 )f(z)=0 Z--7Zo

d) f es analítica en z0.

244 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Demostración

a ~ b. Como f( z0 ) = lím f(z), entonces fes continua en una bola cerrada z->z0

de centro Zo en la que alcanza su máximo y su mínimo.

b ~c. Si 1./{z)l $k para todo z E B(Zo, r)- {Zo}, entonces

O $ lz - z01 lf{z)l $ lz - z01 k

luego lím (z- z0 )f(z) = O z->z0

e ~ d. Sea la función g de A en C defmida por

Entonces

g(z) = {~' - z,)' f(z) si z :;t: z0

si z = z0

'( ) lím (z- z0/ f(z) , g Zo = = lím(z-z0 )f(z)=O

z->zo z- Zo z->z0

lue~o g es analítica en z0. Por lo tanto, existe r > O tal que para todo z E B(z . ) se tiene o• r

-g(z) = .:~>~~<z-z0 )''

11=0

Como Zo es ~n cero de orden dos de g, se cumple a0

= a1

=O. Si defmimos fiZo) = ~. temendo en cuenta que

(z- Zo)2 f(z) = (z- z0)2 f,a11 +2 (z- z0)''

n=O

resulta

-f(z)= I,a,+2(z-z0 )''

11=0

en B(z0 , r) y fes analítica en z0

. •

20.12. Polos

f tiene un polo en Zo si lím f(z) = oo. Z->Zo

CEROS Y SINGULARIDADES ATSLADAS 245

Si f tiene un polo en Zo· entonces la función f tiene que ser distinta de cero en todos los puntos de algún entorno de z0 , pues en caso contrario el límite de ¡en z0 no podría ser infinito. Por lo tanto, en una cierta bola B (z0, r) está defi­nida la función

1 g(z) = f(z) si z :;t: z0

g(z0 ) = lím -1- = O

z->zo f(z)

y Zo es un cero de g. Recíprocamente, si la función g se puede definir en una bola B(Zo, r), entonces Zo es un polo de f El orden m del cero z0 de g se dice que es el orden del polo Zo de f

20.13. Caracterización de los polos

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) f posee un polo de orden m en z0.

b) lím(z-z0 )mf(z)=w0 :;t:O z->z0

e) Existen m números complejos ci> c2, ••• ,cm y un número real r >O tales que para todo z E B(21J, r)- {z0}

111

f(z) = I,c"(z - z0 ) -11

+h(z) ll= l

en donde cm :;t: O y h(z) es una función analítica en B(z0, r) . m

A la suma I, C0 (z- z0 f 0 se la denomina parte singular de f.

n=l

Demostración

a~ b. Comoftiene un polo de orden m en Zo· la función

g(z) = . {1/ f(z) si z :;t: z0

0 Sl Z = Zo

es analítica en una cierta bola B(z0, r) y tiene un cero de orden m en z0 . Por lo tanto, si z E B(z0 , r), se tiene

g(z) = (z - z0 )'" <p(z)

246 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

en donde <p(z) es una función analítica tal que <p(Zo) :~; O. Entonces

( )/11 ( )/11 lím(z-z

0)'"f(z) = lím z-zo = lím z-zo =

z--+zo z~zo g(z) z--+zo (z- Zo)111 <p(z)

1 = --:~;0.

<p(zo)

b ~ c. La función F(z) = (z - z0)"'f(z) tiene en z una sincrularidad evitable 1, F ) o o ' ,

pues 1m (z = w0 , por lo tanto Fes analítica en Zo· Si su serie de potencias en Z~Zo

una cierta bola B(z0, r) es

00

F(z) = (z- zo)'" f(z) = ~)11 (Z- z0

)''

n=O

dividiendo por (z - Zo)111, z :~; z0, resulta

00

f(z)= ~)"(z - z0 )" __ , para todo zeB(z0,r)-{z

0}

n=O

Haciendo e,= b0, c,,/---1 = b1, ••• , c1 = b 1, a0 = b ... a = b m- m' ' 11 m+n' · · ·

se tiene

m oo

f(z) = L.c"(z-zor" + L.a11 (Z-z0 )"

n=l n=O

en donde

00

h(z)= L.a11 (Z-z0 )

n=O

es analítica en B(a, r).

Obsérvese que C111 = b0 = w0 :~; O, pues por hipótesis

F(z0 ) = b0 = lím (z- z0 )'" f( z) = w0 :~;O. Z~Zo

e ~ a. Probemos que la función g de B(Zo, r) en C, definida por

{11 f(z) si z :~; z0

g(z) = O . SI Z = Zo

CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS 247

tiene un cero de orden m en z0• Esto es equivalente a probar que existe una fun­ción analítica <p en B(Zo, r) tal que

g(z) = (z- z0 )'" <p(z) <p(Zo) *O

Para ello consideremos la función analítica

1 <p(z) = (z- z

0)'" f(z)

y mostremos que <p posee una singulalidad evitable en z0, siendo <p(z0) * O.

En efecto, por hipótesis existen e" c2, • • • , C111

números complejos, C111 :~;O, y una función h analítica en B(z0 , r) tal que para todo z :t; z0

111

f(z)= L.c"(z-zor" + h(z) 11=1

multiplicando por (z - ZoY"

(z- z0 )'" f(z) =e, (z- z0 )'"-- ' + ... +cm+ (z - z0 )'" h(z)

Como

lím(z- z0 )'" f(z) = C111

:~;O Z~Zo

la función (z - z0)"'f(z) tiene una singularidad evitable en z0 . Por lo tanto, la fun­ción <p tiene una singularidad evitable en z0 siendo <p(z0) = llcm :~; O. •

20.14. Singularidades esenciales

f tiene una singularidad esencial en Z0

si no existe lím f(z). Z~Zu

El comportamiento de la función en un entorno de una singularidad esen­cial es muy peculiar, su imagen es un subconjunto denso en todo C. Este resul­tado es debido a Weierstrass y caracteliza esta clase de singularidades.

20.15. Caracterización de las singularidades esenciales

f tiene una singularidad esencial en z0 si y sólo si en cualquier entorno de Z0 la función f toma valores tan próximos como se quiera a cualquier comple­jo dado.

( '

~··

248 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

En otras palabras, z0 es una singularidad esencial de f si y sólo si la ima­gen. por f de cualquier entorno reducido B(z0, r)- {z

0} es densa en C.

Demostra~ión. Por reducción al absurdo. Supongamos que la imagen de un e_ntorno red~c1do de Zo no es ~ensa ~n C ~ probemos que Zo no es una singula­ndad esenc1al de f Con esta hipótesis, extsten r > O, un número complejo w e > O, tales que o Y

para todo z E B(z0 , r)- {z0} =:} /f(z)- w0

/ >e

La función

1 g(z) = /( ) z E B(z0 , r)- {z0} z - w0

es analítica en su dominio y además tiene una singularidad evitable en z por estar acotada, ya que 0

luego es analítica en toda la bola B(z0, r). Por lo tanto, o bien

lím g(z) =O ~ lím [/(z) - w0 ] = oo :---+zo z~zo

y /tiene un polo en z0 ya que lím f(z) = oo, o bien Z-7Zo

y ft~ene una s~ngular~dad evitable en z0 ya que lím f(z) = w0 + (11 e). Luego/

no tiene una smgulandad esencial en z0

• z-tzo

Probemos_ tambi~n el recípr?Co por reducción al absurdo. Supongamos que Zo no es una smgulandad esencial de f Entonces f posee o bien un polo o bien una singularidad evitable en z0 .

En el primer caso: lím f(z) = oo, por lo tanto, dado k > O existe r > o tal que z-tzo

En el segundo caso: lírn f(z) = e, por lo tanto, dado e > O existe r > O tal que z-tzn

CEROS Y SINGULARIDADES AISLADAS 249

z EB(z0 ,r)- {z0 } =:} 1/(z) - cl<e =:} l/(z)I<Jcl +e

Por consiguiente, en ningún caso la imagen de B(z0, r) - { Zo} por f puede ser densa en C. •

Si la función/ es analítíca en un abierto A del plano complejo ampliado C, que contenga al punto del infinito, salvo en el propio punto, es natural pregun­tarse si tiene sentido el concepto de singularidad aislada en z = oo.

20. 16. Singularidades aisladas en el punto del infinito

Sea A un abierto de C, z = oo un punto de A y f una función de A- { oo} en C. Entonces:

i) f tiene una singularidad aislada en oo si fes analítica en A - { oo }.

ii) f tiene una singularidad evitable, un polo de orden m o una singulari­dad esencial en oo sila fun.ción g(z) = f( l/z) definida en A* = {z E C : 1/z E A} tiene en z = O la misma clase de singularidad.

Si z = oo es una singularidad aislada de f, es claro que se trata de una sin­aularidad evitable, polo o singularidad esencial si lím j(z) es finito, infinito b ";'-700

o no existe. -

20.17. Ejemplos

a) La función j(z) = sen z tiene una singularidad evitable en z = O, ya que z

límf(z) = 1 z-70

z3 b) La función f(z) =

2 tiene un polo de orden dos en z = 1, ya que

(z -1)

lím(z - 1)2 f(z) = 1 ~-7 1

e) La función f(z) = e114 tiene una singularidad esencial en z = O, ya que no existe límf(z). (Si z = x + iy compruébese considerando el límite a través de

z-70

la recta x = 0).

d) La función f(z) = (z + 2)3

tiene un polo de orden dos en z = oo, ya que z+ l

250 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

tiene un polo de orden dos en z = O.

Una función compleja se dice que es meromorfa en un abierto A de C si es analítica en A excepto en un número finito o numerable de polos que no poseen en A ningún punto de acumulación. Una combinación lineal V+ ¡..t.g, así corno el producto fg de dos funciones f y g mero morfas en A es una función rneromorfa en A. Como consecuencia, el conjunto de las funciones merornor­fas con la suma y el producto habituales constituyen un álgebra conmutativa.

CAPÍTULO 21

El teorema de Cauchy y sus aplicaciones

l. El teorema de Cauchy. 2. Series de Laurent. 3. El teorema de los residuos. 4. Aplicación al cálculo de integrales. 5. Aplicación a la suma de series.

PRERREQUISITOS

• Series de funciones complejas.

• Serie de Taylor.

• Teorema de representación en serie de potencias de la función

f(z) = J g(z) dw yW - Z

• Propiedades de las funciones analíticas.

• Singularidades aisladas. Funciones rneromorfas.

• Integración compleja. Índice de un punto respecto a una curva cerrada.

• Funciones complejas elementales.

252 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ESQUEMA/RESUMEN

• Teorema general de Cauchy: f analítica en A, lnc!y(z) = O para todo z E e-A

a) f(z)Indy(Z) = -1-. f f(w) dw para todo z Ee -y

2m rw-z

b) JYJ(z)dz =O

• Teorema general de Cauchy para un número finito de caminos: f analítica en A, Indy,(z) + Indy,(z) + ... + Indy.(z) = o para todo z E e- A

a) f(z)Í.Indy,,(z)=~if f(w)dw p=I 21tl p= l · y1, W- Z

11

para todo z E e- UYp p=I

b) t.tp f(z)dz =O

• Serie de Laurent: f analítica en r < lz - Zol < R

en donde

00

j(z) = .~:C,(z- z0 )''

e, = 2

11t.J ( j(w;,+1dw n = 0,±1,±2,± ...

z y w-z0

siendo y cualquier circunferencia de centro z0 y radio p, con r < p < R

• Parte singular de la serie de Laurent: P(f) = Le, ( z- Zo )" 11=- 1

• Caracterización de las singularidades aisladas:

a) P(f) = O <=> Zo evitable.

b) P(f) tal que cm::;:. O, e, = O para todo lnl >m <=> z0 polo de orden m.

e) P(f) tiene un número infinito de términos <=> Zo esencial.

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 253

• Serie de Laurent en z = oo: igual a la serie de Laurent de g(z) = ¡( ~) en z = O

00

• Residuo de j(z)= ,Le,(z - z0 )'' enz0 : Res(f,z0)=e_1 n=--oo

• Cálculo del residuo de un polo z0 de orden m de f:

1 [ 111 ]m-1) Res(f,z0)= 1ím (z- z0 ) f(z) (m-1)! z-+zo

• Teorema de los residuos: Zp z2, ... , zm singularidades aisladas de f en el inte­rior del recinto limitado por y

m

J f(z)dz = 21ti,LRes(f,zj)lndy(z) y j=l

• Residuo en z = oo : Res(f, oo) = - 1-. J f(z)dz = -c_1 21tz -y

• f analítica en el plano completado C, excepto en un número finito de singu­laridades aisladas M, entonces

,LRes(f, w) =O weM

• Lemas de Jm·dan.

• Resolución de integrales de la forma

r2n: a) Jo F(senO, cos O)dO b) [oof(x)dx

e) J: x'J...- 1f(x)dx , o< A< 1 d) f:J(x)logxdx

t) J:!(x) cos mxdx

g) J:!(x) sen mxdx

• Suma series: bk::;:. n , lz.f(z)l < M , M> O , para lzl > R

00 p

a) L f(n)=-,LRes(1tcot1tz·f(z),bk) 11=- oo k=1

l.

ji i

254 AMPLIACIÓN DE CALCULO

~ p

b) L (-1)11 j(n)= - 2:Res(ncosecnz·/(z),bk) 11= -~ k=i

"" 2n+ 1 P e) L f(--) = 2:Res(n tag nz· f(z) ,bk)

11=-~ 2 k=!

~ 2n+1 P d) L (-1)"/(--)= 2:Res(nsecnz·/(z),bk)

11=-= 2 k=l

l. El teorema de Cauchy

El teorema y la fórmula de Cauchy en conjuntos abiertos estrellados, en particular en conjuntos convexos, han permitido establecer la equivalencia entre función holomorfa y función analítica y estudiar sus propiedades locales (en el entorno de un punto). Demostramos ahora un resultado general a partir del cual obtendremos los teoremas de Laurent y de los residuos. En lo que sigue A es un abierto arbitrario de <C y y es un camino cerrado regular a trozos contenido en A.

21.1. Lema

Sea f una función analítica en A y g la función de A x A en <C definida por

{

f(w)- f(z) g(z, w) = w- z

f'(z)

Entonces g es continua en A x A.

Demostración

si z:;:. w

si z=w

En un punto. (z0, w0) de A x A tal que z0 :;:. w0, la función es continua por ser cociente de dos funciones continuas y no anularse el denominador. Si z0 = w0,

fijado e > O, por la continuidad de f' existe 8 > O tal que

lf'(z)-f'(z0)1 <e para todo z E B(z0, 8)

Como B(z0, 8) es convexo, el segmento

s(t) = (1 - t)z + tw t E [0, 1]

256 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

que une dos puntos cualesquiera z, w de la bola está contenido en ella. Entonces

i) Si z = w se tiene

lg(z, z) - g(z0, Z0)1 = 1/'(z) - /'(Zo)l < e

ii) Si z :t:- w, el valor de g(z, w) viene dado por

g(z, w) = f(w)- f(z) = f(s(l))- /(s(O)) = w-z s(l)-s(O)

1 r~ rl = s(l) _ s(O) Jof'(s(t))s'(t)dt = J

0f'(s(t))dt

ya que s'(t) = w- z = s(l)- s(O). Por lo tanto

lg(z, w)- g(z0 , z0 )l = IJ~[f'(s(t))- f'(z0 )] dt' <e

pues el módulo del integrando es menor que e.

En resumen lg(z, w)- g(z0, z0)1 <e para todo par de puntos z, w de la bola B(zO> 8). •

21.2. Teorema general de Cauchy

Sea A un abierto de C y y un camino cerrado regular a trozos contenido en A tal que Indy(z) = O para todo z E C - A. Si fes analítica en A, entonces se cumple:

a)/(z)Indy(z) = -1-.J f(w)dw paratodo z E C-y

2m y w-z

b) JYJ(z)dz = O

Demostración. El conjunto G = {z E C : Indy(z) = O} es abierto por ser la imagen inversa de la función continua z ~ Indy(z) que sólo toma valores ente­ros. Es claro que A u G = C. Consideremos la función g del lema anterior y sea h : e ~ e la función

h(z) = Jyg(z,w)dw si z EA

h(z) = f f(w) dw si z E G y w-z

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 257

la cual está bien definida, pues las dos expresiones coinciden en A n G. En efecto, si z E A n G, se tiene lndy(z) = O, y por lo tanto

J g(z,w)dw = J f(w, -f(z)dw = Y y w-z

=J f(w)dw- f( z)J dw = yw-z yw-z

=f f(w) dw - f(z)21ti Indy(z) =J f(w) dw yW-Z yW-Z

Por el teorema de representación 19.7 la función hes analítica en todo C. Probemos que h es acotada. Por ser y compacto existe r > O tal que "{está con­tenido en la bola B(O, r) y z E G si lzl ;;::: r. Además f está acotada en y y si p es la distancia de z a y, cualquiera que sea z :t:- w

con lo cual

lím -1

- = O uniformemente en w E "{ z--?oo w - z

Como consecuencia de todo ello

lím h(z) = lím J f(w) dw =O Z--?00 z--?oo y w - z

o lo que es equivalente, dado k > O, existe R > r > O tal que lh(z)l ~ k para todo lzl ;;::: R. Como h también está acotada en la bola compacta B*(O, R) se conclu­ye que h está acotada en todo C.

Por el teorema de Liouville h es constante y del límite anterior se sigue que h(z) =O. Entonces, si z E A - y

O=f f(w)-f(z)dw =f f(w)dw-f(z)f dw y w - z y w - z yw-z

dividiendo por 21ti, resulta

258 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

b) Si Z0 ~ A - y, la función F(z) = (z- z0)f(z) es analítica en A. Como F(z0) = O, aplicando la fórmula anterior, se tiene

0=F(z0 )Indy(z0 )=-1-.f F(w) dw=-

1-.J f(w)dw. 2nz y w- z0 2m Y •

El siguiente corolario extiende el resultado a un número finito de caminos Su demostración se deduce fácilmente del teorema. ·

21.3. Corolario

Sea A un abierto de e y 'Y~> y2, .• . , Y,, n caminos cerrados regulares a trozos contenidos en A tales que lndy,(z) + Indy,(z) + ... + Ind (z) = O para todo z E e - A. Si f es analítica en A, entonces se cumple: y

a)f(z)Lindy,(z)=-. L ~w n 1 n J f( )

p=l 21tl p=l Yr W- z

n

para todo z E e- Urp p=l

n

b) IJY f(z)dz = O p=l r

2. Series de Laurent

Una funciónfanalítica en el interior de una corona circular r < lz - z01 < R puede representarse mediante una serie de potencias de exponentes enteros

"" f(z) = Ic"(z-zoY' =

IJ = - oo

denominada serie de Laurent de f en la corona. De esta manera se puede representar mediante una serie de Laurent una función analítica en el entorno reducido de una singularidad aislada z0. La forma de la serie determina la clase de singularidad de z0• Si z0 es evitable, entonces fes analítica en todo el círcu­lo lz - z01 < R, los términos de exponente negativo son todos nulos y sus selies de Laurent y Taylor coinciden. Si z0 es un polo o bien una singularidad aisla­da, la serie representa af en O< lz - z01 < R, y posee en el primer caso un núme­ro finito y en el segundo caso un número infinito de términos de exponente negativo no nulos.

21.4. Teorema de la serie de Laurent

Sea f una función analítica en la corona circular

A = { z E e : r < lz - Zol < R}

Entonces, f se representa en A de forma única por la serie

"" f(z) = Len (z- Zo)11

n=-oo

1'

260 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

en donde

- - 1-J f(w) d =0 +1+2+ en - o n+ l w n · - ·- ·-··· 2m y (w- z0 )

y y es cualquier circunferencia de centro z0 y radio p, con r < p < R, orienta­da positivamente.

Además la serie converge uniformemente en cualquier corona circular compacta contenida en A.

Demostración. Consideremos las circunferencias "{¡. y2 de centro z0 y radios p¡. p2 tales que r < p 1 < lz- Zol < p2 < R, recorridas en sentido positivo. Para todo z E e- A se cumple lndy,(Z) + lnd~(z) =O. Aplicando la fórmula integral de Cauchy

f(z)=-1-.J f(w)dw-~J f(w)dw 2m y, w- z 2m y, w - z

para p1 < lz- z01 < p2, ya que lnd .. ,(z) + lndy,(Z) = l.

..... ---- ... ... .,. ... ---- ......

----, 1

1 1

1 1

1 ' ' 1

• • \ •

\

\

' ' ' ' ' ,, , ... ____ ...... --- --

Figura 21.1. Corona A.

Consideremos las funciones

g(z)=-1-.J f(w)dw iz-zoi<Pz 2m y, w- z

h(z) =--1- .J f(w)dw P1 <lz-zol

2m y, w-z

' ' ' ' ' ' \

\

r \

• • •

1

1 1 , , , ,

---

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES

ambas son analíticas en sus dominios y evidentemente

f(z) = g(z) + h(z) P1 < iz- zol < P2

Por el teorema 19.7 de representación en serie de potencias

.. g(z) = :Lc"(z- zo)'' iz- zoi < P2

11=0

en donde

e"= _l_J f(w) +Jdw 2rti y, (w- z0t

n = 0,1,2, ...

Por otra parte, si efectuamos el cambio de variable

1 dw =- ~2 d~

261

en la integral que defme a la función h, la circunferencia "(1 se transforma en la circunferencia y' de centro z = O, radio 1/p1, orientada negativamente. Si z se

transforma en z' mediante el cambio anterior, es decir z = z0 + _!_ resulta z'

w - z = z + .!.. - (z + ..!..) = .!.. - _!_ o ~ o z' ~ z'

y por lo tanto

h( Zo + :} - z~J, f~ ~ +]~ \ - ;, r ~ ~ z'

= - - 1 .J H,z.+iL,sdt;~-1 .z'f <p(~),d~ 2rtz y ' z - ~ ~ 2m · y' ~ - z

en donde

262

La función

F(z') = ~J <p(~),d~ 2m y· ~-z

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

1 lz'I<­P1

es analítica en la bola B(O, llp1) y h( z0 + :, ) = z'F(z') . Aplicando el teorema

19.7 en z' = O

en donde

-F( ') "" , "' Z = .i.,.¡C111Z

m=O

1 lz'I<­PI

__ 1 J <p(~)d cm - 2 . ):111+1 ~

1tl y• ~

Deshaciendo el cambio en la función h, como z' = -1-,para lz - z01 >pi>

z-z0

se tiene

1 ~ 1 ) ~ ( )- m-1 ~ ( )" h(z) = -- - - = .i.,.¡cm z-z0 = .i.,.¡c" z - z0 Z- Zo Z- Zo m=O 11=-1

en donde, teniendo en cuenta que n = -(m+ 1) y~ = _ 1_ , w-z0

e, =-1-.J <p~~)d~=~J f(w)(w-,70 ). -dw? = 21tz y' ~ 21tl -y, (w-z0 ) (w - z0 t

= - 1-.J f(w)"+ 1dw n = - 1,- 2, - 3, ... 21tl y, (w - z0 )

Ahora bien, por el teorema de Cauchy, corolario 20.3, las integrales de una función analítica a lo largo de dos caminos cerrados, simples y positivamente orientados, contenidos en el abierto, tales que uno de ellos está situado en el interior de la región acotada limitado por el otro, son iguales. En particular, la integral de una función analítica a lo largo de cualquier camino cerrado y con­tenido en la corona, tal que Zo es un punto interior de la región acotada que limi-

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 263

ta y, tiene el mismo valor. Por lo tanto los coeficientes de la serie vienen dados por

e,= 2

1. f ( f(w~"+1 dw n = 0,±1,±2,±3, ...

1tl y w- z0

en donde y está orientado positivamente.

Nótese que los radios PI> p2 se han fijado arbitrariamente, por lo tanto la representación es válida para cualquier punto de la corona A. En conclusión

-f(z) = g(z)+ h(z) = L,c,(z- z0 )'' r < lz- zo l < R

Jl=-oo

La convergencia uniforme de la serie en cualquier corona circular compac­ta contenida en A es consecuencia sencilla del teorema 19.2 sobre la conver­gencia uniforme de series de potencias.

Finalmente, la unicidad de los coeficientes e, implica la unicidad de la serie. •

La serie Le, ( z- z0 )" se denomina parte singular de f Si fes analítica en 11=-1

O < lz - z01 < R, entonces z0 es una singularidad aislada de f y la forma de la parte singular caracteriza el tipo de singularidad de z0• A partir de las defini­ciones se deduce fácilmente el siguiente resultado.

21.5. Teorema de caracterización de las singularidades aisladas

Sea P(f) = L, en (z- z0 )n la parte singular de la función analítica f en n=-l

O < lz - :zol < R. Se cumple:

a) P(f) = O si y sólo si z0 es una singularidad evitable.

-m

b) P(f) = L C0 (z- z0 )

0, e _

01 '#O. si y sólo si z0 es un polo de orden m.

n=-1

e) P(f) tiene un número infinito de términos si y sólo si Zo es una singula­ridad esencial.

264 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Demostración

a) z0 es una singularidad evitable de f si y sólo si fes analítica en Zo· Por lo tanto su serie no contiene potencias de exponente negativo.

b) Es el teorema 20.13 de caracterización de los polos.

e) Es una consecuencia obvia de a) y b). •

21.6. Serie de Laurent en el punto del infinito

Recordemos que f tiene en z = oo una singularidad evitable, un polo o una singularidad esencial si la función g(z) = f(llz) tiene respectivamente esa clase de singularidad en z = O. En caso de ser z = oo una singularidad aislada de f, entonces fes analítica en el exterior de un círculo lzl > r. Para cualquier R > r, la función admite un desarrollo en serie de Laurent en la corona r < lzl < R

00

f(z)= L,c11 Z11

n=-oo

la cual se denomina serie de Laurent dejen z = oo. Aquí la parte singular es la serie de potencias positivas, de modo que z = oo es una singularidad evitable, un polo o una singularidad esencial si, respectivamente, la serie no contiene potencias positivas, contiene un número finito o contiene un número infinito. Por otra parte, si z = oo es una singularidad aislada de f y

es el desarrollo en serie de Laurent de g en la corona O < lzl < r, entonces b

11 = c_

11• (Véanse los ejercicios de autocomprobación).

21.7. Ejemplos

a) La función f(z) = -i-- es analítica en la corona O< lz- i 1 < 2. Repre­z +1

sentemos la función como suma de fracciones elementales

A B 112i -112i i f(z)=-+-=-+-- =- +--

z-i z+i z-i z+i 2(z-i) 2(z+i)

i 1 =- +-·----

2(z-i) 2 2i+(z-i)

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 265

Por división determinamos la serie de potencias de la última función ana­lítica en todo el círculo lz - i 1 < 2.

1 1 1 . 1 00

( -1 )11 • 11

--- =----(z-z)+ ... =-I,--(z - z) 2i + (z- i) 2i (2i)2 2i ll=o (2i)11

Por lo tanto, la serie de Laurent de f en la corona resulta

i 1 00

( -1 )" . 11

f (z)=- 2( - ') +-4 L (2')11 (z - z) z l 11=0 l

z = i es un polo de orden uno. El procedimiento seguido evita el cálculo de los coeficientes mediante integración.

b) El desarrollo en serie de potencias de la función

1 f(z) = cos- O< lzl

z

en un entorno de z = O, se determina cambiando S = .! en el desarrollo de z

por lo tanto

s2 s4 s6 g(s) = cos s = 1--+---+ ...

2! 4! 6!

1 1 1 f(z)=l---z +--4 ---6 + ...

2!z 4!z 6!z

el cual es válido para cualquier z *O. En z = O la función tiene una singulari­dad esencial.

3. El teorema de los residuos

Consideremos una función analítica f en un abierto A salvo en un punto z0 de A en el que tiene una singularidad aislada. Sea y un camino cerrado, regular a trozos, contenido en A, tal que z0 pertenece al interior del recinto limitado por y e Indy(z) = O para todo z E C -A. La función f admite un desarrollo en serie de Laurent en un entorno reducido O < iz - Zoi < R de Zo· Como f- P(f) tiene una singularidad evitable en z0 y se prolonga a una función analítica g en todo A, entonces, por el teorema general de Cauchy

J1g(z)dz = f)J< z)- P(f)(z)]dz = O

en donde f(z) = P(f)(z) + g(z). Por lo tanto

J f(z)dz = J P(f)(z)dz= J L,c,(z -z0 )'' "( "( "(11= -l

Como la serie es uniformemente convergente en el compacto y, se puede inte­grar término a término. Ahora bien, si n :~; -1, la función c,(z - Zo)" posee fun­ción primitiva en A y su integral a lo largo de y es cero. Entonces, teniendo en cuenta la definición de Ind y(z0), resulta

f1

f(z)dz = J Y c_1 (z- z0 )-1 dz = c_121ti Indy(z0 )

Al número c_1 se le llama residuo de f en la singularidad aislada z0 y se repre­senta por Res(f, z0), con lo cual

268 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

La generalización de este resultado al caso de una función analítica que posea en A un número arbitrario de singularidades aisladas se conoce con el nombre de teorema de los residuos.

La unicidad de la serie de Laurent asegura la unicidad del coeficiente e es decir, del residuo de f en Zo· Además, si "{es la circunferencia de centro z0-~ radio R tal que O < lz - Zol ~ R está contenida en A, resulta

J [f(z)-~]dz=O Y z-z0

de lo cual se deduce que e_, es la única constante k que permite a la función

g(z) = f(z) - _k_ z - z0

tener primitiva en O < lz - Zol ~ R.

21.8. Cálculo del residuo de un polo

Sea f anaHtica en O < lz - z01 ~ R. Si z0 es un polo de orden m de f, entonces

1 Res(f,z

0) = lím pm- t)(z)

(m -1)! z-.zo

en donde F(z) = (z - z0)m f(z).

Demostración. Por ser z0 un polo de orden m

J(z) = cjz - z0t1 + c_z(z - z0t

2 + ... + c_111(Z- Zotm + g(z)

en donde g es una función analítica en la corona O < lz - z01 ~ R.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por (z - z0)"'

(z- z0)'"f(z) = cjz - z0)'"- ' + c_2(Z - Zo)m-2 + ... + e-n, + (z - Zo)"'g(z)

derivando m- 1 veces

[(z - z0)'"f(z)]m-Il = (m- 1)! e_, + [(z- z0)"' g(z)]"'-'l

Tomando límites cuando z tiende a z0, teniendo en cuenta que el límite del últi­mo sumando es cero, se obtiene el resultado. •

21.9. Ejemplo z

La función f(z) = 3 e tiene un polo de orden tres en z =O y un polo z (z -1)

de orden uno en z = l.

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 269

1 d2

[ ez ] 5 Res(f,O)=-lím-2 -- =--2! z--+0 dz (z -1) 2

ez Res(f, 1) = lím(z -1) 3 =e

z--+1 z (z -1)

El resultado anterior permite el cálculo del residuo en un polo sin necesi­dad de averiguar la serie. Si z0 es una singularidad evitable, la función se pro­longa analíticamente al punto z0 y su residuo en él es cero. Si z0 es una singu­laridad esencial se determina la serie para hallar el residuo.

21.10. Teorema de los residuos

Sea f una función analítica en un abierto A salvo en las singularidades ais­ladas z1, z2, ... , Z

01• Si"{ es un camino cerrado, regular a trozos, contenido en A,

que no pasa por ninguna de las singularidades aisladas y tal que Indy(z) = O para todo z E e - A, entonces

111

J f(z)dz = 2ni¿Res(f,z)Indy(zj) y j=l

Demostración. Sea Pif) la parte sin[lJ.lar de f correspondiente a Zr La fun­ción

111

g= J- LIJ<n j = l

tiene singularidades evitables en los puntos z,, z2, ... , Z111

por lo que se prolonga a una función analítica en todo A. En virtud del teorema general de Cauchy

111

J g(z)dz = J f(z)dz-J L lj(f)(z)dz =O y y y j = l

Como, por la definición de Indy(z) resulta

se tiene

•

·no AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Supongamos que f posee una singularidad aislada en z = oo y su desarrollo en serie de Laurent en un entorno de dicho punto viene dado por

~

f(z)= :¿e,z" n=-oo

se defme el residuo de f en el punto del infinito por -e _1• La definición puede parecer artificial, sin embargo no lo es. En efecto, si f posee una singularidad aislada en Zo =t: oo el residuo e_1 de f en Zo viene dado por

e_1 = - 1-. J f( z )dz

2m Y

en donde y es una circunferencia recorrida en sentido positivo de centro Zo y radio r tal que no existe otra singularidad aislada en la bola.

Sin embargo, en el caso de oo la integración de fa lo largo de un camino circular y modifica el sentido positivo de y, pues cualquier circunferencia divi­de a la esfera de Riemann en dos casquetes de modo que el recorrido positivo para uno de ellos es el negativo para el otro. Por lo tanto

Res(f, oo) = -1-. J f(z)dz

2m -y

en donde -y es una circunferencia de radio suficientemente grande para que en el entorno de oo que determina no exista otra singularidad aislada, orientada negativamente respecto a su centro y positivamente respecto a oo. A diferencia de los otros puntos, si z = oo es una singularidad evitable, Res(f, oo) puede ser distinto de cero.

Una consecuencia muy útil de la definición dada es el resultado siguiente, cuya aplicación permite calcular de manera fácil algunos tipos de integrales.

21.11. Proposición

Sea f anaUtica en todo C salvo en un subconjunto finito M de singularida­des aisladas. Entonces

IRes(f, w) =O weM

Demostración. Existe r > O tal que fes analítica en todo el abierto lzl > r salvo a lo más en oo. Para cualquier R > r la bola B(O, R) contiene a un núme­ro finito z,, z2, .•• , Z111 de singularidades aisladas de f Si y es la circunferencia de centro z = O y radio R orientada positivamente, se tiene

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 271

f_Yf( z)dz = 2rri Res(f,oo)

111

J f( z)dz = 2rri:¿Res(f,zj) y j=l

sumando miembro a miembro las dos igualdades

111

O= 2rri Res(f,oo) + 2rri:¿Res(f,zj) = 2rri IRes(f, w) • j= l weM

21.12. Ejemplos

a) Seafla función del ejemplo 21.9, en donde se calcularon el valor de los residuos en los polos.

i . 5 f(z)dz = 2m[Res(f, O)+ Res(f, 1)] =--+e

lzl=2 2

Obsérvese que lndy(O) = lndy(l) = l.

b) Determinar el residuo en el polo z = -1 para calcular la integral

f z 250 dz = 2rri Res(f,1) J¡zJ=21 + Z

puede resultar laborioso. Ahora bien, la función f puede representarse por

z 1 1 f(z) = ( 1 ) = 249 · 1

250 1 z 1 + z z2so + z2so

y es obvio que su desarrollo en serie de Laurent en un entorno de z = oo no con­tiene al término 1/z, por lo tanto su residuo en z = oo es cero. Como

Res(f, 1) + Res(f, oo) =O

se tiene Res(f, 1) =O y la integral es cero.

...

4. Aplicaciones al cálculo de integrales

El teorema de los residuos proporciona un método sencillo para calcular algunos tipos de integrales reales sin necesidad de conocer una prirniti va de la función integrando. La conveniencia de su aplicación no tiene ninguna regla fija. El principio empleado es siempre el mismo, se trata de prolongar la fun­ción integrando al campo complejo y aplicar el teorema de los residuos. Sin embargo, cada caso tiene un tratamiento diferente. A continuación se estudian algunas de las clases más frecuentes. Comenzamos estableciendo unos lemas necesarios posteriormente.

21.13. Primer lema de Jordan

Sea f una función continua para valores suficientemente grandes de lzl y sea y(R) el arco de circunferencia z = Re;e, a~ e ~ !). Si lím zf(z) = k , entonces

z~~

lírn J f(z)dz = i(i)- a)k R~= y(R)

Demostración. Sea g(z) = zf(z) - k. Entonces

f f g(z) J dz f(z) dz = -dz+k -y(R) y(R) Z y(R) Z

como para todo R > O se tiene

f dz = f~ iRe;ed8=(1) - a)i y(R) z a Re'e

, ..

274 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

resulta que para todo R > O suficientemente grande

f f(z)dz - k$- a)i = J g(z) dz y(R) y(R) Z

Ahora bien, fijado E > O, como lím g(z) = O, existe R > O tal que si lzl ~ R se z-¡=

cumple lg(z)l < E y por lo tanto

IJ g~z) dzl < EIJ dzl =El~- al = E'

y(R) <.. y(R) Z

por consiguiente

lím J f(z)dz = k$-a)i R-¡= y(R) •

21.14. Segundo lema de Jordan

Sea f una función continua para valores suficientemente pequeños de lzl y sea y(r) el arco de circunferencia z = rei9, a~ e~~· Si límzf(z) = k, entonces

z--¡0

lím J f(z)dz = i(~ - a)k r--¡0 y(r)

Demostración. Es análoga a la del lema anterior. Sea g(z) = zf(z) - k. Entonces

J f(z)dz =J g(z) dz+kJ dz y(r) y(r) Z y(r) Z

Como para todo r > O se tiene

f dz = J P ire;a de = (~- a)i y(r) z a re'a

resulta que para todo r > O suficientemente pequeño

f f(z)dz- k$- a)i = J g(z) dz y(r) y(r)' Z

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 275

Ahora bien, fijado E> O, como lím g(z) = O, existe r >O tal que si lzl ~ r se cum-z--¡0

pie lg(z)l < E y por lo tanto

IJ g(z)dzi<EIJ dzi = EI~-ai =E'

y(r) Z y(r) Z

entonces

IJ f(z)dz - k(~ - a)il <E' y(r)

por consiguiente

límJ f(z)dz = k(~ - a)i r--)0 y( r ) •

21.15. Tercer lema de J ordan

Sea f una función continua para valores suficientemente grandes de lzl y sea y(R) la semicircunferencia z = Rei8, O~ e~ n. Si

entonces

lím Max{lf(z)l : lzl = R} = O, R-¡=

lím J emzif(z)dz = O , m> O R-¡oo y(R)

Demostración. Sea MR = Max{ lf(z)l: lzl = R}

en donde la última igualdad se verifica porque

1t para o~e~-

2

(nótese que sene ~ 2e/n para O ~ e ~ n/2). Como

¡ j

' .. 1

L/b AMPLIACIÓN DE CÁLCULO -

resulta

O$ )J emzif(z)dz) $ ~(1- e-mR)M y ( R) m R

Por hipótesis lím M R = O, luego R---7=

lím f emzif(z)dz =o R---7= y(R) •

Recordemos que la integral impropia de una función real de variable real continúa en el intervalo x ~ O, se define por

y sij es continua en toda la recta

f= Jo J~ f(x)dx = lím f(x)dx+ lím - f(x)dx ~ R, --7- - R, R, --?= O

Las integrales impropias se dicen que son convergentes si los límites que las definen son convergentes. Al segundo tipo de integrales se le asocia también el valor principal de Cauchy, definido por

Si la integral es convergente, su valor principal de Cauchy existe y es igual al valor de la integral. Sin embargo, el recíproco no se cumple; puede existir el valor principal y la integral no ser convergente, por ejemplo, en el caso de f(x) = x el valor principal es cero y la integral, de acuerdo con la definición dada, no es convergente.

A continuación aplicamos el teorema de los residuos a la resolución de algunas clases de integrales reales.

f21t 21.16. Integrales de la forma Jo F(sen e,cos e)de

Se supone F una función racional de sen e, cos 8 cuyo denominador no se anula en la circunferencia de centro el origen y radio uno.

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 277

El cambio z = e;e cuando e recorre [0, 2rt] transforma est~ intervalo en la cir­cunferencia unidad lzl = 1 recorrida en sentido positivo. Temendo en cuenta que dz = izde

resulta

y como

J = f j(z)dz J¡zj=l

no tiene singularidades en izi = 1, se tiene

p

J = 2rcii_Res(f,zk) k=!

en donde Zp z2, .. . , zP son las singularidades de f en la bola B(O, 1).

21.17. Integrales de la forma J:J(x)dx

Se supone j(z) meromorfa en el semiplano superior, continua sobre el eje real y tal que lím zf(z) = O·

Sea la cur~~y(R) formada por el segmento [-R, ~]y la ~~rnicir?unferencia C(R) de centro el origen y radio R recorrida.en sentido posttivo (Ftgura 21.2). Tomando límites cuando R tiende a oo en la tgualdad

y

---L-----.--4---~----~--+ X O R -R

Figura 21.2. Curva y(R).

278 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

f f(z)dz =IR f(x)dx + r f(z)dz ~~ -R Jq~

como por el primer lema de J ordan

lím r f(z)dz =o R-too Jc(R)

resulta

R p

lím J f(x)dx = lírn J f(z)dz = 2n:i_LRes(f, zk) R-too -R R-too y(R) k=l

ya que los polos z1, z1, ... , zP defestán todos contenidos en el interior del recin­to limitado por una curva y(R) paraR suficientemente grande. En conclusión

00 p

V.P.f_oof(x)dx = 2n:i_LRes(f,zk) k=i

21.18. Integralesdelaforma J0""x"A-1j(x)dx, 0</..<1

Se supone f meromorfa en todo C,f no tiene polos en el semieje real posi-

tivo, !~~~/ j(z)l =O y ~~jl f(z)l =O

Como z = O es un punto de ramificación de la función F(z) = l -1f(z), con­sideramos l-1 = é'--lllog~ . en donde O < arg z < 2n:. Sea el camino y unión de los caminos y1, y2, y3 y y4, siendo Y1 y y3 arcos de circunferencias de centro el ori­gen y radios R y p, la primera orientada positivamente y la segunda negativa­mente, y siendo y2, y4 segmentos iguales paralelos al semieje x > O reconidos en sentido contrario. (Figura 21.3.)

y

X

Figura 21.3. Camino y(p, R).

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 279

Resulta

4 J zf...-t f(z)dz = L J l-1 f(z)dz y k= l Y¡

Teniendo en cuenta las hipótesis, por los dos primeros lemas de Jordan se cumple

lím J zf...-l f(z)dz =O R-too Y1 (R)

lím J z "A-I f(z)dz = O p-tO Yl (p)

Por otra parte, cuando p tiende a O y R tiende a oo, los segmentos Y2 Y Y4

tienden al semieje x > O, entonces

si z E y 2 lím arg z = O => p--tO R-too

si z E y 4 lírn arg z = 2n: => p-tO R-too

lím l - 1 = xf...- l p-tO R--too

lím f...-1 'A-1 21ti(f...-1 )

z =x e p-tO R-too

Como consecuencia, haciendo tender p a O y R a oo, resulta

lím J l-l f(z)dz = [1- e21ti(f...-l) lr Xf...- l f(x)dx p-tO y(p,R) 0 R-too

pero

en donde .:1' z1, ... , zP son los polos de .t, que están todos ~~ntenidos en el in~­rior del recinto limitado por una curva y(p, R) para p suflctentemente pequeno y R suficientemente grande. En conclusión

foo f...-1 21ti P Jo x f(x)dx = 21ti(f...-l) ,LRes(F,zk)

L-e k= l

21.19. Integrales de la forma f0""j(x)logxdx

Se supone f meromorfa en todo C, f no tiene polos en el semieje real posi-

tivo, líml.c,f(z)(logz)2I=O y límlzf(z)(logzii=O ::--too :--+0

280 AMPUACIÓN DE CÁLCULO

Consideremos la función F(z) = f(z)(log z)2 en donde la determinación de log z es O < arg z < 2n. Sea el camino y del caso anterior (Figura 21.3). Análo­gamente a lo que sucedía allí

lím J f(z)(logz) 2dz =O R->~ y 1(R)

Teniendo en cuenta que

Como

fo~ f(x)(logx) 2dx - fo~ f(x)(logx-2ni) 2 dx=

= 4n;i Jo- f(x) logx- (21ti)2 J0J(x)dx

p

lím J /(z)(logz)2 dz = 2ni" Res(F,zk) p->0 y(r,R) ~ R->- k=l

en donde z" z2, •. • , Zr son los polos de f resulta después de dividir por 2ni

2J0- f(x)logxdx-2niJ0~ f(x)dx = ±Res(F,zk)

k=l

igualando las partes reales

1 { ,, } r f(x)Jogxdx=2Re t;.Res(F, z¡)

21.20. Integrales de la forma [ .. emxif(x)dx, In> o

Se supone f meromorfa en el plano, f no contiene polos en el eje real y

lím Max{!f(z)! : z = R} =O R-> oo

Consideremos la función F(z) = e"'z;f(z). Sea el camino y(R) formado por el segmento [-R, R] del eje real y la semicircunferencia C(R) de centro el origen y radio R, recorrida positivamente (Figura 21.2).

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APliCACIONES 281

Como

f ei"':f(z)dz=J e;"': f(z)dz+JR e;"''f(x)dx y ( R) C(R) . -R

y en virtud del tercer lema de Jordan se cumple

lím f ei"'ZJ(z)dz =o R->ooJC(R)

tomando límites cuando R tiende a oo, resulta

en donde z" z2, ••• , zr son los polos def

21.21. Integrales de la forma [JCx)cos mx dx, f _J(x)sen mx dx, m> O

Se suponen las mismas condiciones y el mismo camino del caso anterior. Como

e;"'-'= cos mx + i sen mx

se resuelve teniendo en cuenta que

IR ÍIILYJ( IR IR -Re x)dx= -Rcosmxf(x)dx +i -Rsenmxf(x)dx

~~· \,

l'

••

5. Aplicación a la suma de series

El teorema de los residuos puede utilizarse también para calcular la suma de series de la forma

~ k

I, f(n) = lím I, f(n) - oo k~0011=-k

en donde fes una función analítica con un número finito de singularidades ais­ladas en C. La idea es la siguiente. Supongamos una función conocida F que tiene por singularidades aisladas los puntos z = n, n = O, ±1 , ±2, ... cuyo resi-duo en todos ellos tiene el mismo valor 'A. Sea {y,}, n = 1, 2, 3, ... , una suce-sión de caminos cerrados simples tales que los polos -n, - n + 1, ... , -1, O, 1, ... , n- 1, n están contenidos en el interior del recinto limitado por Y,,. Paran sufi­cientemente grande, las singularidades aisladas b1, b2, ... , bP de f se encuentran en el interior del recinto limitado por y,. Aplicando el teorema de los residuos

11 p

J F(z)f(z)dz=21ti I,Res(Ff,k) + 2nii,Res(Ff,bk) y ,. k=-11 k= i

(obsérvese que las singularidades de F(z)f(z) son la unión de las singularida­des de cada una de las funciones). Si suponemos que ninguna de las singulari­dades defse encuentran en z =k, k = O, ±1 , ... , ±n, entonces

Jl ll

I,Res(Ff,k) = Í:Af(k) k=-11 k =-11

Tomando límites cuando n tiende a oo en la expresión del teorema de los resi­duos

284 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

.. p

lím J F(z)f(z)dz = 2n{~)..f(n)+ 2niiRes(Ff,bk) 11~00 l n - oo k=-1

Si el límite del primer miembro fuese cero, resultaría

.. p

A Lf(n) =-IRes(Ff,bk) k=l

y podríamos calcular el valor de la serie.

Las funciones F(z) = cot nz y F(z) = cosec nz cumplen los requisitos ante­riores ya que ambas tienen sus polos en los puntos z = n, n = O, ±1, ±2, ... , en todos ellos el valor del residuo de la primera es l/1t, y el valor del residuo de la segunda es lln en z = 2n y -l/1t en z = 2n + l. Los teoremas siguientes prue­ban que el límite de la integral es cero.

21.22. Suma de series por medio de F(z) = cot nz

Sea f una función meromoifa en C. Si se cumple

a) Los polos b 1, b2, •• • , bP de f no coinciden con ningún punto z = n, n = O, ±1, ...

b) SiR es el radio de un círculo en cuyo interior están contenidos los polos bp b2, ... , bP, entonces existe una constante M> O tal que lzf(z)l s M para todo lzl >R.

Entonces

OQ p

L f(n) = - IRes(1t cot 1tz · f(z), bk) 11=- oo k=l

Demostración. Sea Y,, el camino cuadrangular de vértices

Aplicando el teorema de los residuos a la función 1t cot nz · f(z)

J 1t cot nz · f(z)dz = y.,

" p = 2ni L Res(ncot nz · f(z), k)+ 2niiRes(1t cot nz · f(z) ,b1) =

k=-n }=1

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 285

11 p

= 2ni Lf(n)+ 2niiRes(ncot n z · f(z),b1) k=-n j=l

y

r +~J-l+i) (n+

X

o

+~}-1 -i) (n+

Figura 21.4. Camino cuadrangular.

Por lo tanto, se trata de probar que el límite de la integral cuando n tiende a infinito es cero.

Como por hipótesis lz f(z)l s M para todo lzl > R, entonces lím f(z) =O, y z--?oo

la función f admite en el punto del infinito un desarrollo en serie de Laurent de la forma

f( ) _ c1 c2 C

11 z - -+--r+ ... +-+ ... z z z"

para todo lzl > R

de donde

para todo lzl > R.

y existen una constante M0 y un radio R0 > R tales que

(1) lf(z)- .s_l s Mg para todo lzl ~ Ro z lzl

Por otro lado

(2) J 1tCOt1tzdz=0 y., z

286 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ya que haciendo el cambio z por -z la integral es igual a sí misma cambiada de signo.

La función lcot 1tzl está acotada en"(, independientemente den (véanse los ejercicios de autocomprobación), es decir existe H > O tal que

(3) l1tcot1tzl ~ H para todo z E"(,, n = 1,2,3

Entonces, teniendo en cuenta (1), (2) y (3), resulta

IJ 1t cot 1tz · f(z)dzl = IJ 1t cot 7tz(J(z)- s_)dzi ~

Y, 'Y11 Z

J 1

e 1 J 1 4(2n + 1) ~ l1tcot1tzl f(z)-_!_ ldzl ~ HM0 -112

ldzl < HM0 2 r, z r, z n

ya que si z E "(,,su módulo lzl es mayor que n, y la longitud de 'Y, es 4(2n + 1).

Como consecuencia

lím J 1tcot1tzj(z)dz =O n---+oo Y11 •

Para.las funciones cosec 1tZ, tag 1tz y sec 1tZ se prueba de forma análoga al caso de cot 1tz los siguientes resultados.

21.23. Teorema

Sea f una función meromorfa en C. Si se cumple

a) Los polos bl' b2, ... , bP de f no coinciden con ningún punto z = n, n = O, ±1, ±2, ...

b) Si R es el radio de un círculo en cuyo interior están contenidos los polos bp b2, •• • , bP, entonces existe una constante M> O tal que lzf(z)l <M para todo lzl >R.

Entonces

00 p

(1) I,C- 1)"f(n) =-I,Res(1t cosec 1tZ · f(z),b). IJ =-oo j= l

EL TEOREMA DE CAUCHY Y SUS APLICACIONES 287

(2) ~~~ 1(2n2+

1) = -tRes(1t tag 1tz· f(z),bi).

(3) ~~~(-1)"!(2n2+ 1) =-tRes(1t sec 1tz · f (z),bi ).

l 1

CAPÍTULO 22

Transformación conforme

1. Transformación conforme. 2. La transformación bilineal fraccionaria. 3. Formas particulares de la transformación de Mobius.

PRERREQUISITOS

• Curvas regulares. Ángulo de dos curvas regulares que pasan por un punto.

• Ecuaciones de rectas y curvas en el plano complejo.

• Traslaciones, rotaciones, homotecias e inversiones en el plano complejo.

• Razón doble de cuatro puntos.

• Funciones complejas elementales.

• Funciones analíticas.

·,

\

290 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

ESQUENUVRESUNUEN

• Transformación conforme: w = f(z) es conforme en Zo si conserva la maani­tud y el sentido del ángulo que forman dos curvas cualesquiera que pasan °por Zo·

• Transformación localmente conforme en una región A: conforme en cada punto de A.

• Transformación conforme en A: inyectiva y localmente conforme en A.

• Condición suficiente: f analítica en z0. Si !' (z0) :t: O, entonces fes confonne en Zo· (La condición también es necesaria).

• Punto crítico z0 de una transformación:f'(z0) = O.

• Ejemplos de transformaciones conformes: traslación, rotación, homotecia, inversión, aplicación lineal.

. . . . . az+b - -• Transformación bllmeal fraccwnana: w = -- de CC en CC.

cz+d

• Transformación de Mobius: transformación bilineal fraccionaria tal que ad- be :t: O.

• Propiedades de la transformación de Mobius:

a) Es inyectiva y sobreyectiva.

b) La composición de dos transformaciones de Mobius es una transforma­ción de Mobius.

e) La transformación general es composición de una traslación, una inver­sión, una rotación, una homotecia y una traslación.

d) Deja invariante la familia de rectas y circunferencias.

• Razón doble de cuatro puntos ordenados Zp z2, z3 y z4 :

• Puntos concíclicos: Zp z2, z3 y z4 están en una circunferencia.

• Caracterización de puntos concíclicos o alineados: z1, z2, z3 y z4 son concícli­cos o están alineados si y sólo si su razón doble es real.

• Invarianza de la razón doble: la razón doble de cuatro puntos permanece invariante por cualquier transformación de Mobius.

• Puntos fijos: w(Zo) = Zo· Posee como máximo dos.

TRANSFORMACIÓN CONFORME 291

• Determinación de una aplicación de Mobius: una aplicación de Mobius queda determinada por tres puntos y sus imágenes.

• Determinación de la aplicación de Mobius por dos puntos fijos a y~:

w-a z - a --=A- A= c~+d

ca+d w-~ z- ~

Si a = ~ (punto fijo doble)

1 1 ----=A w- a z-a

• Puntos inversos respecto a una circunferencia y a una recta.

• Transformación de semiplano superior en círculo unidad:

·e z -a w=e' -- lm(a)>O z-a

• Transformación del círculo unidad en el semiplano superior:

l+z w=--

1-z • Transformación del círculo unidad en el círculo unidad:

io z-a w=e --az -1

• Transformación del círculo lzl :s; r en el círculo lwl :s; 1

¡e z- zo w = e r -_- --"-=-2 z0z-r

l. Transformación conforme

El término transformación se utiliza sustituyendo al de aplicación o función para resaltar la idea geométrica del reemplazamiento de cada punto de un dominio por el de su imagen, es decir, el término transformación centra el inte­rés en el estudio de las formas y propiedades geométricas de las imágenes de subconjuntos, a partir de las cuales se puede analizar el comportamiento de la función y deducir sus propiedades.

Las transformaciones en el plano vienen determinadas por un par de ecua­ciones.

u= u(x, y) v = v(x, y) (x, y) E M

que en el caso del plano complejo corresponden a las partes real e imaginaria de una aplicación w = f(z). Desde el punto de vista geométrico, las únicas transformaciones interesantes son las inyectivas y en particular aquellas que conservan la magnitud y el sentido de los ángulos, las cuales se denominan transformaciones conformes.

Consideremos una región A de C y dos curvas regulares y1, y2 contenidas en A, de ecuaciones

Z1 = z1(t), tE [a, b]

que se cortan en un punto Zo = z1(t1) = zz(t2) . Se define el ángulo que forman y1

y y2 en Zo como el ángulo que forman sus vectores tangentes t 1(t1) y z'z(t2) en el punto. Su magnitud viene dada por

294 AMPL{ACIÓN DE CÁLCUW

22.1. Definición de transformación conforme

Una aplicación w = f (z) de A en C se dice que es conforme en un punto z0 E A si conserva la magnitud y el sentido del ángulo que forman dos curvas cualesquiera que pasan por z0.

Una aplicación conforme en cada punto de A se dice que es localmente conforme en A. Si además es inyectiva se dice que es conforme en A.

El teorema de la función inversa proporciona una condición suficiente para que una función analítica en el entorno de un punto sea conforme en él.

22.2. Teorema

Si f: A ---7 e es analítica en z0 y f'(Zo) -:t:. O, entonces es conforme en z0

.

Demostración.

Sea V un entorno abierto de z0 en el que fes inyectiva, y un arco de curva regular contenido en V, de ecuación z = z(t), tE [a, b], que pasa por Zo = z(t0),

y sea r el arco transformado f(y), de ecuación w(t) = f(z(t)). Por la regla de la cadena

de donde

Arg w'(t0) = Argf(Zo) + Arg z'(t0)

Si 'YP y2 son dos arcos de curva regular que pasan por Zo = z1(t1) = zit2) y ri> r 2 son los arcos transformados w1(t) = f(z,(t)), wit) = f(zz(t)), en virtud de la igualdad anterior

Por lo tanto

Arg w'1(t1) = Argf'(Zo) + Arg z'1(t1)

Arg w'z(t2) = Argf(Zo) + Arg z'it2)

Arg w'it2)- Arg w'1(t1) = Arg z'z(t2) - Arg z' 1(t1)

y el ángulo que forman en Zo las curvas y, y y2 es igual en sentido y magnitud al que formar, y r2 enf(zo)·.

Sifes una función analítica y no constante en un entorno de Zo y f'(Zo) =O, entonces se dice que Zo es un punto crítico de la transformación y f no es con­forme en z0 (véanse los ejercicios de autocomprobación).

Las funciones elementales estudiadas en el capítulo 18, restringidas a las regiones en que eran inyectivas son conformes en ellas. Por ejemplo, f(z) = e<

TRANSFORMACIÓN CONFORME 295

es localmente conforme en todo e y conforme en la región -7t < y < n (Figura 22.2). Transforma la recta x = e en la circunferencia de centro el origen y radio ec, y la recta y = ki en la semirrecta e = k.

1ti

y= ki

- 1ti

z' ,(t 1)

w = f(z) ---Figura 22.1. Conservación de ángulos.

w=e= ....---

x= c

Figura 22.2. Transformación w = e'.

. ~1 teorema anterior asegura la conformidad de las aplicaciones del ejemplo stgmente.

22.3. Ejemplos

l. Traslación

Se define por la ecuación w = z + b. Los puntos del plano se trasladan lbl unidades en la dirección y sentido del vector b.

t k

~j 1

296 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

2. Rotación

La rotación de centro el origen y ángulo e se define por la ecuación w = e;9z. Los puntos del plano giran un ángulo e alrededor del origen. Si e > O la rotación es positiva, si e < O la rotación es negativa.

3. Homotecia

La homotecia de centro el origen y razón k > O se define por la ecuación w = kz. Si k > 1 las figuras del plano se dilatan, si k < 1 las figuras del plano se contraen.

4. Inversión

Se define en e - {O} por la ecuación w = 1/z. Cada punto del plano se transforma en su inverso.

5. Transformación lineal

Se define en todo e por la ecuación w = az + b. Es la composición de una traslación, una rotación y una homotecia.

2. La transformación bilineal fraccionaria

Una aplicación de la fonna

az +b w = - -cz +d

d z ::t:---

c

s~ lla;;a transformación bilineal fraccionaria. Si los coeficientes satisfacen a - e * O .s: llama transformación de Mobius. Si ad = be, se reduce a una transformacwn constante, por lo que supondremos siempre que ad * be.

Como

dw = a(cz +d) -c(az+ b) ad - bc -----=- ::F-0 (cz+d) 2 dz (cz +d)2

la transformación es localmente conforme en todo e -{-~1 e]

Además, es inyectiva y su aplicación inversa

- dw +b z=- --cw-a

es también una transformación de Mobius.

a w ::t:--

c

. ~a aplicación se puede extender a los planos completados de la manera stgmente: <

298 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

d i) Si e-:¡:. O, se hace corresponder a z = -- el punto w ·= oo y a z = oo el

e

a punto w = ­

e

ii) Si e = O, se hacen corresponden los puntos z = oo y w = oo.

La composición de dos transformaciones de Móbius es una transformación

de Móbius. En efecto, si

entonces

f(z)= az+b cz+d

a'z+b' g(z) = , d'

cz+

ad -cd ::1= O

a' d' - b' e' ::1= O

(a'a+b'c)z+(a'b +b'd) Az+B h(z)=g[f(z)]= (c 'a+d'c)z+(c'b+d'd) = ez+D

en donde AD - Be= (ad -bc)(a'd' -b'c') ::1= O

Una transformación de Móbius se puede descomponer en aplicaciones más sencillas tal como muestra el siguiente resultado.

22.4. Proposición La transformación general de Mobius es la composición de una traslación,

una inversión, una rotación, una homotecia y una traslación.

Demostración. La transformación más general supone todos los coeficien­tes distintos de cero: a ::1= O, b ::1= O, e ::1= O, d ::1= O. Teniendo en cue~ta la identidad

az + b be - ad 1 a -cz_+_d = c2 ·--d-+­

z+ - e e

podemos considerar las siguientes transformaciones:

traslación : d

w1 = z +­c

TRANSFORMACIÓN CONFORME

inversión:

rotación :

homotecia :

traslación :

1 1 w2= - = - -

w d 1 z+ -

c

w3 = e'e ,e 1 Wz =e --d-z+­

e

- ibc - ad i bc-ad 1 w4- 2 w3 = ·--e c2 d z +-

c

a bc-ad 1 a Ws =w4 +- = ·--+-

e c2 d e z+ -c

299

• La familia !!T de las rectas y circunferencias del plano permanece invarian­

te por una transformación de Móbius, es decir, un elemento de !fT se transfor­ma en un elemento de !!T. La ecuación

A(x2 + /) + Bx + ey + D = O

en donde A, B, e Y D son constantes reales representa a un elemento genérico de !!T. En efecto:

i) Si A = O, entonces Bx + ey + D = O es la ecuación de una recta.

ii) Si A 7= O y B2 + e2 > 4AD, dividiendo por A

2 2 B e D x +y +-x+-y+- = 0

A A A

completandó cuadrados, es equivalente a

(x + !!._)2 + (y + _f_. )2 = _ D + (!!._)2 + (_f_)2

2A 2A A 2A 2A

como

se trata de una circunferencia.

Para determinar la ecuación en el campo complejo, hacemos la sustitución

.JVV

y resulta

22.5. Teorema

2 2 -x +y =zz z+z

x=--2

AMPLIACION DE CÁLCULO

z- z y=---;¡¡-

AzZ" + ~ (z + z) + ~ (z- z) + D = O

La familia de rectas y circunferencias del plano permanece invariante por una transformación de Mobius.

Demostración. Es claro que una traslación, una rotación y una homotecia transforman una recta en una recta y una circunferencia en una circunferencia. Por la proposición anterior es suficiente con demostrar que la inversión transfor-

ma un elemento de §r en un elemento de .:T. Si hacemos z = ..!. en la ecuación w

AzZ" + ~ (z+z)+ ~ (z-z) + D=O

resulta

A(~)+ B(..!_+ ~)+C.(..!.- ~)+D=O ww 2 w w 2z w w

multiplicando por wW

A+ B(w+w)+ C (w- w) +Dww = O 2 2i

que es un elemento de la familia !JT. •

Para determinar una transformación bilineal fraccionaria es suficiente con conocer la imagen de tres puntos del plano. Si z2, z3, z4 es una tema ordenada de puntos diferentes del plano cuyas imágenes respectivas son O, 1 e oo, entonces

z - z2 w= - - si z4 =oo z3- z2

TRANSFORMACION CONFORME

es la única transformación de Mobius tal que

w(z2) = O , w(z3) = 1

301

En lo que sigue, suponemos z2 , z3, z4 una tema ordenada de puntos diferentes.

22.6. Definición de razón doble de cuatro puntos

Se llamQ_ razón doble de cuatro puntos ordenados Zp z2, z3, z4 del plano comletado C y se representa por [z1, z2, z3, zJ a la imagen de z1 por la única transformación de Mobius que aplica z2 en 1, z3 en O y z4 en =.

Recordemos que cuatro puntos del plano se denominan concíclicos si exis­te una circunferencia que pasa por ellos. La razón doble caracteriza los puntos concíclicos.

22.7. Teorema

Los puntos z1, z2, z3, z4 son concíclicos o están alineados si y sólo si su razón doble es real.

Demostración. Como una transformación de Móbius deja invariante la familia de rectas y circunferencias, el eje real necesariamente es imagen de una circunferencia o de una recta que contiene a z2, z3, z4 por medio de la transfor­mación

[ . . ,.,. ' . . [ ~:: •f.:: ,~:: ,::] = (::ht

ya que w(z2) = 1, w(z3) =O y w(z4) = oo. Entonces, si z1 pertenece a esa circun­ferencia o a esa recta, su imagen

w(z1) = [Zp z2, Z3 , z4]

pertenece al eje real.

Recíprocamente, si w(z1) es un número real, entonces z1 = w-1[w(z1) ] tiene que pe1tenecer a la recta o circunferencia que pase por z2, z3, z4• •

22.8. Proposición

La razón doble de cuatro puntos permanece invariante por cualquier transformación de Mobius f. Es decil;

[zp Z2, z3, Z4] = [f(z1), fCz2), f(z3), f(z4)]

Demostración. Sea w(z) = [z, z2 , z3, z4], la transformación w o f-1 cumple:

w o f -1[f(z2) ] = w(z2) = 1

302

por lo tanto

w o ¡ - ' [f(z3)] = w(z3) =O

w o ¡-'[f(z4) ] = w(z4) = oo

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

para todo Z E C

en particular para z = f(z,)

w o ¡ -1[f(z 1) ] = [j(z,), f(z2),f(z3),f(z4)]

pero

• En general, una transformación de Mobius puede tener a lo más dos pun­

tos fijos, pues

az+b=z <=> cz2 +(d -a)z- b=O cz+d

ecuación que puede tener como máximo dos sol_uciones dif~rentes. Por lo tanto, si la transformación tiene más de dos puntos fiJOS, necesanamente ha de ser la

b identidad. En caso de ser e = O, uno de los puntos fijos es z = d _a Y el otro

z = oo, ya que

22.9 . Teorema

, az+b w= lim--=oo

,~.. d

Dados tres puntos diferentes z2, Z3, z4 de e existe una única aplicacj_ón de Mobius que les hace corresponder tres puntos diferentes W 2, w3, W 4 de C.

Demostración. Sean j(z) = [z, z2, z3, zJ Y g(z) = [z, W2, W3, wJ. Entonces h(z) = g-1

o f(z) cumple

h(z2) = g-'[flz2)] = g-'(1) = w2

h(z3) = g-'(flz3) ] = g- '(0) = w3

h(z4) = g-'[f(z4)] = 8- '(oo) = W4

Por lo tanto, h satisface la condición del enunciado. Además es única, pues si k es otra transformación de Mobius que cumple k(z2) = W2, k(z3) = w3,

TRANSFORMACIÓN CONFORME 303

k(z4) = w4, entonces k-' o h tiene a z2, z3, z4 como puntos fijos y se trata de la identidad, con lo que h = k. •

22.10. Teorema

S A l fi." d ¡· . , d A~· ·b· az +b E ean a y 1-' os puntos 'JOS e una ap tcacwn e mo tus w = --. n-

tonces la transformación queda determinada por la ecuación

w-a z-a - - =A-w-~ z -~

A= c~+d ca+d

Demostración. Dividiendo miembro a miembro las igualdades

az +b aa+b (ad-bc)(z-a) w-a=-----=..;__---'-'---

cz +d ca+d (ca+ d)(cz +d)

A- az+b a~+b _ (ad - bc)(z-~) W -p-------

CZ + d e~+ d (e~+ d)(cz + d)

se obtiene el resultado. •

cz+d

Como consecuencia de la proposición anterior, si la constante A es real, entonces la transformación deja invatiante a cada una de las circunferencias que pasan por los puntos fijos a, ~. ya que

w-a w -~

z- a -A = (w,a,z, ~] =A Z-p

y la razón doble es real, por lo tanto los cuatro puntos son concíclicos.

b En el caso e = O los puntos dobles son a = - - y ~ = oo, la transforma-d - a

ción viene dada por

w - a = A(z - a)

y si A es real , A ;é 1, los puntos w, z, a están alineados. Si IAI = 1, los puntos w y z distan lo mismo de a y la transformación es un giro de centro a.

304 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

22.11. Proposición

Si una transformación de Mobius tiene un único punto fijo a., entonces viene determinada por

en donde A es una constante.

1 1 ----=A w-a. z -a.

az+b Demostración. Sea a el único punto fijo de la transformación w =--.

cz+d

Se tiene

az+b cz2 -(a-d)z-b w - z =---z =-

cz+d cz+d

como cz2 - (a- d)z- b = O es la ecuación de los puntos fijos y a es una solu­ción doble

cz2 - (a- d)z -b = c(z- af

por lo tanto

c(z - a)2

w-z= -cz +d

c(z- a)2 (z - a)(ca + d) w-a. = w-z+z-a.=- +z-a.=-'---...:...:... __ ...:...

cz+d cz +d

entonces

1 1 cz+d 1 e ------ --- =--w-a. z-a.

e YA=--•

ca.+d

(z- a)(ca + d) z-a. ca.+ d

Si el único punto fijo es el z = oo, en cuyo caso e = O y a = d, la transfor­mación es la traslación w - z = fl en donde fl = bid.

3. Formas particulares de la transformación de Mobius

En el epígrafe anterior hemos visto que una transformación de Mobius w(z) deja invariante la familia .:?"de las rectas y circunferencias del plano. Cada ele­mento y de !fT determina en C dos conjuntos abiertos y conexos, cuya frontera es y, de modo que su unión junto con y es todo el plano. Como w(z) es conti­nua, cada conjunto se transf01ma en uno de los dominios definidos por w(y). A continuación estudiamos la forma de la aplicación de Mobius en diferentes pro­blemas.

Dos puntos Zp z2 son inversos respecto a una circunferencia e de centro <:0 y radio r si cumplen:

i) z1, z2 están alineados con z0 y z0 separa a z1 y z2•

ii) el producto de las distancias de z1 y z2 aZoes r. La ecuación de la circunferencia e es

(z - z0 )(.f - z0 ) = r 2

y la condición para que z1 y z2 sean inversos respecto a e viene dada por

(Z¡ - Zo)(z2 - Zo) = ,.2

pues se cumple ii) y como la razón doble de z1, Zo· z2, oo es estrictamente mayor que cero

z -z [ - Z Z oo)- _l __ o

<.¡. O• 2• -z2- Zo

ya que

306 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

( )(- - ) Z2 - Zo 2 z1 - z0 z2 - Zo - -- = r

z2 - zo

la tema ordenada Zp Zo· z2 está alineada y se cumple i).

La ecuación de la circunferencia C también se puede poner de la forma

A.zZ +Az+Az +B= O

en donde A es un número real distinto de cero, A = -Az0, B = A(z0z0 - 1.2). Enton­ces, la condición para que z1 y z2 sean inversos respecto a C, resulta

Dos puntos z1, z1 son inversos respecto a una recta si son simétricos res­pecto a ella. Si la ecuación de la recta R es

Az +Az+B=O

la condición para que Zp z1 sean inversos viene dada por

Obsérvese que z1 y z2 se encuentran a la misma distancia de R y que la recta que los une es perpendicular a R.

22.12. Transformación del semiplano superior en el círculo unidad

Una transformación de Mobius aplica el semiplano superior Im(z) ;:::: O en el círculo unidad lwl ~ 1 si y sólo si es de la forma

Demostración. Sea

pz+q (q) w=-- con Im -p <0 pz+q

az+b w=--cz+d

la ecuación de la transformación. El eje real y = O se transforma en la circun­ferencia unidad lwl = l. Los puntos w = O y w = oo son las imágenes respecti­vas de z = -bla y z = -dic. Como los primeros son inversos respecto a lwl = 1,

TRANSFORMACIÓN CONFORME 307

los segundos tienen que serlo respecto a y = O. Por lo tanto blii = die y se cumple

az+b a az+b w = =----

c(z+~) e az+b

Además, como para todo número real z

l ~z+~l = l az + b

pues el eje real se transforma en lwl = 1, necesariamente

1 = lwl = l~ll;;:~l =l ~l luego, existe un punto Zo -:# O tal que a = :o . Haciendo p = aZo, q = bZo en la

e z0 ecuación, resulta

p + q _ a az + b _ Zo Zo Z Zo' _ pz + q

W - ---- - - --C az+b Zo l!_z+.!L pz+q

Zo Zo

Por otro lado, si los puntos de lwl < 1 son imagen de los puntos y > O, como w = O es imagen de z = -q/p, se tiene lm(-q/p) >O, de donde lm(q/p) <O.

Recíprocamente. La aplicación dada transforma el eje real en la circunfe­rencia unidad, pues para z = x se cumple lpx + ql = lj5x + ql, y por lo tanto lw(x)l = l. Además el serniplano y> O se transforma en el círculo lwl < 1 pues Im (-q/p) >O y la imagen de z = -q/p es w = O. • .

La transformación anterior puede ponerse de la forma

w = e;e z-a. z-a

en donde a es un número complejo con parte imaginaria positiva.

En efecto

308 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

z +!l. pz+q p P ;a z-a.

w =---=-----=e - -pz+q J5 z+g_ z-a

p

en donde a= Arg ~ y a. = _!l._ p p

22.13. 'fransformación del círculo unidad en el semiplano superior

La aplicación w = 1 + z transforma el círculo unidad izi ::; 1 en el semi­

l-z plano Re w = u ~O.

Demostración. La aplicación

z-i ~ = -.

z +z

obtenida haciendo a = o y a. = i en

i9 z- a. w=e --

z-a

transforma el semiplano y ~ O en el círculo 1~ 1 ::; l. Por consiguiente, su aplica­ción inversa

. z+l l..l= - z-­

z-1

transforma el círculo lzl ::; 1 en el semiplano 1m !l > O.

Efectuando el giro w = e-in:l2!l de centro el origen y ángulo -TC/2, el semi­plano lm(!l) >O se transforma en el semiplano Re(w) >O y queda resuelto el problema. En resumen

. z+i -irct2( . z+l) z~ -z--~e -z--

z-1 z-1

es decir

() -irct2( .z+l) z+l w z = e -z-- = --z-1 1-z

TRANSFORMACIÓN CONFORME 309

22.14. Transformación del círculo unidad en el círculo unidad

Una transformación de Mobius aplica el círculo unidad izi ::; 1 en el círcu­lo unidad iwi ::; 1 si y sólo si es de la forma

·a z-a. w=e1

-- con la.kl az-1

Demostración. Sea

az+b w=--

cz+d

la ecuación de la transformación. La circunferencia lzl = 1 se transforma en la circunferencia lwl = l. Sea z = a. * O el punto de lzl < 1 que se transforma en w = O, entonces su inverso z = 1/a respecto a lzl = 1 se transforma en el inver­so w= oo de w = O respecto a lwl = l. Por lo tanto

0 = aa.+b ca.+d

lím az+b =oo

z-4J ta cz+d

de donde a. = -b/a y 1/a = -dic. Sustituyendo en la ecuación

b z+ -a a a z - a a a. z - a

w = - --=---= - --e d e 1 e az - 1 z+ - z - -

e a

además, como la imagen de z = 1 se encuentra en la circunferencia lwl = 1, se cumple

laa ~- aJ = Jaal = l e a-1 e

y awe se encuentra en la circunferencia unidad. Si a= Arg aa., resulta e

;a z-a w=e --

az - 1

En caso de ser a= O, las imágenes respectivas de z = O y z = oo son w = O y w = oo, la aplicación es un giro de centro el origen cuya ecuación es de la forma w = é6z.

310 AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

Recíprocamente. La aplicación dada_transforma la circunferencia lzl = 1 en la circunferencia lwl = l. En efecto si z = e11

, tE [0, 2n] es la ecuación de lzl = 1, se tiene

Además, el punto z = O se transforma en el punto w = e;9a, luego lwl = lal < 1 y el círculo lzl < 1 se transforma en el círculo lwl < l. •

22.15. Corolario

La aplicación de Mobius que transforma el círculo lzl ~ r en el círculo lwl ~ 1 es de la fonna

;o z- Zo w=e r-_---"-::-2 z0z-r

Demostración. Sea z0 el punto del círculo lzl < r que se transforma en w = O.

La homotecia ~ = .!. z transforma el círculo lzl ~ r en el círculo 1~ 1 ~ l. Por lo r

tanto basta componer esta homotecia con la aplicación que transforma el círcu-lo unidad en el círculo umdad.

1 en donde se ha hecho a = - z0 • •

r

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