wavelets una introduccion ing. harold romo joaquÍn lÓpez herraiz departamento de física atómica,...

WAVELETSWAVELETSUNA INTRODUCCIONUNA INTRODUCCION

Ing. Harold RomoIng. Harold RomoJOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ

Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear

Universidad Complutense de Madrid. Octubre 2004

CONTENIDOCONTENIDO

1.1. Historia y cronología de las waveletsHistoria y cronología de las wavelets

2.2. Fourier Vrs. waveletsFourier Vrs. wavelets

3.3. Que son las waveletsQue son las wavelets

4.4. Transformada Continua de Wavelets CWTTransformada Continua de Wavelets CWT

5.5. Transformada Discreta de Wavelets DWTTransformada Discreta de Wavelets DWT

6.6. Análisis Multiresolución y Bancos de filtrosAnálisis Multiresolución y Bancos de filtros

7.7. Aplicaciones prácticasAplicaciones prácticas

1. HISTORIA 1. HISTORIA

1807 (1822) – 1807 (1822) – Joseph FourierJoseph Fourier. .

1909 – 1909 – Alfred HaarAlfred Haar - - primera waveletprimera wavelet. .

1946 –1946 – Dennis GaborDennis Gabor – – Transformada Fourier ventaneadaTransformada Fourier ventaneada (envolvente (envolvente Gaussiana).Gaussiana).

1981 –1981 – Jean Morlet. -Jean Morlet. - señal sísmica - señal sísmica - “wavelets“wavelets” ”

1984 -1984 - Alex GrossmanAlex Grossman, , MorletMorlet desarrollan desarrollan El término waveletEl término wavelet

1. HISTORIA1. HISTORIA

1985 –1985 – Ives Meyer.Ives Meyer. Wavelets-“ Wavelets-“ortogonalidad” & ortogonalidad” & discretizacióndiscretización..

1986 –1986 – Stéphane MallatStéphane Mallat – – multiresolución - multiresolución - wavelet.wavelet.

1987 –1987 – Ingrid Daubechies. Ingrid Daubechies. la primera wavelet la primera wavelet ortogonal - soporte compacto -ortogonal - soporte compacto - filtrado digital filtrado digital..

1. HISTORIA1. HISTORIA

1990 –1990 – David Donoho y JohnstoneDavid Donoho y Johnstone usan los wavelets para usan los wavelets para eliminar el ruidoeliminar el ruido de una señal. de una señal.

1992 –1992 – El FBI usa los wavelets para El FBI usa los wavelets para comprimircomprimir su base de su base de datos 30 millones de huellas dactilares.datos 30 millones de huellas dactilares.

1998 -1998 - Walt Disney Pictures y Pixar Animation Studios. Walt Disney Pictures y Pixar Animation Studios. Largometraje de Largometraje de animación informáticaanimación informática llamado llamado BichosBichos..

Útil para fenómenos:•Periódicos•Invariantes en el tiempo•Estacionarios

Análisis de Fouriergn(t)= e jwt exponenciales complejas (sinusoides)

2. FOURIER VRS. WAVELETS2. FOURIER VRS. WAVELETS

•En Ing. Electrónica y Eléctrica es la forma natural de respuesta de los sistemas. •Son fáciles de sintetizar por que permiten Superposición.

2. FOURIER VRS. WAVELETS2. FOURIER VRS. WAVELETS

¿Y las señales no estacionarias o no periódicas que?.

La Transformada Fourier de Periodo Corto STFT, resuelve en parte el problema:

La Transformada de Gabor utilizó ventanas de envolvente Gaussiana mejorando la resolución, mas no fue suficiente.

( , ) ( ) *( ) jwSTFTx t f x w t e d

2. FOURIER VRS. WAVELETS2. FOURIER VRS. WAVELETS

La resolución temporal y la resolución en frecuencia están acopladas. [principio similar al de Heisenberg]

Dt .Dw ≥ p

Las wavelets sí dan información simultánea de tiempo y frecuencia.

2. FOURIER VRS. WAVELETS2. FOURIER VRS. WAVELETS

Útil para fenómenos:• Transitorios• Variantes en el tiempo• No estacionarios

Familia de funciones para análisis de señales, con informaciónSimultanea en Tiempo y Escala (frecuencia)

3. Que son las WAVELETS 3. Que son las WAVELETS

,

1( ) ( ) a,b Ra b

t bt

aa

Continua Discreta

2, ( ) 2 (2 ) j,k

jj

j k t t k

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

Wavelet de Haar (1909)

3. Que son las WAVELETS 3. Que son las WAVELETS

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987)

3. Que son las WAVELETS 3. Que son las WAVELETS

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

Wavelet con Spline lineal

3. Que son las WAVELETS 3. Que son las WAVELETS

• El análisis de wavelets:• Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo.• La resolución espectral de una frecuencia f es: f f• La resolución temporal de esta frecuencia es: t 1/f (t.f = cte).

3. Que son las WAVELETS 3. Que son las WAVELETS

STFT DWT

La Transformada CWT de x(t) está dada por:

La Transformada CWT inversa está dada por:

4. Transformada Continua de 4. Transformada Continua de Wavelets CWTWavelets CWT

0

1 1( ) ( , ) ( )CWT

a

t bx t X a b da db

C aa

1( , ) ( ) ( )CWT

t bX a b x t dt

aa

La Transformada DWT de x(t) está dada por:

(coeficientes wavelets)

5. Transformada Discreta de 5. Transformada Discreta de Wavelets DWTWavelets DWT

2( , ) 2 ( ) (2 )j

jDWTX j k x t t k dt

Traslaciones y dilatacionesTraslaciones y dilataciones

wj Vj

6. Análisis Multiresolución y 6. Análisis Multiresolución y bancos de filtrosbancos de filtros

Vj+1=VjWj

Escala jEscala j

Localización frecuenicalLocalización frecuenical

[0, [0, ffMÁX MÁX / 2 / 2 jj]]

DESCOMPOSICIÓN WAVELET MULTINIVEL

Deducción de coeficientes por convolución - filtraje iterativo

7. Aplicaciones prácticas7. Aplicaciones prácticas

Pasemos a la prácticaPasemos a la práctica

Construcción de wavelets a partir de sus Construcción de wavelets a partir de sus coeficientes de filtro LO_Rcoeficientes de filtro LO_R

2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

primera iteracion

5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

segunda iteracion

10 20 30 40

-0.2

0

0.2

0.4tercera iteracion

20 40 60 80

-0.2

0

0.2

cuarta iteracion

Wavelet Daubechies db2 (construwavedb2.m)

Descomposición de una señal seno-ruidosa Descomposición de una señal seno-ruidosa en sus componentes a 5 nivelesen sus componentes a 5 niveles

Muchas graciasMuchas gracias