volúmen octavo

volumen de cuerpos volumen de cuerpos GeométricosGeométricos

“No entre aquí quien no sepa geometría”

• Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la Academia de Platón (siglo IV A.C.) donde se reunían a discutir problemas de filosofía, lógica, política, arte, etc.

CUERPOS SÓLIDOS

• Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.

• Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

Ángulos diedros Dos planos que se cortan, dividen el espacio en

cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta común a las dos caras se llama arista.

• Si son tres planos los que se cortan, se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.

• Al punto común se le llama vértice.

ORTOEDRO: • -Un ortoedro o cuboide es un

paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedrosson prismas rectangulares rectos, y tambiénson llamados paralelepípedos rectangulares.

Volumen del ortoedro

IMAGEN FINAL

• Ortoedro

V = a ·b ·ha

h

b

Para calcular el volumen de los ortoedros multiplicamos el largo (a) por el ancho (b) por alto (h).

V = B ·h

B

• CuboEl cubo es un ortoedro particular, cuyas caras son cuadrados iguales.

a

a

a El volumen de un cubo es igual al cubo de la medida de la arista.

V = a ·a ·a = a3

Volumen de los prismas

El volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el área de la base, B, por su altura, h.

Ejercicio. Calcular el volumen del prisma de la figura.

Si el polígono de la base es regular, su área se

calcula aplicando la fórmula , siendo p

el perímetro de la base y a su apotema.2

a · pB =

V = B · h

Perímetro de la base, p = 5 · 6 cm = 30 cm.

5 cm

3 cm

a

Apotema: Por Pitágoras, 52 = a2 + 32

a2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 a = 4 cm.

Área de la base: 22 cm 60cm 2

4 · 30

2

a · pB ===

Volumen: V = B · h = 60 · 8 cm3 = 480 cm3IMAGEN FINAL

Volumen de las pirámides

IMGEN FINAL

Si el polígono de la base es regular, su área se calcula aplicando la

fórmula , siendo p el perímetro de la base y a su apotema.2

a · pB =

El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura.

3

h · B

3

VV prisma

pirámide ==3

h · BV =

Volumen de las pirámides: Ejercicio

IMAGEN FINAL

33 cm 1385,6cm 17,32 · 240 · 3

1h · B

3

1V ===

Calcular el volumen de la pirámide cuyas dimensiones se indican en la figura.

Perímetro de la base: p = 5 · 12 cm = 60 cm.

Apotema de la base: aplicando Pitágoras,

20 c

m

10 cm

h

a2 = 102 – 62 = 64 a = 8 cm.

Área de la base: 22 cm 240cm 2

8 · 60

2

a · pB ===

Volumen:

Altura h: nuevamente aplicamos Pitágoras,

10 c

m

6 cm

a

h2 = 202 – 102 = 300 cm 17,32300h ==

TIPOS DE PIRÁMIDES

Definición

Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.

Cada uno de los infinitos planosque contienen al eje divide en dos partes simétricas a la figura. Por eso se llaman planos de simetría.

Cilindro Es el cuerpo que se obtiene al girar una vuelta completa (360º) un rectángulo sobre uno de sus lados.

altu

raGENERATRIZ

EJE GIRO

RADIO

radio

gene

ratr

iz

Desarrollo de un cilindro rectoEl desarrollo de un cilindro recto es:

Un rectángulo de lados la altura del cilindro y la longitud de la circunferencia de la base.Dos círculos de radio el de la base.

Volumen del cilindroVolumen del cilindro

• El volumen, V, de un cilindro con una base de radio r, y altura o generatriz, h, es el área de la base (un círculo) por la altura, es decir:

Si se corta un cilindro recto por planos paralelos no perpendiculares al eje, se obtiene un cilindro oblicuo

La base de un cilindro oblicuo no es un círculo, es una elipse.

El cilindro oblicuoEl cilindro oblicuo

Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de altura 18 cm y radio de la base 5 cm.

El volumen del cilindro, como en el caso del prisma, es igual al área de la base porsu altura.

h

32 cm 1413 18 · 25 · 3,14 18 · 5 · V ===π

Si el número de caras de un prisma crece indefinidamente, se transforma en un cilindro.

Como la base de un cilindro es un círculo, su área es B = π · r2; por tanto:

h · r ·π V 2=

rh · r ·π V 2=

Volumen del cilindro

ConoEs el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un

triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

GENERATRIZ

RADIO

BASE

altu

ra

EJE GIRO

radio

generatriz

eje

giro

Volumen del cono• El volumen V del

cono de radio r y altura h es 1/3 del volumen del cilindrocilindro con las mismas dimensiones:

Desarrollo del conoDesarrollo del conoEstá formado por :

Un segmento de circunferencia

Una circunferencia coincidente con el segmento

( la longitud del segmento circular ha de ser la misma que la longitud de la circunferencia)

Volumen del cono

El volumen del cono, lo mismo que en la pirámide,es igual a un tercio del área de la base por la altura.

Ejemplo. El volumen de un cono de altura 12 cm y radio de la base 4 cm es:

32

cm 200,963

12 · 4 · 3,14 V ==

Si el número de caras de una pirámide crece indefinidamente, se transforma en un cono.

Como la base de un cono es un círculo, su área es B = π · r2; por tanto:

3

h · r · π V

2

=

3

h · r · π V

2

=

Esfera

Si hacemos girar un semicírculo alrededor de su diámetro se genera una esfera.

La esfera queda definida por el valor de su radio.

diám

etro

eje

giro

RADIO

CENTRO

EJE DE GIRO

GENERATRIZ

Propiedades en la Propiedades en la esferaesfera

La intersección de una esfera con un plano, es un círculo.

El radio de la esfera, el radio

del círculo intersección y la distancia del centro de la esfera al plano forman un triángulo rectángulo.

El triángulo rectángulo

formado cumple el tª de Pitágoras

(h2= C2+ c2)

Superficie y Volumen de la esfera

La superficie de una esfera de radio, r, es:

El volumen que contiene una esfera de radio, r, es:

Volumen de la esfera

Vesfera = 2 · Vsemiesfera

El volumen de una semiesfera es igual a un tercio del volumen de un cilindro cuya altura y diámetro de la base coinciden con el diámetro de la semiesfera:

32cilindrosemiesfera r ·π ·

3

2(2r) · )rπ( ·

3

1h · B ·

3

1V ·

3

1V ====

r

33 r ·π · 3

4r ·π ·

3

2 · 2V ==

El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del número π por el cubo del radio.

3r ·π · 3

4V =

Volumen de cuerpos redondos: Aplicación

32

cm 130 143

15 · 30 · 3,14 V ==

3

h · r · π V

2

=

Ejercicio. A partir de un tronco de encina se ha construido el recipiente que muestra la figura.

¿Cuál es la capacidad del recipiente? ¿Cuánto pesa, si 1 dm3 de madera de encina pesa 1,052 kg?

La capacidad es la correspondiente al volumen del cono invertido, cuyas dimensiones son: Altura: h = 15 cm. Radio de la base: r = 30 cm.

14 130 cm3 = 14,13 dm3 = 14,13 litros. Capacidad: 14,13 litros

El peso es el correspondiente al volumen de madera de la parte maciza del tronco: el cilindro menos el hueco del cono.Altura del cilindro: h´ = 20 cm. Radio de su base: R = 30 + 3 = 33 cm.

Volumen: V´ = πR2h´ V´ = 3,14 · 332 · 20 = 68389,2 cm3 ≈ 68,39 dm3

Volumen de madera = V´ – V = 68,39 dm3 – 14,13 dm3 = 54,26 dm3

Peso: P = 1,052 · volumen = 1,052 · 54,26 = 57,08 kg Peso: 57,08 kg

R

Volumen del tronco de pirámideEl volumen del tronco de pirámide se puede obtener haciendo la diferencia entre el volumen de la pirámide completa y el volumen de la pirámide deficiente.

3

h · BV 11

1=

Pirámide deficiente

Pirámide completa

Tronco de pirámide

Volumen de la pirámide completa:

3

h · BV 22

2 =

Volumen de la pirámide deficiente:

El volumen del tronco de pirámide es: V = V1 – V2

3

h · B

3

h · BV 2211 −=

Volumen del tronco de cono

3

h · r · π

3

h · B V 1

2111

1 ==

El volumen del tronco de cono se puede obtener haciendo la diferencia entre el volumen del cono completo y el volumen del cono deficiente.

Volumen del cono completo: Volumen del cono deficiente:

El volumen del tronco de cono es: V = V1 – V2

Cono deficiente

Cono completo

Tronco de cono

3

h · r · π

3

h · B V 2

2222

2 ==

3

h · r · π

3

h · r · π

3

h · B

3

h · B V 2

221

212211 −=−=

r1

r2

Resolución de problemasPROBLEMA

Hacer un dibujo e indicar los datos

Plantear la ecuación

Puede ser este:

Para que la viga sea la mayor posible, el diámetro tiene que ser la diagonal del cuadrado.Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 70 cm.

Una serrería tiene que fabricar vigas de base cuadrada a partir de troncos cilíndricos de madera de 6 m de largo y 70 cm de diámetro. ¿Cuáles son las dimensiones aproximadas de la mayor viga que se puede serrar de cada tronco?

Resolver la ecuaciónx2 + x2 = 702

Interpretar el resultadoCada viga es un prisma cuadrangular de 6 m de altura y 49,50 cm de lado.

70 cm

xx

Llamando x a los catetos, por Pitágoras: x2 + x2 = 702

2x2 = 4900 x2 = 2450 50,492450x ≈=