vectores
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Vectores
Luis Fernando Aguas
DEFINICIÓN DE VECTORES:
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Origen:
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto donde comienza del vector.
Módulo: Es la longitud del vector, se expresa como un valor numérico.
Dirección: Recta sobre la que se apoya el vector. Esta inclinación se mide a través del ángulo menor que forma el vector con el eje OX ó un eje paralelo a éste.
Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
El sistema de referencia de los vectores, estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud, este sistema es conocido como el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, usaremos tres vectores unitarios unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
• Magnitudes Escalares
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:MasaTemperaturaPresiónDensidad
• Magnitudes vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.La fuerza o la velocidad son ejemplos de magnitudes vectoriales, ya que no quedan bien determinadas con un valor numérico solo.
• Vectores igualesDos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
• Vector libreUn vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
Vectores en 2 Dimensiones
• Repaso de VectoresVuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.
Fig 7.1 (Vectores geométricos)
Fig 7.2 (Vectors equivalentes)
Fig 7.3 (Vectores paralelos)
Fig 7.4 (suma)
Fig 7.5 (resta)
Fig 7.6 (vectores de posición)
Ejemplo 1
• Observe la Fig 7.7.Fig 7.7
Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2
(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2> (1)(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,
k es un escalar (2)(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
DEFINICIÓN 7.1
Suma, Producto por un Escalar, Igualdad
a – b = <a1− b1, a2 − b2> (4)
1 2 2 1 2 1 2 1,PP OP OP x x y y ������������������������������������������
Solución Gráfica
• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.
Ejemplo 2
Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a + 3b.Solución Usando (1), (2), (4), tenemos
17,169,188,232
1,734),6(1
7,534),6(1
ba
ba
ba
Propiedades
• (i) a + b = b + a(ii) a + (b + c) = (a + b) + c(iii) a + 0 = a(iv) a + (−a) = 0(v) k(a + b) = ka + kb k escalar(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares(vii) k1(k2a) = (k1k2)a k1, k2 escalares(viii) 1a = a(ix) 0a = 0 = <0, 0>
• 0 = <0, 0>
Longitud, Norma
• a = <a1 , a2>, entonces
Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0
22
21|||| aa a
Vector Unitaros
• Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que
1||||||||
1||||
1|||| a
aa
au
Ejemplo 3
• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la misma dirección u es
y
51
,5
21,2
51
51 au
51
,5
2 u
Los vectores i, j
• Si a = <a1, a2>, entonces
(5)
Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se transforma en
a = a1i + a2j (6)
1,00,1,00,
,
2121
21
aaaa
aa
Fig 7.10
Ejemplo 4
• (i) <4, 7> = 4i + 7j(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j(iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a
2|||| ji
Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b SoluciónFig 7.11
• Un avión vuela a 40 m/s , Este y es empujado al norte por un viento que sopla a 30 m/s, Norte
• a) Haz el diagrama• b) Determina la velocidad
resultante.
• Usando el Teorema de Pitágoras:• c2=a2+b2
• VR2= VH
2+VV2 VH
2= 40m/s, VV2=30m/s
• = (40m/s)2 + (30m/s)2 = 2500 m2/s2
• VR = 50 m/s rapidez (magnitud)
• ¿Cómo obtenemos la velocidad? =Tan-1 (VV/VH) = = Tan-1[(30m/s)/(40m/s)] =37° VR = 50 m/s, 37°
VH
VV
VR
Problemas de aplicación de vectores
• Suma los siguientes vectores
20 m
25 m15 m
Solución• Dibujando a escala:
Componente en X
Componente en y
20m cos 45º = 14.14 m
20m sen 45º =14.14 m
25m cos 300º =12.50 m
25m sen 300º =-21.65 m
15m cos 210º =-12.99 m
15m sen 210º =-7.50 m
13.65 m -15.01 mDr=20.2 m , 312 º
7.2 Vectores en 3 Dimensiones
• RepasoVualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.
• Fig 7.22
Fig 7.23
Fig 7.24
Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).Solución Fig 7.25.
Formula de Distancia
(1)
• Fig 7.26
212
212
21221 )()()(),( zzyyxxPPd
Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)Solución
29)46())7(3())1(2( 222 d
Formula del Punto Medio
(2)
2,
2,
2212121 zzyyxx
Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)SoluciónDe (2), tenemos
5 ,5 ,21
246
,2
)7(3,
2)1(2
Vectores en 3 Dimensiones
• Fig 7.27.
321 ,, aaaa
Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3
(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>(vi) 0 = <0, 0 , 0>(vi)
DEFINICIÓN 7.2
Definiciones en 3 Dimensiones
23
22
21|||| aaa a
Fig 7.28
Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)Solución
5,2,3
)2(3,68,411221 OPOPPP
Ejemplo 5
• De la Definición 7.2, tenemos
149
369476
73
72
||||222
a
Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j
1,0,00,1,00,0,1
,0,00,,00,0,
,,
321
321
321
aaa
aaa
aaa
Fig 7.29
Ejemplo 6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j
Ejemplo 7(a) a = 5i + 3k está en el plano xz(b)
Ejemplo 8Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k
3435||35|| 22 ki
7.3 Producto Escalar
El producto escalar de a y b es el escalar
(1)
donde es el ángulo que forman los vectores 0 .
DEFINICIÓN 7.3 Producto Escalar de Dos Vectores
cos|||||||| baba .
Fig 7.32
Ejemplo 1
• De (1) obtenemos
i i = 1, j j = 1, k k = 1(2)
Producto Escalar en Forma de Componentes
(3)
(4)
• Fig 7.33
cos||||||||2|||||||||||| 22 baabc
222 ||||||||||(||2/1cos|||||||| cabba
332211 bababa ba.
Fig 7.33
Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces
21)3)(6()4)(2(21
)10(
ba.
Propiedades
• (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2
Orthogonal Vectors
• (i) a b > 0 si y sólo si es agudo(ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2
• Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0.
TEOREMA 7.1Criterio de Vectores Ortogonales
Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0
(5)
Ejemplo 4Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces
a b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.
Ángulo que Forman Dos Vectores
(6)||||||||
cos 332211
babababa
Ejemplo 5
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución14,27||||,14|||| baba .
942
271414
cos
44.9
77.0942
cos 1
Cosenos DirectoresObservando la Fig 7.34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6)
decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y
cos2 + cos2 + cos2 = 1
||k||||a||ka
||j||||a||ja
||i||||a||ia ... cos,cos,cos
||a||||a||||a||321 cos,cos,cosaaa
kjik||a||
j||a||
i||a||
a||a||
)(cos)(cos)(cos1 321 aaa
Fig 7.34
Ejemplo 6
Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k.Solución
5345452|||| 222 a
534
cos,53
5cos,
532
cos
Componentes de a en b
• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces(7)
Escribimos los componentes de a como(8)
Observe la Fig 7.35. El componente de a en cualquier vector b es
compba = ||a|| cos (9)escribiendo (9) como
(10)
kajaia ... 321 ,, aaa
,comp iaai . ,comp jaaj . kaak .comp
bba
bb
a
bba
bba
ab
||||1
||||||||cos||||||||
comp
.
.
Fig 7.35
Ejemplo 7
Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab.
SoluciónDe (10), a b = −3
)2(6
1||||
1,6|||| kjibb
b
63
)2(6
1)432(comp kjikjiab .
)432(291
||||1
,29|||| kjiaa
a
293
)432(291
)2(comp kjikjibb .
Interpretación Física
• Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es
W = F d(11)
Fig 7.36
Ejemplo 8
Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.Solución d = 3i + 5j
W = F d = 26 N-m
Proyección de a sobre b
• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es
• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es
(12)b
bb
bab
b
1aa bb
)(compproy
iaiiaiaa ii 1)()(compproy
Fig 7.37
Fig 7.38
Ejemplo 9
Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.
Solución13
11)(2
131
)(4comp 3jijiab
jijiab 13
33
13
22)3(2
13
1
13
11proy
Fig 7.39
7.4 Cross Product
El producto vectorial de dos vectores a y b es(1)
donde es el ángulo entre ellos, 0 , y nes un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.
DEFINICIÓN 7.4
Producto Vectorial de Dos Vectores
nbaba )sin||||||(||
Fig 7.46
Ejemplo 1• Para entender el sentido físico del producto
vectorial, observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F.Fig 7.47 Fig 7.48
Propiedades
• (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0(ii) a b = −b a(iii) a (b + c) = (a b) + (a c)(iv) (a + b) c = (a c) + (b c)(v) a (kb) = (ka) b = k(a b)(vi) a a = 0(vii) a (a b) = 0(viii) b (a b) = 0
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo sisi a b = 0.
TEOREMA 7.2Criterio de Vectroes Paralelos
Ejemplo 2• (a) De propiedades (iv)
i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2)
(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0
• Si a = i, b = j, entonces
(3)
Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k
nnjiji
2sin||||||||
Ejemplo 3
• De Fig 7.49, tenemos
(4)
(ii) propiedad la dey
jik
ikj
kji
jki
ijk
kii
Fig 7.49
Alternative Definition
• Como
(5)
tenemos(6)
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)()(
)()(
332313
322212
312111
3213
32123211
321321
kkjkik
kjjjij
kijiii
kjik
kjijkjii
kjikjiba
bababa
bababa
bababa
bbba
bbbabbba
bbbaaa
kjiba )()()( 122113312332 babababababa
También podemos escribir (6) como
(7)
Por otro lado, (7) se transforma en
(8)
kjiba21
21
31
31
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
321
321
bbb
aaa
kji
ba
Ejemplo 4
Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b.SoluciónDe (8), tenemos
kji
kji
ba
13
24
13
54
11
52
113
524
Productos Especiales
• Tenemos
(9)
se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio.
(10)
321
321
321
)(
ccc
bbb
aaa
cba.
cbabcacba )()()( ..
Area y Volumen
• Area de un paralelograma A = || a b|| (11)
Area de un triánguloA = ½||a b|| (12)
Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| (13)
Fig 7.50 y Fig 7.51
Fig 7.50
Fig 7.51
Ejemplo 5
Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).SoluciónUsando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>
kji
kji
kji
58
31
21
51
31
53
32
531
3213221
PPPP
1023
||58||21 kjiA
Vectores Coplanarios
a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.
7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
• Rectas: Ecuación VectorialFig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2, entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)Si escribimos
a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <a1, a2, a3> (2)
luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es
r = r2 + tadonde a se llama vector director.
Fig 7.55
Ejemplo 1Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3).SoluciónDefinimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:
(3)
(4)
(5)
11,7,38,1,2,, tzyx
11,7,33,6,5,, tzyx
11,7,33,6,5,, tzyx
Ecuación Paramétrica
• También podemos escribir (2) como
(6)
las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas .
tazztayytaxx 322212 ,,
Ejemplo 2
Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1.SoluciónDe (3), se tiene
x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)
De (5),
x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)
Ejemplo 3
Determinar un vector a que sea paralelo a la recta:
x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3tSolución
a = 9i + 5j – 3k
Ecuación continua
• De (6)
siendo ai son no nulos. Entonces
(9)
se dice que es una ecuación continua.
3
2
2
2
1
2
azz
ayy
axx
t
3
2
2
2
1
2
azz
ayy
axx
Ejemplo 4
Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(4, 10, −6) y (7, 9, 2)SoluciónDefinimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3 = 2 – (–6) = 8, luego
82
19
37
zyx
Ejemplo 5
Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por(5, 3, 1) y (2, 1, 1)SoluciónDefinimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3 = 1 – 1 = 0,luego
1,2
33
5 z
yx
Fig 7.56
Ejemplo 6
Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k.SoluciónEc. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)
Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:
23
106
54
zyx
Planos: Ecuación Vectorial
• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es
n (r – r1) = 0 (10)
Fig 7.57
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