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VariablesAleatoriasDiscretas
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Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un
nmero limitado de valores, por ejemplo el nmero de aos de estudio.
Discretas
Binomial
Geomtrica
Binomial negativaHipergeomtrica
Multinomial
oisson
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Distribucin Binomial
n! nmero de intentos
! probabilidad de un "ito en cualquier intento
#$%p&!q! probabilidad de un 'racaso en cualquier
intento
(#"& ! probabilidad de " "itos en n intentos
q n ! probabilidad des'avorable
$% q n ! robabilidad de un "ito ) por lo menosp * q ! $
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Propiedades de la distribucin
Distribucin binomial
Media + ! n p
Varianza
Desviacin
estndar
Distribucin binomial
Media + ! n p
Varianza
Desviacin
estndar
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Ejercicio
studios demuestran que en las carreteras de -olombia el
/0 de los conductores emplean el cintur)n de seguridad
al conducir. Se seleccion) una muestra de $/ conductoresen una de nuestras carreteras. Determinar la probabilidad1
a& 2ue e"actamente 3 lleven el cintur)n de seguridad
b& 2ue 3 ) menos de los conductores lleven puesto el
cintur)n de seguridad.
"! 3
n!$/
p! /.
q!/.4a& "!3 B#"!3&! 5$.60
b& " 3 #"!3, , 6, 4, 7, 5, $, /& ) #$% "!8, 9, $/& B#":3&! 87.70
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Ejercicio
;n $/0 de los empleados de producci)n en determinada empresa estar $/ trabajadores de producci)n para un estudio riguroso
del ausentismo.
a& ?-u
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Ejercicio para resolver
3.3 Aa probabilidad de que un auto se descomponga en
una carretera es de /.5/.Suponga que 54 autos circulanpor la carretera. -u
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Ejercicio para resolver
3.8 Aa probabilidad de que en una tormenta se produ>caun apag)n de lu> es de /.9. Si observamos 6 tormentas,
cucan1
a& Jres
Il menos dos
Il menos uno pero no m
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Distribucin Geomtrica
l nmero de muestras requeridas para generar una 'alsaalarma sigue una distribuci)n geomtrica, que es un caso
especial de distribuci)n binomial negativa.
!$, 5, 7,K LC
Donde1
p#"& ! probabilidad de que ocurra un "ito en el ensao " por primera nica ve>
p ! probabilidad de "ito
q ! probabilidad de 'racaso
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Esperanza de la Distribucin
Geomtrica
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Ejercicio
Aos registros de una compa=a constructora de po>os,
indican que la probabilidad de que uno de sus po>os
nuevos, requiera de reparaciones en el trmino de un ao
es de /.5/. ?-uo
construido por esta compa=a en un ao dado sea el
primero en requerir reparaciones en un ao@
" ! 6 que el quinto po>o sea el primero que requiera reparaciones en un aop ! /.5/ ! probabilidad de que un po>o requiera reparaciones en el trmino de
un ao
q ! /.8/ ! probabilidad de que un po>o no requiera reparaciones en el trmino
de un ao
p#" ! 6& !
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Ejercicio
;na maquina detecta 'allas en los productos que elabora
una 'abrica. Si los productos tienen una probabilidad de
'alla del 60, calcular la probabilidad de que la maquinaencuentre su primer producto de'ectuoso en la octava
ocasi)n que selecciona un producto para su inspecci)n
De'inir "ito1 salga de'ectuoso el producto.
! 8
p ! /./6
q ! $ % /./6 ! /.96
#!8& ! #/.96&3#/./6& ! /./749
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Ejercicio para resolver
$/.$ Si /./6 es la probabilidad de que cierto instrumento
de medici)n su'ra una desviaci)n e"cesiva, ?-u
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Distribucin Binomial Negativa
sta distribuci)n puede considerarse como
una e"tensi)n o ampliaci)n de la distribuci)ngeomtrica . Aa distribuci)n binomial
negativa es un modelo adecuado para tratar
aquellos procesos en los que se repite un
determinado ensao o prueba asta conseguir
un nmero determinado de resultados
'avorables #por ve> primera&.
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Distribucin Binomial Negativa
alores mltiples.
Cmero determinado de ensaos de Bernoulli.Cmero no de'inido de pruebas separados o separables.
Dos resultados mutuamente e"cluentes #I. I&
#I& ! p N #I& ! q ! $%q
O! nmero de "itos
Bernoulli #p, P& probabilidad de "itos nmero
de "itos.
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Distribucin Binomial Negativa
O! nmero de "itos
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Ejercicio
n la serie de campeonato de la CBI #Cational BasPetball
Issociation&, el equipo que gane 4 de 3 juegos ser< el ganador.
Suponga que los equipos A B se en'rentan en los juegos decampeonato que el equipo A tiene una probabilidad de /.66 de
ganarle al equipoB.
a& ?-u
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Solucin
a& b #N 4, /.66& !
b&P#el equipoA gana la serie de campeonato& es
b #4N 4, /.66& * b #6N 4, /.66& * b #N 4, /.66& * b #3N 4,
/.66& ! /./9$6 * /.$43 * /.$867 * /.$8 ! /./87.
c
&P
#el equipoA
gana la eliminatoria& esb #7N 7, /.66& * b #4N 7, /.66& * b #6N 7, /.66& ! /.$4 *
/.554 * /.5/5$ ! /.697$.
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Distribucin ipergeomtrica
s utili>ada cuando el muestreo se reali>a sin reposici)n la muestra que
obtenemos de la poblaci)n es relativamente pequea por lo tanto la
probabilidad de "ito no pertenece igual de un ensao a otro.
C! Jamao de la poblaci)n
p! cantidad de "itos en la poblaci)n
"! nmero de "itos de la muestra
n! tamao de la muestra o nmero de ensaos
alor esperado! #"& ! nQp
arian>a ! n p#$%p&Q
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Ejercicio
Aa 'abrica de juguetes, tiene 6/ empleados en el
departamento de ensamble. De estos, 4/ pertenecen a un
sindicato $/ no. se van a elegir 6 empleados aleatoriamente,para que integren un comit que ablara con el gerente acerca
de la ora de inicio de distintos turnos. ?-ucan al sindicato@
E! 47.$/0
#"&! 5.$66!7
ar#"&! $.$5
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Ejercicio
;na compa=a de bienes ra=ces nacional planea comprar/ locales en la Rndia de los cuales el 5/ 0 estaba
in'ectados de termitas. Si e"traemos con prop)sito de
control de plagas una muestra del $/0 de los locales.
?-u
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Ejercicio para resolver
9.$ n una jaula a $/ roedores recin nacidos1 6
macos 6 embras. Si se eligen al a>ar 6, cu
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Ejercicio para resolver
9.5 Ha 3 ombres 7 mujeres en la clase. -ada
estudiante tiene la misma probabilidad de estar ausente
que los dem
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Distribucin !ultinomial
s similar a la distribuci)n binomial, con la di'erencia de que en lugar
de dos posibles resultados en cada ensao, puede aber mltiples
resultados
Donde1
X1 = x11 indica que el suceso $ apare>ca "$ veces
n1 indica el nmero de veces que se a repetido el suceso
1 es la probabilidad del suceso $
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Ejercicio
n las elecciones se presentaron 4 partidos pol=ticos1 el obtuvo un 4/0 de los votos, el el 7/0, el
M;M; el 5/0 el AIAI el $/0 restante. ?-uar, 7
aan votado al , $ al M;M; $ al AIAI@
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Solucin
Donde1
X1 = El partido lo aan votado 7 personas
n1 6 veces p11 4/0
P = 0,0!"
s decir, que la probabilidad de que las 6 personas elegidas
aan votado de esta manera es tan s)lo del 5,60
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Ejercicio
n una 'iesta, el 5/0 de los asistentes son espaoles, el
7/0 'ranceses, el 4/0 italiano el $/0 portugueses. n
un pequeo grupo se an reunido 4 invitados1 ?cual es la
probabilidad de que 5 sean espaoles 5 italianos@
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Solucin
P = 0,0#$%
or lo tanto, la probabilidad de que el grupo est 'ormado
por personas de estos pa=ses es tan s)lo del 7,840.
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Ejercicio para resolver
$$.$ l departamento de bomberos de una localidadreporta que el 4/0 de los incendios ocurre en casa
abitaci)n, 7/0 en o'icinas 7/ 0 en 'abricas. ?-uar, 7 sean en casa abitaci)n, 7 en o'icinas 5 en'abricas@
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Ejercicio para resolver
$$.7 ;na tienda de msica vende 7 tipos de aparatos1
$60 de precios altos, 490 de precios medios 70 de
precios bajos, ?cu
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Distribucin Poisson
sta 'unci)n de distribuci)n de variable discreta se emplea para calcular las
probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo
de tiempo o espacioN este intervalo es generalmente una unidad de medidaconocida1 cm5, Pm, gramos, litros, pulgadas, etc.
Ilgunos de los problemas que presentan como un 'en)meno con distribuci)n de
oisson son1
% Aos embotellamientos que se producen por d=a.
% Cmero de llamadas por ora.
% De'ectos por m5 de tela.
% Cmero de de'ectos por lote de un proceso de producci)n.
% Cmero de negocios cerrados por semana.
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Distribucin Poisson
I este tipo de problemas se les conoce el nmero de "itos " obtenidos
por unidad de medida en n ensaosN pero es totalmente imposible conocerel nmero de 'racasos #n % "&.
Se dice que se da un proceso de oisson si se pueden observar eventos
discretos en un intervalo continuo en 'orma tal que si se acorta el
intervalo lo su'iciente1
$.% Aa probabilidad de observar e"actamente un "ito en el intervalo es
estable.
5.% Aa probabilidad de observar dos o m
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Distribucin Poisson
Aa distribuci)n de oisson se e"presa mediante la siguiente ')rmula.
Donde1
n ! Cmero de ensaos
" ! Cmero de "itos esperados en n ensaose ! 5.3$858...
! n p ! -onstante igual al nmero de "itos promedio por unidad de medida
p ! robabilidad constante durante el proceso igual al nmero de "itos
promedio por unidad de medida.
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Distribucin de Poisson
l carse con las
siguientes ')rmulas1
+! ! np
!
+ ! Media
! arian>a
! Desviaci)n est
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Ejercicio
;n conmutador recibe en promedio 6 llamadas sobre autos
e"traviados por ora. ?-uar reciba@
a& Cinguna llamada.
b& "actamente 7 llamadas.c& Co m
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Solucin
ara este problema ! 6, en otros casos deber< calcularse
con1 ! n p.
a& Cinguna llamada. " ! / #&!/.//3497
b& "actamente 7 llamadas1 " ! 7 #&!/.$4/4
c& Co m
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Ejercicio
La probabilidad de que haya un accidente en una compaade manufactura es de 0.02 por cada da de trabajo. Si setrabajan 300 das al ao, cu!l es la probabilidad de tener 3accidentes"
#omo la probabilidadp es menor que 0.$, y el producto n *p es menor que $0 %300 & 0.02 ' (), entonces, aplicamos
el modelo de distribuci*n de +oisson
-l realiar el c*mputo tenemos que +%/ ' 3) ' 0.012
+or lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laboralesen 300 das de trabajo es de .1.
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jercicio
&i un banco recibe en promedio " c'e(ues sin )ondo por d*a, +culesson las probabilidades de (ue reciba,
a- cuatro c'e(ues sin )ondo en un d*a dado
&olucin
x = variable (ue nos de)ine el n.mero de c'e(ues sin )ondo (ue lle/an
al banco en un d*a cual(uiera = 0, 1, , #, , etc, etc
= " c'e(ues sin )ondo por d*a
e = 21$
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