uunniiddaadd 22:: ppootteenncciiaacciiÓÓnn...
Post on 26-May-2018
220 Views
Preview:
TRANSCRIPT
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 16
UUNNIIDDAADD 22:: PPOOTTEENNCCIIAACCIIÓÓNN,, RRAADDIICCAACCIIÓÓNN YY LLOOGGAARRIITTMMAACCIIÓÓNN
2.1 POTENCIACIÓN
La potenciación se utiliza para expresar un producto de factores iguales. Es una operación matemática entre dos
términos denominados base y exponente.
2.1.1 Elementos de la potenciación
Si Rnpb ,, , entonces en la expresión pbn
b se denomina base.
n se denomina exponente.
p se denomina potencia.
La expresión nb se lee usualmente como « b elevado a la n ». La forma como se calcula nb varía según el
conjunto numérico al cual pertenezca el exponente:
Cuando el exponente es un número natural ( Nn ), entonces nb equivale a multiplicar b por sí mismo n
veces. Es decir
bbbbn
Cuando el exponente es un número real negativo, es decir si Rn , entonces nb
equivale a su inverso
multiplicativo. Es decir:
n
n
bb
1
Cuando el exponente es una fracción irreducible de la forma Qnm , entonces n
m
b equivale a un radical. Es
decir:
n mn
m
bb
2.1.2 Signos de la potenciación
En la expresión pbn :
Si n es impar y b es positivo, entonces p es positivo.
Si n es impar y b es negativo, entonces p es negativo.
Si n es par, entonces p es positivo independientemente del signo que tenga b .
Desarrolle las siguientes potencias:
vecesn
Ejemplo No. 14
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 17
2.1.3 Propiedades de la potenciación
La propiedades de la potenciación son reglas generales que permiten simplificar expresiones algebraicas:
Producto de potencias de igual base:
Si Rnmb ,, , entonces:
nmnm bbb
Cociente de potencias de igual base:
Si Rnmb ,, y 0b entonces:
nm
n
m
bb
b
Potencia de una potencia:
Si Rnmb ,, , entonces:
nmnm bb
Potencia de un producto:
Si Rnba ,, , entonces:
nnnbaba
Potencia de un cociente:
Si Rnba ,, y 0b , entonces:
n
nn
b
a
b
a
Potencias con exponente cero:
Si Rb y 0b , entonces:
10 b
Potencia con exponente uno:
Si Rb , entonces:
bb 1
Potencia de un cociente con exponente negativo:
Si Rba , , Rn y 0, ba entonces:
nn
a
b
b
a
Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:
Resuelva las siguientes potencias:
a. 521
b. 35
c. 4
3
2
Solución:
a. 21
21
21
21
215
21
321
b.
555
1
5
15
3
3
125
1
c.
44 3 222
1
2
1
2
12
4
3
4
3
4 8
1
Ejemplo No. 15
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 18
2.2 RADICACIÓN
La raíz n -enésima de un número a es un número b , si y solamente si la n -ésima potencia de b es a . Es
decir:
ban abn
a.
2
725
523
10102
102102
b.
2
41
023
2
21
33
2
ba
ba
ba
ab
c. 42
53
k
kkk
b
bb
d.
211
yx
yx
Solución:
a. 2
9
1122
95
5672
95
552322
725
523
10
102
102
10102
102
102102
10102
102102
101010102222102102 44222
1000016 160000
b.
24
23
33
332
4
33
3
32
4
23
2
22
41
023
2
21
363633233
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
aa
bb
aa
ba
ba
ba
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
216
93
21636
3
8
62
9
9
242
6
333
9
b
a
24
3
c.
8454
84
54
84
53
84
53
24
53
42
532
222
kkk
k
kk
k
kkk
k
kkk
k
kkk
k
kkk
bb
b
b
b
b
bb
b
bb
b
bb
32kb
d.
2
22
22
211 1
11
xyxyxyyx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
yx
yx
22 yx
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 19
2.2.1 Elementos de la radicación
Si Rba , y Zn entonces en la expresión ban
a se denomina radicando.
n se denomina índice.
b se denomina raíz.
se denomina radical.
La expresión n a se lee usualmente como «raíz n -ésima de a ».
2.2.2 Signos de la radicación
Radicando: a Índice: n Raíz: b
Positivo Par Positiva o negativa
Impar Positiva
Negativo Par No existe en R
Impar Negativa
2.2.3 Potencias de base real con exponente fraccionario
Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se convierte en un radical. Es decir, si Rb y Q
nm , entonces:
n mn
m
bb
En cada caso exprese en forma de radical y simplifique el número, si es posible:
a. 3
1
8
b. 2
1
81
c. 2
1
25
Solución:
a. 3
3
3 333
1
2288
2
b.
2
2
42 42
12
1
3
1
3
1
3
1
81
1
81
181
9
1
c. 2525 2
1
(no existe en R )
Ejemplo No. 16
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 20
2.2.4 Propiedades de la radicación
Las propiedades de la radicación son reglas generales que permiten simplificar radicales. Simplificar un radical es
expresarlo en su forma más simple. Un radical está simplificado si:
El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual que el índice. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre sí ningún factor común distinto de 1.
Raíz n -ésima de un número elevado a la n :
Si Ra y Zn , entonces:
aan n
Raíz n - ésima de un producto:
Si Rba , y Zn , entonces:
nnn baba
Raíz n - ésima de un cociente:
Si Rba , ; Zn y 0b , entonces:
n
n
n
b
a
b
a
Raíz de una raíz:
Si Ra y Znm, , entonces:
nmn mm n aaa
Raíz n - ésima de una potencia:
Si Rma , y Zn , entonces:
n
mm
nn m aaa
En particular:
nn aa
1
En cada caso exprese el radical con exponente fraccionario y simplifique, si es posible:
a. 216y
b. 5 105nm
c. 3 627x
d. 6 1812nm
Solución:
a. yyyyy 2422
122 22161616
2
1
2
1
2
1
y4
b. 5
110
5
15
5
11055 105 nmnmnm 2mn
c. 23
13
3
16
3
1
3
163 6 3272727 xxxx 23x
d. 6
118
6
112
6
118126 1812 nmnmnm 32nm
Ejemplo No. 17
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 21
Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:
a. 3
3
4
64
b. 3 1812nm
c. 412
48
2
64
z
yx
d. 3 103816 zyx
e. 393
1510
16
27
yx
yx
f. 43 22x
Solución:
a. 33 3333333
3
222828164
64
4
643 22
b. 6
18
6
12
6 186 126 18123 1812 nmnmnmnm 32nm
c. 3
4
8
4
4
12
4 44 84
4 12
4 48
412
48
412
48 216323232
2
64
z
yx
z
yx
z
yx
z
yx
z
yx
3
24 216
z
yx
3
244 4
3
244 22 216
z
yx
z
yx3
24 22
z
yx
d. 3 93 33 2633 103 33 833 1038 281616 zzyxxzyxzyx
33 93 33 23 633 28 zzyxx
33
9
3 23
6
33 3 22 zzyxx
33 2323 22 zxyzx 3 2323 22 zxyzx
e.
33
353
3 933
3 1593
3 93
3 1510
393
1510
22
3
22
3
16
27
16
27
xy
xyx
yx
xyx
yx
yx
yx
yx3
22
22
3 xyx
f. 3 2633 83 4243 424
3 2 2216222 xxxxxx3 22 22 xx
Ejemplo No. 18
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 22
Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:
a. 11
11
43
43
d.
345
2432
qp
qp
b. 134
5246
3
6
xyyx
yxyx e.
2
26
464
2
6
zxy
zyx
c.
3
13
24
6
3
zxy
yx f.
4
344
234
3
15
zyx
zyx
Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:
a. 3 172414 wnm e. 3 121110128 cba
b. 3 81014 nzw f. 6 50231264 zyx
c. 5810
364
ym
a g. 9881 ba
d. 4132
56
64
2
ba
ba h.
8
1044
2314
6
30
zyx
zyx
2.2.5 Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice.
Determine si 45 , 27 , 20 y 75 son radicales semejantes.
Solución:
La simplificación de cada radical es la siguiente:
5353535945 22
3333333927 22
5252525420 22
35353532575 22
De esta manera son semejantes los radicales 53 , 52 y 33 , 35
Actividad No. 4
Actividad No. 3
Ejemplo No. 19
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 23
2.2.6 Operaciones con radicales
Adición y sustracción de radicales: Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y luego se reducen
los radicales semejantes:
Multiplicación de radicales: Para multiplicar dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.
Multiplique los siguientes radicales:
a. 3 23 183 aa
Sume los siguientes radicales:
a. 333 2505416
b. 11236
1483642525 4
c. xaaxxaax 2222 251448164
d. 6363 2563634248
Solución:
a. 3333 33 33 3333 2523222523222505416 3 24
b. 7436
64864765743
6
64864765 1123
6
1483642525
2
4
2
2
2
4 224
712686473071266
4864730 2
1
64718
c. xaaxxaaxxaaxxaax 222222222222 51298251448164
xaaxxaax 251298
axxa 414
d. 6 6363 36363 4236342622563634248
6363 423634262
6363 46634262
36 648
Ejemplo No. 20
Ejemplo No. 21
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 24
División de radicales: Para dividir dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.
Divida los siguientes radicales:
a. 3 74
3 47
2
16
yx
yx
b. 1
34
3
92
3
3
mn
nm
c. 3 4
3 5
84
16
m
m
Solución:
a.
3
3
33
33
3 333
74
47
3 74
3 47
22
82
16
2
16
y
x
y
xyx
yx
yx
yx
yx
y
x2
b.
22
1
3
1
34
3
92
6
1
3
3
36
6
3
3nm
mn
nm
mn
nmmn
6
1
c.
33
3
34
5
3 4
3 5
2
22
4
1
8
16
4
1
84
16 m
m
m
m
m 3 24
1m
b. 3 953 2 279 yxx
c. 6 2466 164 322 yxwyx
d. 5 1245 136 125350 nmnm
Solución:
a. 3 333 33 23 23 2354183183 aaaaaa 3 23a
b. 3 96233 973 9523 953 2 33243279279 xyxyxyxxyxx 332 93 xyx
c. 6 6182666 61886 2461646 2466 164 264322322 zyxxzyxyxzyxyxzyx
6 232 xzxy 6
2
32 zxxy 3
1
32 zxxy 332 xzxy
d. 5 25105 1241365 1245 136 43750125350125350 nmnmnmnmnm
5 552552 145143125 nmnm 552 145 nm
Ejemplo No. 22
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 25
Realice las operaciones indicadas:
a. 3 23 23 2 2773812 xxx f. mnmn
322
b. 333 375814243 g. xaxa 2
c. xxx
757
245
4
3 h. 2323 xx
d. 2451802125
i. 5029
21
e. 2718128
j. 105
34
34
216
nm
nm
2.3 RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales, consiste en
expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador. En la racionalización de una fracción se distinguen dos casos:
2.3.1 Racionalización de monomios
Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para tal efecto si el denominador
contiene un factor de la forma n ka , con nk , entonces al multiplicar numerador y denominador por n kna
desaparece el radical del denominador. Este proceso se llama racionalización del denominador.
Racionalice las siguientes expresiones:
a. x5
3
b. 4 232
2
yx
c. 5 3
2
3
9
x
yx
Solución:
a.
225
53
55
53
5
5
5
3
5
3
x
x
xx
x
x
x
xx x
x
5
53
b.
xy
xy
yx
xy
xyyx
xy
xy
xy
yxyx 2
82
2
82
22
82
2
2
2
2
2
2 4 2
4 444
4 2
4 2323
4 2
4 23
4 23
4 234 23 xy
xy4 28
Actividad No. 5
Ejemplo No. 23
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 26
2.3.2 Racionalización de binomios
Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se
multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Dos expresiones con dos
términos cada una, se dice que son conjugadas, si y solo si, difieren en el signo del segundo término.
1. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:
Actividad No. 6
Racionalice las siguientes expresiones:
a. xy
x
2
b. 26
212
c.
yx
yx
3
Solución:
a.
22
2
2
2
2
22 xy
xyx
xy
xy
xy
x
xy
x
xy
xxy
2
2
b. 26
22622472
26
26212
26
26
26
212
26
21222
4
22626226
4
22622472 22
4
24
4
22626226
2
c.
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
yx 333322
yx 3
c.
x
xyx
x
xyx
xx
xyx
x
x
x
yx
x
yx
3
39
3
39
33
39
3
3
3
9
3
9 5 242
5 55
5 242
5 243
5 242
5 24
5 24
5 3
2
5 3
25 2813 xxy
Ejemplo No. 24
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 27
a. 59 2y
x
e. nm
m
4
b. ab
ab
33
5 f.
32
28
c. 3 3
25
mn
m g.
232
523
d.
yx
yx
3
h. 5 232
15
cab
abc
2. Simplifique cada expresión y racionalice si es necesario:
a. 5
8
57
23
x
yx
c. 5 45 8
2
4
4
3
y
x
y
x
b. 3 2
3
3
62
x
x
d. 32
33y
x
1. Simplifique las siguientes expresiones:
a. 32
34
3
24
5
3
7
a
b
b
a c. 6
3
2
32
3 21
bba
aab
b. kk
k
k
k
k yx
z
z
x
yz
x1
2
2
3
.3
2
d. 2
1
2
1
1
2
1
2
1
1 11
aa
a
aa
a
2. Realice las siguientes operaciones:
a. 3 23 24 32 ababa c. 3333 10424 xyx
b. 4 454 5 3483 yxxxy d. 3 453 343 2 843 babaab
2.4 LOGARITMACIÓN
El logaritmo en base b de un número N es n si y solamente si la n -ésima potencia de b es N . Es decir:
nNLogb Nbn
En otras palabras, el logaritmo del número N en base b , es el exponente al cual debe elevarse la base b para
obtener el número N .
2.4.1 Elementos de la logaritmación
Si RbN, y Rn entonces en la expresión nNLogb
Actividad No. 7
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 28
N
se denomina argumento.
b se denomina base.
n se denomina logaritmo.
La expresión nNLogb se lee usualmente como « logaritmo en base b de N »
2.4.2 Propiedades logarítmicas
Logaritmo de un producto:
yLogxLogxyLog bbb
Logaritmo de un cociente:
yLogxLogy
xLog bbb
Logaritmo de una potencia:
xnLogxLog b
n
b
2.4.3 Ecuaciones de cancelación
nb
nbLog
nLog
n
b
b
Aplique las propiedades anteriores para calcular los siguientes logaritmos:
a. 580 22 LogLog
b. 232 44 LogLog
c. 43 2434Log
Forma exponencial Forma logarítmica
1000103 31000 3100010 LogLog
1642 2164 Log
32
1
2
15
5
32
1
2
1 Log
25
15 2
232
15 Log
Ejemplo No. 25
Ejemplo No. 26
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 29
2.4.4 Logaritmos comunes
Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes. Cuando se trabaja con logaritmos comunes no es necesario indicar la base, por lo tanto LogN significa NLog10 . El logaritmo común de un número real positivo N
es el exponente al que se debe elevar la base 10 para obtener N . Es decir:
nLogN Nn 10
2.4.5 Logaritmos naturales
Los logaritmos de base e , donde 7183.2e se denominan logaritmos naturales. Cuando se trabajan con
logaritmos naturales no es necesario indicar la base y la palabra Log se cambia por Ln , por lo tanto LnN
significa NLoge . El logaritmo natural de un número real positivo N es el exponente al que se debe elevar la base
e para obtener N . Es decir:
nLnN Nen
2.4.6 Cambio de base
Para cualesquiera bases de logaritmos b y B , y cualquier número positivo N , se tiene que:
bLog
NLogNLog
B
Bb
En particular: z
Lnb
LnNNLog
Logb
LogNNLog
b
b
Aplique cambio de base para calcular el siguiente logaritmo:
1001000Log
Solución:
Solución:
a.
16
5
80580 2222 LogLogLogLog
4
b. 6464432232 44444 LogLogLogLogLog 3
c. 2432432434 3
44
34
3 LogLogLog 5
Ejemplo No. 27
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 30
1. Calcule los siguientes logaritmos:
a. 164Log c. 10000Log
b. 10242Log d. 81
16
3
2Log
Actividad No. 8
Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este número se duplica cada hora, entonces el número de bacterias al cabo de t horas puede calcularse mediante la fórmula:
tN 21000
a) ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000 bacterias?
b) Obtenga el modelo logarítmico correspondiente.
Solución:
a) Se debe reemplazar a N por 30000 y despejar t . Veamos:
t2100030000 t2
1000
30000
t230 tLogLog 230 22
tLog 302 2
30
Ln
Lnt
6931.0
4011.3t
9070.4t
Es decir, el cultivo tardará en tener 30000 bacterias aproximadamente en 5 horas.
b) Se debe despejar t de la ecuación tN 21000 . Veamos:
tN 21000 tN
21000
t230 tLn
NLn 2
1000
21000
tLnN
Ln
t
Ln
NLn
2
1000
t
NLog
10002
Es decir, el modelo logarítmico correspondiente es
10002
NLogt
1000
1001001000
Log
LogLog
3
2
Ejemplo No. 28
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 31
2. Aplique las propiedades logarítmicas para calcular los siguientes logaritmos:
a. 396 22 LogLog c. 43 274Log
b. 28 44 LogLog d. 096.44Log
3. Aplique cambio de base para calcular los siguiente logaritmos:
a. 10100Log c. 93Log
b. 328Log d. 12525Log
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. La simplificación de 2
22
33
5
25
yx
yxes:
A. 2
2
25x
y C. 10
10
25y
x
B. 10
10
25x
y D.
25
1010 yx
2. 23
es una solución de la ecuación:
A. 02 x C. 0562 xx
B. 0762 xx D. 023 x
3. La simplificación de 5 1673128 yx es:
A. 532 22 yyx C. xyyx 42 1116
B. 511 42 xyxy D. 534 42 xyyx
4. El resultado de la operación con radicales 321224
es:
A. 326 C. 62
B. 34 D. 3464
5. Al resolver mnmn
322
se obtiene:
A. 2
25 mn C.
2
271 mn
B. 2
29 mn D. mn
Autoevaluación No. 1
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .
Página 32
6. La simplificación de la expresión 4545
2323
es:
A. 4 C. 1 B. 5 D. 1
7. El resultado de la operación 3 233 233 yxyxyx es:
A. yx C. yxyx 32
B. yxyx 3 24 D. yyxxyx 3 23 2 22
8. La racionalización de la expresión 23
2
es:
A. 11
2 C.
7
223
B. 11
423 D.
7
2
9. La expresión yx
xyy-2x
es la racionalización de:
A. yx
yxy
C.
yx
yx
B. yx
yx
D.
xy
yx
10. La expresión yLogxLog bb 23 en un solo logaritmo es:
A. 23 yxLogb C.
2
3
y
xLogb
B.
y
xLogb
2
3 D.
y
xLogb
2
3
top related