unidad i graficación de funciones en r3. plataforma temática 1.objetivos. 2.sistema de coordenadas...

Unidad IGraficación de Funciones

en R3

Plataforma Temática

1. Objetivos.2. Sistema de Coordenadas Tridimensionales.3. Ubicación de un punto en el espacio.4. Planos perpendiculares a los Ejes.5. Planos.6. Superficies Cilíndricas.7. Superficies Cuadráticas.

• Elipsoide /Esfera.• Hiperboloide de una Hoja• Hiperboloide de dos Hojas• Cono.• Paraboloide.• Paraboloide Hiperbólico (Silla de Montar)

Objetivo de la Clase.

Dada la ecuación respectiva, graficar en un sistema de ejes cartesiano de tres dimensiones, puntos, planos, rectas y superficies cuadráticas

Objetivo de la Unidad

Resolver problemas matemáticos relativos a límites, continuidad y cálculo diferencial de una función de varias variables.

Objetivos

Z

X

Y

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.

Ejes Perpendiculares

Origen

Z

Y

Z

XY

I

II

IV

III

V

VI

VII

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.

Z

X

Y

X0

Y0

Z0

(X0 Y0 Z0)

Ubicación de un punto en el espacio.

Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

Ubicación de un punto en el espacio.

Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

Ubicación de un punto en el espacio.

Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

Ubicación de un punto en el espacio.

Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

Ubicación de un punto en el espacio.

Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

Ubicación de un punto en el espacio.

Planos Perpendicularles a los Ejes.Z

X

Y

Ecuación: Z=3Z=3 es // XYZ=3 es ┴ Z

3

-3

Ecuación: Z=-3

Planos Perpendicularles a los Ejes.Z

X

Y

Ecuación: X=-2X=-2 // YZX=-2 ┴ X

-2

Ecuación:y=3Y=3 // ZXY=3 ┴Y

Traza

Planos.Z

X

Y

Ecuación General:

1c

z

b

y

a

x

a

b

c

Traza con YZ

1c

z

b

y

1c

z

a

xTraza con XZ

1b

y

a

xTraza con XY

Planos.

Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

yzx 6301510 Ecuación:

Solucion:1) Cortes

• Con X (Y=0, Z=0)• 10x=30 x=3//• Con Y (X=0, Z=0)• 0=30+6y y=-5//• Con Z (X=0, Y=0)• 15z=30 z=2//

2) Trazas • Con XY ( Z=0)• 10x=30+6y 10x-6y=30//• Con YZ (X=0)• 15z=30+6y 15z-6y=30//• Con XZ (Y=0)• 10x+15z=30//

Z

X

Y

30610 yx

30615 yz

301510 zx

2

-5

3

Superficies Cilíndricas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cilíndricas.

Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

44

2

x

zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)

Cortes con X (z=0)

Vértice:

44

02

x

4x

4z

ab

xv 2 0

2

0

vx

44

02vz 4vz

X

Z

Y

Superficies Cilíndricas.

Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

44

2

x

zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)

Cortes con X (z=0)

Vértice:

44

02

x

4x

4z

ab

xv 2 0

2

0

vx

44

02vz 4vz

X

Z

Y

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas.

Fuente: Larson Vol 2

6. Las Funciones Cuadráticas

cbxaxy 2

Puntos NotablesCortes con X (Y=0)

Cortes con Y (X=0) (c)

Ecuación General

Fórmulas

aacbb

x2

42

Máximos y Mínimos (Y’ =0)

ab

xv 2

6)( 2 xxxf

4)( 2 xxf 0a

0a