unidad 1 tema 1.1 biseccion
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JULIO FUENTEALBA V.MS. CS. U. DE CHILE
DR. © U.DE CHILE
Método de la Bisección
Solución numérica de ecuaciones no lineales
El problema en general consiste, que una función intersecta con el eje horizontal una o más veces, y estudiaremos varias formas para detectar esos puntos.
(ver funciones en google)
El método de la Bisección es el primero de ellos.
Método de la Bisección
En general: si f(x) es real y continua en el intervalo que
va desde xi hasta xn
f(xi) y f(xn) tienen signos opuestos, es decir, f(xi) * f(xn) < 0
Entonces hay al menos una raíz real entre xi
y xn.
Método de la Bisección
Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica localizando un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la localización del cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con mas exactitud al dividir el intervalo en varios subintervalos.
Se investiga cada uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez mas
en la medida que los subintervalos se dividen en intervalos cada vez mas pequeños.
Método de la Bisección
El método de la Bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad.
Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.
La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo.
Método de la Bisección
Ejemplof(x) = x3
+ 5x2 – 10x-20
Para los valores: X = -10 f(x) = -420 X = 10 f(x) = 1380
Se deduce que en el intervalo debe existir al menos una raíz.
Método de la Bisección
Se puede ver en el grafico que la función corta 3 veces el eje x, por lo que existen 3 raíces en el intervalo [ -10, 10]
Método de la Bisección
x f(x) x f(x) promedio f(x)-10 -420 10 1380 0 -20
x f(x) x f(x) promedio f(x)0 -20 10 1380 5 180
x f(x) x f(x) promedio f(x)0 -20 5 180 2,5 1,875
x f(x) x f(x) promedio f(x)0 -20 2,5 1,875 1,25 -22,7344
x f(x) x f(x) promedio f(x)1,25 -22,7 2,5 1,875 1,875 -14,5801
Método de la Bisección
x f(x) x f(x) promedio f(x)
1,875 -14,6 2,5 1,875 2,188 -7,48169
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,189 -7,45 2,5 1,875 2,344 -3,07763
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,344 -3,08 2,5 1,875 2,422 -0,67556
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,422 -0,68 2,5 1,875 2,461 0,580981
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,422 -0,68 2,461 0,578 2,442 -0,0568
Método de la Bisección
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,442 -0,04 2,461 0,578 2,452 0,267414
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,442 -0,04 2,452 0,284 2,447 0,121214
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,442 -0,04 2,447 0,121 2,445 0,040207
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,442 -0,04 2,445 0,056 2,444 0,007848
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,442 -0,04 2,444 0,024 2,443 -0,00832
Método de la Bisección
x f(x) x f(x) promedio f(x)2,443 -0,01 2,444 0,024 2,444 0,007848
Se puede ver que existe una solución entre 2,433 y 2,444.Al iterar aparece 2,444 lo que provocara la repetición de los números ya calculados.
Método de la Bisección
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,4430000000 -0,0083226930 2,4435000000 0,0078477629 2,4432500000 -0,0002382357
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,4432500000 -0,0002382357 2,4435000000 0,0078477629 2,4433750000 0,0038045709
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,4432500000 -0,0002382357 2,4433750000 0,0038045709 2,4433125000 0,0017831195
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,4432500000 -0,0002382357 2,4433125000 0,0017831195 2,4432812500 0,0007724299
x f(x) x f(x) promedio f(x)
2,4432500000 -0,0002382357 2,4432812500 0,0007724299 2,4432656250 0,0002670941
Método de la Bisección
Se debe aumentar la precisión …. Aparición del margen de error.
Luego el método requiere de:Una función continua en el intervaloUn intervalo en el que el producto de las
funciones sean negativosUn margen de error o tolerancia.
Implementación en MatLab
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