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Unidad 1: Números y
operacionesProfesora Vanessa Castro
En esta unidad aprenderemos:
Conjunto de los números Complejos
Números
imaginarios
Representacio
nes de un
número
complejo
Modulo de un
número
complejo
Conjugado de
un número
complejo
Operatoria de
números
complejos
Resolución de problemas y aplicación de
números complejos
Recordemos un poco de conjuntos
numéricos
Números naturales
Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar
u ordenar.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1,
obtenemos otro número natural.
Representación en
la recta numérica
Números naturales
Propiedades de IN y 𝐼𝑁𝑜
• Clausura
1+2=3
• Conmutatividad
2+3=3+2=5
• Asociatividad
1+(2+3)=(1+2)+3
1+5=3+3
6=6
• Elemento neutro
5+0=0+5=5
• Clausura
2·3=6
• Conmutatividad
2·3=3·2=6
• Asociatividad
2·(3·4)=(2·3)·4
2·12=6·4
24=24
• Elemento neutro
5·1=1·5=5
Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición
6·(3+1)=6·3+6·1
6·4=18+6
24= 24
Números enteros
Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el
minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos
encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor
hay que restarle uno mayor. La necesidad de representar el dinero
adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al
nivel del mar, etc. Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el
concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto
numérico llamado números enteros.
El conjunto de los números enteros está formado por los
números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números
naturales como un subconjunto de los enteros.
Propiedades de Z
Dado que los números naturales están contenidos en los enteros, adquieren
todas sus propiedades. Además cada número entero tiene su opuesto o inverso
aditivo, por lo cual añadimos esta nueva propiedad en Z.
Suma
• Clausura
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
• Elemento inverso
6+(-6)=(-6)+6=0
Multiplicación
• Clausura
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición
Números racionales
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero.
Propiedades de los números racionales
Dado que los números enteros están contenidos en los racionales, adquieren todas sus propiedades.
Además cada número racional tiene inverso multiplicativo, por lo cual añadimos esta nueva
propiedad en Q.
Suma
• Clausura
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
• Elemento inverso
Multiplicación
• Clausura
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
• Elemento inverso2
5·5
2=5
2·2
5=10
10= 1
Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición
Los números irracionales Son números con desarrollos decimales infinitos
no periódicos, como por ejemplo el número 𝜋 = 3,1415927. . . no es posible
escribirlo
como un cociente de números enteros (fracción).
Números Reales
El conjunto de los números reales es infinito y ordenado y tiene como
elementos tanto los números racionales como los irracionales. De manera
matemática se puede expresar de la siguiente forma:
Al igual que el conjunto de los racionales, los números reales son densos,
esto es, entre dos números reales cualesquiera existe otro número real.
Finalmente con los números reales la recta numérica está completa, es
decir, a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real.
Propiedades de los números reales
El conjunto de los números reales tiene estructura algebraica de cuerpo, esto es, que para las
operaciones definidas en IR, adición(+) y multiplicación(·) se cumplen las siguientes propiedades:
1. Cerrado
Si tomo dos números reales y los sumo o multiplico, ambos resultados corresponden a un número
real.
Por ejemplo:
5 + 2 = 7 ∈ 𝐼𝑅5 · 2 = 10 ∈ 𝐼𝑅
En general, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅, entonces:
𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑅𝑥 · 𝑦 ∈ 𝑅
2. Asociativo
Si tengo 3 o más números, la operación que realice es independiente de la agrupación
que tengan los números.
Por ejemplo:
2 + 3 + 5 = 10 = 2 + 3 + 5(2 · 3)5 = 30 = 2(3 · 5)
En general, para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐼𝑅, entonces:
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)(𝑥 · 𝑦)𝑧 = 𝑥(𝑦 · 𝑧)
3. Conmutativo
La operación es independiente del orden de los números.
Por ejemplo:
4 + 2 = 6 = 2 + 44 · 2 = 8 = 2 · 4
En general, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅, entonces:
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥𝑥 · 𝑦 = 𝑦 · 𝑥
4. Distributivo
La suma de dos sumandos, multiplicada por un número, es igual a la suma de los
productos de cada sumando por ese número.
Por ejemplo:
2 · (1 + 5) = 12 = 2 · 1 + 2 · 5En general, para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐼𝑅, entonces:
𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥 · 𝑦 + 𝑥 · 𝑧
5. Neutro
Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el
elemento original.
Por ejemplo:
2 + 0 = 23 · 1 = 3
En general, para todo 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, entonces:
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 · 1 = 1 · 𝑥 = 𝑥
6. Inverso
Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento inverso el
resultado es el elemento neutro correspondiente a cada operación. Por
ejemplo:
2 + −2 = 03 · 3−1 = 1
En general, para todo x ∈ R, entonces:
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 − 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥−1 =1
𝑥∈ 𝐼𝑅 − 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 · 𝑥−1 = 1
Números imaginarios
Si tratamos de resolver la ecuación
𝑥2 + 1 = 0
necesariamente llegamos a la situación 𝑥2 = −1. Como hemos visto en cursos
anteriores, esta ecuación, aparentemente simple, no tiene solución en el
cuerpo o campo de los números reales, ya que no existe ningún número real
cuyo cuadrado sea negativo. Ante esta dificultad, se creó un nuevo tipo de
números que fueron denominados números imaginarios.
La característica de estos números es que al elevarlos al cuadrado dan como
resultado un número negativo.
Entre estos números se distingue la unidad imaginaria qu se simboliza por i, y
se define como:
𝑖2 = −1
Es decir,
𝑖 = −1
Ahora, si la unidad imaginaria la multiplicamos por un factor real, daremos
origen a los llamados números imaginarios puros, que se simbolizan por:
𝑏𝑖; 𝑏 ∈ ℝ
Ejemplos: Son números imaginarios puros 2𝑖; −5𝑖; − 3𝑖;510𝑖 etc.
Expresemos las siguientes raíces cuadradas de números negativos como
números imaginarios puros guíate por el primer ejemplo
−4 = 2𝑖 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 2𝑖 2 = 4𝑖2 = 4 · −1 = −4
−13 =
−25 =
−160 =
Solución de ecuaciones cuadráticas
La resolución de ecuaciones cuadráticas de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑐 ∈ ℝ, da
origen a números imaginarios puros, como podemos verificar en los casos
siguientes.
También, es posible sumar, restar, multiplicar o dividir números
imaginarios entre sí o con números reales, como vemos en los
ejemplos siguientes.
En general, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏 𝑖
𝑎 · 𝑏𝑖 = 𝑎𝑏 𝑖
𝑎𝑖 · 𝑏𝑖 = 𝑎 · 𝑏 𝑖2 = −𝑎𝑏
𝑎𝑖
𝑏=
𝑎
𝑏𝑖 𝑏 ≠ 0
𝑎𝑖
𝑏𝑖=
𝑎
𝑏; 𝑏 ≠ 0
Potencias de i
Las potencias de la unidad imaginaria i se logran a partir de las siguientes potencias básicas:
𝑖0 = 1; 𝑖2 = −1
Actividad: Calcular las potencias de i hasta exponente 20 considerando que:
𝑖1 = 𝑖
𝑖2 = −1
𝑖3 = 𝑖 · 𝑖2 = 𝑖 · −1 = −𝑖
𝑖4 = 𝑖2 · 𝑖2 = −1 · −1 = 1
Analiza los resultados obtenidos y generaliza las potencias de i
Al igual que para los
números reales, para los
números imaginarios se
cumple que:
𝑖𝑚 · 𝑖𝑛 = 𝑖𝑚+𝑛
𝑖𝑚 𝑛 = 𝑖𝑚·𝑛
∀𝑚, 𝑛 ∈ ℤ
Generalizando
Potencias
canónicas de i
Potencia
equivalente
con 𝒏 ∈ ℤ𝟎+
exponente
𝑖1 = 𝑖 𝑖4𝑛+1 1,5,9,…
𝑖2 = −1 𝑖4𝑛+22,6,10,…
𝑖3 = −𝑖 𝑖4𝑛+33,7,11,…
𝑖4 = 1 𝑖4𝑛+44,8,12,…
Ejemplos: Calculemos algunas potencias
de i
Cualquier exponente entero de i se puede descomponer en dos
sumandos: uno múltiplo de 4 y otro en términos de una potencia
básica de i. De esta manera dicho exponente queda reducido a una
potencia básica de i.
Ejemplo: si el exponente es 125, dividimos 125:4=31 y sobra 1 por lo
que podemos decir que 125=31·4+1 Luego 𝑖125 = 𝑖31·4+1
Complementa tu
aprendizaje con
la siguiente
actividad:guia 1
numeros
imaginarios.docx
Números complejos
Se denomina Conjunto de los Números Complejos ℂ al conjunto de todos los números de la
forma a + bi, en que a y b son números reales.
El conjunto e es una "extensión" del Conjunto de los Números Reales (R).
Parte real e imaginaria de un número
complejo
Si designamos por z al número complejo a + bi, es decir, 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces el real a se
llama "parte real de z", Re(z), y el real b, que es el coeficiente de i, "parte imaginaria de z",
Im(z). Esto se anota así:
𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏
ℝ se puede considerar como el conjunto de todos los
números de la forma 𝑎 + 0𝑖, denominados "reales
puros".
Igualdad de dos números complejos
Dos números complejos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑒 + 𝑑𝑖 son
iguales si y sólo si sus partes reales y sus partes imaginarias
son respectivamente iguales. Es decir
𝑧1 = 𝑧2 ⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑
Nota: El conjunto e de los números complejos no es un
conjunto ordenado. No es posible determinar si un
número complejo 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es menor o mayor que
otro complejo 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖.
Ejemplos
Identifiquemos la parte real y la parte imaginaria de cada uno de los siguientes números
complejos.
Ejemplo 2
Encontremos los valores reales x e y para los cuales los complejos
z1 = 𝑥 + 5 + 14𝑖
𝑧2 = 20 + (3 + 2𝑦)𝑖
son iguales.
Como 𝑧1 = 𝑧2 , debe cumplirse:
𝑅𝑒 (𝑧1) = 𝑅𝑒 (𝑧2) 𝑒 𝐼𝑚 (𝑧1) = 𝐼𝑚 (𝑧2)
Entonces: 𝑥 + 5 = 20 ; 14 = 3 + 2𝑦
Por lo tanto:
𝑥 = 15
𝑦 =11
2
Expresiones binomial y cartesiana de un
número complejo
Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado (a,b) de
números reales, donde la segunda componente del par corresponde al coeficiente de la unidad
imaginaria i. Es decir:
Así, la expresión
z = a + bi se denomina "expresión binomial" de z.
z = (a, b) se denomina "expresión cartesiana" de z.
Y luego
Ejemplo
Encontremos los valores reales p y q, para los cuales los complejos 𝑧1 = (2𝑝 + 𝑞, 11) y
𝑧2 = (22, 𝑝 — 𝑞), son iguales.
Sabemos que 𝑧1 = 𝑧2 <=> 2𝑝 + 𝑞 = 22 𝑦 11 = 𝑝— 𝑞
de donde obtenemos un sistema de ecuaciones lineales para p y q
Resuelve en tu cuaderno el sistema de ecuaciones
Luego p=11 y q=0
Representación de números complejos
Todo número complejo expresado en la forma z = a + bi o z = (a,b), se puede representar en un
plano de Argand como un vector flecha, de origen 0(0,0) y punto final P de coordenadas (a,b).
Así, la componente real del número complejo se representa en el eje de las abscisas (X), y la
componente imaginaria en el eje de las ordenadas (Y). También se puede afirmar que un complejo
z = a + bi queda representado en un plano, simplemente por el punto P(a,b).
Actividad: Representa en el plano de
Argand los siguientes números
𝑧1 = 1 + 5𝑖
𝑧2 = −2 +7
2𝑖
𝑧3 = −3 − 4𝑖
𝑧4 = 4 − 2𝑖
𝑧5 = 3𝑖
𝑧6 = −1
Otra forma de representar números complejos es a través
del software matemático “Geogebra”. Puedes ingresar a
www.geogebra.cl y verificar tus resultados con ayuda de
este software
Explica en tu cuaderno por
qué el plano complejo se
llama “Plano de Argand” y
qué diferencia tiene con el
plano cartesiano
Módulo de un número complejo
Se denomina valor absoluto o módulo de un número complejo z = a + bi, a la magnitud positiva del
"vector flecha" correspondiente representado en el plano.
Se le llama “módulo de z” y se denota como 𝑧 = 𝑂𝑃
En la figura :
• el triangulo △𝑂𝑃𝐴 es rectángulo en A
• 𝑂𝑃 es la hipotenusa de magnitud 𝑧
• 𝑂𝐴 y 𝐴𝑃 son los catetos de magnitudes a y b respectivamente
• Por teorema de pitagoras 𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏2 por lo tanto 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
• De otra forma:
𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 2 + 𝐼𝑚 𝑧 2
Ejemplos
Calculemos el módulo de los números complejos
• 𝑧1 = 2 + 3𝑖 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
• 𝑧2 =—5 + 4𝑖 = (−5)2+42 = 25 + 16 = 41
• 𝑧3 =—4 − 3𝑖 = −4 2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25 = 5
Números complejos conjugados
Números complejos conjugados
Dos números complejos se dicen conjugados si solo difieren en el
signo de la parte imaginaria.
Sea 𝑧 ∈ ℂ, se defineഥ𝑧 ∈ ℂ tal que
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⇔ ҧ𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
Gráficamente, todo número complejo z y su conjugado son simétricos
respecto del eje real.
Ejemplos
Cada par de números esta compuesto por un número complejo y su conjugado
Actividad:
Explica con tus
palabras el
procedimiento para
calcular el modulo y el
conjugado de un
número complejo
Observaciones:
Si z es un numero real puro, su conjugado es el mismo
El conjugado del conjugado de un número complejo z, es el mismo número z.
El módulo de 𝑧 y de ҧ𝑧 es el mismo, ya que ambos tienen igual magnitud.
Resuelve la
siguiente
actividad: guia 2
complejos.docx
Adición de números complejos
Dados 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℂ tal que 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑐, 𝑑) la adición de 𝑧1 𝑦 𝑧2 esta dada
por:
Notación binomial:
Notación cartesiana:
Ejemplos:
Resuelve: guia 3
suma en C.docx
Adición de números complejos gráfica.
Corresponde a la suma de los vectores dados por los complejos
Ejemplo: Dado los complejos 𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑦 𝑧2 = 4 + 𝑖 la suma de 𝑧1 + 𝑧2 es
diagonal del paralelogramo cuyos lados son los "vectores flechas" 𝑧1 𝑦 𝑧2
Algebraicamente sumamos las
partes reales y las partes
imaginarias correspondientes
𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 4) + (3𝑖 + 𝑖)𝑧1 + 𝑧2 = 6 + 4𝑖
Propiedades de la suma en ℂ
Él conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos, por lo
tanto absorbe todas sus propiedades para la suma.
• Clausura
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
• Elemento inverso
Actividad:
Sean 𝑧1 = 1 + 2𝑖; 𝑧2 = 3 + 2𝑖 𝑦 𝑧3 = 2 − 𝑖
Verificar las propiedades de la suma en los
números complejos utilizando z1, z2, y z3
Propiedades del módulo y conjugado
para la suma de un número complejo
Conjugado del complejo suma
Suma de un número complejo y su conjugado
Diferencia de un número complejo y su conjugado
Actividad Representa en el plano la adición de los números complejos dados en cada caso
a) 𝑧1 = 4 + 6𝑖; 𝑧2 = −7 + 2𝑖
b) 𝑧1 = 5 − 8𝑖; 𝑧2 = −3 + 5𝑖
Considera los complejos 𝑧1 = 12 − 4 3𝑖; 𝑧2 = −6 + 3𝑖 y comprueba las propiedades
a) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2
b) 𝑧 + ҧ𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧
c) 𝑧 − ҧ𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧
Dados los complejos 𝑧1 = −4 − 3𝑖; 𝑧2 = −2
5+
3
4𝑖 calcula
a) 𝑧1 − 𝑧1 + 𝑧2
b) (𝑧1 + 𝑧2) − (𝑧1 − 𝑧1)
c) 4 𝑧1 + 𝑧1 − (𝑧1 + 𝑧2)
Representa en el plano la sustracción de acuerdo con los números complejos dados
a) 𝑧1 = −4 − 3𝑖; 𝑧2 = 6 − 𝑖
b) 𝑧1 = 7 − 2𝑖; 𝑧2 = −5 − 4𝑖
Multiplicación de números complejos
Dados 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℂ tal que 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑐, 𝑑) la multiplicación de 𝑧1 𝑦 𝑧2esta dada por:
Notación binomial
Notación cartesiana
Ejemplos:
Propiedades de la multiplicación en ℂ
Él conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos, por lo
tanto absorbe todas sus propiedades para la multiplicación.
• Clausura
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Elemento neutro
• Elemento inverso
Actividad:
Sean 𝑧1 = 1 + 2𝑖; 𝑧2 = 3 + 2𝑖 𝑦 𝑧3 = 2 − 𝑖
Verificar las propiedades de la
multiplicación en los números complejos
utilizando z1, z2, y z3
Potencias de un número complejo
El desarrollo de un complejo a + bi elevado a una potencia n, (n e Z) es igual al desarrollo de
un binomio real (a + b) elevado a n, remplazando por las potencias canónicas de i.
Propiedades del módulo y conjugado para la
multiplicación de un número complejo
Para concluir: Responde en tu cuaderno
las siguientes preguntas
División de números complejos
La división de 𝑧1 por 𝑧2, es igual a la multiplicación de 𝑧1 por el inverso multiplicativo de 𝑧2
Es decir
Por lo tanto si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑧2 ∈ ℂ∗, entonces se tiene que:
Ejemplo
Otra forma de dividir
Podemos también ver que es posible efectuar la división 𝑧1
𝑧2, simplemente
amplificando la fracción por el conjugado del divisor. (lo que anteriormente
conocíamos como racionalizar raíces cuadradas)
Es decir:
Ejercicio: Resuelve el ejemplo anterior con este método
Propiedades del conjugado y del módulo
para la división de números complejos
Actividad: Verificar estas propiedades considerando
𝑧1 = 2 + 𝑖 y 𝑧2 = −3 − 2𝑖
Actividad: guia 5 division
en C.docx
Ecuaciones cuadráticas con coeficientes
reales y raíces complejas
En años anteriores aprendiste que toda ecuación cuadrática o de segundo grado de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0 tiene dos raíces o soluciones cuya naturaleza depende
de la discriminante de esta ecuación. Es así que,
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0
Discriminante:
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐Raíces o soluciones de la ecuación
cuadrática
𝐷 > 0 Dos raíces reales y distintas
𝐷 = 0 Dos raíces reales e iguales
𝐷 < 0 Dos raíces no reales ( complejas
conjugdas)Recordemos: las soluciones de una
ecuación cuadrática esta dada por
la expresión
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Actividades: Desarrolla en forma
ordenada los siguientes ejercicios
Guía resumen de unidad
Resuelve la siguiente actividad :
Esta guía contiene cada uno de los contenidos trabajados en la unidad
Actividad: Resolver los problemas con
números complejos
Si i es la unidad imaginaria, calcula i75. Razona cómo lo obtienes
Dados los dos números complejos 4m-2i y 3+ni, hallar m y n para que el cociente entre el primero y segundo sea el número complejo 6-2i.
Calcular y simplificar todo lo posible:
Hallar el valor que hay que dar a x para que el cociente:
Sea: 1º Real; 2º Imaginario; 3º De módulo igual a:
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