traza de una matriz
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Traza de una Matriz Cuadrada
Departamento de Matematicas, CSI/ITESM
10 de septiembre de 2008
Indice
7.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. La traza de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.1. Definiciones y propiedades basicas
A pesar de su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollosposteriores. Veremos su definicion y sus propiedades basicas. En la lectura posterior se entendera su aplicacion.Definicion
Sea A una matriz m × m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal:
tr(A) =
m∑
i=1
aii = a11 + a22 + · · · + amm (1)
En particular:tr(In) = n, y tr(Jn) = n
Ejemplo
Determine la traza de la matriz:
A =
1 −1 20 −3 −1
−2 −3 8
Solucion
Directamente de la definiciontr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6
⋄
Lema 7.1
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)3. tr (A′) = tr (A)
Demostracion
1. Tomemos C = k A, ası cij = k aij y por tanto
tr (kA) = tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
(k aii) = k
m∑
i=1
aii = k tr (A)
3. Si C = A′, cij = aji y ası cii = aii:
tr(
A′)
= tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
aii = tr (A) ⋄
Ejercicio 1
Sean A y B matrices m × m, demuestre que
tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
Sugerencia
Tome C = A + B, ası cii = aii + bii. Aplique ahora la definicion de la traza.
Ejercicio 2
Demuestre que si A y B matrices m × n y n × m respectivamente: entonces
tr (AB) = tr(
B′A′)
Sugerencia
Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto.
Ejercicio 3
Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:
tr (AB) = tr(
B′A′)
A =
[
1 2 33 2 1
]
y B =
−2 12 34 1
Lema 7.2
Sea A una matriz cuadrada particionada tal que
A =
A11 A12 · · · A1k
A21 A22 · · · A2k
......
. . ....
Ak1 Ak2 · · · Akk
Entoncestr (A) = tr (A11) + tr (A22) + · · · + tr (Akk)
2
Demostracion
Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenacion de las diagonalesprincipales de las matrices Aii.
7.2. La traza de un producto
Teorema 7.3
Sean A y B matrices m × n y n × m respectivamente.
tr (AB) = tr (BA)
Demostracion
Tomemos C = AB, ası
cij =n
∑
k=1
aikbkj
Para j = i la formula anterior queda:
cii =n
∑
k=1
aikbki
Ası:
tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
n∑
k=1
aikbki =n
∑
k=1
m∑
i=1
aikbki =n
∑
k=1
m∑
i=1
bkiaik
Por otro lado si D = BA, ası
dij =m
∑
k=1
bikakj
Para j = i la formula anterior queda:
dii =m
∑
k=1
bikaki
Ası:
tr (D) =n
∑
i=1
dii =n
∑
i=1
m∑
k=1
bikaki
Comparando las formulas:
tr (AB) =
n∑
k=1
m∑
i=1
bkiaik y tr (BA) =
n∑
i=1
m∑
k=1
bikaki
Concluimos que, intercambiando los nombres de los ındices i y k, tr (AB) = tr (BA)⋄
Ejercicio 4
3
Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que
tr (AB) 6= tr (A) · tr (B)
Sugerencia
Pienselo facil. Tome por ejemplo
A =
[
1 00 0
]
.
Ejercicio 5
Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:
tr (AB) = tr (BA)
A =
[
1 2 33 2 1
]
y B =
−2 12 34 1
Ejercicio 6
Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple
tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)
Sugerencia
Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema 5.3. Para la segundaigualdad tome D = A y E = BC y aplique el mismo teorema.
Ejercicio 7
Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple
tr (ABC) = tr(
B′A′C′)
= tr(
A′C′B′)
Sugerencia
Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como valido el ejercicio 2. Para lasegunda igualdad tome D = A y E = BC. y aplique el mismo teorema 5.3.
Ejercicio 8
Demuestre que si A, B y C son matrices n × n simetricas se cumple
tr (ABC) = tr (BAC)
Sugerencia
Utilice como valido el ejercicio anterior y que X′ = X para las matrices simetricas.
4
Ejercicio 9
Encuentre matrices cuadradas A, B y C 2 × 2 que cumplen
tr (ABC) 6= tr (BAC)
Ejercicio 10
Sea A una matriz m × n, demuestre que el elemento (i, i) de AA′ es
n∑
j=1
a2
ij
Ejercicio 11
Sea A una matriz m × n, demuestre que
tr(
AA′)
=m
∑
i=1
n∑
j=1
a2
ij
Sugerencia
Utilice como valido el resultado del ejercicio anterior.
Ejercicio 12
Utilice el resultado anterior para determinar tr (AA′) Si
A =
[
1 2 33 2 1
]
Ejercicio 13
Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y solo si tr(A′A) = 0.Sugerencia
Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asuma como valido el resultado del ejercicio 11. Y recuerdeque la suma de cantidades mayores o iguales a cero es cero si y solo si cada cantidad es cero.
Ejercicio 14
Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y solo si A′A = 0.Sugerencia
Tome como valido el resultado del ejercicio anterior.
Lema 7.4
5
Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, y n × p respectivamente.
AB = AC si y solo si A′AB = A′AC
Demostracion
Claro que AB = AC implica que A′AB = A′AC. Si suponemos que
A′AB = A′AC
Entonces, desarrollando
(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)= (B − C)′ (A′AB − A′AC)= 0
Por el ejercicio anterior, AB − AC = 0⋄
Ejercicio 15
Sea A una matriz m × m que cumple A′A = A2. Muestre que
1. tr ((A − A′)′(A − A′)) = 0.
2. A es simetrica.
Sugerencia
Para el primer inciso desarrolle el producto de matrices, utilice la hipotesis, y tome como valido elresultado del ejercicio 1. Para el segundo inciso, utilice como valido el resultado del ejercicio 13.
Ejercicio 16
La traza y la tecnologıa
Asumiendo que una matriz ya esta almacenada en memoria. Indique como determinar la traza detal matriz en
una calculadora cientıfica (HP o TI)
en Maple
en Matlab
6
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