transformada de fourier 2013

Tema 4.LaTransformada deFourier.

Prof.RaquelFras Anlisis deSeales 11

LatransformadadeFourierpermitehallarlarepresentacineneldominiodelafrecuenciadeuna

funcinnoperidicaparapoderconocersucomposicinarmnica.

Seaf(t)unafuncinlocalmenteintegrablecuyaintegralvalorabsolutoestaacotadaenR.

SedefinesutransformadadeFouriercomo:

LaTransformadaInversadeFourier

Eselprocesoatravsdelcual,dadaF(w)esposiblehallarf(t)apartirdeellacomosigue:

TransformadadeFourier

TransformadaInversadeFourier

Condicionessuficientesynecesariasparaquelatransformadade Fourierdef(t)exista.

Suficiente Necesaria

Engeneralfuncionesquenovayanasintticamente acerocuandottiendea+ y notienentransformadasdeFourier.

1. Desarrollo delaTransformada deFourierenTiempo Continuo

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LatransformadadeFourierF(w)engeneralescomplejaporlotanto:

Paralarepresentacinfasorial tenemos:

F(w) = Re(w) +j Im (w) Re(w) : Partereal

Im (w) : Parteimaginaria

(w) : EspectrodeFaseLatransformadadeFouriercuandof(t)esrealqueda:

LafuncinRe(w) esunafuncinpardew,mientrasqueIm(w) esunafuncinimpardew,estoes:

Re(w) = Re(-w) Im(w) = - Im(-w) F(-w) = F*(w)

F*(w) denotaelconjugadocomplejodeF(w)

1. Desarrollo delaTransformada deFourierenTiempo Continuo

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Si f(t)es real,suespectrodemagnitud |F(w)| esuna funcinpardewysuespectrode fase(w), esunafuncinimpardew.

SilatransformadadeFourierdeunafuncinrealf(t)esreal,entoncesf(t)esunafuncinpar de

tysilatransformadadeFourierdeunafuncinrealf(t)esimaginariapura,entoncesf(t)esuna

funcinimpar det

2. TransformadascosenoysenodeFourier

Sif(t)est definidasolopara0

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Linealidad

2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.

Sea y cona1 ya2 constantestenemos:

Escalamiento

Seaa unaconstanterealy entonces:

Siaespositivaymayorqueuno,f(at)secomprimeysudensidadespectralseexpande.

Siaespositivaymenorqueuno,f(at)seexpandeysudensidadespectralsecomprime.

DesplazamientoenelTiempo

Si entonces:

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Desplazamiento enlafrecuencia

2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.

Siw0 esunaconstanterealy entonces:

Simetra(Dualidad)

Si entonces:

Derivacineneltiempo

Si yf(t) 0cuandot entonces:

Engeneral n=1,2,3.

Integracineneltiempo

Si conw 0 entonces:

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ConvolucinenelTiempo

2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.

Si y entonces:

Laconvolucineneltiempoequivalealproductoenlafrecuencia.

ConvolucinenlaFrecuencia

Si y entonces:

Elproductoeneltiempoequivalealaconvolucinenlafrecuencia.

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Resumendelaspropiedades

2. PropiedadesdelaTransformadadeFourier.

Operacin f(t) F(w)

Escalar f(at) 1| |a

F wa

Desplazamientoeneltiempo f(t-to) F w ejwto( )

Desplazamientoenlafrecuencia f t ejw to( ) F(w-wo)

Diferenciacineneltiempo d fdt

n

n ( ) ( )jw F wn

Diferenciacinenlafrecuencia ( ) ( ) jw f tn d F

dw

n

n

Integracineneltiempo f dt

( )

1jw

F w( )

Convolucineneltiempof t f t1 2( ) * ( ) F w F w1 2( ) ( )

Convolucinenlafrecuenciaf t f t1 2( ) ( ) [ ]1

2 1 2F w F w( ) * ( )

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FuncinImpulso.

3. TransformadadeFourierdeFuncionesEspeciales

FuncinConstante .

LafuncinImpulsopuedeescribirsecomolasiguienteidentidad:

Seaf(t)=A,entonces:

(t)

t

F (w)

wFuncinImpulsoUnitario

TransformadadeFourierFuncinImpulsoUnitario

f (t)

t

FuncinConstante

TransformadadeFourierFuncinConstante

F (W)

w

2A(w)

1

A

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FuncinEscalnUnitario

3. TransformadadeFourierdeFuncionesEspeciales

FuncinEscalnUnitario

TransformadadeFourierFuncinEscalnUnitario

u (t)

t

w

F (w)

1w

(w)EspectrodelaFuncinEscalnUnitario

F (w)

w

(w)

1w

-

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4. TabladeTransformadadeAlgunasFunciones

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5. Ejemplo

CalcularlaTransformadadeFourierdef(t)(pulsorectangular):

F (w)

w

1

2

SabiendoquesegnlaecuacindeEuler podemosexpresarel resultado

anteriorenbasealafuncinsinc (senocardinal)obtenindose:

P2

-P2

t

f (t)

1

SenoCardinal

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Seaf(t)unafuncinperidicadeperiodoT,entonces

6. TransformadadeFourierdeunaFuncinPeridica

La Transformada de Fourier de una funcin peridica, consta de una sucesin de impulsos

equidistanteslocalizadosenlasfrecuenciasarmnicasdelafuncin.

Se establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsos es tambin un tren de

impulsosequidistantesen w0.

f (t)

tT

f (w)

ww0