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Tipos Arbóreos

2

Nociones de Árbol

Los árboles son conjuntos de nodos con un estructura jerárquica que parte de un nodo principal o raíz. Cada nodo de un árbol junto con todos sus descendientes constituye otro árbol.Los árboles se pueden definir como estructuras recursivas que presentan recursión múltiple.Según la ramificación que presenten los nodos, fija o variable, aparecen distintos tipos de árboles: árboles de orden N o árboles generales.

Árboles Binarios

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Árboles binarios: ArbolB[X] = {vacio} | ArbolB[X] × Elt.X × ArbolB[X]

(fmod ARBOLB [X :: TRIV] isprotecting MACHINE-INT .sorts ArbolB[X] ArbolBNv[X] .subsort ArbolBNv[X] < ArbolB[X] .op vacio : -> ArbolB[X] [ctor] .op _’[_’]_ : ArbolB[X] Elt.X ArbolB[X] -> ArbolBNv[X] [ctor] .op raiz : ArbolBNv[X] -> Elt.X .ops ri rd : ArbolBNv[X] -> ArbolB[X] .op altura : ArbolB[X] -> MachineInt .op n-nodos : ArbolB[X] -> MachineInt ....

endfm)

5

Recorridos

(fmod RECORRIDOS [X :: TRIV] isprotecting LISTA[X] .protecting ARBOLB[X] .

op preorden : ArbolB[X] -> Lista[X] .op inorden : ArbolB[X] -> Lista[X] .op postorden : ArbolB[X] -> Lista[X] .

...

endfm)

6

Árboles binarios etiquetadosArbolBEt[N,H] = Elt.H | ArbolBEt[N,H] × Elt.N × ArbolBEt[N,H]

(fmod ARBOLBEt[N :: TRIV, H :: TRIV] isprotecting MACHINE-INT .sorts ArbolBEt[N,H] ArbolBEtNh[N,H] .subsort Elt.H < ArbolBEt[N,H] .subsort ArbolBEtNh[N,H] < ArbolBEt[N,H] .op _‘[_’]_ : ArbolBEt[N,H] Elt.N ArbolBEt[N,H]

-> ArbolBEtNh[N,H] [ctor] .op raiz : ArbolBEtNh[N,H] -> Elt.N .ops ri rd : ArbolBEtNh[N,H] -> ArbolBEt[N,H] .op altura : ArbolBEt[N,H] -> MachineInt .op n-nodos : ArbolBEt[N,H] -> MachineInt .op n-hojas : ArbolBEt[N,H] -> MachineInt .op n-nodosNivel : MachineInt ArbolBEt[N,H] -> MachineInt ....

endfm)

7

Árboles de expresiones (I)

(fmod OP issort Op .ops + * - / : -> Op .

endfm)

(view Op from TRIV to OP issort Elt to Op

endv)

(view IntM from TRIV to MACHINE-INT issort Elt to MachineInt .

endv)

8

Árboles de expresiones (II)

(fmod ARBOLEXP isprotecting ArbolBEt[Op, IntM] .sort MachineInt? .subsort MachineInt < MachineInt? .op valor : ArbolBEt[Op, IntM] -> MachineInt? .var N : MachineInt .var O : Op .var Ri Rd : ArbolBEt[Op, IntM] .eq valor(N) = N .eq valor(Ri [+] Rd) = valor(Ri) + valor(Rd) .eq valor(Ri [-] Rd) = valor(Ri) - valor(Rd) .eq valor(Ri [*] Rd) = valor(Ri) * valor(Rd) .ceq valor(Ri [/] Rd) = valor(Ri) / valor(Rd)

if valor(Rd) =/= 0 .endfm)

9

Propiedades

var A : ArbolBEt[N H] . var N : MachineInt .

n-hojas(A) == 1 + n-nodos(A) n-hojas(A) <= 2 ** altura(A) altura(A) <= n-nodos(A) n-nodosNivel(N,A) =< 2 ** N

10

Árboles completos y llenos

sorts ArbBCompleto[N H] ArbBLleno[N H] .subsorts Elt.H < ArbBCompleto[N H] < ArbBLleno[N H]

< ArbolBEtq[N H] .vars Ac1 Ac2 : ArbBCompleto[N H] .var R : Elt.N .cmb Ac1[R]Ac2 : ArbBCompleto[N H]

if altura(Ac1) == altura(Ac2) .

vars A1 A2 : ArbBLleno[N H] .cmb A1[R]Ac2 : ArbBLleno[N H]

if altura(A1) == 1 + altura(Ac2)) .cmb Ac1[R]A2 : ArbBLleno[N H]

if altura(Ac1) == altura(A2) .

11

Árboles equilibrados en altura

sorts ArbBheq[N H] .subsorts Elt.H < ArbBheq[N H] < ArbolBEtq[N H] .

vars Ah1 Ah2 : ArbBheq[N H] .var R : Elt.N .

cmb Ah1[R]Ah2 : ArbBheq[N H] if altura(Ah2) <= altura(Ah1) and

altura(Ah1) - altura(Ah2) <= 1 .cmb Ah1[R]Ah2 : ArbBheq[N H]

if altura(Ah1) <= altura(Ah2) andaltura(Ah2) - altura(Ah1) <= 1 .

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Árboles equilibrados en peso

sort ArbBpeq[N H] .subsorts Elt.H < ArbBpeq[N H] < ArbolBEtq[N H] .

vars Ap1 Ap2 : ArbBpeq[N H] .var R : Elt.N .

cmb Ap1[R]Ap2 : ArbBpeq[N H] if n-nodos(Ap2) <= n-nodos(Ap1) and

n-nodos(Ap1) - n-nodos(Ap2) <= 1 .cmb Ap1[R]Ap2 : ArbBpeq[N H]

if n-nodos(Ap1) <= n-nodos(Ap2) andn-nodos(Ap2) - n-nodos(Ap1) <= 1 .

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Propiedades especiales

var Ac : ArbBCompleto[N H] .n-hojas(Ac) == 2 ** altura(Ac) .n-nodosNivel(N,Ac) == 2 ** N si 0 < N <= altura(Ac) .

var Al : ArbBLleno[N H] .n-hojas(Al) <= 2 ** altura(Al) .altura(Al) == natsup(log2(n-hojas(Al))) .

var Ap : ArbBpeq[N H] .altura(Ap) == natsup(log2(n-hojas(Al))) .

var Ah : ArbBheq[N H] .altura(Ah) <= 1.44 * natsup(log2(n-hojas(Al))) .

*** natsup(X) es el menor natural mayor o igual que X

Árboles Binarios Ordenados

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Pares Ordenados

(fth PARORD is including ORDTOT .sorts ParOrd Cont Cont? .subsort Cont < Cont? .op <_,_> : Elt Cont -> ParOrd .op clave : ParOrd -> Elt .op contenido : ParOrd -> Cont .op actualizar : Cont Cont -> Cont .op no-encontrado : -> Cont? .var K : Elt . var C : Cont .eq clave(<K,C>) = K .eq contenido(<K,C>) = C .

endfth)

16

Árboles binarios ordenados (I)(view Par from TRIV to PARORD is

sort Elt to ParOrd .endv)

(fmod ABB[X :: PARORD] isprotecting ARBOLB[Par][X] .sorts Abb[X] AbbNv[X] .subsorts AbbNv[X] < Abb[X] < ArbolB[Par][X] .subsort AbbNv[X] < ArbolBNv[Par][X] .op insertar : ParOrd.X Abb[X] -> AbbNv[X] .op eliminar : Elt.X Abb[X] -> Abb[X] .op consulta : Elt.X Abb[X] -> Cont?.X .op esta? : Elt.X Abb[X] -> Bool .ops min max : AbbNv[X] -> Par.X .

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Árboles binarios ordenados (II)

vars P Q : ParOrd.X . var K : Elt.X . var C : Cont.X .var A : Abb[X] . vars Ai Ad : AbbNv[X] .

mb vacio : Abb[X] . mb vacio [P] vacio : AbbNv[X] .cmb vacio [P] Ad : AbbNv[X] if clave(P) < clave(min(Ad)) .cmb Ai [P] vacio : AbbNv[X] if clave(max(Ai)) < clave(P) .cmb Ai [P] Ad : AbbNv[X] if clave(max(Ai)) < clave(P) and

clave(P) < clave(min(Ad)) .eq min(Ai) = if ri(Ai) == vacio

then raiz(Ai) else min(ri(Ai)) fi .eq max(Ai) = if rd(Ai) == vacio

then raiz(Ai) else max(rd(Ai)) fi .

18

Árboles binarios ordenados (III)

eq insertar(P,A) =if A == vacio then vacio [P] vacio else if clave(P) == clave(raiz(A))

then *** actualizarri(A) [<clave(P),actualizar(contenido(raiz(A)),

contenido(P))>] rd(A)else *** insertar en una rama

if clave(P) < clave(raiz(A))then insertar(P,ri(A)) [raiz(A)] rd(A)else ri(A) [raiz(A)] insertar(P,rd(A))fi

fifi .

19

Eliminación en un Abb

20

Árboles binarios ordenados (IV)

eq eliminar(K,A) = if A == vacio then vacioelse if K == clave(raiz(A))

then if ri(A) == vacio then rd(A)else if rd(A) == vacio then ri(A)

else eliminar(clave(max(ri(A))),ri(A))[max(ri(A))] rd(A)

fifi

else if K < clave(raiz(A))then eliminar(K,ri(A)) [raiz(A)] rd(A) else ri(A) [raiz(A)] eliminar(K,rd(A)) fi

fifi .

21

Árboles binarios ordenados (V)

eq esta?(K,A) = if A == vacio then falseelse if K == clave(raiz(A)) then true

else if K < clave(raiz(A)) then esta?(K,ri(A))else esta?(K,rd(A)) fi fi fi .

eq consulta(K,A) = if A == vacio then no-encontrado else if K == clave(raiz(A)) then contenido(raiz(A))

else if K < clave(raiz(A)) then consulta(K,ri(A))else consulta(K,rd(A)) fi fi fi .

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Árboles binarios ordenados equilibrados en altura (AVL)

(fmod AVL[X :: PARORD] isprotecting MACHINE-INT .protecting ABB[X] .sort Avl[X] AvlNv[X] .subsorts AvlNv[X] < Avl[X] < Abb[X] .subsort AvlNv[X] < AbbNv[X] .op insertarEq : ParOrd.X Avl[X] -> AvlNv[X] . op eliminarEq : Elt.X Avl[X] -> Avl[X] .op equilibrar : Abb[X] -> Abb[X] .ops rotIzq rotDer : AbbNv[X] -> AbbNv[X] .op pendiente : ArbolB[X] -> MachineInt .

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Avl (II)

vars P Q : ParOrd.X .var T:ArbolBNv[X] . var A:Avl[X] . vars A1 A2 : AvlNv[X] .

mb vacio : Avl[X] .cmb A [P] A2 : Avl[X] if clave(P)<clave(min(A2)) and

altura(A2)==1 .cmb A1 [P] A : Avl[X] if clave(max(A1))<clave(P) and

altura(A1)==1 .cmb A1 [P] A2 : Avl[X]

if clave(max(A1))<clave(P) and clave(P)<clave(min(A2))and altura(A1)<=altura(A2) and altura(A2)-altura(A1)<=1 .

cmb A1 [P] A2 : Avl[X] if clave(max(A1))<clave(P) and clave(P)<clave(min(A2))andaltura(A2)<=altura(A1) and altura(A1)-altura(A2)<=1 .

24

Avl (III)

eq pendiente(vacio) = 0 .eq pendiente(T) = altura(rd(T)) - altura(ri(T)) .

vars B B1 B2 B3 : ABB[X] .ceq rotIzq(B1 [P] vacio) = B1 [P] vacio

if B1 [P] vacio : Abb[X] .ceq rotIzq(B1 [P] (B2[Q]B3)) = (B1[P]B2) [Q] B3

if B1 [P] (B2[Q]B3) : Abb[X] .ceq rotDer(vacio [P] B2) = vacio [P] B2

if vacio [P] B2 : Abb[X] .ceq rotDer((B1[P]B2) [Q] B3) = B1 [P] (B2[Q]B3)

if (B1[P]B2) [Q] B3 : Abb[X] .

25

Consideraciones

En un avl todos los subárboles tendrán pendientes comprendidas entre –1 y 1.Una inserción sólo puede modificar la pendiente de los subárboles con raíz en el camino de acceso al nodo insertado.Esta modificación sólo puede dar lugar a pendientes con valores –2 o 2 en el peor caso.El árbol se equilibra a partir del nodo más próximo al punto de inserción que haya quedado desequilibrado. En el caso de la eliminación de un nodo, la situación es parecida.

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Equilibrado (I)

rotDer

27

Equilibrado (II)

rotIzq

rotDer

28

Avl : equilibrar

eq equilibrar(B) =if B == vacio then vacioelse if pendiente(B) == -2

then if pendiente(ri(B)) == 1then rotDer(rotIzq(ri(B)) [raiz(B)] rd(B))else rotDer(B) fi

else if pendiente(B) == 2then if pendiente(rd(B)) == -1

then rotIzq(ri(B) [raiz(B)] rotDer(rd(B)))else rotIzq(B) fi

else B fifi

fi .

29

Avl : insertar en equilibrio

eq insertarEq(P,A) =if A == vacio then vacio [P] vacioelse if clave(P) == clave(raiz(A))then *** actualizar

ri(A) [<clave(P),actualizar(contenido(raiz(A)),contenido(P))>] rd(A)

else *** insertar en una ramaif clave(P) < clave(raiz(A))then equilibrar(insertarEq(P,ri(A)) [raiz(A)] rd(A))else equilibrar(ri(A) [raiz(A)] insertarEq(P,rd(A)))fi

fifi .

30

Avl : eliminar en equilibriovar K : Elt.X .eq eliminarEq(k,A) =

if A == vacio then vacioelse if K == clave(raiz(A)) thenif ri(A) == vacio then rd(A)else if rd(A) == vacio then ri(A)

else equilibrar( eliminarEq(clave(max(ri(A))),ri(A))) [max(ri(A))] rd(A) ) fi

fielse if K < clave(raiz(A))

then equilibrar(eliminarEq(K,ri(A)) [raiz(A)] rd(A))else equilibrar(ri(A) [raiz(A)] eliminarEq(K,rd(A))) fi

fifi .

endfm)

Árboles Binarios Parcialmente

Ordenados

32

Heap (árbol lleno parcialmente ordenado)

Árbol lleno de ramas ordenadas con el menor elemento en la raíz.Operaciones características:

Agregar un elemento Eliminar la raíz

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Árboles llenos ordenados parcialmente (heaps)

(fmod HEAP[X :: PARORD] isprotecting ARBOLB[Par][X] .sorts Heap[X] HeapNv[X] .subsorts HeapNv[X] < Heap[X] < ArbolB[Par][X] .subsort HeapNv[X] < ArbolBNv[Par][X] .op amontonar : ParOrd.X Heap[X] -> HeapNv[X] .op cima : HeapNv[X] -> ParOrd.X .op retCima : HeapNv[X] -> Heap[X] .*** ops auxiliaresop fondo : HeapNv[X] -> ParOrd.X .op retFondo : HeapNv[X] -> Heap[X] .op hundir : Heap[X] ParOrd.X Heap[X] -> ArbolBNv[X] .op completo? : ArbolB[X] -> Bool .

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Heaps (I)var P : ParOrd.X .vars A1 A2 : ArbolNv[Par][X] . vars H1 H2 : HeapNv[X] .

eq completo?(vacio) = true .eq completo?(A1) = altura(ri(A1))==altura(rd(A1)) and

completo?(ri(A1)) and completo?(rd(A1)) .mb vacio : Heap[X] .mb vacio [P] vacio : HeapNv[X] .cmb H1 [P] vacio : HeapNv[X] if clave(raiz(H1)) <= clave(P)

and altura(H1) == 1 .cmb H1 [P] H2 : HeapNv[X]

if clave(raiz(H1)) <= clave(P) andclave(raiz(H2)) <= clave(P) and((altura(H1) == altura(H2) and completo?(H1)) or(altura(H1) == 1+altura(H2) and completo?(H2))) .

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Heaps (II)

eq cima(H1) = raiz(H1) .

eq amontonar(P,vacio) = vacio [P] vacio .eq amontonar(P,H1) =

if completo?(H1) or not completo?(ri(H1)) then *** amontonar por la izq

if clave(raiz(H1))<=clave(P)then amontonar(raiz(H1),ri(H1)) [P] rd(H1)else amontonar(P,ri(H1)) [raiz(H1)] rd(H1) fi

else *** amontonar por la derif clave(raiz(H1))<=clave(P)then ri(H1) [P] amontonar(raiz(H1),rd(H1))else ri(H1) [raiz(H1)] amontonar(P,rd(H1)) fi

fi .

36

Heaps (III)

eq fondo(H1) = if (ri(H1) == vacio and rd(H1) == vacio)then raiz(H1)else if altura(rd(H1)) < altura(ri(H1))

then fondo(ri(H1))else fondo(rd(H1)) fi

fi .eq retFondo(H1) =

if (ri(H1) == vacio and rd(H1) == vacio)then vacioelse if altura(rd(H1)) < altura(ri(H1))

then retFondo(ri(H1)) [raiz(H1)] rd(H1)else ri(H1) [raiz(H1)] retFondo(rd(H1)) fi

fi .

37

Heaps (IV)

var H : Heap[X] .eq hundir(vacio,P,H) = vacio [P] H .eq hundir(H1,P,H) =

if H == vaciothen if clave(raiz(H1)) < clave(P)

then H1 [P] Helse hundir(ri(H1),P,rd(H1)) [raiz(H1)] H fi

else if (clave(raiz(H1)) < clave(P) and clave(raiz(H)) < clave(P))

then H1 [P] Helse if clave(raiz(H1)) < clave(raiz(H))

then H1 [raiz(H)] hundir(ri(H),P,rd(H))else hundir(ri(H1),P,rd(H1)) [raiz(H1)] H fi

fifi .

38

Heaps (V)

eq retCima(H1) =if ri(H1) == vaciothen vacioelse hundir(ri(retFondo(H1)),

fondo(H1), rd(retFondo(H1)))

fi .

endfm)

Árboles Generales

40

Árboles Generales (I)

(fmod ARBOL [N :: TRIV] isprotecting LISTA[N] .protecting MACHINE-INT .sorts Arbol[N] Bosque[N] .op _`[_`] : Elt.N Bosque[N] -> Arbol[N] [ctor].op bosqueV : -> Bosque[N] [ctor].op _:_ : Arbol[N] Bosque[N] -> Bosque[N] [ctor].op raiz : Arbol[N] -> Elt.N .op hijos : Arbol[N] -> Bosque[N] .ops altura grado #nodos : Arbol[N] -> MachineInt .ops alturaB gradoB #nodosB : Bosque[N] -> MachineInt .op longitud : Bosque[N] -> MachineInt .op esHoja? : Arbol[N] -> Bool .ops preorden postorden : Arbol[N] -> Lista[N] .ops preordenB postordenB : Bosque[N] -> Lista[N] .

41

Árboles Generales (II)

op max : MachineInt MachineInt -> MachineInt .

var R : Elt.N . vars I J : MachineInt .var T : Arbol[N] . var B : Bosque[N] .

eq raiz(R [B]) = R .eq hijos(R [B]) = B .

eq max(I,J) = if I < J then J else I fi .eq altura(R [B]) = 1 + alturaB(B) .eq alturaB(bosqueV) = 0 .eq alturaB(T : B) = max(altura(T),alturaB(B)) .

eq longitud(bosqueV) = 0 .eq longitud(T : B) = 1 + longitud(B) .eq esHoja?(R [B]) = B == bosqueV .

42

Árboles Generales (III)

eq grado(R [B]) = max(longitud(B),gradoB(B)) .eq gradoB(bosqueV) = 0 .eq gradoB(T : B) = max(grado(T),gradoB(B)) .

eq #nodos(R [B]) = 1 + #nodosB(B) .eq #nodosB(bosqueV) = 0 .eq #nodosB(T : B) = #nodos(T) + #nodosB(B) .

eq preorden(R [B]) = R : preordenB(B) .eq preordenB(bosqueV) = nil .eq preordenB(T : B) = preorden(T) ++ preordenB(B) .

eq postorden(R [B]) = postordenB(B) ++ (R:nil) .eq postordenB(bosqueV) = nil .eq postordenB(T : B) = postorden(T) ++ postordenB(B) .

endfm)

43

Ejercicios

Especificad las siguientes operaciones sobre árboles generales:op pertenece? : Elt.N Arbol[N] -> Bool .

que compruebe si un elemento pertenece o no a un árbol,op mismaForma? : Arbol[N] Arbol[N] -> Bool .

que compruebe si dos árboles tienen o no la misma forma.Adaptar la especificación de árbol general para poder especificar las operaciones

op subArbol : Elt.N Arbol[N] -> Arbol[N]? .que produzca el subárbol del árbol dado con raíz en el nodo dado ( el primero en preorden si hay más de uno) y

op camino : Elt.N Arbol[N] -> Lista[N]que produzca una lista con todos los nodos desde la raíz hasta el nodo dado inclusive o una lista vacía si el nodo no está en el árbol.

Árboles de Orden K

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Intervalos de orden K

(fth GRADO is *** grado k > 2protecting MACHINE-INT .op k : -> MachineInt .eq k >= 2 = true .

endth)

(fmod NAT [K :: GRADO] is *** intervalos [0..k-1]sort Nat[K] .subsort Nat[K] < MachineInt .var N : MachineInt .cmb N : Nat[K] if 0 <= N and N < k.K .

endfm)

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Árboles de orden K (I)

(fmod ARBOL [K :: GRADO, X :: TRIV] isprotecting NAT[K] .protecting LISTA[X] .sorts ArbolNv[K,X] Arbol[K,X] TuplaA[K,X] .subsort ArbolNv[K,X] < Arbol[K,X] .*** constructoras de árbolesop arbolV : -> Arbol[K,X] [ctor] .op _`[_`] : Elt.X TuplaA[K,X] -> ArbolNv[K,X] [ctor] .*** constructoras de tuplas de árboles/ramasop tuplaV : -> TuplaA[K,X] [ctor] .op _`[_/_`] : TuplaA[K,X] Nat[K] Arbol[K,X] ->

TuplaA[K,X] [ctor] .

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Árboles de orden K (II)

*** operaciones de consultaop raiz : ArbolNv[K,X] -> Elt.X .op rama : Nat[K] ArbolNv[K,X] -> Arbol[K,X] . op ramaT : Nat[K] TuplaA[K,X] -> Arbol[K,X] . ops altura grado #nodos: Arbol[K,X] -> MachineInt .ops preorden postorden : Arbol[K,X] -> Lista[X] .*** operaciones auxiliaresop max : MachineInt MachineInt -> MachineInt .ops alturaT #nodosT : TuplaA[K,X] Nat[K] -> MachineInt . ops preordenT postordenT : TuplaA[K,X] Nat[K] -> Lista[X] .

vars I J : MachineInt .eq max(I,J) = if I < J then J else I fi .

48

Árboles de orden K (III)

var E : Elt.X .var T : TuplaA[K,X] . vars A B : Arbol[K,X] .ceq (T[I/A])[J/B] = T[J/B] if I == J .ceq (T[I/A])[J/B] = (T[J/B])[I/A] if I > J .eq ramaT(I,tuplaV) = arbolV .eq ramaT(I,T[J/A]) = if I == J then A else ramaT(I,T) fi .eq raiz(E[T]) = E .eq rama(I,E[T]) = ramaT(I,T) .eq grado(E[T]) = k.K .eq altura(arbolV) = 0.eq altura(E[T]) = 1 + alturaT(T,0) .eq alturaT(T,I) =

if I == k.K - 1 then altura(ramaT(I,T))else max(altura(ramaT(I,T)),alturaT(T,I+1)) fi .

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Árboles de orden K (IV)eq #nodos(arbolV) = 0 .eq #nodos(E[T]) = 1 + #nodosT(T,0) .eq #nodosT(T,I) =

if I == k.K - 1 then #nodos(ramaT(I,T))else #nodos(ramaT(I,T))+ #nodosT(T,I+1) fi .

eq preorden(arbolV) = nil .eq preorden(E[T]) = E : preordenT(T,0) .eq preordenT(T,I) =

if I == k.K - 1 then preorden(ramaT(I,T))else preorden(ramaT(I,T))++preordenT(T,I+1) fi .

eq postorden(arbolV) = nil .eq postorden(E[T]) = postordenT(T,0) ++ (E:nil) .eq postordenT(T,I) =

if I == k.K - 1 then postorden(ramaT(I,T))else postorden(ramaT(I,T))++postordenT(T,I+1) fi .

endfm)

50

Ejercicios

Especificad las operaciones:pertenece?, mismaForma?, subArbol, camino

para árboles de orden K.