tesis final 4
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Villacorta INTRODUCCIÓN
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INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN Villacorta
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Villacorta INTRODUCCIÓN
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La descripción y cuantificación de las propiedades de las neuronas constituyen una de las piedras
angulares de la Neurociencia. Desde su nacimiento la caracterización de las estructuras
neuronales ha experimentado dos etapas, la primera fundamentalmente descriptiva, basada en la
descripción cualitativa minuciosa de árboles dendríticos y ramificaciones axónicas (clásicamente
sobre tinciones con el método de Golgi [Ramón y Cajal, et al., 1999]), y la segunda, más
reciente, basada en el estudio de propiedades topológicas y métricas como parámetros de
ramificación, longitudes, superficies, distancias, tortuosidad, orientación, etc. de dendritas,
somas y axones [Ascoli, et al., 2001; Horcholle-Bossavit, et al., 2000; Peters, et al., 1991;
Scorcioni, et al., 2004].
Figura 1. Santiago Ramón y Cajal (izquierda) fue uno de los pioneros en el estudio de la estructura neuronal, y
demostró su naturaleza organizada, polarizada e individualizada (1888) empleando, entre otras técnicas, el método
de tinción de Golgi (derecha) [Ramón y Cajal, Pasik and Pasik, 1999].
En la actualidad los estudios electrofisiológicos a nivel poblacional o de membrana, la
descripción anatómica de las diferentes regiones y áreas del sistema nervioso central y periférico
o la reconstrucción de la morfología neuronal, especialmente asistida por métodos
computacionales, proporcionan un conocimiento fundamental para la comprensión de los
procesos que tienen lugar en el sistema nervioso y que en última instancia conforman el misterio
de la conciencia y la mente.
En este trabajo, centrado principalmente en los árboles dendríticos, se propone un enfoque
novedoso a este problema, basado en la cuantificación de la propiedad básica de estas
estructuras: su capacidad para procesar información. Con este objetivo se definen y desarrollan
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una serie de medidas basadas en uno de los conceptos centrales de la teoría de la información, la
entropía. Estas medidas se aplican sobre los árboles dendríticos en tres niveles diferentes según
las propiedades dendríticas que intervengan en el procesamiento, quedando dichas estructuras
caracterizadas como fuentes de información.
En este capítulo se pretende proporcionar las nociones que permitan introducir tanto
conceptualmente como a un nivel más riguroso los conceptos, razonamientos, desarrollos y
conclusiones expuestos en este estudio. En primer lugar se presenta una visión general de la
teoría de la información y de su impacto sobre la Ciencia, centrándonos en sus aplicaciones a la
Neurociencia. La segunda sección se centra en la base matemática de la teoría de la información,
restringiéndonos al nivel empleado en este trabajo. Por último se expone una somera
introducción a la morfología y funcionalidad dendrítica, junto con el abordaje matemático y
notación concernientes a la topología dendrítica, básica en la caracterización entrópica buscada.
1. EL CONCEPTO DE INFORMACIÓN
La noción de información representa sin duda uno de los conceptos científicos más relevantes de
hoy en día, tanto por la generalidad de su aplicabilidad como por su profundidad conceptual. Las
diferentes acepciones que se emplean para referirse a la misma noción de información dan una
idea de la generalidad que este alcanza, sin embargo es la misma palabra ‘información’ la más
empleada en los múltiples contextos en que tiene cabida este principio matemático, y es la
principal causa de la indefinición, y en ocasiones confusión, en su aplicación. En nuestra vida
diaria hablamos de información cuando nos referimos al conocimiento adquirido, y que por tanto
no se poseía previamente, asociado al significado que tiene un objeto, una palabra, frase,
discurso, etc. El mayor problema de este punto de vista es su subjetividad, puesto que algo que
conlleve mucha información para un individuo, para otro puede no significar nada, por ejemplo
una frase en un idioma dominado por el primero y desconocido por el segundo; a este tipo de
información nos referiremos como información semántica. Es necesario por ello puntualizar en
primer lugar que el concepto de información matemática no tiene ninguna relación con el
contenido semántico [Shannon and Weaver, 1949], dependiendo tan sólo de la estructura de los
objetos que portan esa información semántica.
El estudio original de Shannon en el que se presentó y desarrolló la hoy llamada “teoría de la
información” [Shannon and Weaver, 1949] se tituló “The Mathematical Theory of
Communication”. Desde un primer momento Shannon sólo pretendía describir matemáticamente
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la comunicación y no la información, de manera que la teoría de la información prescinde de
toda referencia a la ‘capacidad de significar algo’ para centrarse en la ‘capacidad para comunicar
algo’. Este trabajo fue desarrollado con vistas a su aplicación en ingeniería de comunicaciones,
coincidiendo con la aparición y posterior auge de los transistores, y en consecuencia con el inicio
de la era de las telecomunicaciones. Era necesario por tanto una estructura matemática sólida que
plantease y resolviese de forma rigurosa los principales problemas que surgían en este contexto.
De este modo Shannon no sólo introdujo el concepto de información y entropía en relación con
la incertidumbre del sistema, también abordó la cuestión de los canales de información y su
capacidad para la transmisión, y el importante problema de los códigos [Jones, 1979], todo ello a
través de un enfoque abstracto y unificado que supone un armazón idóneo para aplicar esta teoría
en multitud de áreas científicas y sociales.
En este contexto seminal es lógico que el primer campo en el que la teoría de la información
fue aplicada con éxito fue el de las comunicaciones y en especial el de la codificación y
criptografía, favorecido no sólo por las circunstancias científicas sino también por las
circunstancias geopolíticas, con el advenimiento de la guerra fría tras la Segunda Guerra
Mundial. La visión de la codificación aportada por la teoría de la información se ha mantenido
con vigencia desde entonces ya que proporciona soluciones tanto teóricas como constructivas al
problema de la optimización de los códigos, la compresión de datos, la corrección de errores, etc.
[Abramson, 1963]. Pronto este abordaje teórico mostró la profundidad de las nociones en que se
basaba y fue extendiéndose progresivamente a especialidades científicas tan diferentes como la
ecología [Margalef, 1968] o la sociología [Feghhi, et al., 1999]. No obstante fue la Física, y por
ende las Matemáticas, uno de los saberes científicos que más se ha enriquecido con los conceptos
de la teoría de la información y que más partido ha sabido sacar de su carácter fundamental. Son
muchos los campos de la Física en que la perspectiva brindada por la información y la entropía
ha supuesto un gran paso adelante, empezando por la termodinámica, que constituyó el contexto
en que se desarrolló originalmente [Reif, 1985]. Sin embargo son especialmente relevantes otros
campos de la Física que hoy en día se encuentran en la frontera del saber, de entre los que cabe
destacar la Computación Cuántica [Seife, 2006], la Teoría del Caos [Abarbanel and Institute for
Nonlinear Science., 1996; Froyland and Institute of Physics (Great Britain). 1992] y la
Cosmología y Astrofísica. Este último caso es verdaderamente atractivo porque la incursión de
los conceptos de información y entropía ha conducido a perspectivas y resultados absolutamente
novedosos, entre los que cabe destacar la denominada Paradoja de los Agujeros Negros, que
plantea la conservación o no de la información contenida en todo aquello que cae tras el
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horizonte de un agujero negro [Preskill, 1992; Vachaspati, et al., 2007], o el Principio
Holográfico, que afirma que, a nivel cosmológico, la información de los eventos que tienen lugar
dentro de cierto volumen puede relacionarse biunívocamente con la información de lo que
sucede en la superficie de dicho volumen (cómo ocurre en la holografía) [Bekenstein, 2003;
Freivogel, et al., 2006].
Aunque estos son unos ejemplos relevantes del alcance y el impacto de la Teoría de la
Información dentro de la ciencia actual, es la Neurociencia el campo científico que se ha ido
convirtiendo progresivamente en uno de los entornos más naturales para esta teoría, puesto que
el problema central del estudio del sistema nervioso y del cerebro es la comprensión de los
procesos de adquisición, procesamiento, codificación y en última instancia interpretación de la
información, tanto de la recibida del exterior como de la creada por el propio sistema. Muy poco
tiempo después del trabajo de Shannon que dio origen a la teoría de la información [Shannon and
Weaver, 1949] apareció el primer estudio en el que se aplicaban los conceptos de entropía e
información para analizar las capacidades neuronales de transmisión y codificación en base a sus
características biofísicas [MacKay and McCulloch, 1952]. Posteriormente este tipo de abordaje
se extendió con mayor rigor a contextos más complejos [Eckhorn and Popel, 1974; 1975;
Eckhorn, et al., 1976] y fue a partir de la década de los noventa cuando quedó constituida cómo
un área de investigación de gran actividad dentro de la Neurociencia.
La información como entidad matemática no aparece de forma explícita hasta finales de los
años cuarenta en el trabajo seminal de Shannon [Shannon and Weaver, 1949], en el que se
relaciona de forma abstracta con el número de estados en los que puede encontrarse un sistema y
con las probabilidades que tiene este de alcanzar cada uno de esos estados. Esta relación
cristaliza matemáticamente en los dos conceptos básicos de la ‘Teoría de la Información’: la
entropía y la información mutua.
La coincidencia del nombre ‘entropía’ con el conocido término termodinámico no es casual
ya que en este contexto la entropía mide el nivel de desorganización de los componentes del
sistema1. La entropía asociada a la información matemática constituye una generalización de esta
1 La entropía termodinámica es una noción fundamentada a nivel molecular que compendia diferentes aspectos
microscópicos relacionados con la energía y temperatura del sistema en la conocida segunda ley de la
termodinámica [Reif, 1985], que afirma que la desorganización interna (en términos estadísticos) de un conjunto de
partículas en interacción (entropía) tiende a aumentar con el tiempo. Evidentemente esta visión tiene a nivel
macroscópico el equivalente a la desorganización con que el sistema está estructurado.
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visión termodinámica ya que esta medida cuantifica el grado de indeterminación en la evolución
de un sistema, es decir mide el desconocimiento que tenemos acerca de qué estado adquirirá el
sistema en el futuro de manera que su entropía será mayor a medida que el sistema tenga una
mayor indeterminación en el estado a alcanzar. En consecuencia y de forma más intuitiva
diremos que la entropía matemática es una medida de la incertidumbre presente en el sistema
[Shannon and Weaver, 1949].
El segundo concepto fundamental de la teoría de la información es el de información mutua,
que cuantifica la cantidad de información que comparten dos sistemas relacionados entre sí.
Tanto la noción de entropía como la de información mutua se desarrollarán con rigor en la
próxima sección, sin embargo es conveniente introducirlas aquí de forma conceptual, en especial
esta última por la importancia que tiene en el ámbito de la Neurociencia. En este contexto
supongamos una serie de estímulos aplicados sobre una neurona y sus respuestas. En términos de
teoría de la información consideraríamos los sistemas genéricos ‘estímulo’ y ‘respuesta’, cuyos
estados respectivos serían los distintos estímulos y las correspondientes respuestas. Según la
definición de entropía dada intuitivamente antes (y su definición matemática de la siguiente
sección) existirá una entropía del estímulo ( )H E y una entropía de la respuesta ( )H R . Estas dos
medidas cuantifican la capacidad de contener información que tienen tanto el estímulo como la
respuesta, de manera que una estimulación con una entropía ( )H E alta significará que la
neurona está recibiendo una gran cantidad de información. Si la respuesta registrada tiene una
entropía ( )H R baja ello implica que parte de ese contenido informacional se ha perdido2, lo que
puede deberse a dos circunstancias: o bien la neurona usa una codificación muy pobre y la
información inicial en gran medida se pierde, o bien la parte del estímulo que ha sido codificada
es muy pequeña3. La determinación exacta de la relación informacional entre estímulo y
respuesta se lleva a cabo por medio de la información mutua.
2 El caso extremo en que H(R) = 0 no significa que la neurona no responda ante la estimulación, significa que la
respuesta tiene una estructura infinitamente repetitiva que no le permite portar ningún tipo de información. El
ejemplo más obvio sería una respuesta perfectamente rítmica.
3 En cualquier caso, según se detalla en la sección siguiente, hay que ser muy cauto al asociar la información
matemática con el concepto intuitivo de información, la información semántica. Una señal con una gran cantidad de
información matemática (una entropía muy alta) no es necesariamente una señal ‘útil’ para el sistema, como ocurre
por ejemplo con el ruido [Jones, 1979; Shannon and Weaver, 1949]. El tratamiento detallado de esta noción va más
allá del contexto de este estudio (ver Discusión), sin embargo desde un punto de vista intuitivo se interpreta como
ruido aquella influencia de naturaleza estocástica que afecta al sistema en unas condiciones concretas. Las
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Debido a que cada estimulación evoca una respuesta neuronal (aunque no de forma
determinista), habrá una relación entre ambos eventos en términos de probabilidades, lo que se
refleja en dos tipos de entropías condicionadas, ( | )H R E y ( | )H E R . A pesar de que
matemáticamente estas entropías tienen la misma estructura conceptualmente son muy distintas.
Por un lado ( | )H R E mide la incertidumbre o variabilidad presente en la respuesta que no se
debe al estímulo, es decir que proviene de otras fuentes, por medio de la entropía del ruido o
ruido neuronal [Borst and Theunissen, 1999]. Por otro lado ( | )H E R cuantifica la variabilidad
propia del estímulo que no se ha visto reflejada en la respuesta; se llama por ello equivocación
del estímulo [Dayan and Abbott, 2001]. La información mutua ( , )I R E se puede definir
inicialmente como la diferencia entre la entropía de la repuesta ( )H R y la entropía del ruido
( | )H R E
( , ) ( ) ( | )I R E H R H R E= − , (1)
y bajo esta perspectiva estima la eficiencia del código neuronal. No obstante la simetría derivada
del teorema de Bayes [Jones, 1979] permite reescribir la información mutua ( , )I R E como la
diferencia entre la entropía del estímulo ( )H E y su equivocación ( | )H E R
( , ) ( ) ( | )I R E H E H E R= − , (2)
de manera que la información mutua cuantifica también la bondad con que el estimulo se
codifica en la respuesta.
Lo realmente importante de la perspectiva que proporciona la teoría de la información es
cómo de un enfoque tan general se pueden obtener conclusiones tan profundas acerca del
procesamiento de la información en el sistema nervioso. Supóngase que en ciertas condiciones se
ha concluido que ( , )I R E = 3, con ( )H R = 4, ( | )H R E = 1, ( )H E = 40 y ( | )H E R = 37.
Obviamente se verifican (1) y (2), sin embargo los valores concretos de cada entropía
involucrada nos dicen mucho sobre el propio proceso de codificación. Por un lado la entropía de
la respuesta ( )H R es cuatro veces mayor que la del ruido ( | )H R E , lo que implica que la
características del ruido le confieren un alto contenido informacional sin embargo su efecto sobre el sistema es en
general aleatorio y por lo tanto imprevisto. No obstante, en el área de la Neurociencia el ruido parece tener una gran
importancia en el procesamiento sensorial a través de fenómenos como la resonancia estocástica [Moss, et al.,
2004].
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codificación que está realizando la neurona es muy eficaz: sólo la cuarta parte se debe al ruido, el
resto de la respuesta la evoca el estímulo. No obstante el estímulo aplicado porta una gran
cantidad de información con respecto a la respuesta, según indica su entropía ( )H E , pero la
equivocación ( | )H E R es también muy elevada, por lo que la respuesta contiene sólo una parte
muy pequeña del ruido, es decir, la información mutua es escasa. Este ejemplo muestra cómo la
teoría de la información permite revelar aspectos fundamentales de procesamiento de la
información, en este caso cómo un buen código neuronal puede ser compatible con una mala
codificación del estímulo: el sistema sólo es capaz de codificar una pequeña parte del estímulo,
pero aquello que se codifica se hace con gran eficacia.
Desde el punto de vista de las capacidades de procesamiento y conducción de la información
una de las hipótesis de trabajo más extendidas es la de asumir que el sistema nervioso está
diseñado para optimizar la transmisión de la información entre sus diferentes componentes, lo
que en términos rigurosos implica la maximización de la información mutua ( , )I R E y por ende
la maximización de la entropía de la respuesta ( )H R en condiciones en que la entropía del ruido
puede mantenerse bajo control. Este punto de vista ha sido especialmente fructífero en el estudio
del procesamiento visual a lo largo de sus diferentes estaciones de relevo, dándose en [Laughlin,
1981] una de las primeras demostraciones de que existen sistemas de procesamiento de
información sensorial que codifican maximizando la entropía de respuesta, en concreto en las
LMC (Large Monopolar Cells) del sistema visual de la mosca. La asunción de que la
maximización de la entropía es una estrategia ubicua en el sistema visual, ha conducido a teorías
de procesamiento visual a nivel de la retina, del núcleo geniculado lateral (LGN) y del córtex
visual de gato, basadas en la presencia de filtros espacio-temporales destinados a eliminar la
redundancia presente en este tipo de información sensorial. Este tipo de procesamiento predice
correspondencias entre las características de los campos receptivos (tamaño, definición, etc.) y
las características del estímulo y condiciones en que se produce (frecuencias temporales,
iluminación, etc.), que han sido comprobadas experimentalmente. Por ejemplo en la retina y el
LGN el filtrado de las bajas frecuencias espaciales en alta iluminación permite eliminar la
información redundante presente por la superposición de los bordes de los campos receptivos
adyacentes, o en condiciones de baja iluminación permite recuperar el máximo de información a
partir de la redundancia que existe en los bordes solapados de los campos receptivos vecinos
[Dayan and Abbott, 2001]. En esta línea se han predicho también correspondencias a nivel del
procesamiento de las características temporales de la información visual en relación a las
características espaciales. Así según los modelos y coincidiendo con lo observado
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experimentalmente, los campos receptivos corticales selectivos a las bajas frecuencias espaciales
dejan pasar una banda de altas frecuencias temporales (alta velocidad del estímulo) mientras que
los campos receptivos selectivos a altas frecuencias espaciales son sólo sensibles a bajas
frecuencias temporales (baja velocidad del estímulo); este tipo de relaciones se da también entre
la selectividad a frecuencias espaciales y la dominancia ocular o la selectividad a los colores [Li,
1996].
Los resultados experimentales reportados en estos trabajos refuerzan la hipótesis de una
codificación destinada a optimizar la información transmitida a lo largo del sistema visual [Dan,
et al., 1996] lo que ha llevado a extender este enfoque a otros tipos de procesamiento sensorial
[Eeckman, 1992; Rieke, et al., 1995; Wessel, et al., 1996] o incluso a generalizarlo a las
estaciones iniciales de codificación de la información periférica [van Hateren, 1992; 1993]. La
deseada optimización de la información se evalúa cuantificando la relación entre los estímulos y
las correspondientes respuestas neuronales a través de la entropía y en definitiva de la
información mutua, que permite valorar la eficacia y bondad de la codificación. La ya comentada
importancia de la información mutua ha llevado al desarrollo de diversos métodos dirigidos a su
cuantificación [Borst and Theunissen, 1999], de los cuales los principales son el denominado
método directo y la determinación de las cotas superiores e inferiores de esta medida.
El primero de los métodos consiste en calcular directamente la información mutua a partir de
la entropía de la respuesta ( )H R y la entropía del ruido ( | )H R E , estimándose así la precisión
con la que la neurona codifica el estímulo. Este es el procedimiento más general ya que no asume
ningún conocimiento a priori acerca de la estructura del estímulo o del tipo de procesamiento
que lleva a cabo la neurona; sin embargo su principal defecto es el gran número de estímulos y
respuestas necesario para determinar correctamente el valor de la información mutua. Los otros
dos métodos se basan en diversas asunciones acerca del tipo de procesamiento llevado a cabo por
el sistema en estudio y por tanto permiten además cuantificar la bondad de dicha hipótesis,
aunque su principal limitación es evidentemente el hecho de que sólo proporcionan los límites
para acotar el verdadero valor de la información buscada. En cualquier caso el estudio de la
información mutua por medio de los métodos comentados ha permitido verificar la alta
eficiencia del código neuronal implementado en diversas áreas sensoriales y en distintas especies
animales, como en los electroreceptores tipo P de un cierto tipo de pez eléctrico (Eigenmannia)
[Wessel, Koch and Gabbiani, 1996], en los cercos del grillo [Eeckman, 1992]o en el sistema
auditivo de la rana toro, en el que la respuesta motivada por la llamada específica de esta especie
alcanza una efectividad en la codificación del 90% [Rieke, Bodnar and Bialek, 1995]. En
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conclusión, los diversos resultados experimentales parecen apoyar la hipótesis de que en los
estadios iniciales del procesamiento de la información sensorial el procesamiento neuronal está
diseñado para optimizar la codificación maximizando la información mutua y en ciertos casos la
entropía de la respuesta. Debe observarse sin embargo que la maximización de la información
mutua entre estímulo y respuesta en grupos o circuitos neuronales conduce a la minimización de
la redundancia, definida como la diferencia entre la suma de las informaciones mutuas de cada
elemento del sistema y la información mutua del propio sistema [Rao, et al., 2002], lo cual
constituye un enfoque alternativo para abordar la cuantificación del procesamiento de la
información neuronal [Attneave, 1954; Li and Atick, 1994].
El estudio del problema de la codificación y procesamiento neuronal por medio de la teoría
de la información conlleva ventajas significativas en lo tocante a la profundidad de las
conclusiones obtenidas, sin embargo la aplicación práctica de los métodos de maximización de la
información exige abordajes concretos en base al tipo de codificación que, según el investigador,
emplea el sistema neuronal analizado. Experimentalmente las repuestas de las neuronas se
registran o bien en forma de variaciones explosivas del potencial de membrana denominadas
espigas o bien por medio de cambios graduales de dicho potencial de menor magnitud que las
espigas; son las propagaciones activa y pasiva respectivamente. Actualmente las investigaciones
se centran mayoritariamente en el primer tipo de respuesta por ser esta la forma en que se
comunican entre sí las neuronas de diferentes áreas del sistema nervioso, denominadas neuronas
de proyección. Se asume por tanto que son estas respuestas las que portan la información más
relevante en comparación a la respuesta graduada, característica propia de una gran parte de la
población de interneuronas o neuronas locales, especialmente de las presentes en el sistema
nervioso central (SNC). Estas neuronas tienen un carácter inhibitorio y se comunican
exclusivamente con otras neuronas de su entorno por medio de diversos tipos de sinapsis (ver
más abajo) [Kandel, et al., 2000].
Asumiendo pues que la respuesta del sistema se registra como una serie de espigas de voltaje,
hoy en día se considera que existen dos formas básicas en que la información queda codificada
dentro del tren de espigas, la tasa temporal de disparos o firing rate, y el intervalo interespiga o
ISI. El procesamiento por tasa de disparos codificaría el estímulo según el número de espigas o
disparos que quedan dentro de una cierta ventana temporal, sin atender a la forma en que dichas
espigas se distribuyen dentro de la ventana. Por el contrario el procesamiento por ISI supone que
la información del estímulo codificada se encuentra en la estructura temporal del tren de
disparos, es decir en los intervalos temporales que separan unas espigas de otras. En una primera
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aproximación se puede asumir que el firing rate codifica la intensidad del estímulo y los
intervalos interespiga codificarían la estructura temporal de dicho estímulo [Kandel, Schwartz
and Jessell, 2000; Koch, 1999], aunque esto no es ni mucho menos tan sencillo [Borst and
Theunissen, 1999]. Se ha comprobado en peces que exploran su entorno por medio de
fluctuaciones de campos electromagnéticos, que sus electroreceptores emplearían los dos tipos
de estrategias de codificación descritas aquí para los trenes de espigas dependiendo del tipo de
estímulo presentado, así los estímulos de baja frecuencia serían codificados por medio de la tasa
de disparos (rate code) y los de alta frecuencia mediante el intervalo interespiga [Chacron, et al.,
2001].
La aplicación de la teoría de la información al procesamiento neuronal se ha llevado a cabo
tanto sobre la codificación basada en la tasa de disparos como sobre la basada en el ISI. Parece
obvio que el análisis del firing rate resulta más sencillo puesto que no se contempla la estructura
detallada del tren de espigas, tan sólo el número de disparos contenido en cierto rango temporal.
Sin embargo este tipo de codificación subestima la información portada por las respuestas, ya
que dentro de dos trenes de espigas que tengan la misma tasa de disparo el ISI puede variar
ampliamente, es decir ambos trenes pueden tener una estructura temporal muy distinta. En
consecuencia la asunción de la codificación en los ISI proporciona una cuantificación más
precisa de la información contenida en el código neuronal, aunque entraña ciertos problemas
prácticos a la hora de determinarla [Rieke, 1999]. No obstante este enfoque ha permitido
demostrar relaciones entre la especificidad de cierto estímulo y la cantidad de información
portada por él. Así en el trabajo ya comentado de Rieke et al. [Rieke, Bodnar and Bialek, 1995]
se comparan las respuestas evocadas en la rana toro por dos tipos de estímulos, un ruido de
banda ancha y un ruido filtrado para obtener un espectro muy similar al de la llamada de esa
especie. Los resultados muestran que a pesar de que el ruido no filtrado tiene una mayor
entropía, el estímulo similar a la llamada porta hasta tres veces más información por segundo que
el primero, lo que apoya el uso de estímulos naturales o motivados por el comportamiento de la
especie en estudio para realizar un análisis óptimo de las respuestas a la estimulación neuronal
[Yao, et al., 2007].
La ortodoxia en el estudio del procesamiento en el sistema nervioso empleando la teoría de la
información se centra en la información mutua y la entropía como conceptos centrales, sin
embargo existen líneas de investigación paralelas que abordan el problema desde diferentes
perspectivas. Una de ellas, desarrollada recientemente, es la relación entre la información mutua
y la denominada Información de Fisher, que cuantifica la información que una variable aleatoria
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que representa un observable contiene acerca de un parámetro desconocido. Este concepto
constituye una noción fundamental dentro de la Teoría de la Estimación, y dicha relación ha
permitido revelar el paralelismo entre el proceso de codificación neuronal y el proceso de
estimación de un cierto parámetro a partir de unos datos observables [Brunel and Nadal, 1998;
Liepelt, et al., 2005; Rao, Olshausen and Lewicki, 2002].
Las aplicaciones de la teoría de la información descritas tienen en común el análisis de
sistemas dinámicos cuyos estados cambian con el tiempo. En concreto en el ámbito de la
Neurociencia los sistemas estudiados son los estímulos inducidos sobre las neuronas y las
respuestas evocadas, y por ejemplo en el caso de la codificación por ISI estos últimos sistemas
variarán entre dos estados, ‘espiga’ y ‘no espiga’. Es precisamente esta condición de evolución
dinámica lo que obliga a definir entre los distintos tipos de procesamiento que las neuronas
llevan a cabo, ya que son estos los que determinan la funcionalidad de dichas neuronas dentro
del sistema. Así, aunque hemos hablado genéricamente de procesamiento hemos distinguido
explícitamente entre los distintos tipos de codificación (firing rates, ISI), mecanismos de
procesamiento (filtrado espacial y temporal), amén de otras funciones neuronales básicas como
la detección de coincidencias [Agmon-Snir, et al., 1998; Softky and Koch, 1993] o la integración
de diferentes aferencias sinápticas [Koch and Segev, 2000].
Las medidas de entropía propuestas en este trabajo tienen como objetivo el proporcionar una
forma novedosa de caracterizar la estructura de los árboles dendríticos estudiándolos desde su
capacidad para procesar información. Es evidente, no obstante, que, a diferencia del ámbito
tradicional de aplicación de los conceptos de la teoría de la información, en este caso se trata con
sistemas estáticos, por lo que el abordaje del problema exige un enfoque diferente. La principal
consecuencia conceptual de esto es qué se entenderá por procesamiento y si se establecerá una
distinción entre los distintos tipos al igual que en el caso dinámico. Según se verá cuando se
definan las medidas de entropía (ver Resultados) el concepto de procesamiento de información
empleado aquí es estrictamente matemático, refiriéndose simplemente al procedimiento por el
cual una señal de entrada es transformada en una señal diferente tras su paso por el sistema
considerado, en este caso el árbol dendrítico. Esta transformación abarca todo el espectro de
procesamientos posibles, desde la simple propagación pasiva de la señal introducida a través de
los contactos sinápticos hasta la propia conversión de una entrada (input) continua en una
secuencia de disparos o espigas, pasando por los procesos de diversa complejidad detallados
previamente (detección de coincidencias, filtrado, integración etc.). Todos estos procedimientos
están caracterizados por su funcionalidad, es decir los cambios que se producen sobre la señal
INTRODUCCIÓN Villacorta
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están dirigidos a un tipo de codificación específica, sin embargo el enfoque de este trabajo es
mucho más general y pretende analizar y cuantificar el potencial de tratamiento de la
información sin importar para qué esté destinada dicha información. Es por ello que a lo largo de
este trabajo hemos empleado y emplearemos indistintamente los conceptos de generación,
procesamiento, codificación o tratamiento para referirnos a las transformaciones que los árboles
dendríticos son capaces de inducir sobre las señales de entrada en base a las características
anatómicas, estructurales y de sinaptación asumidas.
2. INTRODUCCIÓN MATEMÁTICA A LA TEORÍA DE LA
INFORMACIÓN
En esta sección presentaremos desde un punto de vista matemático las nociones de la teoría de la
información que han sido empleadas en el desarrollo del presente trabajo. Para exponer estos
conceptos de forma rigurosa consideremos el conjunto de una serie de n eventos diferentes
cuyas probabilidades de ocurrencia son 1 2, , , np p p… , de valores son conocidos. Puesto que
este sistema es puramente aleatorio el acontecimiento o no de un determinado suceso es algo a
priori desconocido, sin embargo sí podemos conocer la incertidumbre en la sucesión de los
eventos, la cual debe depender de los valores de las probabilidades 1
ni i
p=
que definen nuestro
sistema. Supongamos para fijar ideas que tenemos sólo dos eventos posibles A y B con
probabilidades Ap y Bp . La normalización exige que 1B Ap p= − , por lo que en definitiva la
incertidumbre del sistema dependerá sólo de la probabilidad Ap del evento A. En el caso en que
1Ap = sabremos con seguridad que el suceso A será el único que tendrá lugar, con lo que la
incertidumbre será nula, lo mismo que si es el segundo evento el único que puede ocurrir. En el
otro extremo estaría la situación en que ambas probabilidades son iguales (e iguales por tanto a
1/2), en cuyo caso la incertidumbre es intuitivamente máxima ya que ningún evento tiene
preponderancia sobre el otro, con lo cual no podremos estimar con ninguna certeza cuál de ellos
sucederá. Esta es la base conceptual de la incertidumbre, que matemáticamente cristaliza en las
nociones de información y de entropía [Shannon and Weaver, 1949]. Para verlo supóngase ahora
que deseamos utilizar el sistema construido antes para transmitir mensajes4 y admitamos que el
4 Por mensaje nos referimos simplemente a una sucesión de símbolos, sin embargo obsérvese que no le se presupone
ningún contenido semántico; este puede tener o no significado pero eso no afectará a su estructura matemática.
Villacorta INTRODUCCIÓN
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único suceso que tendrá lugar será la ocurrencia del evento A. En ese caso será imposible
componer ningún mensaje a partir de las respuestas del sistema porque dicha respuesta será
siempre la misma, impidiéndonos construir una secuencia de símbolos diferentes (mensaje);
obviamente esto que se repetirá si es el evento B el único que puede darse. Si de nuevo nos
vamos al otro extremo en que ambos sucesos pueden darse con la misma probabilidad,
generando por ejemplo el mensaje (AABABABB…), se concluye intuitivamente que la capacidad
que tendrá el sistema para generar mensajes será máxima. Esto se debe a que al no existir
preponderancia por uno u otro evento no existirá sesgo en la aparición de los diversos símbolos
empleados y por tanto habrá menos limitaciones en cuanto al “número” de mensajes que podrán
crearse; se dirá entonces que en el primer caso ( 1Ap = , 0Bp = ) la información del sistema es
nula mientras que en el último caso la información del sistema compuesto por los dos eventos A
y B será máxima ( 1/ 2A Bp p= = ). Matemáticamente la incertidumbre de cada uno de los eventos
de nuestro sistema en base a su probabilidad se mide por medio de la autoinformación, definida
como el logaritmo negativo de dicha probabilidad,
ln( ) 1, , .i iI p i n= − = … (3)
Si queremos caracterizar a todo el sistema a través de esta medida lo más lógico es calcular el
valor esperado de la autoinformación de todos los eventos que lo componen, lo que dará lugar a
la entropía del sistema, que medirá su información o incertidumbre y que denotaremos por H :
1ln( ).
n
i ii
H p p=
= −∑ (4)
Si retomamos el ejemplo inicial podemos comprobar cuantitativamente lo que se señaló antes
sólo de forma intuitiva. Sea 2n = y las probabilidades Ap y Bp (con la condición de
normalización de modo que 1A Bp p= − ), la entropía vendrá dada entonces por
ln( ) (1 ) ln(1 )A A A AH p p p p= − − − − , cuya representación gráfica frente a Ap , dada en la Figura
2, nos permite apreciar cómo se anula en los extremos de su dominio (intervalo de la
probabilidad del evento A ó [ ]0,1Ap ∈ ), mientras que, como esperábamos, alcanza su máximo
para 1/ 2.A Bp p= = La razón más inmediata por la que se ha caracterizado la entropía por medio
del logaritmo es porque cuando la probabilidad es igual a la unidad el logaritmo se anula, sin
embargo hay razones más sólidas que no sólo aconsejan sino que exigen que la incertidumbre se
describa mediante el logaritmo como son la propiedad de maximización que exige que la
INTRODUCCIÓN Villacorta
16
entropía alcance su máximo cuando las probabilidades implicadas son iguales o la propiedad
aditiva, que exige que una correcta medida de la entropía de dos eventos conjuntos sea menor o
igual que las entropías de cada uno por separado5.
Figura 2. Entropía de un sistema compuesto por dos eventos A y B que aparecen con probabilidades Ap y
(1 )ABp p−= . La máxima incertidumbre se alcanza para 1/ 2A Bp p= = y la incertidumbre es nula para 0Ap =
o 1Ap = .
En la Teoría de la Información existen cuatro tipos fundamentales de sistemas estudiados, 1)
la fuente de información, 2) el transmisor, 3) el canal de transmisión de la información y 4) el
receptor. Para el enfoque entrópico que se empleará de cara el estudio y caracterización de los
árboles dendríticos nos centraremos sólo en el primer tipo, que a continuación se definirá y
caracterizará de forma somera, aunque una descripción más detallada puede verse en [Shannon
and Weaver, 1949].
Una fuente de información discreta se define como un proceso estocástico que produce una
secuencia discreta de símbolos (mensaje) elegidos de un conjunto finito (alfabeto) según una
5 De hecho la definición dada aquí de la entropía no es la más general ya que deberíamos dejar sin fijar las unidades
de los logaritmos empleados. Esto se ha hecho de forma implícita por simplicidad; cuando las unidades se necesiten
se introducirán explícitamente.
Villacorta INTRODUCCIÓN
17
probabilidad característica de cada uno. Si suponemos que el alfabeto considerado está formado
por n símbolos diremos que el sistema está en el estado i ( 1, ,i n∈ … ) cuando genera el
símbolo denotado también por i , de manera que ip designará la probabilidad de que el sistema
esté en dicho estado. El otro factor que caracteriza la estructura estadística de la fuente de
información es la probabilidad de transición entre dos estados i y j denotada por ( )ip j o
probabilidad de que al símbolo i le siga el símbolo j . Para desarrollar mejor este concepto
consideremos como ejemplo de fuente discreta a nuestro propio idioma. Cualquier mensaje que
formemos lo haremos a partir de símbolos tomados del alfabeto latino y secuenciados a partir de
las reglas gramaticales del castellano, que delimitarán las probabilidades 1
ni i
p=
, aunque en la
práctica vendrán dadas por la frecuencia con que cada letra o símbolo aparece en un mensaje en
español. Sin referirnos a valores concretos de las 1
ni i
p=
es obvio que la probabilidad de que
aparezca una a será mayor que la de que lo haga una c y la de ambas serán mayores que la
probabilidad de que en el mensaje surja una x. De igual modo si consideramos las probabilidades
de transición entre la a y los otros símbolos c y x, tendremos que ( ) ( )a ap c p x> de acuerdo con
nuestra experiencia, que nos indica que en textos escritos en castellano el par ac es más frecuente
que el par ax. Obsérvese que puede igualmente considerarse que los estados en los que puede
estar el sistema (símbolos) son no ya las letras sino las propias palabras (en cuyo caso el alfabeto
estaría definido por el contenido del diccionario español), sin que cambie la estructura
matemática que describe al sistema. Por último del mismo modo en que las probabilidades de
transición ( )ip j condicionan el estado en que puede estar un sistema (símbolo j a generar) en
base al estado previo en el que estaba (símbolo i ), los estados futuros que el sistema puede
alcanzar pueden depender de más de uno de los estados anteriores (memoria), definiéndose así
probabilidades del tipo , ( )i kp j que subordinan la aparición del símbolo j a los símbolos i y k
previos. Por ejemplo en castellano una vez ha aparecido la secuencia de letras qu será más
probable que el siguiente símbolo sea una e que una i, mientras que ( ) 0qup u = ya que en español
no existe ninguna palabra que contenga la secuencia quu. Dichas probabilidades condicionadas
de diversos órdenes constituirían las denominadas series de aproximación al castellano ya que a
medida que cada letra se vaya escogiendo en función a las letras anteriores de acuerdo a las
probabilidades de nuestro idioma más familiares nos irán resultando los mensajes generados
aleatoriamente por un sistema definido a partir esas probabilidades.
INTRODUCCIÓN Villacorta
18
Consideremos entonces una fuente discreta de información con un número n finito de
estados. Para cada posible estado i habrá una serie de probabilidades 1( ) n
i jp j
= de que el
sistema transite al estado j , es decir de que el siguiente símbolo creado sea el j , lo que implica
que para cada uno de esos estados iniciales la fuente tendrá una entropía iH dada por
1
( ) ln( ( ))n
i i ij
H p j p j=
= −∑ (5)
de manera que promediando entre todos los estados i posibles podremos definir la entropía H
de la fuente, cuya expresión será
1 1 1
( ) ln( ( )),n n n
i i i i ii i j
H p H p p j p j= = =
= = −∑ ∑ ∑ (6)
donde ip es la probabilidad de que el sistema esté en el estado i . Puesto que la entropía iH da la
medida de la incertidumbre para cada estado o símbolo i , su promedio H da la entropía de la
fuente por símbolo. Si nuestra fuente de información trabaja en el orden más bajo de
aproximación los estados del sistema no estarán correlacionados entre sí, de forma que la
generación de un cierto símbolo no condicionará la aparición de ningún otro; los símbolos
pueden considerarse pues independientes, con lo que empleando la notación habitual para las
probabilidades condicionadas:
( ) ( ) ( )( ) ( | ) ( )( ) ( )i
p j i p j p ip j p j i p jp i p i∩
≡ = = = .
Esta expresión da la probabilidad de aparición del símbolo j después de que aparezca el símbolo
i. Sustituyendo entonces en la expresión (6) de la entropía H de la fuente concluimos que
1
1
1 1 1 1 1
( ) ln( ( )) ( ) ln( ( )) ( ) ln( ( ))
n
ii
pn n n n n
i ii j j i j
H p p j p j p j p j p p j p j=
=
= = = = =
∑= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,
que se puede escribir como
1 1( ) ln( ( )) ln( ).
n n
i ii i
H p i p i p p= =
= − = −∑ ∑ (7)
Villacorta INTRODUCCIÓN
19
Esta será la expresión central en este trabajo puesto que los símbolos que aquí se manejarán
serán considerados independientes entre sí.
Supongamos ahora dos sistemas aS y bS que pueden alcanzar respectivamente los estados
1
ni i
a=
y 1
mk k
b=
con probabilidades respectivas 1
ni i
p=
y 1
mk k
q=
. Si estos sistemas son
independientes, es decir el estado en el que cada sistema esté no depende del estado del otro, se
tiene que la probabilidad de que aS esté en ia y bS esté en kb viene dada por el producto i kp q ,
en cuyo caso la entropía conjunta de aS y bS se escribirá como
, , ,
1, 1 1, 1 1, 1 1 1
1
( , ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( )n m n m n m n m
a b i k i k i k i i k k i i ki k i k i k i k
H S S p q p q p q p p q q p p q= = = = = = = =
= − = − − = − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑
1 1 1 1
1
ln( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ).n m n m
i k k i i k k a bi k i k
p q q p p q q H S H S= = = =
− = − − = +∑ ∑ ∑ ∑ (8)
Esto demuestra que la entropía conjunta de dos sistemas independientes es igual a la suma de las
entropías correspondientes a cada sistema.
3. LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS
3.1. INTRODUCCIÓN MORFOLÓGICO-FUNCIONAL AL ÁRBOL DENDRÍTICO
Las neuronas son células especializadas en la generación, recepción, conducción, procesamiento
y transmisión a otras células (principalmente, pero no solo, otras neuronas) de señales eléctricas
y electroquímicas que, agrupadas en complejas estructuras circuitales, los sistemas nerviosos,
permiten a los organismos biológicos analizar su entorno y tomar decisiones críticas para su
supervivencia. Estas células están compartimentadas básicamente en tres estructuras morfológica
y funcionalmente diferenciadas, las dendritas, el cuerpo celular o soma y el axón. Las dendritas
se organizan en estructuras ramificadas denominadas ‘árboles dendríticos’ cuya misión es la de
recibir señales provenientes de otras neuronas, realizar sobre ellas un primer procesamiento y
conducir las señales resultantes hacia el soma. El soma está encargado fundamentalmente del
soporte vital de toda la célula, aunque de hecho interviene también en el tratamiento de la señal,
puesto que en él convergen los troncos de origen de los árboles dendríticos, pudiendo además
INTRODUCCIÓN Villacorta
20
recibir él mismo contactos sinápticos [Jones and Peters, 1990; Kandel, Schwartz and Jessell,
2000]. Por último el axón surge del soma recogiendo las señales que este ha integrado, para
llevarlas hacia células diana, como serían otras neuronas, fibras musculares, paredes de vasos
sanguíneos o células glandulares [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000].
Una forma de clasificación funcional de las neuronas es su división en tres tipos según si su
papel principal es 1) el de conducir la información sensorial desde la periferia al SNC (neuronas
sensoriales), 2) el de enviar órdenes a los músculos o glándulas (neuronas efectoras), o 3) si,
como ocurre a la gran mayoría de las neuronas en los vertebrados, son responsables del
procesamiento complejo de la información entre ambos polos de entrada y salida de señales del
SNC [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. Dentro de este último tipo podemos a su vez
distinguir dos subtipos fundamentales en base principalmente al tipo de disposición de sus
axones y a la localización de las neuronas sobre las que proyectan. Si estas últimas se encuentran
en un entorno cercano a la neurona, esta se denomina neurona de axón corto, interneurona local
o simplemente interneurona, y la mayoría de ellas se caracterizan por su carácter inhibitorio, es
decir por inhibir o reducir la variación en el voltaje de membrana de las neuronas sobre las que
sinapta. Debido a la cercanía de las células diana los axones de la mayoría de las interneuronas
del SNC conducen las señales por medio de propagación pasiva, sin embargo existen
interneuronas que se comunican por medio de disparos o espigas, presentes mayoritariamente en
las estaciones iniciales de integración de las entradas sensoriales en diversas especies
[Kawaguchi, 1993; Nagayama, et al., 1993; Newland, 1999; Siegler and Burrows, 1983]. El otro
tipo de neurona es aquel que contacta con otras células situadas en áreas más lejanas y se
denominan neuronas de proyección; para conducir las señales de manera eficaz estas neuronas
emplean propagación axónica activa por medio de trenes de espigas, que además de incrementar
considerablemente la velocidad con que se transmite la respuesta, impiden que la intensidad de
ésta decaiga con la distancia [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000].
En este trabajo nos hemos centrado en los árboles dendríticos por ser las estructuras
principales en el procesamiento de la información a nivel neuronal. La disposición de las
dendritas presenta múltiples patrones, algunos de los cuales son muy reveladores de las
conexiones y funciones que soportan, como es el caso de las neuronas piramidales de la corteza
cerebral y el hipocampo, o las células de Purkinje del cerebelo [Ito, 1984; Jones and Peters,
1990; Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. La situación es algo menos clara para las
interneuronas, que, mostrando una gran variedad de tipos de arborización dendrítica (bipolares,
bipenachadas, en arbusto, neurogliaformes...), se les ha atribuido una difícil correlación de tales
Villacorta INTRODUCCIÓN
21
tipos dendríticos con las funciones que juegan [Jones and Peters, 1990], mientras que tales
correlaciones estructura-función serían más evidentes cuando se tiene en cuentan la disposición
de sus axones (células en candelabro, en cesto, etc.) [Jones and Peters, 1990; Kandel, Schwartz
and Jessell, 2000].
Figura 3. Izquierda: neurona piramidal de corteza parietal de rata teñida mediante la técnica de Golgi. Centro: célula
de Purkinje. Derecha: interneurona del hipocampo. Ambas han sido marcadas con EGFP-f (Enhanced Green
Fluorescent Protein).
Desde un punto de vista estrictamente descriptivo los árboles dendríticos comparten muchas
similitudes estructurales con el soma del que nacen, estando sustentados por un citoesqueleto de
microtúbulos y filamentos que llevan a cabo una misión tanto de conformación estructural como
de transporte intracelular y otras funciones metabólicas [Hillman, 1979; Kandel, Schwartz and
Jessell, 2000], y limitados por una membrana celular que les confiere sus propiedades para el
procesamiento de las señales electroquímicas y, por tanto, de la información [Koch, 1999]. La
membrana dendrítica separa dos medios conteniendo cada uno distintas concentraciones de
diversas especies iónicas; esta diferencia en las concentraciones genera una diferencia de
potencial eléctrico que puede variar con el intercambio iónico a través de estructuras
transmembrana específicas denominadas canales iónicos. Es mediante esta variación de
potencial como el árbol dendrítico transmite y genera información a partir de señales recibidas de
otras neuronas, que son introducidas en las dendritas por medio de sinapsis. Las sinapsis son de
dos tipos, eléctricas y químicas. Las primeras se forman al entrar en contacto directo las
INTRODUCCIÓN Villacorta
22
membranas pre y postsinápticas, y en ellas la información se intercambia por el trasvase iónico
directo. Por otro lado en las sinapsis químicas, las más extendidas, las membranas pre y
postsinápticas están separadas por un espacio extracelular, el espacio sináptico, y la transmisión
de información se realiza mediante la difusión de neurotransmisores a través de dicho espacio
sináptico que al entrar en contacto con la membrana postsináptica activan canales específicos.
Estos canales alteran el potencial de membrana formando los llamados potenciales
postsinápticos, que pueden ser excitatorios (EPSP) o inhibitorios (IPSP), en los cuales quedan
codificadas las señales presinápticas [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. Desde el punto de
vista del procesamiento de la información las diferencias entre estos dos tipos de sinapsis son
críticas, fundamentalmente por sus consecuencias sobre la dinámica de grandes circuitos
neuronales.
Las sinapsis que pueden formarse sobre los árboles dendríticos provienen generalmente de
terminales axónicos (sinapsis axo-dendríticas), pudiendo ser tanto excitatorias como inhibitorias,
sin embargo también es posible la formación de contactos sinápticos con otras dendritas vecinas
por medio de sinapsis químicas (sinapsis dendro-dendríticas)[Steriade, et al., 1997]. Las sinapsis
axo-dendríticas pueden establecerse sobre el propio tronco o segmento dendrítico, o sobre
estructuras características denominadas espinas [Stuart, et al., 1999] que tienen una función
específica sobre el procesamiento de la señal recibida [Koch, 1999]. La distribución de espinas a
lo largo del árbol dendrítico es una característica clave en su caracterización morfológica y varía
ampliamente entre los diversos tipos neuronales descritos en las diversas áreas del SNC [Jones,
1975; Jones and Peters, 1990; Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Steriade, Jones and
McCormick, 1997].
Una última propiedad a destacar de las dendritas es el tipo de conducción que siguen las
señales propagadas en su seno. En su mayoría los árboles dendríticos conducen de forma pasiva
las señales procedentes de la actividad sináptica, los EPSP o IPSP. En estas condiciones el
potencial postsináptico se desplaza a medida que las zonas dendríticas vecinas se van viendo
afectadas por el campo eléctrico, de manera que se trata de un proceso disipativo en el que la
señal va degradándose a medida que avanza. Esta clase de conducción es biológicamente
admisible cuando las distancias a recorrer por los potenciales postsinápticos son pequeñas, como
ocurre en general en las dendritas, sin embargo cuando estas distancias son demasiado grandes se
emplea la estrategia de la propagación activa, en la que la señal se transforma en variaciones
bruscas del potencial de membrana alimentadas de forma activa por los mecanismos de
membrana, evitando así que se degrade en su desplazamiento. A pesar de que este tipo de
Villacorta INTRODUCCIÓN
23
conducción es propia de los axones también se han observado árboles dendríticos que hacen uso
de espigas lentas de calcio para propagar la información, y a veces incluso de espigas de sodio
montadas sobre las de calcio [Bush and Sejnowski, 1991; Llinas, et al., 1968; Reyes, 2001].
Según se verá en la exposición sobre las medidas entrópicas propuestas para la caracterización de
los árboles dendríticos (sección Resultados), el tipo de propagación dendrítica que se asuma en
cada caso es crítico para adecuar correctamente la capacidad como fuentes de información de los
árboles estudiados a su realidad biológica. En el presente trabajo se asumirá que la propagación
dendrítica de las señales postsinápticas es estrictamente pasiva.
3.2. DESCRIPCIÓN TOPOLÓGICA DE LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS
Una parte substancial de esta Tesis está dedicada al análisis de la capacidad de los árboles
dendríticos para comportarse como fuentes generadoras de información en base a sus
características topológicas. En lo sucesivo entenderemos por topología dendrítica, al compendio
de las características del árbol que atañen a su forma y no a sus medidas (longitud, diámetro,
tortuosidad, orientación, etc.). Las propiedades que aparecen bajo este enfoque son el número de
terminales, el número de nodos de bifurcación6, el orden de sus segmentos, su asimetría, su
complejidad, etc. La ventaja del abordaje topológico es que prescinde de aspectos que
inicialmente podrían ser espurios, puesto que dos árboles dendríticos pueden ser muy distintos de
visu y contener una estructura topológica equivalente, lo que les otorgaría a este nivel idénticas
propiedades, pudiendo suceder que sus diferentes propiedades morfométricas aportasen sólo
matices menores al procesamiento de la información.
La Figura 4 muestra un ejemplo de representación topológica de dos árboles dendríticos con
distinta morfometría (Figura 4.a y 4.b) pero con la misma topología. En la Figura 4.c se detalla la
estructura topológica de ambos árboles, acompañando cada segmento terminal con su distancia
hasta el segmento raíz; está distancia se mide en número de segmentos intermedios y se
denomina orden centrífugo o simplemente orden. Este parámetro es, junto con el número de
segmentos terminales o grado, uno de los descriptores centrales de la topología dendrítica.
6 Como es habitual en la literatura, y reflejando la inmensa mayoría de las situaciones reales, únicamente
consideraremos que las divisiones de un segmento dendrítico producen dos ramas ‘hijas’.
INTRODUCCIÓN Villacorta
24
Figura 4. Representación topológica de los árboles dendríticos. Los árboles a y b a pesar de ser morfométricamente
diferentes tienen la misma estructura topológica, mostrada en c. En la representación topológica cada rama
dendrítica se presenta como un segmento de igual tamaño, con independencia de su longitud y grosor originales,
bifurcándose según el mismo ángulo. Los diferentes subárboles topológicos se disponen según la ordenación
canónica: en cada nodo de bifurcación se sitúa a la derecha el subárbol con mayor número de segmentos terminales
de mayor orden. Los números junto a cada segmento terminal indican su orden, es decir su distancia hasta el
segmento raíz medida en número de segmentos intermedios.
En la representación topológica los segmentos se trasforman en líneas de igual tamaño
bifurcadas en el mismo ángulo, dando lugar a una estructura homogénea ordenada de modo que
en cada nodo de bifurcación se deja a la derecha el subárbol con mayor número de terminales de
mayor orden; esta disposición se denomina ordenación canónica.
La descripción topológica de los árboles dendríticos hace pensar en la posibilidad de una
descripción matemática relativamente sencilla. Esto se hará de dos formas complementarias, la
primera a través de las particiones [Harding, 1971; Van Pelt and Verwer, 1986] y la segunda por
medio de una notación novedosa denominada vectores-orden [Villacorta, et al., 2007]. Siguiendo
la literatura, denominaremos grado del árbol dendrítico al número de segmentos terminales que
posee dicho árbol y dado un segmento (tanto intermedio como terminal) nos referiremos al orden
del segmento cuando hablemos de la distancia topológica entre él y el segmento raíz o inicial
( número de segmentos intermedios 1+ ). Asumiendo la bifurcación como el único proceso de
ramificación presente en nuestros árboles dendríticos (y descartando entonces la existencia de
trifurcaciones [Verwer and van Pelt, 1986]), un árbol de grado n tendrá pues 1n − segmentos
Villacorta INTRODUCCIÓN
25
intermedios y 1n − nodos de bifurcación. Por ejemplo el árbol de la Figura 4.c es de orden 9, con
8 nodos, dos segmentos terminales de orden 2, dos de orden 3, tres de orden 4 y dos de orden 5.
En cada nodo de bifurcación consideramos el subárbol dendrítico que surge de él, cuyas
ramas izquierda y derecha tienen r y s extremos terminales respectivamente. Para dicho árbol
definimos entonces el par ( , )r s que denominaremos partición, siendo r s+ el grado de la
partición. Si continuamos este esquema con cada subárbol que compone el árbol inicial se llega a
una secuencia de particiones que definen completamente la estructura topológica del árbol
dendrítico [Harding, 1971]. Retomando el ejemplo de la Figura 4.c, al nodo del segmento raíz le
corresponde una partición (3,6) , mientras el árbol de la izquierda, de grado 3 (en trazo grueso),
se representará por la secuencia de particiones (1,2)(1,1) correspondientes cada una a cada nodo
en orden ascendente. Por su parte el árbol de la derecha, de grado 6 (trazo fino), estará descrito
por la secuencia (1,5)(2,3)(1,1)(1,2)(1,1) , de forma que la secuencia de particiones final para el
árbol estudiado será (3,6)(1,2)(1,1)(1,5)(2,3)(1,1)(1,2)(1,1) . Esta descripción es la forma empleada
en la literatura para la caracterización topológica de los árboles dendríticos, sin embargo aquí
adoptaremos una estrategia más sencilla que permitirá una notación más cómoda y útil para el
siguiente análisis. El enfoque se basa en fijarnos sólo en los órdenes de los extremos terminales y
en disponerlos ordenados de izquierda a derecha siguiendo la ordenación canónica;
denominaremos a este tipo de secuencia vector-orden. Por ejemplo, el árbol de la Figura 4.c
vendrá descrito por el vector-orden [2,3,3,2,4,4,4,5,5]v = . Este vector-orden define
biunívocamente la topología de los correspondientes árboles.
En conclusión, hemos mostrado cómo tanto morfológicamente como funcionalmente los árboles
dendríticos están diseñados para el procesamiento de información (en la acepción general
discutida anteriormente). Esto induce a pensar que el lenguaje más adecuado para caracterizar a
estas estructuras neuronales es el propuesto por la teoría de la información, que describe de
forma abstracta (y entre otras cosas) las propiedades de un sistema para generar, transmitir y/o
codificar información. Hasta hoy este abordaje se había llevado a cabo con las señales generadas
por las neuronas, pero no con las neuronas en sí. Para dar este paso, este trabajo se ha
fundamentado en el concepto básico de entropía, definiendo diferentes tipos de medidas en base
a las características dendríticas consideradas necesarias para el procesamiento. Las virtudes de
estas medidas para caracterizar cuantitativamente a los árboles dendríticos como fuentes de
información han sido analizadas teórica y experimentalmente, revelándose su gran versatilidad y
INTRODUCCIÓN Villacorta
26
capacidad descriptiva tanto a nivel conceptual como experimental. Estos resultados indican que
las medidas de entropía propuestas podrían constituir una herramienta idónea para conectar
eficazmente aspectos teóricos, funcionales y biológicos relevantes en Neurociencia.
Villacorta OBJETIVOS
27
OBJETIVOS
OBJETIVOS Villacorta
28
Villacorta OBJETIVOS
29
El presente trabajo tiene como fin el proponer y estudiar unas nuevas medidas basadas en la
entropía, que permitan caracterizar a los árboles dendríticos según su capacidad de
procesamiento de la información. Esto se lleva a cabo a través de una serie de objetivos bien
delimitados.
1. Descripción de los árboles dendríticos como fuentes de información por medio de los
conceptos propios de la teoría de la información. Tras finalizar el proceso de desarrollo
de la neurona, y para lo que será la mayor parte del ciclo vital del individuo, estos
componentes neuronales son básicamente estáticos, es decir no varían sensiblemente con
el tiempo, contrariamente a los sistemas sobre los que tradicionalmente se aplica la teoría
de la información.
2. Definición conceptual de las medidas de entropía destinadas a cuantificar la capacidad de
procesamiento de estas estructuras dendríticas. Se expone el proceso de generación de
este tipo de medidas, mostrándose su generalidad y versatilidad.
3. Desarrollo de las medidas entrópicas en diferentes niveles descriptivos concretos, según
las características de los árboles que en cada nivel se asume que influyen sobre el
procesamiento de la información. Se plantean básicamente dos niveles, el topológico
(Entropías de 1er y 2º Nivel) y el morfológico (Entropía de 3er Nivel).
4. Estudio teórico de las medidas de entropía a nivel topológico y de sus profundas
conexiones con la estructura topológica del árbol dendrítico. Esto demostrará lo natural
de las medidas propuestas para describir las estructuras dendríticas.
5. Aplicación de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel a la caracterización funcional de árboles
dendríticos reales pertenecientes a dos poblaciones neuronales diferentes de la principal
vía táctil cefálica de la rata, la vía lemniscal trigeminal, situadas en el núcleo sensitivo
principal del trigémino (neuronas de proyección trigémino-talámicas) y en la corteza
somatosensorial (interneuronas inhibitorias que expresan calretinina). Estas poblaciones a
su vez son estudiadas en grupos de animales sometidos a distintas circunstancias
experimentales de estimulación sensorial.
OBJETIVOS Villacorta
30
6. El estudio de dichas poblaciones neuronales con las medidas entrópicas propuestas tiene
como objetivo el comprender cómo las diversas condiciones sensoriales externas influyen
sobre la capacidad de procesar información de los árboles dendríticos y sobre el flujo de
información propio de la vía lemniscal.
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
31
MATERIALES Y MÉTODOS
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
32
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
33
El trabajo que aquí se presenta tiene una naturaleza esencialmente teórica por lo que la
descripción de los materiales ha de ser necesariamente breve, limitándose a una descripción de
los procedimientos experimentales seguidos para obtener las descripciones de los árboles
dendríticos reales sobre los que se ha testado la validez y capacidades de las medidas de entropía
desarrolladas. No obstante, los métodos aquí empleados tiene una importancia capital por
permitir estudiar teóricamente las características de estas medidas en las condiciones deseadas
sin necesidad de recurrir a poblaciones neuronales experimentales. Por ello nos centraremos
especialmente en la exposición detallada de los modelos matemáticos que en la actualidad mejor
describen las características topológicas de los árboles dendríticos, y a los que nos referiremos
reiteradamente en las secciones sucesivas.
1. MÉTODOS TEÓRICOS
En la actualidad el desarrollo de nuevos métodos estereológicos y de reconstrucción y análisis de
la morfología neuronal más precisos y menos costosos ha permitido una matematización eficaz
de los procesos que a nivel celular controlan el desarrollo de las ramificaciones que conforman
los árboles dendríticos y axónicos, y cuyas características son determinantes en la funcionalidad
de las neuronas por ser en ellos donde se recoge y procesa la información. A raíz de esta
situación se han desarrollado diversos modelos matemáticos que describen, con mayor o menor
éxito, los esquemas de ramificación observados experimentalmente en diferentes poblaciones
neuronales del sistema nervioso [Carriquiry, et al., 1991; Dityatev, et al., 1995; Kliemann, 1987;
Uemura, et al., 1995; Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt, et al., 1997]. La característica
común a todos ellos es que tienen un importante componente probabilístico; la ramificación de
segmentos concretos del árbol (dendrítico o axónico) está controlada por una probabilidad
determinada a su vez por ciertos parámetros que tienen reflejo en características biológicas de las
neuronas descritas, De esta forma son esas características las que, en última instancia, gobiernan
los rasgos topológicos y morfométricos de las dendritas y axones.
Por otro lado la diferencia esencial entre unos y otros modelos de crecimiento es la estructura
analítica de dicha probabilidad y de los parámetros en los que se basa, tanto en cuanto a su
dependencia como en lo que a sus correlatos biológicos se refiere. A pesar de que estas
diferencias son de gran importancia a la hora de decantarse por el modelo a usar, el aspecto
prioritario en la decisión es la fidelidad con que el modelo describe los fenómenos de
ramificación dendrítica y axónica observados en la realidad.
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
34
De los modelos de crecimiento dendrítico propuestos en la literatura, el más ventajoso en
cuanto a sencillez matemática y a los resultados que proporciona es el modelo BES desarrollado
por Van Pelt y cols. desde los años ochenta. Este modelo parte de la premisa según la cual la
ramificación es de tipo binario (bifurcación) y depende de dos características del árbol
dendrítico, el número de segmentos terminales, denominado grado, y la posición del segmento
sobre el que se puede producir la bifurcación con respecto a los segmentos de los que proviene,
llamado orden. [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van
Pelt, Dityatev and Uylings, 1997]. En los primeros trabajos se planteó sólo la variabilidad en la
topología de los árboles dendríticos7 describiendo la probabilidad de que apareciera una
determinada configuración dendrítica asociada a un grado o número de extremos terminales
dado, con la intervención de dos parámetros, denotados por S y Q [Van Pelt and Verwer, 1986].
Posteriormente se demostró que en la mayoría de los casos el parámetro Q era superfluo
[Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt, et al., 1992];
a este modelo inicial se le denominó modelo S.
La variabilidad topológica de los árboles dendríticos descrita por el modelo S presupone un
número fijo de segmentos terminales [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and
Clamann, 1995], de manera que en términos matemáticos proporciona la probabilidad de una
determinada configuración de terminales condicionada a un grado concreto, que denotaremos
por n; el valor que pueda tener esta característica tiene también una base probabilística, descrita
por el modelo BE. Este modelo proporciona la distribución estadística de los grados en base a
dos parámetros B y E que controlan la probabilidad de que en un determinado paso del desarrollo
dendrítico el árbol posea n segmentos terminales. Tenemos así definidos matemáticamente los
dos aspectos fundamentales de la topología de un árbol dendrítico: su ‘tamaño’ topológico, dado
por el número de segmentos que lo conforman8, y su complejidad de ramificación9, regulados
respectivamente por los parámetros B y E, y por el parámetro S.
7 Por topología de los árboles dendríticos entenderemos las características estructurales del árbol cuando no se
consideran sus cualidades métricas, como longitudes, grosores, áreas o superficies cubiertas, etc.; se supone que
todos sus segmentos tienen la misma longitud y sus ángulos de ramificación son iguales, de manera que dos árboles
dendríticos con la misma estructura de ramificación se consideran iguales a pesar de que sus dimensiones sean
diferentes.
8 Obsérvese que si se presupone que la ramificación sucede sólo a partir de bifurcaciones el número de segmentos
total del árbol dendrítico está directamente relacionado con el número de segmentos terminales o grado.
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
35
1.1. Modelo BE.
El modelo BE fue introducido por Van Pelt y cols. [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997] para
describir las distribuciones estadísticas del número de segmentos terminales observadas
experimentalmente al reconstruir computacionalmente árboles dendríticos pertenecientes a
diversas poblaciones neuronales. Como se ha comentado anteriormente el modelo BE asume la
ramificación como un proceso puramente estocástico, donde la probabilidad de que un
determinado segmento terminal se bifurque depende, entre otras cosas, del número de segmentos
terminales ya existentes (grado) y de los valores de ambos parámetros B y E. Se supone además
que la ramificación tiene lugar durante una secuencia de eventos temporales que denominaremos
time-bins10. Si establecemos un número máximo N de time-bins y denotamos por in al grado o
número de segmentos terminales en el time-bin i-ésimo la probabilidad de bifurcación vendrá
dada por
( )i i Ei
Bp p nNn
≡ = . (9)
La significación de los parámetros B y E puede estudiarse aislando los comportamientos
resultantes de dar diferentes valores a cada parámetro. Si fijamos E a cero, la ecuación (9) nos
dice que iB Np= , es decir que en esas condiciones B representa el número esperado de
ramificaciones de un único segmento terminal a lo largo del proceso de crecimiento
(representado a su vez por los N time-bins). El parámetro E añade a la probabilidad una
dependencia modulada por el número de segmentos terminales que hay en cada momento, de
forma que a un mayor valor suyo más fuerte es, en el time-bin i, la influencia del grado sobre la
probabilidad y menos probable van siendo las bifurcaciones posteriores. Si nos centramos en
todo el árbol, el número de ramificaciones de segmentos terminales esperado por cada time-bin i
vendrá dado por 1 /Ei i in p Bn N−= , con lo que a medida que E se va aproximando a uno más va
disminuyendo el número de bifurcaciones promedio. Esta influencia de los parámetros B y E
9 No definiremos rigurosamente qué entenderemos por “complejidad de ramificación”. Aunque se podría desarrollar
una definición en términos puramente topológicos o basados en teoría de grafos nos limitaremos aquí a dejar el
término en su concepto más intuitivo.
10 Los time-bins son intervalos entre sucesos consecutivos establecidos artificialmente aunque relacionados con
secuencias temporales reales [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997], sin embargo esto no será de interés para
nosotros.
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
36
sobre las características probabilísticas de los eventos de bifurcación revela la relación entre
dichos parámetros y la distribución estadística del grado, como se muestra en [Van Pelt, Dityatev
and Uylings, 1997]. Esta relación permite determinar los valores de B y E asociados a
poblaciones neuronales reales a partir de la media y desviación típica del número de segmentos
terminales dendríticos presentes en las distribuciones muestrales, obtenidas a su vez por medio
de reconstrucción computacional.
La importancia añadida del enfoque dado por el modelo BE es que es posible dar un reflejo
biológico de los parámetros B y E en términos de conceptos comunes a las teorías
neurobiológicas de desarrollo y crecimiento. Ya se ha visto cómo el parámetro B es equivalente
al número esperado de bifurcaciones cuando no existe influencia por parte del otro parámetro, de
forma que valores mayores de B implican una mayor probabilidad ‘pura’ de ramificación (sin
modulación de ningún tipo), lo que podría estar asociado a características de origen genético,
propias del tipo concreto de neurona. Por su parte el parámetro E ‘matiza’ la probabilidad de
bifurcación en función de los segmentos terminales ya existentes, disminuyendo las
ramificaciones esperadas a medida que el árbol se va desarrollando. Esto indica que este
parámetro podría estar asociado a competencia entre los conos de crecimiento por el espacio
disponible o por alguna sustancia crítica para el crecimiento presente en el medio [Granato and
Van Pelt, 2003; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997; Van Pelt, et al., 2000].
La suposición de la ramificación como bifurcación permite simplificar considerablemente la
forma de las ecuaciones iterativas que definen el modelo BE [Van Pelt, Dityatev and Uylings,
1997]. En cada time-bin sólo existen dos posibilidades: o el segmento terminal se bifurca o se
mantiene sin ramificar (en caso de admitir trifurcación existirían tres eventos posibles,
bifurcación, trifurcación o no hay ramificación), de manera que la distribución probabilística que
nos atañe es la distribución binomial [Martín-Andrés and Luna del Castillo, 1990]. La expresión
(9) nos da la probabilidad de que un segmento terminal se ramifique dentro de un time-bin i, sin
embargo su dependencia del número de segmentos terminales in implica que sobre el
crecimiento del árbol influyen los eventos de bifurcación anteriores, es decir que en cada paso es
necesario incluir lo ocurrido hasta entonces. Esto se traduce en ecuaciones de recurrencia para
obtener la probabilidad ( , )P n i de que en el bin i-ésimo el grado del árbol sea igual a n; si
consideramos la opción de que en un árbol de grado n-1 se ramifique sólo uno de los segmentos
terminales debemos multiplicar la probabilidad de que esto ocurra (ecuación (9) con
( ) ( 1)ip n p n= − ) por la probabilidad de que no ocurra en ninguno de los 2n − segmentos
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
37
terminales restantes (dada por ( ) 21 ( 1) np n −− − ). Si consideramos ahora la bifurcación de j
segmentos terminales el razonamiento es idéntico añadiendo las combinaciones en que se pueden
ordenar j elementos de un total de n-j (coeficiente binomial). Cada uno de estos factores se ha de
multiplicar por la probabilidad de que en el bin anterior i-1 el árbol tuviese n-j segmentos
terminales, con j = 0, 1,…, [ / 2]n , donde por [ / 2n ] denotamos la parte entera del número
decimal / 2n . Se concluye entonces que la probabilidad de que el árbol tenga grado igual a n
en el time-bin i se puede calcular a partir de la expresión recurrente
[ ] [ ][ / 2]
2
0
( , ) ( , 1) ( ) 1 ( )n
j n j
j
n jP n i P n j i p n j p n j
j−
=
− = − − − − −
∑ (10)
donde (1,1) 1P = y ( ,1) 0P n = para 2n ≥ .
La distribución estadística de los grados aportada por el modelo BE ha sido comprobada
comparándola con las distribuciones correspondientes a poblaciones neuronales reales
reconstruidas experimentalmente [Granato and Van Pelt, 2003; Van Pelt and Uylings, 2002; Van
Pelt and Schierwagen, 2004; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997; Van Pelt, Van Ooyen and
Uylings, 2000]. A partir de la relación entre los parámetros del modelo y la media y desviación
típica de la distribución muestral se obtienen los valores de B y E o bien gráficamente a partir de
la figura 7 de [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997] ([Van Pelt, Van Ooyen and Uylings, 2000])
o bien mediante otros métodos [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and
Clamann, 1995; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997]; introduciendo entonces dichos valores
en el modelo BE se calculan las distribuciones teóricas y se cotejan con las experimentales. Este
procedimiento se ha llevado a cabo con muestras procedentes de diversos tipos de neuronas (lo
que equivale a diferentes valores de los parámetros B y E) y los resultados muestran un excelente
acuerdo entre lo predicho por las ecuaciones (10) y las distribuciones reales, lo que, junto con la
sencillez de su estructura matemática y a la significación biológica de los parámetros que
intervienen, hacen del modelo BE una muy factible descripción teórica del proceso de desarrollo
de los árboles dendríticos en lo que a su tamaño, en términos de número de segmentos, se refiere.
1.2. Modelo S.
Dentro de los diferentes tipos topológicos de árbol dendrítico con grado n fijo que pueden
desarrollarse, el que uno de ellos aparezca con más frecuencia que otro obedece a características
propias de cada tipo de neurona, cuya descripción matemática plantea el modelo S [Van Pelt and
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
38
Verwer, 1986]. Las premisas básicas de este modelo consisten en distinguir dos tipos de
segmentos dendríticos capaces de ramificar, los segmentos terminales y los segmentos
intermedios, cada uno con su propia probabilidad de ramificación denotadas por tp y ip
respectivamente. Según este modelo dichas probabilidades vienen dadas por
1 2
1 21
St
Si
pC
QpC Q
γ
γ
−
−
=
= −
(11)
donde C es la constante de normalización que garantiza que la ramificación del árbol dendrítico
se produzca en uno de los dos tipos de segmentos (y sólo en uno cada vez), mientras que el
parámetro γ refleja cómo depende la probabilidad de ramificación del orden del segmento
bifurcado. Se define el orden de un segmento dendrítico como el número de segmentos que hay
entre él y el segmento raíz. Como se deduce de las expresiones anteriores el parámetro Q
representa la relación entre ambas probabilidades.
Para desarrollar el modelo se introduce el concepto de partición asociada al árbol dendrítico
[Van Pelt and Verwer, 1986], que lo describe a partir del número de segmentos terminales que
tiene a cada lado de cada uno de sus nodos (Figura 5.a). De esta manera un determinado árbol
viene dado por una secuencia de pares que corresponden a las particiones asociadas a sus nodos
de bifurcación; por ejemplo el único árbol de grado dos vendrá dado por la partición [1,1],
mientras que el único árbol de grado tres vendrá representado por la secuencia canónica
[[1,2],[1,1]] , denotando que según se asciende desde el segmento raíz el primer nodo tiene a su
izquierda un solo segmento mientras que a su derecha tiene un subárbol de grado dos, al que
corresponde la partición [1,1]. A partir de la secuencia de particiones asociada al árbol se
obtienen las probabilidades de que aparezca cada posible tipo de partición, que dependen como
es lógico de las probabilidades de las particiones de grado inferior (ya que, en el caso del
ejemplo anterior, la única forma de que aparezca el árbol de grado tres es que éste haya crecido
del árbol de grado dos). Esto da lugar a un esquema iterativo que cristaliza en un algoritmo
computacional que permite obtener los las probabilidades buscadas en base al valor de los
parámetros Q y S . Las ecuaciones detalladas se dan en [Van Pelt and Verwer, 1986], donde en
vez del parámetro Q se introduce otro denominado R relacionados ambos según /( 1)Q R R= + .
En cualquier caso la utilización real de este modelo es mas sencilla ya que, como se demuestra
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
39
en [Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt, Uylings,
Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992], en la mayoría de los casos reales estudiados el
parámetro Q es tan cercano a cero que puede descartarse como significativo de cara al valor
descriptivo del modelo, lo que implica que podemos suponer a los segmentos terminales como
los únicos capaces de bifurcarse.
Figura 5. Descripción topológica de los árboles dendríticos por medio de particiones. a. Representación de la
topología de un árbol dendrítico de grado nueve junto a la secuencia de particiones que condensa la información
acerca de su ramificación. Cada par en dicha secuencia denota el número de segmentos terminales que queda a la
izquierda y derecha del subárbol que nace del nodo correspondiente. b. Representación topológica canónica del
árbol anterior. Cada árbol y subárbol dendrítico se dispone siguiendo la ordenación canónica, según la cual en cada
nodo de bifurcación se sitúa a la derecha el subárbol con mayor número de segmentos terminales de mayor orden.
La importancia de este modelo radica en que a pesar de su sencillez describe correctamente
la diversidad topológica que exhiben diferentes tipos de neuronas estudiadas experimentalmente
[Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]. Para
analizar esta correspondencia entre teoría y realidad se han empleado tanto la distribución
probabilística de los órdenes como una medida denominada asimetría del árbol [Van Pelt,
Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]; de hecho esta última medida, según se
discutirá en la sección Resultados, permite conocer el valor de S asociado a una serie de
resultados obtenidos experimentalmente.
Es importante reseñar que al igual que en el caso del modelo BE este parámetro tiene también
un correlato neurobiológico, cuya explicación queda más clara si nos centramos en los dos
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
40
valores extremos, S = 0 y S = 1. La probabilidad de bifurcación es inversamente proporcional a 2
elevado al grado, es decir a la distancia topológica hasta la raíz del segmento pertinente,
multiplicado por S. Si el valor de este parámetro es cero no hay influencia de esta distancia, por
lo que será igual de probable la ramificación a cualquier altura topológica, sin embargo si S = 1 a
medida que vamos ascendiendo de nivel topológico y γ va aumentando vamos dividiendo por
dos la probabilidad de que tenga lugar una bifurcación. Imaginemos ahora que existe una
sustancia necesaria para que se produzca la división de un segmento terminal y que la
probabilidad de que esto suceda es proporcional al nivel que dicho factor alcanza en el cono de
crecimiento. Si se genera cierta cantidad de esa sustancia en el soma y se distribuye por las
dendritas hacia los extremos del árbol, cuando se llegue a una bifurcación la mitad del factor
disponible que ha alcanzado ese punto se repartirá a cada rama por igual, luego la cantidad de
factor se divide por dos, de manera que si para llegar al cono de crecimiento se ha pasado por γ
bifurcaciones es de esperar que la cantidad de sustancia que lo alcanza sea la cantidad original
dividida por 2γ , y por tanto la probabilidad de división quedaría según la ecuación (11) con S
=1. Siguiendo este enfoque podemos interpretar el parámetro S como la dependencia que tiene el
proceso de desarrollo de los factores crecimiento generados por el soma y distribuidos desde él
hacia las dendritas.
En conclusión los modelos BE y S describen de forma sencilla y precisa el desarrollo topológico
de los árboles dendríticos en base a pocas premisas y con una gran sencillez matemática. Por
estas razones han sido los utilizados en el presente trabajo para explorar de forma teórica las
propiedades de las medidas de entropía destinadas a caracterizar las capacidades de
procesamiento de la información en árboles dendríticos reales11.
11 En el presente trabajo no se han implementado directamente los algoritmos descritos en la literatura asociada a
los modelos BE y S ya que existen nuevos y mejores métodos y procedimientos para el tratamiento de estos
modelos, dados en [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007]
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
41
2. MATERIALES Y MÉTODOS EXPERIMENTALES
2.1. DATOS EXPERIMENTALES
Una parte substancial de este trabajo está dedicada a la aplicación de las medidas de entropía
sobre árboles dendríticos reales. Dichos árboles pertenecen a dos poblaciones neuronales
integradas en la vía lemniscal de la rata, responsable del tratamiento de la información táctil
proveniente de las vibrisas. La primera población se encuentra en el núcleo principal del
trigémino, que constituye la primera estación de relevo para este tipo de información sensorial, y
está formada por neuronas de proyección, que envían sus axones desde el principal hasta el
tálamo. La segunda población pertenece a la corteza somatosensorial, última estación de relevo,
y está compuesta por interneuronas, células inhibitorias que forman circuitos locales en
asociación con múltiples tipos neuronas.
Las características topológicas y morfológicas de estos tipos de árboles dendríticos han sido
estudiadas en profundidad en los trabajos de Tesis Doctoral de Pilar Negredo [Negredo, 2006] y
Jorge Castro [Castro García, 2007]. La estructura dendrítica de las dos poblaciones neuronales ha
sido analizada bajo diferentes condiciones experimentales para estudiar cómo se ve influida por
diversas circunstancias y entornos sensoriales. De esta manera se formaron cuatro grupos de
ratas de experimentación.
1. Grupo control (C): Animales estabulados en condiciones estándar de laboratorio (jaulas
de 28x48x28 cm.) hasta el final del experimento.
2. Grupo con sección completa del nervio infraorbitario (Io): A los 60 días de edad se
les somete a una sección completa de nervio infraorbitario derecho con dos ligaduras
(una en cada cabo) para prevenir la regeneración del mismo. Los animales se mantienen
en jaulas estándar en grupos de 4 durante las siguientes 7 semanas.
3. Grupo “enriquecido” (E): A los 60 días de edad se les recortan periódicamente los
bigotes del lado derecho (tres veces por semana durante 7 semanas) con el objetivo de
anular la aferencia de información de forma no lesiva. Además las ratas se ponían en una
jaula de enriquecimiento en grupos de 8, tres horas al día durante 5 días a la semana y
durante las 7 semanas. Los entornos enriquecidos eran más espaciosos (80x100x60 cm.)
y constaban de juguetes, zonas de exploración, refugios, diferentes texturas, etc.
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
42
4. Grupo con bigotes recortados o trimming (T): A los 60 días de edad, este grupo de
animales pasa a unas jaulas estándar en grupos de 4 y se les recortan los bigotes del lado
derecho tres veces por semana durante 7 semanas.
Una vez concluido el período de supervivencia prefijado, con o sin modificación de la
entrada sensorial, y tras realizar en el caso del núcleo principal del trigémino inyecciones
talámicas de dextrano biotinilado, que marca retrógradamente los cuerpos neuronales y sus
dendritas, los animales eran sacrificados y los tejidos de las áreas de interés eran tratados con
procedimientos inmunohistoquímicos de tinción y marcaje con el fin de hacer visibles a través de
microscopía óptica los árboles dendríticos de las neuronas deseadas. Al contrario que en el caso
de las neuronas de proyección del principal, las interneuronas del área somatosensorial no fueron
previamente tratadas in vivo ya que el proceso de marcaje se basa en la detección de calretinina,
una proteína asociada a la fijación de calcio y masivamente presente en un 92% de la población
de interneuronas estudiada; dicha proteína era marcada en los procesos inmunohistoquímicos
aplicados sobre el tejido in vitro. Tras disponer de los árboles dendríticos ya marcados las
muestras eran analizadas por medio del software ‘Neurolucida’ (versión 5.04.3; Microbrightfield
Inc., Williston, VT, EEUU), que permite extraer y cuantificar las características tanto
topológicas como morfométricas de las estructuras neuronales.
2.2. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO
El análisis estadístico de los datos cuantificando la entropía de los árboles dendríticos
pertenecientes a los distintos grupos experimentales se realizó empleando el software
Statgraphics Plus 4.0. Los test estadísticos de contraste de hipótesis aplicados para cuantificar
las diferencias entre los distintos grupos experimentales, fueron el test paramétrico de la t de
Student cuando los datos admitían su proveniencia de una distribución normal, o el test no
paramétrico W de Mann-Whitney cuando no se podía asumir normalidad [Martín-Andrés and
Luna del Castillo, 1990]. Los valores de significación P indican tendencia en las diferencias
cuando están entre el 5% y el 10%, significación entre el 1% y el 5%, diferencias muy
significativas cuando P está entre el 0.1% y el 1% y altamente significativas cuando P está por
debajo del 0.1%.
Villacorta MATERIALES Y MÉTODOS
43
2.3. MODELIZACIÓN COMPUTACIONAL
El estudio teórico de las propiedades de las medidas entrópicas desarrolladas se llevó a cabo a
partir de la implementación de los modelos BE y S descritos en la sección 1 de Materiales y
Métodos. El software empleado para ello fue el Maple 9.50 (Maplesoft, Waterloo Mapl Inc.), un
programa de cálculo matemático a nivel tanto simbólico como numérico. Por otro lado la
fundamentación de las medidas de entropía en los distintos niveles descriptivos, desarrolladas en
los Resultados, se ha apoyado en los resultados obtenidos de las simulaciones realizadas en el
programa gratuito Neuron [Hines and Carnevale, 1997], un simulador de la dinámica
electroquímica de la membrana neuronal que funciona como un laboratorio virtual de
electrofisiología.
MATERIALES Y MÉTODOS Villacorta
44
Villacorta RESULTADOS
45
RESULTADOS
RESULTADOS Villacorta
46
Villacorta RESULTADOS
47
1. LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS COMO FUENTES DE INFORMACIÓN
La idea central de este trabajo es el desarrollo de medidas destinadas a cuantificar la capacidad
de los árboles dendríticos para generar información. Para ello en primer lugar estas estructuras
dendríticas serán caracterizadas como fuentes de información discreta y a continuación se
desarrollarán diversas medidas entrópicas con el objetivo de cuantificar dicha capacidad. En la
introducción a la Teoría de la Información se definió una fuente de información discreta como un
proceso estocástico que produce una secuencia discreta de símbolos (mensaje) elegidos de un
conjunto finito (alfabeto) según una probabilidad característica de cada uno. En consecuencia
para empezar se determinará qué son los símbolos en el contexto de las estructuras dendríticas,
demostrándose posteriormente cómo este enfoque conduce de forma natural a las medidas
buscadas.
1.1. DEFINICIÓN DE LA ENTROPÍA DE LOS ÁRBOLES DENDRÍTICOS
1.1.1. Configuraciones monosinápticas
Para introducir los conceptos de entropía asociada a los árboles dendríticos consideremos un
árbol dendrítico descrito topológicamente y un axón portador de un sólo input que puede sinaptar
con aquél en cualquiera de sus segmentos terminales, restringiendo las conexiones a una sinapsis
por segmento. Supongamos inicialmente que nuestro árbol es el descrito por el vector-orden
[1,2,3,3] (Figura 6.a). Tendremos 4 segmentos terminales y por lo tanto el axón tendrá cuatro
posibilidades para sinaptar sobre el árbol, sin embargo no todas las posibilidades serán distintas
ya que los dos extremos de orden 3 tendrán el mismo camino topológico hasta el segmento raíz
(Figs. 6.a.3 y 6.a.4). En los dos casos el input recorrerá el mismo camino topológico hasta el
soma, generando la misma señal de salida; en consecuencia la información generada por el árbol
será indistinguible12. Matemáticamente lo anterior significa que desde el punto de vista de la
señal generada tras el procesamiento en el árbol no tenemos cuatro elecciones distintas sino tres. 12 Esta circunstancia se debe a que la topología asume diámetros nulos, lo que en términos de conducción
electrofisiológica de las señales y por tanto de procesamiento de la información permite garantizar que sinapsis
portadoras de la misma señal establecidas en segmentos de igual orden generarán la misma respuesta. Esto se
demuestra en detalle en secciones posteriores.
RESULTADOS Villacorta
48
Se deduce entonces que la probabilidad de que el árbol dendrítico genere información por medio
de una sinapsis aleatoria sobre el segmento terminal de orden 1 será de 1/ 4 , la probabilidad de
que lo haga a través del segmento terminal de orden 2 será también de 1/ 4 , mientras que la
probabilidad de hacerlo por medio de sinapsis en la terminal de orden 3 será de 2 / 4 1/ 2= .
La Figura 2.b de árbol topológico de grado 4, dado por el vector-orden [2,2,2,2] . En este
caso los cuatro terminales dendríticos tienen el mismo camino topológico hasta el segmento
terminal de árbol de donde la señal generada en los cuatro casos será idéntica y en consecuencia
la probabilidad de procesar a través del segmento terminal de orden 2 será 1; esta configuración
dendrítica no es capaz de generar mas que un tipo de output o salida por cada tipo de señal de
entrada introducida. Esta última situación es equivalente al caso en que la fuente de información
discreta sólo puede producir un tipo de símbolo, siendo entonces incapaz de generar
información. Esta analogía aclara cómo podemos describir a un árbol dendrítico como una fuente
de información discreta: nuestro sistema es el propio árbol y los estados o símbolos que dicha
fuente puede generar son las diferentes configuraciones sinápticas que surgen cuando el terminal
axónico contacta aleatoriamente con los segmentos terminales dendríticos. Dichas
configuraciones se distinguen en base a la señal de salida a la que dan lugar en condiciones
controladas (una señal de entrada fija), de manera que si dos configuraciones generan la misma
salida se consideran un único símbolo.
Villacorta RESULTADOS
49
Figura 6. Generación de información en condiciones de monosinapticidad. Las figuras superiores muestran las
posibles configuraciones sinápticas en el caso del árbol [1,2,3,3] y las inferiores en el caso del árbol [2,2,2,2]. El
procesamiento de la información dependerá del camino topológico que siga la señal desde la sinapsis hasta el
segmento raíz por lo que a extremos de igual orden les corresponderá el mismo output. Por ejemplo, para el primer
tipo de árbol las configuraciones sinápticas a.1 y a.2 son diferentes entre sí y con respecto a las a.3 y a.4, que son
iguales, como muestra el EPSP propagado pasivamente en el segmento raíz; esto reduce los dos últimos casos a uno,
teniendo tres símbolos de probabilidades 1/4 para los correspondientes a las dos primeras configuraciones y 2/4 para
el tercero (tercera-cuarta configuración sináptica). Por su parte el segundo tipo [2,2,2,2] genera el mismo EPSP
independientemente del segmento terminal donde sinapte el axón, con lo que sólo habrá un tipo de símbolo
generado.
Bajo esta óptica los árboles dendríticos serán susceptibles de ser descritos matemáticamente
por medio de los conceptos de entropía. En primer lugar nuestro sistema formado por el árbol
dendrítico, alcanzará un cierto estado cuando la terminal axónica contacte con un determinado
extremo dendrítico. Eventualmente esta sinapsis podrá perderse, reemplazándose por otra en un
segmento terminal diferente y produciéndose así un nuevo símbolo, en cuyo caso la aparición de
la primera de las sinapsis no influirá que lo haga la segunda; en términos de Teoría de la
Información esto equivale a que los símbolos generados por la fuente son independientes entre
sí. En segundo lugar la información generada se ha relacionado únicamente con el orden del
RESULTADOS Villacorta
50
segmento terminal donde se encuentra la sinapsis, por lo tanto el número de símbolos distintos
que pueden generarse será igual al número de órdenes diferentes que tienen los segmentos
dendríticos terminales. Por ejemplo en el caso del árbol [1,2,3,3] existen tres tipos diferentes de
salida en función de dónde se realice la sinapsis (Figuras 6.a.1-6.a.4) mientras que el árbol
[2,2,2,2] sólo puede generar un tipo de símbolo de acuerdo con el único tipo de salida que
proporciona (Figuras 6.b.1-6.b.4).
De acuerdo con la definición matemática de entropía (Intr.5) la cuantificación de la
capacidad de los árboles dendríticos [1,2,3,3] y [2,2,2,2] para generar información se obtiene
sustituyendo las proba-bilidades de que el sistema alcance determinados estados, es decir ciertas
configuraciones sinápticas, los cuales determinarán los diferentes símbolos. Para el árbol
dendrítico [1,2,3,3] se obtiene una entropía
11 1 1 1 2 2 1 1 2ln ln ln ln ln 1.04 nats4 4 4 4 4 4 2 4 4
H = − − − = − + = 13,
mientras que para el árbol [2,2,2,2] la entropía será
1 ln(1) 0 natsH = − = ,
lo que significa que éste último árbol dendrítico no tiene capacidad de crear información por sí
mismo.
Obviamente es difícil dar un sentido práctico a un valor de ‘1.04 nats’ puesto que nuestra
intuición no tiene con que compararlo, a diferencia de lo que ocurre con la altura o el peso; un
metro o un kilo no son nada en sí mismos, sólo nos dicen algo porque sabemos intuitivamente a
qué equivalen. Es por eso que la unidad empleada para la medida de la entropía no es
especialmente significativa ya que los resultados únicamente cobrarán sentido cuando podamos
comparar unos con otros, de la misma forma en que la medida que utilicemos para la altura no es
importante, sólo nos importa saber si ‘esto’ es más o menos alto que ‘aquello’. El caso del árbol
13 La unidad nat es la unidad de información cuando se emplea el logaritmo natural en vez del logaritmo en base
dos. Éste último define la información propia de un sistema que tiene sólo dos estados posibles (encendido-apagado,
on-off ó 1-0) y la unidad de información que se usa en ese caso es el conocido bit (BInary digiT). A pesar de que
habitualmente es el bit la unidad empleada en el contexto de la teoría de la información, en este trabajo se ha optado
por remplazarla por la correspondiente al logaritmo natural para evitar confusiones acerca del número de estados
que los sistemas aquí tratados pueden alcanzar.
Villacorta RESULTADOS
51
[2,2,2,2] es distinto: sí H es igual a 0 nats la entropía será nula en cualquier unidad, es decir
simplemente el sistema es incapaz de generar información.
Generalizando estos resultados la entropía de un árbol dendrítico en las condiciones
topológicas planteadas inicialmente puede describirse de la siguiente forma. Supongamos un
árbol de grado n que puede recibir una sinapsis en cualquiera de sus segmentos terminales y
cuyo vector-orden tiene 1l órdenes distintos (donde el subíndice indica el número de contactos
sinápticos simultáneos) agrupados en el conjunto 1
1 1 1
l
i iO o
== , y tal que para cada 1 1io O∈
existen 1ir extremos dendríticos de orden 1io (de forma que 1
11
lii
r n=
=∑ ). En ese caso el sistema
podrá generar 1l símbolos con probabilidades
111, , .i
i
rp i l
n= = … (12)
Por definición 1
11l
iip
==∑ . Aplicando esto sobre el árbol dendrítico [1,2,3,3] (Figura 6.a)
tendríamos 4n = , 1 3l = y 1 1, 2,3O = con 11 1r = , 21 1r = y 31 2r = , por lo que 1 1/ 4p = ,
2 1/ 4p = y 3 2 / 4p = . Por su parte en el caso de [2,2,2,2] (Figura 6.b) 4n = , pero ahora 1 1l = ,
1 2O = y 11 4r = , de donde según (12) 1 4 / 4 1p = = .
Una vez establecida la independencia de los símbolos y sus probabilidades correspondientes
podemos emplear la ecuación (Intr.5) para obtener la entropía que definiría la capacidad del
árbol dendrítico para generar información. Sustituyendo (12) en ella se tiene
1
1 11
1ln
li i
i
r rH
n n=
= −
∑ . (13)
1.1.2. Configuraciones bisinápticas
En la sección previa se ha supuesto que sólo una terminal axónica puede sinaptar con las
dendritas terminales, sin embargo es posible (de hecho es lo que sucede en la realidad) que sean
más de una las colaterales axónicas que contacten con el árbol dendrítico, de manera que
podemos extender el esquema anterior al caso en que el árbol recibe dos o más inputs. En este
punto impondremos dos limitaciones, que serán justificadas más adelante: i) sólo puede haber un
contacto sináptico por extremo dendrítico y ii) la señal portada por cada terminal axónica será la
RESULTADOS Villacorta
52
misma en todos los extremos. Centrándonos primeramente en el caso en que sean dos las
terminales axónicas a contactar con el árbol razonamos como antes para describir el sistema
como una fuente discreta de información. Consideremos de nuevo un árbol dendrítico de orden
n descrito por el vector-orden v y el conjunto de 2l grupos de dos órdenes diferentes entre sí de
un total de 2 2n
n ≡
posibles14, denotado por 2
2 2 1
l
i iO o
== donde cada 2io es un par formado por
los órdenes de los extremos dendríticos que reciben las sinapsis. La Figura 7.a muestra el árbol
dendrítico de vector-orden [1,2,3,3] bajo condiciones de bisinapticidad que conllevan la
existencia de 2n = 42
6= posibles configuraciones sinápticas. Si de los 2n pares posibles cada
2io se repite 2ir veces (con 2
2 21
lii
r n=
=∑ ) tendremos que las probabilidades ip de los 2l posibles
símbolos vendrán dadas por
22
2
1, , ,ii
rp i l
n= = … (14)
donde se verifica que 2
11l
iip
==∑ . Puesto que iguales órdenes en el par equivalen al mismo
procesa-miento y por tanto a los mismos símbolos generados por la fuente, de los seis pares
posibles en la Figura 3.a el (1,2) sólo aparece una vez, pero el (1,3) lo hace dos veces, al igual
que el (2,3); el último par, el (3,3), también aparece una sola vez. Tenemos entonces que
2 (1, 2), (1,3), (2,3), (3,3)O = , con 1 2 1r = , 2 2 2r = , 3 2 2r = y 4 2 1r = , con lo que las
probabilidades de cada configuración serán 1 1/ 6p = , 2 2 / 6p = , 3 2 / 6p = y 4 1/ 6p = . De
nuevo los símbolos se consideran independientes entre sí, de manera que la entropía
correspondiente al árbol dendrítico como fuente de información discreta vendrá dada por
2
2 22
1 2 2
lnl
i i
i
r rH
n n=
= −
∑ . (15)
14 Los grupos de sinapsis que definirán los símbolos generados se consideran sin importar el orden de colocación de
sus elementos, es decir el par (1,2) será equivalente al (2,1), ya que no se atiende al orden en que se establecen los
contactos sinápticos, y sin que se repita ninguno de los órdenes del grupo (sólo una sinapsis por segmento terminal),
por esa razón el número total de grupos viene dado por el coeficiente binomial.
Villacorta RESULTADOS
53
En el caso de la Figura 7.a la entropía valdrá 2 (2 / 6) ln(1/ 6) (4 / 6) ln(2 / 6)H = − − = 1.33 nats.
Obsérvese que como era de esperar, para el árbol [1,2,3,3] la entropía de la configuración
bisináptica es mayor que la entropía correspondiente a la situación monosináptica. En el caso del
árbol [2,2,2,2] (Figura 7.b), independientemente de la disposición de los dos contactos
sinápticos, la respuesta integrada será idéntica, luego al igual que en el caso de un solo contacto
sináptico el sistema también en esta situación generará un único tipo de símbolo.
Matemáticamente tendremos que 2 (2, 2)O = con 2 2 6r = , por lo tanto 1 1p = , 2 0H = nats y
también ahora concluimos que cuando son dos las posibles sinapsis el árbol [2,2,2,2] es incapaz
de generar información. Obsérvese finalmente que, atendiendo a la restricción de una sinapsis
por segmento, las configuraciones bisinápticas surgen al combinar entre sí las configuraciones
monosinápticas descritas en la Figura 6 como eventos independientes; como se verá más
adelante, esto tendrá profundas implicaciones en la definición de las medidas de entropía
buscadas.
Figura 7. Posibles configuraciones sinápticas en los dos tipos de árboles dendríticos de grado cuatro cuando la
información se genera a través de dos sinapsis en distintos segmentos terminales. Ambas terminaciones axónicas
inyectan la misma señal, que se propaga pasivamente y se integra engendrando la señal de salida. En el caso del
árbol [1,2,3,3] las configuraciones correspondientes a los pares de órdenes (1,2) y (3,3) generan diferentes
respuestas, sin embargo las dos configuraciones del par (1,3) integran idéntica señal, con lo que corresponde al
mismo símbolo, lo que se repite para el par (2,3). En el árbol [2,2,2,2] todas las posibles configuraciones sinápticas
engendran la misma señal de salida, es decir como fuente de información discreta el árbol [2,2,2,2] genera un solo
símbolo.
RESULTADOS Villacorta
54
1.1.3. Configuraciones multisinápticas
Una vez desarrolladas en detalle las entropías correspondientes a los casos de uno y dos
contactos, es inmediata su generalización a grupos de configuraciones sinápticas arbitrarias. De
manera genérica consideremos la formación de k posibles contactos sinápticos entre las
pertinentes terminaciones axónicas y segmentos terminales del árbol de grado n dado por el
vector-orden v , con n k≥ . De entre los n órdenes de v podremos formar knk
n ≡
grupos
conteniendo cada uno k órdenes sin repetición y sin importar su ordenación en la colocación
dentro del grupo. De estos kn posibles grupos habrá kl diferentes entre sí, que agruparemos en el
conjunto 1
kl
k i k iO o
== , donde cada i ko está compuesto por k órdenes extraídos de v y
corresponde a cada configuración sináptica o símbolo posible generable por el sistema bajo la
restricción de recibir las sinapsis en tandas de k contactos y uno solo por cada segmento
terminal. Si denotamos por i kr el número de veces que el grupo i ko se repite dentro de los kn
posibles, verificándose entonces que 1
kli k ki
r n=
=∑ , tendremos que las probabilidades ip de los
kl símbolos posibles vendrán dadas por
, 1, , ,i ki k
k
rp i l
n= = … (16)
con 1
1klii
p=
=∑ . De nuevo bajo la hipótesis de independencia entre los símbolos podemos
expresar la entropía kH o k-entropía del sistema que medirá la cantidad de información
generada por la fuente por cada símbolo15, como
1
ln con 1, , .kl
i k i kk
i k k
r rH k n
n n=
= − ∈
∑ … (17)
Obsérvese que en el caso en que k n= tendremos que 1nl = pues nO v= es decir el único
grupo posible formado por n órdenes será el compuesto por los elementos del propio vector-
orden, por lo que 1nn = , 1 1nr = , 1 1p = y 0nH = . En consecuencia sólo consideraremos las k-
15 Durante todo el texto nos referiremos a las unidades en que se mide la información por nats o por nats por
símbolo indistintamente.
Villacorta RESULTADOS
55
entropías para n k> . Para los dos tipos de árboles de grado cuatro [1,2,3,3] y [2,2,2,2] sólo nos
faltaría calcular la 3-entropía. En el primer caso tendríamos que los grupos posibles de 3
contactos sinápticos serían (1,2,3), (1,2,3), (1,3,3), (2,3,3), con 3 4n = , 3 3l = ,
3 (1, 2,3), (1,3,3), (2,3,3)O = , 13 2r = , 2 3 1r = , 3 3 1r = , 1 2 / 4p = , 2 1/ 4p = y 3 1/ 4p = , por lo
tanto la 3-entropía asociada al árbol [1,2,3,3] será ( )3 (1/ 2) ln(1/ 4) ln(2 / 4)H = − + , es decir como
era de esperar 3 1.04 natsH = . Por su parte para el árbol [2,2,2,2] 3 4n = y 3 (2, 2, 2)O = luego
13 4r = , 1 1p = y 3 ln(1) 0 natsH = − = .
Recapitulando, en esta sección se ha introducido la entropía aplicada a los árboles dendríticos
definiendo las k-entropías como cuantificadores de la capacidad del árbol para generar
información bajo determinadas condiciones que restringen dicho potencial en función de las
características dendríticas que se deseen reflejar. No obstante en las secciones que se presentan a
continuación se definen y desarrollan medidas entrópicas con el objeto de caracterizar a los
árboles como fuentes de información discreta desde un punto de vista más realista. Dichas
medidas se dividen en tres niveles en base al grado de aproximación a las circunstancias reales
de las condiciones impuestas. En la Entropía de 1er Nivel se considera exclusivamente la
topología del árbol, para lo cual se asumen restricciones muy similares a las introducidas en la
definición previa de la entropía dendrítica. Estas condiciones son relativamente coercitivas pero
se relajan para admitir circunstancias más cercanas a la realidad en la Entropía de 2º Nivel.
Finalmente la Entropía de 3er Nivel se basa en condiciones que rigen la formación de los posibles
contactos sinápticos en base a consideraciones tanto topológicas como morfométricas. En cada
caso se expone en detalle la fundamentación de las premisas en que se asienta cada medida,
partiendo de árboles dendríticos realistas y aplicando sobre ellos simulaciones computacionales
de la propagación e integración de señales en dichas condiciones. A continuación se desarrolla la
formulación matemática que conducen a las expresiones finales de las Entropías de 1er, 2º y 3er
Nivel.
1.2. ENTROPÍA DE 1er NIVEL
En la descripción de los árboles dendríticos el nivel más básico es el topológico, en el que sólo
son pertinentes las características referentes a la conectividad de los segmentos dendríticos, es
RESULTADOS Villacorta
56
decir la ramificación del árbol. Para hacer patentes estas características en la Entropía de 1er
Nivel a desarrollar se han fijado como premisas condicionantes de la formación de sinapsis las
siguientes circunstancias:
• El árbol dendrítico sólo puede recibir una sinapsis por segmento.
• Las diferentes sinapsis que puede recibir un árbol dendrítico portan la misma señal, es
decir que no son estimulaciones independientes entre sí.
• La respuesta a la activación de una misma sinapsis sólo cambia si dicha sinapsis se
localiza en segmentos dendríticos de distinto orden, de manera que la respuesta es igual si
la estimulación sináptica se realiza en segmentos intermedios o terminales mientras estos
tengan el mismo orden.
Estas asunciones conforman el contexto en el que se va a caracterizar a los árboles
dendríticos como fuentes de información en el nivel topológico, sin embargo es necesario
demostrar si estas condiciones tienen una base real (en términos electrofisiológicos o de
propagación de la señal a lo largo de las dendritas) que las relacione con las características
topológicas del árbol.
1.2.1. FUNDAMENTACIÓN DE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL
La característica más inmediata de un árbol dendrítico, incluso a nivel de inspección visual, es su
patrón de ramificación, codificado mediante su vector-orden. Una forma de presentar esta
propiedad con rigor es a través de su estructura topológica, que supone la ausencia de cualquier
característica métrica, es decir el árbol se supone carente de dimensionalidad (que no de
dimensiones). Una simplificación tan significativa de las propiedades de un árbol dendrítico
tiene profundas consecuencias en su comportamiento como estructura de generación y
procesamiento de información, sin embargo hay que tener en mente que a este nivel no
pretendemos considerar con fidelidad las propiedades de las neuronas en general (algo por otro
lado imposible). Al aproximarnos contemplando exclusivamente la topología del árbol
pretendemos estudiar cómo el patrón de ramificación afecta a la capacidad de la estructura
dendrítica para generar información, sin la interferencia de otras características presentes en las
neuronas reales. En consecuencia esta perspectiva nos permitiría por ejemplo analizar
cuantitativamente si dos tipos de neuronas presentes en diferentes regiones del SNC son distintas
Villacorta RESULTADOS
57
a nivel topológico o si sus diferencias radican en propiedades de mayor nivel, por ejemplo
morfométricas.
Monosinapticidad por segmento
En situaciones reales suponer que sólo es posible un contacto sináptico por segmento
dendrítico es una condición restrictiva, ya que la situación más común es que se produzcan
múltiples contactos sinápticos (químicos) [Peters, Palay and Webster, 1991]. No obstante las
condiciones topológicas son adimensionales, por lo que los segmentos dendríticos carecen de
longitud ‘dimensional’ (o lo que es lo mismo miden una “unidad arbitraria”) y por lo tanto
asumimos que una vez se realiza el contacto sináptico éste ocupa todo el espacio disponible.
Esto se debe también a la falta de segunda y tercera dimensión, puesto que no es posible que
otras sinapsis se sitúen alrededor del segmento.
La restricción de monosinapticidad obedece también a un abordaje de simplificación. Es
evidente que cuanto mayor es el número de los posibles contactos sinápticos por segmento
mayor cantidad de símbolos puede generarse y mayor es, en consecuencia, la capacidad del
árbol dendrítico para generar información. El circunscribir entonces el número de sinapsis a
una por segmento establece un límite inferior del potencial real como fuente de información
del árbol dendrítico. Este enfoque adquiere toda su dimensión cuando se considera
conjuntamente a la Entropía de 2º Nivel, que constituirá el límite superior complementando a
la Entropía de 1er Nivel.
Unicidad de la señal de estimulación sináptica
La capacidad de un sistema para procesar información depende en gran medida de la
información contenida en las señales de entrada, de manera que un sistema con un bajo
potencial para procesar información pero que reciba un input con un contenido rico en
información puede aparentar la misma capacidad como fuente generadora que otro sistema con
una mayor entropía en su estructura dendrítica pero que reciba una entrada que porte poca
información. Para evitar esta ambigüedad partimos de una misma señal (cuya estructura
explícita no tiene importancia) que es introducida en el árbol dendrítico por medio de cada
contacto sináptico. Este enfoque permite considerar la capacidad del árbol como fuente de
RESULTADOS Villacorta
58
información en base a sus características intrínsecas, con independencia del contexto externo,
es decir de la información de la señal introducida.
Respuesta a la estimulación sináptica como función del orden dendrítico
La asunción de que la respuesta del árbol dendrítico reducido a su estructura topológica solo
depende del orden del segmento dendrítico en el que se localiza y no de si dicho segmento es
terminal o intermedio (suponiendo naturalmente que la señal introducida a través de cada
sinapsis es la misma) puede parecer excesiva. Para estudiar esto hemos realizado numerosas
simulaciones computacionales en las que se ha testado cómo cambia la propagación de un
EPSP (Excitatory Post-Synaptic Potencial) a lo largo de un árbol dendrítico en función de sus
características morfométricas. Para ello se han implementado árboles realistas de dos tipos muy
distintos [Cullheim, et al., 1987; Jacquin, et al., 1988] (ver más adelante) que eran estimulados
sinápticamente en distintas localizaciones, por medio de funciones tipo alfa estándar [Koch,
1999]. El resultado del procesamiento en estas condiciones se obtenía empleando el programa
‘Neuron’, un simulador de la dinámica de la membrana celular en estructuras neuronales
complejas.
Las diversas pruebas llevadas a cabo demuestran que la dependencia de la respuesta en
función únicamente del orden del segmento donde se encuentra la sinapsis es una circunstancia
que surge de forma natural cuando las características del árbol dendrítico se aproximan a las
exigidas por el nivel topológico, es decir cuando las longitudes de todos los segmentos tienden
a igualarse y sus respectivos diámetros tienden a cero. En consecuencia las repuestas a una
misma señal introducida en los segmentos de un mismo orden se van igualando a medida que
se van cumpliendo las condiciones topológicas. Esto se muestra en la Figura 8, donde la
estimulación sináptica se ha modelizado por medio de una función alfa con tau = 1 y gsyn =
0.001, y en la que se han alterado las propiedades morfométricas del árbol para adecuarlo al
límite topológico, así las longitudes de todos los segmentos (terminales e intermedios) son
similares (entre las 100 y las 200 micras, el orden de las longitudes dendríticas reales en este
tipo de neuronas), y sus diámetros se han igualado a 1, 0.5 y 0.1 micras. La membrana celular
tiene un potencial de reposo de -70 mV una resistencia axial de 100 Ω·cm, una capacitancia de
membrana de 1 µF/cm2 y una conductancia pasiva de 6e-05 S/ cm2 [Koch, 1999].
Villacorta RESULTADOS
59
Figura 8. EPSPs como respuestas a la estimulación sináptica de un árbol dendrítico típico de una motoneurona
del músculo gastrocnemio de gato, simuladas por medio del programa ‘Neuron’. Cada una de las figuras muestra
las diferentes respuestas cuando la sinapsis se sitúa en (la mitad de) los distintos segmentos de un mismo orden
(cada color en las respuestas se corresponde con el color del orden dendrítico correspondiente mostrado en el
árbol del recuadro). Se estudian tres casos: cuando el valor de los diámetros es de 1 µm (a), de 0.5 µm (b) y de
0.1 µm (c). Se aprecia claramente cómo a medida que el diámetro va disminuyendo las respuestas tienden a
unificarse por órdenes (por colores en la figura), independientemente de si la sinapsis se ha realizado en un
segmento terminal o intermedio.
1.2.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL
Las condiciones que definen la Entropía de 1er Nivel son similares a aquellas en las que se
basaba la definición inicial de entropía dendrítica dada en la Sec. 1.1. por lo que su desarrollo
matemático será similar. La diferencia radica en que esta medida entrópica admite la formación
de sinapsis no sólo en los segmentos terminales sino también en los intermedios. Esta
circunstancia conlleva que la k-entropía, definida matemáticamente en (17), es válida aquí sin
más que ampliar el conjunto que agrupaba a los órdenes dendríticos.
k-entropía
En la definición inicial los órdenes se tomaban del vector-orden pero si a los elementos de este
grupo se añaden los órdenes de los segmentos intermedios tendremos un nuevo conjunto
conteniendo los órdenes de todos los segmentos del árbol y al que denotaremos por w.
Retomando entonces la notación anterior tendremos que de entre los 2 n -1 elementos de w
RESULTADOS Villacorta
60
(órdenes) podremos formar 2 1k
nk
n−
≡
grupos conteniendo cada uno k órdenes sin repetición y
sin considerar su ordenación. De todos los kn posibles conjuntos habrá kl diferentes entre sí, que
denotaremos por i ko y que agruparemos en el conjunto 1
kl
k i k iO o
== . Cada i ko está compuesto
por k órdenes extraídos de w y corresponde a cada símbolo posible (configuración sináptica)
generable por el sistema. Suponiendo entonces que el grupo i k ko O∈ se repite i kr veces dentro
de los kn conjuntos posibles tendremos que las probabilidades ip de los kl símbolos posibles
serán
1, , ,i ki k
k
rp i l
n= = … (18)
con 1
1klii
p=
=∑ . De nuevo bajo la hipótesis de independencia entre las k posibles sinapsis
podemos expresar la k-entropía del sistema kH como
1
ln .kl
i k i kk
i k k
r rH
n n=
= −
∑ (19)
con 1, , 2 1k n∈ −… .
Entropía propia
El concepto de la k-entropía no sólo implica al árbol dendrítico como sistema o fuente de
información discreta sino que precisa de unas circunstancias externas, en concreto de la
participación de k sinapsis que en sus potenciales configuraciones den lugar a los posibles
símbolos a generar por nuestro sistema. No obstante es deseable una medida que caracterice al
sistema per se, es decir en base a las propiedades estructurales del árbol y eliminando cualquier
dependencia externa. Con ese objetivo se empleará un compendio de las anteriores medidas para
definir la Entropía Propia de 1er Nivel del árbol dendrítico (o simplemente Entropía Propia si se
sobreentiende del contexto) como el promedio de sus k-entropías para 1, , 2( 1)k n= −… , la
denotaremos por H y vendrá dada por la expresión
2( 1)
1
1 .2( 1)
n
kk
H Hn
−
=
≡− ∑ (20)
Villacorta RESULTADOS
61
Al igual que las k-entropías kH la Entropía Propia cuantificará la capacidad del árbol dendrítico
de generar información por cada símbolo, pero en promedio respecto a los distintos números de
sinapsis que puede recibir. Retomando los ejemplos discutidos, el árbol de grado cuatro [1,2,3,3]
tendrá una Entropía Propia igual a 1.92 nats por símbolo mientras que para el árbol [2,2,2,2] su
Entropía Propia será obviamente de 1.32 nats por símbolo. Obsérvese ahora que éste último árbol
es capaz de generar información debido a que la Entropía de 1er Nivel admite la sinaptación en
los segmentos intermedios además de en los terminales. Esta diferencia añade cierta variedad en
los símbolos que el árbol [2,2,2,2] es capaz de engendrar, en contra de la limitación impuesta en
la definición inicial de entropía dendrítica, en la que la condición de sinaptación en los
segmentos terminales sólo permitía la generación de un único símbolo.
En la 1-entropía de un árbol de grado n los símbolos eran cada posible configuración de una
sinapsis sobre los segmentos dendríticos. Denotando por 1
1 1
l
i is
= a los 1l símbolos distintos es
lógico pensar que al considerar las configuraciones conectivas a partir de dos sinapsis (2-
entropía) los símbolos resultantes 2
2 1
l
i is
= se puedan describir por medio de los símbolos 1
1 1
l
i is
=.
Efectivamente en la Figura 6 se observa que a cada conectividad individual le corresponde una
señal transmitida, de manera que cuando consideramos el caso de dos sinapsis contactando con
el árbol podemos considerar cada configuración como compuesta por dos de las configuraciones
conectivas individuales. Por ejemplo la conexión denotada por (1,2) en la Figura 7.a está
formada por las configuraciones descritas en las Figuras 3.a.1 y 3.a.2, de la misma forma que su
señal de salida es el resultado de la integración de las señales procesadas en aquellas. Podemos
extender este enfoque a los símbolos 1
kl
i k is
= generados por el sistema con las configuraciones
conectivas de k sinapsis (k-entropía) pudiendo construir los símbolos 1
kl
i k is
= como
combinaciones de los símbolos 1
1 1
l
i is
=, más sencillos, lo que recuerda a las series de
aproximación al castellano presentadas en la Introducción, con la diferencia de que aquí los
símbolos son independientes entre sí. Este enfoque conceptual referente a la conformación de los
símbolos a partir de otros independientes entre sí, garantiza que la Entropía Propia cuantifica la
máxima capacidad del árbol dendrítico como fuente de información.
Otra de las ventajas de usar la Entropía Propia es la posibilidad de comparar árboles
dendríticos de diferentes grados. Hemos visto inicialmente que la capacidad de generar
información está relacionada tanto con las probabilidades de los símbolos como con el número
RESULTADOS Villacorta
62
de ellos. Este número dependerá en general del grado n del árbol ya que a mayor grado mayor
será el número de posibles configuraciones conectivas. Si quisiésemos por tanto cotejar las
capacidades de procesamiento de dos árboles dendríticos de grados muy diferentes podríamos
pensar que los resultados cuantitativos no tendrían validez comparativa, ya que la capacidad del
árbol de mayor grado estaría sesgada por ese número más elevado de extremos terminales. Sin
embargo la Entropía Propia (20) da la información engendrada por la fuente por cada símbolo
generado, concluyéndose que no importa la diferencia entre el número de posibles símbolos que
cada árbol es capaz de producir.
La Entropía Propia tiene por tanto las características que permiten cuantificar adecuadamente
la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes generadoras de información, sin embargo
no es la medida entrópica definitiva que buscamos. Es posible definir una nueva entropía
sustentada por la Entropía Propia pero de mayor capacidad descriptiva, basada en el hecho de
que cada árbol dendrítico está formado a su vez por subárboles con las mismas propiedades
estructurales; esta recurrencia en las estructuras dendríticas está también implícita en la
definición de particiones dada anteriormente [Harding, 1971; Van Pelt and Verwer, 1986] así
como en la descripción a través de los vectores-orden [Villacorta, Castro, Negredo and
Avendano, 2007].
Si analizamos la Entropía Propia para un árbol dendrítico concreto puede parecer que
contiene ya las Entropías Propias de los subárboles correspondientes, sin embargo existe un
matiz capital entre esto y lo que buscamos con la nueva medida. La Entropía Propia de, por
ejemplo, el árbol [1,2,3,3] contiene las configuraciones posibles del subárbol [1,2,2] pero
combinadas con otras disposiciones conectivas o símbolos que no son propios de [1,2,2]. Si por
claridad retomamos la definición de entropía inicial, en la que sólo se admitían sinapsis en los
segmentos dendríticos terminales, la Entropía Propia del árbol dendrítico de grado cinco
[1,3,3,3,3] asociada a la entropía introducida en la Sección 1.1., valdrá ([1,3,3,3,3]) 0.85H =
nats en tanto que todos sus subárboles propios (del tipo [2,2,2,2] y [1,1]) son incapaces de actuar
como fuentes de información puesto que para ellos 0H = . Este ejemplo demuestra que aún si
los subárboles propios no son capaces de generar información individualmente sí podrán hacerlo
si se agrupan convenientemente, por lo tanto las posibles configuraciones conectivas en sí no son
lo importante, lo fundamental es su conjunción, que es lo que en definitiva define el sistema
como fuente de información.
Villacorta RESULTADOS
63
Para profundizar más en la nueva medida de entropía buscada recurriremos de nuevo a otro
ejemplo todavía más clarificador. Consideremos los dos árboles de orden 6 definidos por los
vectores-orden 1v = [2,2,3,3,3,3] y 2v = [2,3,3,2,3,3] (Figura 9). Puesto que ambos tienen el
mismo número de segmentos dendríticos terminales de órdenes 2 y 3 las posibles
configuraciones sinápticas serán las mismas y por tanto generarán los mismos símbolos con
idénticas probabilidades en ambos casos. Esto conlleva la misma capacidad para generar
información, dada por una Entropía Propia de 1er Nivel de 2.22H = nats. Supongamos ahora
que en ciertas circunstancias y para cada árbol, únicamente el subárbol derecho que emerge del
segmento raíz recibe input axónico. En el caso del [2,2,3,3,3,3] dicho subárbol sería el [2,2,2,2]
mientras que para el árbol [2,3,3,2,3,3] el subárbol propio sobre el que se inyectaría una señal
proveniente del axón sería el [1,2,2] (señalados en rojo en la Figura 9). En estas circunstancias
los únicos símbolos que cada árbol podría generar serían aquellos que el correspondiente
subárbol pudiese engendrar como fuente de información. Por ejemplo en 1v el subárbol
generador de información sería el [2,2,2,2] cuya Entropía Propia es 1.32 nats. En el caso del
árbol 2v la restricción le permitiría generar información según la capacidad de su subárbol
[1,2,2], de 1.26 nats, lo que significa que, en las presentes condiciones sinápticas, ambos árboles
tienen distinta capacidad real como fuentes de información, a pesar de que sus Entropías Propias
no pueden detectar dicha diferencia.
Figura 9. Descomposición de los árboles de grado 6 [2,2,3,3,3,3] y [2,3,3,2,3,3] en sus subárboles propios de grado
mayor que dos (señalados en rojo). Obsérvese que debido a que las posibles configuraciones sinápticas en ambos
árboles son las mismas, sus Entropías Propias serán iguales, sin embargo si suponemos que los input axónicos se
restringen a los subárboles marcados la capacidad de cada árbol será igual a la de su respectivo subárbol. Esta
distinción como fuentes de información es posible mediante la Entropía de 1er Nivel.
RESULTADOS Villacorta
64
Definición de Entropía de 1er Nivel
La medida entrópica óptima debe tener en cuenta las distintas capacidades de procesamiento de
cada subárbol del árbol estudiado para evitar ambigüedades que sí pueden ser resueltas en la
naturaleza bajo circunstancias como la hipotetizada en la sección previa. Conceptualmente pues
la Entropía de 1er Nivel de un árbol dendrítico será la suma de las Entropías Propias del árbol y
de sus subárboles. Dado el vector-orden v representamos por ( )vΓ al conjunto de subárboles de
v , incluido el mismo v (de forma que ( )v v∈Γ ), y denominamos subárbol propio de v a todo
( )vµ∈Γ tal que vµ ≠ . Definimos la Entropía de 1er Nivel ( )vH como la suma de las Entropías
Propias de los subárboles ( )vµ∈Γ , por lo que escribiremos
( )
.( ) ( )v
v Hµ
µ∈Γ
= ∑H (21)
Para ilustrar este razonamiento tomemos como ejemplo el árbol de grado cuatro definido por
el vector-orden [1,2,3,3] (Figura 10). Este árbol está a su vez formado por los dos subárboles
[1,2,2] y [1,1], de manera que ([1,2,3,3])H = ([1,2,3,3])H + ([1,2,2])H + ([1,1])H . Teniendo en
cuenta que según la definición ([1,1]) 0.63H = la Entropía de 1er Nivel para los ejemplos
planteados será ([1, 2,3,3]) =H ([1, 2,3,3]) ([1,2,2]) ([1,1]) 1.92 1.26 0.63 3.81H H H= + + = + + =
nats mientras que para el árbol [2,2,2,2] tendremos que
([2,2,2,2]) ([2,2,2,2]) ([1,1]) ([1,1]) 1.32 0.63 0.63 2.58H H H= + + = + + =H nats. Obsérvese que
al hablar de subárboles nos referimos sólo a aquellos de grado mayor o igual a dos; no
consideramos los árboles de grado uno (un solo segmento) porque en este nivel topológico su
entropía es obviamente cero.
Villacorta RESULTADOS
65
Figura 10. Descomposición de los dos tipos de árboles de grado cuatro en sus subárboles propios respectivos (hasta
grado dos). El árbol de vector-orden [1,2,3,3] se descompone en los subárboles [1,2,3,3] (incluimos al propio árbol),
[1,2,2] y [1,1], mientras que el árbol [2,2,2,2] lo hace en [2,2,2,2] y dos árboles de tipo [1,1].
Las ecuaciones (19), (20) y (21) definen la Entropía de 1er Nivel, que describe la capacidad
de los árboles dendríticos como fuentes generadoras de información atendiendo a sus
características topológicas.
1.3. ENTROPÍA DE 2º NIVEL
El nivel descriptivo adoptado en la Entropía de 1er Nivel se refiere a las propiedades más básicas
del árbol. En el siguiente grado descriptivo mantendremos en esencia el enfoque topológico,
conservando la estructura de ramificación como la característica fundamental del árbol
dendrítico, sin embargo las imposiciones en que se fundamenta la entropía topológica se verán
relajadas para permitir la inclusión de características más realistas. Se supondrá entonces que:
• Cada segmento dendrítico del árbol puede recibir un número arbitrario de sinapsis.
• Las diferentes sinapsis que puede recibir un árbol dendrítico portan, cada una, una señal
diferente, por lo tanto se considera que son estimulaciones independientes entre sí.
RESULTADOS Villacorta
66
• La respuesta a la entrada sináptica de una misma señal cambia tanto con el orden del
segmento donde se localiza dicha sinapsis como con el carácter de ese segmento
(segmento terminal o intermedio).
1.3.1. FUNDAMENTACIÓN DE LA ENTROPÍA DE 2º NIVEL
Polisinapticidad por segmento
La última restricción impuesta sobre el árbol dendrítico limitando las sinapsis a un único
contacto por segmento se basó en la consideración de la estructura topológica de árbol y no en
sus propiedades morfométricas, por lo tanto la ausencia de longitudes o espesores hacía
congruente la inclusión de, como mucho, una sola sinapsis por segmento. A pesar de que por
su simplicidad éste es un enfoque acertado de cara a un abordaje inicial de la caracterización
entrópica buscada, de nuevo, como ocurría anteriormente, no es fiel a las circunstancias reales
puesto que en la naturaleza un mismo segmento dendrítico puede recibir múltiples contactos
sinápticos [Peters, Palay and Webster, 1991].
En este caso relajaremos la condición anterior suponiendo que cada segmento dendrítico
puede recibir un número indeterminado de contactos sinápticos, el problema no obstante es que
a priori no existe una limitación en la cantidad de sinapsis impuesta por el propio árbol
dendrítico (recordemos que en la Entropía de 1er Nivel la restricción 1.4. forzaba a un número
máximo de contactos sinápticos igual al número de segmentos), por lo tanto, y a efectos de
poder comparar esta medida entrópica con la anterior, admitiremos únicamente m sinapsis para
un árbol con m segmentos (terminales e intermedios).
Diversidad de la señal de estimulación sináptica
La imposición inicial de que todas las posibles sinapsis envíen la misma información obedecía
fundamentalmente a la idea de caracterizar a los árboles dendríticos como fuentes de
información en base a sus propiedades intrínsecas y no a su contexto. En general en la realidad
cada una de las diferentes sinapsis podrán portar distinta información por lo que para el
siguiente nivel de entropía supondremos que cada contacto sináptico transmite una señal
propia, diferente a la portada por las demás sinapsis.
Villacorta RESULTADOS
67
Evidentemente esta nueva condición aunque más realista es también extrema en el sentido
de que en un árbol dendrítico real es posible que muchos de los contactos sinápticos tengan
procedencias diferentes, y por tanto transmitan distinta información, sin embargo puede existir
un número elevado de las sinapsis restantes que provengan del mismo axón mediante
colaterales (aunque sinapten en diferentes partes del árbol), llevando entonces la misma señal
[Kandel, Schwartz and Jessell, 2000]. Lo importante es que las condiciones de unicidad del
input de la Entropía de 1er Nivel y de diversidad de la señal de entrada de la Entropía de 2º
Nivel establecen los límites entre los que estarán los árboles dendríticos reales y por tanto es
posible contemplar cuantitativamente (a través de la entropía) cualquier situación posible en lo
que a la diversidad de la señal sináptica recibida se refiere.
Respuesta a la estimulación sináptica dependiente del orden y del carácter del segmento
En los árboles dendríticos reales las respuestas pasivas a estimulación sináptica de tipo químico
dependen de la parte del árbol dendrítico en la que se localice la sinapsis. Centrándonos
exclusiva-mente en el carácter de los segmentos dendríticos (es decir, en si son segmentos
terminales o intermedios), es evidente que si alteramos la conductancia de la membrana en un
determinado punto de un segmento (que es cómo se modeliza una sinapsis química a través de
la función alfa [Koch, 1999]), la forma en que la variación de voltaje resultante se propaga
pasivamente por el resto del árbol dendrítico dependerá de lo que hay entre el segmento
pertinente y el soma. Por el contrario cuando la sinapsis se produce sobre un segmento
intermedio la manera en que se propaga la señal dependerá no sólo de lo que hay entre el punto
de contacto sináptico y el soma, sino también de lo que hay por encima de él. Esto significa
que una misma respuesta variará si el subárbol dendrítico que dimana del segmento intermedio
es más o menos complejo, aunque el resto del árbol total sea igual, mientras que esta
restricción no existe para los segmentos terminales.
Esta diferenciación en las respuestas basada en el carácter del segmento se aprecia en la
Figura 8.a. y 8.b. e incluso en la 8.c., donde las curvas se agrupan según el orden, aunque en
mayor o menor medida dentro de las de un mismo color aparecen diferencias que son debidas,
entre otras cosas, a si la sinapsis se localiza en un segmento intermedio o sobre uno terminal.
Cuando el diámetro es suficientemente pequeño esta distinción no es necesaria (límite
topológico), sin embargo si queremos reflejar circunstancias más realistas (Figuras 1.a. y 1.b.)
es necesario tenerla en cuenta.
RESULTADOS Villacorta
68
En resumen, la Entropía de 2º Nivel trata de cuantificar la capacidad de los árboles dendríticos
para generar información manteniendo el enfoque topológico pero rebajando el nivel restrictivo
impuesto a las condiciones de formación de contactos sinápticos y por ello de formación de
símbolos como fuente de información. Estos cambios conciernen fundamentalmente a las
circunstancias externas a la propia estructura dendrítica, es decir a la forma en que la
información proveniente del exterior es introducida en el árbol a través de las sinapsis. No
obstante se ha añadido una serie de variaciones importantes afectando al propio árbol y que
involucran la distinción de la respuesta en base al carácter y a ciertas características
morfométricas del segmento dendrítico donde se localiza la sinapsis. Estas circunstancias
pretenden tender un puente entre la visión puramente topológica (en la que la respuesta sólo
depende del orden del segmento conteniendo el contacto sináptico) y la morfométrica. En ésta
última, como veremos más adelante, la respuesta a la estimulación sináptica depende de manera
capital, además del patrón de ramificación, de las longitudes y diámetros dendríticos.
1.3.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ENTROPÍA DE 2º NIVEL
Dado por ejemplo el árbol dendrítico de vector-orden [1,2,3,3] de la Figura 10, denotaremos el
conjunto de segmentos por sus respectivos órdenes, organizados como [(0) (1) (2);(1) (2) (3)
(3)], donde los primeros tres órdenes se refieren a los segmentos intermedios y los últimos cuatro
a los segmentos terminales. Cuando uno de los segmentos recibe un contacto sináptico se señala
añadiendo un símbolo junto al orden de dicho segmento del tipo ‘*’ o ‘+’. Por ejemplo un par de
sinapsis diferentes en el segmento intermedio de orden 2 y en el terminal de orden 1 se
representaría como [(0) (1) (2∗);(1+) (2) (3) (3)].
Analicemos la importancia de cada una de las nuevas restricciones impuestas a la Entropía de
2º Nivel tomando como ejemplo el árbol dendrítico topológico dado por el vector-orden [1,1].
Para poder comparar primero aplicamos las condiciones que definían la Entropía de 1er Nivel, en
concreto asumiendo que cada segmento dendrítico puede recibir sólo una sinapsis y que todos los
contactos sinápticos portan la misma señal de entrada. Si suponemos que al árbol llega una sola
sinapsis, indicada con el símbolo ‘+’, las configuraciones posibles del sistema se escribirán
entonces como [(0+);(1) (1)], [(0);(1+) (1)] y [(0);(1) (1+)], que en función de la señal codificada
(símbolo generado) podrán agruparse en dos conjuntos, 1S = [(0+);(1) (1)] y 2S = [(0);(1+)
(1)], [(0);(1) (1+)] . La probabilidad de aparición de cada símbolo será respectivamente 1p = 1/3
y 2p =2/3. Si en las mismas condiciones suponemos ahora que el árbol puede recibir dos
Villacorta RESULTADOS
69
contactos sinápticos las nuevas configuraciones del sistema serán [(0+);(1+) (1)], [(0+);(1) (1+)]
y [(0); (1+) (1+)], que darán lugar a dos símbolos, 1S = [(0);(1+) (1+)] y 2S = [(0+);(1+)
(1)], [(0+);(1) (1+)] de probabilidades 1p = 1/3 y 2p =2/3.
Contactos polisinápticos por segmento con la misma entrada
Volviendo al ejemplo anterior en el que eran dos las sinapsis que podían formarse sobre el árbol
dendrítico [1,1] tendremos que las posibles configuraciones conectivas serán [(0++);(1) (1)],
[(0+);(1+) (1)], [(0+);(1) (1+)], [(0);(1++) (1)], [(0);(1+) (1+)] y [(0); (1) (1++)]. Esta nueva
situación genera tres símbolos distintos (y no dos como en el caso anterior) correspondientes a
los conjuntos 1S = [(0);(1++) (1)], [(0);(1+) (1+)], [(0);(1) (1++)] , 2S = [(0+);(1+) (1)],
[(0+);(1) (1+)] y 3S = , [(0++); (1) (1)] con probabilidades respectivas 1p = 3/6, 2p =2/6 y
3p = 1/6.
Contactos polisinápticos por segmento con distintas entradas
Supongamos ahora que en el ejemplo previo son dos los contactos sinápticos que se forman
sobre el árbol cada señal de input, denotados por los símbolos ‘+’ y ‘∗’. Las nuevas
configuraciones sinápticas vendrán dadas entonces por [(0+∗);(1) (1)], [(0+);(1∗) (1)], [(0+);(1)
(1∗)], [(0∗);(1+) (1)], [(0∗);(1) (1+)], [(0);(1+∗) (1)], [(0);(1+) (1∗)], [(0);(1∗) (1+)] y [(0);(1)
(1+∗)]. Estas nueve configuraciones generan cuatro símbolos correspondientes a los conjuntos
1S = [(0);(1+∗) (1)], [(0);(1+) (1∗)], [(0);(1∗) (1+)], [(0);(1) (1+∗)] , 2S = [(0+);(1∗) (1)],
[(0+);(1) (1∗)] , 3S = [(0∗);(1+) (1)], [(0∗);(1) (1+)] y 4S = [(0+∗);(1) (1)] con
probabilidades =1p 4/9, =2p 2/9, 3p = 2/9 y 4p = 1/9.
Estos ejemplos muestran que los símbolos 1S , 2S , 3S y 4S se obtienen de combinar los
símbolos iniciales 1S y 2S para cada señal ‘+’ y ‘∗’. Así denotando por ‘ ’ a la operación
‘combinar símbolos’ tenemos que 1 2 2ˆ ˆ( ) ( )S S S= + ∗ , 2 1 2
ˆ ˆ( ) ( )S S S= + ∗ , 3 1 2ˆ ˆ( ) ( )S S S= ∗ + y
4 1 1ˆ ˆ( ) ( )S S S= + ∗ , de donde de la condición de independencia de dichos símbolos se deduce que
las probabilidades 1p , 2p , 3p y 4p se obtienen a partir de las probabilidades 1p y 2p como
RESULTADOS Villacorta
70
1 2 2ˆ ˆp p p= ⋅ = 2/3 ⋅2/3 = 4/9, 2 1 2ˆ ˆp p p= ⋅ = 1/3 ⋅2/3 = 2/9, 3 1 2ˆ ˆp p p= ⋅ = 1/3 ⋅2/3 = 2/9 y
4 1 1ˆ ˆp p p= ⋅ = 1/3 ⋅1/3 = 1/9. La condición de independencia de las configuraciones sinápticas
(símbolos) tiene consecuencias importantes en la definición matemática de la Entropía de 2º
Nivel puesto que como se señaló en la Introducción, la entropía asociada a eventos
independientes entre sí es igual a la suma de las entropías de cada uno de ellos. Este aserto se
puede comprobar con el sencillo ejemplo tratado aquí. La entropía asociada al primer caso viene
dada por E = 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆln( ) ln( )p p p p− − = (2 / 3) ln(2 / 3) (1/ 3) ln(1/ 3)− − = 0.6365 nats. Si al primer
contacto sináptico (+) añadimos el segundo (∗) la entropía resultante será 1 1ˆ ˆln( )E p p= − −
2 2 3 3 4 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆln( ) ln( ) ln( )p p p p p p− − − = (4 / 9) ln(4 / 9) (2 / 9) ln(2 / 9)− − − (2 / 9) ln(2 / 9) (1/ 9) ln(1/ 9)−
= 1.273 = ˆ2E .
k-entropía
Esta discusión muestra cómo el cálculo de entropías que involucran a eventos independientes se
simplifican considerablemente, lo que nos permitirá obtener la Entropía Propia de 2º Nivel a
partir sólo de la 1-entropía correspondiente (k-entropía con un solo contacto sináptico). En
general entonces supongamos sólo una sinapsis contactando con un árbol dendrítico de grado n y
denotemos por tv al conjunto formado por los órdenes de los segmentos terminales y por iv al
formado por los órdenes de los segmentos intermedios16. El número de símbolos distintos que el
árbol puede generar como fuente de información se obtendrá razonando con cada conjunto tv y
iv igual que se hizo en la Entropía de 1er Nivel con el vector-orden. De este modo si a cada orden
diferente de tv ( iv ) lo denotamos por ,t kv ( ,i kv ) y suponemos que se repite ,t kr ( ,i kr ) veces, habrá
tm ( im ) símbolos diferentes con 1, ..., tk m= ( 1, ..., ik m= ), verificándose que
,
1 , ,, ,
1 1 1 1,
1
2 1 1.2 1 2 1
1
t
t i t i
i
m
t k m m m mk t k i k
t k i kmk k k k
i kk
r nr r
r r nn n
r n
=
= = = =
=
= ⇒ + = − ⇒ + = − −= −
∑∑ ∑ ∑ ∑
∑
16 Obsérvese que al asumir que la bifurcación es el único proceso de ramificación, obtener el conjunto de órdenes de
los segmentos intermedios iv a partir del vector-orden es inmediato.
Villacorta RESULTADOS
71
En consecuencia la probabilidad de encontrar un símbolo determinado cuando el contacto
sináptico se establece en los segmentos terminales o intermedios vendrá dada respectivamente
por
,,
,,
, 1, ,2 1
, 1, , .2 1
t kt k t
i ki k i
rp k m
nr
p k mn
= =−
= =−
…
… (22)
de donde la 1-entropía de 2º nivel se escribirá como
, , , ,1
1 1
ln ln2 1 2 1 2 1 2 1
t im mt k t k i k i k
k k
r r r rH
n n n n= =
= − − − − − − ∑ ∑ . (23)
La premisa de independencia ya analizada lleva a una sencilla expresión de la k-entropía
correspondiente a la generación de información cuando el árbol dendrítico puede recibir k
contactos sinápticos. Puesto que las aferencias sinápticas son independientes la entropía total
será la suma de la entropía correspondiente a cada una de las k entradas. Estas entropías son
iguales entre sí y vienen dadas por la expresión (23), de manera que:
veces
1 1 1
k
kH H H k H= + + =… , (24)
Entropía propia
Se deduce entonces que la Entropía Propia de 2º nivel, definida como el promedio de las k-
entropías de 2º nivel cuando k = 1, …, 2n -1, será
2 1 2 1 2 1
1 11 1
1 1 1
1 1 2 (2 1) .2 1 2 1 2 1 2 1 2
n n n
kk k k
H H n nH H kH k nHn n n n
− − −
= = =
−≡ = = = =
− − − −∑ ∑ ∑ (25)
Obsérvese que ahora existen algunas diferencias con respecto a la Entropía Propia de 1er
Nivel, ya que en ese caso las k-entropías se consideraban hasta k = 2(n-1) porque cuando el árbol
dendrítico recibía 2n-1 sinapsis las restricciones impuestas implicaban una entropía nula, con lo
cual ese último caso no se tenía en cuenta. En la Entropía Propia de 2º Nivel la posibilidad de
que cada segmento pueda recibir más de una sinapsis cambia esta situación de manera que en
este caso k podrá tomar el valor 2n-1. De hecho ya se comentó que, al igual que se hizo en la
Entropía de 1er Nivel, se ha restringido el número de contactos sinápticos posibles a 2n-1, que es
RESULTADOS Villacorta
72
el número de segmentos que posee el árbol dendrítico de grado n, para poder comparar
adecuadamente una medida entrópica con otra.
Definición de Entropía de 2º Nivel
El razonamiento desarrollado en la sección 1.2.2. que condujo a la definición de la Entropía de
1er Nivel, es aquí válido, por lo que retomando la notación establecida entonces y la definición
dada por la ecuación (21) definiremos la Entropía de 2º Nivel del árbol dendrítico de vector-
orden v como las Entropías Propias de 2º Nivel para todos los subárboles de v (incluido el propio
v), es decir:
( )
,( ) ( )v
v Hµ
µ∈Γ
= ∑H (26)
junto a las ecuaciones (23), (24) y (25).
1.4. ENTROPÍA DE 3er NIVEL
El siguiente paso hacia la inclusión de circunstancias más realistas en la caracterización
entrópica de los árboles dendríticos es añadir a los rasgos topológicos ciertas propiedades
morfométricas. En las medidas entrópicas estudiadas previamente la estructura topológica
limitaba la variedad de formaciones sinápticas y con ellas los tipos de señales procesadas, sin
embargo al añadir dimensiones morfométricas, en concreto al incluir la longitud en los
segmentos dendríticos, las posibilidades de contactos sinápticos diferentes se incrementan
significativamente y en consecuencia la propagación pasiva de las señales introducidas a través
de los posibles contactos sinápticos conduce a una mayor diversidad de símbolos. La
introducción de las nuevas restricciones añade una nueva dimensión de complejidad al análisis
entrópico de este trabajo, sin embargo se han utilizado sólo las propiedades morfométricas que la
fundamentación ha demostrado más relevantes (sección siguiente), ya que la inclusión de la
morfometría plantea un inmenso abanico de posibilidades en lo que a la situación de las sinapsis
en el árbol se refiere: numerosos contactos sinápticos congregados en puntos concretos de las
dendritas, variación de su concentración según la distancia al soma, según la orientación del
propio árbol, diferente localización a lo largo del segmento en función del carácter de éste, etc.
Villacorta RESULTADOS
73
En la sección siguiente se prueba por tanto que las condiciones sobre las que se fundamenta la
Entropía de 3er Nivel son:
• Las características morfométricas relevantes de los árboles dendríticos son la longitud y
el diámetro de sus segmentos.
• Cada segmento dendrítico del árbol puede recibir un número indeterminado de sinapsis.
• Las diferentes sinapsis que puede recibir un árbol dendrítico transmiten, cada una, una
señal diferente (estimulaciones independientes entre sí).
• La respuesta a la inyección sináptica de una misma señal depende del orden del segmento
donde se localiza dicha sinapsis y de si éste es terminal o intermedio.
Las tres últimas suposiciones son las mismas que sostenían la Entropía de 2º Nivel, sin
embargo, como se verá, su justificación aparece ahora más natural al admitirse la existencia de
características morfométricas.
1.4.1. FUNDAMENTACIÓN DE LA ENTROPÍA DE 3er NIVEL
Éste nuevo nivel de entropía de los árboles dendríticos es especialmente delicado ya que,
mientras en las medidas anteriores las características involucradas variaban de forma discreta, la
inclusión de medidas dimensionales implica una variación continua en las cualidades del sistema
y por tanto un número continuo de símbolos que pueden ser generados por al árbol. Existen dos
tipos distintos de abordaje, el tratamiento continuo y la discretización de las características
continuas; esta segunda opción será la considerada en el presente trabajo. Recordemos que la
cuantificación de la capacidad de un árbol dendrítico como fuente discreta de información se
basa en determinar las conformaciones sinápticas que proporcionaban las mismas respuestas. Si
ahora suponemos que una cierta sinapsis puede formarse en cualquier punto de un segmento
dendrítico concreto, la respuesta a la señal introducida en el árbol variará de manera continua
según cambie la posición del contacto sináptico debido al efecto de la propagación pasiva, de
manera que cuanto menor sea la variación en la posición menor será la diferencia en la respuesta.
Supongamos que dos respuestas suficientemente parecidas se consideran iguales (posterior-
mente se detallará con rigor qué se quiere decir con ‘suficientemente parecidas’), entonces en
términos de localización del contacto sináptico esto significa que los puntos de sinapsis (también
RESULTADOS Villacorta
74
‘suficientemente cercanos’) se considerarán el mismo17, es decir se discretiza el segmento
dendrítico en cuanto a su longitud se refiere. En conclusión, el transformar el caso continuo en
discreto es equivalente a realizar directamente el abordaje continuo reduciendo luego las
respuestas más cercanas al mismo caso.
Las propiedades morfométricas de las dendritas pueden referirse a múltiples aspectos, desde
los más inmediatos como su longitud y grosor, hasta su tortuosidad, varicosidades, distribución
de espinas, tamaño de éstas, etc. La inclusión de unas u otras en las medidas entrópicas pasa por
un conocimiento más o menos preciso de las características de los árboles bajo estudio, lo que a
su vez depende tanto del tipo de neuronas analizadas como de las herramientas experimentales
disponibles. La Entropía de 3er Nivel contemplará sólo la longitud y el diámetro de los
segmentos que componen el árbol dendrítico, a pesar de que, como se discutirá más adelante, la
determinación de este último parámetro con las técnicas actuales es bastante discutible.
Con objeto de obtener conclusiones lo más realistas posibles acerca del comportamiento de
un árbol dendrítico real y continuando con lo hecho para la fundamentación de la Entropía de 1er
Nivel (sección 1.2.1.) se han llevado a cabo numerosas simulaciones por medio del programa
‘Neuron’ de diferentes tipos de árboles dendríticos. Los árboles simulados pertenecen a dos
clases muy distintas de neuronas, la de motoneuronas del gastrocnemio del gato [Cullheim,
Fleshman, Glenn and Burke, 1987] y la de neuronas de proyección al tálamo del núcleo
principalis de la rata [Jacquin, Golden and Panneton, 1988]. Estas dos clases difieren tanto en sus
propiedades topológicas como en su morfometría, siendo las primeras considerablemente más
grandes y de ramificación más compleja. Estas simulaciones nos permitirán probar cómo las
diferentes características del árbol dendrítico afectan a la forma en que éste responde a la
estimulación sináptica.
En todo este estudio estamos suponiendo que la propagación de la señal a través del árbol
dendrítico es pasiva y que la estimulación sináptica se realiza a través de un cambio en la
conductancia de la membrana celular modelizado por la función alfa, con τ = 1 ms y gmax =
0.001 µS [Koch, 1999]. Una manera de caracterizar cuantitativamente los EPSPs generados por
este tipo de estimulación es a través de su valor máximo, del tiempo que tarda en alcanzarlo y de
su centroide [Agmon-Snir and Segev, 1993]. Huelga decir que estos tres valores no definen
17 Se consideran los mismos contactos sinápticos en términos de las señales generadas por el árbol: cuando se
introduce por ellos una misma señal de entrada las señales registradas en el soma son iguales.
Villacorta RESULTADOS
75
unívocamente a la función de respuesta, ya que los dos primeros definen un solo punto por el que
debe pasar la respuesta y el centroide es de hecho el primer momento estadístico de la respuesta,
es decir su promedio cuando se trata a la función temporal que define la respuesta como una
función de densidad de probabilidad. Además la propagación pasiva es un proceso difusivo, es
decir no conservativo, por lo que el EPSP no conserva su forma al propagarse, de ahí lo difícil de
su caracterización.
En un abordaje inicial simplificado hemos testado la influencia de la longitud y el diámetro
sobre la respuesta a la estimulación sináptica por medio del árbol dendrítico más sencillo posible,
el de vector-orden [1,1], con diámetros de los segmentos terminales variables entre 1 y 2 µy de
diámetro en el segmento raíz de 3 µ18. Las condiciones biofísicas de la membrana celular
implementadas son: una resistencia axial de 100 Ω·cm, una capacitancia de membrana igual a 1
µF/cm2, una conductancia pasiva de 6e-05 S/ cm2 (este valor modeliza el efecto de los canales
pasivos) y un potencial de membrana base igual a -70 mV [Koch, 1999]. En estas condiciones se
han estudiado dos tipos de situaciones, aquella en que las longitudes son del orden de las
centenas de micras y otra en que los segmentos dendríticos miden sólo unas decenas de micras.
El primer caso se ilustra en la Figura 11, en la que se comparan las tres respuestas a una sola
sinapsis localizada en tres puntos: el origen (en rojo) y extremo (en azul) del segmento más corto
(en trazo discontinuo) y un punto del segmento más largo (en trazo continuo) localizado a una
distancia del nodo común igual a la longitud del segmento más corto (en azul). Cada uno de estos
puntos se denota en el recuadro con una flecha señalando la localización sináptica
correspondiente y cada respuesta se representa con el color y trazo del punto y segmento donde
se encuentra la localización respectiva, así por ejemplo la respuesta correspondiente a la señal
inyectada sinápticamente en el punto señalado con la flecha azul sobre el segmento más largo se
representa en trazo continuo azul. Se presentan cuatro elecciones para los valores de los
diámetros de los dos segmentos implicados, en dos de las cuales los valores de ambos diámetros
coinciden y en las restantes son muy diferentes. Según se aprecia las respuestas son diferentes
incluso cuando los diámetros son iguales. Las respuestas a las estimulaciones sinápticas,
localizadas en ambos segmentos a la misma distancia del nodo común (en trazo azul continuo y
discontinuo), están más próximas es cuando uno de los diámetros es casi el doble del otro.
18 Estos valores están dentro del rango de los diámetros registrados experimentalmente [Cullheim, Fleshman, Glenn
and Burke, 1987; Jacquin, Golden and Panneton, 1988], a pesar de las limitaciones que en la práctica existen a este
respecto (ver Discusión).
RESULTADOS Villacorta
76
Figura 11. Respuestas a la estimulación sináptica sobre un árbol dendrítico de topología [1,1] y longitudes de
segmentos en la centena de micras simuladas por medio del programa ‘Neuron’. El árbol simulado se detalla en el
recuadro junto con las posiciones de las tres sinapsis modelizadas por medio de la función alfa (ver detalles en el
texto), correspondiendo el trazo discontinuo al segmento menor y el continuo al de mayor longitud. Las posiciones
de las sinapsis se señalan con flechas de diferentes colores según su distancia al nodo común. En las cuatro
simulaciones presentadas las longitudes se han mantenido como aparecen en el recuadro pero los diámetros (en
micras) respectivos se han variado según se indica en cada figura. El trazo y color de cada respuesta representada
corresponde respectivamente al segmento y situación de la sinapsis que ha generado dicha respuesta. Se aprecia que
en ningún caso las respuestas son parecidas, en contra de lo que ocurría en el caso topológico.
La situación cambia radicalmente cuando las longitudes de los segmentos dendríticos se
rebajan desde las centenas a las decenas de micras. La Figura 12 muestra que, aún cuando la
relación entre las longitudes de ambos segmentos se mantiene, las respuestas a sinapsis situadas
a la misma distancia del nodo común coinciden cuando los diámetros de los segmentos sobre los
que se sinapta son iguales (Figs. 12.b y 12.d).
Villacorta RESULTADOS
77
Figura 12. Respuestas a la estimulación sináptica sobre un árbol dendrítico de topología [1,1] y longitudes de
segmentos en la decena de micras. La estructura de esta figura es idéntica a la de la Figura 11. Con el nuevo rango
de longitudes las respuestas representadas resultantes de la estimulación sináptica se ajustan a la intuición
topológica, ya que en los casos en que los diámetros (dados en micras) de los dos segmentos terminales coinciden
también lo hacen las respuestas correspondientes, mientras que a diferentes diámetros corresponden distintas
respuestas. El potencial de reposo es de -70 mV sin embargo las figuras sólo se muestra los detalles donde se aprecia
mejor las diferencias entre las respuestas.
Estas primeras pruebas nos indican que la forma en que un árbol dendrítico con
características morfométricas realistas responde a la estimulación sináptica es muy diferente
según sea el orden de magnitud de sus longitudes. Este hecho tiene una repercusión importante
sobre su comportamiento como fuente de información, ya que, volviendo a los ejemplos
anteriores, cuando los segmentos son grandes (Figura 11) cada posición del contacto sináptico
dentro del segmento engendrará una respuesta distinta, mientras que si las longitudes son
pequeñas y los diámetros suficientemente parecidos (Figura 12) las respuestas serán diferentes
RESULTADOS Villacorta
78
únicamente en función de la distancia de la sinapsis al nodo común. En otras palabras, en el caso
de segmentos de corta longitud un contacto sináptico situado a una cierta distancia del nodo
generará la misma señal de salida independientemente del segmento sobre el que esté, cosa que
no sucede si las longitudes son elevadas. Obsérvese que según este razonamiento si hacemos que
la longitud y el diámetro tiendan a cero recuperamos el límite topológico en el que se basa la
Entropía de 1er Nivel.
Este hecho se ha visto corroborado en diversas simulaciones realizadas sobre el árbol [1,1]
pero con diferentes baterías de valores para los diámetros y longitudes además de los empleados
en las Figuras 11 y 12. A su vez a un nivel más realista se han llevado a cabo numerosas pruebas
sobre la motoneurona del gastrocnemio de gato simulada a partir de [Cullheim, Fleshman, Glenn
and Burke, 1987], que han confirmado lo colegido de las pruebas iniciales. En definitiva de esto
se ha concluido que en este tipo de neuronas a cada posible contacto sináptico le correspondería
una única señal de respuesta, y por lo tanto, desde el punto de vista de la teoría de la
información, cada sinapsis llevaría asociada la generación de un único símbolo.
La conclusión obtenida de la Figura 12 se ha generalizado en las pruebas realizadas con el
modelo de neurona de proyección talámica del núcleo principal del trigémino (principalis)
obtenido de [Jacquin, Golden and Panneton, 1988] por medio de ‘Neuron’. En el estudio
preliminar del árbol [1,1] se dedujo que cuando las longitudes de los segmentos dendríticos eran
del orden de las decenas de micras, como es este caso, las respuestas a sinapsis en segmentos con
nodo común eran (suficientemente) iguales si la distancia del contacto sináptico al nodo era la
misma, sin embargo en árboles de ramificación más compleja19 ya se comentó que la
propagación pasiva se ve también influida por las estructuras que crecen a partir de los
segmentos considerados (intermedios). En el caso de segmentos terminales esto no es un
problema por no existir tales estructuras más distales a ellos, pero la situación en cuanto a los
segmentos intermedios es más delicada. Para analizarla detalladamente se ha propuesto una serie
de variaciones a la neurona del principalis obtenida de [Jacquin, Golden and Panneton, 1988]
(aunque dentro de las características morfológicas de ese tipo de árboles reportadas en ese
19 En general nos referimos a la complejidad en la ramificación desde un punto de vista muy intuitivo, algo que se
observa visualmente de la topología del árbol. Sin embargo este concepto está asociado en primera instancia al
grado del árbol dendrítico, aunque la forma más rigurosa de hablar de la complejidad de ramificación es
naturalmente a través de la Entropía de 1er Nivel.
Villacorta RESULTADOS
79
trabajo) que afectan al subárbol que dimana de uno de los segmentos intermedios de orden
cuatro.
En la Figura 13 se muestran los diversos subárboles propuestos, marcándose en verde los
segmentos intermedios de orden cinco donde se han localizado las sinapsis empleadas para la
estimulación. Los árboles sólo se muestran en su versión topológica, es decir la longitud de cada
segmento no corresponde a la real, y se describen por medio de la Entropía de 1er Nivel y de la
asimetría [Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]. Esta última medida fue
propuesta en los años noventa para caracterizar cuantitativamente la topología de un árbol
dendrítico en función del balance entre el número de segmentos de cada uno de los dos
subárboles que dimana de cada nodo [Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg,
1992]. A partir de estas dos medidas se explicitan tres características indicadas bajo cada
subárbol: i) el valor absoluto de la diferencia entre las Entropías de 1er Nivel de los subárboles
que crecen de cada segmento de orden cinco (en verde), denotado en la figura por E, ii) el valor
absoluto de la diferencia entre las asimetrías de los subárboles que crecen de cada segmento de
orden cinco, denotado en la figura por A, y iii) la propia asimetría del subárbol, denotada por As.
Figura 13. Representación topológica de la neurona del núcleo principalis de la rata empleada como modelo realista
para la simulación de respuestas a la estimulación sináptica. Se han considerado diversos casos con distintas
propiedades en cuanto a su entropía y asimetría (ver texto para los detalles). La diferencia entre esos casos radica en
el subárbol denotado por la circunferencia en rojo, que se ha modelizado a partir de los indicados en las figuras a
RESULTADOS Villacorta
80
hasta f c asignando a los segmentos correspondientes longitudes realistas acordes a este tipo de neuronas [Jacquin,
Golden and Panneton, 1988]. En verde se señalan los segmentos intermedios de orden 5 donde se localizan las
sinapsis de estimulación. Los resultados de estas pruebas se muestran en la Figura 14.
Sobre cada uno de los casos mostrados en la Figura 13 se ha realizado la misma prueba: la
sinapsis activa se ha situado en diferentes puntos de los dos segmentos intermedios de grado
cinco (en verde en la Figura 13), denotados en la Figura 14 por Segm 1 para el segmento más
largo, de 12 µm, y por Segm 2 para el segmento más corto, de 3 µm. Al igual que en las Figuras
11 y 12 el tipo de trazo de cada señal de respuesta corresponde al tipo de trazo con el que se
representa el segmento donde se encentra la sinapsis. Del mismo modo el color con que se ha
representado la respuesta coincide con el de la flecha que en el recuadro de la Figura 14 señala la
localización de la sinapsis.
La Figura 14 muestra sólo los resultados a las pruebas para la Figura 13.a. (izquierda) y para
la Figura 13.f. (derecha) ya que corresponden a los casos extremos en lo que al valor de la E se
refiere (E = 0 y E = 3.94 respectivamente). En ella se observa cómo a medida que los diámetros
d1 y d2 de los dos segmentos (presentados como [d1,d2] en cada gráfica y dados en unidades de
micras) van siendo más parecidos las respuestas resultantes de estimular sinápticamente en
ambos segmentos a la misma distancia del nodo común, se van haciendo más semejantes,
independientemente de la estructura de ramificación considerada20. A pesar de que sólo se
muestran dos de los seis casos testados, los resultados para los casos b, c, d y e de la Figura 13
son equivalentes, demostrando que las características topológicas pueden no ser tenidas en
cuenta en una primera aproximación mientras el rango de longitudes y diámetros sea el
adecuado. Más aún, el recuadro de la Figura 14 muestra que aunque las longitudes de los dos
segmentos intermedios son considerablemente diferentes (aunque se mantienen por debajo de las
cien micras) ello no afecta significativamente al resultado, por lo que la longitud total del
segmento tampoco será un parámetro a considerar cuando se analice la variedad de señales o
símbolos a generar por el árbol dendrítico bajo distintas condiciones de estimulación sináptica.
20 El sentido exacto de la similitud entre respuestas a las estimulaciones sinápticas se detalla en la Discusión; en
aras de una mayor simplicidad expositiva nos limitamos aquí a la intuición proporcionada por las Figuras 11, 12 y
14.
Villacorta RESULTADOS
81
Figura 14. Respuestas a la estimulación sináptica de un árbol dendrítico típico de una neurona del núcleo principalis
de la rata simulada por medio de ‘Neuron’. La estructura topológica se presenta en la Figura 13: el grupo de
respuestas (a) corresponde al árbol de la Figura 13.a. mientras que el grupo (b) concierne al de la Figura 13.f. El
esquema de relaciones entre trazos y colores, y localización de sinapsis y respuestas correspondientes es el empleado
en las figuras anteriores. Estos resultados muestran que lo concluido en la Figura 12 es también válido en estructuras
dendríticas más complejas.
Los resultados mostrados en las Figuras 12 y 14 sugieren considerar únicamente al diámetro
dendrítico como el parámetro morfométrico que más influye sobre los distintos tipos de
respuestas dadas por el árbol dendrítico. Concluimos entonces que en los casos realistas, en que
los diámetros de los segmentos dendríticos tienen valores de unas pocas micras, si las longitudes
de dichos segmentos están en el rango de las decenas de micras y sus diámetros son iguales, o
suficientemente parecidos (Figura 14), podremos asumir que las respuestas producidas por la
inyección de la misma señal en dos segmentos con nodo común a través de sinapsis localizadas
en cualquiera de ellos a la misma distancia de su nodo, serán indistinguibles. A esta suposición la
denominaremos aproximación a primeros vecinos, ya que los segmentos con nodo común son
los vecinos más próximos posibles. En estos términos asumimos pues que, dados dos segmentos,
tanto terminales como intermedios, con nodo común y diámetros difiriendo en menos de un 10%,
la aproximación a primeros vecinos se puede considerar válida.
En términos prácticos esta circunstancia se refleja en que la variedad de las señales de
respuesta generadas –y por tanto de símbolos- será menor en un árbol dendrítico que verifique
las anteriores condiciones y en el cual sea válida la aproximación a primeros vecinos
(motoneuronas del gastrocnemio del gato), que en el caso en que dichas condiciones no se den
(neuronas de proyección del núcleo principalis en rata). Esto es debido a que bajo la
RESULTADOS Villacorta
82
aproximación a primeros vecinos hay una redundancia en la respuesta por generarse la misma
señal cuando la sinapsis cae en dos posiciones diferentes (en ambos segmentos vecinos pero a la
misma distancia del nodo común), mientras que si los diámetros son muy distintos, las mismas
sinapsis provocarán respuestas que se considerarán diferentes. En términos entrópicos
concluiríamos que la validez de la aproximación a primeros vecinos implica una menor
capacidad del árbol dendrítico como fuente de información.
En principio sería posible hablar de una aproximación a segundos vecinos o superiores,
definiendo como tales a aquellos segmentos del mismo orden que distan entre sí dos o más
nodos. Se han realizado diversas pruebas para verificar esta posibilidad, tanto en el caso de las
motoneuronas del gastrocnemio como en las neuronas del principalis, concluyéndose que las
condiciones para su validez son demasiado restrictivas, por ser necesaria una gran homogeneidad
en la estructura involucrada (es decir, en el conjunto de segmentos que conectan a los vecinos
considerados). En consecuencia únicamente consideraremos realista la aproximación a primeros
vecinos.
Este estudio nos ha proporcionado las pautas para ver qué parámetros morfométricos pueden
ser pertinentes y cómo influyen sobre la cantidad de símbolos que el árbol dendrítico es capaz de
generar. A continuación compendiamos ésta junto al resto de las condiciones sobre las que
basaremos la Entropía de 3er Nivel, algunas de las cuales vienen heredadas directamente de la
Entropía de 2º Nivel.
Características morfométricas
Resumamos de manera esquemática lo concluido previamente acerca de las cualidades
morfométricas de los árboles dendríticos que se han supuesto válidas en esta aproximación.
• Consideraremos únicamente a la longitud y al diámetro de cada segmento dendrítico
como los únicos parámetros morfométricos significativos en cuanto a la descripción de
los tipos de símbolos que el árbol dendrítico puede generar como fuente de información.
• Definimos la aproximación a primeros vecinos como la consideración de indistinguibles a
dos output generados por el mismo input sináptico que han sido introducidos en dos
segmentos de nodo común tal que cada sinapsis se encuentra en uno de los segmentos y
situada a la misma distancia del nodo.
Villacorta RESULTADOS
83
• Si las longitudes de los segmentos dendríticos se mueven en el rango de las centenas de
micras la aproximación a primeros vecinos no es válida, tanto en el caso de segmentos
terminales como intermedios. En estas circunstancias cada posición del contacto sináptico
equivale a un símbolo diferente.
• En caso de que las longitudes de los segmentos sean del orden de las decenas de micras la
validez de la aproximación a primeros vecinos aplicada a un par de segmentos dendríticos
con nodo común está supeditada a que los diámetros de ambos segmentos difieran entre
sí menos de un 10%. Si esto ocurre, entonces cada contacto sináptico distante del nodo
común una distancia dada engendrará el mismo símbolo independientemente de en cuál
de los dos segmentos esté localizado.
• Estas condiciones son válidas tanto para los segmentos terminales como para los
intermedios. De hecho en este nivel descriptivo supondremos que ni la estructura
topológica ni la morfométrica de los subárboles que crecen a partir de los segmentos
intermedios influyen decisivamente.
• No consideraremos válida la aproximación a segundos o más vecinos.
Respuesta a la estimulación sináptica dependiente del orden y del carácter del segmento
La novedad sustancial introducida en esta nueva medida entrópica consiste en la inclusión de
los aspectos morfométricos; sin embargo las condiciones involucrando los aspectos referentes a
la topología y a las circunstancias externas de sinapticidad se mantienen respecto a la Entropía
de 2º Nivel. Esto no podía ser de otra manera, puesto que se trata de conformar con las tres
medidas entrópicas propuestas un todo congruente en el que a mayor nivel mayor refinamiento
en la descripción cuantitativa de la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes de
información.
En consecuencia, la dependencia de la respuesta a la estimulación sináptica vendrá
determinada no sólo por las circunstancias morfométricas discutidas anteriormente, sino
también por si el segmento pertinente es terminal o intermedio, y por su orden. Es decir con
independencia de la longitud y diámetro de cada segmento sus respuestas (a la estimulación a
través de sus sinapsis) generarán distintos símbolos si su orden y carácter son diferentes,
excepto bajo las condiciones de validez de la aproximación a primeros vecinos.
RESULTADOS Villacorta
84
Diversidad de la señal de estimulación sináptica
En lo referente a las circunstancias externas de sinapticidad asumiremos como antes que cada
localización sináptica transmite una señal diferente, por lo que suponemos que cada sinapsis se
forma con una terminal axónica de distinta proveniencia.
Polisinapticidad por segmento
La condición en que se basa la Entropía de 2º Nivel y que admite la posibilidad de que varias
sinapsis contacten en un mismo segmento dendrítico, se asumió incluso bajo la restricción
topológica que imponía a dichos segmentos una longitud cuantificada en una unidad ficticia.
En el caso actual en que los segmentos poseen una longitud real es aún más coherente el
plantear la polisinapticidad por segmento, asumiendo además que en una misma localización
pueda producirse más de un contacto sináptico, ya que al aceptar al diámetro como parámetro
morfométrico estamos dotando a las dendritas de estructura tridimensional A este hecho habría
que añadirle la existencia en múltiples tipos de dendritas, de protrusiones de membrana
(espinas dendríticas de morfologías y tamaños diversos) que reciben una o unas pocas sinapsis,
y que pueden emerger de una misma localización en el segmento, es decir, en cualquier punto
de su perímetro para una distancia dada del nodo [Harris and Kater, 1994; Peters, Palay and
Webster, 1991; Rusakov, et al., 1995].
La Entropía de 3er Nivel desarrollada aquí tiene como objetivo el ser el último paso hacia una
cuantificación realista de la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes de información.
En las etapas previas se han ido añadiendo progresivamente condiciones acordes a las
características que íbamos asumiendo para los árboles a estudiar debido a que necesariamente
partíamos de aproximaciones, por lo cual seleccionábamos sus propiedades más representativas
en función de las características a tener en cuenta. De esta forma comenzábamos considerando
sólo la estructura de ramificación con unas limitaciones que mantuviesen el contexto circunscrito
al propio árbol y minimizasen la dependencia de las circunstancias externas; definíamos así la
Entropía de 1er Nivel. Conservando el enfoque topológico añadíamos condiciones más realistas
en cuanto al tipo, origen y distribución de los contactos sinápticos para desarrollar la Entropía de
2º Nivel. Finalmente para la Entropía de 3er Nivel, y manteniendo las anteriores constricciones,
introducíamos las propiedades morfométricas por medio de la consideración del diámetro y la
longitud de los segmentos dendríticos como parámetros relevantes, fundamentando cómo los
Villacorta RESULTADOS
85
diferentes valores de dichos parámetros influyen sobre la respuesta del árbol dendrítico a una
estimulación sináptica estándar y por tanto sobre el comportamiento de éste como fuente de
información.
1.4.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA ENTROPÍA DE 3er NIVEL
Comenzamos esta sección con ejemplos sencillos asumiendo la presencia de una sola sinapsis, la
cual ocupará un área de contacto finita. Esto motiva la discretización de la dimensión
longitudinal en base a un parámetro d, que será la unidad en la que se medirá la longitud de los
segmentos dendríticos y que quedan así divididos en un número finito de ‘intervalos’ de longitud
d, de manera que un segmento de longitud L queda dividido en N = L/d intervalos. Al hacer de d
la distancia mínima que tiene sentido (en términos de longitud, no de diámetro) la sinapsis sólo
puede contactar sobre cada una de esas zonas discretizadas, es decir el segmento dendrítico de
longitud L sólo dispone de N posiciones posibles sobre las que la sinapsis puede hacer contacto.
Asumiendo entonces una distribución uniforme de probabilidad para cada una de dichas
posiciones la probabilidad de que se forme una sinapsis en cualquiera de ellas es
, 1, , ,idp i NL
= = … (27)
por lo que la entropía asociada será
1
ln ln ln( )N
i
d d d dH N NL L L L=
= − = − =
∑ .
Segmentos terminales de igual longitud
Consideremos ahora el árbol dendrítico de vector-orden [1,1] que tiene el segmento raíz de
longitud 1L y cada uno de los dos segmentos terminales de longitud 2L , de forma que el número
de intervalos discretizados en cada segmento será de 1 1 /N L d= y 2 2 /N L d= . Suponiendo de
nuevo que para cada segmento es equiprobable que cualquiera de sus intervalos reciba la
sinapsis, la probabilidad de que el contacto sináptico recaiga en un intervalo determinado de
entre todos los que componen el árbol dendrítico vendrá dada por la probabilidad de que la
sinapsis ‘elija’ al segmento al que pertenece dicho intervalo multiplicada por la probabilidad de
RESULTADOS Villacorta
86
que el contacto se forme en ese intervalo concreto de entre todos los que conforman su segmento
correspondiente. En términos matemáticos:
11
1 2
22
1 2
Probabilidad de sinaptación en el segm. raíz ( ) ,2
2Probabilidad de sinaptación en algún segm. terminal ( ) ,2
LP LL L
LP LL L
≡ =+
≡ =+
(28)
Las probabilidades condicionales están dadas por (27):
1 1
1
2 22
Probabilidad de sinaptación en el interv. cuando ( ) ,
Probabilidad de sinaptación en el interv. cuando ( ) .
di i L P i LLdi i L P i LL
∈ ≡ =
∈ ≡ = (29)
De lo anterior, si denotamos a un intervalo concreto del segmento raíz por 0i y a otro intervalo
de los segmentos terminales por 0j , las probabilidades de contactar en uno u otro intervalo
vendrán dadas respectivamente por
0
0
10 1 1
1 2 1 1 2
20 2 2
1 2 2 1 2
( ) ( ) ,2 2
2 2( ) ( ) .2 2
i
j
L d dp P i L P LL L L L L
L d dp P j L P LL L L L L
= = =+ +
= = =+ +
(30)
De (30) concluimos que 0 0
2j ip p= independientemente de las longitudes.
Obsérvese que en este razonamiento hemos supuesto indistinguibles los intervalos de los dos
segmentos terminales que equidistan del nodo común, en concreto el intervalo 0j . Debido a que
ambos segmentos terminales miden 2L , éste intervalo existirá en ellos para todo 0j entre 1 y
2N . Esta asunción es el reflejo de la aproximación a primeros vecinos: puesto que según esta
aproximación las sinapsis en segmentos vecinos y distanciadas igualmente del nodo común
engendrarán idénticas respuestas, podemos considerar a dichos contactos sinápticos, y por tanto a
los intervalos sobre los que se forman, como indistinguibles en términos de teoría de la
información ya que generarán los mismos símbolos.
Villacorta RESULTADOS
87
En estas condiciones nuestro árbol dendrítico es capaz de generar 1 2N N+ símbolos distintos
cuyas probabilidades de aparición vienen dadas por las ecuaciones (30), las cuales verifican
trivialmente la condición de normalidad:
1 2
0 0
0 01 11
N N
i ji j
p p= =
+ =∑ ∑
La 1-entropía se escribirá entonces como:
1 2
0 0 0 0
0 0
1 1 21 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2ln( ) ln( ) ln ln2 2 2 2
N N
i i j ji j
d d d dH p p p p N NL L L L L L L L= =
= − − = − − ⇒ + + + + ∑ ∑
( )21
1 2 1 2
2ln ln 22 2
LdHL L L L
⇒ = − − + +
. (31)
Podemos testar la validez de esta expresión si reducimos este ejemplo al caso topológico
haciendo que 1 2L L d= = y por tanto 1 2 1N N= = . Estos valores en (31) conducen a una 1-
entropía
11 1 2 2ln ln .3 3 3 3
H = − −
(32)
Retomando la perspectiva topológica y siguiendo lo hecho en la sección 1.1. tendremos que,
puesto que el vector-orden del árbol es [1,1], habrá sólo dos posibles símbolos, de probabilidades
1/3 y 2/3. La sustitución de estas probabilidades en (19) con k = 1 conduce a (32).
Segmentos terminales de longitudes diferentes
Supongamos a continuación un árbol dendrítico de topología [1,1] pero con los segmentos
terminales de longitudes diferentes 2L y 3L tal que 3 2L L> . El razonamiento es igual al llevado
a cabo en el ejemplo anterior con una salvedad: debido a que uno de los segmentos terminales
( 3L ) es más largo que el otro la aproximación a primeros vecinos será sólo válida en una
fracción del segmento 3L , en concreto en la parte que va desde el nodo común a ambos
segmentos hasta una distancia igual a 2L . Será sólo en esta sección de 3L sobre la que una
RESULTADOS Villacorta
88
sinapsis generará el mismo símbolo que cuando contacta sobre 2L a la misma distancia del nodo
común. Discretizamos los segmentos en intervalos de longitud d, obteniendo 1 1 /N L d=
intervalos en 1L (segmento raíz), 2 2 /N L d= intervalos en 2L (segmento terminal) y en la parte
de 3L que mide 2L , y finalmente 3 3 2( ) /N L L d= − intervalos en la parte restante de 3L
(segmento terminal). Podemos pues distinguir tres tipos de símbolos en base a los tipos de
contactos sinápticos que se pueden formar en el árbol:
• Los símbolos 1
1, 1
Ni i
S=
con 1 1 /N L d= asociados al segmento 1L .
• Los símbolos 2
2, 1
N
j jS
= con 2 2 /N L d= asociados al segmento 2L y a la fracción de
longitud 2L de 3L .
• Los símbolos 3
3, 1
Nk k
S=
con 3 3 2( ) /N L L d= − asociados a la fracción de longitud 3 2( )L L−
de 3L .
La obtención de las probabilidades para cada uno de los anteriores tipos de símbolos se basa
como antes en las probabilidades condicionales, lo que nos lleva a las expresiones
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11,
1 2 3 1 1 2 3
22,
1 2 3 2 1 2 3
3 23,
1 2 3 3 2 1 2 3
( ) ,
2 2( ) ,
( )( ) .( )
i
j
k
L d dp SL L L L L L L
L d dp SL L L L L L L
L L d dp SL L L L L L L L
= =+ + + +
= =+ + + +
−= =
+ + − + +
(33)
Según (33) concluimos que ( )1, 3, 2,( ) ( ) 1/ 2 ( )i j kp S p S p S= = para cualesquiera valores de las
longitudes de los segmentos dendríticos.
De nuevo es trivial verificar que
31 2
1, 2, 3,1 1 1
( ) ( ) ( ) 1.NN N
i j ki j k
p S p S p S= = =
+ + =∑ ∑ ∑
Sustituyendo las expresiones (33) en la 1-entropía tenemos que para este ejemplo
Villacorta RESULTADOS
89
( ) ( ) ( )31 2
1 1, 1, 2, 2, 3, 3,1 1 1
( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )NN N
i i j j k ki j k
H p S p S p S p S p S p S= = =
= − − − ⇒∑ ∑ ∑
( )21
1 2 3 1 2 3
2ln ln 2 .
( )LdH
L L L L L L
⇒ = − − + + + + (34)
Observamos de (31) y (34) que el primer término es el logaritmo del número de intervalos en que
se ha discretizado longitudinalmente el árbol dendrítico.
El planteamiento detallado de estos ejemplos permite simplificar su generalización y la
exposición de la base matemática de la Entropía de 3er Nivel. Dado un árbol dendrítico de grado
n sobre el que queremos aplicar esta medida entrópica, agrupemos las longitudes de sus
segmentos dendríticos en un conjunto de pares, cada uno de los cuales agrupa las longitudes de
cada par de segmentos vecinos, es decir que parten de un mismo nodo; a este conjunto de pares
se le añade la longitud del segmento raíz. Esta organización del árbol se ilustra en la Figura 15
donde se presenta un árbol de grado 7 con sus longitudes detalladas y dispuestas como se ha
descrito.
Figura 15. Ejemplo de árbol dendrítico de grado 7 con las longitudes de cada segmento dendrítico indicadas en
micras. Para la cuantificación de la Entropía de 3er Nivel las longitudes se organizan en el conjunto C por pares,
conteniendo cada par las longitudes de los segmentos primeros vecinos. A esta secuencia de pares se le añade la
longitud del segmento raíz.
RESULTADOS Villacorta
90
Para un árbol dendrítico genérico y suponiendo que puede recibir sólo una sinapsis,
denotemos al conjunto de pares de longitudes dendríticas por C y definámoslo como
1
1, n
k kC Cγ −
== , (35)
donde para cada k el término kC denota el par con las longitudes de dos segmentos primeros
vecinos. Si el par kC lleva asociado las longitudes dendríticas ,1kL y ,2kL lo escribiremos como
,1 ,2
,1 ,2
min( , )[ , ] donde
max( , )k k k
k k kk k k
L LC
L Lα
α ββ
== =
. (36)
En la línea de los ejemplos previos, al discretizar las longitudes surge un número finito de
configuraciones conectivas. Si éstas están asociadas a los segmentos de longitud kα o a la
sección de los segmentos más largos que mide kα desde el nodo más proximal, dichas
configuraciones llevarán asociado un solo símbolo generado por cada dos contactos sinápticos
equivalentes (situados en ambos segmentos primeros vecinos a la misma distancia del nodo); si
los contactos sinápticos se producen en la sección de longitud ( )k kβ α− de los segmentos de
longitud kβ cada uno de ellos lleva asociado un solo símbolo. En el primer caso habrá
, /k kN dα α= intervalos de longitud d sobre los que se podrá producir el contacto sináptico, con
los símbolos que pueden generar denotados por ,iSα con i = 1, …, ,kNα y k = 1, …, 1n − . En el
segundo caso serán , ( ) /k k kN dβ β α= − los intervalos discretizados, con los símbolos que
pueden generar denotados por , jSβ con j = 1, …, ,kNβ y k = 1, …, 1n − . Finalmente en el caso
del segmento raíz habrá /N dγ γ= con los símbolos ,lSγ con l = 1, …, Nγ . Por último nos
referiremos a la suma de las longitudes de todos los segmentos dendríticos por L.
Las probabilidades de los distintos símbolos vendrán dadas por
,
,
,
( ) ,
2 2( ) ,
( ) si ( )( ) .
0 si
l
ki
k
k kk k
k kj
k k
d dp S
d dp S
d dp S
γ
α
β
γγα
αβ α β α
β αβ α
= =
= =
− = > −= =
L L
L L
L L
(37)
Villacorta RESULTADOS
91
La 1-entropía será
( ) ( ) ( ),,1
1 , , , , , ,1 1 1 1
( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln ( )kkN NNn
l l i i j jl k i j
H p S p S p S p S p S p Sγ βα
γ γ α α β β
−
= = = =
= − − +
∑ ∑ ∑ ∑ (38)
sustituyendo (37) en (38) obtenemos
,,1
11 1 1 1
2 2ln ln lnkkN NNn
l k i j
d d d d d dHγ βα−
= = = =
= − − + =
∑ ∑ ∑ ∑L L L L L L
( ) ( )1 1
1 1
2 21 ln ln 2 ln ln 2LL L L L L
n nk k
k k
d dα α− −
= =
= − − = − − ⇒ ∑ ∑
( ) 1
11
2 ln 2ln
L L
n
kk
dH α−
=
⇒ = − −
∑ (39)
En conclusión la expresión (39) determina de una forma sencilla la 1-entropía de un árbol
dendrítico de grado n cuando sólo recibe una sinapsis y para el que se supone válida la
aproximación a primeros vecinos. La validez de dicha ecuación se puede testar aplicándola al
límite topológico en el ejemplo del árbol de vector-orden [1,2,3,3] sin más que hacer
1L = 2L = 3L = 4L d= lo que implica que L = 7d y que 1α = 2α = 3α = d. Sustituyendo en (39) se
obtiene
( ) ( )31 21
22 21 1 6ln ln 2 ln ln 2 .7 7 7 7 7 7
Hd d d
αα α = − − + + = − −
Si calculamos la 1-entropía en el nivel topológico (1er Nivel) directamente a partir de la ecuación
(19) con k =1 tendremos que el conjunto de órdenes será [0,1,2,1,2,3,3]; por lo tanto se pueden
formar 4 posibles símbolos, el correspondiente a la sinapsis en el segmento raíz, con
probabilidad 1/7, y los correspondientes a los contactos sinápticos en los segmentos restantes,
cada uno con probabilidad 2/7. Sustituyendo en la 1-entropía se llega a
( )11 1 6 2 1 6ln ln ln ln 2 ,7 7 7 7 7 7
H = − − = − −
que coincide con la anterior.
RESULTADOS Villacorta
92
La generalización de la ecuación (39) al caso en que k sinapsis pueden contactar con él es
trivial en base a la premisa de independencia de los contactos sinápticos (2.4.1.c.), por conducir
cada uno una señal de entrada diferente. El razonamiento que condujo tanto a la ecuación (24)
para la k-entropía de 2º Nivel como a la expresión (25) para la Entropía Propia de 2º Nivel se
aplican en el presente caso, de manera que la k-entropía de 3er Nivel vendrá dada por la igualdad
1kH k H= (40)
con k = 1, …, 2 1n − , mientras que la Entropía Propia de 3er Nivel se escribirá como
1.H nH= (41)
En las medidas entrópicas previas calculábamos la entropía definitiva sumando las Entropías
Propias del nivel concreto correspondientes a todos los subárboles del árbol en cuestión (incluido
él mismo), no obstante definiremos la Entropía de 3er Nivel simplemente como la Entropía
Propia de 3er Nivel del árbol dendrítico, sin recurrir a sus subárboles. Esta diferencia en la forma
de proceder con respecto a los casos anteriores se basa en una cuestión de redundancia. En la
Entropía de 1er Nivel existían casos en que diferentes árboles dendríticos tenían iguales Entropías
Propias (por ejemplo los árboles de vectores-orden [2,2,3,3,3,3] y [2,3,3,2,3,3]) lo que hacía
necesario el contar con sus subárboles, que eran los que los diferenciaban. Esta inclusión
irremediablemente añade cierto grado de redundancia, que en este caso no es muy alto y en
compensación proporciona ventajas significativas en cuanto a la caracterización entrópica a este
1er nivel. Esto es válido también para el segundo nivel de entropía, sin embargo en este tercer
nivel la inclusión de todos los subárboles propios añade una redundancia considerable. Para verlo
basta considerar cada uno de los segmentos dendríticos por separado, que en rigor son subárboles
propios: en el primer nivel de topología la Entropía Propia de un solo segmento es nula, ya que
no puede generar más que un símbolo, al igual que en el segundo nivel, ya que su grado es uno y
por lo tanto sólo puede recibir una sinapsis; también en este caso sólo surge un símbolo. El tercer
nivel de entropía es sin embargo distinto ya que aunque también puede recibir sólo una sinapsis,
ésta puede recaer en diferentes intervalos de longitud d del segmento, y cada uno engendra un
símbolo distinto, de manera que si su longitud es grande su Entropía Propia también lo será y en
consecuencia la contribución de ésta a una posible Entropía de 3er Nivel en la que se tuviese en
cuenta aquel segmento por separado como subárbol propio, introduciría una alta redundancia. En
conclusión, definimos la Entropía de 3er Nivel de un árbol de grado n de vector-orden v como
Villacorta RESULTADOS
93
1,( ) nHv =H (42)
donde 1H viene dado por (39).
Finalizamos esta sección dedicada a la descripción matemática de la Entropía de 3er Nivel
con un apunte importante acerca de la fundamentación desarrollada. En las ecuaciones y
ejemplos de la presente sección se ha asumido la validez de la aproximación a primeros vecinos
en los árboles dendríticos tratados, que se manifiesta en la presencia del segundo término en el
lado derecho de la ecuación (39). Esta asunción se debe a que en las secciones siguientes estas
medidas entrópicas se aplicarán a la caracterización de los árboles dendríticos de poblaciones
neuronales reales, obtenidas experimentalmente por Pilar Negredo y Jorge Castro para sus
trabajos de Tesis Doctoral [Castro García, 2007; Negredo, 2006], y dichas poblaciones cumplen
con las condiciones que exigía la aproximación a primeros vecinos. Este enfoque matemático
permite pues asegurar una cuantificación realista de las capacidades de estas neuronas reales
como fuentes de información discreta a nivel morfométrico.
2. RESULTADOS TEÓRICOS
Las medidas entrópicas desarrolladas en la Sección 1 tienen como objetivo la caracterización
cuantitativa de las capacidades de los árboles dendríticos para generar, procesar y/o codificar
información. En concreto se han tomado como punto de partida las propiedades topológicas
como las más básicas e inmediatas, para luego sofisticar el planteamiento e incluir circunstancias
más realistas, reflejadas en la morfometría. Lo reseñable del enfoque inicial es que la asunción
de propiedades topológicas impone restricciones al sistema formado por el árbol y sus posibles
conexiones sinápticas, que limitan a un número finito los estados posibles en los que el sistema
puede encontrarse, lo que permite asociar este abordaje informacional con las posibles
configuraciones topológicas que el árbol puede adquirir. Esto significa que las Entropías de 1er y
2º Nivel no sólo calificarán al árbol dendrítico como fuente de información sino que
adicionalmente podrán emplearse como herramienta teórica para estudiar y determinar otras
características referentes a la topología o conectividad del árbol.
Durante los últimos veinticinco años se han desarrollaron una serie de modelos matemáticos
diseñados para reproducir las características topológicas exhibidas por los árboles dendríticos de
diferentes poblaciones neuronales estudiadas experimentalmente [Dityatev, Chmykhova, Studer,
RESULTADOS Villacorta
94
Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt and Uylings,
2005; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997; Verwer, et al., 1987]. Según se expuso en los
Materiales y Métodos, los dos principales modelos empleados en la actualidad dan cuenta de
cada una de las propiedades topológicas referidas antes. La aparición de un árbol dendrítico con
un número concreto de segmentos terminales o grado es descrito por el modelo BE [Van Pelt,
Dityatev and Uylings, 1997] mientras que, para cada grado, la posible estructura conectiva o
topológica de los árboles dendríticos con ese núemro de segmentos terminales viene dada por el
modelo S [Van Pelt and Verwer, 1986]. Las ventajas principales de ambos modelos es que aúnan
una relativa simplicidad matemática con una considerable fidelidad a la hora de reproducir las
características mostradas por las neuronas estudiadas experimentalmente [Dityatev, Chmykhova,
Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Granato and Van Pelt, 2003; Van Pelt,
Dityatev and Uylings, 1997], por lo que son ideales como generadores teóricos de poblaciones
neuronales.
Las secciones siguientes se centran en el análisis de las relaciones entre las Entropías de 1er y
2º Nivel y el proceso de desarrollo topológico de los árboles dendríticos basado en el modelo S,
investigando qué dependencia hay entre los valores entrópicos de un árbol concreto y el valor del
parámetro S que controla su estructura conectiva. Esta dependencia hace posible incluso estimar
el valor de S a partir de los valores de entropía obtenidos a partir de las medidas propuestas. A
pesar de la importancia teórica de esta conexión, uno de los hechos más notables que atañen a
estas medidas de entropía como herramientas teóricas es la posibilidad de asignar un valor
entrópico distinto a cada posible configuración conectiva que un árbol dendrítico puede adoptar.
La relevancia de esto es evidente: según se ha comentado anteriormente las diferentes topologías
de los árboles dendríticos pueden representarse matemáticamente por medio del vector-orden
[Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007] o de las particiones [Harding, 1971; Van Pelt
and Verwer, 1986], pero su manejo es necesariamente complejo ya que concierne al orden en la
disposición de los distintos subárboles, orientación, ambigüedades, etc. No obstante el asignar a
cada posible topología un número (en una relación casi uno a uno) elimina estos problemas y
permite un manejo matemático inmediato de los árboles dendríticos a nivel topológico.
Para finalizar se demostrará que existe una fuerte relación entre las Entropías de 1er y 2º
Nivel, y el orden máximo del árbol caracterizado, lo que habilita a dicha propiedad topológica
como un estimador entrópico válido y revela su importancia respecto a otros parámetros
topológicos del árbol dendrítico. Estos estudios, aunque son válidos tanto para la Entropía de 1er
Nivel como para la de 2º Nivel, se han llevado a cabo sólo con la de primera medida, haciéndose
Villacorta RESULTADOS
95
extensivos al siguiente nivel en base a la fuerte correlación que existe entre ambas medidas
entrópicas, como se demuestra en la última sección de esta parte dedicada a los resultados
teóricos.
2.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL
En esta sección se estudiará la Entropía de 1er Nivel analizando en primer lugar su relación
teórica con la estructura topológica genérica de los árboles a través de su conexión con el
parámetro S en que se basa el modelo S de desarrollo dendrítico [Van Pelt and Verwer, 1986].
Esta conexión no sólo revela la profunda base teórica de esta medida, además proporciona un
nuevo método para estimar el valor de S asociado a la población neuronal en estudio. A pesar de
que esto supone un uso adicional de esta medida no se debe olvidar que la caracterización del
árbol dendrítico por medio de la Entropía de 1er Nivel tiene como objetivo primordial la
cuantificación a nivel topológico de la propiedad fundamental de esas estructuras, su capacidad
para generar / codificar / procesar información. Dicha cuantificación funciona de forma tan
eficaz que permite asociar a cada posible topología del árbol dendrítico y de manera
prácticamente biunívoca un valor de esta medida entrópica. Finalmente se explora la conexión
entre la Entropía de 1er Nivel y la topología de los árboles dendríticos representada por dos
parámetros, el orden máximo y el grado, demostrándose que la primera magnitud presenta una
fuerte correlación con aquella y en consecuencia puede ser utilizada como un estimador
adecuado de la medida entrópica estudiada.
2.1.1. LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL Y EL PARÁMETRO DE DESARROLLO S
La caracterización de la capacidad de los árboles dendríticos como fuentes generadoras de
información depende en esta primera medida de sus características topológicas fundamentales,
osease el número de segmentos terminales y la distribución conectiva de estos según su orden.
Puesto que esta parte sólo se centrará sobre las propiedades genéricas de la Entropía de 1er Nivel,
es decir sin referirla a ningún caso práctico concreto, es necesaria una herramienta que permita
abordar teóricamente cómo las anteriores cualidades topológicas influyen sobre el procesamiento
de información de la estructura dendrítica correspondiente.
La sección 1.1. mostró cómo para árboles dendríticos del mismo grado, y considerando sólo
sus propiedades topológicas, su capacidad para generar información dependía de la disposición
RESULTADOS Villacorta
96
de sus segmentos. La dificultad en este punto surge al apreciar que el número de las posibles
configuraciones conectivas aumenta con el grado de forma exponencial [Harding, 1971; Van
Pelt, Dityatev and Uylings, 1997], lo que significa que para grados altos habrá muchos tipos de
árboles con el mismo número de segmentos terminales. A pesar de que ello podría implicar una
gran dispersión de las posibles entropías veremos enseguida que ese no es el caso.
El modelo S describe el desarrollo de la conectividad en una población de árboles dendríticos
en base al valor del parámetro S (S∈[0,1]) cuando se asume fijado su grado o número de
segmentos terminales. Así pues, suponiendo un valor determinado para S y un grado concreto
calculamos la probabilidad de aparición de cada posible configuración sináptica [Van Pelt and
Verwer, 1986] junto con el valor de su Entropía de 1er Nivel, para finalmente obtener su media y
desviación estándar (SD) ponderadas por esas probabilidades de aparición. Esto sólo atañe a la
relación entre esta entropía y S por lo tanto la influencia de otros aspectos del desarrollo
dendrítico, y en concreto las descritas por el modelo BE, no se han considerado. A pesar de que
se debe ser muy cauto en este aspecto, en general es posible separar los efectos de ambos
modelos de crecimiento dendrítico y tratarlos, en las debidas condiciones, de forma
independiente [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007].
En términos teóricos las circunstancias realistas de desarrollo dendrítico a nivel topológico
corresponderían a considerar simultáneamente los modelos BE y S (en vez del más complejo
modelo BES [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007]). Según ya se ha comentado el
modelo BE proporciona la distribución del número de árboles pertenecientes a una población
según su grado, o en términos probabilísticos cuantifica la probabilidad de que aparezca un árbol
con un cierto número de segmentos terminales; una vez considerada la subpoblación de árboles
con un grado concreto la distribución de las diferentes estructuras de ramificación dentro de esa
subpoblación viene dada por el modelo S. En el caso que nos ocupa obtenemos la media
ponderada y la desviación típica de la entropía fijando el grado y considerando todos los posibles
árboles del grado dado21, cosa que en la realidad no sería así ya que la población generada
tendría diferente número de árboles para distintos grados dependiendo de los valores de los
parámetros B y E. A pesar de ello el enfoque adoptado es válido ya que si el tamaño de la
población es suficientemente grande también lo será el tamaño de cada subpoblación
21 Puesto que es una media ponderada, para cada grado el valor de la Entropía de 1er Nivel de cada árbol de la
subpoblación correspondiente a ese grado se multiplica por la probabilidad de que aparezca dicho árbol dendrítico
según el modelo S; la media ponderada buscada será la suma de esos productos.
Villacorta RESULTADOS
97
correspondiente a cada grado y por lo tanto las correspondientes medias y desviaciones típicas de
la Entropía de 1er Nivel tenderán a las obtenidas teóricamente, representadas en la Figura 16.
En definitiva en esta figura se muestra gráficamente los resultados del procedimiento
anterior, el cual nos da una relación entre la media y SD de la entropía en relación tanto al grado
de los árboles como al valor del parámetro S que controla el desarrollo de la topología según el
modelo S. Se representan simultáneamente las curvas correspondientes a S = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8
y 1 en sentido descendente. La Figura 16.a presenta la dependencia con el grado de la Entropía
de 1er Nivel esperada (media ponderada) para los diferentes valores de S, revelando un
comportamiento muy cercano a la linealidad (la bondad de ajuste lineal para los diferentes
valores de S está entre 0.9988 y 0.9995). La desviación típica representada en la figura 16.b
aumenta también de forma lineal con el grado para pequeños valores de S y de manera sublineal
para S cercano a uno.
a
Grado
4 6 8 10 12 14
Med
ia E
ntro
pía
1er N
ivel
5
10
15
20
25
b
Grado
4 6 8 10 12 14
SD E
ntro
pía
1er N
ivel
1
2
3
4
Figura 16. Dependencia de la media ponderada (a) y SD (b) de la Entropía de 1er Nivel con el grado. Los momentos
estadísticos han sido obtenidos para diferentes valores del parámetro S (ver detalles en el texto), en concreto las
curvas representadas corresponden a S = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 en sentido descendente.
La consecuencia más relevante de este análisis se obtiene cuando se compara la dependencia
de la media y SD de la entropía con respecto al grado, con la misma dependencia de la asimetría
media y de su correspondiente desviación típica con respecto al grado. La asimetría es una
característica del árbol dendrítico introducida originalmente para caracterizar la topología de los
distintos árboles y cuantifica la relación entre los grados de cada uno de los dos subárboles que
RESULTADOS Villacorta
98
surgen de cada nodo del árbol: la asimetría es mayor cuanto más diferentes son esos grados [Van
Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992]. Procediendo con esta medida de la
misma forma en que se hizo con la Entropía de 1er Nivel obtenemos la Figura 17.a para la
dependencia entre la asimetría media y el grado, y la Figura 17.b para la relación SD asimetría -
grado.
a
Grado
4 6 8 10 12 14
Med
ia A
sim
etría
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
b
Grado
4 6 8 10 12 14
SD A
sim
etría
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Figura 17. Dependencia de la media (a) y SD (b) de la asimetría con el grado. Los momentos estadísticos han sido
obtenidos para S = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 en sentido descendente, de la misma forma que en la Figura 16.
El cotejo de las Figuras 16 y 17 revela claramente que la Entropía de 1er Nivel supera con
creces a la asimetría como medida para caracterizar la topología de los árboles dendríticos. En
primer lugar la media de la entropía varía con el grado de forma más simple, casi lineal, mientras
que la asimetría media depende del número de segmentos terminales de forma más compleja,
siguiendo una variación oscilante-amortiguada, lo que indicaría que la Entropía de 1er Nivel es
una medida topológica más natural que la asimetría, más acorde con la naturaleza de la estructura
topológica de los árboles dendríticos; el mismo razonamiento puede hacerse con la dependencia
entre el grado y la SD de cada medida. En segundo lugar las Figuras 16.b y 17.b muestran la
magnitud de la desviación estándar, lo que en comparación con la media de cada medida indica
que la asimetría tiene una dispersión considerablemente mayor que la entropía. Esto se aprecia
mucho mejor en las Figura 18.a y 18.b, donde se representa simultáneamente para cada medida
su media y SD, ésta en forma de barras de error. Estas figuras demuestran el menor solapamiento
que presenta la medida entrópica para los valores extremos del parámetro S (S = 0 y 1) en
Villacorta RESULTADOS
99
comparación con la asimetría, demostrando que la Entropía de 1er Nivel es una medida más
precisa.
a
Grado
4 6 8 10 12 14
Entr
opía
1er
Niv
el
5
10
15
20
25
30
S = 0S = 1
b
Grado
4 6 8 10 12 14A
sim
etría
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
S = 0S = 1
Figura 18. Variación de la Entropía de 1er Nivel (a) y la asimetría (b) con el grado. En cada caso se representa la
media como círculos y la desviación típica en forma de barras de error, y se ha empleado los dos valores extremos
del parámetro S, S = 0 y S = 1 en sentido descendente.
Relación analítica entre la Entropía de 1er Nivel y S
El análisis que ha conducido a la Figura 16 ha mostrado que la relación entre la media y la
desviación típica de la medida de entropía y el parámetro S parece ser muy sencilla, tanto que es
posible obtener una muy buena aproximación analítica a dicha dependencia. Esto se aprecia en la
Figura 19, donde se ha representado la dependencia entre la Entropía de 1er Nivel y el valor de S
cuando se asume un número fijo de segmentos terminales para el árbol dendrítico22. La Figura
19.a muestra cómo la media de la entropía varía cuasilinealmente con S para grados entre 4 y 14,
mientras que la desviación típica, Figura 19.b, depende de S de forma cuadrática para el mismo
rango de variación de n.
22 La obtención de la dependencia entre los dos primeros momentos estadísticos de la Entropía de 1er Nivel y el
parámetro S según el valor del grado (Figura 19) se ha hecho siguiendo el mismo procedimiento que condujo a las
Figuras 16 y 17.
RESULTADOS Villacorta
100
a
S
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Med
ia E
ntro
pía
1er N
ivel
5
10
15
20
25
b
S
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
SD E
ntro
pía
1er N
ivel
1
2
3
4
Figura 19. Representación de la media (a) y de la desviación típica (b) de la Entropía de 1er Nivel en función del
parámetro de crecimiento S y del grado n del árbol dendrítico. En ambas figuras cada curva corresponde a un grado
desde n = 4 a n = 14 en sentido ascendente.
En base a la Figura 19 la relación analítica buscada tanto para la media como para la
desviación típica de la medida entrópica con respecto al parámetro S vendrá dada por las
ecuaciones
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )Entr
Entr
M a n S b n S c n
SD d n S e n S f n
= + +
= + + (43)
donde cada coeficiente es una función del grado n que se ajustará en base a los resultados
ilustrados por la Figura 16. En concreto en el caso de la media de la Entropía de 1er Nivel cada
coeficiente vendrá dado por una función cuadrática del grado, mientras que para la SD la forma
en que cada coeficiente depende de n será algo más compleja. De este modo, para la media EntrM
se determina su dependencia con S para cada uno de los once grados n considerados (n entre 4 y
14) (Figura 15.a), lo que nos da once valores de, por ejemplo, el coeficiente a(n), uno para cada
grado. Este conjunto de valores se ajusta entonces a una función cuadrática de n (que es la
función motivada por las curvas de la Figura 12.a) y se obtiene la dependencia entre a y el grado.
Este proceso repetido para los coeficientes b(n) y c(n) conduce a las igualdades
2
2
2
( ) 0.022137 0.07708 0.080701,( ) 0.037676 0.073402 0.78613,( ) 0.036165 1.57078 3.53309,
a n n nb n n nc n n n
= − −
= − − +
= + −
(44)
Villacorta RESULTADOS
101
de donde la relación analítica deseada entre la media de la Entropía de 1er Nivel y el parámetro S
viene dada por
]
2 2 2
2
0.022137 0.07708 0.080701 0.037676 0.073402
0.78613 0.036165 1.57078 3.53309 .
EntrM n n S n n
S n n
= − − − + − − + + −
(45)
En todos los casos la bondad de los ajustes está por encima de 0.9998.
Aplicando el mismo procedimiento a los coeficientes d(n), e(n) y f(n) correspondientes a la
desviación típica de la entropía y asumiendo una mayor complejidad en su dependencia del
grado n obtenemos que
5 8 3 7 6 5 4
3 2
3 2
2
( ) 0.65005 10 0.47729 10 0.014978 0.26179 2.780418.329 73.04646 160.56447 148.95897,
( ) 0.0012445 0.045422 0.10163 0.30742,( ) 0.0021269 0.37182 0.90423,
d n n n n n nn n n
e n n n nf n n n
− −= − ⋅ + ⋅ − + − +
+ − + −
= − + +
= − + −
(46)
con lo que la desviación típica vendrá dada analíticamente en función de S y del grado n como
5 8 3 7 6 5 4
3 2 2 3
2 2
0.65005 10 0.47729 10 0.014978 0.26179 2.7804
18.329 73.04646 160.56447 148.95897 0.0012445
0.045422 0.10163 0.30742 0.0021269 0.37182 0.90423.
EntrSD n n n n n
n n n S n
n n S n n
− −= − ⋅ + ⋅ − + − + + − + − + −
− + + − + −
(47)
Los ajustes anteriores tienen una bondad por encima de 0.9999.
La dependencia de la Entropía de 1er Nivel respecto al parámetro S y al grado n dada por las
ecuaciones (45) y (47) es más simple de lo que puede parecer, según se aprecia al observar su
representación gráfica dada en la Figura 20. Se constata una vez más la idoneidad de esta medida
como caracterización de la topología de los árboles dendríticos: la forma tan sencilla en la que la
entropía propuesta depende de dos de los principales parámetros topológicos que controlan la
estructura dendrítica de ramificación (S y n) indica que ésta es una medida natural para el estudio
de los árboles a este nivel descriptivo.
RESULTADOS Villacorta
102
Figura 20. Representación gráfica de las relaciones analíticas (45) y (47) de los dos primeros momentos estadísticos
de la Entropía de 1er Nivel (a y b respectivamente) con respecto al parámetro de desarrollo S y al número de
segmentos terminales (grado) n.
Estimación de S a partir de la Entropía de 1er Nivel. Rendimiento de los diferentes métodos
Las relaciones analíticas anteriores, junto con la gran bondad de ajuste proporcionada, brindan la
posibilidad de estimar el valor del parámetro S a partir de la distribución estadística de la
Entropía de 1er Nivel, medida en una determinada población neuronal por medio de las
ecuaciones (45) y (47). En la literatura el ajuste del valor del parámetro S en el que se
fundamenta el modelo S se establece por medio de dos procedimientos, el conocido Método de
Máxima Verosimilitud (MLM) y a partir de la cuantificación de la asimetría poblacional
[Dityatev, Chmykhova, Studer, Karamian, Kozhanov and Clamann, 1995; Van Pelt and
Schierwagen, 2004; Van Pelt, Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992] aunque el orden
centrífugo también puede emplearse para obtener una aproximación [Van Pelt and Uylings,
2005]. En términos generales el MLM es uno de los métodos más versátiles de ajuste de
parámetros en modelos matemáticos y consiste en la maximización de la denominada función de
máxima verosimilitud que describe la probabilidad de que aparezca la secuencia de eventos
obtenida (en este caso una determinada población de árboles) en función del parámetro a ajustar
(el parámetro S). La versatilidad de este procedimiento implica sin embargo que su
implementación es considerablemente más costosa que otros métodos más específicos adaptados
a las circunstancias concretas en las que nos movamos. La ponderación de las ventajas e
inconvenientes de los dos métodos anteriores más el método propuesto basado en las ecuaciones
(45) y (47) para la estimación del valor del parámetro S será el objeto de la siguiente discusión.
Villacorta RESULTADOS
103
La forma óptima de comparar una serie de procedimientos concernientes a una cierta
propiedad o propiedades de los árboles dendríticos sería la de aplicarlos simultáneamente sobre
una población neuronal real suficientemente grande y cotejar los resultados obtenidos por cada
método. Este enfoque es en la práctica muy restrictivo, ya que con las herramientas de que se
dispone hoy en día el tratamiento experimental, reconstrucción y posterior análisis
computacional de los árboles dendríticos es una tarea ardua y muy compleja [Horcholle-
Bossavit, Gogan, Ivanov, Korogod and Tyc-Dumont, 2000; Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli,
2004]. Por esta razón se ha optado por el empleo de árboles dendríticos artificiales obtenidos a
partir de simulación matemática utilizando los modelos de desarrollo BE y S. De hecho puesto
que el parámetro S, cuyo valor deseamos obtener, controla la variabilidad topológica de cada
subpoblación dendrítica de grado fijo, aplicaremos cada uno de los métodos sobre dicha
subfamilia, por lo que prescindiremos de la aplicación del modelo BE y supondremos el mismo
número de árboles dendríticos para cada grado considerado.
Partimos pues de un valor teórico de S = 0.5 que introducimos en el modelo S fijando el
número de segmentos terminales. Generamos entonces una serie de subpoblaciones de árboles
dendríticos de grado fijo entre 4 y 14, ambos incluidos, mediante simulación computacional y
siguiendo las ecuaciones de dicho modelo [Van Pelt and Verwer, 1986]; el tamaño de estas
subfamilias será de entre 50 y 100 miembros (variando dicho tamaño de diez en diez). Sobre
cada una de estas subpoblaciones aplicamos los tres métodos de estimación del parámetro S de
forma que obtenemos un valor de S para cada método y para cada tamaño de la subfamilia
respectiva. Debido a que el fundamento del procedimiento descrito es eminentemente estocástico
se debe repetir un número suficientemente alto de veces como para obtener conclusiones
estadísticamente validas, por lo que se ha repetido 1000 veces el procedimiento, obteniéndose la
media y desviación típica de los valores de S estimados.
Los resultados de estas pruebas se muestran en la Figura 21, donde se representan por
separado la media y la desviación típica de las estimaciones obtenidas por medio del método de
la asimetría, de máxima verosimilitud y de la Entropía de 1er Nivel. En contra de lo que ocurre en
numerosas situaciones en las que la media es el dato de mayor importancia, en el presente caso
es la desviación típica la que centra nuestro interés puesto que el procedimiento que aquí se ha
repetido mil veces, en condiciones experimentales reales sólo puede hacerse una sola vez
(normalmente, en esas circunstancias, se posee una única población de árboles dendríticos de las
características requeridas). De este modo la media, que es lo que se esperaría obtener bajo las
condiciones adecuadas (e imposibles de cumplir rigurosamente en la práctica) pasa a ser
RESULTADOS Villacorta
104
secundaria frente a la medida de cuánto se dispersan las estimaciones obtenidas con cada
método, es decir la desviación típica. Por esta razón la figura 21 hace más hincapié en la SD que
en la media, la cual, según se muestra, está por debajo del 2% en casi todos los casos y por lo
tanto resulta una estimación adecuada del valor esperado. Se concluye de los resultados
representados que el método más inexacto es el basado en la asimetría por ser el que presenta
más dispersión mientras el MLM y el método basado en la Entropía de 1er Nivel son
considerablemente más precisos, siendo el de máxima verosimilitud el más preciso de los tres.
nº árboles
50 60 70 80 90 100
SD S
Estim
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
AsimetríaMLM Entropía 1er Nivel
50 60 70 80 90 100
Med
ia | S
- SE
stim
|
0,000
0,009
0,018
Figura 21. Comparación del valor del parámetro S predicho por los métodos de la asimetría (círculo negro), de la
Entropía de 1er Nivel (triángulo negro) y de máxima verosimilitud o MLM (círculo blanco). Se ha generado una
serie de 1000 familias de árboles dendríticos a partir del modelo S con S = 0.5. Cada familia está compuesta por
subfamilias que agrupan los árboles de igual grado (desde 4 hasta 14), y cada subfamilia posee el mismo número de
árboles, desde 50 hasta 100. Sobre cada una de estas familias se aplicaban los tres métodos, obteniéndose tres
estimaciones diferentes de S; tras repetir el proceso con las 1000 familias se consideró la media y SD de todas las
estimaciones calculadas a partir de cada procedimiento (ver detalles en el texto). En la figura y representada en
pequeño se muestra la variación de la media de cada estimación (restada del valor exacto), junto a la de la
desviación típica con respecto al tamaño de las subfamilias de grado constante.
Las conclusiones extraídas de la Figura 21 reflejan sólo un aspecto de la utilidad de cada uno
de los tres procedimientos discutidos de cara a la estimación del valor del parámetro S asociado a
una cierta población de árboles dendríticos. En general el empleo de uno u otro método
Villacorta RESULTADOS
105
dependerá de las circunstancias exactas en las que se desenvuelva el estudio; no obstante existe
una serie de características que hacen más plausible el uso de unos métodos frente a otros, como
son la precisión, ya analizada, o su implementación y con ello su versatilidad. En este sentido
tanto el método basado en la Entropía de 1er Nivel como el basado en la asimetría son mucho
más inmediatos y sencillos de programar y procesar que el método de máxima verosimilitud, y la
adaptación de aquellos a nuevas poblaciones neuronales es más directa que en el caso del MLM.
Todas estas circunstancias permiten concluir que el método de entropía combina las ventajas de
precisión, implementación y versatilidad de los otros dos procedimientos, pero con una
particularidad que lo hace especialmente propicio para su uso como estimador del valor de S, el
del significado intrínseco que tiene la medida de entropía en que se fundamenta. El
procedimiento basado en la entropía se asienta sobre la propiedad fundamental de los árboles
dendríticos, que consiste en su capacidad de generar (procesar) información, por lo que no es
simplemente un método de ajuste de parámetros, como ocurre con los métodos de la asimetría y
de máxima verosimilitud, sino que de hecho su potencial para estimar el parámetro S es una
propiedad secundaria frente a su significación conceptual. Este estudio evidencia pues las
ventajas de emplear la medida entrópica como una forma de caracterizar los árboles dendríticos,
sin embargo una de sus cualidades más interesantes se revela al estudiar la correspondencia entre
cada árbol topológicamente diferente y el correspondiente valor de su Entropía de 1er Nivel.
2.1.2. SENSIBILIDAD DE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL
En la actualidad los estudios morfológicos de las estructuras dendríticas en neuronas chocan con
dificultades muy serias a la hora, ya no sólo de cuantificar sus características, sino siquiera de
definir cuáles de esas características son relevantes para caracterizar al árbol dendrítico. De los
dos niveles descriptivos básicos, el topológico y el morfométrico, el primero, más sencillo, posee
varios parámetros que permiten dar una visión cuantificada de la topología del árbol, como son el
grado o número de segmentos terminales, el orden de estos, su asimetría, etc. Por su parte a nivel
morfométrico aparecen muchos más parámetros importantes, como son las longitudes de los
segmentos dendríticos, sus diámetros, tortuosidad, la orientación espacial del propio árbol, etc.
Este gran número de parámetros descriptivos supone ya un reto importante a la hora de decidir
cuáles de ellos nos proporcionarán la información que nos interesa [Scorcioni, Lazarewicz and
Ascoli, 2004]. No obstante, en general la caracterización significativa del árbol dendrítico suele
estar no ya en los valores cuantitativos de los anteriores parámetros sino en la relación existente
RESULTADOS Villacorta
106
entre ellos (por ejemplo la dependencia de la longitud de los segmentos terminales con su orden
respectivo) lo que aumenta considerablemente la complejidad de los análisis morfológicos.
Esta situación motiva la búsqueda de nuevas medidas que permitan o bien concentrar varios
de los anteriores aspectos descriptivos o bien dar un nuevo enfoque que proporcione
caracterizaciones más relevantes. Dentro de este último grupo se encontraría el ya comentado
índice de asimetría o simplemente asimetría. Esta medida posee como ventaja principal una alta
capacidad para discriminar las diferentes disposiciones topológicas que un árbol dendrítico de un
cierto grado puede adoptar, asignando a cada una de ellas su valor de asimetría [Van Pelt,
Uylings, Verwer, Pentney and Woldenberg, 1992], sin embargo en su contra tiene que de por sí
la asimetría no es una propiedad dendrítica de gran relevancia por cuantificar sólo muy a grosso
modo la topología de los árboles dendríticos atendiendo al número de segmentos terminales que
quedan a ambos lados de cada nodo de ramificación. Prueba de ello es que aunque se trata de una
medida relativamente sensible en comparación a las que existían entonces, la correspondencia
entre cada tipo de estructura topológica (considerado fijo el grado del árbol dendrítico) y el valor
de su correspondiente asimetría dista mucho de ser uno a uno [Van Pelt, Uylings, Verwer,
Pentney and Woldenberg, 1992].
La introducción de la Entropía de 1er Nivel como medida para la caracterización de las
diferentes topologías que puede adoptar un árbol dendrítico de grado concreto cambia
radicalmente este panorama, como muestra gráficamente la Figura 22. Dado un número
determinado de segmentos terminales, la cantidad de formas topológicamente diferentes en que
un árbol dendrítico puede ramificarse es finita aunque alcanza números muy elevados a partir de
la decena de segmentos terminales [Harding, 1971]. Para cada una de esas formas se calcula la
entropía topológica y el índice de asimetría, y se cuantifica la sensibilidad de cada medida, es
decir para cuántas de las posibles estructuras de ramificación que puede adquirir un árbol
dendrítico de grado dado se repiten los valores obtenidos con una u otra medida. Por ejemplo, de
las 451 posibles topologías para grado doce, 450 de ellas tienen valores diferentes de Entropía de
1er Nivel (un 99.8%) mientras que sólo aparecen 266 con valores diferentes en su índice de
asimetría (un 59%), con lo que la sensibilidad en este caso es casi del doble para la medida
entrópica respecto a la proporcionada por la asimetría. La generalización de esta situación a los
grados entre 4 y 14 (ambos incluidos) se representa en la Figura 22, donde la sensibilidad de
cada medida se presenta en forma de porcentaje respecto al total de los posibles árboles
topológicamente distintos para cada grado.
Villacorta RESULTADOS
107
Grado
4 6 8 10 12 14
nº á
rbol
es (%
)
40
50
60
70
80
90
100
Entropia de 1er NivelAsimetria
Figura 22. Sensibilidad de la Entropía de 1er Nivel (círculo negro) y del índice de asimetría (círculo gris) con
respecto al grado. Se calcula, para cada grado, como porcentaje de los árboles topológicos con valores diferentes de
cada medida con respecto al total de los árboles topológicamente distintos para dicho grado.
La gran sensibilidad mostrada por la entropía topológica permite caracterizar casi
completamente la topología de cualquier árbol dendrítico a través de su capacidad como fuente
generadora de información. Esta es una de las principales propiedades de la medida entrópica
propuesta ya que condensa de forma prácticamente biunívoca las características de ramificación
del árbol dendrítico en un número, posibilitando así una manipulación matemática adecuada de
la topología dendrítica, y permitiendo, a este nivel descriptivo, comparar las poblaciones
dendríticas entre sí, organizarlas cuantitativamente, etc.. De nuevo comparándola con la
asimetría como la otra alternativa existente para la caracterización cuantitativa de la topología de
los árboles dendríticos, la Entropía de 1er Nivel se revela como un enfoque más lógico y natural.
2.1.3. RELACIÓN ENTRE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL Y LA TOPOLOGÍA
DENDRÍTICA
El objetivo principal de la Entropía de 1er Nivel es el de describir la estructura topológica de un
árbol dendrítico desde un punto de vista funcional, o mejor dicho desde el punto de vista
funcional, ya que lo caracteriza según la propiedad fundamental de las dendritas: su capacidad
para procesar información. Parece lógico entonces preguntarse si a pesar de la relativa
RESULTADOS Villacorta
108
complejidad de la medida desarrollada existe alguna relación entre ella y determinada propiedad
topológica de los árboles dendríticos. La respuesta es que, en efecto, esta relación no sólo existe
sino que además de ser relativamente sencilla enlaza la Entropía de 1er Nivel con un concepto
dendrítico muy simple: el orden máximo.
Según se vio anteriormente, el orden centrífugo, o simplemente orden, de un segmento
dendrítico, tanto terminal como intermedio, designaba a la distancia topológica (distancia en
unidades de segmentos dendríticos) entre dicho segmento y el segmento raíz. Denominaremos
entonces orden máximo a la mayor de estas distancias, es decir al mayor de entre los órdenes
centrífugos asociados a segmentos terminales, o en términos del vector-orden, el orden máximo
será el mayor de los números que lo componen. Obviamente ésta será una propiedad de todo el
árbol dendrítico.
La relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo se probó teóricamente
asumiendo de nuevo la validez del modelo S y fijando el valor del parámetro S en sus dos valores
extremos 0 y 1. Establecido el valor de S se asoció cada valor posible del orden máximo (entre 1
y 13 para árboles hasta grado 14) con el conjunto de valores de la entropía de los árboles
dendríticos que tenían a dicho valor como mayor orden centrífugo; finalmente de ese conjunto de
valores de entropía se obtuvo la media y desviación típica ponderadas con la probabilidad de
aparición de cada árbol según el modelo S y por tanto según el valor del parámetro S. Los
resultados se muestran gráficamente en la Figura 23.a.
En vista de la relación obtenida cabe preguntarse si ocurre algo parecido con otros conceptos
topológicos relevantes. Esta posibilidad se ha explorado tomando el grado del árbol dendrítico,
es decir el número de sus segmentos terminales, como una característica dendrítica que permita
estimar la Entropía de 1er Nivel correspondiente. El procedimiento seguido ha sido el mismo
descrito para el orden máximo y los resultados se resumen en la Figura 23.b.
Villacorta RESULTADOS
109
a
Orden Máximo
1 3 5 7 9 11 13
Entr
opía
1er
Niv
el
0
10
20
30
40
50
60
S = 0S = 1
b
Grado
1 3 5 7 9 11 13 15
Entr
opía
1er
Niv
el
0
10
20
30
S = 0S = 1
Figura 23. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y la topología del árbol dendrítico representada por el orden
máximo (a) y el grado (b). Para ambas figuras se han considerado los dos casos extremos del modelo S, S = 0 y S =
1. A cada posible valor del orden máximo y del grado se le ha asociado la media y SD de las Entropías de 1er Nivel
de todos los árboles con ese valor en la característica topológica correspondiente.
La Figura 23 muestra que las relaciones entre la Entropía de 1er Nivel y los parámetros
topológicos de orden máximo y grado son cercanas a la linealidad, sin embargo el orden máximo
(Figura 23.a.) es con diferencia una medida mucho más correlacionada con la medida de
entropía, y por tanto mucho mas plausible como estimador de esta, por dos razones: en primer
lugar las bajas desviaciones típicas revelan que la dependencia entre los valores entrópicos y los
del orden máximo es más cercana a la correspondencia biunívoca que en el caso del grado ya que
implica un menor solapamiento de las distribuciones de entropías correspondientes a órdenes
máximos vecinos. Por el contrario la Figura 23.b. muestra una gran superposición entre las
barras de error vecinas con lo que la asignación de un valor de entropía a un determinado grado
es mucho más imprecisa. En segundo lugar la Entropía de 1er Nivel se relaciona con el orden
máximo sin depender de las características topológicas concretas, es decir del valor del
parámetro S, lo que demuestra que ésta es una relación más básica que la que existe entre la
medida entrópica propuesta y el grado del árbol, que depende fuertemente del tipo de topología
dendrítica que exhiba la población neuronal estudiada.
Los resultados expuestos en la Figura 23 son muy reveladores sin embargo se trata de un
abordaje teórico del problema; sólo se ha considerado la influencia de la topología del árbol
dendrítico (modelo S), no su distribución a lo largo de una determinada población desarrollada
en condiciones realistas, dada por el modelo BE. En la realidad experimental las poblaciones de
árboles dendríticos exhiben subpoblaciones con grado fijo de diferentes tamaños (determinados
RESULTADOS Villacorta
110
éstos por los valores de los parámetros B y E), lo que influye en cómo se distribuyen las
características topológicas, en concreto el orden máximo y el grado, y que por ende afecta a las
correlaciones entre entropía y parámetros topológicos estudiadas antes. Por todo ello y a modo
de aplicación práctica de la anterior relación se ha simulado computacionalmente el desarrollo de
dos poblaciones de árboles dendríticos partiendo de los modelos BE y S con los valores para los
parámetros B y E de B = 3, E = 0.9 y S con S = 0 y 1 (con estos valores se pretende que ambas
poblaciones se encuentren en la región paramétrica más realista, según se aprecia en la Figura 4
de [Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997]); cada población está compuesta por 100 árboles.
Dentro de cada una de estas poblaciones se agrupan los árboles según su orden máximo o su
grado y se toman sus correspondientes Entropías de 1er Nivel, de las cuales se calculan su media
y desviación típica, comparándose como en la Figura 23. Los resultados se exponen en la Figura
24.
a
Orden Máximo
0 1 2 3 4 5 6
Entr
opía
1er
Niv
el
0
2
4
6
8
10
12
14
S = 0S = 1
b
Grado
1 3 5 7 9 11
Entr
opía
1er
Niv
el
0
2
4
6
8
10
12
14
16
S = 0S = 1
Figura 24. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y la topología del árbol dendrítico representada por el orden
máximo (a) y el grado (b) en condiciones realistas. En cada caso se han considerado dos poblaciones de 100 árboles
dendríticos cada una obtenidas por simulación computacional a partir de los modelos BE y S. Los valores de los
parámetros B, E y S correspondientes a ambas poblaciones son B = 3, E = 0.9 y S = 0 (círculos negros), y B = 3, E =
0.9 y S = 1 (círculos grises). A cada posible orden máximo y grado se le ha asociado la media y SD de las Entropías
de 1er Nivel de todos los árboles con dichos valores en esas variables topológicas.
La introducción de condiciones realistas impone las restricciones previstas sobre los grados y
órdenes máximos esperados ya que la población de árboles dendríticos generada a partir de los
modelos de crecimiento BE y S se distribuye según su grado siguiendo una forma de campana
con su máximo entre los grados 3 y 4. Al margen pues de estas circunstancias se aprecia
Villacorta RESULTADOS
111
claramente cómo las características que aparecían en la Figura 23, haciendo del orden máximo
un estimador topológico de la Entropía de 1er Nivel más ventajoso que el grado, se reflejan
también en situaciones realistas. Así el solapamiento entre desviaciones típicas correspondientes
a órdenes máximos vecinos es menor que para el grado y las diferencias para los distintos valores
de S son menores; además los valores medios de la entropía guardan una dependencia más
definida con respecto al orden máximo que en relación al grado.
La conexión establecida en esta sección entre la entropía topológica y el orden máximo
conlleva varias ventajas importantes tanto teóricas como prácticas. La fuerte correlación entre la
medida entrópica propuesta y la topología de árbol dendrítico a través del orden máximo permite
hacer una estimación rápida de la capacidad del árbol para procesar información, sin embargo
sólo se trata de una estimación, por lo que un abordaje que exija más precisión (ver sección
Resultados Experimentales) hace necesaria la aplicación de la Entropía de 1er Nivel. En cualquier
caso la consecuencia más importante de esta relación es quizás la de revelar que un concepto
topológico tan sencillo como el orden máximo de los segmentos terminales del árbol dendrítico
tiene en realidad una significación considerable dentro de la funcionalidad del árbol. Éste es un
hecho de importancia ya que proporciona un criterio sólido y objetivo para escoger al orden
máximo como una medida representativa de la topología del árbol dendrítico entre los múltiples
parámetros y relaciones existentes [Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli, 2004].
2.2. ENTROPÍA DE 2º NIVEL
La caracterización que proporciona la Entropía de 1er Nivel acerca de la capacidad de los árboles
dendríticos para procesar información se amplía en la Entropía de 2º Nivel para abarcar
circunstancias más realistas, conservando el enfoque topológico y añadiendo condiciones
morfométricas de tal modo que, según se discutió anteriormente, ambas entropías marquen los
extremos entre los que cualquier caso real queda topológicamente caracterizado como fuente de
información.
El estudio de la estructura teórica de la Entropía de 2º Nivel no se llevará a cabo siguiendo lo
hecho para la Entropía de 1er Nivel, ya que se demostrará que ambas medidas, a pesar de las
drásticas diferencias en cuanto a su fundamentación, están fuertemente relacionadas. Esta
circunstancia es de una gran relevancia y sus implicaciones en cuanto a las propiedades de
procesamiento de la información de los árboles dendríticos son profundas. Finalmente, y por
RESULTADOS Villacorta
112
analogía con la investigación llevada a cabo con la Entropía de 1er Nivel, se expondrán de forma
somera algunas conclusiones acerca de las relaciones de la Entropía de 2º Nivel con el parámetro
S, de su sensibilidad y de su conexión con la topología a través del orden máximo y el grado.
2.2.1. RELACIÓN ENTRE LA ENTROPÍA DE 1er NIVEL Y LA ENTROPÍA DE 2º
NIVEL
El análisis de las propiedades de los árboles dendríticos plantea el importante problema de que
estos se presentan agrupados en poblaciones con ciertas características comunes, de manera que
generalizar a cualquier árbol posible las conclusiones obtenidas en unos casos concretos exige o
bien una fundamentación teórica o bien la reproducción del estudio en numerosas poblaciones
diferentes. Debido a la importancia del objetivo planteado en esta sección el abordaje de la
relación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel se llevará a cabo desde los dos puntos de vista.
En primer lugar analizaremos la dependencia entre ambas entropías desde un punto de vista
estrictamente teórico, tomando cada árbol topológico posible y asignando a su Entropía de 1er
Nivel, E1, el valor correspondiente de su Entropía de 2º Nivel, E2. Repitiendo esto para todos los
árboles dendríticos topológicos con grados entre 1 y 14 obtenemos un conjunto de puntos [E1,
E2] representado gráficamente en la Figura 25, que demuestra la fuerte correlación existente
entre las dos medidas entrópicas propuestas. Esta relación teórica tiene un coeficiente de
correlación lineal de 0.993.
Villacorta RESULTADOS
113
Entropía de 1er Nivel
0 10 20 30 40 50 60
Entr
opía
de
2º N
ivel
0
100
200
300
Figura 25. Relación teórica entre las Entropías de 1er y 2º Nivel. Cada punto consta del valor de la Entropía de 1er
Nivel en la coordenada x y del valor de la Entropía de 2º Nivel en la coordenada y correspondientes ambos a cada
uno de los posibles árboles dendríticos topológicos de grados entre 1 y 14.
Una perspectiva más realista del estudio anterior exige la utilización de poblaciones
neuronales específicas, del mismo modo que ocurriría experimentalmente. Los resultados
obtenidos teóricamente avalan un buen comportamiento también en este caso, sin embargo según
muestra la Figura 26 la correlación es aun mayor cuando se atiende a poblaciones concretas
obtenidas computacionalmente a partir de los modelos BE y S con los parámetros B = 3, E = 0.9
y S = 0 (Figura 26.a), y B = 2.5, E = 0.7 y S = 0.5 (Figura 26.b); en ambos casos los coeficientes
de correlación (cuasilineal) son 0.9988 y 0.9986 respectivamente. Las curvas de ajuste se
representan junto con los puntos de entropía correspondientes a cada población.
RESULTADOS Villacorta
114
a
Entropía de 1er Nivel
0 5 10 15 20 25 30
Entr
opía
de
2º N
ivel
0
40
80
120
160
b
Entropía de 1er Nivel
0 5 10 15 20 25
Entr
opía
de
2º N
ivel
0
40
80
120
Figura 26. Relación experimental entre las Entropías de 1er y 2º Nivel simulada a partir del desarrollo
computacional de dos poblaciones neuronales mediante los modelos BE y S. Los parámetros empleados para cada
población son B = 3, E = 0.9 y S = 0 (a), y B = 2.5, E = 0.7 y S = 0.5 (b). En trazo continuo se presentan las
correspondientes curvas de ajuste cuasilineales.
Los resultados ilustrados en las Figuras 25 y 26 revelan un hecho fundamental concerniente a
la estructura topológica de los árboles dendríticos y a la relación de ésta con la capacidad de los
árboles para procesar información. La fundamentación de los dos niveles de entropía
introducidos se basaba en la inclusión de diversas propiedades de conectividad sináptica que
abarcasen los extremos entre los que la estructura conectiva de un árbol dendrítico real a nivel
topológico podía moverse (con algunas limitaciones, como ya se discutió en las secciones de
fundamentación), de manera que el valor de entropía topológica real de un cierto árbol se
encontrase entre los valores de la Entropía de 1er y 2º Nivel de dicho árbol.
Debido a esto la demostración de que ambas medidas entrópicas están fuertemente
correlacionadas es un hecho trascendental al probar que la capacidad de un árbol dendrítico
como fuente de información a nivel topológico no depende tanto de las condiciones de
conectividad impuestas, es decir de la estructura conectiva de las aferencias que sinaptan con él,
como de la estructura topológica del propio árbol; la evaluación de una u otra medida entrópica
en un árbol dendrítico concreto solamente cambia la escala del valor obtenido.
El principal corolario que se infiere de este resultado es que la sensibilidad de la Entropía de
2º Nivel, sus relaciones con el parámetro de crecimiento S y su conexión con características
topológicas relevantes, en especial con el orden máximo, reproducen lo obtenido para la entropía
Villacorta RESULTADOS
115
topológica. En concreto la sensibilidad exhibida por la nueva medida entrópica es ligeramente
mayor por lo que es más ventajosa a la hora de caracterizar cuantitativamente la topología de los
árboles dendríticos, sin embargo la predicción del valor del parámetro S a partir de la entropía es
mejor cuando se emplea la Entropía de 1er Nivel. Finalmente la relación entre la Entropía de 2º
Nivel y el orden máximo es muy parecida a la que aparecía en el caso de la medida entrópica de
primer nivel, por lo que en ambos casos podemos considerar al orden máximo como un
parámetro topológico muy relevante por servir de estimador inmediato y considerablemente
preciso de ambas medidas entrópicas.
3. RESULTADOS EXPERIMENTALES
El objetivo final de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel es el ser aplicadas a poblaciones
neuronales reales como forma de cuantificar qué capacidad tienen estas neuronas para procesar
información. Las secciones previas han establecido tanto la fundamentación y estructura
matemática de estas medidas como su potencial para caracterizar ciertas propiedades teóricas de
los árboles dendríticos. La presente sección supone el cuerpo central de este trabajo al exponer
los resultados de aplicar estas medidas entrópicas sobre dos tipos de neuronas reales obtenidas
experimentalmente. Estas poblaciones pertenecen a distintas estaciones de relevo de una misma
vía sensorial y han sido sometidas a diferentes circunstancias de desarrollo en cuanto a la
restricción o potenciación de la estimulación sensorial recibida.
Los datos experimentales empleados provienen de los recientes trabajos de Pilar Negredo y
de Jorge Castro desarrollados para sus correspondientes tesis doctorales [Castro García, 2007;
Negredo, 2006]. Sus estudios consistían en la descripción topológica y morfométrica de los
árboles dendríticos de neuronas de proyección pertenecientes al núcleo principalis del trigémino
de la rata23 (NpP) (Negredo), y de interneuronas localizadas en la corteza somatosensorial de la
rata (InC) (Castro). En la Figura T1 se muestran dos ejemplos de ambos tipos de neuronas.
Ambas poblaciones se integran en la vía somatosensorial de la rata responsable del
procesamiento de la información proveniente de las vibrisas. Estos estudios se llevaron a cabo de 23 Estas neuronas del complejo trigeminal reciben como entrada principal información directa (monosináptica) de
las neuronas sensoriales primarias del ganglio trigeminal, la procesan y la proyectan al tálamo. Desde el complejo
trigeminal parten dos vías hasta el tálamo contralateral: la vía lemniscal, que lleva información desde el núcleo
principalis hasta el núcleo ventral posteromeidal del tálamo (VPm) y es considerada la vía primaria somatosensorial,
y la paralemniscal, que parte del subnúcleo interpolar hasta el núcleo posterior del tálamo (POm).
RESULTADOS Villacorta
116
forma conjunta empleando distintos grupos de ratas criadas durante su fase adulta en condiciones
y entornos diversos para formar cuatro grupos experimentales. 1) el grupo control (C) compuesto
por animales mantenidos en condiciones estándar y que no han sido sometidos a ninguna
manipulación. 2) el grupo infraorbitario (Io), formado por ratas a las que se ha seccionado el
nervio infraorbitario (que porta la mayor parte de la información táctil proveniente de vibrisas) y
que han sido estabuladas en condiciones normales. 3) el grupo enriquecido (E), que agrupa a los
animales cuyas vibrisas han sido recortadas periódicamente para privarlos de aferencia sensorial
de forma no lesiva, y que eran estabulados frecuentemente en entornos enriquecidos con el fin de
aumentar su estimulación al disponer de juguetes, refugios, texturas, etc. 4) el grupo trimming
(T), compuesto por ratas sometidas a la misma manipulación que en el caso del enriquecimiento
pero que eran estabuladas en condiciones estándar. El proceso experimental tanto de tratamiento
de los animales como de procesamiento del tejido y de reconstrucción de los árboles dendríticos
se expone detalladamente en la sección de Materiales y Métodos. A partir de los datos se
calcularon los valores de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel utilizando las ecuaciones
matemáticas desarrolladas en las secciones precedentes.
Figura T1. Detalle del árbol dendrítico y soma de una neurona de proyección del núcleo principal del trigémino
(izquierda) y de una interneurona de la corteza somatosensorial (derecha). Ambos tipos se integran en la vía
lemniscal de la rata y procesan la información táctil proveniente de las vibrisas. Las características topológicas y
morfométricas de estas neuronas han sido empleadas para obtener las entropías que cuantifican la capacidad de sus
árboles dendríticos para procesar información.
Villacorta RESULTADOS
117
Tanto en el caso de las NpP (neuronas de proyección del principalis) como en el de las InC
(interneuronas de corteza) se estudiaron los árboles dendríticos pertenecientes a ambos lados de
las áreas de interés, así nos referiremos abreviadamente a cada lado por las siglas R (derecho) y
L (izquierdo); por ejemplo CR y CL para los controles derecho e izquierdo respectivamente. Es
importante tener en cuenta que las estaciones de procesamiento involucradas en estos trabajos e
integradas en la misma vía se encuentran en lados opuestos del individuo ya que , por ejemplo, la
entrada sensorial desde las vibrisas del lado derecho alcanza los núcleos trigeminales (incluido el
principalis) del lado derecho en el tronco del encéfalo, pero la información procesada que
emerge de estos decusa para, tras realizar una estación sináptica en el tálamo, alcanzar la corteza
somatosensorial del hemisferio izquierdo. Esto se traduciría en que el “lado de interés” sería el
derecho en el caso de las neuronas de proyección del principalis y el izquierdo en el caso de las
interneuronas de corteza. No obstante, una manipulación unilateral del sistema sensorial tiene,
por razones que exceden el ámbito de esta Tesis, consecuencias sobre el lado contrario. Además
existen, ya en condiciones control, diferencias de lado en el número, morfometría y topología de
ciertos tipos neuronales, por lo que prestaremos también atención a la comparación entre lados
de nuestros resultados. Más información en torno a la asimetría del sistema somatosensorial
puede encontrarse en las citadas Tesis de Pilar Negredo y Jorge Castro, y en las referencias
contenidas en ellas.
Los resultados de esta sección se organizarán en tres subsecciones. En las dos primeras se
expone la aplicación de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel a las NpP y a las InC respectivamente,
analizando la capacidad para procesar información de los árboles dendríticos de cada tipo
neuronal presente en los diferentes grupos. En la tercera parte se agrupan los resultados de las
dos secciones anteriores, reuniéndolos por grupos experimentales comunes (es decir CR de las
NpP con CR de las InC, etc.) para así cuantificar el flujo potencial de información de la vía
somatosensorial en las distintas condiciones experimentales propuestas.
La exposición de la cuantificación de la entropía se hará de forma comparativa, analizando
los niveles de significación que existen cuando se comparan entre sí las entropías de los
diferentes grupos. Estos niveles de significación se cuantifican a través de los valores de la P que
proporcionan los test estadísticos de contraste de hipótesis al comparar entre sí y entre lados los
diferentes grupos experimentales, y que se expondrán agrupados en tablas de significación. Los
test empleados han sido los más adecuados en función de las propiedades estadísticas del
conjunto de entropías para cada grupo. Así los casos en que las entropías se distribuían según
una normal eran analizados por medio del test paramétrico de la t de Student, mientras que si la
RESULTADOS Villacorta
118
distribución de los datos se desviaba significativamente de la normalidad se empleaba el test no
paramétrico W de Mann-Whitney. Por otro lado se han comparado sólo los grupos
experimentales vinculados biológica o experimentalmente, por ejemplo es lógico comparar los
grupo CR e IoR pero no tiene ningún sentido comparar CR con IoL.
Las tablas de significación contienen los P de todas las comparaciones independientemente
de si hay o no significación, sin embargo para facilitar la lectura de los resultados se han
resaltado los casos en los que hay tendencia o significación. De este modo si el nivel de
significación indica tendencia, (entre 0.05 < P ≤ 0.1) el valor de P se indica en azul, y si el nivel
de significación es significativo (0.01 < P ≤ 0.05), muy significativo (0.001 < P ≤ 0.01) o
altamente significativo (P ≤ 0.001) se destaca en rojo. En estos casos el P se acompaña de una
flecha que muestra cuál de los grupos tiene una mayor media: una flecha hacia arriba (abajo)
indica que la media del grupo en el eje vertical es mayor (menor) que la del grupo
correspondiente en eje horizontal. La exposición de los resultados se completa con una
representación gráfica de la media y desviación estándar de la entropía correspondiente a todos
los grupos experimentales separados en lado izquierdo (L) y derecho (R).
3.1. NEURONAS DE PROYECCIÓN DEL NÚCLEO PRINCIPALIS DE LA
RATA (NpP)
El núcleo principalis forma parte del complejo trigeminal, la primera estación de relevo en la que
se procesa la información sensorial proveniente de las vibrisas y portada por las neuronas
sensoriales del ganglio trigeminal; la importancia de estas estructuras anatómicas es considerable
ya que las vibrisas son el medio por el que la rata recibe una gran parte de la información sobre
el mundo exterior. El núcleo principalis está incluido en el complejo trigeminal del tronco del
encéfalo, y representa el origen de la llamada “vía lemniscal trigeminal”, que lleva información
hasta el núcleo ventral posteromedial del tálamo (VPm) contralateral, y que es considerada la vía
primaria somatosensorial, por ser la que de modo más rápido (mayor velocidad de conducción),
seguro (mayor tasa de respuesta sináptica en el tálamo) y espacialmente preciso (base principal
del mantenimiento del mapa somatotópico desde la periferia a la corteza) transmite información
táctil discriminativa a niveles altos del SNC [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Waite and
Tracey, 1995; Yu, et al., 2006].
Las neuronas aquí estudiadas son neuronas de proyección pertenecientes al núcleo principalis
y forman parte de la vía lemniscal, cuya importancia justifica el interés de analizar sus
Villacorta RESULTADOS
119
características desde el punto de vista de su potencial para el procesamiento de la información. El
análisis de la capacidad como fuentes de información de los árboles dendríticos pertenecientes a
las NpP se llevará a cabo aplicando los tres niveles de entropía pero distinguiendo dos
situaciones: aquella en la que la unidad estructural de procesamiento es el propio árbol dendrítico
y aquella en que la unidad de procesamiento es la neurona, en cuyo caso cuantificaremos su
entropía de cada nivel pertinente como la suma de las entropías de sus árboles dendríticos a
dicho nivel.
3.1.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL (NpP)
La capacidad de procesar información de las neuronas de proyección del principalis en todos los
grupos experimentales y cuando sólo se consideran sus propiedades topológicas se analizará
separando los resultados por árboles y por neuronas; además se presentarán los resultados de un
análisis comparativo de los órdenes máximos de cada árbol con el fin de testar la fiabilidad de
este parámetro topológico como estimador de la Entropía de 1er Nivel.
3.1.1.a. Entropía de 1er Nivel por árboles (NpP)
Consideremos inicialmente los datos desde el punto de vista de los árboles dendríticos como
unidad de procesamiento de información. Los resultados se resumen presentado los niveles de
significación en la Tabla 1 y los valores medios y desviaciones típicas en forma de histograma en
la Figura 27. En esta figura (y en las figuras de este tipo que acompañan a las restantes tablas de
significación) se han representado las entropías medias y sus desviaciones estándar de la media
(SDM) exclusivamente con fines ilustrativos. Se debe tener en cuenta que la comparación visual
de los grupos experimentales en base a sus medias y SDM solamente se corresponde con las
comparaciones estadísticas expuestas en las tablas en los casos en los que ha sido posible
emplear el test paramétrico t de Student, sin embargo para los grupos cotejados mediante test no
paramétricos la situación deducida del valor de P puede no concordar con la representación
gráfica; es por ello por lo que ésta sólo debe tomarse como una referencia visual.
RESULTADOS Villacorta
120
Tabla 1. Entropía de 1er Nivel por Árboles (NpP)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.16 IOR 0.12 IOL 0.81 0.8 ER 0.1↓ 0.88 EL 0.099↑ 0.09↑ 0.07↑ TR 0.49 0.56 0.44 TL 0.04↑ 0.046↑ 0.67 0.15
Entropía 1er Nivel InP por Árboles
0
2
4
6
8
10
12
C IO E T
Grupos
Entr
opía
1er
Niv
el
Izq
Der
Figura 27. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para los árboles de las neuronas de
proyección del principalis. Los resultados estadísticos se muestran en la Tabla 1.
La Tabla 1 de significación revela varios resultados importantes. En primer lugar en el grupo
infraorbitario no se altera significativamente la capacidad de procesamiento de sus árboles
dendríticos cuando se compara con las del grupo control. En segundo lugar los árboles
dendríticos en los casos trimming y enriquecido muestran un cambio significativo en su
capacidad de generar información exclusivamente en el lado izquierdo, debido a un aumento de
Villacorta RESULTADOS
121
la entropía media (ver Figura 1). Esta tendencia en el lado izquierdo se manifiesta tanto en los
cambios significativos que existen entre el trimming y los casos control e infraorbitario como en
las tendencias que muestra el caso enriquecido con el control e infraorbitario. Es reseñable sin
embargo que no hay variación entre los propios casos de enriquecimiento y trimming.
3.1.1.b. Entropía de 1er Nivel por neuronas (NpP)
Agrupemos ahora las entropías por neurona, sumando la Entropía de 1er Nivel de cada árbol
perteneciente a esa neurona. Los resultados se resumen en la Tabla 2 y en la Figura 24, siguiendo
el mismo procedimiento que en la Tabla 1 y la Figura 23.
Lo primero que se aprecia es una variación en el patrón de los resultados, ya que aquellos
casos en los que aparecían diferencias significativas son estadísticamente iguales cuando se
considera a las propias neuronas como las unidades de procesamiento de información. Obsérvese
sin embargo que los casos que ahora se pueden considerar diferentes antes se mostraban con una
tendencia, lo que es relativamente congruente. El por qué de esta situación se aclara un poco si
atendemos a la Figura 28, donde se muestran las Entropías de 1er Nivel media junto a su SD, para
cada caso estudiado tras agrupar por neurona. Se observa inmediatamente el gran parecido con la
Figura 27, donde aparece esta misma medida pero organizada por árbol dendrítico. ¿Cuál es la
diferencia entonces entre las gráficas y las tablas? Tanto la Tabla 1 como la Tabla 2 exponen
cuantitativamente niveles de significación, y dichos valores dependen de forma crítica de los test
estadísticos empleados para el estudio de cada caso. Cuando se estudian los árboles dendríticos
sin considerarlos pertenecientes a una neurona en concreto la distribución estadística de su
entropía se aleja bastante de una normal y por lo tanto los test empleados son no paramétricos,
mientras que la entropía por neurona sí se distribuye en general como una normal y por lo tanto
se pueden usar test paramétricos.
RESULTADOS Villacorta
122
Tabla 2. Entropía de 1er Nivel por Neuronas (NpP)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL
CR CL 0.8 IOR 0.12 IOL 0.29 0.87 ER 0.075↓ 0.85 EL 0.14 0.02↑ 0.005↑ TR 0.23 0.75 0.61 TL 0.67 0.18 0.29 0.16
Entropía 1er Nivel InP por Neuronas
0
10
20
30
40
50
60
C IO E T
Grupos
Entr
opía
1er
Niv
el
Izq
Der
Figura 24. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para las neuronas de proyección del
principalis.
La Tabla 2 muestra que al tomar las neuronas como unidad procesadora de información el
nivel de significación disminuye, apareciendo de nuevo una tendencia entre el caso control
derecho y el enriquecido derecho, sin embargo las únicas diferencias significativas se encuentran
ahora entre los casos IOL y EL, y entre el EL y ER.
Villacorta RESULTADOS
123
3.1.1.c. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo (NpP)
La relación demostrada en la sección sobre los resultados teóricos entre la Entropía de 1er Nivel y
el orden máximo se ha estudiado aquí con los datos de los árboles dendríticos de las neuronas de
proyección del principalis. Para cada uno de los grupos experimentales se han tomado los
órdenes máximos de sus árboles y se han comparado unos con otros, organizándose los
resultados en forma de valores de significación que se reúnen en la Tabla 3.
Tabla 3. Orden Máximo (NpP)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.098↓ IOR 0.1↓ IOL 0.94 0.88 ER 0.07↓ 0.87 EL 0.07↑ 0.1↑ 0.052↑ TR 0.44 0.5 0.43 TL 0.031↑ 0.06↑ 0.74 0.14
La validez del orden máximo de un árbol dendrítico como estimador del valor de la Entropía
de 1er Nivel de aquel se demuestra sin más que comparar la Tabla 3 con la Tabla 1. Se aprecia
inmediatamente cómo los valores de significación de los test de contraste de hipótesis para los
órdenes máximos reproducen los obtenidos en el análisis de la Entropía de 1er Nivel para esta
población neuronal.
3.1.2. ENTROPÍA DE 2º NIVEL (NpP)
La sección 2.2.1 se dedicó al análisis de la conexión entre las Entropías de 1er y 2º Nivel, tanto a
nivel global como atendiendo a poblaciones neuronales concretas obtenidas por medio de
simulaciones computacionales. Para estudiar si esa relación se mantiene en los casos reales se ha
procedido del mismo modo que condujo a la Figura 26, reproduciéndose los mismos resultados
allí obtenidos: a cada árbol de cada grupo experimental se le ha asignado un punto que tiene
como coordenada x a la Entropía de 1er Nivel y como coordenada y a la Entropía de 2º Nivel,
RESULTADOS Villacorta
124
ajustándose esa nube de puntos a un polinomio cuadrático. Se ha concluido que todos los grupos
experimentales se ajustan a una curva cuasilineal (ya que el coeficiente cuadrático es muy
cercano a cero) con un coeficiente de correlación por encima del 0.998.
3.1.3. ENTROPÍA DE 3er NIVEL (NpP)
La introducción de las características morfométricas de las neuronas de proyección del
principalis altera significativamente la capacidad de estas neuronas como fuente de información
en todos los grupos experimentales respecto al caso en que sólo se asumían las propiedades
topológicas de los árboles dendríticos. La distancia de discretización d se toma igual a 1 micra y
al igual que antes los resultados se exponen separando por árboles y por neuronas.
3.1.3.a. Entropía de 3er Nivel por árboles (NpP)
Consideremos los datos de Entropía de 3er Nivel tomado como unidad de procesamiento de
información a los árboles dendríticos. Los resultados se muestran en la Tabla 4 de niveles de
significación junto a la Figura 29.
Tabla 4. Entropía de 3er Nivel por Árboles (NpP)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.35 IOR 0.14 IOL 0.51 0.79 ER 0.12 0.89 EL 0.064↑ 0.017↑ 0.019↑ TR 0.76 0.36 0.32 TL 0.087↑ 0.03↑ 0.99 0.21
Villacorta RESULTADOS
125
Entropía 3er Nivel InP por Árboles
10
15
20
25
30
35
40
C IO E T
Grupos
Entr
opía
3er
Niv
elIzq
Der
Figura 29. Entropía de 3er Nivel media y desviación estándar de la media para los árboles de las neuronas de
proyección del principalis.
El cotejo de las Tablas 1 y 4 muestra cómo la inclusión de la morfometría afecta a la
capacidad del árbol dendrítico para procesar información: los grupos con los que el control
izquierdo mostraba diferencias (EL y TL) también procesan más información aunque en el caso
morfométrico sólo parecen tendencias. Por el contrario al introducir la longitud de los segmentos
dendríticos como parámetro importante en el procesamiento el grupo EL mejora
significativamente su capacidad como fuente de información con respecto a los grupos ER e IOL
(que en el caso topológico sólo aparecía como tendencia). Concluimos entonces que, en general,
en este nuevo nivel de entropía las diferencias presentes en el nivel topológico inicial se acentúan
significativamente.
3.1.3.b Entropía de 3er Nivel por neuronas (NpP)
Analizando la capacidad de procesamiento de las neuronas del principalis en función de la
Entropía de 3er se obtiene la Tabla 5 de niveles de significación y la Figura 30.
RESULTADOS Villacorta
126
Tabla 5. Entropía de 3er Nivel por Neuronas (NpP)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL
CR CL 0.58 IOR 0.18 IOL 0.12 0.82 ER 0.23 0.87 EL 0.23 0.015↑ 0.002↑ TR 0.63 0.42 0.51 TL 0.85 0.27 0.13 0.47
Entropía 3er Nivel InP por Neuronas
30
50
70
90
110
130
150
170
190
C IO E T
Grupos
Entr
opía
3er
Niv
el
Izq
Der
Figura 30. Entropía de 3er Nivel media y desviación estándar de la media para las neuronas de proyección del
principalis.
Al igual que ocurría en el caso en que los árboles de las neuronas de proyección del
principalis se consideraban las unidades de procesamiento, las diferencias en las capacidades
como fuentes de información se acentúan cuando se introducen las propiedades morfométricas,
manteniéndose en general las relaciones establecidas entre los diferentes grupos experimentales a
nivel topológico.
Villacorta RESULTADOS
127
3.2. INTERNEURONAS DE LA CORTEZA SOMATOSENSORIAL DE LA
RATA (InC)
La información proveniente de las vibrisas y procesada por el complejo trigeminal es recibida en
la corteza somatosensorial como estación final de procesamiento en la línea ascendente de
proyección somatosensorial entre la periferia y la corteza. La corteza cerebral cuenta con una
gran variedad de interneuronas, la mayoría de ellas inhibitorias, distinguibles en base a la
morfología de su árbol dendrítico y de sus axones, su orientación, proyecciones, neuroquímica,
funcionalidad, etc. [Jones, 1975; Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Woolsey and Van der,
1970]. Esta diversidad implica necesariamente un contexto funcional para las InC
completamente diferente al de las NpP estudiadas en la sección previa y que debe manifestarse
especialmente en su procesamiento de información. En la presente sección se analizará la
influencia de las distintas circunstancias experimentales descritas sobre las capacidades de las
interneuronas de la corteza somatosensorial como fuentes de información de la subpoblación de
interneuronas inhibitorias (gabaérgicas) de la corteza somatosensorial que expresan la proteína
fijadora de calcio calretinina [DeFelipe, 1997]. Para ello seguiremos el esquema del estudio
llevado a cabo sobre las neuronas de proyección del principalis. Conviene recordar aquí que la
vía sensorial ha decusado a partir de los núcleos trigeminales del tronco del encéfalo, por lo que
la afectación más directa provocada por la sección del nervio o el recorte de vibrisas se
manifiesta en el corteza del hemisferio izquierdo.
Las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel de los árboles dendríticos de las InC pertenecientes a los
cuatro grupos experimentales han sido analizadas suponiendo que la base del procesamiento son
los árboles o las propias neuronas, si embargo, como se verá, en ningún caso se han observado
diferencias significativas o siquiera tendencias entre los diferentes grupos, en ninguno de los
niveles de entropía. Aunque este hecho será analizado en detalle en la Discusión, conviene
adelantar aquí que es una consecuencia lógica de la elevada complejidad de la corteza, tanto en
cuanto a su conectividad, (a nivel de conectividad interna, aferencias que recibe, eferencias que
proyecta, etc.) como a su procesamiento de la información.
RESULTADOS Villacorta
128
3.2.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL (InC)
3.2.1.a. Entropía de 1er Nivel por árboles (InC)
Al igual que en las secciones precedentes los resultados se resumen en una tabla de significación
(Tabla 6) acompañada de la representación gráfica de la media y desviación estándar de la media
de la Entropía de 1er Nivel para los árboles dendríticos de las InC (Figura 31).
Tabla 6. Entropía de 1er Nivel por Árboles (InC)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.85 IOR 0.92 IOL 0.95 0.83 ER 0.76 0.7 EL 0.64 0.59 0.26 TR 0.83 0.72 0.96 TL 0.52 0.54 0.26 0.91
Entropía 1er Nivel InC por Árboles
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
C IO E T
Grupos
Entr
opía
1er
Niv
el
Izq
Der
Figura 31. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para los árboles de las interneuronas de la
corteza somatosensorial.
Villacorta RESULTADOS
129
3.2.1.b. Entropía de 1er Nivel por neuronas (InC)
Agrupando las Entropías de 1er Nivel por neurona la Tabla 7 y la Figura 28 revelan que, al igual
que al considerar el procesamiento por árboles, tampoco obtenemos variaciones significativas en
el tratamiento de la información que llevan a cabo las InC en ninguna circunstancia
experimental. Únicamente se observa tendencia a una menor entropía en la corteza izquierda con
respecto a la derecha en el grupo enriquecido.
Tabla 7. Entropía de 1er Nivel por Neuronas (InC)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.73 IOR 0.88 IOL 0.69 0.27 ER 0.68 0.81 EL 0.45 0.67 0.1↓ TR 0.84 0.93 0.7 TL 0.41 0.59 0.91 0.16
Entropía 1er Nivel InC por Neuronas
16
17
18
19
20
21
22
23
24
C IO E T
Grupos
Entr
opía
1er
Niv
el
Izq
Der
Figura 32. Entropía de 1er Nivel media y desviación estándar de la media para las interneuronas de la corteza
somatosensorial.
RESULTADOS Villacorta
130
3.1.1.c. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo (InC)
La solidez del orden máximo como estimador de la Entropía de 1er Nivel se demuestra una vez
más en este caso aunque de forma poco espectacular ya que corrobora la ya comentada ausencia
general de cambios, y tendencia a la diferencia interhemisférica en el grupo EL.
Tabla 8. Orden Máximo (InC)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.66 IOR 0.98 IOL 0.93 0.67 ER 0.39 0.39 EL 0.6 0.51 0.051↓ TR 0.53 0.53 0.89 TL 0.47 0.5 0.2 0.69
3.2.2. ENTROPÍA DE 2º NIVEL (InC)
La relación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel se estudió teóricamente en dos poblaciones
diferenciadas en base a los valores de los parámetros B, E y S en que se fundamentan los
respectivos modelos de desarrollo, y se comprobó en ambas poblaciones que la correlación entre
las dos medidas entrópicas era muy elevada. La presente sección complementa a la sección
3.1.2., en la que esa relación era testada para una población estrictamente experimental, ya que
las diferencias estructurales entre las neuronas de proyección del principalis y las interneuronas
de la corteza somatosensorial permiten ser consideradas dos poblaciones significativamente
diferentes. En efecto, como era de esperar, también para este tipo neuronal (InC) las dos medidas
entrópicas manifiestan una fuerte correlación cuasilineal, exhibiendo un coeficiente de
correlación superior a 0.997.
Villacorta RESULTADOS
131
3.2.3. ENTROPÍA DE 3er NIVEL (InC)
3.2.3.a. Entropía de 3er Nivel por árboles (InC)
La Tabla 9 y la Figura 33 expuestas a continuación no muestran cambios relevantes, ni aun
tendencias, al añadir la morfometría a la caracterización entrópica de los árboles pertenecientes a
las interneuronas de corteza. Esto sucede también cuando se agrupan los resultados por neuronas,
como se demuestra en la subsección siguiente.
Tabla 9. Entropía de 3er Nivel por Árboles (InC)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 1 IOR 0.8 IOL 0.69 0.88 ER 0.53 0.4 EL 0.53 0.89 0.23 TR 0.97 0.86 0.57 TL 0.65 0.37 0.28 0.68
Entropía 3er Nivel InC por Árboles
23
25
27
29
31
33
35
C IO E T
Grupos
Entr
opía
3er
Niv
el
Izq
Der
RESULTADOS Villacorta
132
Figura 33. Entropía de 3er Nivel. Media y desviación estándar de la media para los árboles de las interneuronas de la
corteza somatosensorial.
3.2.3.b. Entropía de 3er Nivel por neuronas (InC)
Tabla 10. Entropía de 3er Nivel por Neuronas (InC)
CR CL IOR IOL ER EL TR TL CR CL 0.92 IOR 0.9 IOL 0.46 0.19 ER 0.78 0.83 EL 0.52 0.97 0.24 TR 0.47 0.27 0.47 TL 0.21 0.44 0.47 0.61
Entropía 3er Nivel InC por Neuronas
90
95
100
105
110
115
C IO E T
Grupos
Entr
opía
3er
Niv
el
Izq
Der
Figura 34. Entropía de 3er Nivel. Media y desviación estándar de la media para las interneuronas de la corteza
somatosensorial.
Villacorta RESULTADOS
133
3.3. CUANTIFICACIÓN DEL FLUJO DE INFORMACIÓN A LO LARGO DE
LA PRINCIPAL VIA DE INFORMACIÓN SOMATOSENSORIAL
TRIGEMINAL DE LA RATA
Los dos tipos de neuronas analizadas y para las cuales se han cuantificado las Entropías de 1er, 2º
y 3er Nivel en las diferentes condiciones experimentales, pertenecen a dos tipos celulares muy
diferentes, y en los extremos de la principal vía sensorial (vía lemniscal) que conduce la
información proveniente de las vibrisas. En las secciones previas se ha analizado si las
circunstancias que definen cada grupo experimental (privación sensorial por lesión del nervio
sensitivo o recorte de vibrisas (trimming), y potenciación sensorial por enriquecimiento del
medio) influyen sobre la forma en que los árboles dendríticos de estas poblaciones procesan la
información, cuantificándose dicha influencia en caso de que exista. En la sección que nos ocupa
sin embargo se adopta un enfoque más global al comparar entre sí las entropías de las dos
poblaciones dentro de cada grupo. Así por ejemplo para el grupo control comparamos la entropía
(de cada nivel) de las neuronas de proyección del principalis del lado derecho con la entropía de
las interneuronas de corteza del hemisferio izquierdo. Esta comparación permite saber si existe
una variación significativa en las capacidades de procesamiento de la información entre las dos
estaciones sinápticas, el núcleo principalis y la corteza sensitiva primaria, y caracterizarla en
caso afirmativo, cuantificándose de esta forma el flujo de información que conduce esta vía
sensorial.
Al referirnos a ‘flujo de información’ no hablamos tanto de la información portada por la vía
(ya que esto depende en definitiva de la información sensorial recogida del exterior a través de
los receptores periféricos, en este caso las vibrisas) como de la capacidad de la vía para portar
información, aunque esta aclaración exige a su vez otro matiz. En términos de teoría de la
información ‘capacidad’ es un concepto que se aplica al canal a través del que se transmite la
información y no a la fuente que la genera, y en este contexto anatómico podría parecer que la
vía sensorial se ajusta más fielmente a la noción de canal de información. Hay que tener en
cuenta sin embargo que la vía somatosensorial que porta la información proveniente de las
vibrisas, lejos de ser un mero camino que siguen los estímulos tactiles desde la periferia hasta la
corteza, es un conjunto de áreas del sistema nervioso en las que la información va recalando24,
24 Recuérdese que la información táctil de las vibrisas es recogida desde los receptores por las neuronas del ganglio
trigeminal que la conducen hasta el trigémino. Desde ese núcleo las proyecciones la dirigen al tálamo contralateral y
de allí la información es enviada a la corteza somatosensorial.
RESULTADOS Villacorta
134
procesándose y haciéndose más compleja en cada estación. Desde este punto de vista hablar de la
capacidad de la vía somatosensorial es hablar de su potencial de procesamiento y por añadidura
del flujo de información que es capaz de manejar.
La estructura con la que se exponen los resultados experimentales en esta sección es análoga
a la seguida en las secciones 3.1. y 3.2. Cada nivel de entropía estudiado se muestra por
separado, presentándose las comparaciones entre los grupos correspondientes por medio de los
valores de significación P de los test de contraste de hipótesis. Estos valores P se organizan en
tablas de significación, siguiéndose los códigos de colores utilizados previamente: valores en
azul indican tendencia y en rojo denotan significación, alta significación o muy alta
significación; las flechas que los acompañan indican cuál de las magnitudes comparadas es
mayor: si apunta hacia arriba (abajo) la que se encuentra en el eje vertical (horizontal) es la más
alta. Por último debe comentarse que la comparación de las caracterizaciones entrópicas de las
neuronas estudiadas presentes en los extremos de la vía somatosensorial se hará sólo en las
Entropías de 1er y 3er Nivel, en vista de la fuerte correlación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel,
analizándose los resultados considerando las posibilidades de que las unidades de procesamiento
sean los árboles dendríticos o las neuronas a las que pertenecen.
3.3.1. ENTROPÍA DE 1er NIVEL
El estudio conjunto de las neuronas de proyección del principalis y de las interneuronas de la
corteza somatosensorial como parte de un todo (vía lemniscal) cuya capacidad para procesar
información a nivel topológico por medio de la Entropía de 1er, 2º y 3er Nivel se quiere
cuantificar, impone la comparación de los grupos experimentales de acuerdo al esquema
comentado al principio de la sección 3.3. Este esquema se refleja en las tablas de valores de
significación, en la que sólo los pares de grupos adecuados han sido comparadas; para hacer más
concisa la presentación de los resultados se ha denotado a los grupos con tres letras: la primera se
refiere al grupo experimental (C = Control, Io = Infraorbitario, E = Enriquecido, T = Trimming),
la segunda letra señala el lado al que pertenecen las neuronas (R = derecho, L = izquierdo) y por
último la tercera letra hace referencia al tipo de neurona (P = Principalis, C = Corteza).
Villacorta RESULTADOS
135
3.3.1.a. Entropía de 1er Nivel por árboles
La asunción de que las unidades de procesamiento de la información a nivel topológico dado por
la Entropía de 1er Nivel en los tipos neuronales estudiados en este trabajo sean los árboles
dendríticos lleva a unos resultados reseñables, mostrados en la Tabla 11. Los tests de contraste
de hipótesis demuestran que en el caso Control no existe diferencia entre las NpP y las InC de la
vía derecha pero sí entre las de la izquierda, siendo las interneuronas de corteza capaces de
procesar más información de una manera muy significativa.
En los casos en que se produce una lesión en el nervio responsable de conducir la
información de las vibrisas hacia el trigémino (grupo Infraorbitario) todo cambia de forma
radical: en el caso en que el Control no cambiaba ahora exhibe una diferencia de procesamiento
muy significativa en el lado lesionado; si además nos fijamos en la Tabla 6 vemos que no existen
cambios entre CL e IoL para las InC, con lo que se deduce que la capacidad de procesamiento de
las NpP del grupo IoR han disminuido con respecto al control (la correspondiente relación de la
Tabla 1 da un P = 0.12, cerca de la tendencia), es decir la lesión afecta de forma importante a las
características entrópicas del sistema. Esto se hace extensivo también al lado izquierdo de la
lesión, aunque la diferencia no es tan importante.
Cuando los animales conviven en un entorno enriquecido los resultados son opuestos a los
observados en el caso control: las diferencias se manifiestan en la vía derecha (siempre con una
mayor capacidad de procesamiento en las interneuronas de corteza) mientras que la izquierda se
mantiene sin diferencias. Esto mismo sucede en el último grupo, el de Trimming, en el que
también el lado derecho de la vía somatosensorial muestra la misma tendencia en los cambios
significativos de las neuronas de proyección del principalis con respecto a las interneuronas de
corteza, aunque la vía izquierda no muestra ninguna alteración.
RESULTADOS Villacorta
136
Tabla 11. Entropía de 1er Nivel por Árboles entre NpP y InC
CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P
CR C 0.18 0.01 ↑ CL C 0.23 0.01 IOR C 0.007 0.02 ↑ IOL C 0.009↑ 0.02 ER C 0.002 0.27 EL C 0.04 ↑ 0.88 TR C 0.04 0.68 TL C 0.03 ↑ 0.57
3.3.1.b. Entropía de 1er Nivel por neuronas
Resulta muy significativo ver cómo se altera la cuantificación del flujo de información cuando en
el análisis anterior se agrupan los valores de la Entropía de 1er Nivel por neurona, según se
muestra en la Tabla 12. Los únicos cambios destacables que se producen se dan en el caso de los
grupos de enriquecimiento derecho para las neuronas de proyección del principalis comparadas
con las interneuronas de corteza, y en el sentido opuesto a la tendencia general cuando son los
árboles las unidades de procesamiento; el resto de los casos permanecen prácticamente
inalterados. Las posibles explicaciones de este hecho serán analizadas detalladamente en la
Discusión.
Tabla 12. Entropía de 1er Nivel por Neuronas entre NpP y InC
CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P CR C 0.83 CL C 0.1↓ IOR C 0.3 IOL C 0.95 ER C 0.007↓ EL C 0.4 TR C 0.63 TL C 0.81
Villacorta RESULTADOS
137
3.3.1.c. Relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo (InC)
El orden máximo de los árboles dendríticos de las distintas neuronas estudiadas en este trabajo
demuestra una vez más ser un sólido estimador de la Entropía de 1er Nivel, como revela la Tabla
13. En ella puede observarse que los mismos cambios reportados en la Tabla 11 para la propia
Entropía de 1er Nivel se reflejan, junto con sus tendencias, al aplicar este parámetro topológico;
la única diferencia reseñable es la aparición de una tendencia en vez de un cambio significativo
en el caso de los grupos ERP - ELC.
Tabla 13. Orden Máximo entre NpP y InC
CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P
CR C 0.008↑ CL C 0.43 IOR C 0.03↑ IOL C 0.012↑ ER C 0.18 EL C 0.064↑ TR C 0.64 TL C 0.027↑
( )
3.3.2. ENTROPÍA DE 3er NIVEL
A continuación se analizan los cambios en la capacidad de procesamiento de la información a lo
largo de la vía lemniscal cuando se introducen las condiciones morfométricas de los árboles
dendríticos. Los resultados obtenidos en el nivel topológico se reproducen aquí pero con una
mayor congruencia y solidez (ver Discusión) tanto en el caso del análisis a partir de los árboles
dendríticos como de las propias neuronas.
3.3.2.a. Entropía de 3er Nivel por árboles
En la Tabla 14 se expone en forma de niveles de significación la cuantificación por medio de la
Entropía de 3er Nivel, del flujo de información a través de los árboles dendríticos propios de los
tipos neuronales estudiados y pertenecientes a la principal vía de información somatosensorial.
Estos resultados tienen una gran significación por reflejar cuantitativamente a través del
RESULTADOS Villacorta
138
procesamiento de la información de vibrisas las circunstancias anatómicas y experimentales
propias de los sistemas neuronales estudiados.
En primer lugar destaca el considerable aumento de la significación en las diferencias que,
con respecto a la descripción inicial a nivel topológico (Tabla 11), los árboles dendríticos de las
dos poblaciones neuronales muestran en sus capacidades como fuentes de información. En
segundo lugar se observa que ahora casi todos los grupos experimentales muestran cambios,
excepto el caso TLP – TRC, que roza la tendencia, lo cual es congruente con la intuición
anatómica y funcional, más aún cuando son las interneuronas de la corteza somatosensorial las
que muestran una mayor capacidad que las de proyección del principalis. Destaca por último que
la congruencia se ajusta también a las diferentes circunstancias que se plantean entre lados, así
por ejemplo en los grupos infraorbitarios, como era de esperar, la diferencia entre las InC y las
NpP es mayor en el lado lesionado que en el lado intacto, y siempre a favor de las Interneuronas
corticales. Las implicaciones de estos resultados son importantes y se analizan en profundidad en
la Discusión.
Tabla 14. Entropía de 3er Nivel por Árboles entre NpP y InC
CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P
CR C 0.001↑ CL C 0.008↑ IOR C 0.0005↑ IOL C 0.0001↑ ER C 0.037↑ EL C 0.0004↑ TR C 0.13 TL C 0.001↑
3.3.2.b. Entropía de 3er Nivel por neuronas
Nuevamente los resultados obtenidos a partir de la Entropía de 1er Nivel por neuronas en la
Tabla 12 se reproducen aquí con los matices comentados en el apartado previo: los cambios
esperados desaparecen, reduciéndose sólo a los grupos enriquecidos, y aun así en dichos casos
las tendencias son ambiguas, ya que en la vía que nace en el lado derecho son las interneuronas
corticales las que manifiestan una mayor capacidad de procesamiento, mientras que en el lado
Villacorta RESULTADOS
139
izquierdo la situación es a la inversa. También estos resultados son analizados en detalle en la
Discusión porque parecen indicar hechos muy relevantes.
Tabla 15. Entropía de 3er Nivel por Neuronas entre NpP y InC
CR P CL P IOR P IOL P ER P EL P TR P TL P
CR C 0.94 CL C 0.37 IOR C 0.41 IOL C 0.09↑ ER C 0.03↓ EL C 0.017↑ TR C 0.61 TL C 0.77
RESULTADOS Villacorta
140
Villacorta DISCUSIÓN
141
DISCUSIÓN
DISCUSIÓN Villacorta
142
Villacorta DISCUSIÓN
143
1. GENERALIZACIÓN DE LAS MEDIDAS DE ENTROPÍA
El esquema bajo el que se han desarrollado las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel se basa en analizar
la variedad de configuraciones conectivas a nivel sináptico que un árbol dendrítico puede exhibir
y cómo éstas influyen sobre el procesamiento de las señales. Las condiciones bajo las que se
asumía este procesamiento, y que por tanto definían las características de cada medida de
entropía, se plantearon en tres niveles de complejidad creciente: en el primer nivel sólo se
suponían las propiedades topológicas del árbol que, junto a las restricciones admitidas en cuanto
a la sinapticidad, hacían de la Entropía de 1er Nivel la descripción más básica de las capacidades
de los árboles dendríticos como fuentes de información. Al incluir condiciones básicas de la
morfometría de los segmentos dendríticos, las estrictas circunstancias de conectividad del nivel
topológico se veían relajadas, dando lugar a la Entropía de 2º Nivel. En el último nivel
descriptivo se definió la Entropía de 3er Nivel, en la que las configuraciones sinápticas que el
árbol dendrítico podía adquirir se regían por las condiciones morfométricas más sencillas, es
decir la longitud y diámetro de sus segmentos, además de las anteriores circunstancias
concernientes a su topología.
El proceso de fundamentación y desarrollo de las tres medidas entrópicas definidas se ha
expuesto de una forma lo más explícita y detallada posible (ver Resultados) con la intención de
presentar estos conceptos con rigor y sencillez, pero sobre todo para ilustrar la manera en que
una condiciones de sinaptación impuestas directamente desde resultados experimentales o
indirectamente en base a hipótesis teóricas, se reflejan en una medida capaz de cuantificar la
propiedad esencial de un árbol dendrítico: su capacidad para procesar información. En
consecuencia esa parte del trabajo debe ser entendida quizás como uno de los resultados más
relevantes de este estudio, aunque en apariencia tal fundamentación parezca algo extensa o
redundante.
Desarrollo de las medidas entrópicas
Las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel han demostrado ser unas medidas realmente eficaces a la hora
de caracterizar las estructuras dendríticas al mostrar unas propiedades notables que llevan su
importancia más allá de la cuantificación de la capacidad de procesamiento de los árboles
dendríticos, sin embargo el potencial de este tipo de medidas va más allá de los tres niveles de
entropía propuestos. Las condiciones en las que se han basado tienen la virtud de la generalidad,
ya que las restricciones que imponen se puede aplicar a todos los tipos de neuronas, si bien esta
DISCUSIÓN Villacorta
144
generalidad es a la vez una limitación, al no considerar las peculiaridades de las distintas clases
de árboles dendríticos que existen. En cualquier caso un conocimiento riguroso de las
características propias de un tipo de árbol concreto permite sofisticar las medidas entrópicas
definidas o bien construir una medida propia adaptada al tipo deseado, aumentando así la
fidelidad de la caracterización.
En general se puede afirmar que el desarrollo de una medida entrópica eficaz aplicada a la
caracterización de árboles dendríticos pasa por dos fases:
F.1. El establecimiento y fundamentación del nivel descriptivo al que queremos llegar
(exclusiva-mente topológico en las Entropías de 1er y 2º Nivel, y topológico y
morfométrico en la Entropía de 3er Nivel).
F.2. La evaluación, circunscrita a la aproximación fijada en la fase anterior, del
comportamiento de árbol dendrítico ante la estimulación sináptica.
La primera fase es la más delicada por estar supeditada a un conocimiento lo más preciso
posible de aquellas propiedades dendríticas reales que sean importantes para conformar la
conectividad sináptica. Lo contrario obligaría o bien a aproximar dichas características o bien a
excluirlas directamente, lo que en algunos casos resultaría inaceptable si ese rasgo concreto fuese
crítico para el correcto procesamiento por parte del árbol dendrítico. Por ejemplo, si quisiéramos
construir una medida de entropía muy fiel a la realidad lo lógico sería suponer que un porcentaje
significativo de las sinapsis en los segmentos dendríticos se distribuyen espacialmente siguiendo
el patrón de localización de las espinas dendríticas y no asumir sencillamente que pueden
sinaptar en cualquier parte del árbol dendrítico con igual probabilidad25 [Andrasfalvy and
Magee, 2001; Nicholson, et al., 2006; Rumsey and Abbott, 2006]. El problema de este abordaje
es que es necesario conocer el número y distribución de las espinas en el tipo de neuronas a
caracterizar entrópicamente, lo cual resulta experimentalmente complicado puesto que la
reconstrucción detallada de los árboles dendríticos con sus espinas no es trivial [Feldman and
Peters, 1979; Koh, et al., 2002] Las neuronas estudiadas en esta Tesis, procedentes del núcleo
principalis [Negredo, 2006] y de la subpoblación de interneuronas que expresan calretinina en la
corteza somatosensorial (REF Jorge) no presentan este problema, al tratarse de neuronas
básicamente no espinosas. Aún así la distribución detallada de las sinapsis en el árbol dendrítico 25 Una de las funciones principales (aunque no la única [Koch, 1999]) de las espinas dendríticas es la de servir como
“puertos” para la llegada y formación de contactos sinápticos [Stuart, Spruston and Hausser, 1999].
Villacorta DISCUSIÓN
145
(con independencia de las espinas) es aún más difícil de obtener por ser necesario conjuntar
diversas técnicas experimentales (distintos tratamientos inmunohistoquímicos, microscopía
confocal, microscopía electrónica, estereología, etc.). De ser posible, la adquisición de estos
datos sería de gran ayuda al permitirnos saber si los segmentos dendríticos son más susceptibles
de recibir sinapsis según su carácter (terminal o intermedio), según su distancia euclídea, real o
topológica al soma, según su orientación, su grado, etc., sin embargo ante la falta de
conclusiones en estos aspectos es necesario rebajar el nivel de fidelidad descriptiva exigido a la
medida entrópica a desarrollar y asumir condiciones neutras que no admitan ningún
conocimiento a priori, suponiéndose así una probabilidad uniforme de sinaptación a lo largo de
toda la longitud de cada segmento del árbol dendrítico según se hizo en la Entropía de 3er Nivel.
La fase F.2.del proceso de construcción de una medida entrópica eficaz es algo más
inmediata que la F.1. en virtud de los programas que existen actualmente para simular el
comportamiento electrofisiológico de las diversas estructuras neuronales, en especial el software
‘Neuron’, empleado en este trabajo. A pesar de ello esta etapa no está exenta de dificultades ya
que la modelización rigurosa del procesamiento dendrítico bajo condiciones muy detalladas
exige la misma precisión a la hora de implementar computacionalmente esas circunstancias, para
que las conclusiones obtenidas sean válidas y permitan su aplicación a neuronas reales. Una
opción obviamente preferible a la simulación teórica es el estudio electrofisiológico
experimental, sin embargo este enfoque adolece de ventajas importantes con las que contaba el
abordaje anterior, y no sólo en lo referente a la facilidad de realizar los experimentos requeridos,
sino especialmente en cuanto a la inclusión en las propiedades del árbol dendrítico de las
características requeridas para el nivel descriptivo propuesto. Por ejemplo el desarrollo de la
fundamentación de la Entropía de 1er Nivel hubiese sido imposible por medio de experimentos
reales ya que el paso desde un árbol dendrítico realista hasta su descripción topológica
(representado en la Figura 8) se hizo disminuyendo progresivamente los diámetros de todos sus
segmentos dendríticos, algo irrealizable en el laboratorio. En conclusión la simulación
computacional de los fenómenos de propagación pasiva e integración de señales en árboles
dendríticos añaden a la inmediatez de su realización la posibilidad de incluir sólo las condiciones
pertinentes a la descripción deseada, sin que interfieran otras circunstancias presentes en la
realidad pero que deben ser obviadas.
Esta discusión muestra lo importante que son unos buenos resultados experimentales de cara
a desarrollar medidas entrópicas eficaces. Lamentablemente, como ya se ha comentado, las
técnicas actuales son el factor más limitante en este sentido, incluso en la aproximación adoptada
DISCUSIÓN Villacorta
146
en la Entropía de 3er Nivel. De los dos parámetros considerados relevantes para ésta medida, el
diámetro es una característica muy difícil de cuantificar experimentalmente con herramientas del
tipo de ‘Neurolucida’ [Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli, 2004], y el uso de otros abordajes tales
como la microscopía electrónica combinada con estereología son de tal complejidad que no
resultan prácticos a la escala de los estudios que se han reseñado aquí [Castro García, 2007;
Negredo, 2006], en los que, de hecho, el diámetro no se introdujo como parámetro en la
descripción cuantitativa de las neuronas reconstruidas. En cualquier caso la inspección visual de
los árboles dendríticos analizados mostraba un gran parecido en el grosor de los diámetros base
en la mayoría de los segmentos vecinos, aunque su valor no podía cuantificarse con exactitud, de
donde se concluye la validez de la aproximación a primeros vecinos, que según se demostró en la
fundamentación de la Entropía de 3er Nivel, estaba supeditada a que los diámetros de los
segmentos con nodo común difiriesen en menos de un 10%.
Fundamentación de los símbolos generados por los árboles dendríticos
Para finalizar esta parte dedicada a la discusión de los fundamentos y generalización de las
medidas entrópicas propuestas, ahondaremos en la conexión entre la estructura de los contactos
sinápticos y los símbolos o respuestas generadas en consecuencia por el árbol dendrítico. En la
Entropía de 1er Nivel quedaba claro cómo diferentes sinapsis, o para ser más exactos el mismo
tipo de sinapsis pero situadas en diferentes posiciones, podían generar la misma señal, lo que
redundaba en su capacidad como fuente de información (a mayor diversidad de posibles
respuestas mayor es dicha capacidad); esto era posible debido a que las características propias
del árbol dendrítico eran, en esta aproximación, discretas. No obstante al considerar las
propiedades morfométricas la situación cambia radicalmente ya que se trata de cualidades
continuas, por lo que un cambio muy pequeño conlleva una variación muy pequeña en la
respuesta. En consecuencia ¿hasta que punto podemos considerar ahora dos respuestas o
símbolos iguales? Más aún, antes de eso debemos preguntarnos si es necesario siquiera
considerarlas iguales o podemos simplemente ahorrarnos la molestia de agrupar los patrones de
sinaptación dendrítica en función de lo parecido de las repuestas resultantes y considerarlos así
como correspondientes a un mismo símbolo.
Obsérvese ante todo que no estamos interesados en fundamentar cuantitativamente lo similar
que puedan ser dos repuestas pasivas a una estimulación sináptica en determinado árbol
dendrítico, sencillamente afirmamos que conceptualmente es congruente considerar que dos
señales de salida muy parecidas, resultantes de la propagación pasiva de un estímulo sináptico
Villacorta DISCUSIÓN
147
(EPSP) a lo largo del árbol, pueden ser consideradas iguales a efectos prácticos a pesar de no ser
idénticas. Obviamente la alta no linealidad del sistema nervioso hace muy difícil afirmar que en
cierta situación una mínima variación traerá consigo una variación también muy pequeña en la
respuesta del sistema, sin embargo centrándonos tan sólo en el ámbito del propio árbol, esta
asunción es completamente asumible ya que la respuesta pasiva de la membrana del árbol
dendrítico viene regida matemáticamente por una ecuación diferencial lineal. El que dicha
suposición pueda ser aplicada a ámbitos más generales a los que pertenece el árbol bajo estudio
depende, al igual que en las condiciones anteriores, de un conocimiento más o menos exhaustivo
del sistema; en cualquier caso cuanto mayor sea este ámbito (microcircuito, circuito local, área
del encéfalo, etc.) mayor será la no linealidad y mayor deberá ser la cautela a la hora de asumir
que dos respuestas similares puedan ser valoradas como iguales.
Llegados a este punto nos preguntamos si no sería más sencillo el considerar directamente
como diferentes a dos señales generadas por nuestro árbol, que tan sólo sean similares aunque no
idénticas. Existen dos principios que contradicen la veracidad de esta postura, uno funcional y
otro neurobiológico. En primer lugar el suponer que cualesquiera dos señales distintas puedan ser
detectadas por los componentes de un sistema (en este caso los árboles dendríticos) como
diferentes por pequeñas que sean sus diferencias implica que la capacidad de éste para procesar
(distinguir) información es virtualmente infinita, lo cual es imposible, lo que implica
necesariamente que deba existir un rango por debajo del cual el sistema deja de ser capaz de
discernir dos respuestas concretas y pasa a considerarlas como indistinguibles. El segundo de los
principios se basa en la redundancia, un fenómeno ubicuo tanto en el sistema nervioso periférico
[Chechik, et al., 2006; Meister, 1996] como en el sistema nervioso central [Barlow, 2001], en
virtud del cual parte de la información que maneja el sistema es repetida. La redundancia es una
característica inextricable de las propiedades que definen un sistema en términos de teoría de la
información, ya que está presente, tanto de forma explícita como implícita, en la propia entropía,
en la transmisión de la información a través del canal apropiado (capacidad del canal), en la
bondad del código empleado para la codificación de la información, etc. No obstante la
importancia teórica de este concepto, su trascendencia práctica en términos neurobiológicos es
mayor si cabe ya que su presencia en el sistema nervioso dota a éste de una gran robustez frente
a un amplio espectro de cambios, como deterioro físico o funcional, degeneración, pérdida de
información por diversas causas, etc. [Villacorta and Panetsos, 2005]. En consecuencia la
asunción de que dos señales procesadas, con similitudes suficientes sean consideradas tras su
procesamiento como la misma señal, proporciona un sencillo mecanismo de redundancia a nivel
DISCUSIÓN Villacorta
148
del propio árbol dendrítico que aumenta la robustez de los sistemas de los que dicho árbol forma
parte (neurona, microcircuito, circuito local, etc.).
En respuesta pues a la pregunta planteada en el párrafo anterior podemos concluir que es
necesario considerar un rango de igualdad para dos señales codificadas o procesadas por el árbol
dendrítico de forma que cuando ambas señales se encuentran dentro de dicho rango el sistema las
trata como la misma señal. La cuestión ahora es qué se entiende de forma rigurosa por similitud
o parecido entre dos señales, introducidas sinápticamente en las dendritas y que se propagan
pasivamente a lo largo del árbol. Este tipo de señales, los potenciales postsinápticos excitatorios
(EPSP), se pueden caracterizar en primera instancia y según se detalló en la Fundamentación de
la Entropía de 3er Nivel, por tres propiedades: el máximo de su voltaje maxV , el tiempo en que
alcanzan dicho máximo, denotado por tiempo máximo o maxt , y su centroide [Agmon-Snir and
Segev, 1993]. En las simulaciones llevadas a cabo con el programa ‘Neuron’ se asumieron como
dentro del rango de similitud aquellos EPSPs cuyos maxV y maxt diferían en menos de un 1%
respecto a las respuestas que se generaban al estimular en ambos extremos de cada segmento
(respuestas extremas). Esto supone unos límites ‘contextualizados’ a cada árbol ya que en
algunos casos las respuestas extremas son más cercanas que en otros (Figuras 11 y 12), y por
tanto un 1% en un caso no es comparable a la misma diferencia en otro. A pesar de ello en la
mayoría de las pruebas efectuadas esas diferencias eran mucho menores (en esas condiciones el
centroide apenas se veía afectado), de donde obtenemos un criterio objetivo para definir las
condiciones en que dos señales procesadas por el árbol dendrítico se consideran iguales y por
tanto asociadas al mismo símbolo cuando dicho árbol se caracteriza como fuente de información.
Las medidas de entropía definidas en los dos primeros niveles de descripción topológica
exigen unas circunstancias relativamente poco restrictivas (dentro de las condiciones que definen
cada medida respectiva) en lo que respecta a las configuraciones sinápticas que representan el
mismo símbolo, sin embargo la inclusión de propiedades morfométricas supone la inclusión de
continuidad y por tanto de una gradación continua en las características de las señales
procesadas. Este hecho, junto con la condición de igualdad de dos de esas señales definida
anteriormente, implica que a efectos prácticos dicha gradación se producirá a saltos, ya que
fijada una sinapsis en un segmento dendrítico existirá un espacio alrededor de ella en el cual
cualquier contacto sináptico que porte la misma señal de entrada conducirá a la misma señal de
salida. Podemos pues definir una constante d de discretización de la longitud dendrítica según la
cual las sinapsis sólo pueden formarse a lo largo del segmento en intervalos de medida d, de
Villacorta DISCUSIÓN
149
manera que dado un segmento de longitud L una sinapsis podrá formarse a lo sumo en /L d
posiciones de ese segmento. En el presente trabajo se ha supuesto que el valor de la constante de
discretización era 1d µ= , que, en virtud de las simulaciones realizadas en ‘Neuron’, es un valor
que cumple sobradamente con el criterio que define cuándo dos señales procesadas pueden
considerarse iguales, sin embargo el valor elegido para d tiene un significado anatómico ya que
la dimensión lineal de los contactos sinápticos se mueve por debajo de la micra, concretamente
entre las 0.2 y 0.35 micras de longitud media en el córtex de diferentes especies [Beaulieu and
Colonnier, 1987; De Felipe, et al., 1997; Keller, et al., 1992; Peters, et al., 1990; Peters, Palay
and Webster, 1991], y la densidad lineal media de contactos de sinapsis excitadoras (con mucho,
las más abundantes) se ha estimado en 1.25 micras en los segmentos más densamente inervados
de interneuronas no espinosas corticales [Ahmed, et al., 1997].
2. LAS MEDIDAS ENTRÓPICAS COMO HERRAMIENTAS TEÓRICAS
Las Entropías de 1er y 2º Nivel caracterizan cuantitativamente a los árboles dendríticos a partir de
su capacidad para procesar, codificar y/o generar información atendiendo a sus características
topológicas, las cuales dan lugar a un número finito de distintos árboles (en su descripción
topológica) en función de las configuraciones de ramificación que adoptan. Esta circunstancia ha
permitido estudiar la conexión entre las medidas entrópicas de los dos primeros niveles y la base
teórica que soporta el proceso de desarrollo de la topología dendrítica, revelando propiedades de
las Entropías de 1er y 2º Nivel que llevan adicionalmente su aplicabilidad a otro ámbito distinto
de aquel para el que se diseñaron inicialmente.
La topología dendrítica y la Entropía de 1er Nivel
La topología de los árboles dendríticos es satisfactoriamente descrita por los modelos BE y S de
desarrollo [Van Pelt and Verwer, 1986; Van Pelt, Dityatev and Uylings, 1997], el primero
describiendo la distribución de los árboles de una población neuronal en función de su número
de segmentos terminales o grado, y el segundo determinando la distribución de las diferentes
topologías dentro de las subpoblaciones de grado fijo; la adecuación de los modelos a la
población experimental deseada se hace a través del ajuste de los valores que toman cada uno de
sus parámetros críticos, el B y E para el primer modelo, y el S para el segundo. De ambos
DISCUSIÓN Villacorta
150
modelos de crecimiento sólo nos interesa aquel que hace hincapié directamente sobre las
propiedades de ramificación de los árboles dendríticos, es decir el modelo S.
El análisis de las relaciones entre la Entropía de 1er Nivel y el parámetro de desarrollo S, y su
comparación con las mismas relaciones establecidas entre el índice de asimetría y S, han
demostrado que la medida entrópica es una medida de las propiedades de ramificación de los
árboles dendríticos más natural de lo que es la asimetría, ya que su dependencia con respecto a S
resultaba más sencilla e inmediata. Esta circunstancia se manifiesta también cuando se
analizaban las características estadísticas de cada medida en función del grado n y del valor de S;
de nuevo la Entropía de 1er Nivel evidencia mejores cualidades que la asimetría al exhibir
distribuciones con menor dispersión, lo que permite, entre otras cosas, estimar con gran precisión
una dependencia teórica de la media y SD de la medida de entropía con respecto a S y n por
medio de sendas funciones analíticas EntrM y EntrSD . La aplicación de esta función sobre una
población neuronal determinada para la cual se han obtenido los valores de la entropía topológica
de sus árboles dendríticos permite obtener el valor del parámetro S asociado a la población según
el modelo S. Este parámetro puede ser estimado también a partir de la asimetría y por medio del
método de máxima verosimilitud (MLM), sin embargo el uso de las relaciones analíticas EntrM y
EntrSD asociadas a la medida de entropía topológica recoge las ventajas de los dos métodos
previos: resulta más fácil de implementar que el MLM y más preciso que el método basado en la
asimetría.
Aunque estas ventajas son ya indudablemente importantes desde un punto de vista práctico,
sus implicaciones teóricas son aun más relevantes al demostrar con rigor la profundidad de la
relación entre las medidas de entropía propuestas y las características topológicas de los árboles
dendríticos. Con independencia de la comparación entre la medida entrópica topológica y la
asimetría, la primera está relacionada con la base del proceso de desarrollo a nivel de
ramificación del árbol (representado por el parámetro S y por el grado) de una forma
objetivamente muy simple (a través de funciones cuasilineales como muestran las Figuras 16 y
19). Estas dependencias distinguen a la Entropía de 1er Nivel como algo inherente a los propios
árboles, lo que entronca con la esencia de las medidas de entropía: tanto como cuantificadores de
la propiedad (y función) fundamental de los árboles dendríticos como en su relación con la
topología dendrítica, su conexión con la naturaleza de los árboles dendríticos es profunda.
Villacorta DISCUSIÓN
151
Sensibilidad
Otra de las propiedades que manifiesta la Entropía de 1er Nivel, y sin duda una de las más
relevantes, es la de cuantificar de forma casi exacta la variedad topológica que puede exhibir un
árbol dendrítico de un grado concreto. El presente trabajo ha mostrado diversas formas de
referirse a las configuraciones de ramificación de un árbol, o bien en abstracto por medio de los
vectores-orden [Villacorta, Castro, Negredo and Avendano, 2007] o de las particiones, o bien
ilustrándolo gráficamente, sin embargo la alta sensibilidad mostrada por la Entropía de 1er Nivel
permite un nuevo enfoque. Supuesto un árbol dendrítico con un número fijo de segmentos
terminales n y admitiendo la bifurcación como el único proceso de ramificación, el número de
segmentos totales será de 2n-1, por lo tanto el número de formas en que todos los segmentos
(terminales e intermedios) pueden combinarse es finito y a cada una le corresponderá un valor
concreto de la medida de caracterización del árbol que se aplique; la relación entre cuántos
valores diferentes hay de dicha medida y el número de topologías diferentes dará su resolución o
sensibilidad. De este tipo de medidas las empleadas aquí han sido la Entropía de 1er Nivel y la
asimetría, y la comparación de sus respectivas sensibilidades (Figura 22) apoya de nuevo la
naturalidad con que la medida de entropía caracteriza a la topología dendrítica: del mismo modo
que visualmente es posible diferenciar cada una de las distintas formas topológicas en función de
la disposición de los segmentos dendríticos la Entropía de 1er Nivel permite distinguirlos
cuantitativamente en base a su valor. La relevancia de este hecho es inmediata puesto que hace
posible el caracterizar algo tan complejo como la estructura de ramificación de un árbol
dendrítico mediante un número, simplificando considerablemente la manipulación de las
características topológicas que permitía el abordaje abstracto y en especial el visual.
El orden máximo como estimador de la Entropía de 1er Nivel
La profundidad de las conexiones existentes entre la Entropía de 1er Nivel y la topología de los
árboles dendríticos implica que la fuerza conceptual de aquella como medida de la capacidad de
procesamiento de la información de los árboles se ve reforzada por sus propiedades para
caracterizar cuantitativamente aspectos teóricos del desarrollo y la topología del árbol. No
obstante, lo estrecho de esta conexión podría llevar a plantearse la posibilidad de que la medida
entrópica de primer nivel, fuera de su contenido como caracterizadora del árbol como fuente de
información, sea una forma más sofisticada pero en definitiva redundante de estudiar la
ramificación de los árboles dendríticos. Para abordar esta situación se ha analizado la relación
existente entre la Entropía de 1er Nivel y dos características topológicas importantes, el orden
DISCUSIÓN Villacorta
152
máximo de los segmentos terminales y el grado; si ambos parámetros de ramificación, siendo tan
diferentes, mostrasen una fuerte correlación con la entropía significaría que esta medida posee
una redundancia considerable como descriptor de la topología dendrítica, aunque ello no afecte a
su utilidad como caracterización de la capacidad de de los árboles para procesar información en
base a su topología. La relación entre la Entropía de 1er Nivel y el orden máximo y el grado se ha
estudiado tanto desde el punto de vista puramente teórico como desde una perspectiva más
práctica, a partir de poblaciones neuronales simuladas computacionalmente; de ambos
tratamientos se ha concluido que la entropía a nivel topológico está fuertemente relacionada con
el orden máximo del árbol pero no con su grado.
Aparece así otra aplicación inesperada de las medidas entrópicas fuera del contexto para el
que se desarrollaron: la Entropía de 1er Nivel ha permitido demostrar que un parámetro tan
sencillo como el mayor orden de los segmentos terminales de un árbol dendrítico es un indicador
eficaz de la capacidad de éste como fuente de información. Esto tiene dos consecuencias
importantes: en primer lugar dada una población neuronal es posible estimar de forma sencilla e
inmediata su nivel de procesamiento ‘topológico’ a partir de los órdenes máximos de sus árboles
dendríticos; el rendimiento de esta estrategia se ha demostrado en los resultados experimentales,
según se discutirá en la próxima sección. En segundo lugar la correlación entre la entropía
topológica y el orden máximo implica que éste es un parámetro topológico de relevancia por
estar estrechamente conectado con la funcionalidad de las estructuras a las que caracteriza, y que
por tanto en los estudios de reconstrucción y análisis morfométricos de neuronas reales debería
ser considerado aparte de otras características y relaciones topológicas como el grado,
distribución del número de segmentos según su orden, etc. La importancia de esta conclusión no
es menor ya que la gran cantidad de parámetros (y relaciones entre estos) que se pueden evaluar
con los métodos actuales de análisis de árboles dendríticos llevan con frecuencia a una selva de
características cuantificadas que oscurece los resultados a extraer del estudio [Horcholle-
Bossavit, Gogan, Ivanov, Korogod and Tyc-Dumont, 2000; Scorcioni, Lazarewicz and Ascoli,
2004]. En consecuencia la demostración, no sólo de que cierto parámetro es relevante, sino de
que lo es en base a la propiedad fundamental de las estructuras a las que pertenece, es la forma
más concluyente de destacar su importancia frente a otras características y tener un criterio
objetivo de elección de qué parámetros deben ser considerados y cuales no en base a los
objetivos del estudio.
Villacorta DISCUSIÓN
153
Correlación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel
Las medidas de entropía desarrolladas a nivel topológico se fundamentan en las posibles
configuraciones sinápticas que se pueden formar sobre el árbol dendrítico cuando se exigen
ciertas condiciones sobre los contactos sinápticos. Estas condiciones son impuestas en parte por
la propia estructura topológica del árbol y en parte por asunciones externas, como por ejemplo
que cada sinapsis funcional porte la misma o diferente señal de entrada; son estas circunstancias
externas las que definen y diferencian a las Entropías de 1er y 2º Nivel. Según se detalló en la
fundamentación de estas medidas entrópicas las restricciones sobre las circunstancias de
sinaptación impuestas en los dos niveles de entropía tenían por objetivo el dar un intervalo con el
que cubrir las situaciones que aparecen en la realidad, es decir dado un árbol dendrítico concreto,
el valor de una medida de entropía topológica construida a partir de condiciones de sinaptación
reales y rigurosas estaría comprendido entre los valores de las Entropías de 1er y 2º Nivel
correspondientes a dicho árbol. Este hecho unido a la distinta fundamentación que tienen ambas
medidas de entropía induce a pensar que para cada posible configuración topológica de un árbol
dendrítico el valor de la Entropía de 1er Nivel debería ser independientes del de la Entropía de 2º
Nivel, por ello los resultados obtenidos acerca de la fuerte correlación entre ambas medidas
entrópicas resulta tan notable.
Conservando simultáneamente el enfoque teórico y experimental de este trabajo, el estudio
de la relación entre las Entropías de 1er y 2º Nivel se llevó a cabo tanto asociando los valores de
ambas medidas para todos los árboles dendríticos (topológicos) hasta grado 14 como
relacionando las entropías de primer y segundo nivel para poblaciones neuronales obtenidas a
partir de los modelos de desarrollo computacionales. Independientemente del abordaje los
resultados eran los mismos: la Entropía de 1er Nivel estaba fuertemente correlacionada con la
Entropía de 2º Nivel de forma cuasilineal. Esta circunstancia apoya desde otra perspectiva
diferente a las discutidas más arriba lo esencial del enfoque que proporcionan las medidas
entrópicas aquí propuestas: la íntima conexión entre la topología dendrítica y las medidas de
entropía de primer y segundo nivel se refleja en que el valor que toma la Entropía de 1er Nivel
para un árbol concreto determina con gran precisión el correspondiente valor de la Entropía de 2º
Nivel. Debido a que la fundamentación común a ambas medidas involucra sólo a las propiedades
topológicas de los árboles dendríticos, esta conexión implica que la capacidad de procesamiento
de información que posee un árbol depende casi exclusivamente de su estructura de ramificación
y no de las condiciones externas impuestas sobre la sinaptación, lo cual reafirma la solidez de la
descripción de la topología dendrítica que brindan las medidas de entropía descritas.
DISCUSIÓN Villacorta
154
En definitiva las Entropías de 1er y 2º Nivel cuantifican la capacidad de los árboles dendríticos
como fuentes de información en base a sus configuraciones de ramificación, sin embargo las
características deterministas propias de la descripción topológica de dichos árboles permiten
emplearlas adicionalmente como caracterizadoras de la propia estructura topológica, no sólo de
la capacidad de ésta para manejar información. De esta manera a través de estas medidas es
posible ahondar en los procesos de desarrollo de la topología dendrítica o cuantificar ésta por
medio de un solo número, evitando así el empleo de descripciones matemáticas más prolijas.
Estas nuevas propiedades, lejos de ser algo accesorio aunque práctico, refuerzan la esencia de las
medidas de entropía caracterizándolas como una forma natural de abordar la descripción de los
árboles dendríticos a nivel de su topología.
3. LA CARACTERIZACIÓN ENTRÓPICA DE POBLACIONES
NEURONALES REALES
El concepto de medida de entropía introducido en este trabajo, y en especial los de Entropías de
1er, 2º y 3er Nivel aquí desarrolladas, tienen como objetivo fundamental la cuantificación de las
propiedades de procesamiento de la información de neuronas reales, es por ello que es primordial
testar su aplicación sobre árboles dendríticos biológicos obtenidos experimentalmente e
interpretar las conclusiones derivadas en función del tipo de neuronas y su función en el esquema
general de tratamiento de la información dentro del sistema nervioso.
Las medidas de entropía en los tres niveles propuestos se han empleado para caracterizar
como fuentes de información a dos poblaciones neuronales experimentales bien diferenciadas
tanto en su arquitectura como en su funcionalidad y localización en el sistema nervioso. Una
primera población corresponde a las neuronas del núcleo principalis del trigémino de la rata que
proyectan contra-lateralmente al tálamo formando parte de la vía lemniscal [Negredo, 2006];
como neuronas de proyección son excitatorias y procesan la información de vibrisas procedente
de la periferia, en concreto del ganglio trigeminal. La segunda población estudiada pertenece a la
corteza somatosensorial, que recibe y procesa gran parte de la información enviada por las
neuronas de la población anterior; se trata de una subpoblación de interneuronas inhibitorias,
capaces éstas de formar circuitos a diferentes escalas dentro del ámbito cortical [Castro García,
2007].
Villacorta DISCUSIÓN
155
A la variedad de las poblaciones analizadas se añadieron diversas circunstancias
experimentales en que se desarrolló el estudio, así se definieron cuatro grupos: el estándar o
Control (C), el Infraorbitario (Io), que reunía a las ratas que habían sufrido sección del nervio
infraorbitario, portador de la información de vibrisas hasta el trigémino, y otros dos grupos cuyos
individuos recibían restringida de forma no lesiva la información de vibrisas debido al recorte
periódico de los bigotes de su lado derecho: el grupo Enriquecido (E), que agrupaba a las ratas
que habían sido estabuladas en condiciones de alta estimulación sensorial (diversos ambientes,
juguetes y texturas) y el grupo Trimming (T), cuyos individuos habían sido estabulados en
condiciones estándar. De cada uno de estos cuatro grupos se consideraron ambos lados
(denotados añadiendo a la abreviación del grupo una R o L para significar el lado derecho o
izquierdo respectivamente), con la precaución de asociar las neuronas de proyección del
principalis (NpP) del lado derecho (izquierdo) con las interneuronas de corteza (InC) del
hemisferio izquierdo (derecho) debido a la decusación de la vía; estas circunstancias dan lugar a
un total de dieciséis subpoblaciones neuronales distintas (ocho grupos experimentales para cada
tipo de población neuronal).
En este contexto experimental el estudio de las capacidades de procesamiento de estas dos
poblaciones neuronales se ha enfocado desde diversos puntos de vista. Tras cuantificarse el
rendimiento de cada subpoblación como fuente generadora de información por medio de las
Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel, los valores obtenidos se han agrupado en base a diferentes
criterios. Por un lado dentro de cada tipo neuronal se han comparado los grupos experimentales
pertinentes entre sí (es decir, por ejemplo para las NpP se comparan el CR con el CL, el IoR con
el IoL y con el CR, etc.), obteniéndose así una visión de cómo las diferentes situaciones de
privación o estimulación sensorial alteran la capacidad de procesamiento de las neuronas en
función de su funcionalidad (neuronas de proyección o interneuronas) o su localización
neuroanatómica (conformantes de los núcleos sensitivos del trigémino o de la corteza
somatosensorial). En otro enfoque complementario, muy revelador e interesante, se han
comparado las entropías de las dos poblaciones neuronales pertenecientes a los mismos
paradigmas experimentales y a la misma vía sensorial, así por ejemplo se cotejaban las entropías
para las NpP del IoR con las entropías de las InC del grupo IoL. Esta perspectiva permite
analizar cuantitativamente cómo varían las capacidades de procesamiento de la información a lo
largo de la vía sensorial en base a las diferentes circunstancias experimentales, obteniéndose así
una visión más integradora de cómo la plasticidad anatómica afecta a la funcionalidad del
sistema de un modo más global.
DISCUSIÓN Villacorta
156
El tercer abordaje de la cuantificación experimental de la entropía en los tres niveles
propuestos, sobre las poblaciones neuronales NpP e InC ofrece también unos resultados
ciertamente interesantes. Las medidas entrópicas definidas aquí se centran en las propiedades de
los árboles dendríticos, considerándolos implícitamente como las unidades de procesamiento. Sin
embargo en general la neurociencia considera que son las neuronas los ‘átomos’ de tratamiento
de la información, algo que resulta lógico en base a que estructuralmente estas células están
diseñadas para integrar información proveniente de numerosas fuentes de forma convergente y
unidireccional (de dendritas hacia axón). Con independencia de que en base a la escala funcional
en la que nos movamos podamos considerar a diferentes estructuras como la base del
procesamiento del sistema (canales, espinas, árboles, neuronas, microcircuitos, circuitos locales,
núcleos, áreas corticales, etc.), es conveniente preguntarse por lo adecuado que resulta considerar
a los árboles dendríticos o a la propia neurona como la unidad de tratamiento de la información
en función de los resultados proporcionados por las medidas de entropía. Con este objetivo las
comparaciones entre los diferentes grupos experimentales y subpoblaciones se llevará a cabo de
dos formas: empleando las entropías de los árboles y a partir de las entropías de las neuronas,
obtenidas a partir de la suma de las entropías de los árboles dendríticos que pertenecen a ella.
3.1. NEURONAS DE PROYECCIÓN DEL NÚCLEO PRINCIPALIS DE LA
RATA
La aplicación de las Entropías de 1er y 3er Nivel sobre los árboles dendríticos de las neuronas de
proyección del principalis, que forman parte de la vía lemniscal, conduce a conclusiones
reveladoras respecto a la visón intuitiva que se extrae de las diferentes condiciones a las que ha
sido sometido cada grupo experimental.
Ateniéndonos a la Entropía de 1er Nivel (Tabla 4) se concluye que la capacidad de
procesamiento de los árboles dendríticos en el lado intacto del grupo enriquecido (izquierdo)
tiene tendencia a ser mayor que la capacidad de los grupos control e infraorbitario del mismo
lado y que la del grupo enriquecido del lado afectado por el recorte de bigotes (derecho), el cual
a su vez muestra un menor potencial de procesamiento que el grupo control derecho. Este mismo
esquema se repite con diferencias significativas cuando se compara el lado izquierdo del grupo T
con los lados izquierdos de los grupos C e Io: los árboles de TL son capaces de procesar más
información que los de los grupos CL e IoL. En este caso (grupo T, sin enriquecimiento) sin
embargo no hay diferencias entre lados. Por otra parte los cambios en el lado derecho, el
Villacorta DISCUSIÓN
157
afectado por la manipulación experimental, son mucho menores, en especial en el caso del
infraorbitario, cuyos niveles de significación son muy elevados.
La hipótesis de estimulación compensatoria
De los paradigmas experimentales planteados se esperaría en principio que a nivel de trigémino
(en concreto el núcleo principalis), por tratarse de la primera estación de relevo importante, el
impacto de la pérdida total (Io) o selectiva (E y T) de entradas sensoriales se reflejase
particularmente en la estructura de los árboles dendríticos del lado directamente manipulado
(derecho). No obstante los resultados muestran lo contrario: las poblaciones neuronales que
presentan capacidades de procesamiento alteradas pertenecen al lado izquierdo, no afectado
directamente por la experimentación26.
Este hecho indica claramente la presencia de un mecanismo de compensación que incrementa
la capacidad de procesamiento de los árboles dendríticos del lado intacto para contrarrestar la
falta de entrada sensorial del lado afectado. La naturaleza de este mecanismo es con seguridad
comportamental por tratarse de una manipulación a nivel periférico (en la que la influencia de los
lados afectados sobre los intactos es muy indirecta) y en base a la integridad estructural de la vía
sensorial en el lado izquierdo. Estas circunstancias apuntarían como alternativa más plausible a
estos cambios, a una alteración en los hábitos de exploración del animal: éste al verse privado de
una mitad de sus vibrisas para analizar parte de su entorno utiliza la otra mitad de forma
compensatoria, empleándola entonces más activamente. Esta situación produce una ganancia en
las capacidades de los árboles dendríticos para procesar información, y nos referiremos a ella
como hipótesis de estimulación compensatoria.
El incremento en el potencial de tratamiento de la información de los árboles dendríticos
cuando nos restringimos al nivel topológico (Entropía de 1er Nivel) es especialmente relevante
(significativo) entre el grupo TL y los grupos CL e IoL, aunque aparece una tendencia cuando
estos dos grupos se comparan con el EL, que muestra también unas capacidades aumentadas. No
obstante y siempre en el lado intacto, los grupos E y T no muestran diferencias entre sí, al igual
que ocurre entre los grupos C e Io. Al añadir las características morfométricas a la topología del
árbol la Entropía de 3er Nivel refina los resultados anteriores, revelando la existencia de
26 Con la salvedad de que el enriquecimiento ambiental afecta globalmente al animal, e incluso podría especularse
que afectaría más al territorio de las vibrisas izquierdas que se encuentran intactas.
DISCUSIÓN Villacorta
158
tendencias en la mejora de las capacidades de procesamiento de los árboles de EL y TL con
respecto a CL, y que las diferencias de EL y TL con respecto a IoL son significativas. Estos
hechos junto con una diferencia significativa entre lados en el caso enriquecido refuerzan la
hipótesis de estimulación compensatoria como explicación de la ganancia en las propiedades de
procesamiento de los árboles dendríticos intactos.
Los cambios reportados en las dendritas pertenecientes a los lados intactos son congruentes
con un enriquecimiento indirecto provocado por la exploración del lado afectado compensada
con las vibrisas intactas del lado opuesto. No obstante la falta de alteraciones en la entropía
dendrítica del lado influido por la privación sensorial es reseñable por ser a priori poco intuitiva.
Es posible que en los grupos E y T, en los que las restricciones en la información táctil han sido
más leves, se mantengan las capacidades de los árboles como fuentes de información que tenían
en condiciones normales (grupo C), sin embargo el grupo Io se ha visto sometido a una lesión
severa para anular las aferencias sensoriales, lo que debería verse reflejado en las propiedades
funcionales de las dendritas. Abordemos estos casos separadamente ya que los dos tipos de
privación sensorial aplicadas tienen implicaciones completamente diferentes sobre el sistema
nervioso periférico del animal.
Si nos centramos en los grupos tratados de forma no lesiva E y T es evidente que la vía
sensorial permanece prácticamente intacta, no sólo porque no se ha actuado físicamente sobre
ella sino porque ni siquiera se ha eliminado completamente la aferencia sensorial que recibe. El
recorte periódico de los bigotes sólo elimina un tipo de entrada sensorial, el denominado tacto
activo, que se refiere a la información sensorial del exterior recogida a partir de la exploración
activa por el movimiento controlado de las vibrisas27. Existe sin embargo otro tipo, el tacto
pasivo, que recoge la información adquirida de forma pasiva; tras la sección de la vibrisa el
animal es incapaz de emplearla para explorar, quedando la entrada táctil reducida a dicha
componente. Esta aferencia, aunque reducida, es constante y probablemente suficiente para
27 De hecho el tacto activo no sólo va por la vía lemniscal, parte es también conducida por la vía paralemniscal (que
lleva información sensorial del whisking de bajo nivel) y por la extralemniscal (información de contacto o touch),
sin embargo la información portada por la vía lemniscal combina los tipos anteriores de whisking y touch a un nivel
de procesamiento más alto [Yu, Derdikman, Haidarliu and Ahissar, 2006].
Villacorta DISCUSIÓN
159
conservar la integridad de la vía28. Esto explica la falta de diferencias significativas observadas
entre los lados derechos de los grupos C, E y T, aunque la comparación de los lados derechos,
afectados, con los izquierdos, intactos, en estos grupos revela unos valores de significación que
indican, en el caso del grupo control una interesante asimetría biológica consistente con otras ya
observadas previamente [Machin, et al., 2004], y en el caso de los grupos enriquecido y
trimming una menor capacidad de procesamiento en los árboles de los lados afectados29.
En el caso del grupo sometido a una sección del nervio infraorbitario la situación cambia
radicalmente ya que en estudios estereológicos llevados a cabo por Alfonso Lagares y Carlos
Avendaño (en la actualidad aún no publicados) se ha concluido que este tipo de lesión provoca la
pérdida de un 28% de las neuronas del núcleo principal del trigémino, incluidas neuronas de
proyección trigemino-talámicas, que constituyen el 70% de la población del núcleo (Pedro
Bermejo y Carlos Avendaño, datos no publicados). Esto explica uno de los resultados más
paradójicos en lo que respecta al grupo Io: no sólo no hay diferencias significativas entre el lado
afectado de este grupo y el lado derecho del resto de los grupos, sino que los valores de P son
muy elevados, lo que significa que los potenciales de procesamiento son prácticamente iguales.
Este sorprendente resultado, especialmente en el grupo Io, el más severamente influido por las
condiciones sensoriales impuestas, es ahora lógico en vista de que, en efecto han debido existir
neuronas seriamente afectadas por la privación sensorial derivada de la lesión, sin embargo
dichas células, o bien han desaparecido o bien han perdido la suficiente integridad estructural
como para no haber sido detectadas por el proceso experimental de marcaje30. Esta situación
conduce a una interesante consecuencia: la privación sensorial severa por lesión afecta
primordialmente a las conexiones axónicas de las neuronas de proyección del principal (que
conectan con el tálamo), conservando la funcionalidad dendrítica. En otras palabras, la neuronas 28 El paradigma hebbiano afirma que la activación de los circuitos neuronales provoca su reforzamiento (como
ocurre por ejemplo con la LTP), al igual que pueden deteriorarse funcional o incluso anatómicamente si no se
emplean [Kandel, Schwartz and Jessell, 2000; Koch, 1999; Mrsic-Flogel, et al., 2007].
29 En este estudio hemos supuesto que la tendencia se encontraba en los valores de P menores o iguales que el 10%,
sin embargo en estadística se asume que para valores de significación por debajo del 20% es conveniente aumentar
la muestra para obtener resultados estadísticamente concluyentes [Martín-Andrés and Luna del Castillo, 1990].
30 Recuérdese que el marcaje de este tipo de neuronas se realizaba por medio de inyecciones en tálamo que
marcaban retrógradamente en el núcleo principal del trigémino. De esta forma si desaparece los contactos sinápticos
entre estas neuronas de proyección y el tálamo el marcaje retrógrado no se produce, la neurona permanece invisible
y en consecuencia no es analizada.
DISCUSIÓN Villacorta
160
que sobreviven a las consecuencias de la lesión (y que por lo tanto han sido marcadas) no se han
visto afectadas por ésta, mientras que las afectadas directamente no aparecen en el estudio; la
población estudiada se ve así sesgada.
Para concluir el análisis de las entropías dendríticas en diferentes condiciones
experimentales, nos centraremos en un resultado llamativo: la diferencia entre las capacidades de
los lados intactos en el grupo Io con respecto a los casos E y T. Si bien la falta de cambios en el
lado derecho ha sido explicada, según la hipótesis de estimulación compensatoria los árboles
dendríticos del grupo IoL deberían mostrar un incremento en su potencial de procesamiento en la
línea de los grupos EL y TL, ya que en todos los casos las premisas de la hipótesis son válidas,
sin embargo sus capacidades se mantienen como las del grupo CL, tanto a nivel topológico como
morfométrico. La explicación de por qué la sección del nervio infraorbitario no conduce a la
esperada mejora en la capacidad de procesamiento de la información dendrítica hay que buscarla
de nuevo en el comportamiento del animal: es posible que el daño producido por la lesión altere
sus rutinas de exploración o incluso su actitud o su conducta en general, quizás volviéndola
menos activa o más apática. En cualquier caso la verificación de este punto hubiese necesitado
de una batería de pruebas comportamentales en paralelo al proceso de estabulación y
enriquecimiento de los animales.
En otro orden de cosas, se ha empleado el orden máximo para aproximarnos de forma rápida
y sencilla a la Entropía de 1er Nivel de los árboles dendríticos pertenecientes a las poblaciones y
grupos experimentales analizados. Los resultados (expuestos de forma idéntica a los obtenidos
con la entropía) confirman el buen comportamiento de este parámetro topológico como un
estimador fiable de la medida de entropía topológica también a nivel experimental (su validez a
nivel teórico fue analizada en detalle anteriormente), habida cuenta de su sencilla aplicabilidad
en comparación a la de la Entropía de 1er Nivel.
La neurona como unidad de procesamiento
Los resultados obtenidos al estudiar las Entropías de 1er y 3er Nivel de los árboles pertenecientes
a las neuronas de proyección del principalis y a las interneuronas de la corteza somatosensorial
muestran que las circunstancias referentes a la estimulación sensorial a la que los individuos
pueden verse sometidos influyen significativamente sobre las capacidades de dichos árboles para
procesar información. Si asumimos sin embargo que la entropía característica del sistema
nervioso estudiado es la propia de la neurona y no de cada árbol dendrítico, los resultados que
Villacorta DISCUSIÓN
161
surgen de comparar las Entropías de 1er y 3er Nivel de los diferentes grupos entre sí considerando
a la neurona como la unidad de procesamiento (Tablas 2 y 5), son distintas, al aparecer sólo
diferencias (significativas) entre EL e IoL, y entre los lados del grupo enriquecido. Obsérvese
que esta situación se da entre los grupos ‘extremos’ desde el punto de vista del planteamiento
experimental, por tratarse del grupo con un mayor nivel de estimulación sensorial (E) y del grupo
con una mayor privación de ésta (Io), por consiguiente la hipótesis de estimulación
compensatoria sigue siendo válida aunque los casos intermedios, es decir que representan una
gradación entre los dos casos extremos E e Io, han desaparecido. Podemos concluir entonces que
a pesar de que el admitir a la neurona como base del procesamiento en detrimento del árbol
dendrítico, conserva el esquema explicativo al que se ajustaba el análisis de las entropías de los
árboles, dicha asunción conduce a una pérdida significativa de la sensibilidad al detectarse sólo
los cambios de entropía más extremos, es decir se trata de una perspectiva válida pero más
grosera. Debe observarse además que esto se deduce de los datos referidos a las neuronas de
proyección del núcleo principal, ya que la ausencia de cambios en las interneuronas de corteza
somatosensorial impide comparar cuál es la unidad de procesamiento preferente en corteza.
En un principio parece contradictorio que las neuronas pertenecientes a un grupo concreto
tengan una entropía diferente (en términos estadísticos) a la de los árboles que las componen, sin
embargo existe para este hecho una posible explicación de raíz biológica. En el análisis inicial se
estudiaron los árboles de cada grupo experimental como un solo conjunto, no obstante al
agruparlos por neurona los árboles dendríticos quedaron ordenados como aparecían en la
naturaleza, de esta forma si asumimos que en una misma neurona pueden existir árboles con
distintas funciones dentro de las operaciones que realiza dicha célula resulta coherente que las
características a nivel del tratamiento de la información no sean las mismas cuando se tratan los
árboles por separado o reunidos por neurona. Esto se ve claramente con un sencillo ejemplo:
supongamos diez árboles dendríticos, todos con la misma capacidad como fuentes de
información, y asumamos a continuación que los agrupamos por parejas formando cinco
‘neuronas’ o conjuntos; lógicamente en este caso cada una de ellas tendrá el mismo valor de
entropía. Supongamos ahora que añadimos al conjunto total de árboles cinco nuevas dendrítas
que son incapaces de generar información, es decir cuya entropía es cero. En términos
estadísticos la entropía de ese nuevo conjunto de árboles será diferente de la que tenía el primero
(pues el nuevo conjunto posee 15 elementos con respecto a 10 del original pero conservando la
entropía total) sin embargo si se añade uno de los nuevos árboles a cada una de las cinco
neuronas iniciales se obtienen cinco nuevas neuronas con tres árboles en vez de dos pero cuyas
DISCUSIÓN Villacorta
162
entropías son estadísticamente iguales, ya que las unidades consideradas son las propias
neuronas y el valor de sus entropías individuales no se ha alterado. Se ve pues claramente que
pueden surgir diferencias importantes a nivel de entropía al asumir los árboles dendríticos o las
neuronas como la base del procesamiento dendrítico incluso en las situaciones más simples e
inmediatas.
La ventaja de esta explicación es principalmente su fuerte base neurobiológica. Al hablar de
árboles con distintas funciones nos referimos a sus características a nivel funcional, a nivel
estructural, a la procedencia de las terminales axónicas con las que sinapta (que podría estar
relacionada con su orientación), etc. Así existen tipos neuronales que poseen árboles dendríticos
que reciben aferencias de procedencias muy distintas [Castro García, 2007], aunque también
podrían tener funciones diferentes, o bien como codificadores o como detectores de
coincidencias, integradores, filtros de señal, etc. De hecho uno de los resultados más destacables
de uno de los trabajos de investigación del que se han extraído los datos experimentales
empleados en el presente estudio [Negredo, 2006] es la presencia de dos poblaciones diferentes
de árboles dendríticos, presentes en gran parte de las neuronas de proyección del principalis,
diferenciadas en función a su grado y detectadas por exhibir distintos cambios estructurales
según el ambiente y las circunstancias de estimulación. En este contexto parece lógico que las
capacidades de procesamiento de la información de cada árbol sean distintas en base a su
diferente funcionalidad, la cual, con seguridad, debe reflejarse en sus propiedades que sirven de
base a la medida entrópica empleada; por ejemplo un árbol que funcione como integrador
probablemente exhiba una topología y/o morfométrica más compleja que la de otro árbol que
sirva simplemente como detector de coincidencias [Agmon-Snir, Carr, Rinzel, Softky and Koch,
1998; Koch, 1999]. Obviamente y ante la falta de conocimiento de las características funcionales
de los árboles dendríticos experimentales analizados aquí, se ha supuesto que la única
información concerniente a este punto es la contenida en la propia estructura de dichos árboles.
El razonamiento desarrollado hasta aquí parece apuntar hacia la consideración de los árboles
dendríticos como las unidades de procesamiento en detrimento de las neuronas, sin embargo es
lícito pensar que quizás estos motivos no son suficientes para descartar a la neurona como la base
del tratamiento de la información. No obstante, en la próxima sección esto se verá plenamente
justificado tras el análisis del flujo potencial de información a lo largo de la vía lemniscal, a la
que pertenecen los tipos neuronales estudiados. De cualquier forma es necesario hacer hincapié
de nuevo en que hablamos de no considerar a la neurona como el elemento crítico del
procesamiento de la información en las poblaciones estudiadas, exclusivamente desde un punto
Villacorta DISCUSIÓN
163
de vista entrópico, es decir desde la perspectiva de la capacidad de procesamiento y no desde la
funcionalidad de dicho procesamiento.
3.2. INTERNEURONAS DE LA CORTEZA SOMATOSENSORIAL DE LA RATA
El estudio de las entropías topológicas y morfométricas propias de los árboles dendríticos de las
interneuronas de la corteza somatosensorial de la rata se ha llevado a cabo siguiendo el mismo
esquema empleado para el análisis del potencial de codificación de información en las neuronas
de proyección del principalis. Esta estrategia nos permite cotejar las conclusiones obtenidas en
una y otra población neuronal, ya que las diferencias observadas entre ellas son importantes.
Los resultados discutidos en la sección anterior muestran una clara influencia de las
circunstancias de estimulación sensorial sobre la capacidad entrópica de los árboles dendríticos
de las NpP, sin embargo la situación en las InC cambia radicalmente ya que no se han observado
cambios reseñables, ni a nivel de significación ni a nivel de tendencias (excepto en un caso
aislado). En concreto cuando se mide la Entropía de 1er Nivel la mayoría de los valores de
significación obtenidos al comparar los diversos grupos experimentales entre sí están por encima
del 60%, tanto cuando se estudian los árboles por separado como agrupados por neurona; en este
último caso aparece una tendencia aislada, entre los grupos ER y EL (P = 0.1 ó 10% de
significación). La aplicación posterior de la Entropía de 3er Nivel lejos de revelar cambios entre
los distintos paradigmas experimentales elimina la única tendencia que aparecía en la descripción
topológica, de nuevo al considerar como la base del procesamiento tanto a los árboles como las
neuronas.
En un principio, y sobre todo en vista de los resultados obtenidos del estudio de las neuronas
de proyección del principalis, la ausencia de cambios en las interneuronas de corteza
somatosensorial puede parecer un poco decepcionante, sin embargo si se analiza la situación en
profundidad se colige que es la conclusión más lógica en base al tipo de neurona investigado.
Las Entropías de 1er y 3er Nivel asocian la cuantificación de la entropía a las características
estructurales del árbol dendrítico, por lo que las alteraciones en el potencial del procesamiento
son un reflejo funcional de la plasticidad anatómica, es decir la ausencia de cambios en la
entropía de las InC indicaría una gran estabilidad de su estructura frente a entornos de
estimulación variables. Teniendo en cuenta pues la complejidad de la corteza y la alta
conectividad que exhibe [Jones, 1975] parece natural que cambios, aunque intensos, sobre la
DISCUSIÓN Villacorta
164
información sensorial recibida del exterior, apenas se manifiesten en alteraciones anatómicas
sobre los propios árboles, ya que como elementos de un sistema altamente no lineal cualquier
perturbación sobre ellos podría conducir a variaciones funcionales a mucha mayor escala, por
ejemplo sobre los circuitos a los que pertenece o incluso a nivel de la propia corteza.
Naturalmente lo objetable de estos efectos no es que se produzcan, ya que el propio cerebro a
pesar de su fuerte no linealidad está sometido a cambios continuamente y no por ello pierde
operatividad ni funcionalidad (de hecho la inestabilidad controlada es el régimen de trabajo en el
que se mueve), sino la necesidad de que se manifiesten a nivel estructural de los árboles
dendríticos, puesto que eso supone cambios de carácter presumiblemente muy estables en el
tiempo, mientras que los complejos fenómenos que aparecen en la corteza como atención,
discriminación, memorización o incluso consciencia necesitan de mecanismos de variación más
elásticos y versátiles proporcionados por la plasticidad funcional [Yao, Shi, Han, Gao and Dan,
2007]. Por el contrario y siguiendo ese razonamiento, es esperable que la exposición crónica del
sistema sensorial a niveles alterados, mayores o menores, de estimulación táctil sí se manifieste
en forma de cambios estructurales más o menos significativos, en estaciones de relevo mucho
menos complejas a nivel neuroanatómico como es el caso del núcleo principalis del trigémino.
En resumen, podemos concluir de los resultados experimentales obtenidos de las dos poblaciones
neuronales estudiadas que su adaptación en términos de capacidades de procesamiento a
diferentes entornos y condiciones de estimulación sensorial varía considerablemente, ajustándose
de forma coherente a esquemas funcionales basados en la naturaleza de cada tipo de neurona. De
este modo las neuronas de proyección del núcleo principalis del trigémino parecen exhibir un
potencial como fuentes de información influenciable principalmente por una mayor intensidad de
la estimulación, tanto directa (enriquecimiento) como indirecta o compensatoria (trimming), y
menos por una ausencia de ésta (grupos control e infraorbitario); es la hipótesis de estimulación
compensatoria. Esta situación parece ser congruente con la relativa simplicidad estructural y
conectiva de las neuronas de proyección al tálamo en el núcleo principalis comparada con las
redes de interneuronas inhibitorias (o al menos aquellas de entre ellas que expresan CR) de la
corteza somatosensorial, cuya complejidad hace más natural las variaciones en la entropía de los
árboles dendríticos a través de la plasticidad funcional que a partir de la plasticidad anatómica.
A pesar de que los cambios en las capacidades de procesamiento de la información
cuantificados por medio de las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel están asociados a las alteraciones
Villacorta DISCUSIÓN
165
en la anatomía dendrítica, es perfectamente factible desarrollar nuevas medidas de entropía que
contemplen las características de los árboles dendríticos relacionadas con la plasticidad
funcional. Entre este tipo de fenómenos se encuentran principalmente los de plasticidad
sináptica, algunos de los cuales son la facilitación y potenciación postetánica, en escalas
temporales de segundos o minutos, producidos por el incremento en la probabilidad de liberación
del neurotransmisor [Langdon, et al., 1995; Magleby, 1987; Mallart and Martin, 1968], o la
potenciación a largo plazo, más conocida por LTP, que funciona en una escala de tiempo mayor
que los dos anteriores. Esta clase de potenciación se basa en la aparición de un exceso de calcio
en la terminal postsináptica producido por la activación de canales NMDA; la presencia masiva
de calcio desata ciertos procesos neuroquímicos que conducen por un lado a un incremento en la
sensibilidad de los canales receptores del neurotransmisor, activándose parte de los que antes
estaban silentes, y por otro lado a la liberación de substancias postsinápticas que actúan sobre la
terminal presináptica, facilitando a su vez la liberación del neurotransmisor [Kandel, Schwartz
and Jessell, 2000; Koch, 1999]. Existen además otros mecanismos de plasticidad funcional que
no involucran a la sinapsis sino a las propias corrientes iónicas, produciendo fenómenos de
adaptación de la frecuencia de disparos; estos fenómenos están mediados por diferentes tipos de
corrientes de potasio [Alkon, et al., 1982] y contribuyen a un tipo de memoria a nivel celular con
un amplio régimen de escalas de tiempos [Marder, et al., 1996].
3.3. EL FLUJO DE INFORMACIÓN A LO LARGO DE LA VIA LEMNISCAL
La principal ventaja del estudio experimental del que se han obtenido los datos empleados aquí
para la aplicación de las medidas de entropía [Castro García, 2007; Negredo, 2006], es la
complementariedad de sus poblaciones neuronales debido a que pertenecen a los extremos de la
principal vía de procesamiento de la información táctil, la vía lemniscal. En consecuencia el
cotejo adecuado de las entropías a nivel topológico y morfométrico de los distintos grupos
experimentales conduce a una cuantificación del flujo de información que la vía lemniscal es
capaz de procesar a lo largo de sus diferentes estaciones de relevo. Al igual que en las secciones
previas el estudio de este análisis se realizará contemplando las Entropías de 1er y 3er Nivel (la
Entropía de 2º Nivel no aporta nueva información respecto a la de primer nivel), y desde el punto
de vista de los árboles y de las neuronas.
DISCUSIÓN Villacorta
166
¿Qué significa flujo de información?
No obstante antes de abordar la discusión de los resultados obtenidos anteriormente es obligado
ahondar en el concepto de ‘flujo de información’ al que nos vamos a referir a lo largo de esta
sección. En primer lugar y siguiendo el curso lógico de este trabajo, el flujo a lo largo de la vía
sensorial estudiada no atañe a la información real procesada sino a la información potencial que
es capaz de procesar dicha vía. Una cuantificación del flujo real de información a lo largo de la
vía lemniscal entrañaría un conocimiento preciso del código empleado para transmitir la
información entre los distintos elementos que la conforman (especies de neuronas, estaciones de
relevo, áreas y núcleos del sistema nervioso implicados, etc.), lo cual es a día de hoy imposible.
Lo que sí es posible conocer, y de forma tan precisa como se quiera (o pueda), es la capacidad
para procesar la información de los árboles dendríticos o de las neuronas de las distintas
estaciones que componen la vía, a partir de las medidas de entropía introducidas en este trabajo;
la forma en que la facultad de procesamiento va cambiando a medida que nos movemos de la
periferia hacia la corteza nos da una medida del flujo potencial de información.
Existe sin embargo una severa limitación a esta forma de proceder: una cuantificación
adecuada del flujo exigiría un conocimiento completo de las características de todas las neuronas
de la vía (obsérvese que no así de sus interconexiones), por ello actuando de forma práctica nos
hemos aproximado a esta situación ideal analizando dos tipos relevantes de neuronas
pertenecientes a las dos estaciones de relevo situadas en los extremos de la vía lemniscal. Las
neuronas de proyección del principalis son las encargadas de parte del procesamiento y
conducción de la información procedente directamente de vibrisas, de ahí su importancia en el
esquema de flujo a lo largo de la vía lemniscal. Por el contrario las interneuronas de la corteza
somatosensorial son, en comparación, elementos ‘menos importantes’ en el sentido de llevar
menos peso en las tareas de procesamiento, ya que por un lado se trata de neuronas inhibitorias y
por otro, como neuronas locales, forman parte de microcircuitos y/o circuitos locales [Shepherd,
2004], de manera que su misión en el tratamiento de la información está más distribuida que en
el caso de las neuronas de proyección. Al contrario de lo que pueda parecer esta situación es muy
provechosa puesto que las capacidades de procesamiento en relación a las demás neuronas de su
entorno deberán ser mayores en el caso de las neuronas de proyección del principalis que en el
caso de las interneuronas de corteza; en consecuencia si se comparan las NpP con las InC de una
misma vía lemniscal y se concluye que las interneuronas tienen una mayor capacidad de
procesamiento se habrá establecido un claro aumento del potencial de procesamiento de la
corteza en general respecto a las estaciones de relevo iniciales (en concreto al principalis), ya que
Villacorta DISCUSIÓN
167
es de esperar que el resto de tipos neuronales de corteza tengan tanta o más capacidad que las
InC analizadas. En otras palabras la elección de estas neuronas como representantes de sus áreas
neuroanatómicas respectivas permite cuantificar una cota inferior del flujo de información
potencial que posee en realidad la vía lemniscal.
Cuantificación del flujo de información en la vía lemniscal
Entrando ya en la discusión de los resultados, al considerar únicamente la estructura topológica
de los árboles dendríticos la comparación de la Entropía de 1er Nivel entre las neuronas de
proyección del principalis y las interneuronas de corteza somatosensorial pertenecientes a los
mismos grupos experimentales revela cambios significativos en todas las condiciones de
estimulación sensorial, demostrando que la capacidad de procesamiento es mayor en las
interneuronas de corteza que en las neuronas de proyección de la primera estación de relevo
(principalis). La clave en este nivel descriptivo está en cómo se distribuyen esos cambios según
nos refiramos al lado afectado o al intacto, recordando que las NpP del lado derecho (izquierdo)
corresponden a las InC del lado izquierdo (derecho);a la vía sensorial que parte de las vibrisas
derechas (izquierdas) la denotaremos por vía derecha (izquierda).
En condiciones experimentales control la vía lemniscal derecha no muestra cambios entre
trigémino y corteza (en términos de los tipos neuronales estudiados), sin embargo sí hay una
variación significativa en la entropía topológica entre las NpP y las InC pertenecientes a la vía
izquierda. Esta tendencia se invierte al referirnos a los grupos enriquecido y trimming, en los que
es la vía derecha, es decir la afectada por las diversas condiciones de estimulación sensorial, la
que exhibe una mayor diferencia entre las neuronas de proyección del principalis y las
interneuronas de corteza (a favor de éstas últimas), mientras que en la vía izquierda no aparecen
cambios significativos. Desde un punto de vista biológico la diferencia en la capacidad de
procesamiento entre las NpP y las InC era de esperar ya que ambas son dos especies de neuronas
muy diferentes, tanto neuroanatómica como funcionalmente. Esta intuición se ve confirmada por
los resultados obtenidos de la cuantificación de la Entropía de 1er Nivel a lo largo de la vía
lemniscal de cada lado, sin embargo hay que tener en cuenta que las características que se han
tenido en consideración como determinantes del potencial de procesamiento de los árboles
dendríticos son exclusivamente topológicas, es decir nos encontramos en el nivel descriptivo más
simple. No obstante incluso bajo esas limitaciones las variaciones entrópicas presumidas se
manifiestan en los casos esperados, como son en las vías afectadas de los grupos E y T, y en
DISCUSIÓN Villacorta
168
especial sobre el infraorbitario, en el que la privación sensorial en las neuronas de proyección es
más severa.
Adicionalmente para interpretar adecuadamente estos resultados debemos tener en cuenta
que contamos por un lado con los resultados para las NpP analizados más arriba pero por otro
hay que considerar que, a diferencia de las neuronas del trigémino, las interneuronas de corteza
están sujetas a la influencia simultánea de las aferencias sensoriales provenientes de ambos lados
a través de las conexiones cortico-corticales interhemisféricas31. Esto explica por un lado la
ausencia de variaciones sobre la entropía de las InC reseñada en la última sección (ya que las
influencias sensoriales de cada lado se mezclan y diluyen), y por otro la gran influencia de los
cambios reportados en las neuronas de proyección del principalis sobre la capacidad de
procesamiento de la vía completa, los cuales se ven realzados cuando se aumenta el nivel
descriptivo al aplicar la Entropía de 3er Nivel por árboles.
Los resultados obtenidos en el nivel morfométrico y resumidos en la matriz de significación
de la Tabla 14 pueden separarse en dos conjuntos en función de la diferencia que existe entre los
valores de significación correspondientes a la Entropía de 3er Nivel de las vías izquierda y
derecha de cada grupo. De este modo los grupos control e infraorbitario formarían uno de los
conjuntos y los grupos enriquecido y trimming el otro, puesto que la vía lemniscal en
condiciones control muestra una capacidad de procesamiento para los árboles dendríticos de las
interneuronas de corteza mucho mayor que la correspondiente a los árboles de las neuronas de
proyección de principalis, en concreto aparecen unos valores de significación de 0.001 para la
vía izquierda y de 0.008 para la derecha; lo mismo ocurre en el caso infraorbitario, aunque ahora
las diferencias de entropía entre corteza y principalis son mucho más altas y del mismo orden
entre las vías de los dos lados (0.0005 para la vía intacta y 0.0001 para la vía afectada). Esta
similitud entre las variaciones del potencial de procesamiento según se asciende por las vías
sensoriales de ambos lados indicaría que, aunque las condiciones de privación sensorial severa sí
influyen sobre el flujo potencial de información de la vía (los valores de significación son mucho
menores en el grupo Io que en el grupo C), esta influencia apenas discrimina el lado intacto del
lado afectado. Por el contrario en condiciones de enriquecimiento y trimming la vía lemniscal
31 En realidad no es estrictamente cierto que lo que ocurre en uno de los núcleos del trigémino no influya sobre el
trigémino del lado opuesto ya que existen vías corticofugales que conectan la corteza somatosensorial de cada
hemisferio con el trigémino contralateral correspondiente; a pesar de ello la influencia esperable entre núcleos
principalis siguiendo este conjunto de vías es necesariamente muy indirecta.
Villacorta DISCUSIÓN
169
afectada (derecha) exhibe una diferencia de capacidad de procesamiento corteza-principalis
mucho mayor que la vía intacta (izquierda), de manera que el incremento sensorial directo en el
lado opuesto en el caso del grupo E e indirecto en el grupo T junto con la privación de estímulo
de forma no lesiva en un lado, han influido decisivamente en la diferenciación del flujo de
información que los árboles dendríticos de cada vía lateral son capaces de procesar.
El cambio de perspectiva basado en la consideración de las neuronas y no de los árboles
dendríticos como las unidades de procesamiento lleva consigo un cambio radical en las
conclusiones acerca del flujo de información a lo largo de la vía lemniscal. Las Tablas 12 y 15
exponen los valores de significación al comparar respectivamente las Entropías de 1er y 3er Nivel
de las neuronas de proyección del principalis con la de las interneuronas de corteza, apreciándose
la conservación del flujo de información en los casos control, infraorbitario y trimming (sin
considerar las tendencias), y siendo sólo el grupo enriquecido el que muestra variaciones
significativas de la capacidad de procesamiento a lo largo de la vía lemniscal.
Esta situación contradice claramente la intuición, que según se discutió anteriormente dictaría
un aumento considerable de la entropía a nivel topológico y morfométrico en las InC en
comparación a la de las NpP, al menos en el caso control, en el que las condiciones de
estimulación son las naturales. No obstante lo más relevante se refiere a la estabilidad del flujo
de información proporcionado por las neuronas, en las circunstancias de privación sensorial más
severa (grupo Io) y a los cambios en las vías lemniscales de ambos lados en el grupo
enriquecido; este último caso es especialmente llamativo ya que las variaciones reportadas en
ambos lados son de sentidos opuestos, es decir las InC pertenecientes a la vía lemniscal derecha
tiene mayor entropía que las NpP mientras que en la vía izquierda esta tendencia se invierte y
son las neuronas de proyección del principalis las que manifiestan una mayor capacidad de
procesamiento. Estos resultados vienen a confirmar de forma más concluyente lo que ya se
dedujo del estudio comparativo de las entropías de las dos poblaciones neuronales NpP e InC
(Secciones 3.3.1 y 3.3.2 de Resultados): en términos de capacidad de procesamiento, y sin hacer
referencia a la funcionalidad de la información procesada, son los árboles dendríticos y no las
neuronas quienes deben ser considerados como la unidad relevante del sistema, en este caso de la
vía lemniscal.
La caracterización entrópica de los árboles dendríticos a lo largo de la vía lemniscal nos ha
permitido demostrar que la capacidad de procesamiento de la información táctil se incrementa a
medida que ascendemos desde la periferia a la corteza. Por otro lado recientes investigaciones
DISCUSIÓN Villacorta
170
han comprobado que, en el caso de la vía auditiva, la redundancia de la señal se ve reducida
también según la señal sensorial asciende hacia la corteza [Chechik, Anderson, Bar-Yosef,
Young, Tishby and Nelken, 2006]. Estos dos fenómenos son complementarios y junto con el
aumento de la complejidad estructural en estaciones superiores de relevo, estarían demostrando
cómo el sistema nervioso procesa la información: a medida que la señal sensorial se dirige desde
la periferia al sistema nervioso central va siendo reducida a sus componentes esenciales al perder
redundancia, pero a la vez va siendo procesada por elementos cada vez de mayor capacidad. Esto
indica 1) que según la información se aproxima a la corteza va siendo integrada con otro tipo de
información de distinta procedencia y de forma distribuida, y 2) que según vamos ascendiendo
por las vías sensoriales la redundancia de la señal se va convirtiendo progresivamente en
redundancia estructural, es decir cada unidad de tratamiento de la información (árbol dendrítico,
neurona, circuito local, etc.) procesa menos información pero ésta es más precisa, sin embargo
hay más de estas unidades procesándola, conjuntamente y en paralelo con otro tipo de
información.
En resumen, podemos concluir respecto al análisis y cuantificación del flujo de información
potencial de la vía lemniscal que, al considerar la capacidad de procesamiento de los árboles
dendríticos en las especies neuronales estudiadas se demuestra la esperada divergencia del flujo
bajo diversas condiciones de estimulación sensorial a medida que se asciende desde la periferia
hasta la corteza. Sin embargo el grado de divergencia tanto a lo largo de la vía como al comparar
la vía lemniscal izquierda o intacta con la derecha o afectada, viene determinado por dichas
condiciones de estimulación, de manera que en privación sensorial severa (grupo Io) la
divergencia es la más alta de todos los casos estudiados aunque no hay diferencias entre lados.
Por otro lado únicamente en privación sensorial leve (recorte de vibrisas o grupo T) o combinada
ésta con un entorno enriquecido (grupo E) la divergencia no es tan elevada como en Io (aunque
más que en el control) pero muestra una gran diferenciación entre lados, siendo mucho mayor en
las vías lemniscales de los lados afectados.
Estas conclusiones plantean la posibilidad de incrementar considerablemente el poder
descriptivo de las medidas de entropías propuestas combinando la entropía del árbol dendrítico
de una neurona concreta con la entropía de la señal procesada por ella. Esto permitiría conectar
la estructura y funcionalidad dendrítica de una forma cuantitativa, y poder estudiar así el
rendimiento en el procesamiento llevado a cabo por ese árbol concreto, la influencia del ruido, su
Villacorta DISCUSIÓN
171
redundancia, cómo se integra en las características de las señales aferentes a nivel de la
información que éstas contienen, etc.
Para finalizar abordaremos el tema del ruido, un concepto central en la teoría de la
información, y de cómo se refleja en el enfoque que hemos dado aquí al aplicar la entropía a la
caracterización de las estructuras dendríticas. En el contexto habitual en el que se mueve la teoría
de la información el ruido es una influencia inevitable y no predecible producida por el entorno.
Según se han planteado aquí los diferentes conceptos de sistema, símbolo, autoinformación,
entropía, etc. el ruido estaría constituido por los efectos de todas aquellas circunstancias que
influyan sobre las configuraciones sinápticas y que no hayan sido incluidas en los niveles
descriptivos en los que se ha basado la medida entrópica empleada en la caracterización
dendrítica. Esto abre nuevas posibilidades de cara al estudio de la redundancia estructural
asociada a la entropía definida aquí y de su inclusión en la caracterización del sistema nervioso,
sin embargo es un tema que escapa del marco del presente trabajo y que se llevará a cabo en
futuras investigaciones.
DISCUSIÓN Villacorta
172
Villacorta CONCLUSIONES
173
CONCLUSIONES
CONCLUSIONES Villacorta
174
Villacorta CONCLUSIONES
175
1. Este trabajo pretende aportar un enfoque novedoso al estudio de los árboles dendríticos
planteando su caracterización según su propiedad fundamental, su capacidad para procesar
información. Esta característica se cuantifica por medio de medidas basadas en la entropía,
uno de los conceptos centrales de la teoría de la información.
2. Se han propuesto tres tipos de medidas de entropía, construidas sobre tres niveles
descriptivos: los dos primeros se fundamentan sobre las características topológicas de las
dendríticas, mientras que en el tercero se añaden las propiedades morfométricas más
relevantes en una primera aproximación, la longitud y el diámetro dendríticos. Estas medidas
son las Entropías de 1er, 2º y 3er Nivel.
3. Las Entropías de 1er y 2º Nivel como herramientas teóricas han demostrado estar
profundamente conectadas con la topología de los árboles dendríticos, pudiendo ser
empleadas, además de para caracterizar la validez de las dendritas como fuentes de
información, como eficaces descriptores y predictores de las propiedades topológicas de estas
estructuras. Además ambas medidas están fuertemente correlacionadas, lo que muestra el
gran peso que tiene la topología dendrítica en el procesamiento de la información frente a
otras circunstancias externas, como son las condiciones que controlan la formación de las
configuraciones sinápticas y que definen cada uno de los niveles descriptivos.
4. Las medidas de entropía en los niveles topológico y morfométrico han sido aplicadas sobre
árboles dendríticos reales de las áreas pertenecientes a los extremos de la vía lemniscal
(neuronas de proyección del núcleo principal del trigémino e interneuronas de la corteza
somatosensorial de la rata) y que han sido sometidos a diferentes manipulaciones unilaterales
con el fin de restringir o potenciar la aferencia sensorial. Las conclusiones obtenidas se
refieren a la capacidad de procesamiento de los árboles dendríticos, de las neuronas y de la
propia vía lemniscal en las distintas circunstancias y entornos sensoriales. A su vez se ha
demostrado la validez del orden máximo como estimador real de las capacidades de
procesamiento de los árboles dendríticos a nivel topológico.
CONCLUSIONES Villacorta
176
5. La capacidad de procesamiento de la información de los árboles dendríticos pertenecientes a
las neuronas de proyección del núcleo sensirivo principal del trigémino se ve aumentada
cuando existe un aumento de la aferencia sensorial, tanto directo (por enriquecimiento) como
indirecto (por compensación). Por el contrario la privación de estimulación sensorial de
forma no lesiva apenas se manifiesta en una disminución del potencial de procesamiento de
los árboles, mientras que la restricción sensorial provocada por la sección del nervio
infraorbitario conlleva un importante detrimento en la población neuronal, si bien las células
supervivientes no muestran mermadas sus capacidades.
6. Los árboles dendríticos de la subpoblación de interneuronas de la corteza somatosensorial
que expresan calretinina no manifiestan cambios de ningún tipo en sus capacidades como
fuentes de información en ninguna de las condiciones experimentales estudiadas.
7. Las unidades de procesamiento de la información en el núcleo principal del trigémino, bajo
la asunción de independencia de los árboles dendríticos pertenecientes a una misma neurona,
parecen ser los árboles y no las propias neuronas. La falta de cambios en la corteza
somatosensorial impide concluir nada a este respecto en este área del SNC.
8. La cuantificación del flujo de información a lo largo de la vía lemniscal demuestra una clara
divergencia desde niveles periféricos a centrales: existe un aumento de las capacidades de
procesamiento de la información a medida que se asciende en la vía lemniscal. En
condiciones control se evidencia además una asimetría lateral entre estos los flujos,
exhibiendo la correspondiente a la hemicara izquierda una mayor divergencia. Tras la lesión
unilateral del nervio infraorbitario la ganancia en el potencial de procesamiento en corteza
respecto al núcleo principal es la más elevada de entre los casos experimentales estudiados.
En los casos intermedios, en los que la restricción sensorial es no lesiva el flujo de
información diverge de forma muy significativa en el lado afectado por la privación
periférica, siendo esta divergencia menos relevante en el lado intacto.
9. Las medidas basadas en la entropía han permitido caracterizar a los árboles dendríticos según
sus capacidades para procesar información, distinguiendo de forma coherente y sólida
diferentes situaciones en las que el tratamiento de la información se ve alterado. Estas
medidas destacan por su versatilidad, ya que cualquier característica dendrítica que pueda
Villacorta CONCLUSIONES
177
influir sobre las posibles configuraciones sinápticas puede ser incluida de forma inmediata en
una nueva medida entrópica o en otras ya desarrolladas. En consecuencia parece posible
cuantificar a través de la entropía dendrítica, a niveles tan precisos y realistas como nos
permita la obtención de datos experimentales, la principal característica de cualquier árbol
dendrítico: su potencial de procesamiento de la información.
CONCLUSIONES Villacorta
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Villacorta BIBLIOGRAFÍA
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BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA Villacorta
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