teoría de conjuntos 6toa
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8/16/2019 Teoría de Conjuntos 6toa
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TEORÍA DE CONJUNTOS
NOCIÓN DE CONJUNTO:Es un ente matemático por el cual se puedetener una idea subjetiva de ello, comocolección, agrupación o reunión de objetosabstractos o concretos denominadoselementos.Ejemplo:A = {a, b, c, d, e}B = {lunes, martes, miércoles, jueves,viernes, sábado, domingo}
RELACIÓN DE PERTENENCIA∈
∉elemento conjunto
EjemploEjemplo:H = {a, , !, {"}}a H #a pertenecer a H$" H #" no pertenece H$
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
%onsiste en precisar correctamente &ueelementos 'orman el conjunto. (uede)acerse de dos maneras.
a. Por exten!"n #$orma ta%&lar'Es cuando se indica sus elementos en'orma e*pl+cita.
{ }1,3,5,7,9 H =
{ }3,3 I = −
{ }0,3,8,15,24 K =
%. Por (ompren!"n #$orma(ontr&(t!)a'Es cuando se da un cierto criterio de
'ormación &ue permita decidir si unelemento pertenece o no al conjunto.H={**- es un nmero impar menor&ue //}0={**12 =3}
{ }2 1 / 1 6 K x x x= − ∈ ∧ ≤
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⊂
⊄
conjunto conjunto
Ejemplo: A= {**- es un gato B= {**- es un mam+'ero
A B∴ ⊂
{ }1,2,3,4,...Ν =
{ }..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...= − −Z
N ∴ ⊂ Z
E={, !, "}>={/, , "}
:e observa &ue E no está incluido en> #viceversa$ en este caso se denota E F ⊄
.
%. I-&ala
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Nota(!"n.
{ };φ
Ejemplo:
{ }/ 2 0 D x N x= ∈ + =
5o e*iste ningn elemento * &ue
perteneca al conjunto de los nmerosnaturales tal &ue *F=3, entonces D φ =
O%er)a(!"n:
{ }φ φ ≠
A Aφ ⊂ ∀
%. Un!tar!o o S!n-let"n #!n-&lar'Es a&uel conjunto &ue tiene un soloelemento.Ejemplo-A={**- es un nmero primo par}B={!, ! ,!}%={**- es la capital del (er}
(. Un!)eralEs el conjunto re'erencial para elestudio de una situación particular, &uecontiene a todos los conjuntosconsiderados. 5o e*iste un conjuntouniversal absoluto.Ejemplo:(ara los conjuntos-A = {los gatos}B = {los perros}os universos pueden ser-G/- {los mam+'eros}G- {los animales domésticos}
. Poten(!aEl conjunto potencia de A, llamadotambién conjunto de partes de A, esa&uel conjunto &ue está 'ormado portodo los subconjuntos &ue posee elconjunto A.Nota(!"n: P#A'Ejemplo:
{ }, , ( ) 3 A a b c n A= ⇒ =
{ } { } { } { } { } { }{ }( ) , , , , , , , , , , P A a b c a b a c b c Aφ =
[ ] 3( ) 2 8n P A∴ = =
os sub conjuntos-
{ } { } { } { } { } { }, , , , , , , , ,a b c a b a c b cφ se
denominan subconjuntos propios de A.
[ ] ( )( ) 2n AnP A Númerodesubconjuntos de A= =
[ ]
( )2 1
n A Númerode subconjuntos propios de A = −
e. Par OrenaoEs un conjunto de elementos para loscuales se considera el orden en &ueestán indicados.5otación-#a,b$ se lee- el par ordenadoa, bD donde-a- /ra componenteD abcisab- da componenteD ordenada
I-&ala e &n par orenao
Cbservación-
( , ) ( , )a b c d a c b d = ↔ = ∧ =
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
a. Un!"n( )∪
{ }/ A B x x A x B∪ = ∈ ∨ ∈
D!a-rama
A B B
A
A B
comparables disjuntos
Ejemplo:A = {/, , !}B = {, !, ", }
{ }1, 2, 3, 5,7 A B∪ =
(ropiedades-
A A A∪ =
A Aφ ∪ =
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A
A ∪ =
%. Intere((!"n( )∩
{ }/ A B x x A x B∩ = ∈ ∧ ∈
D!a-rama
A B A BA
B
comparablesdisjuntos
Ejemplo.A={/, ", , 2} D B={, 2, /3}
{ }7, 9 A B∩ =
(ropiedades-
A A A∩ =
A φ φ ∩ =
A A∩ =
(. D!$eren(!a #,'
{ }/ A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉
D!a-rama
A B A B A
B
disjuntos comp arab les
Ejemplo:
A={!, ", } D B= {, 9}A1 B = {!, "}
(ero B1A = {9}(ropiedades-
A A φ − =
A Aφ − =
. D!$eren(!a S!m2tr!(a ( )∆
{ }/ ( ) ( ) A B x x A B x A B∆ = ∈ ∪ ∧ ∉ ∩
D!a-rama:
A BA B
A
B
disjuntos comparables
Ejemplo:A 3 456 76 86 9 ; B = {/, 9, 2}
{ }1,6,7 A B∆ =
Prop!eae:
A A φ ∆ =
A Aφ ∆ =
!i B A A B A B⊂ ↔ ∆ = −
e. Complemento e A #
', ," A A A'
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Ejemplo:
{ }/ 10 x x x+= ∈ ∧ . 0ndicar verdadero #?$ o 'also #>$ segncorresponda, para el conjunto-
A = {"D D {!}}0. n#A$ = !00. " ∈ A000. {!} ∈ A0?. {} ∈ A
a$ ??>> b$ >??> c$ ???>d$ ?>?> e$ >>??
=?.
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a$ !8 b$ 7 c$ 7"d$ "3 e$ 83
=. :i-A = {* ∈ 05 K * K /!}B = {* ∈ 05 ! K * K /3}
Hallar- A ∩ B
a$ {9} b$ {9D 2} c$ {D 9}d$ {D 9D 2} e$ {2}
=B. ?. :i se sabe-n #A ∪ B$ = 3n #A 1 B$ = /9n #A$ = 7/Hallar- n #A ∆ B$
a$ 7 b$ 7" c$ 78d$ 7 e$ 79
>@. . B. Gn alumno del 7toB comió &ueso o jamón en el desa4uno, cada maQanadurante el mes de @unio. %omió 7maQanas jamón 4 / maQanas &ueso,Mcuántas maQanas comió &ueso 4
jamónN
a$ /3 b$ // c$ /d$ /! e$ /7
>5.
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T "7 estudian alemán.T /9 estudian inglés 4 'rancés.T 3 estudian 'rancés 4 alemán.T / estudian sólo alemán.T 9 estudian los tres idiomas.a. M%uántos alumnos estudian
e*actamente dos idiomas de los
mencionadosNb. M%uántos alumnos estudian otros
idiomasN
a$ !8 4 b$ !2 4 c$!2 4 d$ !8 4 e$ !" 4 "
>8.
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?5.
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a$ :ólo 0 b$ :ólo 00 c$ :ólo 000d$ 0 4 00 e$ 00 4 000
=5. :i- nY(#A ∪ B$ = / 37nY(#B$ = /9
nY(#A$ = !Hallar- n#B ∆ A$
a$ b$ 9 c$ "d$ e$ 8
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