teoría electromagnética murphy ... · 2017. 8. 23. · materiales con gran cantidad de portadores...

Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————

——————————————————————————————————————————————— —231—

CAPÍTULO 4 EL CAMPO ELÉCTRICO EN MATERIALES DIELÉCTRICOS

Materia: Asociación de partículas cargadas Núcleos: carga positiva Nubes de electrones: carga negativa Propiedades de la materia: fase (sólido, líquido, gas), dureza, aspereza, color, reflectividad, transparencia, opacidad, capacidad calorífica, etc., etc., son consecuencia de fuerzas electromagnéticas entre sus constituyentes. Materiales de acuerdo a propiedades eléctricas:

l conductores l semiconductores l dieléctricos

——————————————————————————————————————————————— —232—

Conductores: Materiales con gran cantidad de portadores libres:

≅ 1022 portadores / cm3 Semiconductores: Materiales con una cantidad moderada, pero controlable, de portadores libres:

106 ≅ 1020 portadores / cm3 Dieléctricos (aislantes): Materiales con muy pocos portadores libres:

< 106 portadores / cm3

——————————————————————————————————————————————— —233—

Los sólidos pueden ser: l cristalinos l policristalinos l amorfos

Campo eléctrico en un material: Resultante de un campo eléctrico “externo” y el campo eléctrico generado por la distribución de cargas en el material.

La interacción de un campo eléctrico con la materia dependerá del tipo de material

Un material dieléctrico se puede representar como

un conjunto de dipolos eléctricos (Polarización: Momento dipolar por unidad de volumen).

——————————————————————————————————————————————— —234—

El momento dipolar eléctrico: Dipolo puntual (Ejemplo 4):

( ) 3o

επ−=

p=2aq = momento dipolar

Se puede definir el momento dipolar eléctrico para cualquier distribución de carga; i.e., cualquier

distribución de carga se puede representar por un dipolo eléctrico

——————————————————————————————————————————————— —235—

-q F+=+qE; F-=-qE; ⇒ FNETA=0

——————————————————————————————————————————————— —236—

Torque:

N = S X F Carga positiva:

( ) ( ) ijkN ˆaqEˆqEˆa =×−=+ Carga negativa:

( ) ( ) ijkN âqEˆqEâ =−×=− Torque total: Dipolo puntual: iNNN âqE2=+= −+ En general: N = p × E

——————————————————————————————————————————————— —237—

Momento dipolar de una distribución arbitraria:

ρrmax

∫ τθρεπ

= dcosrr1

)r(V 2oo

rr •=θ oˆcosr

——————————————————————————————————————————————— —238—

∫ τρ•επ

= drˆ

)r(V 2o

oodip r

Momento dipolar de la distribución:

p = rρdτ∫

p = rσda∫

p = rλdl∫

•επ

diprˆ

——————————————————————————————————————————————— —239—

Campo eléctrico de un dipolo:

Vdip (r,θ) =

14πεo

pcosθ

cospr1

),r(V),r( 2o

dipdip

επθ

∂θ∂

επθ

∂∂

−=θ−∇=θ rE

[ ]θsenˆcos2r4

p),r( 3

odip θ+θ

επ=θ rE

——————————————————————————————————————————————— —240—

——————————————————————————————————————————————— —241—

Polarizabilidad y polarización: Material dieléctrico: Conjunto de dipolos eléctricos Polarización: Alineación parcial de los dipolos en un campo eléctrico. La alineación es función de campo y la estructura del material:

Ep αt=

ααααααααα

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

t α Tensor de polarizabilidad

——————————————————————————————————————————————— —242—

Para materiales lineales e isotrópicos y campos eléctricos pequeños:

α ⇒ polarizabilidad el momento dipolar inducido es en la misma dirección

que el campo eléctrico En general, si EEXT=0, el momento dipolar inducido es cero; el material no presenta polarización. Materiales con momentos dipolares permanentes: agua, algunos iónicos, ferroeléctricos (electrets).

——————————————————————————————————————————————— —243—

Polarización: Momento dipolar por unidad de volumen:

lim∆τ→0

p∆τ

∫ τξ•

επ=•

ξεπ= d

dipξξ P

Necesario conocer P para integrar Alternativa: Transformar la integral para expresarla en términos de “densidades de carga de polarización”

——————————————————————————————————————————————— —244—

Usando:

∇ actuando sobre coordenadas de integración:

∫ τ

ξ∇•

επ= d

odip P

τ•∇

ξ−τ

ξ•∇

επ= ∫∫ d

odip PP

τ•∇

ξ−•

ξεπ= ∫∫ d

odip PaP

——————————————————————————————————————————————— —245—

∫∫ ξ

επ=•

ξεπ

Densidad superficial de carga de polarización:

nP ˆp •≡σ

( ) ∫∫ τξ

επ=τ•∇

ξεπ− d

Densidad volumétrica de carga de polarización:

ρp ≡ −∇ • P

Vdip =

14πεo

ξda∫ +

ξdτ∫

——————————————————————————————————————————————— —246—

Ejemplo 30.- Campo eléctrico producido por esfera de radio R polarizada uniformemente:

n=r^ ^

θ=•=•=θσ cosPˆˆPˆ)(p rknP

——————————————————————————————————————————————— —247—

Condiciones de frontera:

1) V(r → ∞, θ) → 0 2) VINT(r=R, θ) = VEXT(r=R, θ)

3) )(1

Rr),r(V

r),r(V

INTEXT θσε

∂∂

−θ∂∂

Forma del potencial:

∑∞

θ=θ0n

nINT )(cosPrA),r(V

∑∞

=+ θ=θ

EXT )(cosPrB

——————————————————————————————————————————————— —248—

De 2) (continuidad del potencial):

∑∑∞

θ=θ0n

n )(cosPRB

)(cosPRA

RA += ⇒ 1n2nn RAB +=

∑∞

+θ=θ

EXT )(cosPrRA

——————————————————————————————————————————————— —249—

De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):

−=θσε

−=θ+−= ∑∞

− cosP

)(cosPRA)1n2(o

−=θ− cosP

cosA3o

Potencial:

=θ cosr3P

),r(Vo

INT θε

=θ cosrR

),r(V 2

——————————————————————————————————————————————— —250—

Campo eléctrico:

θ3cosPr

ˆ3cosPr

r),r(V

ooINTINT

θ∂θ∂

θ∂∂

−=θ−∇= rE

θsen3P

ˆcos3P

ε−=θ rE

Cambio de variable: ⇒ z = rcosθ:

VINT(z) =

kE ˆz3P

z)z(V)z(

oINTINT

∂−=−∇=

kE ˆ3P

INT ε−=

——————————————————————————————————————————————— —251—

[ ]θsenˆcos2r3

PR),r( 3

EXT θ+θε

=θ rE

¡Campo Dipolar!

[ ] [ ]θθ ˆsenˆcos2r4

pˆsenˆcos2r3

3θ+θ

επ=θ+θ

Momento dipolar de la esfera:

π= PP

——————————————————————————————————————————————— —252—

Densidades superficial y volumétrica de carga de

polarización ⇒ realidad física

+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-

Material polarizado: cadena de dipolos

——————————————————————————————————————————————— —253—

( ) qSPASPp ==τ∆=

PA = q

PAlim0A0A ∆

=•=∆ →∆→∆

nP ˆp •=σ

( )∫∫∫ τ•∇−=•−=τρ dddp PaP

( )P•∇−=ρp

——————————————————————————————————————————————— —254—

El campo promedio en un dieléctrico:

Promedio temporal y espacial del campo eléctrico microscópico dentro del dieléctrico

Resultante de un campo externo y el producido por la polarización del material. En equilibrio (estado estacionario):

πε= ∫ ∫ ξξ ˆdaˆd

El campo interno en el dieléctrico es menor al campo eléctrico externo, pero nunca llega a ser cero, como en

un medio conductor.

——————————————————————————————————————————————— —255—

La ley de Gauss:

ρ' = ρ + ρp

ρ+ρ=

=•∇ E

P•−∇=ρp

oo ε•∇

−ερ

=•∇P

ooo ερ

+•∇=ε•∇

+•∇P

( ) ρ=+ε•∇ PEo (ρ = densidad de carga libre)

——————————————————————————————————————————————— —256—

Vector desplazamiento; D.

PED +ε= o

ρ=•∇ D

encQd =•∫ aD

1) D normal o tangencial a la superficie en cualquier

punto. Debemos conocer la dirección de D a priori. 2) D debe ser constante en la superficie gaussiana

usada.

——————————————————————————————————————————————— —257—

Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH): Polarización en general:

+++++= kiikjiijkkjjiii EEbEEbEaEaEaP ...EEEcEEb kjiijkkjjk ++

Si P sólo depende de la primera potencia del campo:

kkjjiii EEEP α+α+α=

ααααααααα

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

El medio es lineal

——————————————————————————————————————————————— —258—

Si el medio se ve igual en cualquier dirección:

ii EP α=

El medio es isotrópico

Si las propiedades eléctricas del medio no dependen de la posición: )(f r≠α )z,y,x(f≠α

El medio es homogéneo

——————————————————————————————————————————————— —259—

Medios lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH):

l Gases diluidos, l algunos líquidos, l cristales cúbicos simples, l sólidos amorfos

Para dieléctricos LIH:

EP eoχε=

χe = susceptibilidad eléctrica del medio (para el espacio libre, χeo=0)

D = εoE + P = εoE + εoχeE = εo(1 + χe)E

D = εE

——————————————————————————————————————————————— —260—

Permitividad dieléctrica del material:

)1( eo χ+ε≡ε Para medios LIH, ε no es función de posición, pero sí

de frecuencia Permitividad relativa (constante dieléctrica):

oee 1k

Material ke Material ke

Aire 1.00059 Agua de mar 80.4 Vidrio 4-7 Mica 5.4 Polietileno 2.26 Porcelana 6-8 Silicio 11.9 SiO2 3.9

——————————————————————————————————————————————— —261—

Densidad volumétrica de carga de polarización y libre:

ε•∇χε−=χε•−∇=•−∇=ρ

DEP eoeop )(

−−=ρ

εχε

−=•∇εχε

eeoeok

−=ρ

En un medio LIH, la densidad volumétrica de carga de polarización está determinada por la

densidad volumétrica de carga libre

——————————————————————————————————————————————— —262—

Ejemplo 31.- Carga puntual en el origen rodeada por una esfera de material dieléctrico LIH de radio R.

——————————————————————————————————————————————— —263—

Adentro del dieléctrico (r < R):

qQd enc ==•∫ aD

( ) qr4Dd 2 =π=•∫ aD

rD ˆr4

E ˆr4

q2επ

——————————————————————————————————————————————— —264—

rDDP ˆr4

εχε

0p =•−∇=ρ P

(no hay carga libre en el dieléctrico) Densidad superficial de carga de polarización: En las dos superficies del dieléctrico; rodeando la carga puntual y en r=R:

==•=σ nP

−=σ= ∫∫

——————————————————————————————————————————————— —265—

−−=−=

epCnetaC k

1kqQqQ =+−=

−−=+=

Afuera (r = R):

E ˆr4

Cálculos en medios LIH: idénticos a los del

espacio libre. Resultado correcto si: εo ⇒ ε

——————————————————————————————————————————————— —266—

Capacitores:

⇒ Almacenan energía en el campo eléctrico

⇒ Aplicaciones en electrónica en DC y AC

⇒ Diversos tipos y geometrías:

l integrados l cerámica l mica l placas paralelas (variable) l electrolíticos l placas paralelas; cilíndricos; esféricos

⇒ Diseñados considerando rangos de voltaje y frecuencia de operación

——————————————————————————————————————————————— —267—

Capacitor de placas paralelas:

Placa infinita, densidad uniforme de carga (Ejemplo 12):

jE ˆ2 oεσ

I IIIII

(1) (2)+σ -σ

E=0 E=0E=+σ/εoj

——————————————————————————————————————————————— —268—

Diferencia de potencial entre las placas:

ddyˆdyˆdVo

0oo ε

=•εσ

=•=∆ ∫∫ ∫ jjlE

)A/Q(V

V ∆=∆ ⇒ VQ

C∆∆

FaradNmC

≡⇒⇒⇒⇒

——————————————————————————————————————————————— —269—

Sub-múltiplos comunes: Atto Farads (aF; 10-18 F) parásitas en CI Femto Farads (fF; 10-15 F) parásitas en CI Pico Farads (pF; 10-12 F) CI Nano Farads (nF; 10-9 F) circuitos discretos Micro Farads (µF; 10-6 F) Mili Farads (mF; 10-3 F) fuentes de alimentación Capacitor de placas paralelas:

C oε=

Capacitancia: función de la geometría

——————————————————————————————————————————————— —270—

Dieléctricos en capacitores: l Aumento de la capacitancia l Soporte mecánico l Mantienen separación constante l Voltajes de ruptura mayores para algunos medios Para dieléctrico LIH:

ε= ⇒ CkC ee =

——————————————————————————————————————————————— —271—

Ejemplo 32.- Reducción en área obtenida al hacer un capacitor de placas paralelas con mica entre las placas, a la de un capacitor similar, con el mismo valor de capacitancia, pero con el espacio libre entre las placas.

e =ε=ε=

Con mica: reducción de área en un 81.5%.

——————————————————————————————————————————————— —272—

Ejemplo 33.- Capacitor MOS.

Polisilicio

Substrato

Óxido de campo

Aluminio

Dieléctrico de compuerta

Compuerta: G

——————————————————————————————————————————————— —273—

Capacitancia por unidad de área (C'=C/A):

m10X0.1m/F10X4531.3

Å1009.3

2323 m/pF10X4531.3m/F10X4531.3'C µ== −−

Para C = 100pF área: 170µm X 170µm

Tecnología CMOS actual:

110Å = tox = 35Å

——————————————————————————————————————————————— —274—

Ejemplo 34.- Capacitores en serie.

σp2i c

Vector desplazamiento:

∫ ∫∫ σ=−=• daDdadaD

kD ˆσ−=

——————————————————————————————————————————————— —275—

Campo eléctrico:

kE1 ˆ1ε

σ−= kE2 ˆ

Polarización:

kkEP 11ˆ

11eo1eo σ

−−=

χε−=χε=

kkEP 22ˆ

22eo2eo σ

−−=

χε−=χε=

Caída de potencial:

11 εσ

=•=∆ ∫ lE 2d

22 εσ

=•=∆ ∫ lE

——————————————————————————————————————————————— —276—

σ=∆+∆=

Densidades de carga: Entrecara “a”:

−−=−=•=σ=σ

1e1ss1ppa k

1kPˆ11 nP

Entrecara “b”:

−==•=σ

1e1ii1p k

1kPˆ 11 nP

−−=−=•=σ

2e2s2p k

1kPˆ 2s2 nP

−=σ

−−σ

−=σ+σ=σ

2e1e2e

1es2pi1ppb k

——————————————————————————————————————————————— —277—

Entrecara “c”:

−==•=σ=σ

2e2s2i2ppc k

1kPˆ 1nP

Carga neta: Entrecara “a”:

1epaa kk

1k σ=σ

−−σ=σ+σ=σ

Entrecara “b”:

−=σ

2e1eb k

Entrecara “c”:

2epcc kk

1k σ−=σ

−+σ−=σ+σ=σ

——————————————————————————————————————————————— —278—

Capacitancia:

σσ==

oTOT d

Dos capacitores en serie:

21TOT d

——————————————————————————————————————————————— —279—

Ejemplo 35.- Capacitancia por unidad de longitud de guía coaxial.

D y da son paralelos:

D(2πrz) = λz

——————————————————————————————————————————————— —280—

rrD ˆr2

ˆrz2z

)r(πλ

Campo eléctrico:

<<επ

bra para ˆr2

br para 0)r(

Diferencia de potencial:

λ−=•−=−=∆ ∫∫

d)r()b(V)a(VV rE

——————————————————————————————————————————————— —281—

επλ

λ−=∆

)rln(2

Capacitancia por unidad de longitud:

( )a/bln2

'Cεπ

=∆λ

Guía típica: radio interior a=0.4mm, radio exterior 2.3mm, ke=2.26:

C' =2πkeεoln b / a( )=

2π(2.26)(8.85X10−12 F / m)εo

ln2.30.4

= 7.184X10−11F/ m = 71.84 pF / m

——————————————————————————————————————————————— —282—

Para un capacitor arbitrario —dos conductores separados por un material de permitividad ε— la capacitancia se encuentra de:

∫∫−

•ε=

——————————————————————————————————————————————— —283—

Efectos de borde:

0d ≠•∫ lE

0≠×∇ E

——————————————————————————————————————————————— —284—

0d =•∫ lE

0=×∇ E

——————————————————————————————————————————————— —285—

( ) EqEEqFFFTOT ∆=−=−= −+−+

( )ESE ∇•=∆

( ) ( ) ( )EpESESEF ∇•=∇•=∇•=∆= qqq

∫ τ= dPp ( )∫ ∇•= EPF

——————————————————————————————————————————————— —286—

Fuerza por unidad de volumen:

( )EPf ∇•= Para dieléctrico LIH:

( ) ( )EEEEf ∇•χε=∇•χε= eoeo Usando:

( ) ( ) ( ) ( )EEEEEEEE ∇•−×∇×−×∇×−∇=∇• 2E

( ) 2E21

∇=∇• EE

eo E21

∇χε=f

——————————————————————————————————————————————— —287—

Ejemplo 36.- Tablilla de material dieléctrico está parcialmente dentro de las placas de un capacitor.

y=0 y=yo

∂∂

∫ ∂∂

χε= jF ˆdxdydzEy2

——————————————————————————————————————————————— —288—

∫ ∫

∂∂

χε= jF ˆdxdzdyEy2

[ ]∫ −χε= jF ˆdxdz)0(E)y(E21 2

E(yo) ˜ 0 2

)0(E =

jjF ˆVdW

21ˆdxdz

eo χε−=−χε= ∫∫

Principio de operación de micrófono electret

——————————————————————————————————————————————— —289—

Electricidad en la atmosfera:

ionosfera ∼ conductor

400,000V

Tierra 50-400km

I∼1,800A

(capacitor esférico)

——————————————————————————————————————————————— —290—

Tormentas eléctricas:

∆V∼100,000,000V∼2km

E1∼50,000V/m

E2>50,000V/m

——————————————————————————————————————————————— —291—

Pararrayos:

I∼20,000A

——————————————————————————————————————————————— —292—

Energía y trabajo:

τρ= ∫ dV21

ρ=•∇ D ⇒ τ•∇= ∫ dV)(21

[ ] τ∇•−•∇= ∫ dVV21

τ∇•−•= ∫ ∫ VddV21

τ•+•= ∫ ∫ ddV21

W EDaD

——————————————————————————————————————————————— —293—

Trabajo:

∫ τ•= d21

Densidad de energía:

•=τ

τ•≡ ∫

→τ 21

Energía almacenada en un capacitor:

——————————————————————————————————————————————— —294—

dC = ⇒ VdCdQ =

22 CV21

W ==ττ

=τρ= ∫∫∫

——————————————————————————————————————————————— —295—

Condiciones de frontera para D y E: En el espacio libre:

=•∇ E 0=×∇ E

En medio dieléctricos:

ρ=•∇ D

( ) =×∇+ε×∇=+ε×∇=×∇ PEPED oo PPE ×∇=×∇+×∇εo

En general: 0≠×∇ P y 0≠×∇ D

——————————————————————————————————————————————— —296—

Componentes tangenciales:

=•+•=• ∫∫∫ lDlDlD 1 ddd 2

( )t1t221 DDlcoslDcoslD −=β+α−

——————————————————————————————————————————————— —297—

Las componentes tangenciales de D son discontinuas:

t1t2 DD ≠ Las componentes tangenciales de E son siempre continuas:

t2t1 EE = Componentes normales:

=•+•==• ∫∫∫ 211 aDaDaD ddQd 2enc

( ) ∫∫ σ=− dadann 12 DD

——————————————————————————————————————————————— —298—

Si σ ≠ 0, las componentes normales de D son discontinuas:

σ=− n1n2 DD

Si σ=0, las componentes normales son continuas:

n2n1 DD =

Si los medios son LIH:

σ=ε−ε n11n22 EE Las componentes normales de E son siempre discontinuas. Para σ=0:

n22n11 EE ε=ε ⇒ n21

2n1 EE

——————————————————————————————————————————————— —299—

En términos de la derivada normal del potencial:

σ−=

∂∂

ε−∂∂

εentrecara

Vn 2211

( ) 0ˆ =−× 12 EEn

( ) σ=−• 12 DDn ♦Las componentes tangenciales de E son siempre

continuas. ♦Las componentes normales de D son discontinuas

si σ ≠ 0.

——————————————————————————————————————————————— —300—

Ecuación de Laplace:

Ejemplo 37.- Esfera dieléctrica LIH, radio R en campo eléctrico uniforme; kE ˆEo= (ver Ejemplo 23).

Condiciones de frontera: 1) V(r→∞) = -Eorcosθ 2) VINT(r=R) = VEXT(r=R) 3) DnINT = DnEXT

∑∞

=+ θ+θ−=θ

oEXT )(cosPrB

cosrE),r(V

∑∞

θ=θ0n

nINT )(cosPrC),r(V

——————————————————————————————————————————————— —301—

De 2) (continuidad del potencial):

=+θ+θ+ ...)(cosPRCcosRCC 22

...)(cosPRB

cosrE 232

o +θ+θ++θ−

De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):

Vr EXTEXTINTINT

=∂∂

∂∂

εEXT=εo εINT=ε ke=ε/εo

——————————————————————————————————————————————— —302—

k EXTINTe

=∂∂

∂∂

( ) =+θ+θ ...)(cosRPC2cosCk 221e

...)(cosPRB3

cosRB2

cosE 242

o +θ−θ−−θ−

C oo = 2

RERC +−=

RC = 2o

2ECk −−= 42

3RCk2 −=

——————————————————————————————————————————————— —303—

0Co = 0Bo =

−=2k

22e B3Bk2 −= ⇒ 22 C0B == Cn = Bn = 0 para n ≠ 1

−θ−=θ2k1k

1cosrE),r(Ve

θ−=θ2k

3cosrE),r(V

——————————————————————————————————————————————— —304—

θ−=θ=θ2k

3cosRE),R(V),R(V

eoEXTINT

Cambio de variable: z=rcosθ

−=2k

3zE)z(V

Campo eléctrico:

+θ=θ rE ˆ2k1k

21cosE),r(e

−θ θ2k1k

——————————————————————————————————————————————— —305—

[ ]θsenˆcos2k

3E),r(

eoINT θ−θ

=θ rE

kE ˆ2k

Evaluados en la superficie (r=R):

[ ]θsenˆcosk2k

E3),R( e

oEXT θ−θ

+=θ rE

[ ]θsenˆcos2k

E3),R(

oINT θ−θ

+=θ rE

Componentes: l Normales (radiales) en la superficie: discontinuas l Tangenciales (polares): continuas

——————————————————————————————————————————————— —306—

Polarización:

( ) kkEP ˆ2k

3E1kˆ

oeoINTeo

−ε=

χε=χε=

kP ˆ2k1k

¡Uniforme!

Densidades de carga de polarización:

0p =•−∇=ρ P

(además, no hay carga libre y es LIH)

——————————————————————————————————————————————— —307—

Rrˆˆ

•=•=σ rkrPnP

θsenˆcosˆ θ−θ= rk

ˆˆsenˆcos2k1k

=•θ−θ

ε=θσ rr θ

θσ=θ

ε=θσ coscos2k1k

E3)( poe

ε=σ2k1k

——————————————————————————————————————————————— —308—

Ecuación de Poisson: Fuentes del campo eléctrico: l Cargas libres l Cargas de polarización

ρ+ρ=•∇ E y V−∇=E

( )P•∇−ρε

ρ+ρ−=∇

Para LIH:

−=•−∇=ρ

——————————————————————————————————————————————— —309—

−+ερ

−=∇e

oeo k1

−=∇ V2

Cálculos en un medio LIH: isomórficos a los del

espacio libre

εo ⇒ ε

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