teoría electromagnética murphy ... · 2017. 8. 23. · materiales con gran cantidad de portadores...

Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————

——————————————————————————————————————————————— —231—

CAPÍTULO 4 EL CAMPO ELÉCTRICO EN MATERIALES DIELÉCTRICOS

Materia: Asociación de partículas cargadas Núcleos: carga positiva Nubes de electrones: carga negativa Propiedades de la materia: fase (sólido, líquido, gas), dureza, aspereza, color, reflectividad, transparencia, opacidad, capacidad calorífica, etc., etc., son consecuencia de fuerzas electromagnéticas entre sus constituyentes. Materiales de acuerdo a propiedades eléctricas:

l conductores l semiconductores l dieléctricos


——————————————————————————————————————————————— —232—

Conductores: Materiales con gran cantidad de portadores libres:

≅ 1022 portadores / cm3 Semiconductores: Materiales con una cantidad moderada, pero controlable, de portadores libres:

106 ≅ 1020 portadores / cm3 Dieléctricos (aislantes): Materiales con muy pocos portadores libres:

< 106 portadores / cm3


——————————————————————————————————————————————— —233—

Los sólidos pueden ser: l cristalinos l policristalinos l amorfos

Campo eléctrico en un material: Resultante de un campo eléctrico “externo” y el campo eléctrico generado por la distribución de cargas en el material.

La interacción de un campo eléctrico con la materia dependerá del tipo de material

Un material dieléctrico se puede representar como

un conjunto de dipolos eléctricos (Polarización: Momento dipolar por unidad de volumen).


——————————————————————————————————————————————— —234—

El momento dipolar eléctrico: Dipolo puntual (Ejemplo 4):

( ) 3o

3o y4

ˆy4

aq2y

επ−=

επ−=

pkE

p=2aq = momento dipolar

(C.m)

Se puede definir el momento dipolar eléctrico para cualquier distribución de carga; i.e., cualquier

distribución de carga se puede representar por un dipolo eléctrico


——————————————————————————————————————————————— —235—

F+

F-

E

+q

p

-q F+=+qE; F-=-qE; ⇒ FNETA=0


——————————————————————————————————————————————— —236—

Torque:

N = S X F Carga positiva:

( ) ( ) ijkN âqEˆqEâ =×−=+ Carga negativa:

( ) ( ) ijkN âqEˆqEâ =−×=− Torque total: Dipolo puntual: iNNN âqE2=+= −+ En general: N = p × E


——————————————————————————————————————————————— —237—

Momento dipolar de una distribución arbitraria:

dτ

ξ

θ

z

y

x

r

ρrmax

ro

∫ τθρεπ

= dcosrr1

41

)r(V 2oo

odip

rr •=θ oˆcosr


——————————————————————————————————————————————— —238—

∫ τρ•επ

= drˆ

41

)r(V 2o

o

oodip r

r

Momento dipolar de la distribución:

p = rρdτ∫

p = rσda∫

p = rλdl∫

pr

•επ

= 2o

diprˆ

41

)r(V


——————————————————————————————————————————————— —239—

Campo eléctrico de un dipolo:

Vdip (r,θ) =

14πεo

pcosθ

r2

θr4

cospr1

ˆr4

cospr

),r(V),r( 2o

2o

dipdip

επθ

∂θ∂

−

επθ

∂∂

−=θ−∇=θ rE

[ ]θsenˆcos2r4

p),r( 3

odip θ+θ

επ=θ rE


——————————————————————————————————————————————— —240—


——————————————————————————————————————————————— —241—

Polarizabilidad y polarización: Material dieléctrico: Conjunto de dipolos eléctricos Polarización: Alineación parcial de los dipolos en un campo eléctrico. La alineación es función de campo y la estructura del material:

Ep αt=

ααααααααα

=

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

EE

E

pp

p

t α Tensor de polarizabilidad


——————————————————————————————————————————————— —242—

Para materiales lineales e isotrópicos y campos eléctricos pequeños:

p=αE

α ⇒ polarizabilidad el momento dipolar inducido es en la misma dirección

que el campo eléctrico En general, si EEXT=0, el momento dipolar inducido es cero; el material no presenta polarización. Materiales con momentos dipolares permanentes: agua, algunos iónicos, ferroeléctricos (electrets).


——————————————————————————————————————————————— —243—

Polarización: Momento dipolar por unidad de volumen:

P =

lim∆τ→0

p∆τ

∫ τξ•

επ=•

ξεπ= d

ˆ

41ˆ

41

V 2o

2o

dipξξ P

p

Necesario conocer P para integrar Alternativa: Transformar la integral para expresarla en términos de “densidades de carga de polarización”


——————————————————————————————————————————————— —244—

Usando:

2

ˆ1

ξ=

ξ∇

ξ

∇ actuando sobre coordenadas de integración:

∫ τ

ξ∇•

επ= d

14

1V

odip P

( )

τ•∇

ξ−τ

ξ•∇

επ= ∫∫ d

1d

14

1V

odip PP

( )

τ•∇

ξ−•

ξεπ= ∫∫ d

1d

14

1V

odip PaP


——————————————————————————————————————————————— —245—

∫∫ ξ

σ

επ=•

ξεπ

da4

1d

14

1 p

ooaP

Densidad superficial de carga de polarización:

nP ˆp •≡σ

( ) ∫∫ τξ

ρ

επ=τ•∇

ξεπ− d

41

d1

41 p

ooP

Densidad volumétrica de carga de polarización:

ρp ≡ −∇ • P

Vdip =

14πεo

σp

ξda∫ +

ρp

ξdτ∫


——————————————————————————————————————————————— —246—

Ejemplo 30.- Campo eléctrico producido por esfera de radio R polarizada uniformemente:

z

y

x

n=r^ ^

P

R

r

θ

θ=•=•=θσ cosPˆˆPˆ)(p rknP


——————————————————————————————————————————————— —247—

Condiciones de frontera:

1) V(r → ∞, θ) → 0 2) VINT(r=R, θ) = VEXT(r=R, θ)

3) )(1

Rr),r(V

r),r(V

r po

INTEXT θσε

−==

θ

∂∂

−θ∂∂

Forma del potencial:

∑∞

=

θ=θ0n

nn

nINT )(cosPrA),r(V

∑∞

=+ θ=θ

0n

n1nn

EXT )(cosPrB

),r(V


——————————————————————————————————————————————— —248—

De 2) (continuidad del potencial):

∑∑∞

=+

∞

=

θ=θ0n

n1nn

0n

nn

n )(cosPRB

)(cosPRA

1nnn

nRB

RA += ⇒ 1n2nn RAB +=

∑∞

=+

+θ=θ

0n

n1n

1n2n

EXT )(cosPrRA

),r(V


——————————————————————————————————————————————— —249—

De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):

θε

−=θσε

−=θ+−= ∑∞

=

− cosP

)(1

)(cosPRA)1n2(o

po

n

0n

1nn

θε

−=θ− cosP

cosA3o

1

o

1 3P

Aε

= 3

o1 R

3P

Bε

=

Potencial:

θε

=θ cosr3P

),r(Vo

INT θε

=θ cosrR

3P

),r(V 2

3

oEXT


——————————————————————————————————————————————— —250—

Campo eléctrico:

θ3cosPr

r1

ˆ3cosPr

r),r(V

ooINTINT

ε

θ∂θ∂

−

ε

θ∂∂

−=θ−∇= rE

θsen3P

ˆcos3P

)(oo

INT

θ

ε+

θ

ε−=θ rE

Cambio de variable: ⇒ z = rcosθ:

VINT(z) =

P3εo

z

kE ˆz3P

z)z(V)z(

oINTINT

ε∂

∂−=−∇=

kE ˆ3P

)z(o

INT ε−=


——————————————————————————————————————————————— —251—

[ ]θsenˆcos2r3

PR),r( 3

o

3

EXT θ+θε

=θ rE

¡Campo Dipolar!

[ ] [ ]θθ ˆsenˆcos2r4

pˆsenˆcos2r3

PR3

o3

o

3θ+θ

επ=θ+θ

εrr

Momento dipolar de la esfera:

τ=

π= PP

3R4

p3


——————————————————————————————————————————————— —252—

Densidades superficial y volumétrica de carga de

polarización ⇒ realidad física

+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-

A

S

P

Material polarizado: cadena de dipolos


——————————————————————————————————————————————— —253—

( ) qSPASPp ==τ∆=

PA = q

Aqlim

ˆA

PAlim0A0A ∆

=•=∆ →∆→∆

nP

nP ˆp •=σ

( )∫∫∫ τ•∇−=•−=τρ dddp PaP

( )P•∇−=ρp


——————————————————————————————————————————————— —254—

El campo promedio en un dieléctrico:

Promedio temporal y espacial del campo eléctrico microscópico dentro del dieléctrico

Resultante de un campo externo y el producido por la polarización del material. En equilibrio (estado estacionario):

ξ

σ+τ

ξ

ρ

πε= ∫ ∫ ξξ ˆdaˆd

41

2p

2p

oE

El campo interno en el dieléctrico es menor al campo eléctrico externo, pero nunca llega a ser cero, como en

un medio conductor.


——————————————————————————————————————————————— —255—

La ley de Gauss:

ρ' = ρ + ρp

o

p

o

'

ε

ρ+ρ=

ερ

=•∇ E

P•−∇=ρp

oo ε•∇

−ερ

=•∇P

E

ooo ερ

=

ε

+•∇=ε•∇

+•∇P

EP

E

( ) ρ=+ε•∇ PEo (ρ = densidad de carga libre)


——————————————————————————————————————————————— —256—

Vector desplazamiento; D.

PED +ε= o

ρ=•∇ D

encQd =•∫ aD

1) D normal o tangencial a la superficie en cualquier

punto. Debemos conocer la dirección de D a priori. 2) D debe ser constante en la superficie gaussiana

usada.


——————————————————————————————————————————————— —257—

Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH): Polarización en general:

+++++= kiikjiijkkjjiii EEbEEbEaEaEaP ...EEEcEEb kjiijkkjjk ++

Si P sólo depende de la primera potencia del campo:

kkjjiii EEEP α+α+α=

ααααααααα

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

EE

E

PP

P

El medio es lineal


——————————————————————————————————————————————— —258—

Si el medio se ve igual en cualquier dirección:

ii EP α=

αα

α=

z

y

x

z

y

x

EE

E

0000

00

PP

P

El medio es isotrópico

Si las propiedades eléctricas del medio no dependen de la posición: )(f r≠α )z,y,x(f≠α

El medio es homogéneo


——————————————————————————————————————————————— —259—

Medios lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH):

l Gases diluidos, l algunos líquidos, l cristales cúbicos simples, l sólidos amorfos

Para dieléctricos LIH:

EP eoχε=

χe = susceptibilidad eléctrica del medio (para el espacio libre, χeo=0)

D = εoE + P = εoE + εoχeE = εo(1 + χe)E

D = εE


——————————————————————————————————————————————— —260—

Permitividad dieléctrica del material:

)1( eo χ+ε≡ε Para medios LIH, ε no es función de posición, pero sí

de frecuencia Permitividad relativa (constante dieléctrica):

oee 1k

εε

=χ+=

Material ke Material ke

Aire 1.00059 Agua de mar 80.4 Vidrio 4-7 Mica 5.4 Polietileno 2.26 Porcelana 6-8 Silicio 11.9 SiO2 3.9


——————————————————————————————————————————————— —261—

Densidad volumétrica de carga de polarización y libre:

=

ε•∇χε−=χε•−∇=•−∇=ρ

DEP eoeop )(

ρ

−−=ρ

εχε

−=•∇εχε

−e

eeoeok

1kD

ρ

−=ρ

e

ep k

k1

En un medio LIH, la densidad volumétrica de carga de polarización está determinada por la

densidad volumétrica de carga libre


——————————————————————————————————————————————— —262—

Ejemplo 31.- Carga puntual en el origen rodeada por una esfera de material dieléctrico LIH de radio R.

z

y

x

R

q

ε


——————————————————————————————————————————————— —263—

Adentro del dieléctrico (r < R):

qQd enc ==•∫ aD

( ) qr4Dd 2 =π=•∫ aD

rD ˆr4

q2π

=

rD

E ˆr4

q2επ

=ε

=


——————————————————————————————————————————————— —264—

rDDP ˆr4

qk

1kk

1k2

e

e

e

eeo

π

−=

−=

εχε

=

0p =•−∇=ρ P

(no hay carga libre en el dieléctrico) Densidad superficial de carga de polarización: En las dos superficies del dieléctrico; rodeando la carga puntual y en r=R:

2e

ep

R4q

k1k

RrPˆ

π

−=

==•=σ nP

qk

1kda

R4q

k1k

daQe

e2

e

eppR

−=

π

−=σ= ∫∫


——————————————————————————————————————————————— —265—

qk

1kQQ

e

epRpC

−−=−=

eee

epCnetaC k

qkq

qqqk

1kqQqQ =+−=

−−=+=

Afuera (r = R):

rD

E ˆr4

q2

ooEXT

επ=

ε=

0=P

Cálculos en medios LIH: idénticos a los del

espacio libre. Resultado correcto si: εo ⇒ ε


——————————————————————————————————————————————— —266—

Capacitores:

⇒ Almacenan energía en el campo eléctrico

⇒ Aplicaciones en electrónica en DC y AC

⇒ Diversos tipos y geometrías:

l integrados l cerámica l mica l placas paralelas (variable) l electrolíticos l placas paralelas; cilíndricos; esféricos

⇒ Diseñados considerando rangos de voltaje y frecuencia de operación


——————————————————————————————————————————————— —267—

Capacitor de placas paralelas:

Placa infinita, densidad uniforme de carga (Ejemplo 12):

jE ˆ2 oεσ

±=

I IIIII

(1) (2)+σ -σ

d

E=0 E=0E=+σ/εoj


——————————————————————————————————————————————— —268—

Diferencia de potencial entre las placas:

ddyˆdyˆdVo

d

0oo ε

σ=

εσ

=•εσ

=•=∆ ∫∫ ∫ jjlE

ε

=ε

=∆A

dQd

)A/Q(V

oo

QC1

V ∆=∆ ⇒ VQ

C∆∆

=

FaradNmC

JC

CJC

VC

C22

≡⇒⇒⇒⇒


——————————————————————————————————————————————— —269—

Sub-múltiplos comunes: Atto Farads (aF; 10-18 F) parásitas en CI Femto Farads (fF; 10-15 F) parásitas en CI Pico Farads (pF; 10-12 F) CI Nano Farads (nF; 10-9 F) circuitos discretos Micro Farads (µF; 10-6 F) Mili Farads (mF; 10-3 F) fuentes de alimentación Capacitor de placas paralelas:

dA

C oε=

Capacitancia: función de la geometría


——————————————————————————————————————————————— —270—

Dieléctricos en capacitores: l Aumento de la capacitancia l Soporte mecánico l Mantienen separación constante l Voltajes de ruptura mayores para algunos medios Para dieléctrico LIH:

dA

C ε=

eo

o

e k

dAdA

CC

=εε

=ε

ε= ⇒ CkC ee =


——————————————————————————————————————————————— —271—

Ejemplo 32.- Reducción en área obtenida al hacer un capacitor de placas paralelas con mica entre las placas, a la de un capacitor similar, con el mismo valor de capacitancia, pero con el espacio libre entre las placas.

Cd

Ad

AC 2

o1

e =ε=ε=

eo1

2 kAA

=εε

=

Con mica: reducción de área en un 81.5%.


——————————————————————————————————————————————— —272—

Ejemplo 33.- Capacitor MOS.

Polisilicio

Substrato

Óxido de campo

Aluminio

Dieléctrico de compuerta

Compuerta: G


——————————————————————————————————————————————— —273—

Capacitancia por unidad de área (C'=C/A):

m10X0.1m/F10X4531.3

Å1009.3

t'C 8

11o

ox

ox−

−=

ε=

ε=

2323 m/pF10X4531.3m/F10X4531.3'C µ== −−

Para C = 100pF área: 170µm X 170µm

Tecnología CMOS actual:

110Å = tox = 35Å


——————————————————————————————————————————————— —274—

Ejemplo 34.- Capacitores en serie.

d

ε1

ε2

σp1s

σp1i

σp2s

σp2i c

a

b

Vector desplazamiento:

∫ ∫∫ σ=−=• daDdadaD

kD ˆσ−=


——————————————————————————————————————————————— —275—

Campo eléctrico:

kE1 ˆ1ε

σ−= kE2 ˆ

2εσ

−=

Polarización:

kkEP 11ˆ

k1kˆ

1e

1e

11eo1eo σ

−−=

εσ

χε−=χε=

kkEP 22ˆ

k1kˆ

2e

2e

22eo2eo σ

−−=

εσ

χε−=χε=

Caída de potencial:

2d

dV1

11 εσ

=•=∆ ∫ lE 2d

dV2

22 εσ

=•=∆ ∫ lE


——————————————————————————————————————————————— —276—

ε

+ε

σ=∆+∆=

2121o

112d

VVV

Densidades de carga: Entrecara “a”:

σ

−−=−=•=σ=σ

1e

1e1ss1ppa k

1kPˆ11 nP

Entrecara “b”:

σ

−==•=σ

1e

1e1ii1p k

1kPˆ 11 nP

σ

−−=−=•=σ

2e

2e2s2p k

1kPˆ 2s2 nP

σ

−=σ

−−σ

−=σ+σ=σ

2e1e2e

2e

1e

1es2pi1ppb k

1k1

k1k

k1k


——————————————————————————————————————————————— —277—

Entrecara “c”:

σ

−==•=σ=σ

2e

2e2s2i2ppc k

1kPˆ 1nP

Carga neta: Entrecara “a”:

1e1e

1epaa kk

1k σ=σ

−−σ=σ+σ=σ

Entrecara “b”:

σ

−=σ

2e1eb k

1k1

Entrecara “c”:

2e2e

2epcc kk

1k σ−=σ

−+σ−=σ+σ=σ


——————————————————————————————————————————————— —278—

Capacitancia:

1

1

1

11 d

A2

2dA

VQ

C ε=

ε

σσ

=∆

= 2

2

2

22 d

A2

2dA

VQ

C ε=

ε

σσ

=∆

=

ε+ε

εε=

ε

+ε

σσ==

21

21

21

oTOT d

A211

2d

AVQC

Dos capacitores en serie:

ε+ε

εε=

ε+

ε

ε

ε

=+

=21

21

21

21

21

21TOT d

A2

dA2

dA2

dA2

dA2

CCCC

C


——————————————————————————————————————————————— —279—

Ejemplo 35.- Capacitancia por unidad de longitud de guía coaxial.

a

b

r

z

ke

D y da son paralelos:

D(2πrz) = λz


——————————————————————————————————————————————— —280—

rrD ˆr2

ˆrz2z

)r(πλ

=πλ

=

Campo eléctrico:

<<επ

λ

≥=

bra para ˆr2

br para 0)r(

r

E

Diferencia de potencial:

=επ

λ−=•−=−=∆ ∫∫

a

b

a

b

drr2

d)r()b(V)a(VV rE


——————————————————————————————————————————————— —281—

επλ

=επ

λ−=∆

ab

ln2

b

a

)rln(2

V

Capacitancia por unidad de longitud:

( )a/bln2

VlC

'Cεπ

=∆λ

==

Guía típica: radio interior a=0.4mm, radio exterior 2.3mm, ke=2.26:

C' =2πkeεoln b / a( )=

2π(2.26)(8.85X10−12 F / m)εo

ln2.30.4

= 7.184X10−11F/ m = 71.84 pF / m


——————————————————————————————————————————————— —282—

Para un capacitor arbitrario —dos conductores separados por un material de permitividad ε— la capacitancia se encuentra de:

∫∫−

+

•

•ε=

lE

aE

d

dC

ε

dl

σ


——————————————————————————————————————————————— —283—

Efectos de borde:

E

dl

0d ≠•∫ lE

0≠×∇ E


——————————————————————————————————————————————— —284—

E

dl

0d =•∫ lE

0=×∇ E


——————————————————————————————————————————————— —285—

( ) EqEEqFFFTOT ∆=−=−= −+−+

E

( )ESE ∇•=∆

( ) ( ) ( )EpESESEF ∇•=∇•=∇•=∆= qqq

∫ τ= dPp ( )∫ ∇•= EPF


——————————————————————————————————————————————— —286—

Fuerza por unidad de volumen:

( )EPf ∇•= Para dieléctrico LIH:

( ) ( )EEEEf ∇•χε=∇•χε= eoeo Usando:

( ) ( ) ( ) ( )EEEEEEEE ∇•−×∇×−×∇×−∇=∇• 2E

( ) 2E21

∇=∇• EE

2

eo E21

∇χε=f


——————————————————————————————————————————————— —287—

Ejemplo 36.- Tablilla de material dieléctrico está parcialmente dentro de las placas de un capacitor.

y=0 y=yo

s

d

jEy

E 22

∂∂

=∇

∫ ∂∂

χε= jF ˆdxdydzEy2

1 2eo


——————————————————————————————————————————————— —288—

∫ ∫

∂∂

χε= jF ˆdxdzdyEy2

1oy

0

2eo

[ ]∫ −χε= jF ˆdxdz)0(E)y(E21 2

o2

eo

E(yo) ˜ 0 2

2o2

dV

)0(E =

jjF ˆVdW

21ˆdxdz

dV

21 2

oeo

d

0

W

0

2

2o

eo χε−=−χε= ∫∫

Principio de operación de micrófono electret


——————————————————————————————————————————————— —289—

Electricidad en la atmosfera:

ionosfera ∼ conductor

400,000V

Tierra 50-400km

I∼1,800A

(capacitor esférico)


——————————————————————————————————————————————— —290—

Tormentas eléctricas:

∆V∼100,000,000V∼2km

E1∼50,000V/m

E2>50,000V/m


——————————————————————————————————————————————— —291—

Pararrayos:

I∼20,000A


——————————————————————————————————————————————— —292—

Energía y trabajo:

τρ= ∫ dV21

W

ρ=•∇ D ⇒ τ•∇= ∫ dV)(21

W D

[ ] τ∇•−•∇= ∫ dVV21

W DD

τ∇•−•= ∫ ∫ VddV21

W DaD

τ•+•= ∫ ∫ ddV21

W EDaD


——————————————————————————————————————————————— —293—

Trabajo:

∫ τ•= d21

W ED

Densidad de energía:

EDED

•=τ

τ•≡ ∫

→τ 21

d21

limu

0

Energía almacenada en un capacitor:

VQ

C =


——————————————————————————————————————————————— —294—

VdQ

dC = ⇒ VdCdQ =

τ=

τ=ρ

dVdC

ddQ

22 CV21

dCV21

dd

VdCV

21

Vd21

W ==ττ

=τρ= ∫∫∫

CQ

21

QV21

CV21

W2

2 ===


——————————————————————————————————————————————— —295—

Condiciones de frontera para D y E: En el espacio libre:

oερ

=•∇ E 0=×∇ E

En medio dieléctricos:

ρ=•∇ D

( ) =×∇+ε×∇=+ε×∇=×∇ PEPED oo PPE ×∇=×∇+×∇εo

En general: 0≠×∇ P y 0≠×∇ D


——————————————————————————————————————————————— —296—

β

α

dl

2

1D1

D2

Componentes tangenciales:

=•+•=• ∫∫∫ lDlDlD 1 ddd 2

( )t1t221 DDlcoslDcoslD −=β+α−


——————————————————————————————————————————————— —297—

Las componentes tangenciales de D son discontinuas:

t1t2 DD ≠ Las componentes tangenciales de E son siempre continuas:

t2t1 EE = Componentes normales:

=•+•==• ∫∫∫ 211 aDaDaD ddQd 2enc

( ) ∫∫ σ=− dadann 12 DD


——————————————————————————————————————————————— —298—

Si σ ≠ 0, las componentes normales de D son discontinuas:

σ=− n1n2 DD

Si σ=0, las componentes normales son continuas:

n2n1 DD =

Si los medios son LIH:

σ=ε−ε n11n22 EE Las componentes normales de E son siempre discontinuas. Para σ=0:

n22n11 EE ε=ε ⇒ n21

2n1 EE

εε

=


——————————————————————————————————————————————— —299—

En términos de la derivada normal del potencial:

σ−=

∂∂

ε−∂∂

εentrecara

Vn

Vn 2211

( ) 0ˆ =−× 12 EEn

( ) σ=−• 12 DDn ♦Las componentes tangenciales de E son siempre

continuas. ♦Las componentes normales de D son discontinuas

si σ ≠ 0.


——————————————————————————————————————————————— —300—

Ecuación de Laplace:

Ejemplo 37.- Esfera dieléctrica LIH, radio R en campo eléctrico uniforme; kE ˆEo= (ver Ejemplo 23).

Condiciones de frontera: 1) V(r→∞) = -Eorcosθ 2) VINT(r=R) = VEXT(r=R) 3) DnINT = DnEXT

∑∞

=+ θ+θ−=θ

0n

n1nn

oEXT )(cosPrB

cosrE),r(V

∑∞

=

θ=θ0n

nn

nINT )(cosPrC),r(V


——————————————————————————————————————————————— —301—

De 2) (continuidad del potencial):

=+θ+θ+ ...)(cosPRCcosRCC 22

21o

...)(cosPRB

cosRB

RB

cosrE 232

21o

o +θ+θ++θ−

De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):

RrV

rRr

Vr EXTEXTINTINT

=∂∂

ε==

∂∂

ε

εEXT=εo εINT=ε ke=ε/εo


——————————————————————————————————————————————— —302—

RrV

rRr

Vr

k EXTINTe

=∂∂

==

∂∂

( ) =+θ+θ ...)(cosRPC2cosCk 221e

...)(cosPRB3

cosRB2

RB

cosE 242

31

2o

o +θ−θ−−θ−

RB

C oo = 2

1o1

RB

RERC +−=

322

1RB

RC = 2o

RB

0 =

31

o1eRB

2ECk −−= 42

2eRB

3RCk2 −=


——————————————————————————————————————————————— —303—

0Co = 0Bo =

+

−=2k

3EC

eo1

+−

=2k1k

REBe

e3o1

22e B3Bk2 −= ⇒ 22 C0B == Cn = Bn = 0 para n ≠ 1

+−

−θ−=θ2k1k

rR

1cosrE),r(Ve

e3

3

oEXT

+

θ−=θ2k

3cosrE),r(V

eoINT


——————————————————————————————————————————————— —304—

+

θ−=θ=θ2k

3cosRE),R(V),R(V

eoEXTINT

Cambio de variable: z=rcosθ

+

−=2k

3zE)z(V

eoINT

Campo eléctrico:

−

+−

+θ=θ rE ˆ2k1k

rR

21cosE),r(e

e3

3

oEXT

+−

−θ θ2k1k

rR

1sene

e3

3


——————————————————————————————————————————————— —305—

[ ]θsenˆcos2k

3E),r(

eoINT θ−θ

+

=θ rE

kE ˆ2k

3E)z(

eoINT

+

=

Evaluados en la superficie (r=R):

[ ]θsenˆcosk2k

E3),R( e

e

oEXT θ−θ

+=θ rE

[ ]θsenˆcos2k

E3),R(

e

oINT θ−θ

+=θ rE

Componentes: l Normales (radiales) en la superficie: discontinuas l Tangenciales (polares): continuas


——————————————————————————————————————————————— —306—

Polarización:

( ) kkEP ˆ2k

3E1kˆ

2k3

Ee

oeoe

oeoINTeo

+

−ε=

+

χε=χε=

kP ˆ2k1k

E3e

eoo

+−

ε=

¡Uniforme!

Densidades de carga de polarización:

0p =•−∇=ρ P

(además, no hay carga libre y es LIH)


——————————————————————————————————————————————— —307—

Rrˆˆ

2k1k

E3Rr

ˆˆe

eoop

=•

+−

ε==

•=•=σ rkrPnP

θsenˆcosˆ θ−θ= rk

( )Rr

ˆˆsenˆcos2k1k

E3)(e

eoop

=•θ−θ

+−

ε=θσ rr θ

θσ=θ

+−

ε=θσ coscos2k1k

E3)( poe

eoop

+−

ε=σ2k1k

E3e

eoopo


——————————————————————————————————————————————— —308—

Ecuación de Poisson: Fuentes del campo eléctrico: l Cargas libres l Cargas de polarización

o

p

ε

ρ+ρ=•∇ E y V−∇=E

( )P•∇−ρε

−=

ε

ρ+ρ−=∇

oo

p2 1V

Para LIH:

ρ

−=•−∇=ρ

e

ep k

k1P


——————————————————————————————————————————————— —309—

=

−+ερ

−=

−+

ερ

−=∇e

ee

oe

e

o

2

kk1k

kk1

1V

ερ

−=

εε

ερ

−=

ερ

− o

oeo k1

ερ

−=∇ V2

Cálculos en un medio LIH: isomórficos a los del

espacio libre

εo ⇒ ε

teoría electromagnética murphy ... · 2017. 8. 23. · materiales con gran cantidad de portadores...

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