tema viii (funciones racionales)

Tema VIIIFunciones Racionales

Precálculo

Variación Directa

• Una variación directa es una relación entre dos variables x y y que puede ser escrita de la forma y = kx, donde k ≠ 0.

• En esta relación, k es la constante de variación.

• Para la ecuación y = kx, y varía directamente con x.

Escribiendo y Graficando Variación Directa

• Dado que y varía directamente con x y cuando x = 3.5, y = 14. Escribe y grafica la función de variación directa.

• Dado que y varía directamente con x y cuando x = 6, y = 27. Escribe y grafica la función de variación directa.

Resolviendo Problemas de Variación Directa

• La circunferencia de un círculo C varía directamente con el radio r y C = 7π pies cuando r = 3.5 pies. Encuentra r cuando C = 4.5π pies.

• El costo de un artículo en euros e varia directamente con el costo del artículo en dólares d, e = 3.85 euros cuando d = $5.00. Encuentra d cuando e = 10.00 euros.

Variación Conjunta

• Una variación conjunta es una relación entre tres variable que puede ser escrita de la forma y = kxz, donde k es la constante de variación.

• Para la ecuación y = kxz, y varía conjuntamente con x y z.

Resolviendo Problemas de Variación Conjunta

• El área A de un triángulo varía conjuntamente con la base b y la altura h, y A = 12m2 cuando b = 6m y h = 4m. Encuentra b cuando A = 36m2 y h = 8m.

• El volumen V de un cono varía conjuntamente con el área de la base B y la altura h, y V = 12π pies3 cuando B = 9π pies2 y h = 4 pies. Encuentra B cuando V = 24π pies3 y h = 9 pies.

Variación Inversa

• Una variación inversa es una relación entre dos variables x y y que puede ser escrita de la forma y =k/x, donde k ≠ 0.

• Para la ecuación y =k/x, y varía inversamente con x.

Escribiendo y Graficando Variación Inversa

• Dado que y varía inversamente con x, y y = 3 cuando x = 8. Escribe y grafica la función de variación inversa.

• Dado que y varía inversamente con x, y y = 4 cuando x = 5. Escribe y grafica la función de variación inversa.

Aplicaciones

• El tiempo t que le toma a un grupo de voluntarios construir una casa varía inversamente con el número de voluntarios v. Si 20 voluntarios pueden construir una casa en 62.5 horas, ¿cuántos voluntarios se necesitarán para construir una casa en 50 horas?

Aplicaciones

• El tiempo necesario para completar cierta carrera varía inversamente con la velocidad s promedio del corredor. Si un corredor con una velocidad promedio de 8.82 mi/h completa la carrera en 2.97 h, ¿cuál es la velocidad promedio de un corredor que completa la carrera en 3.5 h?

Variación Combinada

• Una variación combinada es una relación que contiene variación directa e inversa.

• Las cantidades que varían directamente aparecen en el numerador y las que varían inversamente aparecen en el denominador.

Aplicación a Química

• El volumen V de un gas varia inversamente con la presión P y directamente con la temperatura T. Cierto gas tiene un volumen de 10 litros (L), una temperatura de 300 kelvins (K) y una presión de 1.5 atmósferas (atm). Si el gas está comprimido a un volumen de 7.5 L y es calentado a una temperatura de 350 K, ¿cuál sería la nueva presión?

Aplicación a Física

• El cambio en temperatura T de un cable de aluminio varía inversamente con su masa m y directamente con la cantidad de energía calórica E transferida. La temperatura de un cable de aluminio con una masa de 0.1 kg aumenta a 5°C cuando se le aplican 450 julios (J) de energía calórica. ¿Cuánta energía calórica debe ser transferida a un cable de aluminio con una masa de 0.2 kg para aumentar su temperatura a 20°C?

Expresiones Racionales

• Una expresión racional es un cociente de dos polinomios.

• Ejemplos:

2

2

4 10 3

2 6 7

x x

x x x

Simplificando Expresiones Racionales

• Simplifica. Identifica cualquier valor de x para los cuales la función esté indefinida.

7

4

31.

2

x

x

2

2

2 32.

5 4

x x

x x

2

2

24.

2 3

x x

x x

8

4

103.

6

x

x

Simplificando Factorizando -1

• Simplifica. Identifica cualquier valor de x para los cuales la función esté indefinida.

2

2

21.

2

x x

x x

2

2

42.

2 8

x x

x x

Multiplicando Expresiones Racionales

1. Factoriza completamente el numerador y el denominador.

2. Divide los factores en común del denominador y el numerador.

3. Multiplica los numeradores. Luego multiplica los denominadores.

4. Asegúrate que el numerador y el denominador no tengan factores en común diferentes de 1.

Multiplicando Expresiones Racionales

• Multiplica. Asume que todas las expresiones están definidas.

4 5 2

2 3 2

2 151.

3 8

x y x

x x y 2

2 42.

3 12 4

x x

x x

5 3 3 4

3 7 2 5

3 103.

2 9

x y x y

x y x y

2

3 54.

4 20 9

x x

x x

Dividiendo Expresiones Racionales

• Divide. Asume que todas las expresiones están definidas.

3

2 5

4 161.

9 9

x

x y y

5 3 5 4 3

2 2

4 22.

2 1

x x x x x

x x x

4

2 2 5

5 153.

8 8

x

x y y

4 2 4 3 2

2 2

9 2 84.

4 3 16

x x x x x

x x x

Resolviendo Ecuaciones Racionales Simples

• Resuelve. Coteja tu solución.2 9

73

x

x

2 3 45

1

x x

x

2 2514

5

x

x

2 3 107

2

x x

x

Sumando y Restando Expresiones Racionales

• Suma o resta. Identifica los valores para los cuales la expresión no está definida.

2

2

2

3 4 2 51)

3 3

1 42)

3 2

13)

3 2 1

2 16 44)

4 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

2

2

46) 1

1

17)

1

x

xx

x

x

xx

x

1 1

28) 4

2

x xx

x

Funciones Racionales

• Una función racionales una función cuya regla puede ser escrita como una razón de dos polinomios.

• Su gráfica se conoce como una hipérbola

1

Su "parent function" es .f xx

Asíntota vertical x = 0

Asíntota horizontal y = 0

Funciones Racionales

• Una función discontinua es una función cuya gráfica tiene uno o más saltos, interrupciones u hoyos.– Ej. Funciones racionales

• Una función continua es una función cuya gráfica es una línea recta o curva continua, sin espacios ni interrupciones.– Ej. Funciones lineales, cuadráticas, polinomiales,

exponenciales, etc.

Ceros y Asíntotas Verticales

Si , donde y son funciones polinomiales en forma estándar

sin factores en común, diferente de 1, entonces la función tiene:

ceros en cada valor real de para el cual 0.

una asíntota

p xf x p q

q x

f

x p x

vertical en cada valor real de para el cual 0.x q x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales

• Identifica los ceros y asíntotas verticales de la siguiente función. Luego grafícala.

2 2 3

2

x xf x

x

Serie 1

x=2

Serie 2

f(x)=(x^2-2x-3)/(x-2)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales

• Identifica los ceros y asíntotas verticales de la siguiente función. Luego grafícala.

2 7 6

3

x xf x

x

Serie 1

x=-3

f(x)=(x^2+7x+6)/(x+3)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales

• Identifica los ceros y asíntotas verticales de la siguiente función. Luego grafícala.

2 3 4

3

x xf x

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8-7-6

-5-4-3

-2-1

12

345

678

9

x

y

Asíntotas Horizontales

Sea , donde y son funciones polinomiales en forma

estándar sin factores en común, diferente de 1. La gráfica de tiene,

como máximo, una asíntota horizontal.

Si el grado de grado de , n

p xf x p q

q x

f

p q

o hay asíntota horizontal.

Si el grado de grado de , la asíntota horizontal es la recta 0.

Si el grado de grado de , la asíntota horizontal está dada por la

coeficiente lider de recta

p q y

p q

y

.coeficiente lider de

p

q

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2 6x x

f xx

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2

1xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2

2

2 2

4

xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2 3 4x x

f xx

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

2

2

1

xf x

x

Graficando Funciones Racionales con Asíntotas Verticales y Horizontales

• Identifica los ceros y asíntotas de cada función. Luego grafica.

4 12

1

xf x

x

Ecuación Racional

• Una ecuación racional es una ecuación que contiene una o más expresiones racionales.

Resolviendo Ecuaciones Racionales

8Resuelve la ecuación 6x

x

Resolviendo Ecuaciones Racionales

10 4Resuelve la ecuación 2

3 x

Resolviendo Ecuaciones Racionales

6 5 7Resuelve la ecuación

4 4x

Resolviendo Ecuaciones Racionales

18Resuelve la ecuación 3x

x

Resolviendo Ecuaciones Racionales

• Resuelve cada ecuación.3 2 3

3 3

x x

x x

2 9 5

7 2 7

x x

x x

5 3 4

2 2

x x

x x

2 5 11

8 2 8

x x

x x