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Funcionesracionales

El estudiante:

• Resolveráproblemassobrefunciones racionales, teó-ricos o prácticos, median-te el análisis del dominio,el rango y la determina-ción de posibles asíntotasverticales, horizontales yoblicuas, en un ambienteescolarquefavorezcalare-flexióndeanálisisyrazona-miento práctico, así comoel desarrollo de actitudesderesponsabilidad,coope-ración, iniciativa y colabo-raciónhaciaelentornoenelquesedesenvuelve.

INTRODUCCIÓN

En las unidades anteriores aprendiste cómo identificar los diferentes tiposdefunciones,susclasificaciones,sudominio,etc.Enestaunidadconoceráslasprin-cipalescaracterísticasdelafunciónracionaltalescomosudominio,susasínto-tasylavariacióninversa,queessuformamássencillaytienevariasaplicacionesenproblemascotidianos;tambiénconocerássusaplicacionesenlacienciayenlatecnología.

Competencia genérica a desarrollar:Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintoscontextosatravésdelautilizacióndemedios,códigosyherramientasapropiados.

Competencias disciplinares a desarrollar:• Propone,formula,defineyresuelvediferen-

testiposdeproblemasmatemáticosbuscan-dodiferentesenfoques.

• Proponeexplicacionesdelosresultadosob-tenidosmedianteprocedimientosmatemáti-cosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacionesreales.

• Argumenta la soluciónobtenidadeunpro-blemaconmétodosnuméricos,gráficos,ana-líticos y variacionales, mediante el lenguajeverbalymatemático.

• Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

117FUNCIONES RACIONALES

NOMBREDELALUMNO:

GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:

Contestaloquesetepide.

1. Dividelassiguientescantidades:

a)82 b)

183

c) 05 d) 7

0

2. Explicabrevementeelresultadodelincisoddelreactivoanterior.

3. Siunapersonahaceunpardezapatosen1día,¿cuántotiempotardaránenhacerelmis-mopardezapatosdospersonas?

4. Sitedigoqueelpesodeunapersonavaríaenproporcióndirectaconsumasa,¿quésig-nificaesteenunciado?

5. Sitedigolapresiónvaríaenproporcióninversaaláreaenqueseaplicalafuerza,¿quénosindicaesteenunciado?

118 UNIDAD III

Leonhard Paul Euler

Consideradoelmásgrandede los matemáticos del si-gloxviii,nacióel15deabrilde1707enBasilea,Suizaymurió en SanPetersburgo,Rusia el 18 de septiembrede 1783. Como matemá-tico, realizó aportacionesconsusestudiossobrecál-culo,teoríadegráficas,aná-lisismatemático, la nociónde función matemática, ycomofísicoenelcampodelamecánica,ópticayastro-nomía.Alaedadde13añosingre-sóalauniversidaddeBasel,progresando rápidamen-teeneláreadefísicayma-temáticas. En parte, estosavancessedierongraciasalas lecciones privadas quetomóconeldestacadoma-temáticoJohannBernoulli.Eulerfueuncientíficotre-mendamente productivo:elíndicedesusobrascom-prendemásde800trabajosde investigación, publica-dos principalmente en lasrevistas de las más presti-giosasacademiascientíficasentodaEuropa.Una de sus aportacionesmás importantes fue la in-troduccióndelconceptodefunción.Realizó destacadas contri-buciones en la notaciónmatemática,talescomo:

LosalumnosdeajedrezdelaEscueladeBachilleresVespertina“Veracruz”deseanconstruiruntablerodeajedrezgigante,elcualocuparáunáreade256m2.Paraelloseformandosequi-posparapintarlo:eldelos“lentos”yeldelos“rápidos”.Elequipodelos“rápidos”,quevaapintarloscuadrosblancos,constadecuatrointegrantesyeldelos“lentos”quepintaráloscua-drosnegros,constade6integrantes.Enpromedio,cadaalumno“rápido”pintauncuadrocada2horasyenpromediocadaalumno“lento”pintauncuadrocada3horas.

Suponiendoquecadaequipotrabaja8horasdiarias:

¿Encuántotiempopintarácadaequipoloscuadrosquelecorresponden?¿Cuántoselementosmásnecesitaelequipodeloslentosparaqueterminenigualqueelequi-podelosrápidos?Siquisiéramosquecadaequipoterminaraenlamitaddeltiempo,¿cuántosintegrantesmásten-dremosqueagregaracadaequipo?¿Quépasaconelequipodelos“rápidos”sidecidendisminuirlacantidaddeelementosquepinten?

Comentatusrespuestascontuscompañeros.

Continua


3.1 FUNCIONES RACIONALES

3.1.1 Concepto de función racional

Elestudioyconocimientodelasfuncionesracionalesesmuyimportanteparati,principalmen-teporqueexistenfenómenosatualrededorquesepuedenrepresentarmedianteestetipodefunciones.Además,encursossuperioresdecálculodiferencialointegralanalizarásestasfun-cionesypodrásdeterminarcaracterísticasdenaturalezamáscomplejaquetepermitanresolverotrotipodeproblemasdelavidareal.

SeentiendeporfunciónracionalAlcocientededosfuncionespolinomiales.

Demaneragenerallarepresentamos:

f xP xQ x

( ) ( )( )

= dondeQ(x)≠0

dondePyQsonpolinomios,xesunavariable.

Dominio

SudominiovaaestarlimitadoprecisamenteporlacondicionanteQ(x)≠0.¿Porqué?

Larazónesqueladivisiónentreceronoestádefinida;esloquellamamosunaindetermina-ción,lacualrepresentamosconelsímbolo∞.Sinembargo,estonoexplicaporquécuandosepresentaestadivisiónafectaaldominiodelafunciónracional;larazónradicasobretodoenladefinicióndedominio:“paraqueunvalordexpertenezcaaldominiodebecumplirconlacon-dicióndequecadaargumentodebearrojarunaimagenreal.Sinoesasí,entoncesestevalordexnopertenecealdominiodelafunción”.Y∞noesunnúmeroreal,sinosimplementeunsím-boloquerepresentalaindeterminación,porlotantoesunaimagennoreal.

Cuandoalgúnvalordexnopertenezcaaldominiodelafunción,estoseveráreflejadoenlagráficadelamisma,enunsaltooenuncorte.Enlatablaseveráreflejadocomounaindetermi-naciónounerrormatemático,yenlaexpresiónalgebraicasepresentaráladivisiónentrecero.

Paradeterminareldominiodeunafunciónracional,podemosseguirlossiguientespasos:

a) Igualarconcerolaexpresióndeldenominador,justamentebuscandoaquellosvaloresde“x”queanulanaldenominadorypropicianladivisiónentrecero.

b) Resolverlaecuaciónresultante. c) Losvaloresobtenidoslosexpresamoscomoaquellosquenopertenecenaldominiode

lafunciónracional.

a) f(x) para referirse a lafunciónf conrespectoa la variable indepen-diente“x”.

b) La notación modernadelasfuncionestrigo-nométricas.

c) Elusodeπ(letragrie-ga)parareferirsealco-cienteentrelalongitudde la circunferencia yla longitud de su diá-metro.

d) LaletragriegaΣcomosímbolodelassumato-rias.

e límn

nn

n

=+

≈→

( )8

12 718281828.

e) La letra e o númerode Euler como basedel logaritmo naturalo neperiano, númeroreal cuyo valor se ob-tienedelaforma:

f) La letra i (latina) parahacer referencia a launidadimaginaria.

Otros matemáticos dieronde Euler las siguientes re-ferencias:Johann Bernoulli: “Yo re-presentoelanálisissuperiorcomosiestuvieraensuin-fancia,pero tú loestás lle-vandoasuestadoadulto”.Pierre-Simon Laplace:“LeanaEuler,leanaEuler.Él es el maestro de todosnosotros”.AndréWeil:“Durantetodasuvida...parecehaberlle-vadoenlacabezalatotali-dad de lasmatemáticas delaépoca,tantopurascomoaplicadas”.El marqués de Condorcetdijo, en su discurso fúne-bre: “todos los matemáti-cossonsusdiscípulos”.

Continua

120 UNIDAD III

Determinareldominiodelasiguientefunciónracional:

y xx

= +−

2 34

a) Igualandoconcerolaexpresióndeldenominador: 4–x=0 b) Resolviendolaecuaciónresultante:x=4

c) Eldominiodelafunción y xx

= +−

2 34

,sontodoslosvaloresdex∈R,exceptox=4;en

intervalos,eldominioes:(–∞,4)∪(4,∞) Veamoslagráficadelafunción:

Comprobación:Podemossustituirelvalorde“x”encontradoenlafunciónyverificarquesepresentalainde-terminación:

f 42 4 3

4 4110

( ) = ( ) +−

= = ∞

Comprobamosquex=4.Efectivamente,nopertenecealdominio.

Determinareldominiodelasiguientefunción:

y xx x x

= −− −3 12 15

2

3 2

a) Igualandoconcerolaexpresióndeldenominador: x3–2x2–15x=0 b) Resolviendolaecuaciónresultante: x x x

x x x

x x xx

xx

3 2

2

2 15 0

2 15 0

5 3 03 0

05 0

− − =

− −( ) =

−( ) +( ) =+ =

=− =

x=–3 x=0 x=5

Suobraperduraenlaactua-lidady sediceque abarca-ría aproximadamente unos80tomos.En1766perdióelojodere-choalhacerobservacionesdirectasdelSol,tratandodedescubrir un buen sistemademedicióndeltiempo, locualnolodetuvoensusin-vestigaciones.Alaedadde60añosperdiólavistaporcompletoy,apesardeello,redactócasiunartículoporsemanadictándoloaalgunodesushijosoaalgúncola-borador.Uno de sus más recientesreconocimientos ―a casi300 años de su nacimien-to― fue el nombramientoen su honor del asteroide2002delaserieQQ1comoAsteroideEuler,elcualfuedescubiertoen1973.Tal vez todo esto no lla-me tu atención, pero fuehijodeunpastorysuma-dre también descendía de

pastores:Sinembargo,ade-más de toda la obra quehemos mencionado, tuvotiempo de dedicarse a lamecánica, astronomía, óp-tica, acústica, arquitectura,balística, navegación, car-tografía, construcción deinstrumentos de precisión,música y filosofía. Inclusoobtuvolalicenciaturaenfi-losofía. También prepara-bamapas y asesoraba a laArmada rusa, además dehaber probado diseños debombas contra incendios.Tuvo13hijos,aunquesólocincollegaronaedadadultaysólotreslesobrevivieron.Fueunapersonade carác-teramableysencillo.


c) Eldominiodelafunción y xx x x

= −− −3 12 15

2

3 2 sontodoslosvaloresdex∈R,excepto

x=–3,x=0,x=5;enintervalos,eldominioes:(–∞,–3)∪(–3,0)∪(0,5)∪(5,∞). Veamoslagráficadelafunción:

Comprobación:

f

f

−( ) =−( ) −

−( ) − −( ) − −( )= −

− − += = ∞

( ) =

33 3 1

3 2 3 15 327 1

27 18 45260

0

2

3 2

33 0 10 2 0 15 0

0 10 0 0

10

33 5 1

5 2 5

2

3 2

2

3

( ) −( ) − ( ) − ( )

= −− −

= − = ∞

( ) = ( ) −( ) −

f(( ) − ( )

= −− −

= = ∞2 15 575 1

125 50 75740

Comprobamosquex=–3,0y5,efectivamentenopertenecenaldominiodelafunción.

y xx x

= ++ +3 3

5 42

a) Igualandoconcerolaexpresióndeldenominador: x2+5x+4=0 b) Resolviendolaecuaciónresultante: x x

xx

+( ) +( ) =+ =+ =

4 1 04 01 0

x=–4 x=–1 c) Eldominiodelafunción y x

x x= +

+ +3 3

5 42sontodoslosvaloresdex∈R,exceptox=–4,

x=–1;enintervalos,eldominioes:(–∞,–4)∪(–4,–1)∪(–1,∞)

122 UNIDAD III

Veamoslagráficadelafunción:

Lagráficaanteriormuestrauncorteyunsalto,pero,¿quéesunsaltoycómoloreconocemos?Comoyaseñalamos,cuandoalgúnvalordexnopertenezcaaldominiodelafunción,nosólopuedeprovocarenlagráficauncortesinotambiénunsalto.Ésteocurrecuandounodelosfac-toresdeldenominadoraparecetambiénenelnumerador;dichodeotramanera,selellamain-determinaciónnoevitablealcorteeindeterminaciónevitablealsalto.Analicemoslafunción:

y xx x

xx x

= ++ +

=+( )

+( ) +( )3 3

5 43 1

1 42

Alfactorizarlafunción,observamosquetantoenelnumeradorcomoeneldenominadorsere-piteelfactor(x+1)yestoesloquenosgeneraunsalto,elcual―comosepuedeobservarenlagráfica―esunpequeñohuecoquedejaelvalorde“y”quefaltaenlagráficadelafunción.

Comprobación:

f

f

−( ) =−( ) +

−( ) + −( ) += − +

− += = ∞

−( ) =−( ) +

−( )

13 1 3

1 5 1 43 3

1 5 400

43 4 3

4

2

22 5 4 412 3

16 20 49

0+ −( ) += − +

− += − = ∞

Comprobamosquex=–1y–4,efectivamentenopertenecenaldominiodelafunción.

I. Dadaslassiguientesfunciones,determinareldominiodelafunción.Ademásgraficacadafunciónyencierraencolorrojolosvaloresde“x”quenopertenecenaldominiodelafunción.Señalatambiénsidichosvaloresde“x”provocanuncorteounsalto.

1. yx

x=

+2

3 6 2. f x

x( ) =

25

3. yx

x=

−5

3 4. f x

xx x

( ) =+

−2 1

52


5. yx

x x=

+− +2 3

8 122 6. f x

xx x

( ) =+

−

2

3

24

7. yx

x x x=

+ + −5

7 7 153 2 8. f x

xx

( ) =+

232

9. yx

x x=

++ +

39 182

10. f xx x

x x x( ) =

− −+ − −

2

3 2

24 17 60

11. yx x

x x x=

+ −+ + −

2

3 2

24 6

12. f xx

x x( ) =

−+ −

2 52 9 352

II. Dadaslassiguientesgráficas,determinasudominioyescríbeloenlaslíneasdebajodecadagráfica.Sesuponequemuestranuncomportamientoconstantedesdeel–∞yterminanhastael∞delosva-loresde“x”.

1.

2.

124 UNIDAD III

3.

4.

5.


3.1.2 Gráficas de funciones racionales

Lasgráficasdelasfuncionesracionalespuedentomardiversasformas,yaunquepresentancier-tasregularidadesquenospermitenhacerinterpretaciones,suconstrucciónpuedeserlaborio-sa,ysinunconocimientopreviodesuscaracterísticas,fácilmentepodríamosequivocarnosaltrazarsugráfica,auncuandohagamosunabuenatabulación.Unadelascaracterísticasimpor-tantesessudominio,porloqueahoracontinuaremosconlasasíntotasylasinterseccionesconlosejes.

Observalassiguientesgráficasydespuéscontestalaspreguntas.

1. ¿Cuántoscortespresentacadafunción?

2. ¿Quépasaconlagráficanúmero4?

Una aplicación de lafunción racional esen la transformada zla cual convierte unaseñal que está defini-da en el dominio deltiempo discreto. Esdecir, nos permite elprocesamiento de al-gunasseñalesdigitali-zadas,elcualserealizamediantecircuitosdi-gitales,microprocesa-doresyordenadores.

126 UNIDAD III

3. ¿Porquélasrectaspunteadasparecendirigirlagráficadelafunción?

4. ¿Creesqueexistaunarelaciónentreelcomportamientodelagráficadelafunciónylaexpresiónalgebraica?Explicaturespuesta.

Asíntotas

Unaasíntotaesunarectarealoimaginariaalaqueparecequeseacercalagráficadelafunción,perosintocarla.

Existentrestiposdeasíntotaytodaspodemoscalcularlaseidentificarlascuandosepresenten:asíntotahorizontal,asíntotaverticalyasíntotaoblicua.

Unafunciónpuedetenervariasasíntotasverticales,perositieneasíntotahorizontal,notendráasíntotaoblicuaysitieneasíntotaoblicuaentoncesnotendráasíntotahorizontal.

Empecemosporobservarcómoeselcomportamientodelagráficaparaformarunaasíntota.

Analicemoslagráficadelafunción y xx

= ++

32

Estafuncióntieneunaasíntotaverticalenx=–2yunaasíntotahorizontaleny=1.Enamboscasoslasasíntotassonrectasimaginarias,porquenosevenamenosquelasgrafiquemosylashagamosreales,comoenlasiguientegráfica:


Ahora,yapodemosverlasasíntotas.Siobservaslagráficadelafunción,entremásgrandeeselvalordexparecequesevaacercandoalarectay =1(asíntotahorizontal).Talvezdebidoalagráfica,tusojosseengañenypiensesqueenrealidadsílaestátocando;paraevitarestaconfu-sión,esmejorquetabulemosparaentenderladefinición.

x y–1000 0.9989–100 0.9897–70 0.9852–30 0.9642–20 0.9444–10 0.875–9 0.8571–8 0.8333–7 0.8–6 0.75–5 0.6666–4 0.5–3 0–2 ∞

x y–1 20 1.51 1.333332 1.253 1.2

Entremáspequeñoes el valor de “x”,más se acercan las“y”a1,peronuncalatocan.

Entre más grandees el valor de “x”,más se acercan las“y”a1,peronuncalatocan.

Continúa

128 UNIDAD III

x y4 1.16665 1.14286 1.1257 1.111120 1.045430 1.031270 1.0138100 1.00981000 1.0009

Observamosquealcompararunnúmeroconotro,entremáspequeñoeselvalordex,losva-loresseacercana1,yentremásgrandeeselvalordex,másseacercanlosvaloresde“y”alva-lorde1,peronuncasoniguala1;siquisierasgraficarestosvalores,tendríasquetrazarunarectamuyfinayveríascómoseacercanlospuntosa1,peronuncatocaríanlaasíntota.

Ahora,analicemosquéocurreconlaasíntotavertical.Primeroobservacómolaasíntotaselo-calizaenx=–2yquelagráficasecortaformandodos“brazos”:unoquebajahaciaelinfinitonegativodelas“y”yelotroquebajadelinfinitopositivodelas“y”,peroenamboscasospe-gándoselacurvaalarectax=–2

x y–4 0.5–3 0–2.5 –1–2.4 –1.5–2.3 –2.333–2.2 –4–2.1 –9–2.01 –99–2.001 –999–2.0001 –9999–2.00001 –99999–2 ∞

–1.9999 10001–1.999 1001–1.99 101–1.9 11–1.5 3–1.4 2.6666–1.3 2.4285–1.2 2.25–1.1 2.1111

Valores dex cerca-nosa–2,peroantesdeél.

Valores dex cerca-nosa–2,perodes-puésdeél.

Continúa

Continuación


x y–1 –10 1.5

Puedescomprobarenlatabulacióncómoseacercanlosvaloresde“x”queestánmáscercanosalvalorde–2,yantesdeéstelosvaloressoncadavezmáspequeños,esdecir,vandecrecien-dohaciaelinfinitonegativo,mientrasquelosvaloresqueestándespuésdex=–2observa-mosqueregresandelinfinitopositivo,perosiempreenamboscasostomandocomoasíntotaalarectax=–2

Conlasasíntotasoblicuasocurrelomismo,peroenestecasolagráficatomacomoasíntotaaunarectacuyoángulodeinclinaciónesdiferentede0°,90°y180°.

Sinembargo,ladefiniciónnosólomencionarectasimaginarias,sinoquetambiénincluyerec-

tasreales.Analicemosahoralagráficadelafunción: yx

= 1

Estafuncióntomacomoasíntotaverticalalarectax =0ycomoasíntotahorizontalalarec-tay =0.Comopuedesobservar,tomacomoasíntotatantoaleje“x”comoaleje“y”,quesondosrectasreales.Conestocompletamoslaexplicacióndeladefinicióndeasíntota.

Continuación

130 UNIDAD III

Enlagráficavesresaltadaslasasíntotasypuedesobservarqueéstassonlosejes“x”y“y”.

Veamoselcomportamientoasintóticoahoradesdelaperspectivatabular.Empecemosconlaasíntotahorizontal:

x y–1000 –0.001–100 –0.01–70 –0.0142–30 –0.0333–20 –0.05–10 –0.1–7 –0.1428–6 –0.1666–5 –0.2–4 –0.25–3 –0.333–2 –0.5–1 –10 ∞

x y0 ∞1 0.12 0.53 0.3334 0.255 0.26 0.16667 0.142810 0.120 0.0530 0.033370 0.0142100 0.011000 0.001

Entremáspequeñoes el valor de “x”,más se acercan las“y”a0o,mejordi-cho,aleje“x”.

Entremásgrandeeselvalorde“x”,másseacercan las“y”a0o,mejordicho,aleje“x”.


Conlatabulación,comprobamoslaasíntotahorizontal.Ahoraanalizamoslaasíntotavertical:

x y–2 –0.5–1 –1–0.5 –2–0.4 –2.5–0.3 –3.333–0.2 –5–0.1 –10–0.01 –100–0.001 –1000

–0.0001 –10000

–0.00001 –1000000 ∞

0.00001 1000000.0001 100000.001 10000.01 1000.1 100.2 50.3 3.3330.4 2.50.5 21 12 0.5

Seobservaquealrededordex=0losvaloresde“y”sonextremadamentegrandes,loquein-dicaunaindeterminación,peroantesdecerolaindeterminaciónesnegativaydespuésdeceroespositiva.Estecomportamientosecompruebaconlos“brazos”delagráfica,locualnosin-dicaquetomacomoasíntotaaleje“y”.

Matemáticamenteesposibledeterminarconexactitudlasdiferentesasíntotasdeunafunciónypuedencomprobarseconlagráficadelafunción,comoveremosacontinuación.

Asíntotas verticales

Porreglageneral,sepresentaráunaasíntotaverticalenaquellosvaloresde“x”dondesepre-sentauncorteenlagráficadelafunción,porloquesulocalizaciónimplicafactorizartantoelnumeradorcomoeldenominadordelafunciónyverificardóndeocurreun“salto”ydón-deocurreun“corte”.Dichodeotramanera,podemosusarladeterminacióndeldominiodelafunciónparalocalizarlasasíntotasverticales.

Valoresdex cerca-nos a 0 pero antesdeél

Valoresdex cerca-nos a 0 pero des-puésdeél

Los conocimientos sobrelasasíntotasdeunafunciónse aplican enniveles supe-riores,talescomoenlade-terminación de los límitesdeuna funciónyengene-ralencálculo.

132 UNIDAD III

Determinarlasasíntotasverticalesdelafunción yx

x x= +

+ −3 6

8 202 ;factorizamostantoelnume-

radorcomoeldenominador,buscandoverificarsiexisten“saltos”ono:

y xx x

xx x

= ++ −

=+( )

−( ) +( )3 6

8 203 2

2 102

Comopuedesver,tantoenelnumeradorcomoeneldenominadornoserepiteningúnfactor,porloquepodemosdecirqueestafuncióntienedos“cortes”y,porlotanto,dosasíntotasver-ticales.Ahoranosfaltasaberdóndeestán;paraello,igualamosconcerocadafactordeldeno-minadorparahallarlasecuacionesquelasforman:

x xxx

xx

−( ) +( ) =+ =− =

= −=

2 10 010 02 0

102

Así,podemosconcluir:lafunción y xx x

= ++ −3 6

8 202 tienedosasíntotasverticales,unaenx=–10

yotraenx=2ylasecuacionesdeambassonx=–10yx=2.Comprobemosconsugráfica:

Enlagráficadelaizquierdapodemosobservaralafunciónconsuscortes,yenladeladere-chagraficamoslasrectasqueconformanlasasíntotasx=–10yx=2ylashacemosvisibles,loquecompruebayconfirmanuestroprocedimientomatemático.

Ahoraveamosunejemplodondesepresentealmenosun“salto”.

Dadalafunción y xx x

= ++ +

4 86 82 ,determinarsusasíntotasverticales.

Factorizando,observamos:y x

x xx

x x= +

+ +=

+( )+( ) +( )

4 86 8

4 22 42


Sepuedeobservarqueelfactor(x+2)serepitetantoenelnumeradorcomoeneldenomi-nador,porloquesabemosqueahíocurreunsaltoynohayunaasíntotavertical.Enelfactor(x+4)ocurreuncorte,yenconsecuencialagráficadelafunciónpresentaunaasíntotaver-tical.Igualamosconceroelfactor(x+4)ydeterminamoselvalorde“x”dondesepresen-talaasíntota:x

x+ =

= −4 0

4

Porloqueconcluimosquelafunción y xx x

= ++ +

4 86 82

presentaunaasíntotaverticalenx=–4;

comparandonuestroresultadoconsugráfica,verificamos:

Enlagráficadelaizquierdaobservamostantoelcortecomoelsalto,yenladeladerechasegraficalarectacuyaecuaciónesx=–4ypodemosobservarlaasíntotaytambiénvemoselsal-toenx=2

Dadaslassiguientesfunciones,determinarsusasíntotashorizontales,grafícalasymencionasisonrealesoimaginarias;trazalasasíntotasencolorverdesobrelagráficadelafunción:

1. yx

=+3

4 2. f x

xx

( ) =−

58 3

3. yx

x x=

+3

52 4. f x

xx

( ) =+5 30

5. yxx

=−+

2

2

74 6. f x

xx x

( ) =+

− −6 3

122

7. yx

x x=

++ −

5 403 2 212

8. f xx xx x

( ) =− −−

2

3

64

9. yx x

x x x=

+ ++ −

2

3 2

9 202 15

10. f xx

x x x( ) =

++ +

43 23 2

11. yx

x x x=

−− − +

45 2 243 2

12. f xx

x x x( ) =

−− − +

22 9 183 2

134 UNIDAD III

Asíntotas horizontales

Cuandounafunciónracionalpresentaunaasíntotahorizontal,lagráficaparecequeguiarásu“crecimiento”sobreella.Paralocalizarlaasíntotahorizontal,tenemosqueidentificarlavaria-bleconmayorexponentetantoenelnumeradorcomoeneldenominador,si:

a) elexponentemayorapareceeneldenominador(elgradodeldenominadoresmayorqueeldelnumerador)lafuncióntomacomoasíntotaalejedelas“x”,esdecir,seformaconlaecuacióny=0

b) elexponentemayorapareceenelnumeradoryeldenominador(elgradodeldenominador

esigualqueeldelnumerador),laasíntotahorizontaltomacomoecuación yab

= ,dondea

eselcoeficienteprincipaldelnumeradorybeselcoeficienteprincipaldeldenominador. c) elexponenteaparecesóloenelnumerador(elgradodelnumeradoresmayorqueeldel

denominador),lafunciónNOtieneasíntotahorizontal.

Determinarlaasíntotahorizontaldelasiguientefunción f x xx x

( ) = +− +3 1

8 32 ;comprobarconsugráfica.

Análisis:Elgradodelnumeradores1yelgradodeldenominadores2,porloqueelgradodeldenominadoresmayory lafuncióntomacomoasíntotaalejex;esdecir,laecuacióndelaasíntotaesy=0

Esclaramentevisiblecómolagráficadelafuncióntomacomoasíntotahorizontalalarectay=0

Enconclusión,lafunción f x xx x

( ) = +− +3 1

8 32tieneunaasíntotahorizontalenY=0

Determinarlaasíntotahorizontaldelafunción f x xx x

( ) = ++ +

4 82 8 6

2

2 ;comprobarconsugráfica.

Análisis:Podemosobservarqueelgradodelnumeradoreselmismoqueeldeldenominador,porloquesuasíntotaeselcocientedesuscoeficientesprincipales.Enestecaso,elcoeficientedelnume-radores4yeldeldenominadores2,entoncessuasíntotaestáformadaporlarectacuyaecua-ciónes:


y = =42

2

Veamossugráfica:

Alaizquierdatenemoslagráficadelafunciónyaladerechatrazamoslarectay=2parapoderhacervisiblelaasíntotahorizontal.

Enconclusión,lafunción f x xx x

( ) = ++ +

4 82 8 6

2

2 tieneunaasíntotahorizontaleny=2

Determinarlaasíntotahorizontaldelafunción f x x xx

( ) = −−

3 41;comprobarconsugráfica.

Análisis:Elgradodelnumeradoresmayorqueeldeldenominador,porloquedecimosquelafunciónnotieneasíntotahorizontal.Veamossugráfica:

Podemosconcluirquelafunción f x x xx

( ) = −−

3 41notieneasíntotahorizontal.

Determinarlaasíntotahorizontalencadafunción,siesquelatiene,ycompruebagraficando.

1. f xxx

( ) =++

13 2. y

x=

13

136 UNIDAD III

3. f xxx

( ) =− 2

2 4. y

x xx x

=− −

− −5 17 12

2 1

2

2

5. f xx

x x( ) =

−7

1

3

3 6. y

xx

=+−

16 32 7

7. f xx

x x( ) =

−+

3

2

32 8. y

x xx

=−−

2

3

71

9. f xxx

( ) =−−

6 112 10. y

x x xx x x

=+ + +− + −

3 18 33 186 11 6

3 2

3 2

Asíntotas oblicuas

Unafuncióntendráunaasíntotaoblicuacuandoelgradodelnumeradorseaunaunidadmásgrandequeelgradodeldenominadorytomarácomoecuaciónalcocientedeambos.Tendrácomoecuaciónlaformaordinariadelarectay=mx+b,esdecir:

Laformageneraldelafunciónracionales f xp xq x

( ) = ( )( )

,entonceslaecuacióndelaasíntota

oblicuaseobtiene: p xq x

mx b( )( )

= +

Determinalaecuacióndelaasíntotaoblicuadelafunción f x x xx

( ) = − +−

2 2 43

,siesquelatie-ne,comprobarconsugráfica:

Análisis:Comoelgradodelnumeradoresunaunidadmásgrandequeelgradodeldenominador,enton-cessabemosquelafuncióntieneunaasíntotaoblicua;ahoradeterminamossuecuaciónutili-zandoladivisiónsintética.

Podemosresumirquelaecuacióndelaasíntotaes:


Larectadelaasíntotadelafunciónesy=x+1

Vemosenlagráficadelaizquierdaquelafuncióntieneunaasíntotaoblicuayalgraficarlarec-tay=x+1seposicionacomosuasíntotaoblicua.

Enconclusiónlafunción f x x xx

( ) = − +−

2 2 43

,tienecomoasíntotaoblicuaalarectay=x+1

Determinarlaasíntotaoblicuadecadafunción,silatiene,ycompruebaconsugráfica.

1. f xx

x( ) =

+

2

1 2. y

x xx

=− +

−

2 2 14

3. f xxx

( ) =++

2 13 6

3

2 4. y

xx

=−+

2 83

5. f xxx

( ) =−−

2

2

93 12

6. yxx

=+−

722

7. f xx xx

( ) =−

−

3

2

164 8. y

x xx

=+−

3

2

711

9. f xx

x( ) =

−2 3 10. y

x xx

=−+

4 2

2

32

Esimportantedestacarquecuandoelexponentedelnumeradoresdosunidadesomásgrandequeeldeldenominador,lafunciónpareceráqueseacercaaotroelementoquenoesunarecta.Teretamosaverificarestoyadescubriraquéelementosnosreferimos.

Intersecciones con los ejes

Algunasfuncionesracionalespresentaninterseccionesconeleje“x”yconeleje“y”;paraco-noceréstassedebenseguirunassimplesreglas.

138 UNIDAD III

Intersecciones con el eje “x” o ceros de la función racional

Lasinterseccioneslasdeterminamosbuscandoenlosfactoresdelnumerador,ylaúnicarestric-ciónesqueaquellosfactoresqueaparecentantoenelnumeradorcomoeneldenominador,esdeciraquellosqueprovocanunsalto,nonosproporcionaráncerosdelafunción.

Determinarlasinterseccionesdelafunción f x xx x

( ) = +−

452 conelejex.

Primerofactorizamostantoelnumeradorcomoeldenominador:

f x xx x

xx x

( ) = +−

= +−( )

45

452

Observamosqueningunodelosfactoresdelnumeradorserepiteeneldenominador,porlotantolaintersecciónconeleje“x”estácontenidaenelfactorx+4.

Segundo,igualamosconceroelfactorolosfactoresdelnumeradorquenoserepitenenelde-nominador.

Enestecasosóloes:

xx

+ == −

4 04

Porloquepodemosconcluir,lagráficadelafunción f x xx x

( ) = +−

452 interceptaaleje“x”en

x=–4

Ahoratrazamossugráfica:


Podemosconcluirquelafunción f x xx x

( ) = +−

452 interceptaaleje“x”enx=–4

Dadalafunción f x x x xx x

( ) = + −− +

3 2

2

66 8

,determinarlasintercepcionesconeleje“x”siesque

existen;compruebaconsugráfica.

Factorizamostantoelnumeradorcomoeldenominador:

f x x x xx x

x x xx x

( ) = + −− +

=−( ) +( )

−( ) −( )3 2

2

66 8

2 34 2

Alanalizarlosfactoresvemosqueserepiteelfactorx–2,yaqueenésteseproduceunsaltoyporlotanto,nosevaapropiciarunaintercepcióncon“x”,mientrasquelosfactoresx(x+3);siigualamosyresolvemostenemos:

xx

xx

=+ =

= −=

03 0

30

Asíqueconcluimos:lafuncióninterceptaaleje“x”enx=–3yx=0.Verificamosconsugráfica.

Intersecciones con el eje y

Parahallarlasintercepcionesconeleje“y”,simplementesesustituyeenlafunciónelvalordex=0yseobtieneelvalordelainterseccióncony.Cadafunciónpuedetenercomomáximosólounaintercepcióncon“y”.

Dadalafunción f x xx

( ) = +−93,hallarsuintercepciónconeleje”y”ycompruebaconsugráfica.

Hallamosf(0):f 0 0 9

0 393

3( ) = +−

=−

= −

140 UNIDAD III

Porlotanto,lafunción f x xx

( ) = +−93interceptaaleje“y”eny=–3

Veamossugráfica.

Dadaslassiguientesfunciones,determinalasintercepcionesconeleje“y”ycompruebaconsugráfica:

1. f xxx

( ) =+−

75 2. y

xx

=+ 4

3. f xx

x( ) =

−+

2 74 4. y

x=

1

5. f xx x

x( ) =

++

2 34 8

6. yx

x x=

−+ +

2

2

62 8

7. f xx x

x( ) =

− ++

3 16 34

8. yx x x

x=

− + −+

3 2 3 11

3 2

2

Todosestosconocimientos,comosonlaobtencióndeldominio,lalocalizacióndelasasíntotasylasin-tercepcionesconlosejes,tepermitiránconstruirconciertafacilidadlagráficadelafunciónracional,apartirdesuexpresiónalgebraica.TeinvitamosquedemuestresloaprendidoalolargodeestecursodeMatemáticasivyteaventuresatrazarlagráficadelafunción;desarrollaenequipounaestrategiaquetepermitaconstruirlagráficaconlainformaciónqueobtienesdelafunciónmisma.

Muestratuestrategiaalgrupoyconstruyanentretodosunaestrategiacomún;luegoredáctenlaypracti-quengraficardistintasfuncionesparaverificarsuefectividad.

3.1.3 Variación inversa

Lamayoríadelosproblemasdeaplicaciónenlavidadiariasonaquellosenquedosvariablessecomportanenformaproporcional;esdecir,siunaaumentalaotratambién.Sinembargo,exis-tenproblemascomoelplanteadoaliniciodelaunidadenlosqueestecomportamientonose

AActividad


presentaentodomomento.Porejemplo,cuandopreguntamos:siquisiéramosquecadaequipoterminaraenlamitaddeltiempo,¿cuántosintegrantesmástendremosqueagregaracadaequi-po?Inmediatamente,observamosqueentremásintegrantestengacadaequipo,menostiempoutilizaránpararealizarsutarea;puesbien,aestecomportamientolellamamosvariacióninver-saysepresentadeformaproporcional,yaqueconcadaintegrantequeaumentemos,eltiempodetrabajodisminuiráenformaproporcionalaltrabajocontribuidoporél.

Estetipodecomportamientonosólosepresentaensituacionescomolaseñalada,sinotam-biénenlasdiversascienciasqueseapoyandelasmatemáticas;porejemplo,enlafísicaylaquímica.

La variación inversa como caso particular de la función racional

Lavariacióninversapuedeserrepresentadaporunafuncióncuyaformagenerales:

y kx

= ,dondex≠0

Estaecuaciónlapodemosreescribircomo:

xy=k,dondek≠0

Loanteriornosindicaqueelproductodeestasvariablesnosvaadarsiempreunaconstante.Sinembargo,estonosignificaolvidarquehablamosdeunafunción,detalmaneraquecadavezquexadopteunvalorytomaráotro,porloquecadavezquemultipliquemosestosvalores,elresultadosiempreseráelvalordek,alacualllamamosconstantedevariación.Ejemplosde

estafunciónson: yx

= 2 , yx

= 7 , yx

= 9

Podemoscomprobarloanteriorapartirdelatabulación;supongamoslafunción

yx

= 8

Alhacerlatabla,tenemos:

x y1 82 43 8/34 2

142 UNIDAD III

Ahorarealicemossuproductoycomprobemos:

xy =( )( ) =

( )( ) =

( )( ) =

( )( ) =

8

1 8 8

2 4 8

3 8 3 8

4 2 8

/

Comopodemosver,cadavezquemultiplicamoslosvaloresde“x”y“y”obtenemoselvalordek=8.Entoncespodemosconcluirquekesunacantidadnuméricaquenospermiterela-cionarambasvariables.

Elvalorksecomportacomoelcoeficienteprincipaldelafunción,detalmaneraquesiésteespositivo,lagráficaseráunahipérbolaubicadatantoenelcuadrante3comoenelcuadrante1;sikesnegativa,sugráficaestaráubicadaenloscuadrantes2y4.Observalassiguientesgráficas:

yx

= 3

yx

= −3


Grafica las funciones yx

=−5, y

x=

−4, y

x=

−2, y

x=

−1 enunmismoplano, yenotroplanografica

yx

=1, y

x=

2, y

x=

4, y

x=

5.Mencionacuálessonlasdiferenciasentreéstas;esdecir,observalasregu-

laridadesquesepresentanyaquellasdiferenciasquelasidentificancomofuncionesúnicas.

Aplicaciones de la función inversa

UnaaplicacióndelavariacióninversalaencontramosenlaLeydelagravitaciónuniversaldeNewton.

Determinarlafuerzaejercidaentresípordosmasasde1kg,siestánseparadasporunadistan-ciade:

a) 0.10m b) 0.25m c) 0.5m d) 1m e) 2m

EntucursodeFísica,laecuaciónrepresentativadeestaleylaestudiastecomo:

F G m mr

= 1 22

donde:

G=constantedegravitaciónuniversalm1ym2=lasmasasdeamboscuerposrespectivamenter=separaciónentreloscuerposF=fuerzagravitacional

Perosegúnnuestroproblema,lasmasassonde1kgporloquenocambiay.Podemosdecirquek=Gm1m2=6.67x10

–11(1)(1)=6.67×10–11Nm2ynuestraecuaciónsevemodificadaparaesteproblemacomo:

F kr r

= = × −

2

11

2

6 67 10.

AActividad

144 UNIDAD III

r F0.1 6.67×10–9

0.25 1.0672×10–9

0.5 2.668×10–10

1 6.67×10–11

2 1.6675×10–11

Puedesobservarlosefectosdelavariacióninversa:entremáslejosestánunadelaotra,menorserálafuerzagravitacionalentreéstas.

Unautomovilistarecorre6,000mpara irasu trabajo.Siel lunes tarda900syelmartes1200s,determinaquérapideztendráenamboscasosycompruebaquesetratadeunava-riacióninversa.

Primeroutilizamoslaecuaciónv dt

= .Comotodoslosdíasrecorrelamismadistancia,éstase

vemodificadaa: vt

= 6000;entonces:

v m s

v m s

= =

= =

6000900

6 67

60001200

5

. /

/

Observamosquesieltiempoaumenta,larapidezdisminuye;porlotanto,setratadeunava-riacióninversa.OtrasaplicacionesdelavariacióninversalasencontramosenlaLeydeOhm,lasLeyesdelosGases,laSegundaLeydeNewton,lapresión,elgastodeunfluido,elflujo,etc.

1. Pararestaurarunacasa12hombressetardan18días.¿Cuántoshombresmássedebencontratarparaquedicharestauraciónestélistaenlas2/3partesdeesetiempo?

2. 15hombressetardan8horasenhacer5mesas.¿Cuántotiemposetardaráunsolohombreenhacerlas5mesas?

3. Laecuacióndelapresiónes:PFA

= ,dondelafuerzaestáenNewtons,eláreaenm2ylapresiónenPascales(Pa).

Siejercemossobreunáreade1m2unafuerzade20Nlapresiónesde20Pa.¿Quépasaráconlapresiónsiaplicamoslamismafuerza,peroahorasobreunáreade:

a) 0.5m2

b) 2m2

c) 0.3m2


Contestalassiguientespreguntas:

1. Paraquelapresiónseamayor,¿cómodebeserelárea?

2. ¿Quépasasiaplicolafuerzasobreunpunto,esdecirquenohayaárea?

3. LaLeydeOhmseexpresaconlasiguienteecuación:IVR

= ,dondeI=intensidaddelacorrien-

teenamperes,VesladiferenciadepotencialenvoltsyReslaresistenciadelcircuitoenohms.SiV=120voltsydeseamosquelaintensidaddelacorrientesealomáspequeñaposible,¿cuálresistenciaconvieneutilizar,unade40ohmsounade240ohms?Fundamentaturespuesta.

146 UNIDAD III

NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS

I. Instrucción:Encuentraenlasiguientesopadeletrasaquellaspalabrasreferentesalasca-racterísticasdelagráficadelasfuncionesracionales.Unavezquehayasencontradoto-das,enlístalasenlapartedeabajoyexplicacómopuedescalcularlas.

I N T E R C E P C I O N C O N Y U TN U A V B A S I R C O M E T T I A ZT P Z S H I J P Y F H R U D M S E XE S P I I R T F U S C A B T I E D OR C L O I N E B V E Ñ A M N G F D AC V R T A U T C M O P E T C H O L AE I O I N I M O D T S O O B N A W QP E T I R O W A T A T M O S W E S TC F P J R W C T Q A N B K H J L B NI L O L I P O P O E V E N T I H S UO E I V F W Q B N O I E B K J A B AN E D I C T L O S O H U R A L A N SC B A I E I O N L K J B V T T R C AO D T B C A R K H F J I O T I E G TN W V U K J I H G F E D C B A C O TX S A E A E I O U B A V E B I N A PA S I N T O T A H O R I Z O N T A L

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


8. Dadalasiguientefunción,determinacadaunadelascaracterísticasencontradasenlasopadeletrasyrealizauntrazodesugráfica.

f x x xx x x

( ) = + ++ + +

2

3 2

5 67 14 8

II. Contestabrevementeloquesetepide

1. Eselnúmeromáximodeasíntotashorizontalesquepuedetenerunafunciónracional.

2. Eselnúmeromáximodeintercepcionesconeleje“y”quepuedetenerunafunciónra-cional.

3. Siunafunciónracionaltieneasíntotahorizontal,entoncessabemosquenotiene:

4. Eselnúmeromáximodeintercepcionesquepuedetenerunafunciónracionalconelejex.

III. Trazaconrojolaasíntotahorizontal,converdelaasíntotaverticalyconcafélaasíntotaoblicua,cuandolashaya.Encierraconazullasintercepcionesconelejex,conmoradolaintercepcióncony.

funciones racionales - temariosalbatros | repositorio ... · pdf fileel estudiante: •...

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