tema : probabilidades 2015 curso : estadística

NOCIONES BASICAS

DE PROBABILIDAD

OBJETIVOS

1. Aplicar los conceptos de experimento,

espacio muestral y evento.

2. Discutir los principios para asignar

probabilidad.

3. Utilizar las reglas de probabilidad para

plantear y resolver un problema real.

DEFINICION DE ALGUNOS TERMINOS

EXPERIMENTO

ALEATORIO: ES CUALQUIER OPERACIÓN

CUYO RESULTADO NO SE PUEDE PREDECIR CON EXACTIDUD

Ejemplos:

Lanzar una moneda moneda correcta sobre una superficie plana: S ó C

Evaluar el estado nutricional a tres niños menores de 5 años: (NNN), (NNM),(NMN), (MNN), (NMM), (MNM), (MMN), (MMM)

ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXP.

ALEATORIO: ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS

POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Ejemplos:

1: {C,S}

2:{(NNN), (NNM), (NMN), (MNN), (NMM), (MNM), (MMN), (MMM)}

P R O P I E D A D E S

1.- 0 P(A) 1

P(A) = n(A)

Gran total

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Ejemplo

¿Probabilidad de una mujer normal?

P(Normal)=469/1000=0,469

P R O P I E D A D E S

2.- INTERSECCION DE EVENTOS

ES LA PROBABILIDAD QUE DOS EVENTOS OCURRAN EN

FORMA SIMULTANEA

P(A∩B) = n(A∩B)

Gran total

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Ejemplo

¿Probabilidad que sea una mujer normal y tenga menopausia?

P(Normal y Menopausia)= 280/1000=0,28

3.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

(A B)

B A

EJEMPLO .-

En una comunidad, se evaluó el estado de nutrición de 100 niños menores de 5

años de edad, obteniéndose los siguientes resultados:

*********************************************************

SEXO ESTADO de NUTRICION

Normal Malnutrido TOTAL

*********************************************************

Hombres 40 = n(HN) 15 55 = n(H) Mujeres 20 25 45

********************************************************

TOTAL 60 = n(N) 40 100

********************************************************

Se elige un niño al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre o su estado de

nutrición sea normal ?

SOLUCION

H: Sea hombre

N: Tenga estado nutricional normal

P(HUN) = P(H) + P(N) - P(HN)

P(HUN) = 55/100 + 60/100 - 40/100 = 0.75

4. Si A,B eventos excluyentes (AB=), entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B)

A B

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Ejemplo

¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?

P(OsteopeniaUOsteoporosis)=P(Osteopenia)+P(Osteoporosis)-P(Osteopenia∩Osteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531

Son sucesos disjuntos

Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø

¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?

P(OsteoporosisUMenopausia)=P(Osteoporosis)+P(Menopausia)-P(Osteoporosis ∩ Menopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703

No son sucesos disjuntos

¿Probabilidad de una mujer normal?

P(Normal)=469/1000=0,469

P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469

5.- Si A y A’ son complementarios, entonces,

P(A’) = 1 - P(A) ó P(A) = 1 - P(A’)

A’

A

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Ejemplo

Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a

una mujer de una población muy grande. El resultado está

en la tabla.

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis?

P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%

Noción frecuentista de probabilidad

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no tenga osteoporosis?

P(No Osteoporosis)=1-P(Osteoporsis)=1-64/1000=0,936=93,6%

6.PROBABILIDAD CONDICIONAL: P(A/B)

Sea un espacio muestral asociado al experimento aleatorio E. Sean los eventos A y B

dados en .

La probabilidad de la ocurrencia del evento B dado que ha ocurrido A se denomina

probabilidad condicional de B dado A.

Fórmula:

n(AB)

P(B/A) = ------------------- ( se aplica cuando los datos están en una tabla)

n(A)

P(AB)

P(B/A) = ------------------- ( se aplica cuando los datos no están en una tabla)

P(A)

donde P(A) > 0

***************************************************************

SEXO OCUPACION

Desempleados Empleados TOTAL

***************************************************************

Hombres 40 460 500

Mujeres 260 140 400

****************************************************************

TOTAL 300 600 900 *****************************************************************

Se elige un adulto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté desempleado dado que es mujer?

SOLUCION

n(DM) 260

P(D/M) = ---------------- = ------------ = 0.65

n(M) 400

Interpretación:

Al elegir un adulto al azar, la probabilidad de que este desempleado dado

que es mujer es de 0.65.

Ejemplo

Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Ejemplo (III)

Si tiene osteoporosis… ¿probabilidad de menopausia? P(Menopausia|Osteoporosis)=58/64=0,906

Si tiene no tiene osteoporosis… ¿probabilidad de no menopausia? P(No Menopausia|NoOsteoporosis)=297/936=0,317

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

7.REGLA DE LA MULTIPLICACION

P(AB)

A partir de : P(B/A) = -------------- , despejando, tenemos:

P(A)

P(AB) = P(A)* P(B/A)

En general :

Dados los eventos A1,A2,...,AN-1,AN, se tiene que:

P(A1A2 ...AN-1 AN)=P(A1)*P(A2/A1)*...*P(AN/A1 ...AN-1)

EJEMPLO

El resultado de la evaluación nutricional de 100 niños, son 60 normales y 40

malnutridos. Si de este grupo seleccionamos dos niños al azar sin reposición, Cuál es

la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea mal nutrido?

SOLUCION

P(AB) = P(A)*P(B/A)

A: El primer niño sea normal

B: El segundo niño sea malnutrido

AB: El primer niño sea normal y el segundo niño sea malnutrido

B/A: El segundo sea malnutrido dado que el primer niño fue normal

Según la regla de multiplicación, tenemos:

P(AB) = P(A)*P(B/A)= (60/100)*(40/99) = 0.2424

Interpretación:

Nos indica que la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea

malnutrido es de 0.2424.

EJEMPLO.-

Se sabe que en un lote de medicamentos de 50 frascos, hay 4 que no están adecuadamente empacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2 frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?.

SOLUCION D1 : El primer medicamento es defectuoso D2 : El segundo medicamento es defectuoso D2/D1: El segundo medicamento es defectuoso dado que el primer medicamento también lo es

49

3

DD

P

50

4)D(P

)(1

2

1

2450

12

49

3

50

4 =

DD

P)D(P)DD(P )(1

2121

Dos sucesos son independientes si el que

ocurra uno, no añade información sobre el

otro.

A es independiente de B

P(A|B) = P(A)

P(A∩B) = P(A) P(B)

8.Independencia de sucesos

Ejemplo

¿Son independientes menopausia y osteoporosis?

Una forma de hacerlo

P(Osteoporosis)=64/1000=0,064

P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!

¿Otra forma?

P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058

P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045

La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total