tema 5 fuerzas internas en vigas
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FUERZAS INTERNAS O
FUERZAS DE SECCION
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FUERZAS INTERNAS.- FUERZAS DE SECCIN.-
Ejemplo.- Determine las componentes de fuerza x, y, z y el momentoen la seccin C de la tubera. Ignore el peso de los tubos. La carga queacta en (0, 3.5, 3 ) pie es F1= (-24, 0, -10) Ib y M = (0, 0, -30 ) lb.pie yen el punto (0, 3.5, 0 ) pie es F2= (- 80, 0, 0 ) Ib.
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Fx = 0Vcx - 80 - 24 = 0 Vcx = 104 lb Fuerza cortante x
Fy = 0Nc= 0 Fuerza axialFz = 0Vcz- 10 = 0 Vcz = 10.0 lb Fuerza cortante z
Mx = 0Mcx- 10x2 = 0 Mcx = 20.0 lb.pie Momento flector x
My = 0Mcy - 24 x 3 = 0 Mcy = 72.0 lb.pie Momento detorsin
Mz = 0Mcz - 30 + 24 x 2 + 80x 2 = 0 Mcz = - 178 lb.pie Momento flector z
S.-
DCL
-
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Fuerzas internas.- Mtodo de las secciones.-
Para hallar las fuerzas internas en el cuerpo cargado se usa el mtodode las secciones. El cuerpo cargado de la figura a siguiente, sesecciona mentalmente en dos partes A y B por medio de un plano. Conel fin de que cada una de estas partes se encuentre en equilibrio bajola accin de las cargas externas aplicadas, es necesario sustituir laaccin de la parte cortada por un sistema de fuerzas interiores en laseccin. Estas fuerzas son las fuerzas de interaccin entre las partes Ay B del cuerpo. Las fuerzas interiores que actan en la seccin por ellado de la parte A, de acuerdo con la 3Ley de Newton, son iguales enmagnitud y contrarias en direccin a las fuerzas interiores que actanen la seccin por el lado de la parte B (ver figura b).
Reduciendo las fuerzas internas al centro de gravedad de la seccintendremos en cada lado de la seccin un vector fuerza y un vectormomento (ver figura c). Si se tratase de una barra, sta se cortar, engeneral, por un plano perpendicular al eje.
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Si el eje x es normal a la seccin sta se denomina superficie
o cara x. La orientacin de los ejes y, z en el plano de la
seccin coincide con los ejes principales de inercia de lamisma.
En la figura el primer subndice indica la cara sobre la que
actan las componentes y el segundo la direccin de cada una
de ellas. Por ejemplo, Pxy es la fuerza que acta sobre la cara
x en la direccin de y.
Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzasaplicadas sobre el slido en esta seccin x, y recibe el nombre
definido a continuacin:
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Pxx : Fuerza axial o normal. Mide la accin de tirar (o empujar)sobre la seccin. Tirar representa extensin o traccin,alargamiento del slido. Empujar representa fuerza de
compresin que acorta al slido. Se llama tambin P o N.
Pxy, Pxz: Fuerza cortante. Son componentes de la resistencia totalal deslizamiento de la porcin de slido a un lado de laseccin de exploracin respecto de la otra porcin.
Tambin se conoce como V o Q y sus componentes Vy(Qy) y Vz (Qz) identifican sus direcciones.
Mxx: Momento de torsin. Esta componente mide laresistencia a la torsin del slido considerado y se
representa por Mt o T.
Mxy, Mxz: Momentos Flectores. Estas componentes miden laresistencia del cuerpo a curvarse o flexar respecto a losejes y o z, y se conocen como My y Mz,respectivamente.
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Traccin(a)
Compresin(b)
Corte(c)
Torsin
(d)
Flexin
(e)
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VIGA
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VIGA
Pieza o barra
estructural
razonablemente larga
con respecto a sus
dimensiones laterales,
convenientementesoportada y sometida a
fuerzas transversales
aplicadas de modo que
provocan la flexin de
la pieza en un planoaxial. En la figura el
eje de simetra vertical
coincide con el plano
de carga y el eje
longitudinal de la viga.
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VIGA SOLICITADA POR CARGAS VERTICALES
eje longitudinal
carga concentrada carga repartida
viga deflectada cargada
viga
plano de cargas
eje longitudinal
eje de simetra vertical
coincide con el planode cargas
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SECCIONES CON EJE DE SIMETRIA VERTICAL
Rectangular I T con taln T Cajn Circular
Trapecial Triangular Triangular T invertida U Compuesta
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CASOS ESPECIALES
(a) (b) (c) (d)
(e)
(a) El plano de carga no
coincide con el eje desimetra vertical.
(b) La seccin carece deeje de simetra vertical.
(c) El eje de simetra seencuentra inclinado.
(d) El peralte es excesivo(e) Viga curva
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APOYOS
articulado mvil articulado fijo empotramiento
1 21 2
reacciones
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VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS
Son vigas en que las condiciones de sustentacin son talesque es posible determinar las reacciones por lasecuaciones de Esttica
(a) viga simplemente apoyada (b) viga en voladizo
(c) viga simplemente apoyada con volado
pasador
pasador
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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Son vigas en que no es posible deducir las reaccionessolamente por las ecuaciones de Esttica.
(a) viga empotrada con voladizo (b) viga continua
(c) viga empotrada
pasador
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CARGAS
Sobre la viga AB actan cuatro tipos de carga: la cargaconcentrada o puntual P, la carga uniforme distribuda w, lacarga distribuida no uniforme q, el momento M.
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Vigas empotradas
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VIGAS INESTABLES
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FUERZAS INTERNAS
Determinar las fuerzas internas de la viga en volado ACB empotrada enel muro B. La viga soporta las cargas puntuales P1y P2. No considerar elpeso propio. Las fuerzas internas se obtendrn por medio del cortetransversal mn y el diagrama de cuerpo libre A mn y del corte transversalst y el diagrama de cuerpo libre A st.
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xPaxPM
axPxPMM
PPQQPPFy
senPNsenPNFx
x
cos
0cos0
cos0cos0
00
12
21
1221
11
S.-
-
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xPMxPMM
PQQPFy
senPNsenPNFx
x
cos0cos0
cos0cos0
00
11
11
11
-
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FUERZAS INTERNAS
Determinar las fuerzas internas en la viga simplemente apoyada AB. Laviga soporta la carga uniformemente repartida w.
a) Las fuerzas internas se obtendrn por medio del corte transversal mny el diagrama de cuerpo libre A mn. Verificar el valor de las fuerzasinternas con el diagrama de cuerpo libre mnB.
b) Hallar el mximo momento flector y su ubicacin.
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S.-
22
022
0
20
20
00
2wx
xwl
Mxwlx
wxMM
wxwl
QQwxwl
Fy
NFx
cg
-
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22
022
0
20
20
00
2wx
x
wl
M
Mxl
xlwxlwl
M
wxwlQxlwwlQFy
NFx
cg
-
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b) MMXIMO?
MAXIMOlx M
wl
M
luzdecentrolxwxxwl
dx
d
dx
dM
8
2/22
0
2
2
2
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FUERZA CORTANTE, MOMENTO FLECTOR.
En la figura 2, se asla el tramo A como cuerpo libre. Las fuerzas exteriores P 1, P2, R1sonequilibradas por las fuerzas interiores que el tramo B ejerce sobre el tramo A en la seccincomn mn.
En la figura 1, la viga simplemente apoyada con cargas verticales P1, P2, P3 tiene lasreacciones R1, R2 en los apoyos. A la distancia x del apoyo izquierdo se hace el corte
transversal mn que divide a la viga en los tramos A y B.
acciones deB sobre A
figura 2
figura 1
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En la figura 3, a la izquierda de la seccin mn, los efectos de cada fuerza exterior se reducena una fuerza y un par. El efecto de las fuerzas exteriores aplicadas a un lado de la seccinmn se reduce a un sistema de fuerzas cuya resultante es la fuerza cortante y a un sistema
de pares cuya resultante es el momento flector.Por tanto, el efecto total del sistema de fuerzas a un lado de la seccin se reduce al de unafuerza nica y un par que son, respectivamente, la fuerza cortante y el momento flector endicha seccin.
figura 3
acciones deB sobre A
figura 2
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En la figura 4, para cumplir con el equilibrio Fy = 0, M = 0 en el cuerpolibre A, las acciones de B sobre A originan en la seccin mn:
- la fuerza interna Qr de igual magnitud y sentido contrario a Q;- el par interno Mr de igual magnitud y sentido contrario a M.
figura 4
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ACCIONES INTERNAS EN UNA VIGA SOLICITADAPOR CARGAS
MOMENTO FLECTOR M .-En una seccin cualquiera de una viga,es el momento esttico respecto al centro de gravedad de laseccin de todas las fuerzas exteriores que actan sobre la viga ala izquierda de la seccin considerada.
FUERZA DE CORTE Q (o V ).-En una seccin cualquiera de unaviga, es la proyeccin sobre dicha seccin de la resultante de lasfuerzas exteriores que actan sobre la viga a la izquierda de laseccin considerada.
FUERZA NORMAL N.- En una seccin cualquiera de una viga, es
la proyeccin sobre la tangente al eje de la viga, trazada por elcentro de gravedad de la seccin, de la resultante de las fuerzasexteriores que actan sobre la viga a la izquierda de la seccinconsiderada.
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Convencin de Signos
flexinmomento flector positivo
M+
flexinmomento flector negativo
M-
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resbalar, cortar, deslizarfuerza cortante positiva
Q+
resbalar, cortar, deslizarfuerza cortante negativa
Q-
alargarfuerza normal positiva
N+
encogerfuerza normal negativa
N-
-
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RELACIN ENTRE MOMENTO FLECTOR, FUERZACORTANTE Y CARGA
dx
dMQ
QdxMdMMMcg
00
a) No vara Q pero vara M
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dx
dMQ
dxwdxQdxMdMMM
wdx
dQdQQwdxQFy
cg
02
0
00
b) Varan Q y M
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PQQ
QPQFy
'
0'0
c) Carga P entre 2 secciones cercanas
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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar su peso propio, hallar:
a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerza cortante ( DFC ) y diagrama de momentos
flectores (DMF);c) deformada;d) diagrama de tracciones ( DT ).Dibujar a escala y uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.
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Reacciones.-
Verificacin.-
630043005.71000100
6700143005.21000100
00
AyAyM
CyCyM
AxFx
C
A
00030010006706300 Fy
S.-
-
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DFC, DMF x Q M
tramo AB 0 < x < 5 0 630 0
Q = 630200x 1 530
M = 630x - 200 3.15 0 992.255 -370 650
2
2x
Tramo BC 5 < x < 10 5 -370 650
Q = 6301000 = -370 6.756 0(Pl)
M = 630x1000 (x2.5) 10 -370 -1200
M = -370x + 2500
Tramo CD 10
-
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Diagrama de cargas
DFC (kgf)
DFC (kgf.m)
Deformada
DT
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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar el peso propio, hallar:a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerzas cortantes ( DFC ) y diagrama de momentos
flectores ( DMF );c) deformada;d) diagrama de tracciones ( DT ).
Dibujar a escala uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.
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Reacciones.-
Verificacin.-
210002.110005.136001.2100030
350002.410005.136009.0100030
00
AyAyM
CyCyM
AxFx
C
A
00
0100036001000350021000
Fy
S.-
-
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DFC, DMF
m
x
Kgf
Q
Kgf. m
M
tramo AB 0 < x < 0.9 0 2100 0Q = 21001200x 0.9 1020 1404
M = 2100x -2
1200 2x
Tramo BC 0.9 < x < 3 0.9 20 1404
Q = 210010001200x 0.9167 0 1404.2
Q = 11001200x 2.4465 0(P1)
M = 2100x1000 (x-0.9) 3 -2500 -1200
-1200 x2/2
M = 900 + 1100 x600x2
Tramo DC 0 < x < 1.2 x Q M
Q = 1000 0 1000 0
Q = -1000 x 1.2 1000 -1200
-
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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar el peso propio, hallar:a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerzas cortantes ( DFC ) y diagrama de momentos
flectores ( DMF );c) deformada;d) diagrama de tracciones ( DT ).
Dibujar a escala uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.
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6
5
6
5 xq
x
qtg
kipByAy
BxFx
402
50215
00
S.- Reacciones
(simetra)
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DFC, DMF
pie
x
kip
Q
kip.pie
M
tramo CA: 0 < x < 6 0 0 -15Q = - 5x2/ 12 3 -3.75 -18.75
M = -15Px/3 6 -15 -45
M = -155x3/36
Tramo AB: 6 < x < 16 6 25 -45
Q = -15 - 5 (x - 6) + 40 8.354 0(PI)
Q = 555x 11 0 17.5
M = -1515 (x4) 13.645 0(PI)
+40 (x-6)5(x-6)2 / 2 16 -25 -45
M = -285 + 55 x - 2.5x2
Tramo DB: 0 < x < 6 x Q M
Q = P = 5 x2/ 12 0 0 -15
M = -15 - P x / 3 3 3.75 -18.75
M = -155x3/ 36 6 15 -45
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Ejemplo.- Para la viga quebrada, hallar:a) ecuaciones de fuerza normal, fuerza cortante y momentos
flectores;
b) diagrama de fuerzas normales (DFN), diagrama de fuerzascortantes (DFC) y diagrama de momentos flectores (DMF);c) deformada;d) diagrama de tracciones (DT).
Dibujar a escala uno debajo del otro diagrama de cargas, DFN, DFC,DMF, deformada, DT.
S -
-
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Reacciones.- figura 1:
Verificacin.-
PBy
lPlPlByMA
PAy
PllPlAyMB
PBxPBxFx
560.1
0707.0707.0707.3707.020
853.0
0707.0707.0707.1707.0)2(0
707.00707.00
Figura 1
Figura 2
000707.056.1853.00 PPPFy
S.
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DFN, DFC, DMF x N Q M
Tramo AB: 0 < x < 2l 0 0 -0,853P 0N = 0 2l 0 -0.853P -1.706 Pl
Q = -0.853 P
M= -0.853 Px
Tramo BC: 2l < x < 3l 2l -0.707P -0.707P -1.076Pl
N = -0.707P 3l -0.707P -0.707P -Pl
Q = -0.853P + 1.56 P
Q = 0.707P
M = -0.853 Px + 1.56P (x-2l)
M = 0.707 Px3.12 Pl
Tramo DC: 0 < x < l x N Q M
N = 0 0 0 P 0
Q = P l 0 P -Pl
M = -P x
-
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Ejemplo Para la viga con articulacin interna en C sin considerar su
-
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Ejemplo.- Para la viga con articulacin interna en C, sin considerar supeso propio, hallar:
a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerzas cortantes ( DFC ) y diagrama de momentos
flectores ( DMF );c) deformada;d) diagrama de tracciones ( DT ).
Dibujar a escala y uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.
S
-
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S.-
Reacciones.- DCL CD
DCL ABC
2/0
2/0
0
PCyM
PDyM
CxDxFx
D
C
PPAyPllAyM
PByPllByM
CxFx
B
A
5.05.005.00
05.020
00
-
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59
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DFC, DMF x Q M
Tramo AB: 0 < x < l 0 -P/2 0
Q = -0.5 P L -P/2 -Pl/2M = -0.5 Px
Tramo BC: l < x < 2l l P/2 -Pl/2
Q = -0.5 P + P = 0.5P 2l P/2 0
M = -0.5 Px + P (xl)
M = 0.5 Px - Pl
Tramo CE: 2l < x < 2.5l 2l P/2 0
Q = -0.5 P + P = 0.5P 2.5l P/2 Pl/4
M = -0.5 Px + P (xl)
M = 0.5 Px - Pl
Tramo DE: 0 < x < l/2 x Q M
Q = -0.5P 0 -P/2 0
M = 0.5P x l/2 -P/2 Pl/4
-
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Observaciones:
1. La lnea de fuerzas cortantes no se afecta por la presencia de laarticulacin interna.
2. La lnea de momentos flectores tiene un punto cero en la articulacininterna.
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