tema 4: sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo

Tema 4: Sistemas dinámicoslineales en tiempo continuo

n Introducciónn Transformada de Laplace n Cálculo de antitransformadasn Descripción externa de los sistemas dinámicosn Descripción interna de los sistemas dinámicosn Álgebra de bloquesn Evolución temporal y transformada Laplace

2

Introducción

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

­ R

¿Cómo se puede estudiar el efecto de la resistencia en el comportamiento del sistema?

u

R

Cy

L

3

Transformada de Laplace

n Transformación de una señal¨ Sea f(t) a derechas: f(t)=0, para todo t<0

Dominio del tiempo Dominio de Laplace

4

Transformadas de algunas señales

5

Propiedades de la transformada Laplacen Linealidad

n Transformación de la derivada

n Transformación de la integral

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Propiedades de la transformada Laplacen Transformada de la señal modulada por una

exponencial

n Transformada de la señal retardada

n Teorema del Valor Final

7

Propiedades de la transformada Laplacen Teorema del Valor Inicial

n Transformada de la convolución

8

Cálculo de antitransformadas

n Objetivo:

n Procedimiento: descomposición en factores simples

n Ceros y polos¨ Ceros: valores que anulan F(s)

¨ Polos: valores singulares de F(s)

9

Caso1: polos realesn Denominador

n Procedimiento

n Cálculo de los residuos

10

Ejemplo

11

n Denominador

n Procedimiento

Caso 2: polos complejos

12

n Cálculo de los residuos

¨ Igualdad compleja=2 ecuaciones (Parte real y parte imaginaria)

¨ 2 incógnitas

Caso 2: polos complejos

13

Ejemplo

14

n Denominador

n Procedimiento

Caso 3: polos reales múltiples

15

n Cálculo de los residuos

n Justificación

Caso 3: polos reales múltiples

16

Ejemplo

17

Descripción externan Objetivo: Encontrar una relación directa

¨ Implícitamente dado por el modelo

n Dos formas¨ Dominio del tiempo: Respuesta impulsional

¨ Dominio de Laplace: Función de transferencia

18

Respuesta impulsional

y(t)

t

sistema

F(t)

tRespuesta impulsional: es la salida que se produce en un sistema cuando se aplica en su entrada un impulso unitario

19

Respuesta impulsional

Conocida la respuesta impulsional se puede calcular la salida del sistema ante cualquier entrada

sistema

20

Sistemas multivariablesn Entradas: 2

¨ Calor aportado¨ Temperatura ambiente

n Salida: 1¨ Temperatura del líquido

21

Sistemas multivariables

Principio de Superposición

22

Sistemas multivariables

Sistema···

···

23

Función de transferencian Dominio del tiempo

¨ Si u(t)=0 para t<0, entonces y(t)=0 para t<0 Condiciones iniciales nulas (Respuesta forzada)

n Dominio de Laplace

Función de transferencia

24

Ejemplo

25

Sistemas multivariables

26

Sistemas multivariables

Sistema···

···

27

Sistemas multivariables

Sistema···

···

28

Relación de H(s) y la respuesta impulsional

Los polos de H(s) determinan la forma de h(t)

Críticamente estable(inestable)

29

Descripción interna

n Estado:

¨

¨

n Descripción interna

Ecuacióntransición

Ecuaciónlectura

30

Descripción internan Descripción interna

n Sistemas lineales

31

Ejemplon Circuito eléctrico:

dtdvCi

vRivdtdvCii

vRiv

s

si

i

ie

22

22

121

11

=

+=

=-

+=

32

Ejemplo

n Circuito eléctrico: entrada ve y salida vs

n Descripción interna (una de las múltiples)

n Variables de estado (las que están derivadas respecto t)

s

i

ss

i

isi

e

vxvx

vdtdvCRv

vdtdvC

dtdvCRv

==

+=

++=

2

1

22

211 )(

33

Ejemplo

Se despejan dvi/dt y dvs/dt en función de vi vs y ve

þýü

=+=

CxyBuAxx!

e

s

s

i

vuvy

vxvx

==

==

2

1

þýü

+=++=

ssi

isie

vvCRvvvCRvCRv

!

!!

22

2111

ïïþ

ïïý

ü

-=

++--=

sis

esii

vCR

vCR

v

vCR

vCR

vCRCR

v

2222

11121112

11

11)11(

!

!

34

Ejemplo

þýü

=+=

CxyBuAxx!

e

s

s

i

vuvy

vxvx

==

==

2

1

( )

ïïïïï

þ

ïïïïï

ý

ü

÷÷ø

öççè

æ=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ+÷÷ø

öççè

æ

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

-

--=÷÷

ø

öççè

æ

s

is

es

i

s

i

vv

v

vCRvv

CRCR

CRCRCRvv

10

0

1

11

111

11

2222

121112

!

!

Típicamente D=0 (sistemas estríctamente propios: n>m)

36

Relación D. Interna y D. Externa

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Álgebra de Bloquesn Objetivo:

Representar los sistemas como subsistemas interconectados¨ Cada subsistema se representa por un bloque funcional¨ Las señales se representan mediante arcos ¨ Interconexiones son uniones de bloques mediante arcos

n Elementos:¨ Sistema lineal

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Álgebra de bloquesn Bifurcación

n Suma de señales

n Conexión en serie

39

Álgebra de Bloquesn Conexión en paralelo

n Realimentación

++_

40

Álgebra de Bloquesn Operaciones de bloques

¨

¨

41

Álgebra de Bloquesn Operaciones de bloques

¨

¨

42

Ejemplo

Sólo se usan integradores y ganancias

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