tema 3 estimación

Distribución muestral

Conceptos y Aplicaciones

14/07/10 H. Medina Disla

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Distribución MuestralEl muestreo y importanciaTipo de MuestreoDistribución en el muestreo¿Qué es?Importancia de la distribución

muestral

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Distribución Muestral del promedio, (p)

Importancia del promedio

Características

∀ Σ(Xi – ) = 0

∀ Σ(Xi – )2 = mínimo

• Es la única medida central que se puede inferir

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Ejemplo: población hipotéticasA, B, C y D

2, 5, 2, 3

μx = ΣXi/N μx = (2+5+2+3)/4

μx = 3

Muestra i

AB (2+5)/2 = 3.5

AC (2+2)/2 = 2.0

AD (2+3)/2 = 2.5

BC (5+2)/2 = 3.5

BD (5+3)/2 = 4.0

CD (2+3)/2 = 2.5

2 = 3

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Variaciones de las muestras

μx = 3

Muestra i

AB (2+5)/2 = 3.5

AC (2+2)/2 = 2.0

AD (2+3)/2 = 2.5

BC (5+2)/2 = 3.5

BD (5+3)/2 = 4.0

CD (2+3)/2 = 2.5

Error estándar del estimadorError estándar del promedio

Nx

x

σσ =

n

SS xx =

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Ejemplo

En una muestra de 150 empleados se obtuvo un salario promedio de 10.0 y una desviación estándar de 2.25.

B)Hallar el error estándar del salario promedio

C)Explicar que significa el error estándar

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Distribución muestral de la ProporciónLa Proporción

px = Casos favorables/ Casos posibles

n

ppS xxp

)1( −=Error

estándar de la proporción

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Forma de una variable con distribución simétrica

estimaciónConceptos y Aplicaciones

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Estimación¿Qué es?Estimador Vs. ParámetroEstimador PuntualEstimador por intervalo

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Parámetros y Estadígrafos

Parámetro Significado Estadígrafo

μx Media Poblac iónal <

σ2 Varianza Poblac iónal S2

σ Desviacin EstándarPoblaciónal S

P P roporción de éxitos En la Población p

N Población n

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EstimaciónCaracterísticas de los EstimadoresInsesgadoEficienteConsistente

inferencia sobre la meDia

aritmética o promeDio

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Estimación Puntual

n

XX i∑=

16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

Salario de nueve empleados

9

0.3...5.80.142.16 ++++=X

1.99

8.81 ==X X= 9.1 $

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Estimación Puntual: Varianza

1

)( 22

−−

= ∑n

XXS i

19

)1.90.3(...)1.90.14()1.92.16( 2222

−−++−+−=S

8

1.6...9.41.7 2222 +++=S 22 $3.19

8

1.154 ==S

estimación por intervalo

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Intervalo de Confianza Nivel de Confianza

Nivel de Significación Elementos a tener en

consideración4.Origen de la Varianza2. Tamaño de la MuestraGrande; n ≥ 30Pequeña; n < 30

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Ejemplo: Población Hipotética de empleados

Muestra Mi

AB (2+ 5)/ 2 = 3.5 AC (2+ 2)/ 2 = 2.0 AD (2+ 3)/ 2 = 2.5 BC (5+ 2)/ 2 = 3.5 BD (5+ 3)/ 2 = 4.0 CD (2+ 3)/ 2 = 2.5

(2.0 P ≤ μx ≤ 4.0) = 100.0%

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Comportamiento de una variable normal

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Varianza poblacionalP(P ± Z(α/2) × σσ ) = 1 - α

Z( / 2)α : valor de Z para un nivel de confianza dado

σσ : Error estándar del promedio, σσ

= σx //n

σ x : Desviación estándar de la variable

n: Tamaño de la muestra α : Nivel de significación

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Ejemplo: El proceso de llenado de una funda de cemento tiene una varianza de 0.85 Kg2. En una muestra de 20 fundas se encontró que el peso promedio era de 41.75 Kg. Con un nivel de confianza de 99.0%, estimar el intervalo del peso promedio del llenado de las fundas de cemento l = 41.75, n = 20, σx= 0.923, α =

0.01

nX

X

σσ = 206.047.4

923.0

20

923.0 ===Xσ

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P[P ± Z( /2) α × σσ] = 1 – αP[41.75 ± Z0.005 × 0.206] = 0.99P[41.75 ± 2.58 × 0.206] = 0.99P[41.75 ± 0.532] = 0.9941.75 - 0.532] = 41.21041.75 + 0.532] = 42.277[41.21 ≤ μx ≤ 42.28] = 99.0%

4 = 41.75, n = 20, σσ = 0.206, α/2 = 0.005

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Varianza muestral: Calculada en muestra grande, n > 30

(( ± Z( /2)α × S×) = 1 - α

Z( / 2)α : Valor de Z para un nivel de confianza dado

SS : Error estándar del promedio, SS = Sx/ / n

S x :Desviación estándar n: Tamaño de la muestra α : Nivel de significación

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Ejemplo: La Empresa Re-Phelon se dedica al ensamblaje de dispositivos electrónicos. Para establecer las especificaciones que deben tener los arbor, a fin de que por lo menos el 97.5% de ellos cumplan con dichas especificaciones, se ha tomado una muestra de 42 abor y ha encontrado que la medida promedio es de 3.0 cm y una varianza de 0.25 cm2 = 3.0, n = 42, S2

x = 0.25, α = 0.025

n

SS XX = 08.0

48.6

50.0

42

50.0 ===XS

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H = 3.0, n = 42, S S = 0.08, α/2 = 0.0125

P[P ± Z(α/2) × S ] = 1 – α

P[3.0 ± Z0.0125 × 0.08] = 0.975P[3.0 ± 2.24 × 0.08] = 0.975P[3.0 ± 0.17] = 0.9753.0 - 0.173 = 2.833.0 + 0.173 = 3.17[2.83 ≤ μx ≤ 3.17] = 97.5%

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Varianza muestral: Calculada en muestra pequeña, n < 30

(( ± t(n-1, α/2) × S ) = 1 - α

t(n-1, /2)α : valor de t para un nivel de confianza dado

SS : Error estándar del promedio, SS =Sx/ / n

Sx: Desviación estándar de la muestra

n: Tamaño de la muestraα : Nivel de significación

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: , Ejemplo Un inversionista quiere saber con . % un nivel de confianza de 95 0 cual es el

rango en el que varía el precio de un grupo . de acciones en las cuales piensa invertir En una muestra de 12 acciones ha encontrado . que el precio promedio es de 18 5$ con una

.desviación estándar de 2 36$

= 18.5, n =12, sx =2.36, α = 0.05

n

SS XX = 68.0

46.3

36.2

12

36.2 ===XS

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H = 18.5, n = 12, ss = 0.68, α/2 = 0.025

P[P ± t(n-1, α/2) × SS] = 1 – α

P(18.5 ± t(11, 0.025) × 0.68) = 0.95P[18.5 ± 2.2010 × 0.68] = 0.95P[18.5 ± 1.50] = 0.9518.5 – 1.50 = 17.018.5 + 1.50 = 20.0[17.0 ≤ μx ≤ 20.0] = 95.0%

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Intervalo de confianza para el Total•Total estimado, T = N × T•Desviación Total, ST = N × SEl intervalo de Confianza

P[T ± t(n-1, /2)α × sT] = 1 – α, donde;

T : Total EstimadosT: Desviación estándar Total

n : Tamaño de la muestra α : Nivel de significación

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Ejemplo: En una muestra de 25 clientes de una tarjeta de crédito se encontró que el número de transacciones promedio mensual es de 12, con una desviación estándar de 2.5. Estimar el intervalo, con un nivel de confianza de 90.0%, del total de transacciones con tarjetas si el banco tiene un total de 20,000 clientes con tarjeta. e = 12, n = 25, sx = 2.5, N= 20,000 α = 0.10

Luego, T = 20,000 × 12 = 240,000 ST= 20,000 × 2.5 = 50,000

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T = 240,000 , ST= 50,000, α = 0.10

•P[T ± t(n-1, α) × sT] = 1 – α

• P[240,000 ± t(24, 0.10) × sT] = 0.90,• P[240,000 ± 1.7109 × 50000] = 0.90,• P[240,000 ± 85,545] = 0.90,240,000 – 85,545 = 154,455240,000 + 85,545 = 325,545[154,455 ≤ T ≤ 325,545] = 90.0%

inferencia sobre la proporción o porcentaje

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Estimación PuntualLa Proporción

px = Casos favorables/ Casos posibles

Ejemplo: Salario de nueve empleados

16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

•Calcular la proporción de empleados con salario menor a RD$6.0.

•Calcular el error estándar de esta proporción

px = # de empleados con salario

menor a RD$6.0 Total de empleados en la muestra

Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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px = # de empleados con salario

menor a RD$6.0 Total de empleados en la muestraPx =3/9 Px =1/3 Px =0.33

n

ppS xxp

)1( −=

Error estándar de la proporción

Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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Px =0.33

n

ppS xxp

)1( −=

Error estándar de la proporción

9

)33.01(33.0 −×=pS

Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0

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Px =0.33Error estándar de la proporción

9

67.033.0 ×=pS9

2211.0=pS

0246.0=pS 1568.0=pS

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Ejemplo

En una muestra de 200 clientes 93 dijeron que están muy satisfechos con el servicio recibido

B)Estimar la proporción o porcentaje de clientes muy satisfechos

C)Hallar el error estándar de la proporción de clientes muy satisfechos

D)Explicar que significa el error estándar

estimacion por intervalo De la

proporción o porcentaje

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Intervalo de confianza para la Proporción

P[px ± Z( /2)α ×Sp]=1 - α px : Proporción obtenida en la muestra

Z : Valor de la distribución normal para el nivel de confianza dado n : Tamaño de la muestra : Nivel de significaciónα

n

ppS xxp

)1( −=

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Ejemplo: Se desea estimar, con un nivel de confianza de un 95.0%, el porcentaje de clientes que están muy satisfechos con el servicio recibido. De una muestra de 200 usuarios, 93 dijeron estar muy satisfecho con el servicio recibido. Estimar el intervalo de confianza para dicha proporciónCasos Favorables 93, n = 200, px= 93/200 = 0.465

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px= 93/200 = 0.465

P[px ± Z(α/2) ×Sp]=1 – α P[0.465 ± Z0.025×0.0353 ]= 0.95

P[0.465 ± 1.96 ×0.0353]= 0.95 P[0.465 ± 0.0691]= 0.950.465 - 0.0691 = 0.3960.465 + 0.0691 = 0.534

[0.396 ≤ px ≤ 0.534] = 95.0%

Intervalo de confianza