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Walter Orlando Gonzales Caicedo
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TEMA:
OPERACIONES CON MATRICES
Gonzales Caicedo Walter Orlando
CHICLAYO – PERÚ
Walter Orlando Gonzales Caicedo
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CAPÍTULO I
MATRICES
1.1 Introducción
Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por:
Así, por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la maquinaria 1 se usa 1 hora y la máquina 2 se usa 2 horas.
A este arreglo de la información en filas y columnas se le denomina matriz y para designarlas se utilizan letras mayúsculas (A, B, C,…). Si al arreglo anterior le llamamos matriz A, tendríamos:
0321
1102
2121
A
Siendo A una matriz de 3 filas (horizontales) y 4 columnas (verticales).
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4
Maq 1 Maq 2 Maq 3
1 2 1 2
2 0 1 1
1 2 3 0
Walter Orlando Gonzales Caicedo
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La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc...
1.2 Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis.
1.3 Orden de una Matriz: Dada una matriz se denomina orden de la matriz al producto indicado del número de filas por el número de columnas. Considerando la matriz anterior esta sería de orden 43 (3 filas por 4 columnas).
1.4 Matriz cuadrada: Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Así,
151
312
221
B
es una matriz cuadrada de orden 33 o simplemente diremos que tiene orden 3.
1.5 Elementos de una matriz: De manera general un elemento cualquiera de la
matriz A se representa mediante la notación ija donde los subíndices i, j nos indica la
fila y la columna donde está ubicado el elemento en cuestión. Así el elemento de la fila 2 y columna 4 de la matriz A, sería:
124a
De igual manera, se tiene que
0
3
34
33
a
a
¿Cuál será el elemento ubicado en la fila 3 y columna 2 de la matriz B?
32b
1.6 Forma general de una matriz: Generalizando la notación de una matriz A de orden nm será:
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
A
Considerándose el elemento genérico ija esta representación se podría abreviar así:
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nmija )( A
si el número de filas y columnas está sobrentendido o no tiene importancia se escribe
simplemente . )(A ija
1.7 igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los
elementos correspondientes iguales. Por ejemplo, las matrices 1/43-0
-54A y
1/43-0
-54B son iguales, pues:
1) Son de igual orden 32
2) Sus elementos correspondientes son iguales:
4/1 3 0
5 4
232322222121
131312121111
bababa
bababa
Ejercicio: Sean las matrices
1/83.149
27-4-
532
A y
3.141/89
274-
532
B ¿Es A=B?
Explique su respuesta.
Solución: Las matrices no son iguales, pues aunque tienen el mismo orden no todos
sus elementos correspondientes son iguales, por ejemplo, 2222 ba .
1.8 Algunos tipos de matrices Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma o sus
elementos reciben nombres diferentes:
1.8.1 Matriz transpuesta Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por tA .
Ejemplo.
Sea a)743
521A , entonces
75
42
31tA
b)
723
124
861
B , entonces
718
226
341tB
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1.8.3 Matriz nula. Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por
nm0 .
Por ejemplo, la matriz 430 sería la matriz:
0000
0000
0000
1.8.4 Matriz identidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I, así tenemos que la matriz identidad de
orden 33 se escribe de la siguiente forma:
100
010
001
I
1.8.5 Matriz escalar. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz escalar:
700
070
007
A
1.8.6 Matriz triangular superior. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
ji si0
...00
............
0
...
222
11211
ij
mn
n
n
a
a
aa
aaa
A
Ejemplo. 100
610
425
A
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1.8.7 Matriz triangular inferior. En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
ji si0
...
............
0
0...0
21
2221
11
ij
mnmm
a
aaa
aa
a
A
Ejemplo:
149
023
002
A
CAPÍTULO II
OPERACIONES CON MATRICES
2.1. Introducción. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850,
introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, administración, en la teoría de las comunicaciones, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.
2.1.1 Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea un escalar y )(A ija una
matriz de orden nm . El producto del escalar por la matriz A (denotado como A )
es la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por el escalar . Ejemplo: Sea la matriz:
54
31-A
Entonces el producto de la matriz A por el escalar 3 será:
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1512
93-A3
2.1.2 Adición de matrices:
Sean )(By )(A ijij ba dos matrices de orden nm . Entonces la suma de A y B,
denotada como BA , es la matriz de orden nm que se obtiene al sumar los
elementos correspondientes de A y B.
Ejemplo 1 Calcular la matriz C=A+B, si
223-
54-2By
367
354A
Solución:
584
816C
23263-7
534-524C
223
542
367
354C
Nota: La suma de dos matrices es posible sólo si ambas matrices tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posible sumar las matrices
963
654y
13
45
07
ya que no tienen el mismo orden.
Ejemplo 2. Sea; A =
2357
98
1012
x
y B =
2356
89
1511
x
. Calcular A + B y A - B.
Solución:
A + B =
2357
98
1012
x
+
2356
89
1511
x
A – B =
2357
98
1012
x
-
2356
89
1511
x
A + B =
235567
8998
15101112
x
A – B =
235567
8998
15101112
x
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A + B =
231013
1717
2523
x
A – B =
2301
11
51
x
Ejemplo 3. Si A =
33812
1153
422
xyx
yx
yx
y B =
338127
11517
4112
x
¿Qué valor toma x+y; si la matriz, A + B es una matriz nula?
Solución:
A + B =
33812
1153
4322
xyx
yx
yx
+
338127
11517
4112
x
=
33007
00173
011320
xyx
yx
yx
=
33000
000
000
x
= 0. De donde:
07
0173
01132
yx
yx
yx
Solucionando el sistema anterior, se obtiene: x = 2, y = 5; por lo que: x + y = 7.
Ejemplo 4. Dadas matrices A =
2365
43
21
x
y B =
2334
51
23
x
; hallar:
D =
23xut
sr
qp
de manera que A + B – D = 0
Solución:
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A + B – D =
2365
43
21
x
+
2334
51
23
x
-
23xut
sr
qp
=
233645
5413
2231
xut
sr
qp
=
2399
14
2
xvt
sr
qp
=
2300
00
00
x
De la definición de matrices iguales, se tiene:
09
09
01
04
0
02
v
t
s
r
q
p
de donde:
9
9
1
4
0
2
v
t
s
r
q
p
. En consecuencia: D =
2399
14
02
x
Ejemplo Práctico. (Matriz de Costos de Suministros) Un contratista calcula que los Costos en dólares) de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades están dados por las siguientes Tablas.
Tabla 01.
Localidad A Concreto Madera Acero
Costos de material 20 35 25
Costos de transporte
22 10 6
Tabla 02.
Localidad B Concreto Madera Acero
Costos de material 22 36 24
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Costos de transporte
9 9 8
Tabla 03.
Localidad C Concreto Madera Acero
Costos de material 18 32 26
Costos de transporte
11 8 5
a. Determinar las matrices de Costos de Suministros de las localidades A,
B y C. b. Escriba la matriz que representa los Costos Totales de material y de
transporte por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.
Solución: a.- Matriz de Costos de Suministros de la localidad A.
A =
3261022
253520
x
Matriz de Costos de Suministros de la localidad B.
B =
32899
243622
x
Matriz de Costos de Suministros de la localidad C.
C =
325810
263218
x
b. La matriz que representa los Costos Totales es la matriz suma A + B +
C.
A + B + C =
3261022
253520
x
+
32899
243622
x
+
325810
263218
x
=
32586891010922
262425323635182220
x
=
32192742
7510360
x
2.1.3 Propiedades de la suma de matrices.
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Sean A, B y C matrices del mismo orden y un escalar cualquiera. Entonces se
cumplen las siguientes propiedades:
a) ABBA (Propiedad conmutativa de la adición matricial) b) CB)(AC)(BA (Propiedad asociativa de la adición matricial)
c) BA)BA( (Propiedad distributiva de la adición por un escalar)
2.1.4 Producto de dos matrices.
Sean rnnm )(By )(A ijij ba , el producto BA es otra matriz rm)(C ijc donde el
elemento ijc se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
njinjijiij bababac 2211
donde inii aaa , , 21 son los elementos de la fila i de la matriz A y los njjj bbb , , , 21
son los elementos de la columna j de la matriz B
mrmjmm
irijii
rj
rj
nrnjnn
rj
rj
mnmm
inii
n
n
cccc
cccc
cccc
cccc
bbbb
bbbb
bbbb
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
222221
111211
21
222221
111211
21
21
22221
11211
Un procedimiento mecánico para calcular ijc consiste en usar un dedo de la mano
izquierda para señalar los elementos de la fila i de A y usar un dedo de la mano
derecha para recorrer los correspondientes elementos de la j ésima columna de B, y
así calcular la suma de los productos a medida que se avanza por la fila i de A y la
columna j de B.
Ejemplo: Sean, hallar la matriz producto C=AB si 32
23
142
81110B ,
12
43
34
A
Solución:
333231
232221
131211
142
81110
12
43
34
C
ccc
ccc
ccc
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B de columna 3ªpor A de fila 1ª
35
1384
B de columna 2ªpor A de fila 1ª
56
43114
B de columna 1ªpor A de fila 1ª
46
23104
donde
13
13
2312131113
12
12
2212121112
11
11
1212111111
c
c
babac
c
c
babac
c
c
babac
y nuestra matriz producto va quedando así:
Luego, para obtener los elementos de la 2ª fila de la matriz C, se trabaja la 2ª fila de A con cada una de las columnas de B, es decir:
B de columna 1ªA de fila 2ª
38
24103
21
21
2122112121
c
c
babac
333231
232238
355646
C
ccc
cc
Luego sigue “2ª fila de A por 2ª columna de B” y “2ª fila de A por 3ª columna de B” así hasta obtener todos los elementos de la matriz producto C:
172622
284938
355646
C
Nota: Dadas dos matrices A y B, el producto sólo se puede efectuar si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que las matrices son conformes para la multiplicación.
333231
232221
355646
C
ccc
ccc
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Ejemplo 1: Si 124
031A y
6
5
4
B . Calcular BA
Solución: Verificamos que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, luego, las matrices son conformes para la multiplicación, entonces
12
12
13
32
34
19
815244
805341
6
5
4
124
031BA
Ejemplo 2. Sean las matrices A =
32143
234
x
y B =
138
11
10
x
. Calcular A.B
Solución:
A.B =
32143
234
x
.
138
11
10
x
=
1281114103
82113104
xxxx
xxx
=
1284430
163340
x
=
1282
89
x
Ejemplo 3. Si A =
134
2
2
x
y B =
)633( ; calcular el producto A.B
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Resolución. A.B =
134
2
2
x
. 31)633( x
=
33)6(4)3(4)3(4
)6)(2()3)(2()3)(2(
)6(2)3(2)3(2
x
=
33241212
1266
1266
x
2.1.5 Propiedades del producto de matrices
Sean )(A ija una matriz de orden mn , )(B ijb una matriz de pm y )(C ijc
una matriz de qp , entonces se cumplen las siguientes propiedades:
a) )asociativa (Propiedad (AB)CA(BC)
b) va)distributi (Propiedad ACABC)A(B
c) va)distributi (Propiedad BCACC)BA(
Ejemplo 1. Sean las matrices A =
136
8
10
x
y B = 31)1086( x . Calcular A.B y B.A y
compruebe que A.B es diferente a B.A. Solución:
A.B =
136
8
10
x
31)1086( x B.A = 31)1086( x
136
8
10
x
=
331068666
1088868
1010810610
xxxx
xxx
xxx
= 11)61088106( xxxx
=
33604836
806448
1008060
x
= 11)184( x
Conclusión. Las matrices A.B y B.A no son iguales; primero porque tiene diferente orden y segundo porque no tienen elementos iguales.
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Ejemplo 2. Sean las matrices A =
33012
123
111
x
y B =
33321
642
321
x
Compruebe que A.B = 0; con lo que se observaría que A.B = 0, no implica que A = 0, o B = 0. Solución:
A.B =
33012
123
111
x 33321
642
321
x
=
3061)3)(2(2041)2)(2(2041)1)(2(
3)1(62)3)(3()2)(1(42)2)(3()1)(1(22)1)(3(
31)6)(1(3121)4)(1(2111)2)(1(11
xxxxxx
xxx
xxxxxx
=
33066044042
3129286143
363242121
x
=
33000
000
000
x
= 0
A.B = 0; sin embargo A 0, y B 0.
Ejemplo 3. Dadas las matrices: A =
33134
312
231
x
,
B =
432121
1112
0141
x
, y C =
430152
1123
2112
x
Compruebe que A.B = A.C; pero B C. Solución:
A.B =
33134
312
231
x 432121
1112
0141
x
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=
4350153
50151
1033
x
A.C =
33134
312
231
x 430152
1123
2112
x
=
4350153
50151
1033
x
2.1.6 Aplicaciones de la multiplicación de matrices Análisis de precios de comestibles. Suponga que se quiere comparar el costo total de ciertos comestibles. La siguiente tabla que puede ser vista como una matriz, da el costo en soles de un kilo de cada uno do los productos en tres supermercados.
Supermercado 1
Supermercado 2
Supermercado 3
Si se compran 5 kilos de carne, 3 kilos de pan, 10 kilos de papas, 4 kilos de manzanas y 2 kilos de café, podremos representar las cantidades compradas por la matriz
2
4
10
3
5
B
El costo total está dado por el producto
139.1
137.1
138
2
4
10
3
5
32.531.24.27.5
312.813.88.5
3331.347
AB
Vemos que el costo total en el supermercado 2 es S/.0.90 más bajo que en el supermercado 1 y S/.2.00 menor que en el supermercado 3. Aunque este problema se puede resolver sin matrices, estas brindan una forma conveniente y resumida de enunciar y resolver el problema.
Carne pan papas manzanas café
7 4 1.3 3 33 8.5 3.8 1 2.8 31
7.5 4.2 1.2 3 32.5
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Interés compuesto anualmente. Supóngase que queremos calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $100 a un interés compuesto anual del 5, 6, y 7%. Si colocamos $P durante un año a un interés r, entonces el valor que se obtiene al final del año es:
)1( final Capital rPrPP
El producto:
107
106
105
100
100
100
07.100
01.060
001.05
AB
da la cantidad que se tiene al invertir US$100 por un año a los intereses de 5, 6 y 7%
respectivamente. En general, el monto al final de n años está dado por B.An El
proceso de calcular BA , (AB),A BA AB, n2 es un proceso iterativo que puede
programarse en un computador.
Ejemplo Práctico. (Comercio Internacional) El Comercio entre tres países I, II y III durante 1 986 (en millones de dólares
Estadounidenses) está dado por la matriz A = 33)( xija ; en donde el elemento
ija representa las exportaciones del país i hacia el país j.
A =
3301421
18017
19160
x
El comercio entre estos tres mismos países durante el año 1 987 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.
B =
3301624
20018
19170
x
a. Explique el significado de los 0 de las matrices A y B. b. Escriba una matriz que represente el Comercio Total entre los países en el
período de los años, 1 986 y 1 987. c. Si en 1 986 y 1 987, 1 dólar estadounidense equivalía a 5 dólares de Hong
Kong, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 años en dólares de Hong Kong.
Solución:
a. Los 0 de la matriz A, corresponden a los elementos: a11, a22 y a33. cuyos significados son: a11 significa; exportación del país I hacia el país I (absurdo, ningún país exporta hacia su mismo país), de igual manera para los elementos a 22 y a33. Análoga explicación merecen los elementos 0 de la matriz B.
b. La matriz que representa el Comercio Internacional total en los años, 1 986 y
1 987 es la matriz suma A+B.
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A + B =
3301421
18017
19160
x
+
3301624
20018
19170
x
=
3303045
38035
39330
x
c. La matriz que representa el Comercio total durante los dos años 1 986 y 1
987 en dólares Hong Kong, es la matriz 5.(A + B).
5.(A + B) = 5.
3303045
38035
39330
x
=
330)30(5)45(5
)38(50)35(5
)39(5)33(50
x
=
330150135
1900105
1951560
x
Ejemplo Práctico. (Gasto en compras) La señora Pepita ha realizado 4 compras en el mercado Modelo de Chiclayo, las
cuales se detallan en la siguiente tabla 04.
Tabla 04.
Productos Cantidad Costo por unidad en soles
Naranjas 4 Kgrs. 0,70
Arroz 5 Kgrs. 1,80
Leche 7 tarros 2,10
Pollo 2 Kgrs. 4,30
a. Escriba las cantidades en una matriz de orden 1x4. b. Escriba los Costos de las unidades en una matriz B de orden 4x1. c. Compruebe que el gasto realizado por la señora Pepita es el producto de las
matrices; A y B, cuyo orden es 1x1.
Solución:
a. La matriz de las cantidades es la matriz, A = 41)2 754( x
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b. La matriz de los Costos de las unidades, es la matriz, B =
1430,4
10,2
80,1
70,0
x
c. El gasto realizado por la señora Pepita será el producto de la matriz A por la matriz B.
Veamos:
A.B = 41)2754( x .
1430,4
10,2
80,1
70,0
x 11)40,4210,2780,1570,04( xxxxx
= (35,10)1x1
El gasto efectuado por la señora Pepita es S/. 35,10
Autoevaluación 02
I. Responde con V o F, según sea el caso.
( ) Para sumar dos matrices, estas deben tener el mismo orden. ( ) La suma de matrices es conmutativa. ( ) La suma de matrices es asociativa. ( ) Para multiplicar dos matrices, A y B el número de columnas de la
primera matriz (A), debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (B).
( ) La multiplicación de matrices es asociativa. ( ) Si, A.B = 0, entonces A = 0, ó B = 0. ( ) La multiplicación de matrices es conmutativa. ( ) En matrices siempre se cumple: Si, A.B = A.C, entonces B = C.
II. Efectúa las operaciones que se indican a continuación.
2.1. 5.32
01
2.2. -4. 71110
81011
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2.3. 020
541 +
200
231
2.4. 020
541 -
200
231
2.5. 2. 200
231 + 4.
71110
81011
2.6. 2. 200
231 - 4.
71110
81011
2.7. 5. 71110
81011 + 7.
200
231
III. Calcular el valor de las variables, para que las igualdades se cumplan.
3.1.
150
325
172
2
43
11
31
12
43
w
v
yu
x
t
z
y
x
3.2.
1 2 3 3 1 2 6 2 7
4 1 2 2 1 2 3 1 5 7
1 2 4 1 0 7 0
x u
z v
y w
3.3.
127 1
22 4
12
2
11
0 2
2
2 1
3 2 0
1 1
3
x
yvw
vw
vu
z
t
y
x
3.4.
tw
zyu
zv
v
u
z
y
x
114
717
2278
130
321
21
3
21
120
011
2
IV. (Matrices de Producción) Una empresa produce tres tamaños de cintas
magnetofónicas en dos calidades diferentes. La producción (en miles de cintas) en su planta de Chilapito está dada por la siguiente tabla.
Tabla Nº 05
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Calidad 1 27 36 30
Calidad 2 18 26 21
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La producción (en miles de cintas) en su planta ubicada en la carretera a Lambayeque, está dada por la siguiente tabla.
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Calidad 1 32 40 35
Calidad 2 25 38 30
a. Determine las matrices de producción de cintas magnetofónicas para cada
una de las plantas de esta empresa. b. Escriba una matriz que represente la producción total de cintas en ambas
plantas. c. El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en la ciudad de Piura,
la cual tendría una vez y media la capacidad de la planta de la que está ubicada en la carretera a Lambayeque. Escriba la matriz que representaría la producción de esta nueva planta.
d. ¿Cuál será la producción total de las tres plantas? V. (Matrices de producción) Un fabricante de zapatos, los produce en color
negro, blanco y café, para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de El Porvenir, está dada por la siguiente tabla.
Hombres Mujeres Niños
Negro 30 34 20
Gris 45 20 16
Café 14 26 25
La producción en la planta de Río Seco, está dada por la siguiente tabla.
Hombres Mujeres Niños
Negro 35 30 26
Gris 52 25 18
Café 23 24 32
a. Determine las matrices de producción para cada una de las plantas. b. Calcule la matriz de producción total de las dos plantas. c. Si la producción de El Porvenir se incrementa en un 50% y la de Río seco en
un 25%, ¿Cuál es la matriz de producción de la nueva producción total? VI. (Ecología) En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El
elemento Cij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. Construya la matriz C = (Cij) para el siguiente ecosistema simple que consiste en tres especies. a. Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras
especies. b. La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume
½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1.
c. La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies.
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VII. Si A es una matriz de orden 3x4, B es de orden 4x3; C es de orden 2x3 y D es de orden 4x5; calcule los órdenes de los siguientes productos de matrices.
7.1. A.B 7.2. B.A 7.3. C.A 7.4. A.D 7.5. C.A.D 7.6. C.B.A
VIII. Realizar las operaciones que a continuación se indican.
8.1. 12
4)510( 8.2.
20
02
20
)301(
8.3.
4
3
2
201
102 8.4.
50
40
32
100
210
321
8.5.
550
440
312
100
210
321
8.6.
0
0
2
100
210
321
8.7. 0
2
00
10
21
8.8.
0150
1040
0132
210
321
8.9. 1010
0
0
2
100
210
321
8.10. 201
102
50
40
32
100
210
321
8.11. 40
323
40
32
10
21
32
IX. Escriba una matriz de orden 2x2, y calcule: A2 + 2.A – 3.I, donde I = 10
01.
X. Escriba una matriz de orden 3x3, y calcule: A2 - 5.A + 2.I, donde I =
100
010
001
.
XI. Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 + 2.A + B2 = (A + B)2. XII. Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 - B2 = (A + B).(A – B).
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XIII. Sean las matrices; A = 1
1
q
p, B =
12
11. Calcular p y q para que:
a) (A+B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b) A2 - B2 = (A + B).(A – B)
Ejercicios Propuestos 1
1) Si las matrices son iguales determine . e yx
a) 52
32
5
2
y
x b)
815
524
81
51 x
y
xy
2) Sean 169-
75B ;
1-3
42A . Calcular a) A+B, b) A-B
3) Sean las matrices:
1-4
52A ,
47
9-5B ,
10
01I
Halle las matrices
a) A+B
b) 3A-2B
c) A+2B+3I
4) Sean las matrices
4-13
6-5
82-
Cy
31
58
64
B ,
53
65
97
A
Comprobar que:
a) A+B=B+A
b) A+(B+C)=(A+B)+C
5) Si 65
2-3By
42-
31A
Calcule AB y BA. De acuerdo al resultado ¿que se puede decir del producto de matrices con respecto a la ley conmutativa?
6) Sean
3213-
4-052
741-7
By 514
3-02A . Calcule AB. ¿Está definido el
producto BA? Explique su respuesta.
7) Efectúe el cálculo que se indica:
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a) 60
14
21
32 b)
31
65
41
23 c)
53-2
417
32
40
61
8) Halle una matriz dc
baA tal que
10
01
21
32A
9) Verifique la ley asociativa de la multiplicación con las matrices:
50
42-
61
Cy
02-3
21-2
101
B , 601
41-2A
10) La siguiente tabla da el costo en centavos de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.
Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices.
11) Arriba, en el ejemplo de “interés compuesto anualmente” encuentre el monto al final del tercero y cuarto año de una inversión de $100 al interés de 5, 6, y 7%, respectivamente.
Respuesta a los ejercicios propuestos 1:
1) a) 3x 2y b) 1x 5y
2) a)156
1110BA b)
1712
33BA
3) a) 311
47 b)
112
334 c)
611
410
5) 2814
1618AB
397-
17BA . Como se puede observar BAAB , por tanto la
multiplicación de matrices no es conmutativa.
6) 3926615
525-23AB , el producto BA no está definido pues el número de
columnas de B no es igual al número de filas de A.
alverjas fríjol maíz
Supermercado 1
Supermercado 2
Supermercado 3
3.3 2.5 4.2
3.4 2.3 4.0
3.6 2.8 3.5
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8) 2a , 3b , 1c , 2d
9) 7143
4426)BC(AC)AB(
10) Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes:
Supermercado 1: 50.80
Supermercado 2: 49.60
Supermercado 3: 50.30
11) a) monto al final del tercer año:
50.122
10.119
115.76
b) monto al final del cuarto año:
08.131
25.126
55.121
CAPÍTULO III
DETERMINANATES E INVERSA DE UNA MATRIZ
3.1 Determinante de una matriz El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su determinante se denota como:
A ó det(A)
y se lee “determinante de A”.
Por ejemplo: a) Sea 10det(A) 43
2-1A , esto es, el determinante de la matriz A
es igual a 10.
b) Sea 15B
121
31-2
2-21
B , esto es, el determinante de la matriz
B es igual a -15.
Como se puede ver en los ejemplos anteriores el determinante de una matriz es un valor numérico único asociado a esa matriz.
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3.1.1 Determinante de una matriz de orden 2
Sea la matriz 2221
1211A
aa
aa, entonces:
Ejemplo: Calcular el determinante de 43
2-1A .
Solución.
10
64
234143
21
Luego, det(A)=10.
Nota: Observe la diferencia de las notaciones, para denotar la matriz se emplean corchetes o paréntesis; mientras que para denotar su determinante se emplean barras.
3.1.2 Determinante de una matriz de orden 3
Sea la matriz
333231
232221
131211
A
aaa
aaa
aaa
, entonces
3231
2221
13
3331
2321
12
3232
2322
11Aaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
Ejemplo. Sea B calcule ,
121
31-2
2-21
B .
Solución.
15-
10-2-7
1)2(4-3)-2(2-6)-1(-1
21
12)2(
11
322
12
311
121
312
221
Luego:
15B .
12212211
2221
1211A aaaa
aa
aa
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A continuación se muestra un artificio par evaluar determinantes de matrices de orden 33
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1º Sumar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos blancos (flechas descendentes) 2º Restar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos negros.
Ejemplo. Halle el determinante de
512-
401-
321
A usando el artificio.
Solución. De acuerdo al artificio
-13
4-1003-16-0
)141()521()302()113()242()501(A
Luego, 13A
3.2 Determinante de una matriz de orden n Antes de pasar a definir los determinantes de orden nn es necesario estudiar los conceptos de menores y cofactores de una matriz.
3.2.1 Menor complementario Considérese la matriz de orden 33
436
510
412
A
A la matriz cuadrada se orden 22 que se obtiene de eliminar la fila 1 y la columna 1
de A se le llama menor del elemento 211a y se denota como 11M , así
43
51M11
de igual forma se obtienen los menores complementarios correspondientes a los
elementos 112a y 413a
36
10M ,
46
50M 1312
Obsérvese que 12M se obtiene al eliminar la 1ª fila y la 2ª columna de la matriz A y
que 13M se obtiene eliminando la 1ª fila y 3ª columna de A.
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Definición. Sean A una matriz de orden nn y ijM la matriz de orden (n-1) obtenida
al eliminar de A su ésimai fila y ésimaj columna. A ijM se le llamará menor del
elemento ija de la matriz A.
3.2.2 Cofactores
El cofactor del elemento ija de la matriz A, el cual se denota por ijA se define como
ijji M)1(A ij
es decir, el cofactor del elemento ija de la matriz A se obtiene calculando el
determinante de ijM y multiplicándolo por ji)1( . Obsérvese que ijA es positivo si
ji es par y es negativo en caso contrario.
Ejemplo. Calcular 13 1211, Ay A A de la matriz A del ejemplo anterior.
Solución
19- 43
51)1(A 11
11 30 46
50)1(A 21
12
6- 36
10(-1) A 31
13
3.3 Cálculo de determinantes por cofactores. El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila por sus respectivos cofactores. Es decir,
inini33i22i11 AAAA det(A) aaaa iii
a la expresión que aparece al lado derecho del signo igual se le llama desarrollo mediante cofactores.
Ejemplo. Calcular el determinante por expansión a lo largo de la primera fila de
4-36
510
41-2
A
Solución.
131312121111 AAA A aaa
1331
31221
121111
11 M(-1)M(-1)M(-1) A aaa
36
104
46
50)1(
36
102 A
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92- A
24-30-38- A
4(-6)(-30)2(-19) A
Ejemplo. Calcule el determinante de la matriz A, si
8423
6912
431-0
2531
A
Solución:
Desarrollando a lo largo de la 2ª fila,
160 A
4(48)3(4)-20-0 A
423
912
531
4
823
612
231
3
843
692
251
1
842
691
253
0 A
AAAA A 2424232322222121 aaaa
Obsérvese que al seleccionar filas con el mayor número de ceros se ahorra trabajo ya que hay que calcular menos determinantes.
3.4 Inversas y Determinantes
3.4.1 Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada, se define a la matriz inversa de A y la denotamos por -1A
a la matriz cuadrada del mismo orden tal que I AA -1 .
Ejemplo. Sea
682
1-43
52-1
A y sea
0.06580.0789-0.1053
0.10530.0263-0.1316-
0.1184-0.34210.2105
A 1- , entonces se
cumple que
100
010
001
0.06580.0789-0.1053
0.10530.0263-0.1316-
0.1184-0.34210.2105
682
1-43
52-1
AA 1-
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Es decir:
3-1 I AA
Donde: 3I es la matriz identidad de orden 3.
Una matriz cuadrada tiene inversa, es decir es invertible, sí y sólo sí su determinante es diferente de cero. Es decir, si una matriz cuadrada A es invertible, entonces
0 det(A) .
Antes de empezar a calcular inversas mediante determinantes, es necesario definir la adjunta de una matriz.
3.4.2 Adjunta de una matriz. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea B la matriz de cofactores de A, entonces
nnn2n1
2n2221
1n1211
AAA
AAA
AAA
B
(Recuérdese que un cofactor es un número.)
Se llama adjunta de la matriz A, y se denota por A adj , a la transpuesta de su matriz
de cofactores B; es decir
nnn21n
n22212
n12111
t
AAA
AAA
AAA
B A adj
(Recuérdese que la matriz transpuesta de A se obtiene intercambiando todas las filas por las columnas).
Ejemplo. Calcule la adjunta de la matriz
753
1-10
342
A
Solución:
1275
11A11 3
73
10A12 3
53
10A13
1375
34A 21 5
73
32A 22
53
42A 23
711
34A31 2
10
32A32 2
10
42A33
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Por tanto, la matriz de cofactores B será:
227-
2513-
3-3-12
B
y transponiendo B, se obtiene la adjunta de la matriz A:
223
253
71312
BA adj t
3.4.3 Cálculo de la inversa de una matriz Método de adjuntos:
Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa -1A está dada por:
A adjdet(A)
1A1-
Ejemplo.
Sea
753
1-10
342
A , determine si A es invertible y calcule su inversa, si existe.
Solución:
Como 3A , es decir su determinante es diferente de cero, entonces A es invertible.
Del ejemplo anterior, se tiene que la matriz de cofactores B es igual a:
227-
2513-
3-3-12
B
de donde:
3/23/21
3/23/51
3/73/134
A
223-
253-
7-13-12
3
1A
1-
1-
Comprobación, se debe cumplir que IAA-1 , en efecto:
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I
100
010
001
2/32/31-
2/35/31-
7/3-13/3-4
753
110
342
AA1-
Método de Gauss: Este método consiste en realizar operaciones elementales, es decir:
1
OE
An
In
In
A
Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Calcular la inversa de 210
121
011
A
Solución:
Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:
1210004
210
121
011
A
Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto;
calculamos primero los adjuntos:
112
21
11
1)01(10
01101
12
011)01(
10
11202
20
01
2)02(21
01101
10
212)02(
20
11314
21
12
33
32312322
21131211
A
AAAA
AAAA
Luego: formamos la matriz adjunta:
111
122
123
adA
Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el
determinante:
A
AA
tad1
111
122
123
111
122
123
1
11A
Ahora lo hacemos por el método de Gauss:
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Tenemos:
111100
122010
123001
111100
122010
001011
111100
011110
001011
100210
011110
001011
100210
010121
001011
Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:
nIAA 1.
Entonces:
100
010
001
210
121
011
111
122
123
Autoevaluación 03
I. Responde con V o F, según sea el caso.
( ) El determinante de una matriz cuadrada es un número. ( ) El número de cofactores o adjuntos de una matriz de orden n, es igual a
n2. ( ) Una matriz cuadrada tiene inversa sólo cuando su determinante es igual
a 0. ( ) Si A es una matriz cuadrada que posee inversa entonces se cumple la
condición siguiente: A-1A = Identidad.
( ) La matriz A =
1 0 2
2 0 3
1 0 3
no tiene inversa; porque su determinante
es igual a 0.
( ) El elemento 23 se ubica en la segunda columna y en la tercera fila.
( ) Si una matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces tiene 9 cofactores ij .
II. Determinar los valores de los siguientes determinantes.
2.1. 2 2
3 3
2.2. 2 12
3 8
2.2.
2 0
3 3
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2.3. 7 2
3 3
2.4.
1 2 3
2 0 2
3 6 9
2.5.
1 2 3
2 0 2
3 6 8
2.6.
1 2 3
2 1 2
3 6 1
III. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.
3.1. A = 1 1
2 2
3.2. A = 1 1
2 0
3.3. A = 1 1
2 2
3.3. A =
1 1 0
2 2 1
1 1 2
3.4. A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
3.5. A =
3 1 2
2 2 1
3 1 1
IV. Responde con V o F, según sea el caso.
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( ) Una matriz de orden mxn, tiene m filas y n columnas. ( ) El elemento aij se encuentra ubicado en la columna i y en la fila j.
( ) La matriz A = 1 3 4 5
2 3 3 0 es de orden 4x2.
( ) Si la matriz A =
22 2
1 0
x x y B =
2 1
1 0 son iguales, entonces el
valor de x es 1 ( ) Una matriz de orden nxn se llama cuadrada. ( ) La matriz nula es aquella que tiene m.n elementos diferentes de 0. ( ) Si, A, B y D son del mismo orden, entonces siempre es posible
determinar una matriz D, tal que : A + D = B.
V. Determina la matriz A = 32)( xija ; cuyos elementos aij = 0;
1;
cuando i j
cuando i j.
VI. Busca un ejemplo de dos matrices A y B de orden 2x2 que poseen
inversa; pero su suma: A + B no posea. VII. Efectúa las siguientes operaciones indicadas.
7.1. 1 0 3 3
22 3 5 1
7.2.
21 2 3
13 23 0 1
1
7.3.
2 0 2
1 0 2 0 2 2
0 1 2 2 2 0
x y z
VIII. Si, A = 1 0
2 3 y B =
3 3
5 1, analiza si se cumple la diferencia de
cuadrados. Es decir: (A – B)(A + B) = A2 – B2; donde: A2 = A.A y B2 = B.B
XI. Si, A = 1 0
2 3 y B =
3 3
5 1, verifica que se cumple: (AB)-1 = B-1A-1
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XI. Determinar la matriz de los adjuntos de las siguientes matrices.
11.1. A = 1 0
2 3 11.2. A =
2 0 2
0 2 2
2 2 0
11.3. A = 3 3
5 1 11.4. A =
3 1 2
2 2 1
3 1 1
11.5 A = 2 1
1 0 11.6. A =
1 1 0
2 2 1
1 1 2
XII. Calcular las matrices inversas de las matrices del ejercicio XI anterior. XIII. (Valoración de Inventarios) Un comerciante de televisores a color tiene 5
televisores de 26 pulgadas, 8 de 20, 4 de 18 y 10 de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en US$ 650 cada uno, los de 20 en US$ 350 cada uno, los de 18 en US$ 270 cada uno y los de 12 se venden en US$ 175 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de matrices.
4. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
4.1 Sistema de ecuaciones con dos variables Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:
22221
11211
byaxa
byaxa
la representación matricial de este sistema es BAX donde:
ficientesriz de coe es la mataa
aa,A
2221
1211
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.constantes las de matriz la es ,B
variableslas de matriz la es ,X
2
1
b
b
y
x
Si 0det(A) , entonces, el valor de la variable xse obtiene así:
2221
1211
222
121
aa
aa
ab
ab
xs
x
Obsérvese que x (determinante con respecto a x ) se obtiene reemplazando la
primera columna de la matriz A por la matriz B, y det(A)s es el determinante del
sistema.
Para calcular el valor de la variable y se obtiene primero el determinante con respecto
a y ( y ) remplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la matriz B.
Luego se divide este determinante entre el determinante del sistema:
2221
1211
221
111
aa
aa
ba
ba
ys
y
Ejemplo: Resolver el sistema
Solución:
La representación matricial del sistema es:
13
9
34
56
y
x
Entonces:
138
38
2018
6527
34
56
313
59
x
1334
956
yx
yx
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338
114
2018
3678
34
56
134
96
y
Luego, .3 , 1 yx
4.2 Sistema de ecuaciones con tres variables
Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
423
24654
18642
zyx
zyx
zyx
Este sistema se escribe en forma matricial como sigue:
de donde: 46
24
213
654
642
214
6524
6418
s
xx , 26
12
213
654
642
243
6244
6182
s
yy
36
18
213
654
642
413
2454
1842
s
zz
Luego .3 , 2 , 4 zyx Observe que zyx , , se obtienen reemplazando
sucesivamente la 1ª, 2ª y 3ª columna de la matriz de coeficientes por la matriz de las
constantes:
4
24
18
4
24
18
213
654
642
z
y
x
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Ejercicios Propuestos 2
1) Calcule el determinante que se indica
a) 62
53 b)
30
14 c)
60
41
d) 54
31 e)
25
04 f)
47
53
2) Calcule los siguientes determinantes de una matriz de orden 3.
a)
012
410
301
b)
651
412
011
c)
612
536
413
d)
321
420
601
e)
120
564
132
3) Una matriz cuadrada en la cual todas las componentes que están por encima de la diagonal principal son ceros se llama matriz triangular inferior.
a) Demuestre que el determinante de la matriz triangular inferior
fed
cb
a
0
00
de
orden 3 es el producto de los elementos de su diagonal principal.
b) Aplique el resultado anterior para calcular el determinante de la matriz triangular inferior
654
032
001
A
4) Una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son ceros se llama matriz triangular superior.
a) Muestre que el determinante de una matriz de una matriz triangular superior
f
ed
cba
00
0 de orden 3 es el producto de los elementos de su diagonal principal.
b) Aplicando el resultado de la parte a), encuentre el determinante de la matriz triangular superior
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600
540
321
B
5) Calcule los determinantes de las siguientes matrices, aplicando desarrollo mediante cofactores. (Recuerde que lo más recomendable es trabajar con la fila que contenga la mayor cantidad posible de ceros)
a)
1597
034
123
A b)
203-4
2-11-3
02-01
3221
B
c)
04-3-2-1-
503-2-1-
5402-1-
54301-
50000
C d)
01010
00112
2-1020
021-10
32001
D
6) En los problemas que siguen determine si la matriz dada es invertible. En caso afirmativo calcule la inversa.
a) 21
23 b)
84
63 c)
100
110
111
d)
3719
501
412
e)
3161
52102
62123
2031
7) ¿Para qué valores de la matriz no es invertible?
8) ¿Qué valores de hacen que la matriz no tenga inversa?
9) En los problemas siguientes exprese el sistema en la forma AX=B.
a) 74
32
yx
yx b)
1032
44
113
zyx
zyx
zyx
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c)
523
2
7
yx
zx
zy
d)
0937
024
032
zyx
zyx
zyx
10) En los problemas siguientes resuelva el sistema usando determinantes
a) 4747
1 3 2
yx
yx b)
524
03
yx
yx
c)
11528
5323
6 2
zyx
zyx
zyx
d)
02 3
2 4
8
zyx
zy
zyx
e)
13
02
722
zyx
zyx
zyx
f)
15
2
42
zy
zx
zyx
f) 523
3 2
yx
yx g)
1 4
032
53 2
zyx
zyx
zyx
Respuesta a los ejercicios propuestos 2.
1) a) 28 c) -6 e) -8
2) a) 0 c) 47 e) 4
3) b) 18A
4) b) 24B
5) a) 30 b) -131 c) 120 d) -2
6) a) 75.025.0
5.05.0 b) no es invertible c)
100
110
011
d) no es invertible
e)
2322
3310
2211
2010
7) Para y
8) No existe inversa si es cualquier número real.
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Bibliografía
Espinoza Ramos. (2 002). Vectores y Matrices. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú.
Francis G. Florey. (1 979). Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall. México.
Frank Ayres. (1 990). Matrices y Determinantes. Editorial Mc - Graw - Hill. México.
Howard A. (1 998). Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México.
Honh f. (1 992). Álgebra de Matrices. Editorial Trillas. México.
Kurosh A. G. (1976). Algebra Superior. Editorial Mir. Moscú.
Maltsev A. I. (1972). Fundamentos de Algebra Lineal. Editorial Mir. Moscú.
Saal R. César. Matrices. Editorial Gómez. Perú.
Stanley I. Grossman. (1 992). Algebra Lineal. Editorial Mc - Graw – Hill. México.
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