tema 13.elementos del plano. ángulos

1. Puntos y rectas1. Posiciones respectivas de las rectas.2. Segmentos y semirrectas3. Mediatriz de un segmento

2. Ángulos1. Medida de Ángulos

3. Clasificación y relaciones entre ángulos1. Clasificación2. Ángulos complementarios y suplementarios3. Ángulos determinados por una recta secante4. Bisectriz de un ángulo.

4. Operaciones con Ángulos

1. PUNTOS Y RECTAS

Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos.

Para referirnos a los puntos utilizaremos letras mayúsculas: A, B, C …, sin embargo, pera referirnos a las rectas utilizamos letras minúsculas: r, s, t…

1.1 Posiciones relativas de las rectas. Dadas dos rectas r y s en el mismo

plano, entonces r y s pueden ser:

Paralelas (no tienen puntos en común).

Secantes (tienen un punto en común).

Llamaremos rectas perpendiculares a las rectas secantes que forman cuatro ángulos rectos iguales.

Coincidentes (todos sus puntos son comunes)

1.2 Segmentos y semirrectas. Una semirrecta es una recta que tiene principio pero

no final.

Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos. El segmento tiene principio y final. A estos puntos se les llama EXTREMOS del segmento. Extremo inicial, y extremo final.

A B

Segmento

A

Semirrecta

1.3 Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular

a él que pasa por el punto medio.

Mediatriz de un segmento

FIN.

2. ÁNGULOS Llamaremos ángulo a la región del plano delimitada

por dos semirrectas con el mismo origen denominado vértice.

2.1. Medida de los ángulos Al igual que las horas, los grados es otro sistema

sexagesimal, es decir 60 unidades es una unidad de orden superior.

Para medir los ángulos se utiliza el grado como unidad de medida, un grado son 60 minutos y un minuto, 60 segundos.

10 = 60 ´

1´= 60 ”

3. Clasificación y relaciones entre ángulos 3.1 Clasificación y 3.2 Ángulos complementarios y

suplementarios:

Hay dos tipos de ángulos que nos sirven para comparar el ángulo recto (90 º) y el ángulo llano 180º.

Comparado con 90 º, un ángulo podrá ser agudo (< 90º), recto (=90º) y obtuso (>90º).

Un ángulo nulo es el que tiene 0º, y un ángulo completo el que tiene los 360º

3.1 Clasificación Si comparamos los ángulos con un ángulo llano,

obtendremos que un ángulo puede ser: Convexo: si mide menos de 180 º Cóncavo : si mide más de 180º

Posición relativa de dos ángulos: Ángulos opuestos por el vértice: Son ángulos que tienen en

común un vértice y sus lados están sobre las mismas rectas.

Ángulos consecutivos: Tienen en común el vértice y el lado.

Ángulos Adyacentes: dos ángulos consecutivos que formen 180º

Ángulos complementarios: Dos ángulos que, al sumarlos dan uno recto.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos que, al sumarlos dan 180º.

OJO: Los ángulos adyacentes son suplementarios, pero los suplementarios sólo serán adyacentes si tienen un lado en común.

3.3. Ángulos determinados por una recta secante a dos paralelas Al cortase dos rectas por una transversal quedan determinados

varios ángulos: ocho en total. Los ángulos que están ubicados en la región comprendida entre las dos paralelas se denominan internos y los de afuera se denominan externos.

Los pares de ángulos no adyacentes que están en el mismo semiplano respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo, se llaman ángulos correspondientes. En la figura, los ángulos 2 y 6 y 1 y 5 son correspondientes.

Los ángulos alternos internos son aquellos pares de ángulos no adyacentes que están en distintos semiplanos respecto de la transversal. En la figura son alternos internos los ángulos 3 y 5 y 4 y 6.

Los ángulos alternos externos son aquellos ángulos no adyacentes que están en distintos planos respecto de la transversal. En la figura son alternos externos los ángulos 2 y 8 y 1 y 7.

Los ángulos que están en el mismo semiplano respecto de la transversal se llaman ángulos conjugados internos (como el 3 y el 4 y el 6 y el 5) o externos (el 2 y el 1 y el 7 y el 8).

3.4. Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide

en dos ángulos iguales.

¿Cómo dibujar bisectriz con regla y compás?

4. Operaciones con ángulos Resta:

Multiplicación:

Multiplicar y sumar

División de ángulos entre escalar