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1Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Tema 12: Oscilaciones

Mecánica Racional, 2º, Grado en Ingeniería Civil

Departamento de Física Aplicada III

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

2Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Osciladores acoplados

Acoplamiento débil

Modos normales de oscilación

3Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

IntroducciónIntroducción

Cuando se acoplan osciladores, el sistema presenta nuevas frecuencias de

oscilación diferentes a las propias de los osciladores por separado

En el acoplamiento débil entre dos osciladores se produce un trasvase periódico de

energía entre los osciladores

Cuando se perturba ligeramente un sistema mecánico en equilibrio, el

movimiento resultante es oscilatorio

Los sistemas complejos tienen diferentes frecuencias de oscilación: los modos

normales

4Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Osciladores acoplados

Acoplamiento débil

Modos normales de oscilación

5Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Osciladores acopladosOsciladores acoplados

Consideramos dos muelles de constante k

acoplados por otro muelle de constante ka

La posición de las masas se determinan

respecto a las posiciones de equilibrio

Segunda Ley de Newton aplicada a cada masa

Buscamos soluciones oscilantes

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Osciladores acopladosOsciladores acoplados

Para que haya soluciones no triviales el

determinante de la matriz de coeficientes

debe ser nulo

Aparecen dos frecuencias características

Si fijamos una de las masas (por ejemplo x2=0)

El acoplamiento desdobla la frecuencia del

sistema con una sola masa

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Osciladores acoplados: coordenadas normalesOsciladores acoplados: coordenadas normales

Hacemos el cambio de variable

Segunda Ley de Newton sobre cada masa

Ecuaciones diferenciales desacopladas

Equivalente a dos MAS con ω1, ω2

Solución general

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Osciladores acoplados: coordenadas normalesOsciladores acoplados: coordenadas normales

Si en t=0 tenemos

Sólo aparece la frecuencia ω1 Modo antisimétrico

Si en t=0 tenemos

Sólo aparece la frecuencia ω2 Modo simétrico

9Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Osciladores acoplados

Acoplamiento débil

Modos normales de oscilación

10Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Acoplamiento débilAcoplamiento débil

Supongamos

Las dos frecuencias están muy próximas a ω0

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Acoplamiento débilAcoplamiento débil

Supongamos

Recuperamos x1

12Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Acoplamiento débilAcoplamiento débil

La energía se transmite de un oscilador al otro alternativamente

13Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

ÍndiceÍndice

Introducción

Osciladores acoplados

Acoplamiento débil

Modos normales de oscilación

14Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Modos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrioModos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrio

Sistema holónomo, esclerónomo, conservativo, independiente

La energía cinética tiene la forma genérica

La energía potencial depende sólo de las coordenadas

15Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Modos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrioModos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrio

Cerca del equilibrio (qk=qk0) U puede aproximarse

por Taylor

Las derivadas primeras son cero en el equilibrio

El valor constante Ueq puede eliminarse cambiando la

referencia de energía potencial

Cerca del equilibrio (oscilaciones pequeñas) la energía potencial queda

Los Aij son números, no funciones

16Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Modos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrioModos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrio

Cerca del equilibrio (qk=qk0) mij también puede

aproximarse por Taylor

Guardamos los primeros términos no nulos

Los meqij son números, no funciones

Cerca del equilibrio (oscilaciones pequeñas) la energía cinética queda

Los meqij son números, no funciones

Son simétricos

17Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Modos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrioModos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrio

Ecuaciones de Euler cerca del equilibrio

18Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

Modos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrioModos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrio

Buscamos soluciones oscilatorias

Problema de autovalores generalizado

Las matrices son simétricas definidas positivas, o sea, los autovalores ω2 son reales

Se obtienen n frecuencias características del sistema (puede haber degeneración)

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Modos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrioModos normales para oscilaciones pequeñas cerca del equilibrio

Al ser las matrices simétricas definidas positivas se puede hace un cambio de

variables para que sean diagonales: son los autovectores del problema

El sistema se puede tratar como n osciladores (modos) desacoplados

Los autovalores y autovectores del problema son las frecuencias y los modos

normales, respectivamente

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Modos normales del péndulo dobleModos normales del péndulo doble