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Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
1
BLOQUE DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO MATRICIAL 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es una tabla de números colocados en filas y columnas. Las representamos incluyendo los datos entre unos paréntesis grandes. Las filas son horizontales y las columnas son verticales. El primer índice indica la fila y el segundo indica la columna. Decimos que una matriz es de dimensión n x p cuando tiene n filas y p columnas.
nxpijaA
npnn
p
p
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y son iguales elemento a elemento.
BA ijij ba ji,
1.1 Tipos de matrices según su forma
Matriz fila: es una matriz de la forma 1 x p. También se llama vector fila. 213 A
Matriz columna: es una matriz de la forma n x 1. También se llama vector columna.
1
5
2
A
Matriz rectangular: Es una matriz en la que n ≠ p
22
51
12
A
Diagonal principal de una matriz: es la diagonal que va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Son los
elementos iia
Matriz cuadrada de orden n: Es aquélla donde hay el mismo número de filas y de columnas, n=p
112
201
132
A
1.2 Tipos de matrices cuadradas
Matriz diagonal: Es una matriz en la cuál todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos,
0ija ji, ji
300
020
001
A
Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero
300
120
321
A
Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos encima de la diagonal
principal son cero
312
022
001
A
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
2
Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales.
945
417
572
3 x 3A
Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal
principal son opuestos. Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros.
036
305
650
3 x 3A
Matriz unidad o identidad: Es una matriz cuadrada y escalar que sólo tiene unos en la diagonal principal,
1iia ; 0ija ji, ji
100
010
001
A
Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.
300
030
003
A
2. OPERACIONES CON MATRICES 2.1 Suma de matrices Para sumar dos matrices, tienen que tener la misma dimensión para poder sumar elemento a elemento. El resultado es otra matriz de la misma dimensión. Ejemplo:
172
031
231
A
411
122
311
B
581
151
522
BA
2.1.1 Propiedades de la suma a) Asociativa: A + ( B + C ) = ( A+ B ) + C b) Conmutativa: A + B = B + A c) Matriz nula o elemento neutro para la suma: Es la matriz que tiene todos los elementos nulos. A + O
= O + A = A d) Matriz opuesta: Es la que obtenemos al cambiar de signo a todos sus elementos. Se verifica:
A + ( - A ) = ( - A ) + A = 0 2.2 Resta de matrices Para restar dos matrices, deben tener la misma dimensión para poder restar elemento a elemento. Ejemplo:
172
031
231
A
411
122
311
B
363
113
140
BA
2.3 Producto de un número real por una matriz Multiplicamos dicho número por cada uno de los elementos de la matriz. Ejemplo:
172
031
231
A
2144
062
462
2A
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
3
Ejercicio 1: Dadas las matrices
605
432A y
472
305B , calcula
BAb
BAa
)
)
BAd
BAc
53)
32)
2.4 Producto de matrices 2.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna El producto de una matriz fila por una matriz columna lo obtenemos multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados. Sólo se pueden multiplicar filas y columnas cuando tienen el mismo número de elementos.
136103).1()2.(35.2
3
2
5
132
2.4.2 Producto de dos matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera tiene que tener tantas columnas como filas la segunda. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. Se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.
nxqpxqnxp CBA
Ejemplo:
312
022
001
33xA
00
20
13
23xB
46
66
13
)( 23xBA
Ejercicio 2: Dadas las matrices
603
215A y
0350
2123
1052
B
a) Razona si se puede realizar el producto BA y, en caso de que se pueda, hazlo.
b) Razona si se puede realizar el producto AB y, en caso de que se pueda, hazlo. 2.4.3 Propiedades del producto
a) Asociativa: CBACBA )()(
b) No conmutatividad (de hecho, a veces no puede ni siquiera multiplicarse) ABBA Matriz unidad o elemento neutro del producto: En el producto de matrices cuadradas, es la matriz
nxnI , identidad. Se verifica AAIIA
c) El producto no es simplificable: CABA NO CB
Si el producto de dos matrices es la matriz nula, no necesariamente alguna de ellas es nula
0BA NO 0 A Ó 0B
2.4.4 Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
CABACBA )(
ACABACB )(
2.5 Trasposición de matrices Se llama matriz traspuesta a la matriz que obtenemos al cambiar las filas por las columnas. Si una matriz es de
dimensión n x p, su traspuesta es de dimensión p x n. La traspuesta de la matriz A la representamos por TA y se
lee “traspuesta de A”. Ejemplo:
011
002A
00
10
12TA
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
4
2.5.1 Propiedades de la trasposición de matrices
a) AATT
b) TTTBABA
c) TTT
ABBA
Ejercicio 3: Dadas las matrices
605
432A y
472
305B
TTT
T
BABACompruebab
Aa
)
)
Ejercicio 4: Dadas las matrices
05
32A y
51
24B comprueba que TTT
ABBA
Ejercicio 5: Escribe un ejemplo de cada uno de los siguientes casos. ¿Qué tipo de matrices son?
T
T
AAb
AAa
)
)
2.6 Potencia de una matriz Para calcular la potencia de una matriz, tiene que ser cuadrada. Y definimos la potencia de matrices, de la misma manera que la potencia de números, mediante un producto.
AAAn ..........
n veces
Ejemplo: Sea
100
010
001
A , entonces
100
010
001
100
010
001
100
010
0012A
2.6.1 Potencias repetidas Algunas veces nos piden hallar una potencia muy alta de una matriz. En este caso hacemos las primeras
potencias y comprobamos que se cumple una pauta o regla. Por ejemplo, en el caso anterior, calculamos la tercera y cuarta potencias:
AAIAAA 3
23
3
34 IAAAAA
Está claro que en nuestro caso, cualquier potencia de índice par es la matriz identidad y cualquiera de índice impar coincide con A.
Ejercicio 6: Dada la matriz
01
10A calcula
nAAA ,, 102
. Haz lo mismo para
11
01B
Ejercicio 7: Comprueba que OIAA 3
2 2 siendo
011
101
110
A
Ejercicio 9: Sean CBA y , tres matrices tales que el producto CBA es una matriz 2 x 3 y el producto
tCA es una matriz cuadrada. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de CBA y , .
Ejercicio 10: Sean las matrices
514
123
436
y
001
011
110
BA . Estudia si existe algún valor de
para el cual se satisfaga BIA 2
.
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
5
Ejercicio 11: Resuelve el siguiente sistema matricial:
8325
20296
10320
7793
BA
BA
3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADDA
El determinante de una matriz cuadrada es un número. Se representa cambiando los paréntesis de la matriz por barras verticales.
97
52A
97
52 A
3.1 Determinante de una matriz de orden 2 por la regla de Sarrus
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa
22018546365
43
3.2 Determinante de una matriz de orden 3 por la regla de Sarrus
332112113223312213312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
Ejemplos:
1046013600
013
110
121
2715318004810584960
087
654
321
Ejercicio 12: Calcula el valor de los siguientes determinantes:
12
23
63
21
443
231
102
600
540
321
Ejercicio 13: Calcula x para que el valor del determinante de A sea -2.
01
230
102
x
A
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3.3 Propiedades de los determinantes. [IMPORTANTE: Cuando se habla de línea de una matriz es una fila o una columna indistintamente.]
Cas
os
en lo
s q
ue
el d
eter
min
ante
es
cero
Si una matriz tiene una línea de ceros. 0
000
654
321
0
602
504
701
Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales u opuestas.
0
543
876
543
0
177
455
311
Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales.
0
875
963
321
0
1583
1072
511
12 3FF
13 5CC
Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas.
0
1296
654
321
0
246
385
451
213 2 FFF
312 CCC
Cambiar dos líneas paralelas. Si en una matriz se cambian dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo.
27
654
087
321
27
087
654
321
32
FF
Cambiar una línea por una combinación lineal. Si en una matriz se cambia una línea por una combinación lineal de ella con las restantes, su determinante no varía.
122 2´
087
654
321
FFF
087
012
321
Descomponer en una suma. Un determinante se puede descomponer en la suma de otros dos de forma que tenga todas las líneas iguales menos una, cuya suma sea la del primero. 087
654
210
087
654
111
087
654
321
Multiplicación por un número. Para multiplicar un determinante por un número, se multiplica el número por cada elemento de UNA línea y sólo una. Por tanto, en una línea se pueden sacar los factores comunes.
087
302520
321
087
654
321
5
087
254
121
3
087
654
321
Determinante de la matriz traspuesta.
tAA 53
42
54
32
Determinante del producto de dos matrices.
BABA
6896
42
75
31
8352
312048
Determinante de la potencia de una matriz
nn AA
4)2(54
322
2
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7
Ejercicio 14: Calcula sin desarrollar el segundo determinante, sabiendo lo que vale el primero.
2
ihg
fed
cba
hihg
efed
bcba
2
2
2
Ejercicio 15: Sabiendo lo que vale el primer determinante, calcula el resto.
5
111
203
zyx
111
102/3
222 zyx
111
23333
zyx
zyx
zyx
111
314
111 zyx
3.4 Desarrollo práctico de un determinante en una matriz de cualquier orden
Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos correspondientes.
El menor complementario de un elemento ija
de una matriz es el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila y la columna
correspondiente al elemento ija. Se representa
por ijM.
Ejemplo: Halla el menor complementario del elemento 12a
:
4242007
64
087
654
321
12
M
El adjunto de un elemento ija
de una matriz es el menor complementario con un signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de la fila y
la columna. Se representa por ijA. Se tiene que:
ij
ji
ij MA
1
Ejemplo: Halla el adjunto del elemento 12a
en la siguiente matriz:
4242107
641
087
654
32121
12
A
a) Si el determinante es de orden 2 o 3, se puede aplicar Sarrus directamente. b) Si el determinante es de orden 3 o mayor que 3, se hacen ceros todos los elementos de una línea
mediante el siguiente procedimiento: Se elige la línea más cómoda, la que tenga un 1, un -1 o un número que sea divisor del resto de los
elementos de la línea, y si tiene algunos ceros, mejor. Se hacen ceros el resto de los elementos de la línea, cada vez uno, sumándole o restándole otra
línea paralela multiplicada por un número. Se desarrolla el determinante por los elementos de esta línea y será igual al elemento elegido
multiplicado por su adjunto. c) El procedimiento se sigue para órdenes superiores a 3.
Ejercicio 16: Calcula el valor de este determinante:
eVandermondde
anteDeter
cba
cba
min
222
111
4. MATRIZ INVERSA.
Definición: La matriz inversa de A es una matriz que se representa por 1A y verifica: IAAAA 11
Definición: Decimos que una matriz A es regular o invertible cuando 0A
4.1 Matriz adjunta Definición: La matriz adjunta de una matriz es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAdj
...
............
...
...
)(
21
22221
11211
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
8
4.2 Cálculo práctico de la matriz inversa
La matriz inversa de A es la traspuesta de su matriz adjunta dividida por el determinante de la matriz.
Pro
ced
imie
nto
:
¿Existe inversa?
a) A ha de ser una matriz cuadrada (para que se pueda hallar el determinante);
b) 0A
(para que se pueda dividir entre él);
Cálculo de la matriz inversa de A :
c) AAdj
d) tAAdj
e)
tAAdjA
A11
Ejercicio 17: Halla la matriz inversa de
867
015
432
A
Ejercicio 18: Halla los valores de k para los que la matriz A tiene inversa.
k
kA
9
4
Ejercicio 19: Si A
43
21 , calcular AAAt 21
5. ECUACIONES MATRICIALES Muchas de las ecuaciones matriciales se pueden resolver directamente; para ello se despeja la matriz incógnita y luego se hacen las operaciones, teniendo en cuenta lo siguiente:
Una matriz que está sumando pasa al otro miembro restando.
Una matriz que está multiplicando se multiplica en ambos miembros por la inversa, PERO multiplicando por el mismo lado que estaba.
Ejercicio 20: Resuelve la ecuación matricial CBAX 2 , sabiendo que
25
13A
54
32B
1816
129C
Ejercicio 21: Resolver la ecuación matricial: OCBAX , siendo
A
01
14
0112
1021B
0301
1210C
6. RANGO DE UNA MATRIZ.
6.1 Dependencia e independencia lineal Un vector fila de una matriz A es cualquiera de sus filas. Un vector columna de una matriz A es cualquiera de sus columnas.
Definición: Se dice que un vector w
es linealmente dependiente de los vectores nvv
,...,,v 21 si es combinación
lineal de ellos. Es decir, si i tales que nnvv
.....w 11
Definición: Se dice que un vector w
es linealmente independiente de los vectores nvv
,...,,v 21 si no es combinación lineal de ellos. Es decir, si la igualdad anterior no se puede cumplir.
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
9
6.2 Rango de una matriz Definición: El rango de una matriz A, de cualquier orden, es el número máximo de vectores fila o de vectores columna de A que son linealmente independientes. Se escribe rg(A). El rango de una matriz coincide con el orden de la mayor submatriz de A cuyo determinante es distinto de 0 (el orden mayor de los determinantes distintos de cero que se pueden formar con los elementos de la matriz en sus posiciones relativas). Ejemplo: Vamos a hallar todos los determinantes que se pueden formar en la matriz
320
201A
De orden 1. Es cada uno de los elementos de la matriz: 1 ; 0 ; 2 ; 0 ; 2 ; y 3 . De orden 2. Es el determinante de todas las combinaciones posibles entre dos filas y dos columnas de la matriz:
; 220
01
; 330
21
432
20
De orden 3. No hay, pues necesitaríamos como mínimo tres filas en A . Ejercicio 22: Halla todos los determinantes que se pueden formar en la matriz B.
122
200
111
B
6.3 Determinación general del rango de una matriz Si Si
Si
3cero de distinto 3orden dedet un existe
2nulosson 3orden dedet los todosy 2
ARango
ARangoARango
Ejercicio 23: Calcula el rango de esta matriz
3221
4102
1321
A
Ejercicio 24: Halla el rango de B según los valores de a
a
a
a
B
11
11
11
Ejercicio 25: Calcula el rango de C según los valores del parámetro k.
0331
13
1331
kkC
2cero de distinto 2orden dedet un existe
1nulosson 2orden de det los todosy
ARango
ARangoOA
0 ARangoOA
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
10
7. SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema lineal heterogéneo: es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos.
82
0 43
2 2
zyx
zyx
zyx
Sistema lineal homogéneo: es aquel en el que todos los términos independientes son nulos.
02 3
0 32
0
zyx
zyx
zyx
Según su número de soluciones, los sistemas pueden ser:
Incompatibles: si no tienen solución.
Compatibles: si tienen solución.
Determinado: si la solución es única. Indeterminado: si existe más de una solución (infinitas soluciones)
7.1 Expresión matricial de un sistema
Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
Llamamos expresión matricial de este sistema a la expresión:
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
...
...
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
es decir, BXA siendo A= matriz de los coeficientes, X=matriz de las incógnitas; B=matriz de los términos independientes
También llamamos matriz ampliada, *A , del sistema a la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas
y los términos independientes de cada ecuación.
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
*
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS
El sistema BXA es compatible *ARangoARango
Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.
Si *ARangoARango , el sistema es incompatible.
Si *ARangoARango
el sistema es compatible
Si coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
En la práctica, es muy cómodo ir haciendo ceros hasta convertir A en una matriz triangular inferior.
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
11
Ejercicio 26: Estudia el número de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
234
0 2 2
2 3
zyx
zx
zyx
b)
2 33
0 2 2
2 3
zyx
zx
zyx
c)
8 33
0 2 2
2 3
zyx
zx
zyx
d)
1558
22
432
zyx
zyx
zyx
e)
432
543
12
zyx
zyx
zyx
Ejercicio 27: Discute, en función de los valores que tome cada parámetro, los sistemas de ecuaciones: a) b) c)
62
32
zyx
zyx
zyx
1
11
1
tyx
ytx
ytx
0
02
0
myx
mzy
ymx
9. REGLA DE CRAMER. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. 9.1 Regla de Cramer
Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
si se cumple que el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo, 0A , entonces el sistema es
compatible determinado, y su solución es: A
Ax
ix
i para ni ..., ,2 ,1 , siendo ixA la matriz que resulta
de sustituir en la matriz A la columna de los coeficientes de ix por la columna de los términos independientes.
Ejercicio 28: Resuelve por Cramer estos sistemas:
4323
0 2 2
2 32
zyx
zx
zyx
3 3
83
5 3
zyx
zyx
zyx
432
523
82
zyx
zyx
zyx
9.2 Generalización de la regla de Cramer Veamos cómo se puede utilizar la regla de Cramer para calcular la solución de un sistema, con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas, que sea compatible indeterminado.
Resolvamos el sistema:
322
1 2
2 3
zyx
zyx
zyx
1er paso: Comprobamos que el sistema es compatible indeterminado.
3
1
2
221
112
113*A
0A ; 012
13
2ARango
0
321
112
213
; 012
13
2* ARango
incógnitasn
ARangoARango
º
2 *
El sistema es compatible indeterminado
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
12
2º paso: Tomamos como referencia las ecuaciones y las incógnitas que representan al determinante que hemos encontrado distinto de cero. Así, eliminamos el resto de ecuaciones del sistema y pasamos al segundo miembro el resto de incógnitas. x y 1ª ecuación
2ª ecuación
012
13
Eliminamos la 3ª ecuación y pasamos z al segundo miembro.
El nuevo sistema que obtenemos es:
zyx
zyx
12
23
3er paso: Aplicamos la regla de Cramer al nuevo sistema.
5
1
12
13
11
12
z
z
x 5
75
12
13
12
23
zz
z
y
La solución de nuestro sistema queda: 5
1x ,
5
75
y , z , con .
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 2015 Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
13
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
14
Ejercicio 12
2014 Ejercicio 13
Ejercicio 14
Ejercicio 15
Ejercicio 16
Ejercicio 17
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
15
Ejercicio 18
Ejercicio 19
Ejercicio 20
Ejercicio 21
Ejercicio 22
Ejercicio 23
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
16
Ejercicio 24
2013 Ejercicio 25
Ejercicio 26
Ejercicio 27
Ejercicio 28
Ejercicio 29
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
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Ejercicio 30
Ejercicio 31
Ejercicio 32
Ejercicio 33
Ejercicio 34
Ejercicio 35
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
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Ejercicio 36
2012 Ejercicio 37
Ejercicio 38
Ejercicio 39
Ejercicio 40
Ejercicio 41
Ejercicio 42
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
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Ejercicio 43
Ejercicio 44
Ejercicio 45
Ejercicio 46
Ejercicio 47
Ejercicio 48
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
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2016 Ejercicio 49
Ejercicio 50
Ejercicio 51
Ejercicio 52
Ejercicio 53
Ejercicio 54
Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020
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Ejercicio 55
Ejercicio 56
Ejercicio 57
Ejercicio 58
Ejercicio 59
Ejercicio 60
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