tecnologías en la educación matemática

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Tecnologías en la Educación Matemática

Dra. Marcela CapobiancoDCIC - UNS

Módulo 1: AlgoritmosMódulo 1: Algoritmos

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Copyright

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Problemas

● ¿Qué es un problema? Pensemos en algunos ejemplos...– Encontrar el camino más corto desde mi casa

hasta el trabajo o la escuela

– Cómo pasar al próximo nivel de un juego

– Cómo aprobar una materia

● ¿Cómo podemos definir un problema? Busquemos en el diccionario

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Definiciones

1)Cuestión que se trata de aclarar

2)Proposición o dificultad de solución dudosa

3)Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin

4)Disgusto, preocupación

5)Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos

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Tipos de problemas

● Nombrar las tres mejores películas que vio este año

● Sumar los números del 1 al 20● ¿Cuál es la diferencia entre estos problemas?● Algunos problemas tienen una solución

subjetiva y otros poseen una solución objetiva● En este curso nos ocuparemos de la segunda

categoría

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● Encontrar el valor de X en X+2=5 ● ¿Cuántos valores pueden tomar X e Y para

que X+Y=5, con X e Y números naturales?● ¿Cuántos valores pueden tomar X e Y para

que X+Y=5, con X e Y números enteros?● ¿Cuántos valores pueden tomar X e Y para

que X+Y=5, con X e Y números naturales mayores que 3?

Cantidad de soluciones

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Ejercicio

● Pensar ejemplos de problemas para los siguientes casos:– con muchas soluciones

– sin solución

– Con infinitas soluciones

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Pasos para resolver un problema

● Analizar y comprender el problema: muy importante

● Construir la solución: se elige y se aplica una estrategia o un conjunto de estrategias combinadas

● Verificar la solución: confrontar los resultados obtenidos con el problema, verificando que la solución sea correcta

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Cómo analizar un problema

● En todo problema se pueden distinguir los siguientes elementos:– Los datos.

– La incógnita.

– El conjunto de reglas que los vinculan.

● El análisis de un problema comienza con la correcta identificación de cada uno de estos elementos.

● Para esto, es una buena idea tener en cuenta las siguientes recomendaciones.

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Análisis y comprensión del problema

● Leer con detenimiento todo el enunciado.

● Comprender el significado de cada palabra y frase.

● Atender a los signos de puntuación.

● Identificar la incógnita.

● Identificar datos explícitos (los puede haber relevantes e irrelevantes).

● Identificar datos implícitos (tanto relevantes como irrelevantes) y explicitarlos.

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Análisis y comprensión del problema

● Eliminar las dobles negaciones.● Detectar ambigüedades e impresiciones para

luego resolverlas.● Obtener inferencias a partir de los datos

identificados y hacerlas explícitas.● Construir un enunciado simple y sencillo con los

datos considerados relevantes.● Verificar la equivalencia entre la especificación

inicial y la obtenida.

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Construir la solución

● Sabemos que encontrar la solución a un problema puede no ser una tarea sencilla

● Para buscar una solución a un problema, lo que hacemos es plantear un modelo

● Un modelo es una versión simplificada de la realidad que cuenta sólo con los datos relevantes del problema

● Los modelos se construyen haciendo abstracciones

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Abstracciones

● Las abstracciones tratan de simplificar la realidad

● Un mapa es un ejemplo de abstracción que usamos muy a menudo

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Formas de describir el problema

● Descripción verbal

● Notación matemática: descripciones algebraicas, ecuaciones, sistemas de ecuaciones

● Gráficos

● Representaciones geométricas

● Diagramas: por ejemplo, de conjuntos

● Notaciones lógicas

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Ejemplo: reyes, caballos y sotas

Roberto y Lola estaban jugando al truco, y al finalizar el partido Lola le propuso a Roberto un desafío. Dispuso sobre la mesa seis cartas boca abajo como muestra la figura de la derecha, donde puede verse que cada carta está al menos junto a otra y a lo sumo junto a otras cuatro. Roberto debía descubrir qué carta era cada una, sabiendo que Lola sólo puso Reyes, Caballos y Sotas. Lola le dijo que había al menos dos Reyes, a lo sumo dos Caballos, tantas Sotas como Reyes, y por cada Sota un Caballo. Además ninguna carta está junto a otra de su misma figura y cada Sota estaba arriba de un Rey.

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Otra vez reyes, caballos y sotas

Roberto le propuso a Lola un nuevo desafío. Dispuso sobre la mesa seis cartas boca abajo como muestra la figura de la izquierda. Lola ahora debía descubrir cuántos Reyes había, sabiendo que Roberto sólo puso Reyes, Caballos y Sotas. Roberto le dijo que había al menos dos Reyes, a lo sumo dos Caballos, más Reyes que Caballos y que de cada figura había un número distinto de cartas. Además la única Sota no estaba junto a un Rey, y cada caballo estaba arriba de un Rey.

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Clariobaldo y su sobrina

● Clariobaldo es ahora tres veces más viejo de lo que lo era su sobrina Anabela hace 10 años y Anabela tiene ahora la mitad de la edad que tendrá su tío dentro de 5 años. ¿Cuánto más viejo es Clariobaldo que Anabela?

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Problemas y computadorasProblemasProblemas

ModelosModelos

AlgoritmosAlgoritmos

ProgramasProgramas

Lenguaje de ProgramaciónLenguaje de

Programación

representables porrepresentables por

Problemas solubles por computadora

Problemas solubles por computadora

implementadosimplementados

escritos en unescritos en un

sonson

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Abstracciones y modelos

● Las abstracciones nos permiten construir modelos

● Ahora usaremos los algoritmos como un modelo

● El objetivo es aprender a decirle a la computadora cómo resolver un problema

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Algoritmo

● Un algoritmo es una secuencia de pasos u operaciones, que al ejecutarlo producirá resultados y terminará luego de una cantidad finita de tiempo

● Existen muchos ejemplos de algoritmos en nuestra vida cotidiana, no relacionados con las computadoras

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Ejemplos de algoritmos

● Instrucciones impresas en una caja de mate cocido

Para preparar un buen mate cocido:– Coloque en la taza un saquito de mate cocido

– Caliente agua fresca hasta el primer hervor

– Vierta el agua en la taza

– Deje reposar 5 minutos

– Si lo prefiere helado, déjelo enfriar y luego agregue hielo, limón y azúcar

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Ejemplos de algoritmos

● Instrucciones impresas detras de una tarjeta telefónica prepaga

Para cargar el monto de su tarjeta a su cuenta:– Raspe suavemente el código de seguridad

– Marque el número de acceso y siga las instrucciones

– Seleccione la opción de cara y cuando el sistema lo solicite ingrese el código descubierto

– A continuación escuchará el nuevo saldo de su cuenta y podrá realizar llamadas

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Ejercicios

● Pensar 3 ejemplos de algoritmos que usa en su vida cotidiana y escribirlos

● Pensar 3 ejemplos de algoritmos que haya aprendido en la escuela primaria o secundaria

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Algoritmos

● Es importante que en los algoritmos:

– Cada paso debe estar definido sin ambigüedad

– Las operaciones deben ser comprensibles– Debe haber un único punto de comienzo y

al menos un punto final● Existe una visión estática y una visión

dinámica de un algoritmo

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Ejemplo de un algoritmo

● Queremos encontrar a Maradona, Diego en la guia telefónica

– Comenzar con el primer nombre en la guia– Si el nombre es igual Maradona, Diego

entonces lo encontré (fin)– Si no es igual repetir el proceso con el

próximo nombre de la guia● No parece muy razonable, no?

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Datos

● Los algoritmos tienen datos y acciones● Las acciones modifican los datos de entrada y

obtienen a partir de ellos a los datos de salida que son la solución buscada

AlgoritmoAlgoritmoDatos de EntradaDatos de Entrada Datos de SalidaDatos de Salida

Datos AuxiliaresDatos Auxiliares

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Algoritmo con datos

ALGORITMO PromedioCuatro

DATOS DE ENTRADA: NUM1, NUM2, NUM3, NUM4

DATOS DE SALIDA : PROMEDIO

Promedio (num1 + num2 + num3 + num4) / 4

ALGORITMO PromedioCuatro

DATOS DE ENTRADA: NUM1, NUM2, NUM3, NUM4

DATOS DE SALIDA : PROMEDIO

Promedio (num1 + num2 + num3 + num4) / 4

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Acciones en un algoritmo

● Existe un orden secuencial en las acciones de arriba hacia abajo

● Existen operaciones de asignación de valores a datos ().

● Existen operaciones condicionales (como en el ejemplo de la guia telefónica)

● Existen operaciones de repetición que indican que una acción se repita un número de veces

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Ejemplo de condicional● Escribir un algoritmo que tome dos números

num1 y num2 y devuelva el mayor de ellos en el dato de salida mayor.

ALGORITMO MayordeDos

DATOS DE ENTRADA: NUM1, NUM2

DATOS DE SALIDA : MAYOR

COMIENZO

SI NUM1>NUM2ENTONCES MAYOR ← NUM1

SINO MAYOR ← NUM2

FIN ALGORITMO

ALGORITMO MayordeDos

DATOS DE ENTRADA: NUM1, NUM2

DATOS DE SALIDA : MAYOR

COMIENZO

SI NUM1>NUM2ENTONCES MAYOR ← NUM1

SINO MAYOR ← NUM2

FIN ALGORITMO

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Uso de repetición

● Supongamos ahora que queremos sumar los números naturales entre 1 y un número dado como entrada

● ¿Cómo podemos hacer?

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Ejemplo de repetición

ALGORITMO SumadeN

DATOS DE ENTRADA: N

DATOS DE SALIDA : SUMA

COMIENZO

aux ← 1

SUMA ← 0

REPETIR MIENTRAS aux <= N

SUMA ← SUMA + aux

aux ← aux + 1

FIN ALGORITMO

ALGORITMO SumadeN

DATOS DE ENTRADA: N

DATOS DE SALIDA : SUMA

COMIENZO

aux ← 1

SUMA ← 0

REPETIR MIENTRAS aux <= N

SUMA ← SUMA + aux

aux ← aux + 1

FIN ALGORITMO

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Recomendaciones generales

● Recordar que todo dato en un algoritmo debe tener un nombre significativo

● Recordar que todo dato de entrada en un algoritmo tiene asociado un valor y que todo dato de salida debería devolver un valor

● Los algoritmos se deben escribir en forma clara y prolija

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Ejercicios

● Identificar en los siguientes enunciados cuáles serían los datos de entrada y de salida de los siguientes algoritmos:– Obtener el cociente y el resto de dividir dos

números naturales entre sí

– Calcular el divisor común mayor de dos números enteros

– Determinar si una fecha es válida

– Calcular la suma de todos los números menores de un tope dado

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Ejercicios

● Escribir un algoritmo para sumar tres números naturales dados como entrada

● Escribir un algoritmo para hallar el cuadrado de un número dado como dato de entrada

● Escribir un algoritmo para calcular el valor de la función f(X)=X2+X3 para un X dado como dato de entrada del algoritmo

● Escribir un algoritmo para ver si un número es par