tav-02-métodos estadísticos .pptx

INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES

Lic. Helga Kelly Quiroz Chavil

Probabilidades

El término Probabilidad se refiere al estudio del azar y la incertidumbre, en

aquellas situaciones en las cuáles se puede producir uno de varios

resultados posibles, la Teoría de la Probabilidad provee métodos para

cuantificar la chance de ocurrencia de cada uno de ellos.

Definiciones:

1. Experimento

Es cualquier proceso o acción que genera observaciones y que puede ser

repetible.

Por ejemplo:

a) Arrojar un dado

b) Seleccionar un individuo, registrar su peso y su altura

c) Seleccionar una muestra de productos elaborados por una empresa

para hacer un control de calidad.

d) Seleccionar un día al azar y registrar el número de veces que se satura

un servidor.

Definiciones:

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. A cada

elemento del espacio muestral se denomina punto muestral. El espacio

muestral se describe por :

S=w/w es un punto muestral

Los Espacios Muestrales con un número grande o infinito de puntos

muestrales se describen mediante un enunciado o regla.

Ejemplo:

1. El experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado

obtenido en la cara superior , es de una sola prueba, cuyo espacio

muestral es:

2. Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda y un dado a la vez , y

observar ambos resultados, el espacio muestral es :

Ejemplo

3. Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de sitios

web en internet con más de un millón de visitas, nuestro EM se escribe:

=x/x es un sitio web con más de un millón de visitas diarias

Ejercicio:

Dados los siguientes experimentos, indicar su espacio muestral:

a) E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior.

b) E2: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara

superior.

c) E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas rojas “R” y bolas

verdes “V”.

d) E4: Designar un delegado de un grupo de 50 personas a través de un

sorteo.

Eventos o Sucesos:

Se denomina suceso o evento a cualquier subconjunto del espacio

muestral. Se puede hacer una lista de muchos eventos asociados con un

experimento, algunos con más posibilidad de ocurrir que otros. Tenemos:

El evento imposible no tiene puntos muestrales, en consecuencia no

ocurre nunca .

Los eventos unitarios o elementales , contienen un solo punto

muestral .

Eventos o Sucesos: Los eventos compuestos, consisten de dos o más eventos

elementales.El evento seguro o cierto, contiene a todos los eventos

elementales posibles.

Ejemplo:

a) Sea el espacio muestral:

E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior, entonces un evento

seria:

A = ”sale cara”

A = cara

A = 1

Ejemplo:

b) Se el espacio muestral:

E2: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior,

entonces un evento seria:

B = “se lanza el dado y sale un numero par

B = 2, 4, 6.

Conteo de Puntos Muestrales

Número de Puntos Muestrales

El número de elementos de un evento arbitrario A se denotará

por n(A). Es decir:

n()=0 y n(A) , para todo evento A.

Regla de la multiplicación

Si A y B son dos eventos finitos, entonces, el número de

elementos del evento producto cartesiano AxB es igual al

número de elementos de A multiplicado por le número de

elementos de B. Esto es :

n(AxB)=n(A)xn(B)

Ejemplo:

Cuántos puntos muestrales tiene el espacio muestral que

resulta de lanzar dos dados a la vez?

Solución

A es el evento “resultados del dado 1” entonces n(A)=6

B es el evento “resultados del dado 2” entonces n(B)=6

Luego:

n(E)= n(A)xn(B)=6x6=36

Las variaciones sin repetición de “m” elementos tomados de “n en n” (m ≥ n) se definen como las distintas agrupaciones formados con “n” elementos distintos, eligiendo entre los m elementos que disponemos , considerando una variación distinta a otra de manera que estos arreglos difieran en algún elemento o en el orden de la colocación .

Variaciones Simples

Variaciones Simples

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:Ejemplo:

Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con

las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Solución

Elementos disponibles: 9 cifras Elementos por grupo: 3 cifras Influye el orden de colocación de los elementos?

Si, al tratarse de números el orden importa Cogemos todos los elementos disponibles?

No, solo 3 de ellos Se puede repetir los elementos?

No, dice tres cifras distintas

Solución

Variaciones sin repetición de 9 elementos tomados de 3 en 3 =504 números de 3 cifras

Variaciones con repetición

Las variaciones con repetición de m elementos tomados de “n en n” se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndose de entre los m elementos que disponemos, considerando una variación distinta a otras si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden

Ejemplo:

El sistema de matriculas de vehículos consiste en un numero

de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes.

Cuantas placas hay con un determinado bloque de letras?

Solución

Disponemos de 22 consonantes m =22

Formamos grupos de 3 letras n= 3

Luego:

Se llama permutaciones de m elementos a las diferentes

agrupaciones de esos m elementos de forma que:

• Sí entran todos los elementos.

• Sí importa el orden.

• No se repiten los elementos.

Permutaciones

Ejemplo:

Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con

los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

Solución

Número de elementos: 5 m=5

Cifras : 5 n = 5

Permutaciones Circulares

Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplo:

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas

alrededor de una mesa redonda?

Solución:

Tenemos n=8, luego:

7!=5 040

Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n

(m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse

con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

=

Ejemplo:

En una clase de 20 alumnos se quiere elegir un comité

formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se

pueden formar?

Solución:• No entran todos los elementos.• No importa el orden: Juan, Ana.• No se repiten los elementos.

Solución:Luego m=20 , n=3 entonces:=

= =

===20x19x3=1 140

5!=5.4.3.2.1=120

6!=6.5.4.3.2.1=720

Combinaciones con Repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:No entran todos los elementos.No importa el orden.Sí se repiten los elementos.

=

Ejemplo:

En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas

formas se pueden elegir cuatro botellas?

Solución:

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de

aceite, o que 2 de aceite y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del

mismo tipo.

Solución:

Luego m=5 y n= 4

=

=

===

= 70

Probabilidades

Sea un suceso A, de un total de “n” posibles casos, todos

igualmente factibles, puede presentarse en “h” de los casos.

Entonces la probabilidad de aparición del suceso viene dada

por:

La probabilidad de no aparición del suceso viene dad por :

= 1-

Probabilidades

Así pues, tenemos:

Ejemplo

Cuál es la probabilidad que aparezcan 3 ó 4 en una sola tirada

de una dado?

Solución:

Sabemos que n= 6

Puesto que A puede presentarse en dos casos 3 ó 4 , se tiene:

Solución

La probabilidad de no tener un 3 ó 4 ( es decir podemos obtener:

1,2,5,6) es :

Axiomas y Teoremas de Probabilidad

Dado un experimento aleatorio y un espacio muestral asociado, a cada

evento A se le asociará un número que notaremos P(A) y que llamaremos

probabilidad del evento A. Esta asignación debe satisfacer los siguientes

axiomas:

a) La probabilidad de un evento cualquiera A está comprendido entre 0 y 1,

es decir: 0

Axiomas y Teoremas de Probabilidad

b) Si siendo cada uno de los sucesos igualmente probables,

entonces se tiene:

Luego si A es un evento de S tal que entonces

c) P(A)= 1 si A es un evento seguro

d) P(A)=0 si A es un evento imposible

Ejemplo:

Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire

dos dados, y se considera espacio muestral el resultado de la

suma de los valores obtenidos, calcular:

a) Espacio muestral S:

b) La probabilidad del suceso A=2

c) La probabilidad del suceso B=par

Ejemplo:

d) La probabilidad del suceso C=10, 11, 12

e) La probabilidad del suceso D=4, 5, 6, 7

f) P(AUB)

Solución

a) Espacio muestral, entonces la suma = 2

89

Solución

Luego:

E= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

n(E)= 11 elementos

Solución

b) La probabilidad del suceso A=2

El suceso A, tiene 1 elemento, entonces:

P(A)=

c) La probabilidad del suceso B=parEl suceso B= 2, 4, 6, 8, 10, 12 entonces n(B)=6Luego:

P(B)=

Solución

d) La probabilidad del suceso C=10, 11, 12

El suceso C, tiene 3 elementos, entonces

P(C)=

e) La probabilidad del suceso D=4, 5, 6, 7

El suceso D tiene 4 elementos, entonces

P(D)=

Solución

d) P(AUB)

Sabemos que el suceso A = 2 y el suceso B=2,4, 6, 8, 10, 12

Entonces:

A U B= 2 U 2,4, 6, 8, 10, 12 = 2,4, 6, 8, 10, 12=B

Luego: n(A U B) = 6 elementos

P(A U B)=

Probabilidad Condicionada

Sean A y B dos eventos , la probabilidad condicional del evento

A dado el evento B es:

Propiedades

a) ⊂A, B=A entonces =1

b)

Ejemplo:

Un club consiste de ciento cincuenta miembros. Del total, 3/5 son hombres y

2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres no son profesionales.

Si se elige al azar un socio del club, calcule la probabilidad de que:

a) Sea hombre y profesional.

b) Sea hombre dado que es profesional.

c) Sea mujer y profesional

d) Sea mujer dado que no es profesional

Solución

Ω= 150 total

Hombres:Hombres: = 3(30)=90Hombres-Profesionales:

Mujeres: Mujeres: 150-90 = 60Mujeres – No profesionales:

Solución

Género/ Ocupación Profesional (P) No profesional(N) Total

Hombre(H)Mujer (M)

6040

3020

9060

Total 100 50 150

Solución

Calcule la probabilidad de que:

a) Sea hombre y profesional

La probabilidad de que sea hombre y profesional es el 40%.

Solución

Calcule la probabilidad de que:

b) Sea hombre dado que es profesional.

La probabilidad de que sea hombre dado que es profesional es del 60 %

Solución

Calcule la probabilidad de que:

c) Sea mujer y profesional

La probabilidad de que sea mujer y profesional es el del 26.7%.

Solución

Calcule la probabilidad de que:

a) Sea mujer dado que no es profesional

La probabilidad de que sea mujer dado que no es profesional es del 40 %

Teorema de Bayes

Sean , n eventos pertenecientes al espacio muestral “S” y sea B

un evento cualquiera, con P(B) > 0, entonces se cumple que :

Ejemplos:

Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de

calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del

fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de

producción del fabricante B es limitada, y por esta razón sólo el 30 % de la

mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, mientras que el resto lo

adquiere de A. Si se inspecciona un embarque que acaba de llegar y si resulta

que es de calidad excepcional, ¿ cuál es la probabilidad de que provenga del

fabricante A?

Solución

Sea:

A = fabricante A

B = fabricante B

C= calidad excepcional

NC = no es de calidad excepcional

Solución

C 0.6 0.7 A 0.4 NC C 0.3 B 0.9 0.1 NC

Solución

P(A /C) =

P(A /C) = = = 0.609

P(A /C)= 60.9%

Ejemplos:

Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina

está bien ajustada en un periodo, el 80 % de los objetos producidos pasan el

control de calidad, de otro modo sólo pasan el 60 % . Se ha determinado que

el 90 % de los periodos la máquina está bien ajustada. Si se inspecciona los

objetos y resulta que no pasan por el control de calidad, cuál es la

probabilidad que provenga de la máquina mal ajustada?

Solución

Sea

BA= máquina bien ajustada

MA = máquina mal ajustada

CC= pasan al control de calidad

NC= no pasan al control de calidad

Solución

CC 0.8 BA 0.9 0.2 NC CC 0.6 0.1 MA

0.4 NC

Solución

P(MA /NC) =

P(MA /NC) = = = 0.182

P(MA /NC)= 18.2%