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UNIVERSIDAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Tarea Académica N° 1
Formulación de modelos
ESTUDIANTE
Yasmin Apari Muñoz
PROFESOR
Luis Peña Mendoza
Fecha de entrega: 04 de abril de 2016
2016 - 1
Caso 1
Problema de combinación de productos a fabricar
Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de
plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:
Propiedad Aleación
1 2 3 4 5
% de aluminio 60 25 45 20 50
% de zinc 10 15 45 50 40
% de plomo 30 60 10 30 10
Costo ($/libra) 22 20 25 24 27
El objetivo es formular el modelo que determine las proporciones de estas aleaciones que deben
mezclarse para producir la nueva aleación al costo mínimo.
Solución:
Variables de decisión:
Xi : proporción de aleación “i” para producir la nueva aleación
Donde:
i = {1, 2, 3, 4, 5}
Función objetivo:
C = costo total de la nueva aleación
Mín C = 22 X1 + 20 X2 + 25 X3 + 24 X4 + 27 X5
Restricciones:
Aluminio: 0.60 X1 + 0.25 X2 + 0.45 X3 + 0.20 X4 + 0.50 X5 = 0.40
Zinc: 0.10 X1 + 0.15 X2 + 0.45 X3 + 0.50 X4 + 0.40 X5 = 0.35
Plomo: 0.30 X1 + 0.60 X2 + 0.10 X3 + 0.30 X4 + 0.10 X5 = 0.25
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1
Caso 2
Problema de Transporte
Medequip Co. produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han
recibido pedidos de 3 centros médicos para la producción de este mes. La siguiente tabla
muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro, además muestra el número
de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas a cada
cliente. Ahora debe tomar la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica
a cada cliente.
A De
Costo unitario de envío Producción
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3
Fábrica 1 $ 600 $ 800 $ 700 400 und.
Fábrica 2 $ 400 $ 900 $ 600 500 und.
Orden 300 und. 200 und. 400 und.
Solución:
Variables de decisión:
Xij : número de unidades que se envían de la fábrica “i” al cliente “j”.
Donde:
i = {1, 2}
j = {1, 2, 3}
Función objetivo:
C = costo total del envío
Mín C = 600 X11 + 800 X12 + 700 X13 + 400 X21 + 900 X22 + 600 X23
Restricciones:
X11 + X12 + X13 = 400
X21 + X22 + X23 = 500
X11 + X21 = 300
X12 + X12 = 200
X13 + X23 = 400
Caso 3
Problema del plan de producción e inventarios
Una compañía manufacturera produce 2 tipos de productos, A y B. La demanda (en unidades)
se muestra a continuación:
A B
Marzo 5000 2000
Abril 8000 4000
La compañía posee 2 líneas de ensamble (cualquier producto puede ensamblarse en cualquier
línea). La capacidad de cada línea y las tasas de producción se muestran en las siguientes tablas:
Capacidad (horas)
Línea 1 Línea 2
Marzo 800 2000
Abril 400 1200
Producto Tasa de producción (horas / unidad)
Línea 1 Línea 2
A 0.15 0.16
B 0.12 0.14
El costo de producción es de 5 $ / hora (se paga sólo por las horas trabajadas). Se puede
almacenar productos a un costo mensual de 0.50 $ / unidad. Actualmente, el almacén cuenta
con 500 unidades de A y 750 unidades de B. Se desea que el inventario al final del mes de Abril
sea por lo menos 1000 unidades de cada producto. Plantee un MPL para determinar el plan de
producción e inventarios que minimice el costo total y cumpla con la demanda.
Solución:
Variables de decisión:
Xij : cantidad de horas trabajadas por línea “i” en el producto “j”.
Donde:
i = {1, 2}
j = {A, B}
Función objetivo:
C = costo total
Min C = 5 (X1A + X2A + X1B + X2B) + (0.5 * 2000)
Restricciones:
X1A + X1B ≤ 1200
X2A + X2B ≤ 3200
X1A / 0.15 + X2A / 0.16 = 1350
X1B / 0.12 + X2B / 0.14 = 6250
Caso 4
Coalco, problema de transporte
Coalco explota carbón en 3 minas y lo embarca para 4 clientes. Los costos por tonelada de
carbón en producción, la ceniza y el contenido de azufre del carbón; y la capacidad de
producción de cada mina se proporcionan en la siguiente tabla:
Mina Costo de
producción ($/t) Capacidad (t)
Contenido de ceniza
Contenido de azufre
1 50 120 8% 5%
2 55 100 6% 4%
3 62 140 4% 3%
El costo de transporte de carbón ($ / t) desde cada mina a cada cliente se muestra en la siguiente
tabla, así como también la demanda de carbón que necesita cada cliente se muestra en la
siguiente tabla:
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4
Mina 1 4 6 8 12 Mina 2 9 6 7 11 Mina 3 8 12 3 5
Demanda (t) 80 70 60 40
Se requiere que, para cada cliente, la cantidad total de carbón embarcado proveniente de las 3
minas contenga a lo más 5% de ceniza y a lo más 4% de azufre. Plantear un modelo de
programación lineal que minimice el costo por cumplir las demandas de los clientes.
Solución:
Variables de decisión:
Xij : cantidad de carbón enviado de la mina “i” al cliente “j”.
Donde:
i = {1, 2, 3}
j = {1, 2, 3, 4}
Función objetivo:
C = costo total
Min C = 50 (X11 + X12 + X13 + X14) + 55 (X21 + X22 + X23 + X24) + 62 (X31 + X32 + X33 + X34) + 4 X11 + 9 X21
+ 8 X31 + 6 X12 + 6 X22 + 12 X32 + 8 X13 + 7 X23 + 3 X33 + 12 X14 + 11 X24 + 5 X34
= 54 X11 + 64 X21 + 70 X31 + 56 X12 + 61 X22 + 74 X32 + 58 X13 + 62 X23 + 65 X33 + 62 X14 + 66
X24 + 67 X34
Restricciones:
X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 120
X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 100
X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 140
X11 + X21 + X31 ≥ 80
X12 + X22 + X32 ≥ 70
X13 + X23 + X33 ≥ 60
X14 + X24 + X34 ≥ 40
0.08 X11 + 0.06 X21 + 0.04 X31 ≤ 0.05 (X11 + X21 + X31)
0.08 X12 + 0.06 X22 + 0.04 X32 ≤ 0.05 (X12 + X22 + X32)
0.08 X13 + 0.06 X23 + 0.04 X33 ≤ 0.05 (X13 + X23 + X33)
0.08 X14 + 0.06 X24 + 0.04 X34 ≤ 0.05(X14 + X24 + X34)
0.05 X11 + 0.04 X21 + 0.03 X31 ≤ 0.04 (X11 + X21 + X31)
0.05 X12 + 0.04 X22 + 0.03 X32 ≤ 0.04 (X12 + X22 + X32)
0.05 X13 + 0.04 X23 + 0.03 X33 ≤ 0.04 (X13 + X23 + X33)
0.05 X14 + 0.04 X24 + 0.03 X34 ≤ 0.04 (X14 + X24 + X34)
Caso 5
Problema en la mezcla de aceite
Una empresa produce aceite monogrado y aceite multigrado, mezclando aceite común con dos
aditivos. Por cada litro de los aceites producidos los contenidos en litro de aditivos son:
Tipo de Aceite Aditivo I Aditivo II
Aceite monogrado 3/20 1/4
Aceite multigrado 1/4 7/20
La empresa dispone de 120 litros de aditivo I, 175 litros de aditivo II y de una cantidad ilimitada
de aceite común. Los precios por litro de aditivo I y II son respectivamente 200 US$. y 160 US$.
y un litro de aceite común vale 80 US$.
El aceite monogrado se vende a 150 US$ el litro y un litro de aceite multigrado vale 180 US$ La
producción combinada de los dos aceites tiene que ser superior ó igual a 400 unidades (una
unidad es igual a un litro de aceite).
Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal.
Solución:
Variables de decisión:
X : cantidad de litros de aceite monogrado
Y : cantidad de litros de aceite multigrado
Pc monogrado = (3*200/20) + (50*160/20) + (12*80/20) = 118 X
Pc multigrado = (5*200/20) + (7*160/20) + (8*80/20) = 138 Y
Función objetivo:
U = utilidades
Max U = (150 X – 118 X) + (180 Y – 138 Y) = 32 X + 42 Y
Restricciones:
Cantidad de litros de Aditivo I: (3X /20) + (5Y / 20) = 120
Cantidad de litros de Aditivo II: (5X /20) + (7Y / 20) = 175
Producción total: X + Y ≥ 400
Caso 6
Problema de desperdicio en el corte o de recorte de las existencias
Una Compañía papelera produce rollos de papel con un ancho estándar de 20 pies cada uno. Los
pedidos especiales de los clientes, con diferentes anchos, se producen recortando los rollos
estándar. Los pedidos típicos (que pueden variar día a día) se resumen en la siguiente tabla:
Pedido Ancho deseado (pies) Número deseado de rollos
1 5 150
2 7 200
3 9 300
En la práctica, un pedido se prepara fijando las cuchillas de corte en el ancho deseado. Por lo
común, hay cierto número de formas en las cuales se pueden cortar un rollo estándar para
satisfacer un pedido determinado. Se requiere formular el modelo que minimice el desperdicio.
Representación Matemática:
Trate de determinar las combinaciones de las posiciones de las cuchillas (variables) que pueden
satisfacer los pedidos requeridos (restricciones) con el área mínima de desperdicio en el corte
(objetivo). La definición de las variables como se dan deben traducirse de tal forma que pueda
utilizarla el operador de la cortadora. De manera específica las variables se definen como el
número de rollos estándar que van a cortarse conforme a una posición determinada de las
cuchillas. Esta definición requiere la identificación de todas las posiciones posibles de las
cuchillas.
Solución:
Corte tipo i Ancho de pies Ancho útil
en pies Desperdicio
en pies 5 7 9
1 - 1 1 16 4
2 2 1 - 17 3
3 2 - 1 19 1
4 4 - - 20 0
5 1 2 - 19 1
6 - - 2 18 2
Variables de decisión:
Xi : número de rollos cortados bajo el patrón del corte tipo “i”.
Donde:
i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Función objetivo:
D = desperdicio
Min D = 4 X1 + 3 X2 + X3 + 0 X4 + X5 + 2 X6
Restricciones:
- Demanda 5 pies:
0 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 + 1 X5 + 0 X6 = 150
- Demanda 7 pies:
1 X1 + 1 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 2 X5 + 0 X6 = 200
- Demanda 9 pies:
1 X1 + 0 X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 2 X6 = 300
Caso 7
Problema en la programación de autobuses
La Municipalidad de Lima está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de autobuses
de tránsito masivo que disminuya el problema de la contaminación ambiental, reduciendo el
número de vehículos que circulan en la ciudad.
El estudio inicial busca la determinación del número mínimo de autobuses que pueda manejar
las necesidades de transporte. Después de recopilar la información necesaria, el ingeniero de la
ciudad observó que el número mínimo de autobuses fluctuaba según la hora del día. Al estudiar
más a fondo los datos, fue evidente que era posible hacer una aproximación del número de
autobuses mediante valores constantes sobre intervalos sucesivos de 4 horas cada uno.
El siguiente gráfico resume los descubrimientos del ingeniero. Para llevar a cabo el
mantenimiento diario requerido, cada autobús podía operar sólo ocho horas sucesivas del día.
Se requiere formular el modelo para determinar el número de autobuses que van a operar
durante los diferentes turnos (variables) que satisfagan la demanda mínima (restricciones), al
mismo tiempo que se minimiza el número total de autobuses diarios en operación (objetivo).
Solución:
Variables de decisión:
Xi : número de horas que trabaja el bus “i”
Donde:
i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Función objetivo:
Min F = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
Restricciones:
4 ≤ X1 + X6 ≤ 16 0 ≤ X1 ≤ 8
8 ≤ X2 + X1 ≤ 22 0 ≤ X2 ≤ 8
10 ≤ X3 + X2 ≤ 25 0 ≤ X3 ≤ 8
7 ≤ X4 + X3 ≤ 29 0 ≤ X4 ≤ 8
12 ≤ X5 + X4 ≤ 23 0 ≤ X5 ≤ 8
4 ≤ X6 + X5 ≤ 20 0 ≤ X6 ≤ 8
Caso 8
Problema en la programación de producción
La empresa de jugos “Guatt’s” vende 7 tipos de diferentes jugos envasados en cajas de 1 litro:
Durazno, Naranja, Manzana, Piña, Zanahoria y 3 tipos de combinados (combinado F, combinado
G y combinado H). Para la elaboración de los diferentes 8 tipos de jugos, se utiliza como materia
prima Kgs de fruta fresca de Durazno, Limón, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria. El costo de
cada materia prima ($/Kgs) así como el precio de venta de cada tipo de jugo ($/litro) equivalen
a:
Costo de Materia Prima ($/kg) Precio de Venta ($/litro)
Durazno 20 99
Limón 27 -
Naranja 24 99
Manzana 42 95
Piña 36 95
Zanahoria 16 99
A su vez, el precio de venta para cada uno de los 3 tipos de combinados es de 120 ($/litro).
Para la elaboración de 1 litro de jugo de Durazno, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria; se utiliza
como materia prima solo la fruta fresca correspondiente a cada caso. No obstante, los
requerimientos de Kgs necesarios para elaborar cada uno de estos jugos, varía. Además, existen
limitaciones para la capacidad de producción mensual en la planta procesadora de jugos
“Guatt’s”. La información pertinente de estas situaciones se muestra a continuación:
Requerimientos de Kgs. de Materia Prima
Necesaria para elaborar 1 Litro de Jugo Capacidad Máxima Producción (litros)
Durazno 3.75 200
Naranja 3 280
Manzana 2.25 320
Piña 2.5 240
Zanahoria 5 150
Para elaborar 1 litro de jugo de los combinados F, G y H, se requieren exactamente 4 Kgs de
materia prima en cada uno de estos 3 casos. El combinado tipo F requiere a lo menos un 25%
de Naranja, a lo más un 25% de Limón y exactamente un 50% de Zanahoria. Por su parte, el
combinado tipo G requiere a lo menos un 20% de Naranja, a lo menos un 15% de Limón y, a lo
menos un 35% de Manzana. Finalmente, el combinado tipo H requiere exactamente 50% de
Naranja, 10% de Limón y 40% de Zanahoria.
Además, la capacidad de producción en los 3 tipos de combinados está limitada a producir como
máximo: 250 litros para el combinado G y 180 litros para los combinados F y H. Plantee el
problema de programación lineal que permita programar la producción de jugos “Guatt’s” para
un período mensual. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo
y el conjunto de restricciones.
Solución:
Variables de decisión:
Xi : cantidad de litros de jugo de “i”
Xjk : cantidad de litros de jugo de “j” mezclado con el combinado “k”
Donde:
i = {A, B, C, D, E, F, G, H, I}
j = {A, B, C, D, E, I}
k = {F, G, H}
A: Durazno
B: Naranja
C: Manzana
D: Piña
E: Zanahoria
F: Combinado F
G: Combinado G
H: Combinado H
I: Limón
Función objetivo:
G = Ganancia total obtenida en la producción de jugos
Max G = 120 (XF + XG + XF) + 24 XA – 21 XB + 0.5 XC + 5 XD – 6.6 XE – (96 𝑋𝐵𝐹
2
𝑋𝐹 + 108
𝑋𝐼𝐹2
𝑋𝐹 + 64
𝑋𝐸𝐹2
𝑋𝐹 +
96 𝑋𝐵𝐺
2
𝑋𝐺 + 108
𝑋𝐼𝐺2
𝑋𝐺 + 168
𝑋𝐶𝐺2
𝑋𝐺 + 10.8 XI)
Restricciones:
XA ≤ 200 ; XB ≤ 280 ; XC ≤ 320 ; XD ≤ 240; XE ≤ 150 ; XF ≤ 180 ; XG ≤ 250 ; XH ≤ 180
𝑋𝐵𝐹
𝑋𝐹 ≥ 0.25 ;
𝑋𝐼𝐹
𝑋𝐹 ≤ 0.25 ;
𝑋𝐸𝐹
𝑋𝐹 = 0.5 ;
𝑋𝐵𝐺
𝑋𝐺 ≥ 0.2 ;
𝑋𝐼𝐺
𝑋𝐺 ≥ 0.15 ;
𝑋𝐶𝐺
𝑋𝐺 ≥ 0.35
Caso 9
Caso Sunco Oil
Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando
tres tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). En la tabla siguiente se muestran los precios de venta por
barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petróleo crudo. Sunco puede
comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente.
PRECIOS DE VENTA
POR BARRIL ($)
PRECIO DE COMPRA POR BARRIL ($)
Gasolina 1 70 Crudo 1 45
Gasolina 2 60 Crudo 2 35
Gasolina 3 50 Crudo 3 25
Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla
de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un índice de octano
promedio de por lo menos 10 y a lo más 1 % d azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza
para obtener la gasolina 2 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a
lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene
que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de
octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petróleo se dan en la tabla que sigue a
continuación. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 4
dólares, y la refinería se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina.
ÍNDICE DE OCTANO CONTENIDO DE AZUFRE
Crudo 1 12 0.5%
Crudo 2 6 2.0%
Crudo 3 8 3.0%
Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina:
gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se
siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la
demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dólar invertido diariamente en el
publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina den
10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dólares para promover la
gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule
un PL que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso – costos).
Solución:
Variables de decisión:
Gi : cantidad de barriles producidos de la gasolina i
Cab : cantidad de crudo “b” utilizado en la producción de la gasolina “a”
Ni : inversión de publicidad para la gasolina i
Función objetivo:
G = ganancias diarias
Max G = 70 G1 + 60 G2 + 50 G3 + 45 (C11 + C12 + C13) – 35 (C21 + C22 + C23) – 25 (C31 + C32 + C33) – (N1
+ N2 + N3) + 10 (70(N1) + 60(N2) + 50(N3))
Restricciones:
12 C11 + 6 C12 + 8 C13 ≥ 10
12 C21 + 6 C22 + 8 C23 ≥ 8
12 C31 + 6 C32 + 8 C33 ≥ 6
0.5 C11 + 2 C12 + 3 C13 ≥ 1
0.5 C21 + 2 C22 + 3 C23 ≥ 2
0.5 C31 + 2 C32 + 3 C33 ≥ 1
C11 + C12 + C13 ≤ 5000
C21 + C22 + C23 ≤ 5000
C31 + C32 + C33 ≤ 5000
G1 + G2 + G3 + 10 (N1 + N2 + N3) ≤ 14000
G1 + 10 N1 < 3000
G2 + 10 N2 < 2000
G3 + 10 N3 < 1000
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