taller no. 6 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAEcuaciones Diferenciales

Taller No. 6

En los problemas 1 y 2 use la definicion para calcular directamente la transformada de Laplacede las funciones dadas

1. f(t) = t 2. f(t) = t2

En los problemas 3 al 5 trace la grafica de la funcion dada. Determine si f es continua, continuapor partes o ninguna de las dos en el intervalo [0, 3]

3.

f(t) =

t2, si 0 ≤ t ≤ 1

2 + t, si 1 < t ≤ 2

6− t, si 2 < t ≤ 3

4.

f(t) =

t2, si 0 ≤ t ≤ 1

(t− 1)−1, si 1 < t ≤ 2

1, si 2 < t ≤ 3

5.

f(t) =

t, si 0 ≤ t ≤ 1

3− t, si 1 < t ≤ 2

1, si 2 < t ≤ 3

En los problemas 6 al 11 encuentre la transformada de Laplace inversa de la funcion dada

6.3

s2 + 4

7.4

(s− 1)3

8.2

s2 + 3s− 4

9.2s+ 2

s2 + 2s+ 5

10.2s− 3

s2 − 4

11.2s− 3

s2 + 2s+ 10

En los problemas 12 al 21 use la transformada de Laplace para resolver el P.V.I dado

12. y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −1

13. y′′ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

14. y′′ − 2y′ − 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0

15. y′′ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1

16. y′′ − 4y′ + 5y = 4e3t, y(0) = 2, y′(0) = 7

17. y′′ − 7y′ + 10y = 9 cos t+ 7 sen t, y(0) = 5, y′(0) = −4

18. y′′ − y = t− 2, y(2) = 3, y′(2) = 0

19. w′′ − 2w′ + w = 6t− 2, w(−1) = 3, w′(−1) = 7

20. y(4) − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 1, y′′′(0) = 0

21. y′′′ − y′′ + y′ − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1, y′′(0) = 3

1

En los problemas 22 al 24, exprese la funcion dada en terminos de funciones escalon unitario ycalcule su transformada de Laplace

22.

f(t) =

0, si t < 1

2, si 1 < t < 2

1, si 2 < t < 3

3, si t > 3

23.

f(t) =

{0, si t < 2

(t− 2)2, si t > 2

24.

f(t) =

0, si t < π

t− π, si π < t < 2π

0, si t > 2π

En los problemas 25 al 28, use la transformada de Laplace para resolver el P.V.I dado

25. y′′ + y = u3(t), y(0) = 1, y′(0) = −1

26. w′′ + w = u2(t)− u4(t), w(0) = 1, w′(0) = 0

27. y′′ + 2y′ + 2y = u2π(t)− u4π(t), y(0) = 1, y′(0) = −1

28. y′′ + 2y′ + 10y = g(t), y(0) = −1, y′(0) = 0, donde

g(t) =

10, si 0 ≤ t ≤ 10

20, si 10 < t < 20

0, si t > 20

29. Graficar la funcion periodica f(t) = t, 0 < t < 2, f(t) = f(t+ 2). Ademas, halle L{f(t)}.

30. Descanse!!!

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