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Tablas, barras y líneas: Tres herramientas que propone la didácticarealista de la matemática para el trabajo con

porcentajes

Betina Zolkower (Brooklyn College, CUNY, Nueva York, EEUU)Silvia Pérez

Ana María Bressan

Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática (GPDM)

Escuela de Invierno en Didáctica de la MatemáticaUniversidad de la República

Salto, Uruguay, Agosto 8-9, 2008

La investigaciónContexto:Escuela privada bilingüe, de San Carlos de Bariloche (Río Negro, Argentina) Sexto grado (23 alumnos)Nivel socio-económico altoDocente con 11 de aňos de experiencia en el aula

Preguntas centrales de la investigación: ¿Cómo armoniza la docente las puestas en común en susclases de matemática? ¿Qué efectos tiene esta mediación en la apropiación de ideas/herramientas matemáticas por parte de susalumnos?

La didáctica realista de la matemática:Características principales de esta corriente

(Freudenthal, 1991; Streefland, 1991, Gravemeijer y otros, 2000; van den-Heuvel Panhuizen, 2003)

La matemática es entendida como el resultado de la actividad de organización (matematización) de la realidad, incluida la propia matemática.

El sentido común y el lenguaje cotidiano son importantes referentes para significar y motivar el uso de objetos y procesos matemáticos.

Los contextos y las situaciones realistas (realizables, imaginables) sirven de punto de partida para la los procesos de matematización progresiva.

Los modelos son centrales en los procesos de enseñanza-aprendizaje en tanto funcionan como herramientas flexibles de representación, operación y razonamiento.

La interacción tanto horizontal (entre alumnos) como vertical (docente-alumnos) cumple un papel primordial en los procesos de matematización.

En la elaboración de secuencias didácticas se tienen en cuenta relacionesintra-matemáticas (ideas, ejes) y extra-matemáticas (otras disciplinas).

I. Tablas, Barras y Líneas

Los modelos en la didáctica realista de la matemática:(Gravemeijer y otros, 2000; van den Heuvel-Panhuizen, 2003):

Los modelos emergen como herramientas para la matematización de situaciones problemáticas y favorecen subas en los niveles de matematización de los alumnos

Ellos deben:

• estar enraizados en contextos y situaciones realizables o imaginables,

• poseer suficiente flexibilidad como para que puedan ser usados a un nivel más avanzado o general, y

• ser re-inventables por los propios alumnos.

Progresivamente, los modelos se van desligando de las situaciones originarias hasta transformarse en herramientas más potentes que permiten organizar matemáticamente familias de problemas homólogos a dichas situaciones (Freudenthal, 1975, Streefland, 1985).

Un problema de porcentajes

Teo contestó correctamente 27 de las 40 preguntas de su

prueba final. Si para pasar de grado necesita responder el

60% de las preguntas correctamente, ¿habrá pasado de

grado?

Tres modelos para trabajar con porcentajes

Teo contestó correctamente 27 de las 40 preguntas de su prueba final. Si para pasar de grado necesita responder el 60% de las preguntas correctamente, ¿habrápasado de grado?

TABLA DE RAZONES MODELO DE BARRAS LINEA NUMERICA DOBLE

La tabla de razones: Un modelo para generar y trabajar con razones equivalentes

(Middleton y van den Heuvel-Panhuizen, 1995)

1) La tabla de razones consiste en un esquema de filas y columnas que define casilleros para colocar en ellos los números.

2) Las filas se etiquetan indicándose el significado de los números y, si es necesario, también las unidades que se utilizan. El orden es indistinto en cuanto a qué se coloca en cada una de las filas.

3) Vista horizontalmente: La razón entre los números de los casilleros de cada columna es la misma para todas las columnas. Esta razón constante puede entonces utilizarse para calcular el número que va en un determinado casillero.

4) Vista verticalmente: A su vez, los cocientes que resultan de dividir dos números cualesquiera de una fila y sus correspondientes en otra fila resultan iguales.

5) Para obtener los números de una columna, los números de otra columna se pueden multiplicar o dividir. También es posible utilizar la suma y la resta como estrategias para obtener los números de una columna a partir de otra dada.

6) La tabla de razones aparece primero en la clase como herramienta para resolver problemas de multiplicación y división y más adelante, para trabajar con fracciones.

7) Esto permite dar sentido tanto a los algoritmos convencionales de la multiplicación y la división con naturales, fracciones y decimales como a las reglas para trabajar con proporciones

8) Hay espacio constructivo para que cada alumno utilize las estrategias que él mismo elija

El modelo de barra (Middleton y otros, 1998)

1) La barra es un modelo de area que hace explícita la relación parte/todo

2) Permite conectar porcentajes, fracciones, decimales, estableciendo razones en base a el uso de la proporcionalidad directa

3) El que la razón entre los números alineados verticalmente sea la misma, permite moverse sobre la barra en forma horizontal, pudiéndose asi resolver cada uno de los tres ‘casos’ de problemas de porcentaje

(i) 24% de 60 = ….

(ii) ¿Qué porcentaje es 36 de 240?

(iii) 72 es el 75% de….

4) A diferencia de la tabla de razones, el orden en el que se colocan los números es siempre creciente de izquierda a derecha.

El modelo de barra

5) Admite un uso flexible por medio de una gran variedad de estrategias, incluídas:i) la duplicación y división reiterada por 2 y por 10ii) el uso de porcentajes, fracciones y decimales de referencia (ej. 50%, ¼, 0,75, etc.)iii) las estrategias aditivasiv) las estrategias del 10% y la del 1%

6) Aparece inicialmente en la clase como herramienta para el trabajo con fracciones

7) Se adapta fácilmente al nivel de matematización de cada alumno

8) Su uso frecuente, acompañado de la reflexión acerca de las distintas estrategias utilizadas, fomenta la esquematización progresiva

10) En tanto herramienta de pensamiento, permite dar sentido al algoritmo convencional para elcálculo de porcentajes

La línea numérica doble

1) Es un modelo lineal que permite representar y operar con dos magnitudes directamente proporcionales (ej. distancia/tiempo, paquetes/costo)

2) Permite conectar porcentajes, fracciones, decimales, estableciendo razones en base a el uso de la proporcionalidad directa

3) Cada punto de la línea representa una relación (razón) que resulta ser la constante de proporcionalidad

4) A diferencia de la tabla de razones y tal como en el modelo de barra, el orden en el que se colocan los números es creciente de izquierda a derecha.

5) Admite el uso de las mismas estrategias que el modelo de barra, permitiendo ademásel trabajo con porcentajes que superan el 100%

6) Aparece inicialmente en la clase como línea numérica simple abierta, la cual se usacomo herramienta para la resolución de problemas de cálculo elemental

7) Se adapta fácilmente al nivel de matematización de cada alumno y su uso frecuente, acompañado de la reflexión acerca de las distintas estrategias utilizadas, fomenta la esquematización progresiva

Características de los tres modelos para el trabajo con porcentajes

1) Permiten mantener a la vista aspectos centrales del contexto o de la situación

2) Dan lugar a efectuar y registrar pasos intermedios en el camino hacia la solución buscada

3) Son flexibles en el sentido de que se adaptan fácilmente al nivel de matematización de cada alumno

4) Sugieren o invitan a la búsqueda de atajos (esquematización progresiva)

5) Admiten el uso de una gran variedad de estrategias

6) El trabajo simultáneo con más de un modelo permite compararlos, usándolos como modelos para pensar las relaciones matemáticas encapsuladas o inscriptas en ellos.

II.El trabajo con porcentajes

en la clase de 6to grado de Silvia

Secuencia Didáctica de Porcentajes

1) ¿Cuándo y cómo hablamos de porcentajes?Situaciones cotidianas en las que se habla de porcentajes; relación entre %, fracciones y probabilidad; carácter relativo de la noción de porcentaje; porcentajes de referencia (10%, 50%, 25%, 75%, 20%, 1%)

2) ¿Cómo podemos usar el modelo de barra para mostrar cuán ocupados están los estacionamientos?Playas de estacionamiento más o menos ocupadas (introducción del modelo de barra y uso de la tabla de razones); uso de porcentajesde referencia en estrategias de cálculo

3) ¿Cómo calculo rápido cuánta propina tengo que dejar?Situaciones cotidianas que involucran porcentajes sobre precios (propinas, descuentos, aumentos, etc.); uso de distintas estrategias de cálculo mental

4) ¿Cómo se puede usar el modelo de barra para mostrar cuán llenas están las salas de cine?Cambia el contexto, el mismo modelo (modelo de/modelo para)

5) ¿Qué significa cuando, al descargar un programa en la computadora, aparece una ventana con una barra y una información numérica que van cambiando?Uso de % en la computadora (modelo de barra) (cambia el contexto, el mismo modelo) (modelo de/modelo para)

6) ¿Cómo podemos averiguar rápidamente distintos porcentajes de 360 usando la barra?

7) ¿En cuál de los dos negocios me conviene comprar el abrigo?

8) ¿En cuál clase/cine/sala de teatro hubo mayor porcentaje de asistencia?Problemas en distintos contextos que involucran comparar razones usando la barra

9) Decatlón de problemas puramente numéricos de porcentaje para afianzar el uso de estrategias eficientes para realizar cálculos mentalmente

10) Cadena de cálculos de % de $350, conexión entre fracciones y los porcentajes

11) ¿Cuántos kilos de agua tenemos en el cuerpo? ¿Qué porcentaje de agua contienen distintos alimentos? Uso de la barra en forma vertical

12) ¿Qué fracción y qué % representa cada una de las piezas del rompecabezas?Contexto geométrico y de medida: el rompecabezas cuadrado de Lloyd

13) ¿Cómo se calculan los porcentajes? Institucionalización de las ideas que se trabajaron durante la secuencia

14) ¿Cómo se calcula un % con la calculadora? Dos métodos para calcular el porcentaje usando la calculadora: a) con la tecla de % y b) sin usar esa tecla (o sea, reemplazándola por las operaciones que están implícitas en el uso de la tecla)

15) ¿Qué nos quieren vender?

16) ¿ Qué porcentajes de descuento están haciéndole a estos pares de zapatos?Reconocer porcentajes de descuento dado el precio original y el precio rebajado

17) Más actividades de trabajo simultáneo con fracciones, decimales, y porcentajes

18) Porcentajes o centavos: ¿Qué descuento es mejor?Dadas dos opciones de descuento, una en porcentaje y otra en centavos, decidir cual de ellas es más conveniente para el cliente

Algunos momentos en el desarrollo de esta secuencia¿Cómo usar la barra para mostrar cuán llenas están las salas de cine?

ABRIL/MAYO

Porcentajes en la computadora(ficha adaptada de “Modelos confiables,” MIC, págs. 18-19)

JUNIO

¿Cómo podemos averiguar rápidamente distintos porcentajes de 360?

JUNIO

….Problema: En Stop & Shop todo tiene un descuento del 20% y en Ropa para Todosel descuento es del 25%. ¿En cuál de estos dos negocios me conviene comprar el abrigo naval Peacock?

JULIO

Proceso de resolución de problemas: Forma de trabajoAPERTURA DESARROLLO CIERRE Introducción la situación problema

Trabajo Corte e intercambio Trabajo (individual o de ideas para resolver individual grupal) el problema o grupal)

Discusión del problema, su solución y las ideas que se utilizaron para resolverlo

Esta discusión durómás de 40 minutose involucróactivamente a 21 de los 22 alumnospresentes ese día

Resolución del problema del abrigo: Etapas de la discusión

Etapas Sub-etapas Interrogantes centrales

Orientación a la conversación ¿Qué problema estamos tratando de resolver? Tratamiento de los datos ¿Con qué números tendría sentido trabajar dado el contexto de este problema?

¿Por qué? Apertura Especificación del tema de

conversación ¿Qué ideas surgieron para resolver el problema y cómo usamos cada una de esas ideas?

Relación entre la división y el porcentaje

¿Dividir por 4 y por 5 o por 25 y por 20? ¿Qué estaríamos averiguando al dividir los precios iniciales (75 pesos y 69 pesos) por 25 y por 20, respectivamente?

Interpretación de los resultados calculados en función del problema

¿Cómo interpretamos los resultados de los cálculos en el contexto del problema a resolver?

Enunciación y apreciación del algoritmo convencional

¿Qué idea nos propone Julio?

Estudio de la idea de Julio en la tabla de razones y en la barra de porcentajes

¿Como podemos usar la tabla de razones y la barra de porcentajes para entender mejor la idea de Julio?

Revisión y apreciación de la resta como estrategia de solución

¿Por qué no sirve la idea de restar los porcentajes de descuento a los precios iniciales (69 -20 y 75 – 25)? ¿En qué condiciones se podría hacer eso?

Desarrollo

Recuperación de la idea errónea de restar

¿Cómo podríamos reformular o modificar la idea de restar para dejarla inscripta en nuestro texto?

Cierre Apertura de nuevo interrogante (giro meta-cognitivo)

¿Qué le pasó a cada uno en relación con las ideas?

69 x 20 = 1,3801380 ÷ 100 = 13.80

75 x 25 = 1,8751875 ÷ 100 = 18.75

Teo: ¡Pero en barras también se podría hacer!

D: ¿En barras también se podría hacer?

Nuria: Sí.

D: Sí, alguien dijo que sí. ¿Se podrá hacer en barra?

Nuria: Sí. 75…

D: ¿Y cómo quedarían las barras, iguales a esta? (Señala las barras ya hechas de los afiches)

Extracto del registro (I)

Docente (D): Voy a poner estas tablas acá al lado chiquitas, para que vean que esto mismo que está hecho en cuentas se puede hacer también en tabla(copia las tablas en el afiche al lado de los cálculos de Julio)

$ 69 0,69 13,80

% 100 1 20

$ 75 0,75 18,75

% 100 1 25

Extracto del registro (II)Nuria: Dividida en 100

Raul: Sí. ¡La cosa es hacerla!

D: ¿Y se podrá por ahí marcar en la barra sin tener que dividirla en 100?(Dibuja una nueva barra)

Nuria: Sí, la hacés más chiquita

Teo: Más o menos donde va el 1%

Matias: Igual podés agarrar un lugar ahí en el medio (señalando arriba en el pizarrón) y hacés por metro

D: ¿Cómo quedaría, a ver?

Raul: ¡Pero te sobresale del pizarrón!

Teo: Podés agarrar una barra más chiquita, y sin medir-

Hablan varios juntos sobre las barras

D: Si quisiera hacer así, no me importa cuánto mide la barra, ¿cómo quedaría marcada?

Isabel: ¡Hacé una chiquita sin medir y listo!

Extracto del registro (III)

D: La barra de 69 pesos, ¿cómo quedaría marcada?

Isabel: 0.69 arriba, el 1% abajo y listo.

D: Ahí, ahí (mientras escribe el 69, el 1% y el 0.69)

Teo: Y abajo el 1%

D: ¿Y ahora?

Isabel: ¿Y ahora qué tendíamos que hacer?

Nuria: Ah! Multiplicarla por 20 y multiplicarla por 20.

D: Aha. ¿Así? Por 20, está bien. ¿Haría falta dividirla en 100, marcar las 100 divisiones?

Andrea: No.

¿Cómo usa la docente el lenguaje hablado y otros recursos semióticos durante las

puestas en común?

Combina el lenguaje hablado con el lenguaje escrito y el gestual y el uso de diagramas. Esto le da a las puestas en común un carácter multi-modal.

Hay congruencia entre la forma gramatical de lo que dice y la funciónde habla de tales contribuciones. Por ejemplo, casi todas sus preguntas están realizadas en forma gramatical Interrogativa.

Usa los tiempos verbales presente y presente continuo, y los modos condicional ySubjuntivo.

Por lo general, usa la primera persona del singular y la del plural.

Contribuye a las conversaciones y discusiones no solamente preguntas abiertas sinotambién preguntas polares (si/no).

Sus preguntas rara vez demandan procesos meta-cognitivos a nivel individual (ej. No dice: Contáme cómo lo pensaste. Explicános cómo lo hiciste).

En cambio, sus preguntas invitan y orientan a la clase a reflexionar acerca de lo hecho, para repasarlo y avanzar sobre eso, comparando y contrastando ideas(¿Qué diferencia hay entre ….? ¿Cuál es la que por ahí me serviría?), apreciando ideas y justificando estas apreciaciones (¿Está bien? ¿Será? ¿Por que?).

Secuencia Didáctica de Porcentajes (continuación)Decatlón de problemas puramente numéricos de porcentaje para afianzar la búsqueda y el uso de estrategias eficientes para realizar cálculos mentalmente

JULIO

Ivana

Cadena de cálculos de % de $350

AGOSTO

Federico

¿Cómo se puede calcular un % usando la calculadora?

En resumidas cuentas: ¿Cómo se calculan los porcentajes?

SEPTIEMBRE

¿Cómo se puede calcular un % usando la calculadora?

“En el trabajo con la calculadora había una pregunta sobre por quédaba lo mismo hacer en la calculadora el 15% de 240 y sumárselo (apretando 240 x15% +) que hacer 240 x 1.15. A algunos chicos primero les costó encontrar la relación. Otros trataban de explicarlo con diagramas que mostraban que cuando apretás la tecla + en la calculadora después de haber calculado el 15% de 240, eso se corresponde con el 1 del 1,15 y que el 0,15 era lo mismo que el 15%. Cuando lo miramos entre todos, les pregunté qué % del total era el resultado. El 115%, contestaron. Y ya con eso empezaron a levantar la mano desesperados diciendo que eso era 1,15. Entonces nos pusimos a jugar con otros ejemplos. ‘Si hago 240x2,15, ¿qué% estaría averiguando?’ ‘Y si hiciera 240x3,17?’ ‘¿Y si quisiera saber el 159% de 240, con qué multiplicación lo podría reemplazar?’ ‘¿Y el 79% de 1.500?’ Algunos dijeron 1.500 x 7,9. Otros 1.500 x 0,79. Otros 1.500x79/100. Y no podían ser todas esas lo mismo! Para descartar pasaban los decimales a fracciones 0,79=79/100=79%. ‘Es esa! La otra no, porque 7,9 es igual a 790/100=790%.’

SEPTIEMBRE

Como estaban tan embalados y copadísimos con esto, les pregunté cómo se podría reemplazar de otra forma lo que hace la calculadora cuando unoaprieta la tecla %. Una era multiplicar por el decimal equivalente. ¿Cuálpodría ser otra? Algunos empezaron a dar ejemplos donde multiplicaban el número por el % que querían y dividían por 100. Todos estuvieron de acuerdo con eso. Como parecía que lo tenían tan claro, les pregunté cómo se podría hacer si uno quisiera calcular un % cualquiera para cualquier número, sin pensar ya en el 240 o en los ejemplos que habíamos visto. Salta Raúl de atrás, muy tranquilito como siempre, a decir “Y… un número X por un número X dividido 100!” Algunos lo miraron diciendo ¡Ah, bueno! Como si fuera una eminencia. Raúl enseguida se puso colorado y se encogió de hombros como si lo que dijo hubiera estado mal. Le pedí que lo repitiera porque sonaba bueno. Al resto de la clase le pregunté: ¿Cómo anotamos eso que dijo Raúl? ¿estará bien? ‘Para un número poné X,’ me dictaban. ‘Multiplicado poné un por (x). Ahí otra X pero no, no es la misma X porque no es el mismo número. Convinimos en ponerle otra letra, eligieron a. Entonces quedó: X x a/100 y a es el % que querés saber y X el número, el 100%.”SEPTIEMBRE

El uso de imágenes como generadoras de actividad matematizadora

SEPTIEMBRE

¿Qué porcentaje del precio se quita al tener 30 gramos gratis?¿Cuánto vale el dentífrico sin su descuento?¿Qué fracción es 30 gramos de 180?¿Qué figura tiene la caja?Si usamos 5 gramos por día, ¿cuánto nos duraría?¿Tiene contenido neto o líquido?Si hubiese un 50% de descuento, ¿cuál sería el precio?¿Cuántos kilos tiene?¿Cuánto mide la caja y cuál es su perímetro? ¿y el área?¿Siempre te regalan 30 gramos?¿Cuántos gramos tiene en realidad sin la oferta?¿Cuánto costaría la caja si fuera la mitad de 210? ¿Qué ingredientes tiene?¿Cuál es el precio de los 30 gramos?¿Cuál es el precio de un gramo?¿Por qué los dentífricos siempre tienen la misma forma?Si 15 gramos de esta pasta dental salen 0,20$, ¿cuánto sale la pasta dental sin contar el descuento?¿Cuánto te dan gratis?

¡Bajaron los precios de pares de zapatos!

Raúl

Uso de modelos y estrategias para resolver un problema que involucra comparar razones

Problema: En 6to ‘A’ faltaron 4 de los 32 alumnos. En 6to ‘B’ faltaron 3 de los 25 alumnos. ¿En cuál de los dos grupos hubo un mayor porcentaje de ausentes?

Cómo averiguar el precio original de un articulo sabiendo el precio descontado y el porcentaje de descuento

III.Al año siguiente…

Porcentajes y elecciones locales: Un mismo candidato, ¿tres partidos?

“Estas semanas estuvimos trabajando fuerte con gráficos y sobre las elecciones para intendente que hubo acá el 18 de mayo. Estuvo muy interesante cuando miramos materiales referidos a las elecciones que ellos tenían que recoger y traer. Había gráficos, tablas, artículos, hasta tuvimos las planillas finales de cuatro mesas (las originales, porque el papá de un nene fue fiscal por un partido político y las tiene en su poder). Los miraron, los fueron pasando ydespués las comentamos. Salieron tantas cosas!! Primero había algunos conceptos de ciencias sociales que no sabían (voto en blanco, nulo, recurrido, impugnado); tampoco sabían que el % necesario para ganar era sobre los votos sin incluir los votos en blanco, razón por la cual empezaron a expresar que entonces era mejor optar por alguien “porque si no, ayudás a ganar al que más tiene!” Además, en los gráficos circulares unos mostraban los % obtenidos por partido y otros por candidato y no coincidían. Mirando las boletas, que también teníamos, vieron que un mismo señor fue candidato por tres partidos distintos, y que si juntabas esos tres porcentajes te daba el total del candidato. “¿Pero vale hacer eso?” dijo una nena, “¿Y a las ideas de quién va a responder?, preguntó otro. El debate estuvo muy bueno porque involucró aspectos relacionados con la legitimidad de ciertas acciones políticas (que son legales).”

MAYO 2008

Porcentajes y elecciones locales:Una diferencia de 2500 votos: ‘Un montón’ o ‘re-poco’?

“También comparamos los porcentajes, que en algunos aparecía con más cifras decimales que en otro, de dónde habrán salido (teníamos los datos del padrón total, la cantidad que efectivamente votó y la cantidad de votos de cada partido). Hubo un titular de diario que generó revuelo. Decía "Cascón le ganó por 2500 votos a Barriga." Ni bien terminé de leerlo, una nena dice "Ah, un montón" mientras un nene al lado de ella decía ¡"Es re poco!" ellos mismos se miraron dándose cuenta de que habían interpretado bien distinto las cosas. Lo volví a leer y pregunté que si era mucho o poco y sale uno a decirque si eran como 40.000 los que habían votado que no era mucho y ahí echó luz sobre el asunto de que no estaba dicho sobre cuántos votos era la diferencia. Después cada uno tuvo que escribir tres conclusiones de esa clase y eltrabajo con las elecciones. Algunas son bien interesantes.”

MAYO 2008

Encuestas, angulos centrales y porcentajes

“El otro día hicimos un racconto juntos de distintas formas de averiguar qué ángulo central le correspondía a un % de un dato de una encuesta. En realidad sabían que era como averiguar cualquier otro % pero de 360! Igualmente me pareció oportuno y útil hacerlo. Nombraron: pensar en una fracción, usar la regla de 3, usar % "estratégicos o básicos" los llamaron (el 1%, 10%, 50%, 5%, 25%, 75%) y el cálculo tradicional para averiguar un %. Priorizaron estos, aunque después sugirieron igualmente la tabla de razones (hacés lo mismo que si vas buscando % básicos) y el modelo de barra que la nombraron como posible (aunque nadie usa ya eso). También incluyeron la calculadora en sus dos formas (usando la tecla % odirectamente haciendo los cálculos sin usar la tecla específica). Terminaron diciendo que era todo lo mismo: puesto en forma vertical, horizontal o en una tabla es siempre lo mismo. Fueron saliendo un montón de cosas interesantísimas sobre la flexibilidad que tienen para pensar distintos usos posibles de un modelo (que los piensan aunque después no los usan, pero son capaces de imaginar como seria usarlos).”

JUNIO 2008

Referencias BibliográficasFreudenthal, H.: 1991, Revisiting Mathematics Education: China Lectures, Kluwer, Dordrecht.

Gravemeijer, K. y otros: 2000, “Symbolizing, modeling, and instructional design.” En Cobb, P., Yackel, E. y Mc Clain, K. (Eds.) Symbolizing and Communicating in Mathematics Classrooms. Lawrence Erlbaum.

Middleton, J., van den Heuvel-Panhuizen, M. y Shew, J.: 1998, “Using bar representations as a model for connecting concepts of rational number.” Mathematics Teaching in the Middle School,3 (4), 302-312.

Middleton, J. y van den Heuvel-Panhuizen, M.: 1995, “The ratio table.” Mathematics Teaching in the Middle School, 1 (4), 282-288.

National Center for Research in Mathematical Sciences Education y el Instituto Freudenthal(eds.): 1998, Mathematics in Context: A Connected Curriculum for Grades 5-8. Chicago, Ill: Enciclopedia Britannica.

Streefland, L.: 1991, Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research. Kluwer. Dordrecht, The Netherlands.

van den Heuvel-Panhuizen, M.: 2003, “The didactical use of models in realistic mathematics education: An example from a longitudinal trajectory on percentage,” Educational Studies in Mathematics 54: 9-35.

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