sucesiones infinitas y notación de sumatoria [marcel]
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SUCESIONES INFINITAS Y NOTACIÓN DE SUMATORIA
Definición: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos
Si f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n corresponde un número real f(n). A estos números en el contradominio de f se les puede representar escribiendo
f(1), f(2), f(3), . . . , f(n). . .
Al número f(1) se le conoce como el primer término de la sucesión, a f(2) como el segundo término y así sucesivamente (n – ésimo término). Es común utilizar notación de subíndice en vez de notación funcional y escribir estos números como
Ejemplo: enunciar los cuatro primeros términos y el décimo término de la sucesión cuyo n-ésimo término es como sigue:
a)
b)
c)
d)
Soluciones:
a) Primeros cuatro términos ; décimo término
b) ;
c) ;
d) ;
(Algunas secuencias infinitas se describen enunciando el primer término junto
con una regla que muestra cómo obtener cualquier término a partir del
término anterior , siempre que . A una descripción de este tipo se le
llama definición recursiva (o recurrente) y se dice que la secuencia está definida recursivamente.)
Ejemplo: hallar los cuatro primeros términos y el n – ésimo término de la sucesión infinita que se define como:
La definición de la sucesión es recursiva, ya que el primer término está dado, y
además, siempre que se conozca un término , se puede encontrar el siguiente
término
y , para
Ejemplo: encontrar el cuarto término de los siguientes números 3, 6, 9,
Si se conocen unos cuantos términos de una sucesión infinita, resulta imposible predecir otros términos. No es posible proceder sin información adicional. La información importante es conocer el n – ésimo término de la sucesión en este
caso sería
A veces es necesario determinar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para mayor facilidad al expresar tales sumas se utiliza la notación de sumatoria (sigma) que se describe a continuación. Dada una sucesión infinita
la suma se representa de la siguiente forma:
K se le llama índice se la sumatoria o variable de sumatoria
Los números 1 y m indican los valores extremos de la citada variable de sumatoria
Ejemplo: evaluar la siguiente sumatoria
Solución: para indicar la suma indicada simplemente se sustituye, sucesivamente, los enteros k por 1, 2, 3, 4 y obtenemos los siguientes.
Si n es un entero positivo, la suma de los n primeros términos de una sucesión
infinita se denota con . Por ejemplo, dada
La forma general
Ejemplo: determinar los cuatro primeros términos y el n – ésimo término de la sucesión de sumas parciales asociadas a la
sucesión 1, 2,3,…, n de enteros positivos.
Solución: los cuatro primeros términos de la sucesión de sumas parciales son
Vemos que
Teoremas
1.
2.
3.
Sucesiones aritméticas
Definición: Una sucesión aritmética es una sucesión cuyos términos consecutivos difieren en el mismo número real.
es una sucesión aritmética si y sólo si existe un número
real d tal que para todo entero positivo k. Al número d se le
llama diferencia común asociada con la sucesión aritmética.
ejemplo: demostrar que la sucesión 1, 4, 7, 10, …, 3n -2, … es aritmética y
determinar la diferencia común
Solución: si entonces para todo entero positivo k
por definición, la sucesión es aritmética con diferencia común de 3
n- ésimo término de una sucesión aritmética es la siguiente
Ejemplo: hallar el decimoquinto término da la sucesión aritmética cuyos tres
primeros términos son 20, 16.5 y 13
Solución la diferencia común es -3.5. Al sustituir
en la fórmula resulta
Sucesiones geométricas
Una sucesión es una sucesión geométrica si y sólo si existe un
número real tal que para todo entero positivo k.
razón común es el número r asociada a la sucesión geométrica. Entonces
es geométrica (con razón común r) si y sólo si
n – ésimo término de una sucesión geométrica
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