soluciones de un sistema de ecuaciones

DISCUSIN DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

La pregunta tpica es: Discutir y resolver cuando sea posible el sistema segn los valores de los parmetros a y b

Teorema de Rouch Frobenius

Segn este teorema para estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones solo hay que comparar los rangos de 2 partes de nuestro sistema: A llamada matriz sin ampliar y A/B llamada ampliada, el teorema dice as:

Si los rangos de la matriz sin ampliar y la ampliada son iguales ser: SISTEMA COMPATIBLE, hay 2 casos:

si ademas el valor del rango es igual al nmero de incgnitas: S.C. DETERMINADO con solucin nica.si no es igual al nmero de incgnitas:S.C. INDETERMINADO con infinitas soluciones.

Si los rangos de la matriz sin ampliar y la ampliada son distintos: SISTEMA INCOMPATIBLE y no tiene solucin.

Ejemplo 1: Discutir y resolver cuando sea posible el sistema segn los valores del parmetro m:

Siempre comenzaremos escribiendo la matriz asociada al sistema de ecuaciones as: (m 1 1 11 m 1 11 1 m 1) A Bpara luego calcular el determinante de la matriz A sin ampliar y ver que valores de m lo anulan o sea.. resolver A =0, veamos:

=0

nos da un polinomio: m3-3m+2=(m-1)(m-1)(m+2)=0 con soluciones: m=1, m=-2. Esto significa que si m=1 o m=-2 el A =0, analizamos nuestra matriz completa (A/B) con estos valores de m por separado:

Si m=1: En donde claramente (A) y (A/B) son ambas de rango=1... rangos iguales... SISTEMA COMPATIBLE, ahora

al ser el rango distinto al nmero de incgnitas ser INDETERMINADO con infinitas soluciones ya que queda la matriz:

vemos que solo tenemos una ecuacin que sirve: x+y+z=1, como N variables-rango=N parmetros (t,s)la solucin del sistema es as: Z=t, Y=s, X=1-t-s y terminamos el caso m=1 diciendo que t,s lR

Si m=-2:

En este caso el rango de A=2 y el de (A/B) es 3... rangos distintos... SISTEMA INCOMPATIBLE

Si m1, m-2: El A 0 y el rango de A y de (A/B) coinciden y son =3, SISTEMA COMPATIBLE, adems 3=N de

incgnitas por lo que ser DETERMINADO o con solucin nica. Lo resolvemos utilizando Cramer.

. (m-1)2 X= = (m-1)2(m+2) (m-1)2(m+2)

. (m-1)2Y= = (m-1)2(m+2) (m-1)2(m+2)

. (m-1)2

Z= = (m-1)2(m+2) (m-1)2(m+2)

m 1 11 m 11 1 1 m 1 11 1 11 1 m

m 1 11 m 11 1 m

1 1 11 m 11 1 m

(1 1 1 11 1 1 11 1 1 1)

(m 1 1 11 m 1 11 1 m 1)

(1 1 1 10 0 0 00 0 0 0)( 2 1 1 11 2 1 11 1 2 1)

{mx + y + z = 1x +my + z = 1x + y + mz = 1