sol taller 2

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS EINFORMATICA

INGENIERIA DE SISTEMAS EINFORMATICA

Solucionario del Taller No 2 de Algebra Lineal

Prof. Pascual Fermn Onofre Mayta.Ciclo Academico: 2009-II

1.

2. (a) El conjunto W = {(1, 1, z) /z R} no es unsubespacio vectorial de R3, puesto que el vec-tor (0, 0, 0) /W .

(b) El conjunto

W = {(x1, . . . , xn) /x1 + . . . + xn = 0}

es un subespacio vectorial de Rn

i. El vector (0, . . . , 0) W , puesto que

0 + . . . + 0 = 0.

ii. Sean u = (x1, . . . , xn) , v = (y1, . . . , yn) W , es decir

x1 + . . . + xn = 0 (1)y1 + . . . + yn = 0 (2)

Por demostrar que u + v W. En efecto,de (1) y (2) se tiene que

(x1 + y1) + . . . + (xn + yn) = 0

esto quiere decir que

u + v = (x1 + y1, . . . , xn + yn) W.

iii. Sean u = (x1, . . . , xn) W y k R.Debemos probar que ku W . En efecto,como u W , entonces

x1 + . . . + xn = 0

As,

k (x1 + . . . + xn) = k 0(kx1) + . . . + (kxn) = 0,

i.e., ku = (kx1, . . . , kxn) W .(c) W es un subespacio vectorial de P2.

i. El polinomio cero pertenece a W , puestoque tomando b = c = 0, se tiene

p (x) = 0 + 0x + 0x2 W.

ii. Sean p y q W , entoncesp (x) = b1x + c1x2, donde b1, c1 Rq (x) = b2x + c2x2, donde b2, c2 R

Luego,

p (x) + q (x) = (b1 + b2)x + (c1 + c2)x2,

i.e., p (x) + q (x) W .iii. Sean p W y k R, entonces

kp (x) = k(bx + cx2

)= (kb)x + (kc)x2

As, kp W .(d) W no es un subespacio de P2, puesto que el

polinomio cero de grado 2, no cumple lapropiedad de los vectores de W , i.e., si p (x) esel polinomio cero se tiene

4p (1) + p (2) = 0 6= 3.

(e) W es un subespacio vectorial de R22.i. La matriz nula O de orden 2 satisface la

propiedad que tienen los elementos de W ,esto es,

OB = O = BO.

ii. Sean A1, A2 W . Debemos probar queA1 + A2 W . En efecto, como A1, A2 W , entonces

A1B = BA1 , A2B = BA2 (3)

Luego, por propiedad de matrices

(A1 + A2)B = A1B + A2B

y usando (3)

A1B + A2B = BA1 + BA2

Entonces,

(A1 + A2)B = B (A1 + A2) ,

i.e., A1 + A2 Wiii. Sean A W y k R. Como A W ,

entoncesAB = BA (4)

Luego, usando propiedades de matrices y(4), tenemos

(kA)B = k (AB) = k (BA) = B (kA) ,

i.e., kA W .

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3. (a) Como p (x) = ax3 + bx2 + cx + d, entonces

p (x) = 3ax2 + 2bx + cp (x) = 6ax + 2bp (x) = 6a

donde a 6= 0. Supongamos que existen es-calares a1, a2, a3 y a4 tales que

a1p (x)+a2p (x)+a3p (x)+a4p (x) = 0 (5)

Por demostrar que a1 = a2 = a3 = a4 = 0.

En efecto, reemplazando los polinomios p, p,p y p en (5) y ordenando, tenemos

(aa1)x3 + (ba1 + 3aa2)x2 + (ca1 + 2ba2 + 6aa3)x+ (da1 + ca2 + 2ba3 + 6aa4) = 0

Luego, se tiene el siguiente sistema de ecua-ciones lineales homogeneo

aa1 = 0ba1 + 3aa2 = 0ca1 + 2ba2 + 6aa3 = 0da1 + ca2 + 2ba3 + 6aa4 = 0

Como a 6= 0, en la primera ecuacion se tienea1 = 0. Reemplazando a1 = 0 en la segundaecuacion se obtiene a2 = 0. Haciendo elmismo proceso se obtiene a3 = a4 = 0. Portanto {p, p, p, p} es un conjunto l.i.

Otra forma. El sistema de ecuaciones lin-eales homogeneo es equivalente a una ecuacionmatricial

AX = 0,

donde

A =

a 0 0 0b 3a 0 0c 2b 6a 0d c 2b 6a

X =

a1a2a3a4

, 0 =

0000

Dado que

|A| = (a)(3a)(6a)(6a) = 108a4 6= 0,

la solucion de esta ecuacio`n matricial es la tri-vial, i,e., X = 0. Por tanto,

a1 = a2 = a3 = a4 = 0.

(b) Sea v = (x, y, z, t) un vector arbitrario de W .Entonces se tiene que

2x 3y + z t = 0.

Haciendo el despeje de una variable, por ejem-plo t, tenemos que

t = 2x 3y + z

Luego,

v = (x, y, z, 2x 3y + z)= x (1, 0, 0, 2) + y (0, 1, 0,3) + z (0, 0, 1, 1)

As , el conjunto

{(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0,3) , (0, 0, 1, 1)}

es una base de W . Por tanto, dim (W ) = 3.Observacion. Es claro que

{(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0,3) , (0, 0, 1, 1)}

es un conjunto linealmente independiente.Justificar su respuesta.

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