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MATEMÁTICAS II Curso 07-08
Funciones de varias variables. Límites y continuidad
U.D. de Matemáticas de la ETSITGC. 1/12
1. Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h.
Solución:
El volumen V del depósito depende de los valores que tengan r y h, y es único para cada par (r,h) por lo que es una función de r y h.
V(r,h) = πr2h + 3
4 πr3
2. Determinar si las siguientes funciones son acotadas:
a) ( ) ( )yexyxsenz −+= cos 2 b) 2
22
2 1
1
yseny
xsenxz += c)
yxe
yxz +
+=
Solución:
a) ( ) ( )yexyxsenz −+= cos 2 ,
( ) ( ) 1cos 1 2 ≤−+≤− yexyxsen , por ser:
( ) 1 0 2 ≤+≤ yxsen , ( ) 1cos1- ≤−≤ yex , luego, es una función acotada:
b) 2
22
2 1
1
yseny
xsenxz += (El dominio es R2-{ } 0 0 rectas las =∧= yx )
Es acotada, por serlo los dos sumandos:
pues cada uno de ellos en x = 0 y en los extremos verifica:
0 1
22
0=
→ xsenxlím
x, 1
12
2 =±∞→ x
senxlímx
(análogamente para 2
2 1
yseny ). En el resto del dominio toman valores finitos por ser
funciones continuas.
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c) yxe
yxz +
+=
3. Hallar, y representar gráficamente, el dominio de las funciones siguientes. Calcula también el conjunto imagen o recorrido:
a) f(x,y) = )6ln( −xy ; b) g(x,y) = 22 44 yx −− ; c) h(x,y) = arc cos x
y;
d) p(x,y) = 22 yx
x
+; e) r(x,y)=
−2
2
xy
ex .
Solución a) f(x, y) = )6ln( −xy
Dominio: xy-6 > 0
>>
<<⇔
0 si 6
0 si 6
xx
y
xx
y
Imagen: R (pues al acercarse el punto (x, y) a la hipérbola xy =6 ⇒ f tiende a ∞− ; pero cuando x e y tienden a ∞ ⇒ f tiende a ∞ )
Está acotada superiormente pues:
si (x+y)→ ∞, entonces e(x+y) → ∞ pero z → 0, pues e(x+y) es un infinito de orden superior a x+y No está acotada inferiormente ya que, por ejemplo, a lo largo del eje OX (y = 0):
−∞=−∞→ xx e
xlím
Plano z =0
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Funciones de varias variables. Límites y continuidad
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b) g(x,y) = 22 44 yx −− .
Recorrido: [0,2]
c) h(x,y) = arc cos x
y
Dominio:
≥≥−<≤≤−>
⇔≤≤∧≠xyxxSi
xyxxSi
x
yx
,0
,0 11- 0
Recorrido:, [0,ππππ] (o bien, [-π,0], pues al ser la función coseno una función periódica para definir el recorrido de h tenemos varias opciones, Derive opta por [0,π])
Dominio: 4444 044 222222 ≤+⇔+≥⇔≥−− yxyxyx
que es una elipse con los puntos de su interior
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Funciones de varias variables. Límites y continuidad
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d) p(x,y) = 22 yx
x
+
Dominio: { })0,0(−R Recorrido: R
( ) ±∞==
±→yx,
0plím
xyx
e) r(x,y) =
−2
2
xy
ex Dominio: R
Recorrido: [0, ∞∞∞∞]
Pues
−2
2
xy
ex ≥0 para cualesquiera
valores x, y
−
→
2
2
0
xy
yexlím = x2, siendo ( ) ∞=
∞→
2xlímx
4. Describir las curvas de nivel de las funciones siguientes y dibujar las curvas de nivel correspondientes a los valores de c que se especifican:
a) xyz = c = ± 1, ± 2, ± 4.
b) 22 yx
xz
+= c = 0, ± 1/2, ± 1; ± 2.
c)
= 2 xy
ez c = 2, 4, 2
1,
4
1.
d) z = 6 – 2x -3 y c = 0, 2, 4, 6, 8.
Solución: a) xyz = Las curvas de nivel xy = c son hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas. Las curvas de nivel xy = -1, xy = - 2, xy = - 4, son hipérbolas en el segundo y cuarto cuadrante. Las curvas de nivel xy =1, xy = 2, xy = 4, son hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
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b) 22 yx
xz
+=
La gráfica de esta función la podemos ver en el ejercicio 3d) Sus curvas de nivel son:
22 yx
xc
+= ⇔ 022 =−+ xcycx ⇔ 0
122 =−+ xc
yx ⇔2
22
2
1
2
1
=+
−c
yc
x que
corresponde a circunferencias de centro
0,
2
1
c y radio
c2
1 cuando c ≠ 0
c)
= 2 xy
ez c = 2, 4, 2
1,
4
1.
Las curvas de nivel de esta función son de la forma
= 2 xy
ec ⇔ xyc =ln2 que corresponden
a hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas. Las curvas de nivel pedidas son: xy = 2ln2, xy = 2ln4= 4ln2, xy = 2ln(1/2)= -2ln2, xy = 2ln(1/4) = - 8ln2
Para c = 0 es la recta x = 0, Para c= + 1/2, + 1; + 2. son las circunferencias
( ) 11 22 =+− yx , 2
22
2
1
2
1
=+
− yx
22
2
4
1
4
1
=+
− yx
Para c= - 1/2, - 1; - 2. son las circunferencias
( ) 11 22 =++ yx , 2
22
2
1
2
1
−=+
+ yx
22
2
4
1
4
1
−=+
+ yx
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d) z = 6 – 2x -3 y Esta función es un plano inclinado y sus curvas de nivel son las rectas c = 6 – 2x -3 y, donde c = 0, 2, 4, 6, 8
5. La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (x,y) de una placa circular de 10m de radio es:
T = 600 - 0,75x2 - 0,75y2 Donde x e y se miden en metros. Calcular y dibujar algunas curvas isotermas.
Solución:
Observemos que las condiciones del problema nos indican que 0≤ x ≤10 , 0≤ y ≤10, con 222 10≤+ yx , por tanto tenemos que la función temperatura T(x,y) está acotada, por ejemplo,
entre T(0,0) =600 y T(10,10) = 450 . Si queremos precisar más y obtener la temperatura mínima de la placa, hemos de tener en cuenta que T = 600 - 0,75x2 - 0,75y2 = 600 - 0.75 (x2+y2) y que el valor máximo que puede
alcanzar 222 10=+ yx , luego la temperatura mínima de la placa es T = 600 – 0.75·100 = 525.
Por lo tanto 525 < c < 600 y las curvas isotermas para c = 525, 540, 555, 570, 585, 600, son, respectivamente:
0,75x2 - 0,75y2= 75; 0,75x2 - 0,75y2= 60; 0,75x2 - 0,75y2= 45; 0,75x2 - 0,75y2= 30; 0,75x2 - 0,75y2= 15; 0,75x2 - 0,75y2= 0;
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6. Consideremos ( ) ( ) xy
yxlím
yx
22
0,0,
+→
. Se pide:
a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta y = mx.
b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola y =x2.
c) ¿Existe el límite? Justifica la respuesta.
Solución:
a) xy
yxlímx
mxy
22
0
+
→=
=( )
2
22
0
1
mx
mxlímx
+→
=m
mlímx
2
0
1
+→
=m
m21+.
Como vemos el valor del límite depende de la recta que tomemos para acercarnos. Así para la recta de pendiente m=1, el límite vale 2 pero para la de pendiente m=-1, el límite vale -2.
b) xy
yxlímx
xy
22
0
2
+
→=
= 2
22
0
xx
xxlímx
+→
= ∞=→ x
límx
2
0
c) Los resultados anteriores indican que el valor depende del camino de acercamiento al (0,0) y como el límite para existir ha de ser único, la conclusión es que el límite no existe.
7. Calcular los siguientes límites:
a) ( ) ( ) 22
2
2,1,
5
yx
yxlím
yx +→; b)
( ) ( ) yx
yxlím
yx +−
−→
22
1,1, ; c)
( ) ( )
2
22
22
0,0,
+−
→ yx
yxlím
yx;
d) ( ) ( ) 43
4
1,1,
yx
yxlímyx −
−→
f) ( ) ( ) yx
yxxylím
yx ++−
→
0,0,
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Solución:
a) ( ) ( ) 22
2
2,1,
5
yx
yxlím
yx +→=
5
10=2.
b) ( ) ( ) yx
yxlím
yx +−
−→
22
1,1, =
0
0 ¡indeterminación!
Vemos que se puede descomponer el numerador en factores y simplificar:
( ) ( ) yx
yxlím
yx +−
−→
22
1,1, =
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )yxlím
yx
yxyxlím
yxyx−=
+−+
−→−→ 1,1,1,1,=2.
c) ( ) ( )
2
22
22
0,0,
+−
→ yx
yxlím
yx=
0
0¡indeterminación!
En este caso, la descomposición del numerador en factores no deshace la indeterminación. Podemos evaluar el posible valor del límite acercándonos por caminos y = mx (límites radiales)
2
2
22
0
2
+
−
→= yx
yxlím
xmxy
=( )( )
2
22
22
0
+−
→ mxx
mxxlímx
=( )( )
2
22
22
0 1
1
+−
→ mx
mxlímx
= ( )( )
2
2
2
1
1
+−
m
m.
Como vemos el valor del límite depende de la recta que tomemos por lo que no existe el límite.
d) ( ) ( ) 43
4
1,1,
yx
yxlímyx −
−→
=0
0¡indeterminación!
En este caso vamos a utilizar como procedimiento el cálculo de los límites reiterados:
−−
→→ 43
4
11
yx
yxlímlímxy
=
−−
→ 4
4
1 1
1
y
ylímy
= 11→y
lím =1.
−−
→→ 43
4
11
yx
yxlímlímyx
=
−−
→ 1
1
31 x
xlímy
=( )( ) ( )1
1
11
1
2121 ++=
++−−
→→ xxlím
xxx
xlím
xx=
3
1.
Tienen distinto valor por lo que hemos de concluir que el límite no existe.
f) ( ) ( ) yx
yxxylím
yx ++−
→
0,0,=
0
0¡indeterminación!
Hallamos los límites reiterados:
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++−
→→ yx
yxxylímlímxy
00
=
→→ y
ylímlímxy
00
= 10→y
lím =1.
++−
→→ yx
yxxylímlímyx
00
=
−→→ x
xlímlímyx
00
= ( )10
−→y
lím = -1.
Tienen distinto valor por lo que hemos de concluir que el límite no existe.
8. Estudiar la continuidad en (0, 0), y en el resto del dominio, de las siguientes funciones:
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
≠+=
0,0 si 0
0,0 si , 22
x,y
x,yyx
xy
yxf
b) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
≠+
−=
0,0 si 0
0,0 si , 22
22
x,y
x,yyx
xyyx
yxg .
Solución:
a) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
≠+=
0,0 si 0
0,0 si , 22
x,y
x,yyx
xy
yxf
f es continua en (0, 0) si
( ) ( )( )yxf
yx,lim
0,0, →= f(0,0)
En este caso, vamos a utilizar el paso a coordenadas polares para calcular el límite:
( ) 220,0),( yx
xylímyx +→
=( )( )
( ) ( )220 sincos
sincos
αααα
rr
rrlímr +→
= ( )αααα
222
2
0 sincos
sincos
+→ r
rlímr
= αα sincos0→r
lím =
αα sincos
Por lo tanto, el límite no existe pues depende del valor de α, en consecuencia, la función no es
continua en el origen. En el resto del dominio (R2) la función es continua por ser un cociente de funciones continuas (polinómicas) cuyo denominador no se anula.
b) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
≠+
−=
0,0 si 0
0,0 si , 22
22
x,y
x,yyx
xyyx
yxg .
g es continua en (0, 0) si ( ) ( )
( )yxgyx
,lim0,0, →
= g(0,0)
Al igual que en el caso anterior utilizamos el cambio a coordenadas polares:
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( )( )
22
22
0,0),( yx
xyyxlímyx +
−→
=( ) ( )( )( )
( ) ( )22
22
0 sincos
sincossincos
αααααα
rr
rrrrlímr +
−→
=
( )( )α+α
α−ααα→ 222
224
0 sincos
cossincos
r
senrlímr
= ( )( )αααα 222
0cossincos senrlím
r−
→ =0, pues observa que
( ) ( ) ( )
≤+≤−≤−
→→
2cos1cossincoscossincos
0 cuando 0222222
2
αααααααααα sensensen
rr
es decir, tenemos el producto de una función que tiende a 0 (infinitésimo) por una expresión
que dependiendo de α está acotada, luego el límite es 0, por lo tanto,
( )( ) ( )0,00,
0,0),(gyxglím
yx==
→
Lo que nos dice que g(x,y) es una función continua en el origen.
En el resto del dominio (R2) la función es continua por ser un cociente de funciones continuas (polinómicas) cuyo denominador no se anula.
9. Dada la función f(x,y)=( ) ( )
( ) ( )
=
≠+
0,0 si k
0,0 si sen
22
2
x,y
x,yyx
yxsen
. Se pide:
a) Límites reiterados en el punto (0,0). b) A la vista del resultado anterior ¿qué puedes decir acerca del límite de f en (0,0)?¿Es
continua la función en (0,0)? c) ¿Se puede definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto?
Solución:
a) Límites reiterados en el punto (0,0).
( ) 000sen
020022
2
00==
=
+ →→→→→ yxyxylím
ylímlím
yx
yxsenlímlím
( ) 000sen
020022
2
00==
=
+ →→→→→ yyxyxlím
xlímlím
yx
yxsenlímlím
b) A la vista del resultado anterior ¿qué puedes decir acerca del límite de f en (0,0)?¿Es continua la función en (0,0)?
Solo podemos afirmar que, si existe el límite, entonces su valor ha de ser 0. El ejercicio dice que f(0,0)=k, y la teoría define a f como continua en (0, 0) si y solo si existe
( ) ( )( )yxf
yx,lim
0,0, →= f(0,0)
por lo tanto, con el resultado del apartado a) solo podemos establecer que f no es continua en
(0,0) cuando k ≠0.
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c) ¿Se puede definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto?
Dado el resultado en el apartado a) para que f sea continua en (0,0) se han de cumplir dos condiciones
( ) ( )
==
=+→
0(0,0) )2ª
0sen
lim )ª122
2
0,0,
kf
yx
yxsenyx
Verificamos, en primer lugar, si el límite vale 0 utilizando el procedimiento de cambio a coordenadas polares. En este caso, también vamos a tener en cuenta que senx, seny, son
infinitésimos equivalentes a x e y , respectivamente, cuando (x,y)→(0,0):
( ) ( ) 22
2
0,0,
sen lim
yx
yxsenyx +→
=( ) ( ) 22
2
0,0,
lim
yx
yxyx +→
=( )( )
( ) ( )22
22
0 sincos
sincos
αααα
rr
rrlímr +→
= ( )α+ααα
→ 222
23
0 sincos
sincos
r
rlímr
=
( )αα→
sincos2
0rlím
r = 0 pues
≤αα
→
acotada) está ( 1sincos
02
r
En consecuencia, haciendo f(0,0) = k = 0 se verifica que:
( ) ( )( )yxf
yx,lim
0,0, →= f(0,0)= 0
10. Para las siguientes funciones, probar que el valor de ( ) ( )
),(0,0,
yxflímyx →
depende del
camino elegido para acercarse a (0,0):
a) f(x,y) = ( )2242
42
yxyx
yx
−+ b) f(x,y) =
62
3
yx
xy
+
¿Existen dichos límites?
Solución:
a) En la función f(x,y) = ( )2242
42
yxyx
yx
−+ observamos que los exponentes de la variable y
son el doble de los exponentes de la variable x, lo que hace aconsejable utilizar parábolas de la forma y2 = mx para evaluar por caminos el valor del límite de la función f en (0,0):
Acercándonos por y2 = x: ( )2242
42
0
2yxyx
yxlím
xxy −+→
==
( )222
22
0 xxxx
xxlímx −+→
= 10→x
lím =1
Acercándonos por y2 = 2x: ( )
( ) ( )222
22
02 22
22 xxxx
xxlím
xxy −+
→=
=24
4
0 4
4
xx
xlímx +→
= 14
42
2
0 +→ x
xlímx
= 0
Queda probado que el límite de f en (0,0) depende del camino, en consecuencia, la teoría nos dice que no existe dicho límite.
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b) Observa que en la función f(x,y) = 62
3
yx
xy
+ los exponentes de la variable y son el triple
de los exponentes de la variable x, lo que sugiere utilizar parábolas de la forma y3 = mx para evaluar por caminos el valor del límite pedido:
Acercándonos por y3 = x: 63
3
0
3 yxy
xylím
xxy +
→=
=22
2
0 xx
xlímx +→
= 2
1
0→xlím =
2
1
Acercándonos por y3 = 3x: 63
3
033 yxy
xylím
xxy +
→=
=( )22
2
0 33
3
xx
xlímx +→
= 12
3
0→xlím =
4
1.
Queda probado que el límite de f en (0,0) depende del camino, en consecuencia, la teoría nos dice que no existe dicho límite. Nota: El ejercicio nº 10 admite otras soluciones distintas de la que se ha escrito. Sugerimos
que se resuelva, al menos, de otra forma distinta.
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