sol exa final civil mate iv 2010 ii
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7/24/2019 Sol Exa Final Civil Mate IV 2010 II
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Solucion de Examen Final de Matematica IV.
Docente : Ms.C. MiguelAngel Yglesias Jauregui
Escuela : Ingeniera Civil.
Semestre : 2010 - II.
Cuestionario
Haga un desarrollo legible del examen y responda correctamente a lo pedido.
1. Dado el problema
tx + (4t 2)x + (13t 4)x= 0, t >0
x(0) = 0
x() = e2. Resolver aplicando transformada de Laplace.
Solucion
Sea X(s) = L[x(t)], aplicando transformada de Laplace a la ecuacion diferencial se tiene
L[tx(t)] + 4L[tx(t)] 2L[x(t)] + 13L[tx(t)] 4L[x(t)] = 0
d
ds s2X(s) sx(0) x(0)
4
d
ds{sX(s) x(0)} 2{sX(s) x(0)} 13
d
dsX(s) 4X(s) = 0
d
ds
s2X(s) x
(0)
+ 4d
ds{sX(s)} + 2sX(s) + 13d
ds X(s) + 4X(s) = 0
2sX(s) + s2X(s) + 4X(s) + 4sX(s) + 2sX(s) + 13X(s) + 4X(s) = 0
(s2 + 4s + 13)X(s) + 4(s + 2)X(s) = 0
dX
X =2
2(s + 2)
s2 + 4s + 13ds + ln k
ln X(s) = 2ln(s2 + 4s + 13) + ln k
luego
X(s) = k
[(s + 2)2 + 32]2
k
9
3
(s + 2)2 + 323
(s + 2)2 + 32
aplicando transformada inversa de Laplace a este ultimo resultado se obtiene
x(t) = k
9
e2t sen(3t) e2t sen(3t)
=
k
9
t0
e2u sen(3u)e2(tu) sen(3t 3u)du
= k e2t
9
t0
[cos(6u 3t) cos(3t)] du
= k e2t
9
1
6sen(6u 3t) u cos(3t)
t0
= k e2t
9
1
6sen(3t) t cos(3t) +
1
6sen(3t)
= k e2t
91
3sen(3t) t cos(3t)
y de esta manera
x(t) = k e2t
9
1
3sen(3t) t cos(3t)
Para determinar el valor de k , aplicamos la condicion x() = e2, de donde se obtiene que k= 9. Por lo tanto
x(t) = e2t
1
3sen(3t) t cos(3t)
2. Usando transformada de Laplace resuelva el problema:
2ux2
42ut2
= 0, 0< x < , t >0
u(0, t) = u(, t) = 0, t0
u(x, 0) = 0, 0 x ut
(x, 0) = sen(2x), 0 x
.
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Solucion
En este caso, aplicamos transformada de Laplace a la funci on u(x, t) en la variable t. Hacemos U(x, s) =L[u(x, t)],
luego aplicando la transformada a la ecuacion diferencial parcial se tiene:
L
2u(x, t)
x2
4L
2u(x, t)
x2
= 0
de donde
2x2
L[u(x, t)] 4
s2U(x, s) su(x, 0) t
u(x, 0)
= 0
ahora aplicando las condiciones iniciales del problema1, se tiene la nueva ecuacion diferencial
2
x2U(x, s) 4s2U(x, s) = 4 sen(2x) (1)
En este caso la solucion complementaria de (1) esta dada por la funcion
Uc(x, s) = c1e2sx + c2e
2sx (2)
Para determinar la solucion particular de (1) aplicamos el metodo de coeficientes indeterminados y asumimos que
Up(x, s) = A cos(2x) + B sen2x, que reemplazando en (1) se tienen los valores de A y B dados por: A = 0 ,B = 1s2+1 .
Con estos resultados, la solucion particular es
Up(x, s) = 1
s2 + 1sen(2x) (3)
Luego de (2) y (3) la solucion general de (1) esta dada por
U(x, s) = c1e2sx + c2e
2sx + 1
s2 + 1sen(2x) (4)
Puesto que
u(0, t) = 0
u(, t) = 0, entonces
U(0, s) = 0
U(, s) = 0. Aplicando estas ultimas condiciones en la solucion (4) se
tiene que c1 = c2 = 0. De esta manera se tiene que la solucion final de (1) esta dada por
U(x, s) = 1
s2 + 1sen(2x)
que aplicando transformada inversa de Laplace nos da la solucion del problema inicial u(x, t), la cual es
u(x, t) =1
2sen(t) sen(2x)
3. Una barra de cobre de 50 cm de longitud con su superficie lateral aislada tiene una temperatura inicial u(x, 0) = 2x,
y en el tiempo t = 0 sus dos extremos son aislados. (La constante de difusividad termica del cobre es 1,15 k(cm2)s)
a) Determine la temperatura u(x, t).
Solucion
De acuerdo a los datos del problema, se trata de una barra con extremos aislados, la ecuaci on diferencial con las
condiciones de frontera y condicion inicial se indican a continuacion:
ut
(x, t) = k 2u
x2(x, t), 0< x 0, k= 1, 15
ux
(0, t) = ux
(50, t) = 0, t 0
u(x, 0) = 2x, 0 x 50
(5)
La solucion correspondiente a este problema esta dada por la expresion
u(x, t) = c0
2 +
n=1 cncosnx
L en22kt
L2 , donde cn = 2
L L
0
f(x)cosnx
L dx, n= 0, 1, 2, (6)1En este caso, llamamos condiciones iniciales, aquellas que estan dadas en t = 0.
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En este caso, L = 50 y f(x) = 2x, x [0, 50]. En seguida determinamos los coeficientes.
Para n = 0, se tiene:
c0 = 2
50
500
2xdx= 100
Para n Z+, se tiene:
cn = 2
50
500
2x cosnx
50
dx=
2
25
500
x cosnx
50
dx
= 2
25
50n
x sen
nx
50
+
50n
2
cos
nx
50
500
= 200
(n)2(cos(n) 1)
Luego
u(x, t) = 50 +200
2
n=1
cos(n) 1
n
cos
nx50
e0,00046n
22t (7)
b) Cual sera su temperatura en x = 10 despues de un minuto?
Solucion
Cuandox = 10 y t = 60, la temperatura es u(10, 60), y esta dada segun (7) por la expresion
u(10, 60) = 50 +200
2
n=1
cos(n) 1
n
cos
n5
e0,0276n
22
para aproximar la temperatura desarrollamos los primeros terminos de la serie. En efecto:
u(10, 60) 50 + 20, 26423673
2 cos(
5)e0,27240108
2
3cos(
3
5 )e2,451609733
= 50 + 20, 26423673 (1,618033989(0, 761548757) + 0, 206011329(0, 086154788))
= 50 + 20, 26423673 (1, 232211773 + 0, 017748862)
= 25, 38
Por lo tanto u(10, 60) 25, 38oC.
c) Despues de aproximadamente cuanto tiempo su temperatura en x= 10 sera de 45oC?
Solucion
Hay que encontrar el instante t0 en el cual u(10, t0) = 45. En efecto, trabajando con el primer sumando de la
serie2 se tiene:
50 +200
2
2cos
5
e0,004540018t0
45
de donde
e0,004540018t0 0, 152493774
aplicando logaritmo en esto ultimo resulta t0 414, 2343731 = 6min con 54seg.
4. La vibracion transversal de una barra elastica se analiza con la ecuacion diferencial parcial 2ut2
+a4u4
x4= 0, donde
a4 = EI
, siendo la densidad lineal, Eel modulo de Young, Iel momento de inercia de la seccion transversal. Una
barra uniforme de longitud L esta simplemente apoyada en sus extremos x = 0 y x = L. Si la barra se pone en
movimiento desde el reposo con una posicion inicial f(x) dada, entonces la funcion de desplazamiento u(x, t) satisface
el problema:
2ut2
+ a44u
x4 = 0, 0< x < L, t >0
u(0, t) = 2u
x2(0, t) = 0, t 0
u(L, t) = 2u
x2(L, t) = 0, t0
u(x, 0) = f(x), 0 x L
u(x, 0) = f(x)ut
(x, 0) = 0
. Deducir la solucion del problema3
2Es decir, para n= 1.3Tiene que aplicar el metodo de separacion de variables y trabajar con constante de proporcionalidad positiva.
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Solucion
HacemosU(x, t) = X(x)T(t), y reemplazando en la EDP se tiene
X(4)
X =
T
a4Y =
asumiendo que es positivo, hacemos = 4 >0 ( >0). Luego se tiene la ecuacion
X(4)(x) 4X(x) = 0
cuya solucion general es
X(x) = A cos(x) + B sen(x) + Ccosh(x) + D senh(x)
usando las condiciones de frontera X(0) = X(0) = X(L) = X(L) = 0. por tanto: X(0) = A+ C y X(0) =
A + C= 0. De estos dos resultados
X(x) = B sen(x) + D senh(x)
usando las condiciones en x = L, dan por hecho que D = 0 y sen(L) = 0, de donde se tienen los autovalores
n = 4n
n44
L4
y las autofunciones
Xn(x) = sennx
L
Ahora, para cada n se tiene la ecuacion diferencial
Tn(t) +n444
L4 Tn(t)
que debido a la condicion Tn(0) = 0 se tiene la solucion
Tn(t) = cos
n222t
L2
y de esta manera aplicando el principio de superposicion la solucion del problema es
u(x, t) =n=1
cncos
n222t
L2
sen
nxL
Usando la condicion u(x, 0) = f(x), se tiene que los coeficientes cn estan dados por la formula
cn = 2
L
L0
f(x)sennx
L
dx
Puntaje: 1 (05 puntos), 2 (05 puntos), 3 (05 puntos), 4(05 puntos)
Enero 18, 2011
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