sistemas hiperestáticos

HiperestáticosMétodo de las Deformaciones

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de

vínculo:

Consideraciones Preliminares

El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos.

Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de

vínculo:

Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio.

Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos en la estructura.

Consideraciones Preliminares

Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de

vínculo:

Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas

Consideraciones Preliminares

Definimos el Sistema Fundamental:

ResoluciónProcedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (barra horizontal BC), y una barra empotrada-empotrada (barra vertical AB).

Definimos el Sistema Fundamental:

ResoluciónUna vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q) sobre este sistema fundamental; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo B) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto.

Analizaremos el efecto que tienen las cargas

externas

Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán la barra AB de acuerdo con el siguiente esquema:

Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido a la acción de las cargas exteriores será:

12

201

Hqa P

Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones

impuestas (rotación del nodo B)

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de : L

JEHJEa

340

11

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas exteriores y los giros del nodo B deberán ser nulos:

0011

01 aa P

HLJELHq

HLHLJE

Hq

aa P

341234

123

2

011

01

Y obtenemos el valor del giro del nodo B:

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A

JEL

N

JEH

HqQ

JEH

HqM

A

A

A

A

2

2

2

3

62

212

M’A

Q’A N’A

Aplicando el principio de superposición resulta:

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C

Q’CN’C

Aplicando el principio de superposición resulta:

JEL

Q

JEH

HqNC

C

C

2

2

3

62

Hallemos los valores de los esfuerzos que se producen cuando se produce un asentamiento

vertical del vínculo C de valor d

Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:

En el Fundamental consideramos un asentamiento vertical del vínculo C

de valor d

Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido al asentamiento del vínculo C será:

dd

201 3

LJEa

Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones

impuestas (rotación del nodo B)

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de : L

JEHJEa

340

11

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación del asentamiento del vínculo C y los giros del nodo B deberán ser nulos:

0011

01 d aa

HLLH

HLHLJE

LJE

aa

343

34

32

011

01 d

d

dd

Y obtenemos el valor del giro del nodo B:

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A

MA’’

QA’’ NA’’

Aplicando el principio de superposición resulta:

d

JEL

JEL

N

JEH

Q

JEH

M

A

A

A

A

32

2

33

6

2

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C

QC’’NC’’

Aplicando el principio de superposición resulta:

d

JEH

N

JEL

JEL

QC

C

C

2

32

6

33

Hallemos los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)

Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:

coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1 °C.

HtLt

H

L

dd

En el Fundamental consideramos un desplazamiento del vínculo B de

valor d

Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido al desplazamiento del nodo B será:

22

36

L

H

H

LB L

JEH

JEMd

dd

dd

Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones

impuestas (rotación del nodo B)

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de : LH

B LJE

HJEM

dd

34

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación del desplazamiento del nodo B y los giros del nodo B deberán ser nulos:

0 d BB MM

LH

L

H

H

L

B

Bt

LJE

HJE

LJE

HJE

MM

dd

dd

dd

d

34

3622

Y obtenemos el valor del giro del nodo B:

Calculamos ahora las reacciones de

vínculo en A

MA’’’

QA’’’NA’’’

Aplicando el principio de superposición resulta:

32

23

2

33

612

26

LLA

HH

LA

HH

LA

LJE

LJEN

HJE

HJEQ

HJE

HJEM

A

dd

d

d

dd

d

dd

23

32

612

33

HH

LC

LLC

HJE

HJEN

LJE

LJEQ

C

d

dd

dd

d

Calculamos ahora las reacciones de

vínculo en C

Aplicando el principio de superposición resulta:

QC’’’NC’’’

Resumiendo

AAAA

AAAA

AAAA

NNNNQQQQMMMM

A

MA

QA NA

Si nuestro problema, además de tener superabundancia de vínculos, está afectado por un asentamiento en uno de ellos y además por una diferencia de temperaturas, aplicando el principio de superposición resulta:

QCNC

CCCC

CCCC

NNNNQQQQ

C

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias