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Sistemas dinámicos aplicados a EDP

Patricia Saavedra en colaboración con J. Delgado.

Departamento de Matemáticas UAM-Iztapalapa

agosto 2018

PSB (UAM-I) Sistemas dinámicos aplicados a EDP agosto 2018 1 / 65

Outline

1 Motivación

2 EDP con soluciones en forma de onda viajera

3 Ecuación de Burgers

4 Sistemas dinámicos en el plano

5 Ecuación de Fisher

6 Ecuación de Nagumo

7 Tráfico vehicular

8 Estabilidad de Ondas Viajeras

Objetivo del curso:

Ilustrar a través de varios ejemplos la aplicación de sistemasdinámicos para probar la existencia de soluciones tipo onda viajera enEDP.

Motivación: tráfico vehicular

Algunas preguntas:

¿Cómo identificamos que estamos ante un embotellamiento oque el tráfico esta fluido?¿Cuáles son las variables relevantes?

Variables relevantes1 Densidad promedio. número de vehículos por kilómetro: ρ(x , t).2 Velocidad promedio: número de kilómetros por unidad de tiempo.

v(x , t).3 Flujo promedio: número de vehículos por unidad de tiempo.

Q(x , t).4 ¿Que relación hay entre la densidad y la velocidad?

Q(x , t) = ρ(x , t)v(x , t).

Diagramas fundamentalesSe llama diagramas fundamentales la relación que se establece entrela velocidad como función de la densidad y el flujo como función de ladensidad.

Vmax= 1− ρ

ρmax, (Greenshields)

Vmax= −3.72× 10−6 +

[1 + exp

( ρρmax− 0.25

)]−1

(KK ).

Tipos de modelos

Hay modelos macroscópicos, microscópicos y cinéticos.

Modelos Macroscópicos:1 Se asume que las variables se mueven a lo largo de un continuo

espacial y temporal.2 Las variables importantes son la densidad, la velocidad y el flujo

promedio.3 Marco teórico es la mecánica del medio continuo.4 Herramienta matemática: ecuaciones en derivadas parciales.

Modelo de Kerner-Kornhäuser

Aparece en la modelación de tráfico vehicular. Las principalesvariables son la densidad ρ, la velocidad promedio V , y el flujo V . Enforma conservativa las ecuaciones son:

∂t+∂ρV∂x

= 0, (1)

(∂V∂t

+ V∂V∂x

)= −∂P

∂x+ρ(Ve(ρ)− V )

τ. (2)

P = ρΘ− η∂V∂x

con Θ(x , t) la varianza de la velocidad y η es un parámetro análogo ala viscosidad.

Soluciones homogéneas

Si a las ecuaciones se les imponem condiciones a la fronteraperiódicas y condición inicial

ρ(x ,0) = ρ0 V (x ,0) = Ve(ρ0) = V0

entonces (ρ0,V0) es solución. Se le llama soluciones homogéneas.

EjemploResolver la EDP en [−L,L] con L = 12 km, y parámetros:η = 600 km/hr , θ = (45)2 km/hr , τ = 30 seg.

Condiciones de frontera: ρ(−L, t) = ρ(L, t), V (−L, t) = V (L, t).Condiciones iniciales:ρ(x ,0) = ρe + 8 cosh−2(2(x − 6))− 4 cosh−2(2(x + 6)),

V (x ,0) = ρeVe(ρe)ρ(x ,0) .

-10 -5 0 5 100

Perfil de densidad ρe = 28 veh km−1

-10 -5 0 5 100

Observaciones:

Los resultados numéricos corresponden al diagrama fundamentalde Kerner-Kornhäuser.En particular, la formación de un cúmulo de densidad fueencontrado en experimentos reales de tráfico en un circuitocerrado, ver Sugiyama.Si se perturba una solución homogénea con ρe ∈ [0, ρcrit ] despuésde un transitorio la solución regresa a su estado inicial. Para otrosvalores de ρe después de un transitorio da lugar a una solucióntipo onda viajera.

Estabilidad lineal del modeloSe toma una solución homogénea del sistema ~we = (ρe,Ve(ρe)). seaplica análisis de Fourier para obtener en el caso lineal la condición deestabilidad de la solución:

ρe|V ′e| <√

stable region

unstable region

0 20 40 60 80 100 1200

Figure: Stability regions in the Kerner-Konhäuser model.PSB (UAM-I) Sistemas dinámicos aplicados a EDP agosto 2018 13 / 65

Ondas Viajeras

¿Qué es una onda viajera?Es una función u :< −∞,∞ > ×[0,T ]→ < de la formau(x , t) = ϕ(x − ct) que satisface

limx→−∞u(x , t) = c1 limx→∞

u(x , t) = c2.

Si c1 = c2 se le llama un pulso. Si c1 6= c2 se le llama un frente.Si u : [0,L]× [0,T ]→ < y u(x , t) = ϕ(x − ct) satisface condiciones defrontera periódicas es una onda viajera periódica.

Soluciones tipo onda viajera se presentan en ecuaciones deadvección lineales, ecuaciones de reacción-difusión, ecuaciones dedispersión como Korteweg de Vries y ecuaciones conservativas condifusión, entre otras.

Existencia y estabilidad de ondas viajeras

Para estudiar la existencia local se aplica el cambio de variableusual ξ = x − st para transformar nuestro problema en un sistemade ODE de primer orden.El sistema de ODE se analiza como un sistema dinámico y através del análisis de sus puntos críticos se puede inferir elcomportamiento cualitativo de la EDP; en particular, la existenciade ondas viajeras para el problema de EDP en un dominioacotado con condiciones de frontera periódicas o en un dominiono acotado con condiciones de frontera acotadas.Otro aspecto es analizar la estabilidad de la onda viajera i.e.pequeñas perturbaciones en la onda viajera no modifican el perfilde la misma para tiempos largos.

Ecuaciones conservativas

La ecuación de Burgers con viscosidad: determinaru(x , t) :< −∞,∞ > ×[0,T ] tal que

∂u∂t

+12∂u2

∂x= ν

∂2u∂x2 , −∞ < x <∞ t > 0 (3)

u(−∞, t) = u−, u(∞, t) = u+, u′(±∞, t) = 0. (4)

con u− > u+.La solución es única y se puede obtener en forma analítica por mediode la transformación de Cole-Hopf.

¿Admite Burgers soluciones en forma de onda viajera?

Para ello se hace el siguiente cambio de variable: ξ(x , t) = x − st .Ahora buscamos u(ξ) que satisfaga

−su′′(ξ) + u(ξ)u′(ξ) = νu′′(ξ).

Integrando de < −∞, ξ > y aplicando las condiciones a la frontera:

u(−∞, t) = u−, u(∞, t) = u+, u′(±∞, t) = 0.

∫ ξ

−∞(−su′(r) +

[u2(r)]′)dr = νu′(ξ),

−su(ξ) +u2(ξ)

2+ su− −

u2−2

= νu′(ξ).

Solución analíticaAplicando la condición de frontera cuando ξ →∞

−su+ +u2+

2+ su− −

u2−2

Resolviendo para s obtenemos la condición de salto o deRankine-Hugonot

s =(u2

+ − u2−)

2(u+ − u−)=

(u+ + u−)

Al substituir s en la ecuación del perfil

u′(ξ) =(u(ξ)− u−)(u(ξ)− u+)

2νIntegrando se obtiene

u(ξ) = s − a arctan(a2ν

(ξ + δ)).

con a = u−−u+

Perfil de la solución

-10 -5 0 5 10

Sistemas conservativos

1 Flujo Isentrópico (coordenadas Lagrangianas)

∂v∂t− ∂u∂x

= 0, −∞ < x <∞ t > 0 (5)

∂u∂t

+∂p(v)

∂x(∂u∂xu

con v el volumen, u la velocidad, p(v) es la ley de presión que seasume adiabática con p(v) = a0v−γ , con a0 > 0 y γ ≥ 1.

2 Tráfico vehicular : ~u = (ρ, ρV )

∂~u∂t

+∂~F (~u)

∂x= ~s(~u).

con condiciones de frontera:1 D = [−L,L], V (−L, t) = V (L,T ), ρ(−L,T ) = ρ(L,T ).2 D =< −∞,∞ >, limx→±∞ρ(x , t) = ρ± y limx→±∞V (x , t) = V±. Si

v+ = V− se tiene un pulso, diferentes un frente.

Flujo Isentrópico

¿Admite el sistema soluciones en forma de onda viajera?Supongamos ξ = x − st y v(x , t) = V (x − st) y u(x , t) = U(x − st)

−sV ′(ξ)− U ′(ξ) = 0,−sU ′(ξ) + [p(V )]′ = [V (ξ)−1U ′(ξ)]′.

Como U ′(ξ) = −sV ′(ξ) al substituir en la segunda ecuación se obtieneuna EDO para V :

s2V ′(ξ) + [p(V )]′ = [−sV (ξ)−1V ′(ξ)]′.

Integrando de −∞ a ξ y usando que V ′(−∞) = V ′(∞) = 0

V ′(ξ) =−Vs

[p(V ) + s2V (ξ)− (p(v−) + s2V−)].

Onda Viajera

Supongamos que el gas es isotérmico i.e. está a temperaturaconstante, entonces p(v) = a

v . Supongamos s = −1, v− = 1, v+ = a,si δ = v− − v+, con v− > v+ y vm = (v−+v+)

V ′ = V [aV

+ V − (a + 1)].

Sea θ = vm + δ2V ⇒ θ′ = δ

2(θ2 − 1)

θ(ξ) = −Tangh(δ

V (ξ) = vm −δ

2Tanh(

2ξ), U(ξ) = V (ξ) + C.

Perfil de la solución: v− = 1 v+ = 2/3.

-40 -20 0 20 400.65

Ecuaciones de reacción difusión:

Ecuaciones de la forma: ∂u∂t − D ∂2u

∂x2 = F (u), con D > 0.Ecuación de Fisher

∂u∂t− D

∂2u∂x2 = ru(1− 1

Las variables se adimensionalizan: t = tr , x = x√D/r

, u = uK

∂u∂ t− ∂2u∂x2 = u(1− u) (7)

Ecuación de Nagumo: una ecuación de crecimiento de unapoblación con una tasa de crecimiento dada por el modelo deAllee con a < 1/2 y F (u) = u(u − a)(u − 1).

∂u∂t

=∂2u∂x2 + u(u − a)(1− u).

Resultados sistemas dinámicos en el plano

Un sistema EDO de primer orden lineal en el plano es de la forma:

u′(ξ) = au(ξ) + bv(ξ) = f1(u, v),

v ′(ξ) = cu(ξ) + dv(ξ) = f2(u, v).

(a bc d

)con det(A) 6= 0, si ~u = (u, v) entonces ~u′ = A~u.Soluciones del sistema de EDO son de la forma ~u = ~qeλξ con~q = (q1,q2).

Entonces el problema se reduce a resolver un problema devalores propios A~q = λ~q y la solución del sistema de EDO es

~u(ξ) = c1~q1eλ1ξ + c2~q2eλ2ξ.

Sistema Dinámico-2

Para describir la estructura del plano fase se determinan lospuntos de equilibrio i.e. los puntos (u, v) del plano fase u − v quesatisfacen f1(u, v) = f2(u, v) = 0.El único punto de equilibrio de un sistema lineal es (0,0).

Se dice que un punto de equilibrio es estable si la parte real delos valores propios de A es negativa.Sea p(λ) = det(A− λI) = λ2 − traza(A)λ+ det(A) = 0

λ =traza(A)±

√traza(A)2 − 4det(A)

Si traza(A) < 0 y el det(A) > 0 entonces Re(λ1),Re(λ2) < 0 y(0,0) es una solución asintóticamente estable del sistema lineal.

Clasificación de puntos críticos

Si la parte real es distinta de cero se dice que son puntos deequilibrio hiperbólico.Si λ1, λ2 son reales y menores de cero entonces es un nodoestable. Todas las órbitas tienden al nodo. Si son mayores quecero es un nodo inestable y las órbitas salen del nodo.Si λ1, λ2 son complejos y con parte real menor a cero entonceses una espiral estable. Si la parte real es mayor que cero es unaespiral inestable.Si la parte real de λ1 y λ2 tienen signos distintos son puntos sillay, en consecuencia, inestables.Si los valores propios son imaginarios se tiene un centro. Lasórbitas son cerradas, elipses con centro en el origen que sellaman ciclos límite y corresponden a soluciones periódicas delsistema de EDO.

Sistemas no lineales en el plano

Un sistema EDO de primer orden no lineal en el plano es de laforma:

u′(ξ) = f1(u, v), (8)v ′(ξ) = f2(u, v). (9)

Los puntos (u, v) del plano fase u − v que satisfacenf1(u, v) = f2(u, v) = 0 son los puntos de equilibrio o críticos.La estabilidad de los puntos de equilibrio (uc , vc) se puedenanalizar a través del sistema linealizado alrededor del puntocrítico i.e ~u′ = A~u con

A = J~F (uc , vc) =

(∂f1(uc ,vc)

∂u∂f1(uc ,vc)

∂v∂f2(uc ,vc)

∂u∂f2(uc ,vc)

Estabilidad puntos críticos

TeoremaSea (x0, y0) un punto crítico aislado del sistema no lineal.Supongamos que el det(J~F (uc , vc)) 6= 0 y que los valores propios noson cero o puramente imaginarios entonces el sistema no lineal tienela misma estructura cualitativa que el sistema linealizado cerca del(0,0).

Las soluciones del sistema dinámico

De acuerdo con el teorema de Poincaré–Bendixon las soluciones deinterés del sistema dinámico en el plano son:

1 Puntos críticos.2 Ciclos límite. Su existencia se puede asegurar en la vecindad de

puntos de bifurcación tipo Hopf o TB y corresponden a solucionesperiódicas del sistema dinámico.

3 Orbitas homoclínicas. Su existencia se puede asegurar en lavecindad de puntos Takens-Bogdanov.

4 Orbitas heteroclínicas. Su existencia se puede asegurar en lavecindad de puntos Takens-Bogdanov degenerados.

Puntos de bifurcaciónPuntos críticos en los cuales la estabilidad del sistema cambia. Serequiere que en esos puntos la parte real se haga cero; son puntos nohiperbólicos.

Ejemplos de puntos de bifurcación

1 Puntos de Hopf: Los valores propios son puramente imaginarios.2 Puntos de Doblez (Fold): Uno de los valores propios es igual a

cero.3 Puntos de Takens-Bogdanov. El cero es valor propio de

multiplicidad 2.

Ecuación de Fisher-1

∂u∂t− ∂2u∂x2 = u(1− u), x ∈< −∞,∞ >, t > 0.

Sea ξ = x − st ; ∂u∂t = −su′(ξ) y ∂2u

∂x2 = u′′(ξ)

−su′(ξ)− u′′(ξ) = u(1− u) ξ ∈< −∞,∞ > .

Observe que u = 0 y u = 1 son soluciones homogéneas tipopulso con condiciones de frontera adecuadas.¿Existen otro tipo de soluciones?

Sistema Dinámico asociado

La ecuación diferencial no puede resolverse en forma analítica.Analicemos el problema como un sistema dinámico en el plano.El sistema EDO de primer orden no lineal asociado es:

u′(ξ) = v(ξ) = f1(u, v),

v ′(ξ) = −sv(ξ)− u(1− u) = f2(u, v).

Las soluciones de equilibrio (u, v) son los ceros def1(u, v) = f2(u, v) = 0. (1,0) y (0,0) son soluciones de equilibriode nuestro sistema dinámico y corresponden a las solucioneshomogéneas de la EDP.¿Son estables? Para ello analicemos los valores propios delsistema linealizado alrededor de los puntos de equilibrio (uc ,0)~u = A~u.

A = J~F (vc ,0) =

(0 12uc − 1 −s

)Los valores propios son las raíces de p(λ) = λ2 + sλ+ (1− 2uc).

Estabilidad puntos críticos

λ =−s2±√

s2 − 4(1− 2uc)

Si uc = 0, λ = −s2 ±

4 − 1 y si uc = 1, λ = −s2 ±

4 + 1.

(1,0) tiene valores propios en los reales con signo distintos por loque es un punto silla. Es inestable.Si s2 ≥ 4 entonces λ1 y λ2 son reales y negativos, (0,0) es unnodo estable.Si s2 < 4 entonces λ1 y λ2 son complejos con parte real negativa,(0,0) es una espiral estable.

Si s = 2, (0,0) nodo estable con λ1 = −0.999 y λ2 = −1.001. (1,0)punto silla con λ1 = −0.41421 y λ2 = −2.4142.

Plano fase

x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Solución tipo frente en FisherPara cada s2 ≥ 4 la EDP tiene una solución tipo frente que satisfacelas siguientes condiciones de frontera:

limξ→−∞

U(ξ) = 1, limξ→∞

U(ξ) = 0.

U(ξ) =1

1 + eξ/s +1s2 eξ/s(1 + eξ/s)−2 ln

4eξ/s(1 + eξ/s)2 + O(

1s4 ).

-�� -�� -��

��

Ecuación de Nagumo

∂u∂t

=∂2u∂x2 + u(u − a)(1− u).

Si hacemos el cambio de variable ξ = x − st y suponemos queu(x , t) = u(ξ) la ecuación se transforma a:

−su′(ξ) = u′′(ξ) + u(ξ)(u(ξ)− a)(1− u(ξ)).

El sistema de EDO de primer orden no lineal asociado es

u′(ξ) = v(ξ) (10)v ′(ξ) = −sv(ξ)− u(ξ)(u(ξ)− a)(1− u(ξ)). (11)

Los puntos críticos son (0,0), (1,0) y (a,0).

Problema linealizado

El sistema linealizado es ~u′ = J~F (vc ,0)~u con

J~F (vc ,0) =

(0 1−(uc − a)(1− uc)− uc(1− uc) + uc(uc − a) −s

(0,0) y (1,0) son puntos silla ya que

J~F (0,0) =

(0 1a −s

), J~F (1,0) =

(0 11− a −s

p(λ) = λ2 + sλ− a y p(λ) = λ2 + sλ− (1− a), respectivamente.En (a,0) la traza(A) < 0 y el det(A) > 0. Asi que es un nodoestable si s2 ≥ 4a(1− a) y una espiral estable si s2 < 4a(1− a).

Plano fase ec. Nagumo

x ' = y y ' = - (x (x - 0.5) (1 - x)) - (1 y)

x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Orbita heteroclínica de (0,0) a (1,0)

Dado 0 < a < 1/2 existe s tal que

=sV − U(U − a)(1− U)

V = bU(1− U) con b = 1/√

2 y s =√

2(1/2− a)

A usar que V = U ′ = bU(U − 1)

U(z) =12

(1− Tangh(ξ

Perfil del frente ecuación Nagumo

-30 -20 -10 0 10 20 30

Ejemplo: KK con Greenshields

∂t+∂ρV∂x

= 0, (12)

(∂V∂t

+ V∂V∂x

)= −∂P

∂x+ρ(Ve(ρ)− V )

τ. (13)

P = ρΘ− η∂V∂x

Vmax= 1− ρ

ρmax.

Solución en forma de onda viajera

Al hacer el cambio de variable z = x + Vg t la ec. de continuidadse transforma: d

(ρ(V + Vg)

)= 0 que al integrarla se obtiene

ρ =Qg

(V+Vg)con Qg la constante de integración.

Substituyendo ρ en la ecuación de movimiento se obtiene:

M(V ; Vg ,Qg)d2Vdz2 +D(V ; Vg ,Qg)

= F(V ; Vg ,Qg),

M(V ; Vg ,Qg) =η0

Qg(V + Vg),

D(V ; Vg ,Qg) = (V + Vg)

(V + Vg)2 − 1

F(V ; Vg ,Qg) =1τ

ρmax (V + Vg)

)− V

]. (14)

Ecuación KK adimensionalizada

Esta ecuación se adimensionaliza y se expresa como un sistemade EDO de primer orden no lineal. Dados θ0, vg y qg , determinarv(z) y y(z) tales que

= λqg

[1− θ0

(v + vg)2

]y − µqg

(ve(v)− v

v + vg

con ve(v) = 1− qg(v+vg)

Analicemos el comportamiento dinámico respecto a losparámetros θ0, vg y qg .

Puntos críticos

Los puntos críticos o de equilibrio del sistema se obtienen al igualarlas derivadas a cero, lo que da lugar a y = 0 y v punto fijo de ve(v), esdecir en el caso de Greenshields

ve(vc) = 1−qg

vc + vg= vc .

Los puntos críticos son de la forma (vc ,0) donde

v±c =12

[1− vg ±

√(1− vg)2 − 4(qg − vg)

dependen totalmente del diagrama fundamental y de los parámetros(vg ,qg). Observemos que el sistema puede tener dos, uno o ningúnpunto crítico.

Puntos críticos.

Los puntos críticos o de equilibrio tienen la forma (vc ,0) tal queve(vc) = vc .

Si ~u = (v , y), el sistema linearizado respecto a (vc ,0) es:~u′ = A0~u, con

(0 1−µqg(v ′e(vc)−1)

v+vgλqg

(1− θ0

(vc+vg)2

) ) ≡ ( 0 1c b

El polinomio característico λ2 − bλ− c = 0 tiene como raíces

λ1,2 =b ±√

b2 + 4c2

. (16)

Análisis de la estabilidad de puntos críticos

Proposición 1Sea (vc ,0) un punto crítico del sistema, entonces

Si v ′e(vc) < 1⇒ c > 0 y las raíces l1,2 son reales con signosopuestos. El punto crítico es un punto silla.Si v ′e(vc) > 1⇒ c < 0 ambas raíces l1,2 son reales y del mismosigno que b y el punto crítico es un nodo. Estable si b < 0.Si l1,2 son complejos conjugados con parte real b, el punto críticoes una espiral. Estable si b < 0.

qg vg vc1 Estabilidad vc2 Estabilidad

0.0952 0.1 −0.0053 espiral estable 0.9053 punto silla

0.1666 0.1 0.0814 espiral estable 0.8174 punto silla

0.2380 0.1 0.1962 espiral estable 0.7037 punto silla

0.1666 −0.1 0.3607 espiral estable 0.7390 punto silla

Table: Algunos puntos críticos para valores específicos de los parámetros.

Plano Fase-1Para el diagrama fundamental de Kerner–Konhäuser existen 0,1 o 2puntos críticos. Observe una órbita heteroclínica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure: Trayectorias para vg = 0.1, qg = 0.238095 (4000 veh/h).

Plano Fase-2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.015

-0.005

Figure: Trayectorias para vg = −0.1, qg = 0.16666 (2800 veh/h)

Puntos críticos no hiperbólicos

Proposición 2

Si se escoge θ0 = (vc + vg)2 ⇒ b = 0 y los puntos críticos son nohiperbólicos.

Si v ′e(vc) > 1⇒ c < 0, y (vc ,0) es una bifurcación de Hopf: losv.p. son puramente imaginarios.Si v ′e(vc) = 1⇒ c = 0, y cero es un valor propio de multiplicidaddos y (vc ,0) es una bifurcación de Takens-Bogdanov.

Diagrama BT

Figure: Diagrama de Takens Bogdanov

Ejemplos de puntos críticos no hiperbólicos

qg vg vc1 λ(vc1) vc2 λ(vc2)

.196875 −0.1 0.475 λ± = ±0.0173205i 0.625 0.025, -0.006

0.309375 0.2 0.175 λ± = ±0.37607i 0.625 0.054, -0.005

0.140625 −0.25 0.625 λ = 0

Table: Puntos de Hopf y Takens-Bogdanov para valores específicos de losparámetros.

Plano fase de un punto crítico de Hopf con vg = 0.2, qg = 0.309375

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.005

Plano fase de un punto crítico de Takens-Bogdanov convg = −0.25 y qg = 0.140625

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.005

Ciclos límite y su relación con soluciones tipo onda viajera en laEDP

1 Para condiciones de frontera periódicas en una carretera acotadade longitud L, solo soluciones periódicas del sistema de EDO quesatisfacen

Lρmax = mT , m ∈ Z+ (17)

donde T es el periodo del ciclo límite da lugar a una soluciónonda viajera en la EDP.

2 Si T es el periodo mínimo, entonces se le llama a L0 = T/ρmax lamínima longitud de la carretera.

3 Órbitas heteroclínicas corresponden a soluciones tipo frente de laEDP.

4 Órbitas homoclínicas corresponden a soluciones tipo pulso en laEDP.

Solución en forma de pulso para V .

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Homoclínica Greenshields. qg=0.2354, v

g=.0335; v

c=.6519

Estabilidad de ondas viajeras

Estabilidad asintóticaLa onda viajera Utw (ξ) se dice que es estable, si existe δ > 0 tal que siu(t , ξ) es solución de la ecuación K-K y existe k1 > 0 tal que||u(0, ξ)− Utw (ξ + k1)||∞ < δ entonces existe k2 > 0 tal que

||u(t , ξ)− Utw (ξ + k2)||∞ → 0

cuando t →∞.

Estabilidad Espectral

Sea L : X → Y , con X ,Y espacios de Banach tal que L(u) = λu.

Conjuntos Resolvente y espectral de un operador LEl resolvente de un operador L se define:

Res(L) = {λ ∈ C|(L− λI) es invertible y acotado}.

El espectro de un operador σ(L) se define por

σ(L) = C − Res(L).

Diremos que L es espectralmente estable si

σ(L)− {0} = {λ ∈ C | λ > 0}.

Estabilidad Espectral de la onda viajera de la ecuación de Fisher

∂u∂t− ∂2u∂x2 = u(1− u), x ∈< −∞,∞ >, t > 0.

Hagamos el siguiente cambio de variable t = t y ξ = x − stentonces el problema

∂u∂t− ∂2u∂ξ2 − s

∂u∂ξ

= u(1− u)

Observemos que la onda viajera U(ξ) es solución estacionaria deeste problema.Consideremos una solución de este problema de la formau(ξ, t) = U(ξ) + V (ξ, t) con V (ξ, t) = 0 para |ξ| ≥ L con L > 0.Substituyendo en la ecuación y linealizando alrededor de la ondaviajera U(z) obtenemos que V satisface

∂V∂t− ∂2V∂ξ2 − s

∂V∂ξ

= (1− 2U)V

Estabilidad EspectralSupongamos V (ξ, t) = v(ξ)e−λt entonces se obtiene el siguienteproblema de valores propios:L(v) = −v ′′(ξ)− sv ′(ξ)− (1− 2U(ξ))v(ξ) = λv .El problema anterior se puede simplificar desapareciendo eltérmino de primer orden usando la siguiente transformación:

v(ξ) = w(ξ)e−sξ2

para obtener el problema:

w ′′(ξ) + (λ− (2U +s2

4− 1))w(ξ) = 0, w(−L) = w(L) = 0.

Si q(ξ) = 2U(ξ) + s2

4 − 1 entonces si q(ξ) es continua y positivaen [−L,L] entonces λ > 0.

2U(ξ) +s2

4− 1 ≥ 2U(ξ) > 0,

dado que U(−∞) = 1 y U(∞) = 0.U es espectralmente estable.

Estabilidad asintótica

Para muchas EDP del tipo reacción-difusión estabilidad espectralimplica estabilidad asintótica. En particular para la ecuación deFisher. El operador L debe ser monótono, sectorial, etc.Todas aquellas ecuaciones que admiten soluciones en forma deondas viajeras son invariantes bajo traslaciones y Sattinger probóque λ = 0 siempre está en el espectro con vector propio U ′(ξ).

La ecuación de Burgers es espectralmente estable y se usanestimaciones de energía para ello.

Conclusiones

1 Para estudiar la existencia de soluciones tipo onda viajera sepuede transformar la EDP a un sistema de EDO con el cambio devariable usual: ξ = x − st .

2 Estructuras dinámicas del sistema EDO nos pueden darinformación relevante de la existencia de soluciones periódicas endominios acotados. En particular ciclos límites se relacionan consoluciones periódicas.

3 Probar estabilidad espectral y asintótica es un problema difícil.Para la ecuación de tráfico vehicular es un problema abierto.

Referencias

1 J. Delgado, P. Saavedra, (2014). Global Bifurcation Diagram forthe Kerner-Konhäuser Traffic Flow Model. International Journal ofBifurcation and Chaos Vol: 25, Num.5, 2015.

2 Kuznetsov, Y. A. “Elements of Applied Bifurcation Theory" (1998).Appl. Math. Ser. 112, 2nd. ed., Springer.

3 Logan J. D. An Introduction to Nonlinear Partial DifferentialEquations. Wiley. Second Edition. 2008.

4 Y. Sugiyama, M. Fukui, M. Kikuchi, K. Hasebe, A. Nakayama, K.Nishinari, S. Tadaki, S. Yukawa. New Journal of Physics 10,033001, 2008.

5 P. Saavedra and R.M. Velasco (2009). "Phase-space analysis forhydrodynamic traffic models". Physical Review E 79, 066103.

6 P. Saavedra and R.M. Velasco (2017). Tráfico vehicular: ejemplode un sistema disipativo en el espacio fase. Aceptado parapublicación en Miscelánea Matemática. 2017.

¡Gracias por su atención!

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