sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas - wikiversidad.pdf
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8/10/2015 SistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasWikiversidad
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Sistemalinealdedosecuacionescondosincgnitas
Unidad: lgebra
Departamento:Departamentodematemtica
SistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasDeWikiversidad
Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasesunsistemalinealdeecuacionesformadoporslodosecuacionesqueadmiteuntratamientoparticularmentesimple,juntoconelcasotrivialdeunaecuacinlinealconunanicaincgnita,eselcasomssencilloposibledesistemasdeecuaciones,yquepermitensuresolucinempleandotcnicasbsicasdellgebracuandoloscoeficientesdelaecuacinseencuentransobreuncuerpo(sobreunanillolasolucinnoestansencilla).
Unainfinidaddeproblemaspuedenserresueltosconunsistemadedosecuaciones.Veamoslasdistintasformasenlasquesepuedenencontrarsussoluciones.
Contenido
1Tiposdesolucin1.1Sistemacompatible
1.1.1Sistemacompatibledeterminado1.1.2Sistemacompatibleindeterminado
1.2Sistemaincompatible1.3Anlisisdetipos
2Mtodosderesolucin2.1Mtododereduccin2.2Mtododeigualacin2.3Mtododesustitucin2.4RegladeCramer
3Solucindeunproblema4Bibliografa5Enlacesexternos
Tiposdesolucin
Consideremosunsistemacomoelsiguiente:
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Enunsistemadeecuacionessepuedendarlossiguientescasos:
Sistemacompatible
Siadmitesoluciones.
Lacompatibilidaddeunsistemasedeterminaapartirdeldeterminantedelamatriz2x2queconstituyeelsistemaoequivalentementedeloscocientesdelaprimeraecuacinylasegunda.
Sistemacompatibledeterminado
Siadmiteunnmerofinitodesolucionesenelcasodedosecuacioneslinealescondosincgnitas,sielsistemaesdeterminadosolotendrunasolucin.Surepresentacingrficasondosrectasquesecortanenunpuntolosvaloresdexeydeesepuntosonlasolucinalsistema.
Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasescompatibledeterminadocuando:
Enelejemplodelafigura,dadoelsistema:
Podemosver,que:
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Loquedalugaraquelasdosrectassecortenenunpunto,devalores:
siendoestalasolucindelsistema.
Sistemacompatibleindeterminado
Elsistemaadmiteunnmeroinfinitodesolucionessurepresentacingrficasondosrectascoincidentes.Lasdosecuacionessonequivalentesyunadeellassepuedeconsiderarcomoredundante:cualquierpuntodelarectaessolucindelsistema.
Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasesindeterminadosi:
Porejemploconelsistema:
Sepuedever:
Conloquepodemosdecirquelaprimeraecuacinmultiplicadaportresdalasegundaecuacin,porlotantonosondosecuacionesindependientes,sinodosformasdeexpresarlamismaecuacin.
Tomandounadelasecuaciones,porejemplolaprimera,tenemos:
Tomandolaxcomovariableindependiente,ylaycomovariabledependiente,segnlaexpresinanterior,asignandovalorasaxobtendremoselcorrespondientedey,cadapar(x,y),ascalculadoserunasolucindelsistema,pudiendoasignaraxcualquiervalorreal.
Sistemaincompatible
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Elsistemanoadmiteningunasolucin.Enestecaso,surepresentacingrficasondosrectasparalelasynotienenningnpuntoencomnporquenosecortan.Elcumplimientodeunadelasecuacionessignificaelincumplimientodelaotrayporlotantonotienenningunasolucinencomn.
Unsistemalinealdedosecuacionescondosincgnitasesincompatiblesi:
Porejemplo,dadoelsistema:
Sepuedeverque:
Laigualdad:
Determinalaproporcionalidadentrelasincgnitas,dosrectasparalelas,peroladiferenteproporcionalidadconlostrminosindependientesdeterminauncorteconelejeydisiento,ydosrectasparalelasnosecortanenningnpunto.Dandolugaralaincompatibilidaddelassoluciones.
Anlisisdetipos
Parapoderdeterminarsi,unsistemadedosecuacionescondosincgnitas,correspondeaunodeesoscasos,podemosver,segnlovistoanteriormente,elsiguientecriterio,partiendodelsistema:
Podemosaplicarelsiguienterboldedecisin,paradeterminareltipodesistemaquees:
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Paraello,comparamosenprimerlugarlarelacinentreloscoeficientesdelasincgnitas,silarelacinentreloscoeficientesdelaxylayeselmismo,elsistemaescompatibleindeterminadooincompatible,siestecoeficientetambinesigualalarelacioneentrelostrminosindependienteselsistemaescompatibleindeterminado,ysiesdistintoenincompatible.Silarelacinentreloscoeficientesdelaxylaysondistintoselsistemaescompatibledeterminado.
Estecriterioesequivalentealanlisisdelosdeterminantesdelasecuaciones,aplicadoaunsistemadedosecuaciones.
Mtodosderesolucin
Partiendodeunsistemalinealcompatibledeterminadodedosecuacionescondosincgnitas:
Sielsistemaanteriorescompatibleydeterminado,entoncesresolverelsistemaconsisteenencontrarlosvaloresdexydeyquesatisfacenlasdosecuacionessimultneamente.
Podemosdiferenciardostiposdemtodosderesolucindesistemasdeecuaciones,losbsicos,basadosenoperacionesalgebraicasencaminadosadespejarelvalordecadaunadelasincgnitas,ylosavanzados,basadosenpropiedadesdelossistemasquedeterminanlosdistintosvaloresdelasincgnitasquecumplenlasecuacionesdelsistema.
Dentrodelosmtodosbsicos,estneldereduccin,igualacinysustitucinquemediantedistintasoperacionesalgebraicasdespejaelvalordexeydelsistema.Sielsistemafueraincompatibleocompatibleindeterminadolosmtodosanterioresnoconducenaunasolucindelsistema.
EntrelosmtodosavanzadosestnRegladeCramer,EliminacindeGaussJordan,ymediantelaMatrizinvertible,entreotrosestosmtodossonmssofisticadosquelosbsicosysonnecesariosconocimientosdelgebralinealenocasioneselevados,ydestinadosalaresolucindesistemasdegrandimensincongrannmerodeecuacionesquedanlugar,normalmente,alempleodeordenadorespararealizarlasoperacionesnecesarias.
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AquveremoslaRegladeCramerensuformaparadosecuacionescondosincgnitas,comocomplementoalasformasbsicasderesolucin.
Mtododereduccin
Elmtododereduccinconsisteenmultiplicarcadaunadelasecuacionesporlosvaloresnecesarios,deformaqueloscoeficientesdeunadelasincgnitasseanlosmismoscambiadosdesigno.Conseguidoesto,sesumanlasdosecuacionesylaincgnitaquetieneloscoeficientesopuestosseelimina,dandolugaraunaecuacinconunaincgnita,queseresuelvehaciendolasoperacionesnecesarias.Conocidaunadelasincgnitassesustituyesuvalorenunadelasecuacionesoriginalesycalculamoslasegunda.
tenemoscomoejemploelsistema:
Enestecasolax,yatieneelmismocoeficienteenlasdosecuacionescambiadodesignoynoesnecesariohacerningunaoperacinparalograrlopodemossumarlasdosecuacionesdirectamente:
comoresultadodelasumatenemosunasolaecuacinconunaincgnita:
despejandolay,tenemos:
quehaciendolaoperacinda:
Paracalcularelvalordex,sustituimoselvalordeyenunadelasecuaciones,porejemplolaprimera:
despejandox,tenemos:
querealizandolaoperacindacomoresultado:
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elresultadodelsistemaeselvalordexeyquesatisfacelasdosecuacionessimultneamente,quecomoyasabamoses:
Enestecasoeramuyfcildadoquelaxyatenaelmismocoeficientecambiadodesignoenunayotraecuacin.Podemosresolverelmismosistema,peroestavezeliminandolay:
vemoselcoeficientedelaydelaprimeraecuacines1yeldelasegunda,2simultiplicamoslaprimeraecuacinpor2,ylasegundalacambiamosdesigno,tendremos:
conloquetenemosquelaytieneelmismocoeficienteenlasdosecuacionescambiadodesigno.Sumandolasdosecuaciones:
astenemosunaecuacinconunaincgnita:
despejandolax:
elvalordexqueobtenemoses:
paracalcularysustituimoselvalorobtenidodexenunadelasecuaciones,laprimeradeellasporejemplo:
quedespejandolaytendremos:
conloquetenemos:
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Comopuedeverseenelejemploresuelto,elmtododereduccinconsisteenoperarelsistemademodoqueunadelasincgnitastengaelmismocoeficienteenlasdosecuacionesperocambiadodesignoalsumarlasdosecuacioneselsistemasereduceaunaecuacinconunaincgnitaquedespejamos.Conestevalorsustituidoenunadelasecuacionesinicialescalculamoslasegundaincgnita.Esindistintoquesehagaconlaxoconlay,enlosdoscasosobtendremoselmismoresultado.
Mtododeigualacin
Elmtododeigualacinpararesolverunsistemadedosecuacionescondosincgnitasconsisteendespejarunadelasdosincgnitasenlasdosecuaciones.Seacualseaelvalordeestaincgnita,hadeserelmismoenlasdosecuaciones,portantopodemosigualarlasdosexpresionesobteniendounaecuacinconunaincgnita,quepodemosresolverconfacilidad.Unavezconocidoelvalordeunadelasdosincgnitaslosustituimosenunadelasecuacionesinicialesycalculamoslasegunda.Aprovechandoelmismoejemploanterior,veamoscmoseresuelveporigualacin:
despejamosenlasdosecuacionesunadelasincgnitas,porejemplolax:
elvalordexhadeserelmismoenlasdosecuaciones,porlotantotenemos:
Pasandotodoslostrminosconyaunmiembrodelaecuacin,ylostrminosindependientesalotro:
Operandotenemos:
Conloquetenemoselvalordey.Sustituyendoestevalorenlaprimeraecuacinydespejadalax,tenemosquesi:
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Resultaquexvale:
lasolucindelsistemaes:
Comopuedeverse,elmtododeresolucindelsistemadeecuacionesnoafectaalresultado,porquetodosellosnosllevanalasolucin.Veamosqupasarasienestemismosistema,envezdedespejarlaxparadespusigualar,hubiramosdespejadolay:
layvalelomismoenunaecuacinqueenlaotra,porloquepodemosigualar:
operando:
conloqueyatenemoselvalordex,sustituyendoestevalorenlaprimeraecuacindespejadalaytenemos:
luegoyvaldr:
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Sienlugardeenlaprimeraecuacinlohicisemosenlasegundaelresultadoseraelmismo:
queresultara:
Comopuedeverse,podemosresolverelsistemaindependientementedequincgnitadespejemosprimerooenquecuacinsustituyamosdespussuvalor,porloquepodemoshacerlodelmodoquenosresultemscmodo,segnloscoeficientesquetenganlasincgnitas.
Mtododesustitucin
Elmtododesustitucinconsisteendespejarunadelasincgnitasenunadelasecuacionesysustituirloenlaotra,dandolugarasaunaecuacinconunaincgnita.Unavezresueltasustituimossuvalorenlaecuacindespejadaycalculamoslasegundaincgnita.
Empleandoelmismoejemplodesistemaveamoscmoseresolveraporelmtododesustitucin:
podemosdespejarcualquieradelasdosincgnitasencualquieradelasdosecuaciones.Probemosprimerodespejandolaxdelaprimeraecuacin:
siahorasustituimoselvalordexdespejadodelaprimeraecuacinenlasegunda,tenemos:
resultandounasolaecuacineny,quepodemosresolver:
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conloqueyatenemoselvalordey.Conestevalordeyenlaprimeraecuacin,despejamoslax:
queresulta:
lasolucindelsistemaes,portanto:
Naturalmentehabramosllegadoalamismasolucin,despejandotantolaxcomolayencualquieradelasdosecuacionesysustituyndolaenlaotraecuacin.
Veamosculseraelresultadosidespejramoslaydelasegundaecuacin:
siahorasustituimoselvalordespejadodeydelasegundaecuacinenlaprimera:
resultandounasolaecuacindeprimergradoconlaincgnitax,queresolvemosas:
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conloquetenemoselvalordex.Paracalcularysustituimosestevalorenlasegundaecuacindespejadaeny:
conloquetenemos:
Conloqueobtenemoselmismoresultado:elsistemasolotieneunasolucinytodosloscaminosnosllevaneella,porqueelmtododeresolucinnoafectaelresultado,sloalasoperacionesquehayquehacerparaencontrarla.
RegladeCramer
LaRegladeCrameresunmtododelgebralinealpararesolversistemasdeecuaciones.Subasetericanoestansencillacomolosmtodosvistoshastaahorayempleaelcalculodedeterminantesdematricesmatemticas,ydalugaraunaformaoperativasencillayfcilderecordar,especialmenteenelcasodedosecuacionescondosincgnitas.
Aqusloveremossuformadeusopararesolverdosecuacionescondosincgnitas,sinentraradiscutirelorigendeestemtodo.Primeroveremosuncasogeneralyluegoresolveremosunejemplo.
Partiendodeunsistemageneraldedosecuacionescondosincgnitas:
Lamatrizdeloscoeficientesdelasincgnitassonunatablade2*2enlaqueseencuentranloscoeficientesdelasincgnitas,ordenadosporfilasycolumnas.Enlaprimerafilalosdelaprimeraecuacinyenlasegunda,losdelasegundaecuacin.Enlaprimeracolumnalosdelaprimeraincgnitayenlasegunda,los
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delasegundaincgnita.
Elcoeficientedeunaincgnitaenunaecuacinocupaunafilaycolumnadeterminadaselcambioenelordendentrodelamatrizsuponelamodificacindelsistemadeecuaciones,lasmatricesserepresentanentreparntesis,comoenelejemplo:
EldeterminantedeunamatrizesunaoperacinsobreesamatrizquedacomoresultadounescalarE,quedependedelostrminosdelamatrizyellugardondeestnsituados:
Enelcasodeunamatrizde2*2,tenemosqueeselproductodelostrminosdeladiagonalprincipalmenoselproductodelosdeladiagonalsecundaria:
Estareglatansencillanosecumpleenmatricesdemayordimensinyparasucalculohayquetenerciertosconocimientosdelgebralineal.
PartiendodetodoestotenemosquelaRegladeCramerdiceque,enunsistemadeecuacioneslineales,elvalordecadaincgnitaeslarelacinqueexisteentreeldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesdelasincgnitas,dondesehasustituidolacolumnadelaincgnitaaresolverporlacolumnadetrminosindependientes,entreeldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesdelasincgnitas.
Assipartimosdelsistema:
Tendremosquelasincgnitasvaldrn:
Desarrollandolosdeterminantestendremoslasoperacionesarealizarparacalcularlax:
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yparaelcalculodelay:
Hayquesealarquesieldeterminantedeloscoeficientesdelasincgnitasvalecero:
elsistemaesincompatibleocompatibleindeterminado,yslosercompatibledeterminadosiestedeterminanteesdistintodecero.
Comoejemplovamosaresolverelsistema:
Calculamosprimerolax:
yahoracalculamoslay:
Conloquetenemoslasolucinalsistemaque,naturalmente,es:
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Solucindeunproblema
Laresolucindeunsistemadeecuacionesnoesunatareaensmisma,sinoqueformapartedelaresolucindeunproblema,tericooprctico.Veamoscomo,partiendodeunproblemaexpresadodemodotextual,podemostranscribirloaecuacionesyluegoresolverlo.
Elproblemaes:
Enunagranjahayconejosypatos.Sientretodossuman18cabezasy52patas,cuntosconejosypatoshay?
Tenemosunproblemaexpresadotextualmente.Pararesolverlotenemosquepasarloaformadeecuaciones,porloquetenemosquedeterminar:
1. Culessonlasincgnitas.2. Qurelacinhayentreellas.
Enestecasolapropiapreguntadiceculessonlasincgnitas:elnmerodeconejosyelnmerodepatos.Llamaremosxalnmerodeconejoseyalnmerodepatos:
Sabemosquecadaconejoycadapatotienenunasolacabeza.Portanto:elnmerodeconejosporunacabeza,mselnmerodepatosporunacabezatambin,tienenquesumar18:
Porotraparte,losconejostienencuatropatasylospatosslotienendos.Portanto:elnmerodeconejosporcuatropatascadauno,mselnmerodepatospordospatas,tienenquesumar52:
Lacuestines:quvaloresdexeycumplenlasdosecuacionesalmismotiempoestoes,lasdosecuacionesformanunsistemayelvalordelaxydelayeslasolucindeunsistemadedosecuaciones:
Yatenemoselsistemadeecuacionesperfectamenterepresentado,primeroveremosqueclasedesistemaes,ysiadmitesolucinono,podemosverque:
Luegoelsistemaescompatibledetermina,porloquetendrunanicasolucinypodemossolucionarloporcualquieradelosmtodosyavistos.Porejemplo,eldereduccin.
Todosloscoeficientesdelasegundaecuacinsonparesyportantodivisiblespordos:
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Siahoralaprimeraecuacinlacambiamosdesigno,(multiplicndolapor1),tendremos:
sumamoslasdosecuaciones:
Conloquetenemosquex=8.Sustituyendoestevalorenlaprimeraecuacin,tenemos:
conloqueyatenemoslasolucindelproblema:
Podemoscomprobarestosresultadosenelenunciadodelproblemaparacomprobarquesoncorrectos.
Enresumen:partiendodeunproblemaenformadetexto,hemosidentificadolasincgnitasyhemosestablecidolasrelacionesquehayentreellas,dandolugaraunsistemaquetienetantasecuacionesindependientescomoincgnitas.Resueltoelsistema,tenemoslasolucin,quepodemoscomprobarqueescorrectaeneltextooriginal.
Bibliografa
lgebrayfunciones2,ecuacionesdesegundogrado,sistemadeecuaciones,ESO(2004)
Editor:Santillana,S.L.ISBN8429494928
Ecuacioneslineales(1992)
Editor:EdicionesPirmide,S.A.ISBN8436806972
Ecuaciones,matemticas,ESO.Cuaderno(1998)
Autor:BailoiMompart,C.Casals,RafaelGom,AntoniEditor:EditorialTeide,S.A.ISBN843074312X
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Sistemasdeecuaciones(1989)
Autor:GallegoPalomero,A.Editor:EdicionesSMISBN8434828685
Sistemasdeecuaciones(1987)
Autor:Lowy,ErnestoEditor:EdicionesSMISBN8434822784
EcuacioneslinealesenEGByEEMM(1989)
Autor:RodrguezCano,NatalioJessEditor:CentrodeProfesoresdeBazaISBN8460081095
Sistemasdeecuacioneslineales(2005)
Autor:IglesiasGutirrezdellamo,ManuelEditor:InstitutoJuandeHerreraISBN8497281764
Matemticas,ecuacionesnolinealeseinecuaciones,4ESO.Cuaderno3(2007)
Autor:GarcaMuoz,JulioAlcaideGuindo,FernandoGonzlezFernndez,JosLuisEditor:EdicionesSMISBN8467515430
Enlacesexternos
Sistemalinealdedosecuacionescondosincgnitas(http://www.ematematicas.net/sistecuaciones.php?a=1)SISTEMASLINEALESDEDOSECUACIONESCONDOSINCGNITAS(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99004501/ed99004501.html)Sistemaslinealesdedosecuacionescondosincgnitas.(http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/matematicas14.html)SISTEMADEECUACIONESLINEALESCONDOSVARIABLES(http://student_star.galeon.com/ecuacio.html)SistemaLinealdeDosEcuacionesconDosIncgnitas(http://www.elosiodelosantos.com/dosecuaciones.html)Sistemadedosecuacionescondosincgnitas(http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Sistemas/u2sisecte20.pdf)
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Categora: Matemtica
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